(北师大版)上海市高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(含答案解析)

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(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(含答案解析)(4)

一、选择题1．设()ln f x =()2f '=（）A ．45 B ．15C ．25D ．352．①若直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；③若'0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线； ④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在.则以上论断正确的个数是（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（） A ．1-B ．1C ．3D ．44．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（） A ．1BC ．2D ．45．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x = （）A ．2B ．1C ．12D ．06．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（） ABCD．7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（） A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -8．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（）①()x x f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．19．若函数()3ln f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．2017201812．函数()ln 0y x x =>的图象与直线12y x a =+相切，则a 等于（） A ．ln 21-B ．ln21+C ．ln 2D ．2ln 2二、填空题13．经研究发现，三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心，设其为()()0,x f x ，则()0''0f x =，反之也成立，其中()''f x 是函数()f x 的导函数()'f x 的导数.已知()()322221f x x ax a a x a =++-++，若对任意的实数()1m m ≠，函数()f x 在x m =和2x m =-处的切线互相平行，则实数a =______. 14．求26100lim 3110045n n n n nn →∞⎧≤⎪⎪⎨+⎪>⎪+⎩（*n N ∈）=________15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．对于曲线4()1xf x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线221()ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是____________.19．已知函数()ln f x x x =+,若函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行,则0x =____________ 20．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________．三、解答题21．已知曲线 y = （1）求曲线在()1,5的切线方程；（2）求过点 ()0,5P 且与曲线相切的切线方程． 22．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知()()()()()()2ln 1,,1,f x a x g x x bx F x f x g x =-=+=+- 其中,a b R ∈ ．（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，求,a b 的值；（2）若2x = 是函数()F x 的一个极值点，0x 和1是()F x 的两个零点，且()0,1,x n n n N ∈+∈，求n .24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．25．已知函数()322232a a f x x x xb +=-++，其中,a b ∈R . （1）若曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为42y x =-，求函数()f x 的解析式.（2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.26．设2012(21)...()nnn x a a x a x a x x R +=++++∈展开式中仅有第1011项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求0123...(1)nn a a a a a -+-+-；（3）求12323...n a a a na ++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】令()u x =，可求得()u x ='()f x '，可求得()2f '．【详解】∵()f x =()u x =，则()ln f u u =，∵()1f uu '=，()12u x ='=，由复合函数的导数公式得：()21xf x x =='+， ∴()225f '=．故选：C ．【点睛】本题考查复合函数的导数，掌握复合函数的导数求导法则是关键，属于中档题．2．B解析：B 【分析】根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据函数在点A 处的切线定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A ，这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线. 直线0y =与曲线22(0)y px p =>有且只有一个公共点，但直线0y =不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例1y =是正弦曲线sin y x =的切线，但切线1y =与曲线sin y x =有无数多个公共点，所以不正确；对于②中，根据导数的定义：（1）导数：'()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，（2）左导数：'()()()lim x f x x f x f x x --∆→+∆-=∆，（3）右导数：'()()()lim x f x x f x f x x++∆→+∆-=∆，函数()f x 在点0x x =处可导当且仅当函数()f x 在点0x x =处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数3y x =在0x =处的切线0y =，所以不正确；对于③中，切线与导数的关系：（1）函数()f x 在0x x =处可导，则函数()f x 在0x x =处切线一定存在，切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-（2）函数()f x 在0x x =处不可导，函数()f x 在0x x =处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在，所以是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．C解析：C 【分析】设切点坐标为()0,1x ，求导得到44y x '=-，计算得到答案. 【详解】设切点坐标为()0,1x ，∵44y x '=-，由题意知，0440x -=，∴01x =，即切点为()1,1，∴124p =-+，∴3p =.故选：C . 【点睛】本题考查了根据切线求参数，意在考查学生的计算能力.4．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ．【详解】因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2，故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．5．C解析：C 【分析】根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.6．A解析：A 【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-，曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：310322f a e ππ'⎛⎛⎫=+-⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =. 故选A . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+，令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+，令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．B解析：B 【解析】【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数），①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e -+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数； ②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数．故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．B解析：B 【解析】【分析】先求()f x ，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角. 【详解】因为3()ln()3f x x x x=+-+，所以21()1f x x +'=+因此(1)k f =-='3π，选B. 【点睛】本题考查导数几何意义以及倾斜角，考查基本分析求解能力.10．D【分析】分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值. 【详解】()()2,64f x x g x x ''==-，令624x x=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.11．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+，所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．A【分析】欲求出a 的大小，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，结合题中条件求出切点的坐标，代入直线方程即得．【详解】()1'y x x=，由112x =得切点为（2，ln2），代入12y x a =+，得ln 21a =-．故选A ．【点睛】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．二、填空题13．-3【分析】由求导得根据题意知恒成立可得出函数对称轴即可求解【详解】由求导得：因为对任意的实数函数在和处的切线互相平行所以故的对称轴为即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的导数导数的几何意义函解析：-3 【分析】由()f x 求导得()22322f x x ax a a '=++-，根据题意知()(2)f m f m ''=-恒成立，可得出函数对称轴，即可求解. 【详解】由()f x 求导得：()22322f x x ax a a '=++-,因为对任意的实数()1m m ≠，函数()f x 在x m =和2x m =-处的切线互相平行，所以()(2)f m f m ''=-，故()y f x '=的对称轴为1x =，即13a-=，所以3a =-，故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了函数的导数，导数的几何意义，函数的对称性，属于中档题.14．【分析】分和两种情况讨论综合可得【详解】解：综上故答案为：【点睛】本题考查了极限的计算问题也考查了转化思想是基础题解析：0【分析】分lim n →+∞和lim n →-∞两种情况讨论，综合可得. 【详解】解：26100lim 3110045nn n n n n →∞⎧≤⎪⎪⎨+⎪>⎪+⎩31310044lim lim 05451014nnn n n n n→+∞→∞⎛⎫∴⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===+++ 26lim 0n n →-∞=∴综上26100lim 03110045nn n n nn →∞⎧≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪+⎩ 故答案为：0 【点睛】本题考查了极限的计算问题，也考查了转化思想，是基础题．15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-，解得1a =，所以()11f x x x =++.又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．0【解析】【分析】通过求导数得y ＝x2＋3x 在点（－1－2）处的切线再直线与曲线相切于点求导可得解方程组即可得解【详解】由得∴当时则曲线在点处的切线方程为即设直线与曲线相切于点由得∴解之得∴答案：0解析：0 【解析】【分析】通过求导数得y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线1y x =-，再直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ，求导可得000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可得解.【详解】由23y x x =+得'23y x =+， ∴当1x =-时，'1y =，则曲线23y x x =+在点()1,2--处的切线方程为21y x +=+，即1y x =-，设直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ，由ln y ax x =+得1'(0)y a x x=+>， ∴000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得01x =，00y =，0a =. ∴0a =. 答案：0. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，解答此类问题的关键是求出切点坐标．若切点已知，则直接求导即可得切线的斜率，若切点未知，在解题时首先要设出切点，然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程，求出切点坐标后可得切线方程．17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案．对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，，又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-．若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（），则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，，又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域进而将已知转化为两个值域存在包含关系进而可得答案详解：∵∴∵故∵∴g′′（x ）=2（lnx+1）当x ∈（0）时g′′（x ）＜0g′（x ）为减函数；当x ∈（解析：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域，进而将已知转化为两个值域存在包含关系，进而可得答案．详解：∵()41x f x e =+，∴()2441(1)2x x x xe f x e e e --==+'++∵1224x x xe e e++≥+=,故()[)'10f x ∈﹣， ∵()221ln 2g x ax x x x =-+,∴()'2g x a xlnx =+， g′′（x ）=2（lnx+1），当x ∈（0，1e）时，g′′（x ）＜0，g′（x ）为减函数；当x ∈（1e，+∞）时，g′′（x ）＞0，g′（x ）为增函数；故当x=1e 时，g′（x ）取最小值a ﹣2e ，即g′（x ）∈[a ﹣2e，0）若对于曲线()41x f x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线l 1，总存在在曲线()221ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线l 2，使得l 1∥l 2，则[﹣1，0）⊆[a ﹣2e ，0）,即a ﹣2e≤﹣1．解得：a ∈2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，故答案为：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．19．【解析】分析：求出导函数可得切线斜率利用切线斜率等于列方程求解即可详解：因为函数所以可得函数由函数在点处切线与直线平行可得解得故答案为点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于简单题应用导数的几何意义解析：12【解析】分析：求出导函数，可得切线斜率，利用切线斜率等于3列方程求解即可. 详解：因为函数()ln f x x x =+，所以可得函数()1'1f x x=+，由函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行，可得0113x +=，解得012x =，故答案为12. 点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 解方程()1f x k '=即可.20．【解析】解得故故答案为解析：1【解析】()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，''sin cos 4444ff ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'214f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()22'cos sin 211444422f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1.三、解答题21．（1）5250x y -+=．（2）54200x y -+=．【解析】试题分析：（1）求出5y x =的导函数，将x 1=代入导函数可得切线斜率为52k =，结合切点坐标()1,5，利用点斜式可得结果；（2）因为点 ()0,5P 不在曲线 5y x = 上，可设切点坐标为 (),M t u ，根据（1）的方法求得切线斜率为2t，利用斜率公式可得切线斜率为 5u t -，所以 5552u t t t t--==，解方程求出4t =，利用点斜式可得结果. 试题（1）切点坐标为，则由 5y x =得 002x x y x ==所以 52k =．所求切线方程为 ()5512y x -=- 即 5250x y -+=．（2）因为点 ()0,5P 不在曲线y =上，需设切点坐标为 (),M t u ，则切线斜率为．又因为切线斜率为5u t-，所以5u t -==．所以2t t -=，得 4t =．所以切点坐标为 ()4,10M ，斜率为 54．所以切线方程为 ()51044y x -=-．即 54200x y -+=．【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及切线方程，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再利用等差数列求通项的.22．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，.【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值．试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =-（2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数，又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根. （3）2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令()222ln 1x x xG x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241eG e e =-，则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.23．