第二章 §2.3 2.3.1 两条直线的交点坐标

§2.3 直线的交点坐标与距离公式 2．3.1 两条直线的交点坐标学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等． 一、求相交直线的交点坐标问题1 已知两条直线l 1：x ＋y －5＝0，l 2：x －y －3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M 与直线l 1，l 2的方程有什么关系？提示 直线l 1，l 2的图象如图所示．点M 既在直线l 1上，也在直线l 2上．满足直线l 1的方程x ＋y －5＝0，也满足直线l 2的方程x －y －3＝0.即交点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －y －3＝0的解．知识梳理已知两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 方法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.反思感悟 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有交点，则过l 1与l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l 2)，设出方程后再利用其他条件求解．跟踪训练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，l 3的斜率为34，∴k l ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.方法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.二、判断两直线位置关系的方法 知识梳理已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)：方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行注意点：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．例2 (教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋4＝0，①4x －12y ＋8＝0，②①×2得4x －12y ＋8＝0.①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，y ＝－2x ＋3无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.反思感悟 判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 跟踪训练2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是______. 答案 ⎝⎛⎭⎫－32，2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.所以－32<a <2.三、直线系过定点问题问题2 观察下面的图象，发现直线都经过点M (4,1)，怎么表示出经过M 点的直线方程？提示 当斜率存在时，y －1＝k (x －4)(k ∈R )；当斜率不存在时，x ＝4. 知识梳理1．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． 2．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Bx －Ay ＋λ＝0.3．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．例3 无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标． 解 ∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴点P 的坐标为(7,3)．反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．跟踪训练3 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，求证：无论a 为何值，直线总经过第一象限． 证明 将直线方程整理为a (3x －y )＋(－x ＋2y －1)＝0. 因为直线3x －y ＝0与x －2y ＋1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫15，35， 即直线系恒过第一象限内的定点⎝⎛⎭⎫15，35，所以无论a 为何值，直线总经过第一象限．1．知识清单： (1)两条直线的交点． (2)直线系过定点问题．2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3) D ．(－3，－2)答案 B解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.2．不论m 为何实数，直线l ：(m －1)x ＋(2m －3)y ＋m ＝0恒过定点( ) A ．(－3，－1) B ．(－2，－1) C ．(－3,1) D ．(－2,1)答案 C解析 直线l 的方程可化为m (x ＋2y ＋1)－x －3y ＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴直线l 恒过定点(－3,1)．故选C.3．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为______________． 答案 2x ＋y －4＝0解析 设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________. 答案 －12解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，又该点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上， ∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12.课时对点练1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3) D ．(3,4)答案 C解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( ) A ．12 B ．10 C ．－8 D ．－6 答案 B解析 ∵直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0得3×2＋m ×(－1)－1＝0，即m ＝5， 将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0得4×2＋3×(－1)－n ＝0，即n ＝5， ∴m ＋n ＝10.3．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37.故过点⎝⎛⎭⎫－197，37 和原点的直线方程为y ＝－319x ， 即3x ＋19y ＝0.4．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．24 答案 C解析 因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6.5．已知实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫16，12 B.⎝⎛⎭⎫12，16 C.⎝⎛⎭⎫16，－12 D.⎝⎛⎭⎫12，－16 答案 D解析 由a ＋2b ＝1，得a ＝1－2b ，则直线ax ＋3y ＋b ＝0可化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0， 整理得x ＋3y －b (2x －1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，2x －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎫12，－16. 6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是( ) A ．{θ|0°<θ<60°} B ．{θ|30°<θ<60°} C ．{θ|30°<θ<90°}D ．{θ|60°<θ<90°}答案 C解析 由题可知k ≠－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0，解得x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ，∴两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋31＋k ，3k －31＋k . ∵两直线的交点在第一象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋31＋k >0，3k －31＋k >0，解得k >33. 又直线l 的倾斜角为θ，则tan θ>33， ∴30°<θ<90°.7．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________． 答案 3x ＋y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)， 即3x ＋y ＝0.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则m ＝______. 答案 －2解析 由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5. 又点(1，m )在直线上， 所以a ＋2m －1＝0，所以m ＝－2.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫－1127，－1327. 又因为直线斜率为k ＝－12，所以所求直线方程为y ＋1327＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫x ＋1127， 即27x ＋54y ＋37＝0.10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解 联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1，∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎨⎧－12<k <12，－12<k <－16，即－12<k <－16.则k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，－16.11．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________． 答案 y ＝2x解析 由直线ax ＋y ＋a ＋2＝0，得a (x ＋1)＋(y ＋2)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－2， ∴直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过定点(－1，－2)，∴过这一定点和原点的直线方程是y －0－2－0＝x －0－1－0，即y ＝2x . 12．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．答案 x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0解析 设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ， 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ， 得λ＝13或λ＝67. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.13．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2 解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线方程y ＝3x ＋b ，得b ＝2.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为______________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图所示，直线l ：ax －y －2＝0经过定点D (0，－2)，a 表示直线l 的斜率，设线段AB 与y 轴交于点C ，由图形知，当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段CB 上时，a 大于或等于DB 的斜率，即a ≥2＋24－0＝1，即a ≥1.当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段AC 上时，a 小于或等于DA 的斜率， 即a ≤4＋2－2－0＝－3，即a ≤－3.综上，a 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在直线方程为() A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0答案 C解析 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)． 又B ′在直线AC 上，则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0. 16.如图，已知在△ABC 中，A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．解 设B (x 0，y 0)，则AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22， 由条件可得⎩⎨⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2(y 0＋2)2－5＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6，y 0＝4， 即B (6,4)．同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5， 即4x －y －20＝0.。