一元函数积分法及其应用
一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用
解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
一元函数的定积分与定积分的计算
一元函数的定积分与定积分的计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算一元函数在给定区间上的面积、曲线长度、体积等问题。
本文将介绍一元函数的定积分以及常见的定积分计算方法。
一、一元函数的定积分在介绍定积分之前，我们先来回顾一下导数的概念。
对于一元函数f(x)，它的导数f'(x)表示函数在某一点处的瞬时变化率。
类似地，定积分可以看作是函数在一定区间上的累积变化量。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，把[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上选择一个点ξi，并计算出f(ξi)。
将Δx 逐渐趋近于0，ξi逐渐靠近区间[a, b]的端点，可以得到如下极限：∑f(ξi)Δx → ∫f(x)dx其中∑表示求和，Δx表示小区间的长度，ξi表示取点的位置，∫表示定积分，f(x)dx表示被积函数。
定积分∫f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所围成的区域的面积。
根据定积分的定义，我们可以将定积分分为两种情况：1. 当被积函数f(x)为非负函数时，定积分的值表示函数曲线与x轴及两条垂直直线x=a、x=b所围成的面积；2. 当被积函数f(x)为有正负之分的函数时，定积分的值表示函数曲线与x轴及两条垂直直线x=a、x=b所围成的有向面积，即正面积减去负面积。
二、定积分的计算方法计算定积分的方法多种多样，这里介绍几种常见的方法。
1. 几何法：根据定积分的几何意义，可以通过几何图形的面积公式计算定积分的值。
具体步骤是将被积函数对应的图形分割成几何形状简单的子图形，计算每个子图形的面积，然后将这些面积相加得到定积分的近似值。
2. 基本积分法：定积分的计算可以通过求导的逆操作——积分来实现。
根据函数的导数与原函数的关系，可以利用一些基本积分公式对被积函数进行积分。
常见的基本积分公式包括多项式函数、指数函数、三角函数等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分之间的重要关系。
一元函数微积分的基本原理与方法
一元函数微积分的基本原理与方法微积分是数学中非常重要的一门学科，是数学中的一种基础理论，又是现代科学的一种重要工具。
一元函数微积分是微积分中最基本的部分之一，掌握一元函数微积分的基本原理与方法是学习微积分的第一步。
一、导数与微分导数是微积分的核心概念之一，是函数在一个点上的变化率或斜率。
在一元函数微积分中，导数有多种不同的定义方式，但它们都是等价的。
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 充分接近$x_0$ 时，$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$如果这个极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并把它的导数记为 $f'(x_0)$。
导数的几何意义是曲线在 $x_0$ 点处的斜率。
对于一元函数 $y=f(x)$，如果在某一点 $x_0$ 处导数$f'(x_0)$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
函数在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 也可以表示为$$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$$它表示在点 $x_0$ 处函数 $y=f(x)$ 的每单位 $x$ 的变化量，也就是函数的瞬时变化率。
微分是导数的一种应用。
设 $y=f(x)$，$x$ 发生一个无限小的增量 $\Delta x$，相应地 $y$ 也发生了一个无限小的增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，则称 $dy=f'(x)dx$ 为 $y=f(x)$ 的微分。
它表示在 $x$ 处函数值的微小增量与 $x$ 的微小增量之比。
在微积分中，微分是一种将无限小的变化转换为实际的数值计算的技术方法。
二、函数的基本性质函数是微积分的基础，掌握函数的基本性质对学习微积分非常重要。
1. 连续性一个函数如果在某一点连续，则表明函数在该点的值可以通过函数在该点的极限来确定。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。
2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C (T )=q (T ).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x xx m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()ba w F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x Rx R x dx x xdx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。
一元函数积分学及其应用(课件)
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
考研数学二(一元函数积分概念、计算及应用)模拟试卷9(题后含答