（1）1{22a b =-=- （2）n=3【解析】试题分析：（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，则可知()()()()22{221f g f g ''=⋅=-，于是可以求出,a b 的值；（2）()()()1F x f x g x =+-=2ln a x x bx --，则()20F '=，又()01F =，于是可以求出,a b 的值，然后根据函数()F x 的单调性及函数零点存在性定理来确定函数()F x 零点所在的区间，从而确定n 的取值．试题（1），由题知，即解得（2）=，由题知，即解得=6，=－1∴=6－（－），=∵＞0，由＞0，解得0＜＜2；由＜0，解得＞2∴在（0,2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，故至多有两个零点，其中∈（0,2），∈（2, +∞）= 又＞=0，=6（－1）＞0，=6（－2）＜0∴∈（3,4），故=3点睛：函数零点问题是考查频率较高的问题，尤其是零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间(),a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程0f x的根．24．(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析. 【解析】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f′(x)＝a ＋2b x，于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x．(2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x 知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－06x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．25．（1）()325242f x x x x =-++；（2）答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）求导()()222f x a x a x '=⋅-++.由已知得()'24f =，()2f b =，解得,a b 得到函数的解析式；（2）求导.令()0f x '=，12x a =，21x =，分21a <，21a，21>a，三种情况讨论，分析导函数的正负，得原函数的单调性. 【详解】解：（1）定义域{}x x R ∈，()()222f x a x a x '=⋅-++.所以()()242224f a a '=-++=，3a =.()2422f b =⨯-=，∴8254b b =-⨯++.4b =∴()325242f x x x x =-++；（2）定义域{}x x R ∈，()()222f x ax a x '=-++.令()0f x '=，12x a=，21x =， ①当21a<时，即2a >时， ()f x '在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞上大于0，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上小于0，∴()f x 在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1+∞上单调递增，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减； ②当21a即2a =时，()f x '在x ∈R 上恒大于等于零，∴()f x 在x ∈R 上单调递增； ③当21>a时，即02a <<时，()01f x x '>⇒<或2x a >.()101f x x a '<⇒<<∴()f x 在(),1x ∈-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上得：2a >时，()f x 在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1+∞上单调递增，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减；2a =时，()f x 在x ∈R 上单调递增；02a <<时，()f x 在(),1x ∈-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减.【点睛】本题考查运用导函数的解决曲线的切线问题，函数的单调性，属于中档题. 26．(1) 2020;(2) 1;(3) 201940403⨯. 【分析】(1)根据二项展开式的项数与指数n 的关系，再根据中间项的位置特点，就可以判断出展开式中总共有多少项，从而可以求出指数n 的值；(2)根据(1)式求得的n 值，观察所求与2012(21)...nnn x a a x a x a x +=++++的特点，令1x =-，即可求得所需要的结果；(3) 根据(1)式求得的n 值，观察所求与2012(21)...nnn x a a x a x a x +=++++的特点，令2012()(21)...n n n f x x a a x a x a x =+=++++，求出()f x '，再令1x =，即可求得所需要的结果. 【详解】(1)根据二项式系数的对称性，2020n =； (2)由(1)及题意2020220200122020(21)...x a a x a x a x +=++++，∴令1x =-，则[]20202020012301232020...(1)...(1)2(1)11n n a a a a a a a a a a -+-+-=-+-+-=⨯-+=；(3)由(1)及题意令2020220200122020()(21)...f x x a a x a x a x =+=++++，20192019122020()4040(21)2...2020f x x a a x a x '∴=+=+++，2019123123202023...23...2020(1)40403n a a a na a a a a f '∴++++=++++==⨯.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（）A ．eB ．2eC ．e -D ．2e -2．函数()21cos 6f x x x =-的导函数()y f x '=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．3．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．224．设点P 是曲线()233xf x e x =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知()ln 1xf x x=+，则()0f '等于（） A ．12B ．12-C ．14D ．14-6．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<-B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<7．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A ．eB ．e e2C ．e 2D ．e e8．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（） ①()x x f x e =，②()f x x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．19．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（）. A ．1B ．2C ．2D ．2210．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．11．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（） A ．2105 B ．1010C ．105D 31012．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．设点P 是曲线3233y x x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为____________.14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k的取值范围是______．15．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________.16．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.17．已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则()()2113tan x x x x -=-________.18．函数()2xf x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.20．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则该几何体外接球的表面积为_______________.三、解答题21．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 22．已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点()4,0n -，且()()*02,f n n N '=∈.（1）求()f x 的解析式；设数列{}n a 满足()2nn a f n =-⋅'，求数列{}n a 的前n 项和.23．已知函数，，曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围．24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 25．已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值；（2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.26．（1）求曲线1y x=在点()11--，处的切线方程；（2）求经过点（4，0）且与曲线1y x=相切的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】求导得到()'ln 1f x x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =，当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C. 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．A解析：A 【分析】求导得到()1'sin 3f x x x =+，根据函数为奇函数排除B ，证明()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立，排除CD ，得到答案.【详解】()21cos 6f x x x =-，则()1'sin 3f x x x =+，()()1'sin '3f x x x f x -=--=-，导函数()'f x 为奇函数，排除B ；当()0,x π∈时，()1'sin 03f x x x =+>；当[),x π∈+∞时，()1'sin 1sin 03f x x x x =+>+≥，故()0,x ∈+∞时，()1'sin 03f x x x =+>恒成立，排除CD. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立是解题的关键. 3．C解析：C 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=．当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4．故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．4．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】由()23xf x e =+，所以()'=xf x e又P 是曲线()23xf x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 .5．C解析：C 【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可；【详解】解：()ln 1x f x x=+，令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tte f t e ∴=+，t R ∈ ()1xxe f x e ∴=+，x ∈R ()()()()()222111xxx xx x e e ee f x e e +-'∴==++()()201041e f e '∴==+故选：C 【点睛】本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】解：由函数图象可知，函数单调递增，但函数的增长速度越来越缓慢，由导数的几何意义可知，()3f '表示函数在3x =处的切线l 的斜率；()4f '表示函数在4x =处的切线m 的斜率；()()()()434343f f f f --=-表示函数图象上()()3,3f 与()()4,4f 两点连线n 的斜率，由图可知l n m k k k >>，故(4)(4)(3)(3)f f f f ''<-< 故选：B【点睛】本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于基础题．7．B解析：B 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解. 【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-. 设21y x =-与函数()ex g x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.8．B解析：B 【解析】【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e -+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数．故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =，所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a cb d-+-的最小值为22＝．故选C．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．10．B解析：B【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可．【详解】函数cos siny x x x=-，可得'siny x x=-，在点()00,x y处的切线的斜率为k，若()000sink g x x x==-，函数k是偶函数，排除A，D，当06xπ=时，12kπ=-<，显然C不正确，B正确；故选B．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．11．A解析：A【解析】【分析】求出曲线2lny xx=-在1x=处切线斜率，从而可得进而得到cos sinαα+.【详解】函数的定义域为()0,∞+，212,yx x=+'1x=时，3,y'=，即tan3,α=且α为锐角，则cosαα===cos sin105αα∴+==故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查同角三角函数基本关系式，确定tan3,α=是解题的关键．12．A解析：A【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+，所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设点根据导数的几何意义求得即可得到答案【详解】设点由函数可得可得即又由所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用其中解答中熟记导数的几何意义准确计算是解答的关键着重考查推理与解析：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】设点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得tan σ≥. 【详解】设点00(,)P x y ，由函数323y x =+，可得23y x '=可得020|3x x y x ='=，即tan σ≥ 又由[)0,σπ∈，所以20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点,设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图，由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点；当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a=，∴1ln 12a a a+=，解得a =∴k e=()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．-1【分析】根据题意直线与曲线相切于点利用导数的几何意义可求【详解】由题意可知直线恒过且与曲线相切于点；如图由得所以即【点睛】本题主要考查导数的几何意义切线的斜率为切点处的导数值侧重考查逻辑推理的核解析：-1 【分析】根据题意直线()()20y m x m =+>与曲线相切于点D ，利用导数的几何意义可求. 【详解】由题意可知，直线恒过()2,0-，且与曲线相切于点D ；如图，由cos y x =-得sin y x '=，4sin m x =，44cos (2)x m x -=+，所以444cos sin (2)x x x -=+，即()442tan 1x x +=-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切线的斜率为切点处的导数值，侧重考查逻辑推理的核心素养.16．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.17．【分析】求解直线恒过定点（0）k ＞0恰有三个公共点其直线必过f （x ）的对称点（0）其它两点是直线与f （x ）的切点那么x1+x3=由导函数几何意义：f′（2x ）=-sin2=k 再由切线方程即可求出【详解析：12-【分析】求解直线 440(0)kx y k k π--=>恒过定点（4π，0），k ＞0恰有三个公共点，其直线必过f （x ）的对称点（4π，0），其它两点是直线与f （x ）的切点，那么x 1+x 3=2π，31x =-x 2π由导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k ，再由切线方程即可求出.【详解】由题意，直线440(0)kx y k k π--=>可得y=k(x-4π)恒过定点（4π，0），即x 2=4π∵k ＞0恰有三个公共点，其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（4π，0）对称，所以x 1+x 3=2π．∴31x =-x 2π，导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k所以切线方程：y-111cos2x =-2sin2x x-x （）过（4π，0）所以112-x tan2x =14（）π，()2113tan x x x x --=11x 4tan 22x ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=111tan242x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 故答案为12- 【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.18．【分析】对函数求导得到导数f′(x)＝ex ＋2图像在点(01)处的切线斜率k ＝e0＋2＝3故得到切线方程为【详解】∵函数f(x)＝ex ＋2x ∴导数＝ex ＋2∴f(x)的图像在点(01)处的切线斜率k 解析：31yx【分析】对函数求导得到导数f ′(x )＝e x ＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，故得到切线方程为31y x .【详解】∵函数f (x )＝e x ＋2x ，∴导数()'f x ＝e x ＋2，∴f (x )的图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1.