第二章 §2.3 2.3.1 两条直线的交点坐标

§2.3 直线的交点坐标与距离公式 2．3.1 两条直线的交点坐标

学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 导语

在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等． 一、求相交直线的交点坐标

问题1 已知两条直线l 1：x ＋y －5＝0，l 2：x －y －3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M 与直线l 1，l 2的方程有什么关系？

提示 直线l 1，l 2的图象如图所示．点M 既在直线l 1上，也在直线l 2上．满足直线l 1的方程x ＋y －5＝0，也满足直线l 2的方程x －y －3＝0.

即交点坐标是方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋y －5＝0，

x －y －3＝0的解．

知识梳理

已知两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1

＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0，

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0的解．

例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．

解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋4y －2＝0，

2x ＋y ＋2＝0，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－2，

y ＝2，

即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2

－2

＝－1.

故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 方法二 ∵l 2不过原点，

∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.

反思感悟 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：

(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．

(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有交点，则过l 1与l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l 2)，设出方程后再利用其他条件求解．

跟踪训练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．

解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧

x －2y ＋4＝0，

x ＋y －2＝0，

得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝0，

y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，l 3的斜率为34

，

∴k l ＝－4

3

，

∴直线l 的方程为y －2＝－4

3x ，

即4x ＋3y －6＝0.

方法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，

∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，

∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，

∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.

二、判断两直线位置关系的方法 知识梳理

已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 2

2≠0)：

方程组⎩⎪⎨⎪⎧

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0，

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2

＝0的解

一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系

相交

重合

平行

注意点：

(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．

⎩

⎪⎨⎪⎧

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0，

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.

(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．

例2 (教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.