考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设M=sin(sinx)dx，N=cos(cosx)dx，则有A．M＜1＜N．B．M＜N＜1．C．N＜M＜1．D．1＜M＜N．正确答案：A解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在上连续，由sinx≤x=>sin(sinx)，即N＞1．因此选A．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用2．下列函数中在[－2，3]不存在原函数的是A．B．f(x)=max{I｜x｜，1}．C．D．f(x)=∫0xg(t)dt，g(x)=正确答案：C解析：先考察F(x)的连续性．关于A：f(x)在[－2，3]连续，存在原函数．B 中f(x)如图3．1所示，显然处处连续，在[－2，3]存在原函数．显然，D中g(x)在[－2，3]可积，f(x)=∫0xg(t)dt在[－2，3]连续=>f(x)在[－2，3]存在原函数．选C．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用填空题3．=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分概念、计算及应用4．∫－11(x+)2dx=________．正确答案：2解析：原式= 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用5．∫02πsinnxcosmxdx(自然数n或m为奇数)=________．正确答案：0解析：由周期函数的积分性质得In，m∫02πsinnxcosmxdx=∫－ππsinnxcosmxdx．当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故In，m=0．当m为奇数(设m=2k+1，k=0，1，2，…)时In，m=∫－ππsinnx(1－sin2x)kdsinx=R(sinx)｜－ππ=0，其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．因此，In，m=0．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用6．已知f(x)=，则∫01xf(x)dx=________．正确答案：(e－1－1)解析：用分部积分法．由于f’(x)=，故知识模块：一元函数积分概念、计算及应用7．曲线y2=2x在任意点处的曲率为________．正确答案：解析：用曲率计算公式K= 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一元函数积分学
一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。
在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。
一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。
其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。
不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。
变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。
分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。
在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。
此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。
总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。
一元函数积分学精讲
一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。
一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。
通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。
本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。
一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的本质是求函数的一个原函数。
具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。
2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。
幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。
二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。
定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。
2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。
一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用教案：一元函数积分学的应用引言：在高中数学中，一元函数积分学是一个重要的概念，它是微积分的核心内容之一。
积分学是研究函数积分的方法和应用的学科。
通过学习一元函数积分学，我们可以研究函数的变化趋势、面积计算、物理问题的建模和解决等一系列问题。
本教案将针对一元函数积分学的应用进行深入的探讨，帮助学生更好地理解该知识点的实际应用。
一、定积分与反常积分1.1 定积分的概念和性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性质、区间可加性、保号性1.2 反常积分的概念和性质- 反常积分存在的条件- 反常积分的判定方法二、定积分的应用2.1 函数的面积计算- 定积分与曲线下面积的关系- 利用定积分计算曲线下的面积2.2 平均值和中值定理- 平均值定理的说明和应用- 中值定理的说明和应用2.3 函数的积分学基本定理与变限积分 - 函数的积分学基本定理的说明和应用 - 变限积分的定义和计算2.4 应用题- 利用定积分求解几何问题- 利用定积分求解物理应用问题三、反常积分的应用3.1 收敛性和计算方法- 收敛性的定义和判定- 常见反常积分的计算方法3.2 物理问题的建模与解决- 利用反常积分解决物理问题- 建立数学模型求解问题结语：通过本教案的学习，学生将对一元函数积分学的应用有更深入的理解，能够掌握定积分和反常积分的基本概念、性质和应用方法，并能够将其应用于面积计算、物理问题的建模和解决等实际场景中。
同时，本教案也可激发学生对数学的兴趣和求知欲望，培养他们的数学思维和问题解决能力。
希望学生们通过学习，能够掌握一元函数积分学的应用，为今后的学习打下坚实的基础。
一元函数积分的基本概念及解析方法
一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。
例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.3.1) Riemann积分的基本
b
f (x)g(x) dx
a
b
= [fn(x) − f (x)]g(x) dx
a
b
≤ M |fn(x) − f (x)| dx ≤ M/n,
a
这说明 (2) 式成立.