故答案为31y x .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-，即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可20．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 三、解答题21．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值．试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =-（2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数，又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根.（3）2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令()222ln 1x x xG x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241eG e e =-，则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 22．(1) ()()2*122f x x nx n N =+∈ (2) ()1122n n S n +=-+ 【解析】试题分析：（1）由()()40,'02f n f n -==列出关于,a b 的方程组,，即可解得,a b 的值，从而可求出()f x 的解析式；（2）由（1）知()f n n '-=，所以可得2nn a n =⋅，利用错位相减法结合等比数列求和公式，即可求数列{}n a 的前n 项和. 试题（1）由()2f x ax b ='+，∴22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得1,22a b n ==，即()()2*122f x x nx n N =+∈. （2）()22nnn a f n n =-⋅=⋅'设123222322n n S n =+⋅+⋅++⋅所以()2312222122n n n S n n +=+⋅++-⋅+⋅两式相减123122222n n n S n +-=++++-⋅11222n n n ++=--⋅∴()1122n n S n +=-+【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式. 23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义，求出，即可求的解析式；（Ⅱ）对，恒有成立，等价于，即可求的取值范围．试题（Ⅰ）∵，∴，∴．令，代入切线方程得切点坐标为，代入函数，得．∴．（Ⅱ）∵，令，得或（舍）．列表得：极大值∵，，∴，，∴对恒成立， ∴恒成立，，∴恒成立，记，，∴． ∵，令，则，列表得：极小值∴，∴．点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即在该点处切线的斜率，考查恒成立问题，属于中档题；常见的恒成立有：对于涉及到一个变量恒成立时，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；对于含有两个变量时，成立，等价于.24．(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析. 【解析】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f′(x)＝a ＋2b x ，于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x． (2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－06x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．25．（1）b ＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当时，f′(x)＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，所以F(a)＝2xa ＋3x 2＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立．因为x≥0，所以F(a)在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min ＝F(－4)＝－8x ＋3x 2＋b≥0，即b≥(－3x 2＋8x)max 对任意x ∈[0,2]都成立，又－3x 2＋8x ＝－3(x －)2＋≤，所以当x ＝时，(－3x 2＋8x)max ＝，所以b≥.所以b 的最小值为.26．（1）20x y ++=；（2）440x y +-= 【分析】（1）求出函数在1x =-处的导数值，即为切线斜率，再由切点写出切线方程；（2）因为点(4,0)并不在曲线上，故该点不是切点.设切点坐标为001(,)x x ，求得导数，即为切线的斜率，写出切线方程，将(4,0)代入方程，即可求出切点的坐标，进而写出切线方程. 【详解】解：1y x =，21y x'∴=- （1）当1x =-时，得在点()11--，处的切线的斜率为1-， ∴切线方程为：1(1)y x +=-+，即20x y ++=；（2）设切点为001(,)x x ，则切线的斜率为201x - ∴切线方程为020011()y x x x x -=--，切线过点(4,0)， 020011(4)x x x ∴-=--，解得02x =， ∴所求切线方程为11(2)24y x -=--，即440x y +-=.【点睛】本题考查了导数的几何意义，注意“在”和“过”点的切线的区别，属于基础题.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．设点P 是曲线()23xf x e =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为()5284100c x x=-（80100x <<）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（）元/吨. A ．5284B ．1056.8C ．211.36D ．105.685．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（）A ．5B C D ．106．已知函数()ln ln xxf x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（） A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -7．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A ．12e- B ．2e -C ．1-D ．e8．设函数()()431f x x a x a =+-+．若()f x 为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（） A ．54y x =-B ．53y x =-C ．42y x =-D ．43y x =-9．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．10．已知点P 在曲线y=41xe +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是（） A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 11．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-12．若曲线e x y x ax =-与直线0x y -=相切（e 是自然对数的底数），则实数a 的值为（） A ．eB ．1-C eD ．0二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.15．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.16．函数()2xf x e x =-的图象在点()()0,0f 处的切线为_____．17．曲线332y x x =-+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是______18．曲线()ln f x x ax =+ 存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围_______．19．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____． 20．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.三、解答题21．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由. 22．已知函数()()2ln 4,3f x a x x g x x =-=--．（Ⅰ）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围．23．已知函数，，曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围．24．设函数()3f x x =的图象上一点()()1,1P f 处的切线l 与()3f x x =的图象的另一交点为Q ．（1）确定点Q 的坐标；（2）求函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积．25．已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=.（Ⅰ）求实数a ，m 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值. 26．已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值. 【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==，因此，50150a =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.3．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】由()23xf x e =+，所以()'=xf x e又P 是曲线()23xf x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 .4．C解析：C 【分析】根据()c x ，利用导数除法法则求出()c x '，将95代入()c x '即可求得. 【详解】5284()100c x x ''⎛⎫= ⎪-⎝⎭25284(100)5284(100)(100)x x x ''⨯--⨯-=-20(100)5248(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-()2528495211.36(10095)c '==-.故选：C . 【点睛】本题考查复合函数的导数、导数的几何意义及利用导数知识解决相关问题的能力，是中档题.5．D解析：D 【分析】由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】解:令2sin 0x ππ-=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由23ln 2y x x =-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，即当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，由点到直线的距离公式可得：min ||PQ=故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值. 【详解】()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e af x e x e x x'=+-+，()1f a '=，所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A. 【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.8．C解析：C 【分析】由奇偶性求得1a =，可得函数()f x 的解析式，求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. 【详解】因为函数()()431f x x a x a =+-+为偶函数，所以()()f x f x -=，可得()3210a x -=，可得1a =，所以函数()41f x x =+，可得()34f x x '=，()12f =；曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为()'14f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程为：()241y x -=-．即42y x =-．故选C ．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.9．B解析：B 【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可．【详解】函数cos sin y x x x =-，可得'sin y x x =-，在点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()000sin k g x x x ==-，函数k 是偶函数，排除A ，D ，当06x π=时，012k π=-<，显然C 不正确，B 正确；故选B ．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．10．D解析：D 【详解】试题分析：因为，所以34παπ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.11．D解析：D 【分析】分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值. 【详解】()()2,64f x x g x x ''==-，令624x x=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.12．D解析：D 【分析】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，则根据切点在直线0x y -=上可知0000xx x e ax =-，然后再利用0|1x x y ='=列出关于0x 与a 的方程组求解. 【详解】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，()1e xy x a '=+-，则根据题意得：()0000011xx x x e ax x e a ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得000x a =⎧⎨=⎩. 故选：D. 【点睛】本题考查根据曲线的切线方程求参数的值，解答时注意先设出切点的坐标，将切点坐标代入切线方程以及利用切点处的导数值为斜率列出方程组求解即可，另外求解与切线方程有关的问题时，注意“在某一点的切线”与“过某一点的切线”的区别.二、填空题13．【分析】利用奇函数的定义求出函数在上的解析式然后利用导数可求出的值即为所求结果【详解】当时由于函数为奇函数当时则此时因此曲线在点处的切线斜率为故答案为【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率同时也考查了解析：4【分析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果.【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数解析：1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围．【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++，所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-，化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+，所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-，令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+，所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.16．【解析】【分析】求出原函数的导函数得到f′（0）为切线斜率再求得f(0)即可求解切线方程【详解】f （x ）＝ex ﹣x2f′（x ）＝ex ﹣2x ∴k ＝f′（0）＝1又切点坐标为（01）∴函数f （x ）＝ex 解析：10x y -+=【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到f ′（0）为切线斜率，再求得f(0)，即可求解切线方程．【详解】f （x ）＝e x ﹣x 2，f ′（x ）＝e x ﹣2x ， ∴k ＝f ′（0）＝1，又切点坐标为（0，1），∴函数f （x ）＝e x ﹣x 2图象在点（0，f （0））处的切线方程是y ﹣1＝x ﹣0，即x- y +1=0．故答案为x- y +1=0．【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．17．【解析】【分析】求得函数的导数得到进而得出在点处切线的斜率再利用斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】由题意函数则即曲线上的任意一点处切线的斜率设直线的倾斜角为即又因为所以即曲线上的任意一点处切线的倾斜解析：2[0,)(,)23πππ【解析】【分析】求得函数的导数，得到23y x =≥'P处切线的斜率k ≥再利用斜率与倾斜角的关系，即可求解．【详解】由题意，函数32y x =+，则23y x =≥'，即曲线32y x =+上的任意一点P处切线的斜率k ≥设直线的倾斜角为α，即tan α≥ 又因为[0,)απ∈，所以2[0,)(,)23ππαπ∈，即曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是2[0,)(,)23πππ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，再利用直线的斜率与倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．（﹣∞2﹣）∪（2﹣2）【解析】分析：函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x ）=+a 在区间x ∈（0+∞）上有解并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）相切的情况解出即解析：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）【解析】分析：函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x ）=1x+a 在区间x ∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）相切的情况，解出即可．详解：函数f （x ）=lnx+ax 的导数为f′（x ）=1x+a （x ＞0）． ∵函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线， ∴方程1x+a=2在区间x ∈（0，+∞）上有解．即a=2﹣1x在区间x ∈（0，+∞）上有解． ∴a ＜2．若直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）=lnx+ax 相切，设切点为（x 0，2x 0）．则0000122a x x lnx ax⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得x 0=e ．此时a=2﹣1e．综上可知：实数a 的取值范围是（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）．故答案为：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．②已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．19．