七年级数学思维探究(20)丰富的图形世界(含答案)

欧拉()17071783-，是18世纪最杰出的数学家之一，他不但在数学上作出了伟大贡献，而且把数学成功地应用到其他领域，在数论中，欧拉首选引进了欧拉函数()n Φ，用多种方法证明了费用小定理，对著名的哥尼斯堡大桥问题的解答开创了图论的研究，此外，欧拉还在物理、天文、建筑以及音乐、哲学等方面取得了辉煌的成就．

20．丰富的图形世界

解读课标

20世纪初，伟大的法国建筑家列·柯尔伯齐曾说：“我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的几何时期，周围的一切都是几何学．”

生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、反转、放大缩小的电视画面……图形有的是立体的，有的是平面的，立体图形与平面图形之间的联系，从以方面得以体现：

1．立体图形的展开与折叠；

2．从各个角度观察立体图形；

3．用平面去截立体图形．

观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索图形世界的基本方法．

问题解决

例1 如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等那么x y +=_____． 试一试展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体人手．

例2如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）

A ．5个

B 6个

C ．7个

D ．8个

试一试根据三视图和几何体的关系。分别确定该几何体的列数和每一列的层数．

例3 由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图．

（1）请你画出这个几何体的一种左视图；

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，求n 的值．

试一试本例可以在“脑子”中想象完成，也可以用实物摆一摆，从操作实验人手，从俯视图可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避免重复与遗漏．

例4如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？ 试一试所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和，就是需求的面积．从简单人手，2x y 1088

8

主视图

左视图

俯视图

主视图俯视图

例5要把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），画图表示．

分析与解本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合．

为方便起见，设正方体的棱长为6个单位，首先不能切出棱长为5的立方体，否则不可能分割成49个小正方体．

设切出棱长为1的正方体有a 个，棱长为2的正方体有b 个，如果能切出1个棱长为4的正方体，则有864216491

a b a b ++=⎧⎨+=-⎩，解之得6147b =，不合题意，所以切不出棱长为4的正方体． 设切出棱长为1的正方体有a 个，棱长为2的正方体有b 个，棱长为3的正方体有c 个，

82721649a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩

，解得36a =，9b =，4c =，故可分割棱长分别为1、2、3的正方体各有36个、9个、4个，分法如图所示．

欧拉公式

例6建立模型

18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．

_____．

（

2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_____．

（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x y +的值．

解（1）6；

6；2V F E +-=

（2）20

四面体长方体正八面体正十二面体

（3）这个多面体的面数为x y +，棱数为243362

⨯=（条） 根据2V F E +-=，可得()24362x y ++-=，

∴14x y +=．

模型应用

如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数．

解设足球表面的正五边形有x 个，正六边形有y 个。总面数F 为x y +个，因为一条棱连着两个面，所

以球表面的棱数E 为()1562

x y +，又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数()()1215656233

V x y x y =+⋅=+． 由欧拉公式2V F E +-=得()()()115656232

x y x y x y +++-+= 解得12x =

所以正五边形只要12个．

又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，所以六边形个数5203

x =，即需20个正六边形． 数学冲浪

知识技能广场

1．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是______．

2．由几个相同昀小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是______．

3．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为_____．

4．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有_____个．

5．一个画家有14个边长为1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为（）

65

432

1

主视图

左视图

俯视图

左视图

俯视图

图3

图2图1