分段线形逼近
命题 4 (分段线性逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列连续的分段线性函数 fn, 使得 fn(a) = f (a), fn(b) = f (b),
一元微积分与数学分析
— Riemann 积分的基本性质
梅加强
南京大学数学系
积分的基本性质
推论 1
(1) 设 [α, β] ⊂ [a, b], 如果 f 在 [a, b] 中可积, 则 f 在 [α, β] 中也可积. (2) 设 c ∈ (a, b), 如果 f 在 [a, c] 及 [c, b] 中都可积, 则 f 在 [a, b] 中也可积, 且
b
lim
n→∞
a
|fn(x) − f (x)| dx = 0,
(1)
且每一个 fn 均介于 f 的上下确界之间. 此时, 任给 g ∈ R[a, b], 还有
b
b
lim
n→∞
a
fn(x)g(x) dx =
a
f (x)g(x) dx.
(2)
阶梯逼近
命题 3 (阶梯逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列阶梯函数 fn, 使得
当 |g| 有正下界时, 不妨设 |g| ≥ m > 0. 此时, 由 1/g(x) − 1/g(y )
=
|g (x )−g (y )| |g (x )g (y )|
可
得 ωi (1/g) ≤ m−2ωi (g), 由此可知 1/g 可积, 于是 f /g = f · (1/g) 可积.
《医学高等数学》课件 第三章 一元函数积分学
2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线 的方程。
解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节 不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它 的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5
第三章 一元函数积分学
性质1
df ( x) f ( x) C d 即如果不考虑积分常数C, 积分号 与微分号
f ( x)dx
f ( x) C 或
重叠作用时,不论先后次序,都恰好相互抵消.
说明微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
性质2 kf ( x)dx k f ( x)dx ,其中 k 为常数.
3 23 x 3 C. 2 4
x 例11 求 sin dx. 2 1 1 2 x 解 sin dx (1 cos x)dx (1 cos x)dx 2 2 2 1 1 dx cos xdx ( x sin x) C. 2 2 2 cot xdx . 例12 求
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数. ) (2) F ( x) C包括了 f ( x的所有原函数 .
证 (1) 对于任意常数C,
( F ( x) C ) F ( x) f ( x) x I ,
F ( x) C 是f ( x)在区间 I 内的原函数.
1 故 ln x 是 在 (,0) (0,) 上的原函数. x 注意 :关于原函数的三个问题：
一是原函数的存在性 二是原函数的个数 三是原函数之间的关系
原函数存在定理： 定理1 若 f ( x)在区间 I内连续，则f ( x) 在区间 I 内 必定存在原函数。 即连续函数一定有原函数. 定理2 设函数 F ( x)和 f ( x) 定义在同一区间 I内, 则 （1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
其中C为任意常数,称为积分常数.
2 ( x 2) dx. 例1 求
.
一元函数微积分在经济学中的应用
一元函数微积分在经济学中的应用
一元函数微积分可以让经济学研究者快速研究出经济系统所处时间
点下的收益、成本、利润等曲线，从而为当前的产品价格、总需求量、分配比例、效率水平等给出科学的、依据性的数字分析。
例如，在產業經濟學中，經常用一元函数微积分方法，對產業中的勞動、物料、能源等原料的利用、生產成本及其最低限度分析起非常重
要的作用。