【解析】因为函数所以；则曲线在点处的切线斜率为所以曲线在点处的切线方程为：联立得：即所以则故答案为点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程直线的点斜式方程难度中档；我们在解答这类题的解析：14【解析】因为函数()3f x x =，所以()23f x x '=；则曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线斜率为()21113k f x x =='，所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线方程为：321113()y x x x x -=-，联立()3f x x =得：32321111320()(2)0x xx x x x x x -+=⇒-+=，即212x x =-，所以()22221312f x x x =='，则()()1214f x f x =''，故答案为14. 点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，直线的点斜式方程，难度中档；我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.20．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（） A ．1B ．3C ．4D ．52．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 3．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-4．函数3sin 2y x =的导数是（） A ．'3sin 2sin 4y x x = B ．2'3sin 2y x = C ．2'3sin 2cos2y x x =D ．'6sin 2cos 2y x x =5．已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（） A ．38B ．1C ．98D ．1586．设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．一质点的运动方程为s ＝20＋12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则t ＝3 s 时的瞬时速度为( ) A ．20 m/s B ．29.4 m/s C ．49.4 m/sD ．64.1 m/s8．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e9．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（） A ．2B ．－1C ．1D ．－210．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（）A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -11．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（）①()x x f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．112．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______. 15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.17．已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，R c ∈__________．18．已知函数()()20,0f x ax bx a b =+>>的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2，则8a bab+的最小值为___________ 19．曲线()ln f x x ax =+ 存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围_______．20．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.三、解答题21．已知a R ∈，函数()()(x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 1，求a 的值；（2）设()x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立；（3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立. 22．（1）函数()(1sin )f x x x =+的导数为()'f x ，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭；（2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．23．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 24．已知()(),1nf x y ax by =++（常数,a b Z ∈，*n N ∈且2n ≥）. （1）若2a =-，0b =，2019n =，记()201901,i ii x y a x a f ==+∑，求：①20191ii a =∑；②20191ii ia =∑.（2）若(),f x y 展开式中不含x 的项的系数的绝对值之和为729，不含y 的项的系数的绝对值之和为64，求n 的所有可能值. 25．已知函数221()(1)2xf x x a e ax a x =---+，其中e a <. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()f x 在(1,2)内只有一个零点，求a 的取值范围.26．已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C. 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由求导公式及复合函数的导数求导法则可得. 【详解】由求导公式可得：223sin 2(sin 2)3sin 2cos2(2)y x x x x x '''==26sin 2cos 2x x = 3sin 2sin 4x x =故选：A 【点睛】本题主要考查了求导公式及复合函数的求导法则，属于中档题.5．D解析：D 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ，化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得 3304a a -+-=，解得158a =.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.6．B解析：B 【解析】【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．7．B解析：B 【解析】v ＝s ′(t )＝gt ，∴当t ＝3时，v ＝3g ＝29.4. 选B8．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.9．A解析：A 【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+，令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+，令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x-=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数．故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+，所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-，所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-，解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．y ＝4x －18或y ＝4x －14【解析】【分析】先求然后求出的解即得切点的横坐标从而求得切线方程【详解】设切点为因切线与直线垂直故故或当时切线方程为；当时切线方程为综上填或【点睛】对于曲线的切线问题注解析：y ＝4x －18或y ＝4x －14.【解析】【分析】先求()'f x ，然后求出()'4f x =的解即得切点的横坐标，从而求得切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，因切线与直线134y x =-+垂直，故()200'314f x x =+=，故01x =-或01x =，当01x =-时，()018f x =-，切线方程为()4118414y x x =+-=-；当01x =时，()014f x =-，切线方程为()4114418y x x =--=-，综上，填418y x =-或414y x =-. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.如果切点为()()00,x f x ，那么切线方程为：()()()000'y f x x x f x =-+.17．【解析】分析：分别设则表曲线上的点到直线的距离则最小值表示与直线平行的切线之间的距离求出曲线的切线方程根据平行线之间的距离公式即可求解详解：分别设则表曲线上的点到直线的距离所以最小值表示与直线平行的解析：322【解析】分析：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，则22()()a c b c -++表曲线()y f x =上的点到直线y x =-的距离，则22()()a c b c -++最小值表示与直线y x=-平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解．详解：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，则22()()a c b c -++表曲线()y f x =上的点到直线yx =-的距离，所以22()()a c b c -++最小值表示与直线y x =-平行的切线之间的距离，因为()225ln f x x x =-，所以()54f x x x='-，令()541f a a a=-=-'，解得1a =，所以()12f b ==，所以曲线过点(1,2)的切线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=，所以直线30x y +-=与直线yx =-间的距离为33222d ==，即22()()a c b c -++最小值322．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距y x=-平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．18．9【解析】分析：求出原函数的导函数由=2a+b=2得a+=1把变形为+后整体乘以1展开后利用基本不等式求最小值详解：由f（x）=ax2+bx得=2ax+b又f （x）=ax2+bx（a＞0b＞0）在点解析：9【解析】分析：求出原函数的导函数，由(1)f'=2a+b=2，得a+2b=1，把8a bab+变形为8b+1a后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．详解：由f（x）=ax2+bx，得()f x'=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以(1)f'=2a+b=2，即a+2b=1．则8a bab+=8b+1a=（8b+1a）（a+2b）=5+8ab+2ba≥9．当且仅当8ab=2ba，即a=13，b=43时“=”成立．所以8a bab+的最小值是9．故答案为：9点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是8a bab+=8b+1a=（8b+1a）（a+2b），这里利用了常量代换的技巧，即把常量“1”用“a+2b”代替，这样后面就可以利用基本不等式求最值了.常量代换这个技巧要注意理解掌握并灵活运用.19．（﹣∞2﹣）∪（2﹣2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0+∞）上有解并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f（x）相切的情况解出即解析：（﹣∞，2﹣1e）∪（2﹣1e，2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=1x+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．详解：函数f （x ）=lnx+ax 的导数为f′（x ）=1x+a （x ＞0）． ∵函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线， ∴方程1x+a=2在区间x ∈（0，+∞）上有解．即a=2﹣1x在区间x ∈（0，+∞）上有解． ∴a ＜2．若直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）=lnx+ax 相切，设切点为（x 0，2x 0）．则0000122a x x lnx ax⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得x 0=e ．此时a=2﹣1e．综上可知：实数a 的取值范围是（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）．故答案为：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．②已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．20．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．与曲线2y x 相切，且与直线210x y ++=垂直的直线的方程为（）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+2．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( )A ．2B ．C ．4D ．4．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 5．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-6．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（） A ．6- B ．8- C ．6D ．87．已知()ln 1xf x x=+，则()0f '等于（） A ．12B ．12-C ．14D ．14-8．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+9．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值是( ) A ．1B ．164-C ．1或164-D ．1或16410．已知函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图像上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是（）A ．(),0e -B ．-21,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()2,0e -D ．()22,0e -11．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．12．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（） A 2 B 32C (41)2e -D (41)2e +二、填空题13．直线y b =分别与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+相交于点A 、B ，则AB 的最小值为________.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.15．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．16．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．17．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线方程是__________．18．已知直线2y x c =+与曲线()2e 1xf x x x =+++相切,则实数c 的值是_________.19．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '+的值为__________．20．已知2()2(1)f x x xf =+'，则'(1)f _______三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点．（i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围． 22．已知函数2()ln f x ax x =-(a 为正实数)．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[1,e]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．23．已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点()4,0n -，且()()*02,f n n N '=∈.（1）求()f x 的解析式；设数列{}n a 满足()2nn a f n =-⋅'，求数列{}n a 的前n 项和.24．已知函数()e 2(xf x x e =--是自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的图象在点()0,1A -处的切线方程；（2）若k 为整数，且当0x ＞时，(1)()10x k f x x '-+++>恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值． 25．求下列函数的导函数. （1）()521y x =+ （2）1log 32ay x =+ 26．已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程；（2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，根据两直线垂直可求得01x =，即可求得切线方程. 【详解】设切点为()00P x y ，，由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，又直线210x y ++=的斜率为12-，所以()01212x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，解得01x =，则2001y x ==，2k =，所以所求直线的方程为()121y x -=-，即21y x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.3．C解析：C 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a +=++=+++=．当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4．故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．4．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.6．D解析：D 【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称，所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.7．C解析：C 【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可；【详解】解：()ln 1xf x x=+，令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tte f t e ∴=+，t R ∈ ()1xx e f x e ∴=+，x ∈R ()()()()()222111x x x xx x e e e e f x e e +-'∴==++()()201041e f e '∴==+故选：C 【点睛】本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.8．A解析：A 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-，所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--，故选A. 【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.9．D解析：D 【解析】【分析】点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，分点()0,0O 是曲线()f x 上的切点，和点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点进行讨论，分别对两条曲线求导，利用切点处的导数即为切线的斜率，列方程，可解出答案. 