量子力学学习指导

《量子力学》课程学习指导

一、量子力学的建立与地位

量子力学是将物质的波动性与粒子性统一起来的动力学理论，是20世纪初研究微观世界中粒子的运动规律时建立发展起来的。1900年，普朗克（M. Planck ）研究黑体辐射引进了能量的量子化概念，假定物质和电磁场交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比ν=E h ，比例常数h 称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。

1905年，爱因斯坦（A. Einstein ）为解释光电现象，把普朗克的能量子说推进为光量子说，引进光量子(光子)的概念，并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系

E h νω==，h P n k λ==， 此又称为爱因斯坦方程，其中2h π=。由爱因斯坦方程出发，成功地解释了光电效应。其后他又提出固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热问题。

1913年，玻尔在卢瑟福有核原子模型的基础上建立起原子的量子理论。按照这个理论，原子中的电子只能在分立的轨道上运动，原子具有确定的能量，它所处的这种状态叫“定态”，而且原子只有从一个定态跃迁到另一个定态，才能吸收或辐射能量。这个理论虽然有许多成功之处，但对于进一步解释实验现象还有许多困难。

在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，为了解释一些经典理论对实物粒子无法解释的现象，法国物理学家德布罗意（de Broglie ）于1923年提出微观粒子具有波粒二象性的假说。德布罗意认为，正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒(如电子、质子、中子、原子等，又称为微观粒子)也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。微观粒子的粒子性与波动性由德布罗意的基本假设式，即德布罗意关系式

E h νω==，h

P n k λ==

统一起来。由德布罗意关系式，再结合2E

P m =可以推得质量为m ，动量为P 的微观粒子的德布罗意波长2h mE λ=Davisson ）和革末（Germer ）的电子衍射实验所证实。

由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规

律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。当粒子的大小由微观过渡到宏观时，它所遵循的规律也由量子力学过渡到经典力学。量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数描述，波函数又称态函数或概率幅，态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。态函数一般是坐标和时间的复函数，它的模方表示粒子出现在空间各点处的概率，这表明微观粒子的波动性体现为概率波，与经典意义上的波动性有着本质的区别。为了描写微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程。1926年，薛定谔首先找到了这个方程 ψψ∂=∂ˆi H t

称为薛定谔方程，该方程预言体系的行为。

量子力学中的物理量由满足一定条件的、代表某种运算的厄米算符表示，当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定，测量的可能取值由该力学量算符的本征方程决定，测量的平均值由一个包含该算符的积分方程计算。 1927年，海森伯得出的测不准关系2x p ∆⋅∆≥，对量子力学给出了进一步的阐释。

采用狄拉克符号，态函数可表示为ψ和ψ，态函数给出的概率密度表示为ρψψ

=，粒子的概率流密度用()2i j m

ψψψψ**=∇-∇表示，其概率为概率密度的空间积分。

态函数可以按力学量算符的完备本征态矢展开1ψ∞==∑n n C n ，其中n 为彼此正交的空间基矢，满足正交归一性质mn m n δ=。

在势场与时间无关情况下，薛定谔方程通过分离变数后，得到不含时状态下的演化方程ψψ=ˆH E ，称为定态薛定谔方程或能量算符（哈密顿算符）本征方程，E 是能量本征值，ˆH

是哈密顿能量算子。于是，经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。

在寻找微观领域规律的历程中，人们从两条不同的道路建立了量子力学。1925年，海森堡基于物理理论只处理对可观察量的认识，抛弃了不可观察的轨道概念，并从可观察的辐射频率及其强度出发，和玻恩、约尔丹一起建立起矩阵力学；1926年，薛定谔基于量子性是微观体系波动性的反映这一认识，找到了微观体系的运动方程，从而建立起波动力学，其后不久还证明了波动力学和矩阵力学的数学等价性；狄拉克和约尔丹各自独立地发展了一种普遍的变换理论，给出量子力学简洁、完善的数学表达形式。

关于量子力学的解释涉及许多哲学问题，其核心是因果性和物理实在问题。按动力学意义上的因果律说，量子力学的运动方程也是因果律方程，当体系的某一时刻的状态被知道时，可以根据运动方程预言它的未来和过去任意时刻的状态。但量子力学的预言和经典物理学运动方程(质点运动方程和波动方程)的预言在性质上是不同的。在经典物理学理论中，对一个体系的测量不会改变它的状态，它只有一种变化，并按运动方程演进。因此，运动方程对决定体系状态的力学量可以作出确定的预言。但在量子力学中，体系的状态有两种变化，一种是体系的状态按运动方程演进，这是可逆的变化；另一种是测量改变体系状态的不可逆变化。因此，量子力学对决定状态的物理量不能给出确定的预言，只能给出物理量的可能取值和取这些值的几率。在这个意义上，经典物理学因果律在微观领域失效了。据此，一些物理学家和哲学家断言量子力学摈弃因果性，而另一些物理学家和哲学家则认为量子力学因果律反映的是一种新型的因果性—几率因果性。量子力学中代表量子态的波函数是在整个空间定义的，态的任何变化是同时在整个空间实现的。

20世纪70年代以来，有关远隔粒子关联的实验表明，类空分离的事件存在着量子力学预言的关联。这种关联同狭义相对论关于客体之间只能以不大于光速的速度传递物理相互作用的观点是相矛盾的。于是，有些物理学家和哲学家为了解释这种关联的存在，提出在量子世界存在一种全局因果性或整体因果性，这种不同于建立在狭义相对论基础上的局域因果性可以从整体上同时决定相关体系的行为。

量子力学用量子态的概念表征微观体系状态，深化了人们对物理实在的理解。微观体系的性质总是在它们与其他体系，特别是观察仪器的相互作用中表现出来。人们对观察结果用经典物理学语言描述时，发现微观体系在不同的条件下，或主要表现为波动图象，或主要表现为粒子行为。而量子态的概念所表达的，则是微观体系与仪器相互作用而产生的表现为波或粒子的可能性。

量子力学表明，微观物理实在既不是波也不是粒子，真正的实在是量子态。真实状态分解为隐态和显态，是由于测量所造成的，在这里只有显态才符合经典物理学实在的含义。微