基於一元函數微積分，我們也可以有效地探討各種經濟模
型和決策理論。
在金融領域，微积分可以用來模擬市場中股票、債券投資等行為。
一
元函數微積分技術能夠有效地提供未來投資策略的模擬和分析，以提
供給投資者未來的投資結果的預測。
因此，微积分是经济学的重要研究手段。
它的应用不僅能夠更加准确
地提出判断经济模型，而且还可以为经济研究者更有效地开展研究，
使他们能够做出更准确、更有效的经济研究。
一元函数的积分与面积计算方法探讨
一元函数的积分与面积计算方法探讨一元函数是数学中的基本概念，对于一元函数的积分与面积计算方法的探讨是数学学习中的重要内容。
本文将从一元函数的积分概念、基本性质和常用计算方法入手，逐步探讨一元函数的积分与面积计算方法。
一元函数的积分概念是微积分的核心概念之一。
积分可以看作是对函数在一定区间上的累加，表示了函数曲线下的面积。
在数学中，积分有定积分和不定积分两种形式。
对于一元函数的定积分，其计算方法可以通过牛顿-莱布尼茨公式或者黎曼积分等方法进行。
牛顿-莱布尼茨公式通过求导和不定积分的关系，将定积分的计算与不定积分联系起来，从而简化了计算过程。
黎曼积分是对定积分的一种近似计算方法，将函数在区间上划分成无穷多个小的子区间，然后对每个子区间上的函数值进行加权求和，通过极限的方法得到定积分值。
一元函数的不定积分，也称为原函数，是指函数的积分函数。
不定积分的计算方法主要依赖于基本积分表、换元积分法、分部积分法等。
基本积分表是对常见函数的不定积分进行整理和归纳得到的结果表格，通过查表可以快速得到不定积分的结果。
换元积分法是一种基于复合函数的性质将不定积分转化为简单形式的计算方法。
分部积分法则是通过差积公式将含有乘积的积分转化为含有求导或者积分的积分形式。
在实际计算中，一元函数的积分与面积计算方法需要考虑函数的性质和计算技巧。
例如，对称性可以简化计算；利用恒等式可以将复杂的积分转化为已知的积分形式；通过奇偶性可以简化定积分的计算等等。
此外，面积计算方法是积分的一个重要应用领域，主要包括曲线下的面积计算和旋转体的体积计算。
曲线下的面积计算是指计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
对于一元函数，可以通过定积分来计算曲线下面积，主要是将曲线图形划分为多个小的矩形区域，然后通过极限的方法将矩形面积相加得到总面积。
旋转体的体积计算是指将曲线绕坐标轴旋转一周所形成的立体的体积计算，也可以通过定积分的方法进行计算。
总结一下，一元函数的积分与面积计算方法涉及到定积分和不定积分的计算方法、对称性、恒等式、奇偶性等性质的利用以及面积计算、体积计算等实际问题的应用。
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第五章 .一元函数积分法及其应用原函数和不定积分。
不定积分的性质。
前面我们主若是谈论导函数的看法，即对于一个连续函数，求出它的导函数，就意味着描述了这个连续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。
反过来，这个规律可否是可是描述了一个特定函数的变化率呢？依照变化率的定义，显然所有与原来的函数在Y 轴方向上平行的函数都拥有同样的变化率变化规律，这实质上就意味着，一个导函数同时描述了一束沿着 Y 轴方向相互平行的函数的变化率的变化规律。
这一束函数的解析式相差一个常数。
我们也能够这么说，即相差任意一个常数的函数拥有同样的导函数。
这样我们就获得了一个对应关系，即对于在区间I 上连续的一束函数F（x）+c（ c 为任意常数），对应着一个唯一的函数 f （ x），满足d ( F ( x)c)dx f ( x)，或d (F ( x) c) f ( x)dx 。
换一种看法，上面的过程也能够看作是一种对于函数F（ x）的运算，即微分的运算，获得函数 F（ x）+c 的微分，那么反过来，也存在一个作用于函数 f （ x）的逆运算过程，得到函数 F（ x） +c 自己，这种逆运算就是积分，也许说不定积分，写成d ( F ( x) c) f ( x)dx F ( x) c 。
这里，相对地，我们就把被积函数f（ x）称为原函数F（ x）+c 的导函数，而把原函数F（ x） +c 称为被积函数 f （ x）的不定积分。
因此我们能够把不定积分理解为微分的逆运算，只但是是一种一对多的关系，即一个被积函数对应于无量多个相差为任意常数的原函数。