【详解】解：点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，且()2'362f x x x =-+①点()0,0O 是曲线()f x 上的切点则()k '02f ==，切线l 的方程为：2y x =设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以0k 22x ==，所以01x =，所以()1,1P a +, 又点P 在直线2l y x =：上，所以12a +=，即1a =②点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点，设曲线()f x 上的切点为()320000,32Q x x x x -+（00x ≠）则()322000000032k '362x x x f x x x x -+==-+=，解得032x =，1k 4=-所以33,28Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，切线l 的方程为：14y x =-设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以01k 24x ==-，所以018x =-，所以11,864P a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 又点P 在直线14l y x =-：上，所以1116448a ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝⎭，即164a =所以1a =或164故选：D. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，求解与切线方程有关的问题一定要先确定切点，题中没给切点的要先设切点坐标，然后根据切点处的导数即为切线的斜率列式求解.10．C解析：C 【分析】把函数()f x 的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()yx =-在0x <时有两个交点，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，即可求解．【详解】，由题意，当0x >时，()ln f x x =，则()ln f x x =关于y 轴的对称函数ln()y x =-(0)x <，由题意可得3y kx =-与ln()y x =-在0x <时有两个交点，设3y kx =-与ln()y x =-相切于(,)m n ，因为ln()yx =-的导数1y x '=，所以1k m=，又由ln()3m km -=-，即1ln()32m m m -=⨯-=-，解得21m e=-，所以2k e =-，由图象可得，当20e k -<<时，函数3y kx =-与ln()y x =-在0x <上有两个交点，即当20e k -<<时，函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图象上有两对关于y 轴的对称点，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()yx =-在0x <时有两个交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．11．B解析：B 【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可．【详解】函数cos sin y x x x =-，可得'sin y x x =-，在点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()000sin k g x x x ==-，函数k 是偶函数，排除A ，D ，当06x π=时，012k π=-<，显然C 不正确，B 正确；故选B ．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．12．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离， ∴d min故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．二、填空题13．【分析】求出函数的斜率为2的切线方程与两条平行线的交点间的横坐标之差为的最小值【详解】如图作出函数的图象作直线平移到与函数图象相切由图象知直线与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值由得令得此时解析：3ln 22-【分析】求出函数2ln y x x =+的斜率为2的切线方程，y b =与两条平行线的交点间的横坐标之差为AB 的最小值．【详解】如图，作出函数2ln y x x =+的图象，作直线21y x =+，平移到与函数图象相切，由图象知直线y b =与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值．由2ln y x x =+得21y x '=+，令212y x'=+=得2x =，此时22ln 2y =+，即切点为(2,22ln 2)+，由22ln 221y y x =+⎧⎨=+⎩得1ln 2222ln 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，∴min 132(ln 2)ln 222AB =-+=-．故答案为：3ln 22-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数图象交点问题，解题关键是转化与化归思想的应用，把直线y b =与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+交点间距离的最小值转化为直线21y x =+与函数图象的平行切线间的问题．利用导数几何意义即可迅速求解．14．【分析】利用奇函数的定义求出函数在上的解析式然后利用导数可求出的值即为所求结果【详解】当时由于函数为奇函数当时则此时因此曲线在点处的切线斜率为故答案为【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率同时也考查了解析：4【分析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果.【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.15．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式进行解答．【详解】因为()()f x g x alnx a'=+，所以2()a x b g x x a-'=+．又因为0a >，0b >，所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+，所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．16．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-，解得1a =，所以()11f x x x =++.又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.17．【解析】分析：先求导再求切线的斜率再写出切线的方程详解：由题得因为切点为（12）所以切线方程为即切线方程为故答案为：点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法意在考查学生对这些知识的掌握解析：1y x =+【解析】分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程. 详解：由题得1212112, 1.1x y k x x -⨯-=-=∴=='因为切点为（1,2），所以切线方程为21,y x -=-即切线方程为1y x =+.故答案为：1y x =+.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-18．2【解析】设切点坐标为∵∴又∵直线与曲线相切∴解得∴将切点代入到直线可得故答案为2点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的解析：2 【解析】设切点坐标为()00,x y ，∵()21xf x e x x =+++，∴()21xf x e x ='++，又∵直线2y x c =+与曲线相切，∴()000212x f x e x =++='，解得00x =，∴02y =，将切点代入到直线可得2c =，故答案为2.点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的重要性，主要利用：1、切点处的导数即为斜率；2、切点坐标满足曲线方程；3、切点坐标满足切线方程.19．【解析】分析：利用导数的几何意义求出再利用切点在切线上求出详解：由题意得则点睛：1解决本题时要注意切点既在曲线上又在切线上学生往往忽视点在切线上；2利用导数的几何意义求曲线的切线时要注意区分曲线在某解析：1-【解析】分析：利用导数的几何意义求出()4f '，再利用切点在切线上求出()4f ．详解：由题意，得(4)2f '=-，(4)2491f =-⨯+=，则(4)(4)1f f '+=-．点睛：1.解决本题时，要注意切点既在曲线上，又在切线上，学生往往忽视“点在切线上”；2.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”和 “曲线过某点的切线”的不同．20．【解析】求导得：把代入得：解得故答案为解析：2-【解析】求导得：()()221f x x f '=+'，把1x =代入得：()()1221f f '=+'，解得()12f '=-，故答案为2-.三、解答题21．（1）340x y （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）223m e e ≥-【解析】试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2=（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+2，求出f′（x ），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程．（2）①令g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即()12ln x xa x--⋅=，构造函数h （x ）=()12ln x xx--⋅，确定h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求a 的值； ②当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若2e x e -<<，g （x ）≥m ，只需g （x ）min ≥m ．试题（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞，∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-，又()11f = ∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=.（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -++=+∴()12ln x xa x--⋅=令()()12ln x xh x x--⋅=，则()2221122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()221x t x x x'--=--= ()0,x ∈+∞， ()0t x '<，∴()t x 在()0,+∞上是减函数又()()110t h '==，∴当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==，∴当函数()g x 有且只有一个零点时，1a =.（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或32x e -=，2e x e -<<，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增.又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()223g e e e =-()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭.∴()()2max 23g x g e e e ==-，223m e e ∴≥-.22．(Ⅰ)310x y --=；(Ⅱ)211[,)e 2e. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程即可．（Ⅱ）通过求导可得函数()y f x =在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎭上单调递增．所以要使方程()0f x =在区间[]1,e 上有两个不相等的实数根，需满足()1000f f e f ⎪⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<⎪⎩，解不等式可得a 的取值范围．试题（Ⅰ）当2a =时，()22ln f x x x =-，∴()1'4f x x x=-， ∴()'13f =．又()12f =，∴曲线()y f x =在点()1,2P 处的切线方程为()231y x -=-，即310x y --=．（Ⅱ）∵()2ln (0)f x ax x a =->，∴()2121'2(0,0).ax f x ax x a x x -=-=>>令()221'0ax f x x-==，即2210ax -=，得10x =>，20x =<（舍去）．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由上表可得，函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎭上单调递增．∵方程()0f x =在区间[]1,e 上有两个不相等的实数根，∴()()210e 10112022f a f ae f ln a ⎪⎪=≥⎪⎨=-≥⎪⎪=+<⎪⎩，解得211e 2e a ≤<．故实数a 的取值范围是211,e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．点睛：已知方程在区间上根的个数求参数范围的方法（1）通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值以及函数的变化趋势等；（2）根据题目要求，画出函数图象的草图，标明函数极(最)值的位置；（3）借助数形结合的方法，将方程在区间上的根的个数问题用区间端点值、函数极值的正负来表示的不等式组；（4）解不等式组可得所求的范围． 23．(1) ()()2*122f x x nx n N =+∈ (2) ()1122n n S n +=-+ 【解析】试题分析：（1）由()()40,'02f n f n -==列出关于,a b 的方程组,，即可解得,a b 的值，从而可求出()f x 的解析式；（2）由（1）知()f n n '-=，所以可得2nn a n =⋅，利用错位相减法结合等比数列求和公式，即可求数列{}n a 的前n 项和. 试题（1）由()2f x ax b ='+，∴22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得1,22a b n ==，即()()2*122f x x nx n N =+∈. （2）()22nnn a f n n =-⋅=⋅'设123222322n n S n =+⋅+⋅++⋅所以()2312222122n n n S n n +=+⋅++-⋅+⋅两式相减123122222n n n S n +-=++++-⋅11222n n n ++=--⋅∴()1122n n S n +=-+【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式. 24．（1） 1.y =-；（2）3. 【解析】试题分析：（1）切线的斜率就是该点处的导数，即'(0)k f =；（2）当时，10x e ->，不等式()(1)10x k f x x '-+++>为(1)(1)10xx k e x -+-++>，即111x x k x e +<++-，这样k 小于111xx x e +++-的最小值，因此下面只要求1()11x x g x x e +=++-的最小值.2(2)'()(1)x x x e e x g x e --=-，接着要讨论()2x h x e x =--的零点，由于()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0,(2)0h h ，因此()h x 在(0,)+∞上有唯一零点，即在上存在唯一的零点，设其为α，则'()0,(1,2)g αα=∈，可证得()g α为最小值，()2(3,4)g αα=+∈，从而整数k 的最大值为3.试题（1）()2,x f x e x x R =--∈，/()1,x f x e x R =-∈， 2分/(0)0f = 曲线()f x 在点处的切线方程为 1.y =- 4分（2）当时，10x e ->，所以不等式可以变形如下：/1(1)()10(1)(1)1011x x x x k f x x x k e x k x e +-+++>⇔-+-++>⇔<++- ① 6分令()111xx g x x e +=++-，则函数在上单调递增，而所以()h x 在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.设此零点为α，则. 当时，；当时，；所以，在上的最小值为()g α.由可得 10分所以，()()23,4.g αα=+∈由于①式等价于.故整数k 的最大值为3. 12分考点：导数与切线，不等式恒成立，导数与单调性，函数的零点. 25．（1）410(21)y x '=+；（2）3(32)ln y x a'=-+【分析】根据复合函数求导法则计算．【详解】（1）445(21)210(21)y x x '=+⨯=+；（2）log (32)a y x =-+，133(32)ln (32)ln y x a x a'=-⨯=-++．【点睛】本题考查复合函数求导法则，掌握复合函数的求导运算法则是解题基础． 26．(1) 22y x =-； (2) 22y x =-或1144y x =-+．【分析】（１）根据题意，先对函数()f x 进行求导，再求函数在点()1,0处的导数即切线斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．（２）设切点坐标为()3000,x x x -，将0x 代入()f x '得出()0f x '，利用点斜式表达出直线方程，再将点()1,0代入直线方程，即可求解出0x ，从而推得直线方程的解析式．【详解】解：（1）由()231f x x '=-，()12f '=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-．（2）设切点的坐标为()3000,x x x -，则所求切线方程为()()()3200031y xx x x x --=--代入点()1,0的坐标得()()320311x x x x -+=--，解得01x =或012x =- 当012x =-时，所求直线方程为1144y x =-+由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或1144y x =-+．故答案为22y x =-或1144y x =-+．【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程．若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线方程，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()ln f x x x =-的图象在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，且1212x x =，则12x x +=（）A ．2B ．3C ．4D ．62．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-3．①若直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；③若'0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线； ④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在.则以上论断正确的个数是（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ) A ．65B ．5C ．655D ．65．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．6．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-7．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（） A ．2B ．－1C ．1D ．－28．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（） A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -9．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（） ①()x x f x e =，②()f x x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4 B ．3C ．2D ．110．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π]11．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f < 12．函数()ln 0y x x =>的图象与直线12y x a =+相切，则a 等于（） A ．ln 21-B ．ln21+C ．ln 2D ．2ln 2二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________． 17．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______． 18．抛物线2yx 上的点到直线20x y --=的最短距离为________________．19．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________． 20．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式1()3'(1)f x xf x=+，则'(2)f 的值等于__________．三、解答题21．已知函数f （x ）=lnx 。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A ．12e-B ．2e -C ．2e --D ．12e--2．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+3．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（） A ．1B ．2C ．2D ．44．已知方程223150x ax a -+=的两实根为1x ，2x ，若函数()(1)(1)f x x x x =-+在1x x =与2x x =处的切线相互垂直，满足条件的a 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920206．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（） A ．e B ．1e-C ．1-D ．e -7．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形8．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（）. A ．1B 2C ．2D ．229．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（）A ．2B ．2C ．(42e - D ．(42e +10．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．2017201812．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．0x y += B ．1x = C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______. 14．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.15．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______16．曲线21x y e -=+在点（0，2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为_____________.17．三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==体外接球的表面积为_______________.18．已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．19．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1,n a n +为正整数，若116a =，则135+a a a +=________.20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．对于函数()ln f x x =，21()2g x ax bx =+（0a ≠），()()()h x g x f x =-. （1）当曲线()y h x =在点(1,(1))h 处的切线方程为3y x =时，求,a b ；（2）当1a b +=，且0a >时，过曲线()y f x =上任一点P 作x 轴的垂线l ，l 与曲线()y g x =交于点Q ，若P 点在Q 点的下方，求a 的取值范围.22．已知函数()2ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ .（1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围. 23．设函数f （x ）=++b ，g （x ）=kx ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若x ＞0时，f （x ）＞g （x ），求k 的取值范围． 24．已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值；（2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.25．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 26．（1）求曲线1y x=在点()11--，处的切线方程；（2）求经过点（4，0）且与曲线1y x=相切的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导得到()()'121f x f x'=-，取1x =得到()11f '=，代入数据计算得到答案. 【详解】()()21ln f x xf x '=-，则()()'121f x f x'=-，取1x =，则()()11211f f ''=-，则()11f '=，故()12f x x '=-，12f e e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了求导函数值，计算()'11f =是解题的关键.2．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．3．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ．【详解】因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2，故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．4．D解析：D【分析】由题得123x x a +=，2123a x x =，再根据两切线互相垂直得到()222212129320x x x x -++=，把韦达定理代入化简即得解.【详解】3()f x x x =-，2'()31f x x =-，依题知()()221231311x x --=-，即()222212129320x x x x -++=.∵12x x +=，2123a x x =， ∴()22222212121252233x x x x x x a a a +=+-=-=，∴42320a a -+=.解得22a =，21a =，即a =1a =±，经检验每个值都符合题意，故满足条件的a 有4个. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.【详解】由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.6．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+，令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+，令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【解析】【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=，则2366C ππππ=--=，则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形，故选D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．8．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =，所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝．故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．9．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．10．D解析：D 【分析】分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值. 【详解】()()2,64f x x g x x ''==-，令624x x=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.11．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+，所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】由题可得11'()1x f x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．【分析】先求导得然后将代入解出再代入求解的值【详解】由题意可得则即所以故故答案为：【点睛】本题考查导数的求解问题解答时注意在原函数解析式中为常数得到是前提解出是关键【分析】先求导得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫=⎪⎝⎭，然后将4x π=代入，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，再代入()'f x 求解6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪⎝⎭，则cos sin 4444f ππππ''⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4f π'⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1()cos sin 2f x x x '=-，故1cos sin 6626f πππ'⎛⎫=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的求解问题，解答时注意在原函数解析式()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+⎪⎝⎭中，4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭为常数，得到()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪⎝⎭是前提，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭是关键.14．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数解析：1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围．【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++，所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-，化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+，所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-，令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+，所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.15．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值. 【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.16．【分析】对函数求导求写出切线方程与y=0y=x 联立求交点的坐标即可求面积【详解】∵∴∴切线的斜率且过点（02）∴切线为∴∴切线与x 轴交点为（10）与的交点为∴切线与直线和围成的三角形的面积为故答案为解析：13【分析】对函数求导，求()0f ' ，写出切线方程，与y=0,y=x 联立求交点的坐标，即可求面积.【详解】∵21x y e -=+，∴22x y e -=-'，∴切线的斜率02x k y ='==-，且过点（0，2），∴切线为22y x -=-，∴22y x =-+，∴切线与x 轴交点为（1，0），与y x =的交点为22,33⎛⎫⎪⎝⎭，∴切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为1211233S =⨯⨯=.故答案为1.3【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题.17．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 18．0【解析】由题知则故本题应填解析：0 【解析】由题知()()()2323'3'13'1F x x f x x f x =---，则()()()'13'03'00F f f =-=．故本题应填0．19．21【解析】则斜率为切线方程为令得是以16为首项以为公比的等比数列【点睛】求曲线在某点处的切线问题可利用导数的几何意义去处理利用导数求出斜率利用直线方程的点斜式写出切线方程求出直线与x 轴的交点的横坐解析：21 【解析】2y x '=，则斜率为2n k a =，切线方程为22()n n n y a a x a -=-，令0y =，得111,22n n n n a a a a ++==，{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列，1351116161621416a a a ++=+⨯+⨯=.【点睛】求曲线在某点处的切线问题，可利用导数的几何意义去处理，利用导数求出斜率，利用直线方程的点斜式写出切线方程，求出直线与x 轴的交点的横坐标，得出1n a +与n a 的关系，借助数列的知识判断数列为等比数列，写出等比数列的首项与公比，求出所要求的和.20．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【解析】由题意可得：[]'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 三、解答题21．(1) 2a =，2b =;(2) (0,2). 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义确定,a b 的值；（2）原问题等价于0x ∀>，()()()h x g x f x =-= 21ln 02ax bx x +->，研究函数()h x 的单调性与最值即可.试题（Ⅰ）()21ln 2h x ax bx x =+-，则()112h a b =+ ()()111h x ax b h a b x=+-='+'⇒-，依题意得 1232213a ab b a b ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+-=⎩．（Ⅱ）已知条件可转化为0x ∀>，()()()h x g x f x =-= 21ln 02ax bx x +->．由1a b +=得()()211ln 2h x ax a x x =+--． ()()()1111ax x h x ax a x x+-=+--='．又0a >，由()01h x x ='⇒=；由()01h x x >'⇒>；由()001h x x <⇒<<'．则()h x 在区间()0,1上是减函数，在区间()1,+∞上为增函数，则()()min 1112h x h a ==-+，则有11022a a -+>⇒<，又0a >得02a <<．故a 的取值范围是()0,2． 22．(1)1y x =- ；(2)0a < . 【解析】试题分析：(1)首先利用导函数求得切线的斜率为1，然后利用点斜式可得切线方程为1y x =-； (2)求解函数的导数，然后讨论函数()221t x ax ax =-+的性质可得实数a 的取值范围是0a < .试题（1）当()0,ln a f x x ==则()10f = 又()1,f x x'=则切线的斜率1k =，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-．（2）()2ln f x x ax ax =+-，0x >，则()221ax ax f x x'-+=，令()221t x ax ax =-+，①若0a =，则()22110t x ax ax =-+=>，故()'0f x >，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故0a =不符题意，舍去； ②若0a <，()2211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，该二次函数开口向下，对称轴14x =，111048t a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()0t x =在()0+∞，上有且仅有一根0x =()0'0f x =，且当00x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()00x ，上单调递增；当0x x >时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()0x +∞，上单调递减；所以0a <时，函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点0x =意；③若0a >，()2211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，该二次函数开口向上，对称轴14x =．（ⅰ）若111048t a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，即08a <≤，()104t x t ⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，故()'0f x ≥，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故08a <≤不符题意，舍去；（ⅱ）若111048t a ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，即8a >，又()010t =>，所以方程()0t x =在()0+∞，上有两根2184a a a x a --=，2284a a a x a+-=，故()()12''0f x f x ==，且当10x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()10x ，上单调递增；当12x x x <<时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()12x x ，上单调递减；当2x x >时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()2x ，+∞上单调递增；所以函数()f x 在()0+∞，上有两个不同的极值点，故8a >不符题意，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是0a <．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．23．（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）k 的范围是（﹣∞，]．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出f （x ）的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，解方程可得a ，b ；（Ⅱ）由题意可得x ＞0时，﹣﹣1＞kx ，即e x ﹣1﹣x ＞kx 2，由h （x ）=e x ﹣1﹣x ，求出导数，可得e x ≥1+x ，由m （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣kx 2，求得导数，讨论2k 与1的关系，即可求得k 的范围．