在这种意义之下，我们就可以很简单地理解下面的表达式：F ' (x)dx F ( x) c ；d ( f (x)dx) f ( x)dx ；( f (x)dx)' f (x) 。
希望同学们多加领悟这些表面看来很绕的表达式，深切领悟不定积分的逆运算含义。
这里特别需要注意的是在这两种互为逆运算的运算作用之下，函数性态的变化，下面是几点注意事项：（ 1）（ 1）由于我们主若是谈论初等函数，而初等函数在其定义域上总是连续的，这里特别需要记住的是，连续不是可导或可微的充分条件，而可是必要条件，可导的条件更强，即还要求函数在定义域上每一点处的左右导数都存在，而且相等。
因此对于分段函数，在分段点处就必定检验这个条件，对于某些特其他函数，在某些特定的点，也会出现左右导数也许缺失，也许不相等的状况，这些都需要仔细加以考据。
（ 2）（ 2）进一步，可导与可微依旧还存在一个差别，即函数在某点可导，导数能够是无量，这种状况下，就不是可微的，即函数在一点及其邻域可微的充要条件是函数在这点存在有限的导数。
（ 3）（ 3）其他一个连续函数的导函数未必是连续的，而对非连续函数作积分运算则是比较复杂的，本课程不作系统谈论。
基本积分公式和基本积分法规。
由于不定积分实质上就是微分运算的逆运算，因此把基本微分公式反过来写，就获得了相应的基本积分公式，我们列出以下：（ 1） k kdxkxC， k 为常数。
y（ 2）aa 1yxx a dxx C , a11a （ 3）exe x dxe x Cy（ 4）1 1dx ln xC y（ 5）xxsin xsin xdxcos x Cyycos xcos xdx sin x Cysec 2xsec 2x dxtgxCy2x 2x dxctgx Ccsccscysec x tgxsecx tgx dxsecx Cycsc x ctgxcsc x ctgx dxcsc x C（ 6）1 1ydxx 21 1 x 2arcsin xCy11dxarctgx +C1x 212x而近似地， 从微分的运算性质， 能够获得相应的积分的运算性质， 其中最为简单的就是积分运算的线性性质：[ af ( x) bg (x)] dx a f ( x)dx b g (x) dx ，实质上对于任意有限个可积函数的线性组合，这个积分运算性质都是成立的。
其他对应的而又比较复杂的积分法规在下面分节再谈论。
换元法。
相应于求导法规中间的链导法，积分法就是所谓换元法。
我们知道， 求导法中间的链导法的核心思想就是变量取代， 同样，换元法的核心思想也是变量取代。
实质上，我们应该已经能够领悟到， 变量取代在函数的解析中间，原来就拥有 相当基本的重要性，而在积分运算中间，我们会看到同样拥有基本的重要性。
我们在进行函数的复合时，已经能够领悟到变量取代拥有两种方式，也许说两个方向，一是减少复合的层次，二是增加复合的层次。
所谓换元法， 也就拥有相应的两种路子， 一是把被积函数的自变量看作新引入的一个函数的自变量， 而这个新引入函数的因变量则能够凑成原来被积函数的自变量， 这样被积函数 实质上就减少了复合的层次，而变得比原来的形式要简单；二是把被积函数的自变量看作一个新引入变量的函数，在被积函数中间代入这个函数，这样就改变了被积函数的自变量， 而且使得被积函数增加了复合层次， 表面看来是增加了被积函数的复杂性，但我们的目的是使得被积函数比较简单进行积分。
形式地说，就是假设被积函数为f （ x ），它的不定积分 f ( x)dx无法直接应用已知的积 分公式来求出， 那么我们能够试一试进行积分变量的取代， 使得经过变量取代而获得一个更容 易进行积分运算的积分式g( u)du，其中变量 u 和变量 x 的关系能够是两种形式，即 u ( x) 和x (u)，前面的形式是在被积函数中凑出新的函数来，后边的形式则是引入额外的新函数。
这两个路子就分别称为换元法一和换元法二，下面我们更仔细地分别进行谈论。
（ 1）换元法一。
设我们是取u( x)，那么就有f ( x)dx =[ g(u)du ]u( x)，代入u( x) 就有g( u)du = g( ( x))d ( x) ，上面等式右边出现了 u 的微分，我们有d ( x)' (x)dx ，代入，我们的最后目的就出现了，即要求f ( x)dx =g ( ( x)) ' ( x)dx ，也就是要求经过适合地取u( x) ，使得f ( x) g( ( x)) '( x) 。