解：（Ⅰ）f （x ）=++b 的导数为f′（x ）=﹣，在点（1，f （1））处的切线斜率为﹣a ，切点为（1，e+a+b ），由切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0，可得﹣a=1，e+a+b=e ﹣2，解得a=b=﹣1；（Ⅱ）x ＞0时，f （x ）＞g （x ），即为x ＞0时，﹣﹣1＞kx ，即e x ﹣1﹣x ＞kx 2，由h （x ）=e x ﹣1﹣x 的导数为h′（x ）=e x ﹣1，当x ＞0时，h′（x ）＞0，h （x ）递增；当x ＜0时，h′（x ）＜0，h （x ）递减．可得h （x ）在x=0处取得最小值0，即有h （x ）≥0成立，即e x ≥1+x ，e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立，由m （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣kx 2，m′（x ）=e x ﹣1﹣2kx ，当2k≤1时，由e x ≥1+x ，可得e x ﹣1﹣2kx≥e x ﹣1﹣x ＞0，则m （x ）在x ＞0时递增，即有m （x ）＞m （0）=0，即有e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立；当2k ＞1时，e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0不恒成立．综上可得，k 的范围是（﹣∞，]．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 24．（1）b ＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当时，f′(x)＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，所以F(a)＝2xa ＋3x 2＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立．因为x≥0，所以F(a)在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min ＝F(－4)＝－8x ＋3x 2＋b≥0，即b≥(－3x 2＋8x)max 对任意x ∈[0,2]都成立，又－3x 2＋8x ＝－3(x －)2＋≤，所以当x ＝时，(－3x 2＋8x)max ＝，所以b≥.所以b 的最小值为.25．证明见解析. 【分析】求出曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率k ，若112k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，即可证明切线与直线112y x =-+垂直.【详解】证明：3'2,31y x x y x =-∴=-.∴曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率23112k =⨯-=，121,2⎛⎫⨯-=-∴ ⎪⎝⎭曲线3y x x =-在x =1处的切线与直线112y x =-+垂直.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线的位置关系，属于基础题. 26．（1）20x y ++=；（2）440x y +-= 【分析】（1）求出函数在1x =-处的导数值，即为切线斜率，再由切点写出切线方程；（2）因为点(4,0)并不在曲线上，故该点不是切点.设切点坐标为001(,)x x ，求得导数，即为切线的斜率，写出切线方程，将(4,0)代入方程，即可求出切点的坐标，进而写出切线方程. 【详解】解：1y x =，21y x'∴=- （1）当1x =-时，得在点()11--，处的切线的斜率为1-， ∴切线方程为：1(1)y x +=-+，即20x y ++=；（2）设切点为001(,)x x ，则切线的斜率为201x -∴切线方程为020011()y x x x x -=--，切线过点(4,0)，020011(4)x x x ∴-=--，解得02x =， ∴所求切线方程为11(2)24y x -=--，即440x y +-=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，注意“在”和“过”点的切线的区别，属于基础题.。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．与曲线2y x 相切，且与直线210x y ++=垂直的直线的方程为（）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+2．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（）A ．1B C ．2D ．43．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上均有可能4．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π]5．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（）.A ．1B C ．2D ．6．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（）A ．2B ．2C ．(42e - D ．(42e +7．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8．若曲线e x y x ax =-与直线0x y -=相切（e 是自然对数的底数），则实数a 的值为（）A ．eB ．1-C D ．09．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．2017201810．直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b等于（）A ．14-B ．12-C ．14D ．1211．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．0x y +=B ．1x =C ．20x y --=D ．1y =-12．已知函数ln y x x =，则这个函数在点1x =处的切线方程是A ．22y x =-B ．22y x =+C ．1y x =-D ．1y x =+二、填空题13．若函数()()ln 2f x x =+的图象在点()00,P x y 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数为______.14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k的取值范围是______．15．若存在两条直线()1212,y ax b y ax b b b =+=+≠都是曲线()1ln 0y a x a x=+≠的切线则实数a 的取值范围是（_____） 16．函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为______．17．已知曲线()32ln 3xf x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 18．已知1()2(1)f x xf x=+'，则(2)f '=______．19．设曲线3()f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ______．20．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==2==AC BD ，5AD BC ==体外接球的表面积为_______________.三、解答题21．已知a R ∈，函数()()(2)x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 21，求a 的值；（2）设()2x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立；（3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立.22．已知函数()321313f x x x x =--+. （1）求()y f x =在1x =处的切线方程；（2）求()y f x =的极值点.23．已知函数()()221f x 2ax x lnx ax x =--+. （a ∈R ）．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（e ，f （e ）处的切线方程（e ＝2.718…）（2）已知x ＝e 为函数f （x ）的极值点，求函数f （x ）的单调区间． 24．已知函数()322232a a f x x x xb +=-++，其中,a b ∈R . （1）若曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为42y x =-，求函数()f x 的解析式.（2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.25．设函数()3f x x =的图象上一点()()1,1P f 处的切线l 与()3f x x =的图象的另一交点为Q ．（1）确定点Q 的坐标；（2）求函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积． 26．已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R . （1）若4a =，求曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程；（2）求()f x 的极值；（3）若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，根据两直线垂直可求得01x =，即可求得切线方程. 【详解】设切点为()00P x y ，，由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，又直线210x y ++=的斜率为12-，所以()01212x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，解得01x =，则2001y x ==，2k =，所以所求直线的方程为()121y x -=-，即21y x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ．【详解】因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2，故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．3．A解析：A 【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.5．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =，所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝．故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．6．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．7．C解析：C 【分析】根据基本导数公式判断即可．【详解】()sin 'cos x x =，()3'3ln 3xx= ，()21log 'ln2x x =⋅，'211x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题8．D解析：D 【分析】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，则根据切点在直线0x y -=上可知0000xx x e ax =-，然后再利用0|1x x y ='=列出关于0x 与a 的方程组求解. 【详解】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，()1e xy x a '=+-，则根据题意得：()0000011xx x x e ax x e a ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得000x a =⎧⎨=⎩. 故选：D. 【点睛】本题考查根据曲线的切线方程求参数的值，解答时注意先设出切点的坐标，将切点坐标代入切线方程以及利用切点处的导数值为斜率列出方程组求解即可，另外求解与切线方程有关的问题时，注意“在某一点的切线”与“过某一点的切线”的区别.9．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+，所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24代入直线方程解得：14b =- 故选A 【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案.11．D解析：D 【解析】由题可得11'()1x f x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．12．C解析：C 【分析】先求导函数，根据切线的斜率等于切点处的导数结合点斜式即可求切线方程. 【详解】当1x =时，ln10y ==，则切点为()1,0，导函数()ln ln ln 1y x x x x x '''=+=+，所以点1x =处的切线的斜率1|ln111x k y ='==+= 所以函数在点1x =处的切线方程为1y x =-，故选C. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，属于基础题.二、填空题13．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率和方程由两直线重合的条件解方程可得即可得到所求的个数【详解】解：函数的导数为可得点处的切线斜率为切线方程为函数的导数为设与相切的切点为可得切线斜率为切线方程为由题解析：2【分析】求得函数()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得0x ，即可得到所求P 的个数．【详解】解：函数()(2)f x ln x =+的导数为1()2f x x '=+，可得点0(P x ，0)y 处的切线斜率为012x +，切线方程为00001(2)22x y x ln x x x =++-++，函数()x g x e =的导数为()x g x e '=，设l 与()g x 相切的切点为(,)m n ，可得切线斜率为m e ，切线方程为m m m y e x e me =+-，由题意可得012me x =+，000(2)2m m x ln x e me x +-=-+，可得0000011(2)022x x ln x x x ++-+=++，解得01x =-或2e -．则满足条件的P 的个数为2，故答案为：2．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点,设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图，由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点；当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a=，∴1ln 12a a a+=，解得a e =，∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．【解析】【分析】先令由题意将问题转化为至少有两个不等式的正实根根据二次函数的性质结合函数的单调性即可得出结果【详解】令由存在两条直线都是曲线的切线可得至少有两个不等式的正实根即有两个不等式的正实根且解析：()4,+∞【解析】【分析】先令()1()ln 0f x a x a x =+≠，由题意，将问题转化为21()a f x a x x'=-=至少有两个不等式的正实根，根据二次函数的性质结合函数的单调性，即可得出结果. 【详解】令()1()ln 0f x a x a x=+≠，由存在两条直线()1212,y ax b y ax b b b =+=+≠都是曲线()1ln 0y a x a x=+≠的切线，可得21()a f x a x x'=-=至少有两个不等式的正实根，即210ax ax -+=有两个不等式的正实根，且两根记作12,x x ，所以有212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，又当4a >时，曲线()1()ln 0f x a x a x=+≠在点11(,())x f x ，22(,())x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-，令()()(0)F x f x ax x =->，由()()0F x f x a ''=-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，()0F x '>，即函数()F x 在[]12,x x 上是单调函数，所以12()()F x F x ≠，所以直线11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()1()ln 0f x a x a x=+≠的两条不同的切线，所以实数a 的取值范围是(4,)+∞. 故答案为(4,)+∞ 【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义、灵活掌握用导数研究函数单调性的方法即可，属于常考题型.16．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：【解析】【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】因为函数在处的切线与直线垂直，所以函数在处的切线斜率，因为，所以，解得，故答案是0. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.17．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.18．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了解析：74【解析】【分析】先求导，再求()1f '和()2f '. 【详解】由题得222111()2(1),(1)2(1),(1)1,()21f x f f f f f x x x=-+∴=-+∴=∴=-'''''+'，所以()2f '=17244-+=. 故答案为：74【点睛】（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求(1)f '，在求导时，知道它是一个常数就可以了.19．【解析】由函数的解析式可得：则函数在处的切线斜率为结合直线平行的结论可得：解得：解析：13【解析】由函数的解析式可得：()2'31f x ax =+，则函数在()()1,1f 处的切线斜率为()'131f a =+，结合直线平行的结论可得：312a +=，解得：13a =. 20．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 三、解答题21．（1）0a =（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义得到())'0111a =-+=；（2）对()x g x xe =0即可；（3）将函数分解为()()()f x g x h x =，分别求两个函数的最小值，乘起来大于2a 即可．（1）∵()()(xxf x e axxe=-+，∴()()('x x f x e a xe =-()()1x xe axx e+-+，∴())'0111f a =-+=，∴0a =.（2）证明：()()1xg x x e +'=，令()0g x '=得1x =-，令()'0g x >得1x >-，()g x 递增；令()'0g x <，得1x <-，()g x 递减.∴()()min 11g x g e =-=-+∵ 2.7e ≈，∴11e->，∴()1g x >. （3）证明：()xh x e ax =-，令()'0h x =得ln x a =，令()'0h x >，得ln x a >，()h x 递增；令()'0h x <，得ln x a <，()h x 递减. ∴()()()min ln ln 1ln h x h a a a a a a ==-=-.∵10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ln 1a <-，∴1ln 2a ->，∴()min 2h x a >，∴()20h x a >>. 又()1g x >，∴()()2g x h x a >，即()2f x a >.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．(1) 443y x =-+;(2)极大值点为1x =-，极小值点为3x =．【解析】试题分析：(1)求出函数()f x 的导数()223f x x x =--'，可得()14f '=-，()813f =-，根据导数的几何意义：切线的斜率()1k f ='，利用点斜式即可得出切线方程；(2)令()0f x '=，解出x ，在函数的定义域内列表，根据极值的定义进行判定极值即可. 