反过来，我们能够这么说，即把被积函数f （x ）凑成上面的形式，从而经过计算比较简单的 g( u)du 而获得比较困难的f ( x)dx。
能够看出， 这里的要点， 就是把原来的被积函数凑出两个因式来，其中一个是某个新函数的导函数， 而另一个因式则能够看作是以这个新函数为自变量的形式，最后经过这个换元过程可否达到了目的，就要看可否确实计算g(u)du 比计算 f ( x)dx 要简单，若是没有达到这个目的，则说明应用换元法无效，必定考虑使用其他方法。
至于如何采用适合的u( x)，并没有必然的规律，主若是依赖我们经过练习来获得经验，加强观察力。
而应用 换元法一的条件是其中所涉及到的 u( x) ， '( x), g (u) 都必定是连续的 。
最后需要注意的一点是，必定把变量x 经过u(x)代入积分结果，从而获得我们真正要求获得的积分f ( x)dx。
（ 2）换元法二。
若是我们是取x(u)，我们就可以进行下面的推导：f ( x)dx f ( (u)) dx[ f ( (u))dxdu ]duu[ f ( (u)) '(u) du]u1( x ) 1( x )这整个推导的最后目的， 就是希望新形式的被积函数f ( (u))'(u)，尽管形式可能变得要复杂一些，但还是要比f （ x ）更简单计算积分。
如何适合地采用 x(u)而达到这个目标，则依旧是属于熟能生巧的范围。
因此学习积分计算，最为重要的就是加强练习。
从换元法二的过程，能够看到它的一个条件就是要求f （ x ）连续，而x(u) 必定具有连续的导数，而且这个导数不能够等于 0。
同样需要注意的一点是， 必定把变量 x 经过u1( x)代入积分结果， 从而获得我们真正要求获得的积分 f ( x)dx 。
下面列出应用换元法所求出的一些常用函数的不定积分， 在后边能够作为公式使用， 不过希望同学们能够自己着手加以推导， 这样才能真切掌握这些公式， 同时也锻炼了自己运用 换元法的能力。
1dxx C2arcsin2a（ 1）a x；1x 2 dx 1arctgxC（ 2） a 2aa；1x 2 dx 1 ln a x C（ 3） a 22a a x；（ 4） secxdx ln secxtgx C ；（ 5） csc xdx ln csc x ctgx C ；（ 6） shxdx chxC ；（ 7） chxdxshx C ；（ 8）a2x 2dx1x a2x2a 2arcsin xC；22 a1dxln xa 2 x 2C（ 9）a 2x 2；1 dx ln xx 2a 2C（ 10）x 2 a 2分部积分法。
相当于乘积的求导法规的就是所谓分部积分法， 我们能够直接从乘积的求导公式来推导出分部积分法。
以下：依照乘积的求导公式(uv)' u' v uv' ，获得u' v (uv)' uv' ，若是采用微分形式，就是vdu d (uv) udv ， 两边取积分，就分别获得vu' dx uvuv' dx和vdu uvudv ，这两个表达式分别代表了两种方式的分部积分法，即也许把原来的积分凑成vu' dx 的形式， 尔后经过计算 v'udx而获得结果； 也许把原来的积分凑成vdu的形式， 尔后经过计算udv而获得结果；自然这里的前提，也许说要使得使用分部积分法有意义，就必定第一考虑到计算v' udx和udv要比原来的积分计算简单。
而所谓分部的意思， 就是把原来的积 分凑成上面的 u 和 v 的组合形式。
如何适合地凑成u 和 v ，使得简化积分过程的目的能够达到。
则必定经过大量的练习，来增加观察力。
有理函数以及能够化成有理函数的函数积分。
对于任意有理函数， 存在一个固定的代数算法， 能够把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。
列出以下：Adx A ln xa C（ 1） xaA k dx A1d ( xa)( x a) ( x a) kA k 1 C （ 2）(k 1) ( x a)Px Qdxx 2px qP 2 pxq)2Q Pparctg2 x pC2 ln( x（ 3）4q p 24q p 2Px Qk dx( x2pxq)Pt (QPp )2dt(t2a 2)kP2tdt (QPp ) 1dt（ 4）2(t 2 a 2)k2(t 2 a 2)kp2t xaq p2 ；dt=dx ； 4 。