试题（1）由()321313f x x x x =--+知()2'23f x x x =--， ()'14f ∴=-，所以函数在1x =处的切线的斜率为-4，又()813f =-，故切线方程为()8413y x +=--，即443y x =-+．（2）令()'0f x =得1x =-或3x =.当x 变化时， ()'f x ， ()f x 变化情况如下表：由表知， y f x =的极大值点为1x =-，极小值点为3x =．23．（1）x +y ﹣e ＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e ，+∞），单调递减区间为（1，e ）．【分析】（1）当a ＝0时，求函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得结果. （2）根据导数和极值和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】（1）∵a ＝0，∴f （x ）＝﹣xlnx +x ，f ′（x ）＝﹣lnx ，则直线的斜率k ＝f ′（e ）＝﹣lne ＝﹣1， f （e ）＝﹣elne +e ＝﹣e +e ＝0，故所求切线方程为x +y ﹣e ＝0．（2）函数的导数f ′（x ）＝（2ax ﹣1）lnx ﹣ax ﹣1+ax +1＝（2ax ﹣1）lnx ， ∵x ＝e 为函数f （x ）的极值点， ∴f ′（e ）＝2ae ﹣1＝0，解得a 12e=（经检验符合题意）则f ′（x ）＝（1x e -）lnx x e e-=lnx ，由f ′（x ）＝0得x ＝1或x ＝e ，列表得【点睛】本题主要考查函数切线的求解，以及函数极值和单调性与导数的关系，熟练掌握导数的几何意义和导数的综合应用是关键，属于中档题． 24．（1）()325242f x x x x =-++；（2）答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）求导()()222f x a x a x '=⋅-++.由已知得()'24f =，()2f b =，解得,a b 得到函数的解析式；（2）求导.令()0f x '=，12x a =，21x =，分21a <，21a，21>a，三种情况讨论，分析导函数的正负，得原函数的单调性. 【详解】解：（1）定义域{}x x R ∈，()()222f x a x a x '=⋅-++.所以()()242224f a a '=-++=，3a =.()2422f b =⨯-=，∴8254b b =-⨯++.4b =∴()325242f x x x x =-++；（2）定义域{}x x R ∈，()()222f x ax a x '=-++.令()0f x '=，12x a=，21x =， ①当21a<时，即2a >时， ()f x '在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞上大于0，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上小于0，∴()f x 在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1+∞上单调递增，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减； ②当21a即2a =时，()f x '在x ∈R 上恒大于等于零，∴()f x 在x ∈R 上单调递增； ③当21>a时，即02a <<时，()01f x x '>⇒<或2x a >.()101f x x a '<⇒<<∴()f x 在(),1x ∈-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上得：2a >时，()f x 在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1+∞上单调递增，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减；2a =时，()f x 在x ∈R 上单调递增；02a <<时，()f x 在(),1x ∈-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减.【点睛】本题考查运用导函数的解决曲线的切线问题，函数的单调性，属于中档题. 25．（1）()2,8Q --；（2）274．【分析】（1）利用导数求出函数()3f x x =在点()()1,1P f 处的切线方程，将此切线方程与函数()y f x =的解析式联立，可求出点Q 的坐标；（2）利用图象确定被积函数与被积区间，利用定积分可计算出由函数()y f x =的图象与切线l 围成的封闭图形面积. 【详解】（1）点()1,1P ，()23f x x '=，故()13f '=，所以切线l 的方程为()131y x -=-，即32y x =-.联立332y x y x ⎧=⎨=-⎩，得3320x x -+=，解得2x =-或1x =（舍去），所以点()2,8Q --．（2）由图，设函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积为S ，则()12342121327322424S x x dx x x x --⎛⎫=⎰-+=-+= ⎪⎝⎭，所以所求面积为274．【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用定积分计算封闭区域的面积，考查计算能力，属于中等题.26．（1）2490x e y e +-=；（2）1a e -；（3）1a . 【解析】【分析】（1）求导，把x e =代入导函数中，求出曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线的斜率，再求出()f e 的值，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式；（2）对函数进行求导，让导函数为零，求出零点，然后判断函数的单调性，最后求出()f x 的极值；（3）函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，即在区间(20,e ⎤⎦上，()1f x =有解，这就要求函数()f x 在(20,e ⎤⎦上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，结合（2）进行分类讨论，利用导数判断出函数的单调区间，求出函数的最大值，最后求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，所以'24ln 3ln ()()x x f x f x x x +--=⇒=，所以有'24()f e e -=，而5()f e e=，曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为： 2254()490y x e x e y e e e--=-⇒+-=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，ln ()a x f x x +=⇒ 21(ln )()x a f x x'-+=，令'()0f x =，得1a x e -=，当()10,ax e -∈时，'()0,()f x f x >是增函数；当()1,ax e -∈+∞时，'()0,()f x f x <是减函数，所以函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11aa f e e--=，所以()f x 的极值为1a e -；（3）①当12a e e -<时，即1a >-时，由（2）可知：当()10,ax e -∈时，函数()f x 单调递增，当()1,ax e e -∈时，函数()f x 单调递减，函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11a a f e e --=，所以()f x 的最大值为1a e -，又当a x e -=时，函数()f x 的值为零，故当(0,a x e -⎤∈⎦时，()0f x ≤，当(2,a x e e -⎤∈⎦时，(1()0,a f x e -⎤∈⎦，函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，等价于11a e-，解得1a ； ②当12a e e -时，即1a -时，由（2）可知函数()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，函数()f x 在(20,e⎤⎦上的最大值为()222a f e e +=，原问题等价于221a e+，解得22a e -，而1a -，所以无解，综上所述：实数a 的取值范围是1a .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数求曲线切线问题，考查了利用导数研究两个曲线有公共点问题，考查了分类讨论思想、转化思想，利用导数求出函数的单调区间，是解题的关键.。

(北师大版)上海市高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(有答案解析)

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x by e +=相切，则2a b的取值范围是（）A ．[),e +∞B ．2[,)e +∞C ．[2,)+∞D ．[4,)+∞3．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．函数()21cos 6f x x x =-的导函数()y f x '=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．5．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（）A ．3B ．0C ．2D ．46．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．227．已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线的斜率为（）A ．19-B ．29-C ．19D ．298．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．9．设点P 是曲线3335y x x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（）.A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（） A ．1B 2C ．2D ．411．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( ) A ．1B ．2C ．12D 3512．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（） A ．3B ．13C ．2D ．12二、填空题13．若函数()()ln 2f x x =+的图象在点()00,P x y 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数为______.14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.15．若曲线()4f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为______．16．直线l 是曲线32y x x =+-在点()0,2-处的切线，求直线l 的倾斜角__________． 17．函数f （x ）=ax 3+x+1在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行，则a=_____． 18．若以曲线()y f x =上任意一点(,)M x y 为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点11(,)N x y ，以点N 为切点作线1l ，且1//l l ，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为__________．（写出所有的满足条件的函数的编号） ①1y x=②3y x x =- ③cos y x = ④2(2)ln y x x =-+19．三棱锥A BCD -中，AB CD ==，2==AC BD ，AD BC ==体外接球的表面积为_______________.20．已知函数3()2f x x x =-，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知函数()()3123f x x ax a a R =-+∈． ()1当1a =时，求曲线()f x 在()()2,2f 处的切线方程；()2过点()2,0作()y f x =的切线，若所有切线的斜率之和为1，求实数a 的值．22．求下列函数的导数：（1）52234y x x =--；（2）3cos 4sin y x x =-；（3）2(23)y x =+ 23．已知函数2()2ln .f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在()2,(2)f 处的切线斜率为l ，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间. 24．已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点122A ⎛⎫⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程.25．已知函数3()f x x x=-．（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 26．已知函数3()16f x x x =+-（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值. 【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==，因此，50150a =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【分析】取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】x b y e +=，则'1x b y e +==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，将切点代入直线得到1b a =-+，()2211224b a b b b b +==++≥=，当1b =时等号成立.故选：D. 【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定1b a =-+是解题的关键.3．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.4．A解析：A 【分析】求导得到()1'sin 3f x x x =+，根据函数为奇函数排除B ，证明()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立，排除CD ，得到答案.【详解】()21cos 6f x x x =-，则()1'sin 3f x x x =+，()()1'sin '3f x x x f x -=--=-，导函数()'f x 为奇函数，排除B ；当()0,x π∈时，()1'sin 03f x x x =+>；当[),x π∈+∞时，()1'sin 1sin 03f x x x x =+>+≥，故()0,x ∈+∞时，()1'sin 03f x x x =+>恒成立，排除CD. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立是解题的关键. 5．A解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．6．C解析：C 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=．当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4．故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．7．B解析：B 【分析】先用换元法，求得22()1xf x x=+，再求导，进而求得曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率. 【详解】令11xt x -=+，则1,1tx t-=+ 所以.2221121()1111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭所以22()1xf x x =+所以()()22221()1x f x x -'=+，∴29f '=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查求函数解析式和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】因为()221x sinx f x x =+，()221x sinxf x x -=-+，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ；因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ；故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.9．B解析：B 【解析】【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ．【详解】因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2，故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．11．C解析：C 【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值. 【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.12．A解析：A 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =，代入②得013ln 1x +=，则01x =，3k =，故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.二、填空题13．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率和方程由两直线重合的条件解方程可得即可得到所求的个数【详解】解：函数的导数为可得点处的切线斜率为切线方程为函数的导数为设与相切的切点为可得切线斜率为切线方程为由题解析：2【分析】求得函数()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得0x ，即可得到所求P 的个数．【详解】解：函数()(2)f x ln x =+的导数为1()2f x x '=+，可得点0(P x ，0)y 处的切线斜率为012x +，切线方程为00001(2)22x y x ln x x x =++-++，函数()x g x e =的导数为()x g x e '=，设l 与()g x 相切的切点为(,)m n ，可得切线斜率为m e ，切线方程为m m m y e x e me =+-，由题意可得012m e x =+，000(2)2m m x ln x e me x +-=-+，可得0000011(2)022x x ln x x x ++-+=++，解得01x =-或2e -．则满足条件的P 的个数为2，故答案为：2．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可.【详解】∵()()()'2222x x xf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【分析】设求出的导数可得切线的斜率由两直线平行的条件：斜率相等解的方程可得进而得到切点的坐标【详解】的导数为设可得曲线在点处的切线斜率为由切线平行于直线可得解得即有【点睛】本题考查导数的运用：求切线解析：()1,0【分析】设(,)P m n ，求出()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解m 的方程可得m ，进而得到切点P 的坐标．【详解】4()f x x x =-的导数为3()41f x x '=-，设(,)P m n ，可得曲线在点P 处的切线斜率为341k m =-，由切线平行于直线30x y -=，可得3413m -=，解得1m =，4110n m m =-=-=．即有(1,0)P【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．16．（或）【分析】由题意首先利用导函数求得切线的斜率然后由斜率确定倾斜角即可【详解】曲线点在曲线上因为在曲线上点的切线方程的斜率为1由直线的斜率与直线倾斜角的关系可得：直线的倾斜角（或）【点睛】本题主要解析：4πα=（或45α=︒）【分析】由题意首先利用导函数求得切线的斜率，然后由斜率确定倾斜角即可.【详解】曲线32y x x =+-，点()0,2-在曲线上， 231y x '=+，因为0'|1x k y ===，∴在曲线上点()0,2-的切线方程的斜率为1，由直线的斜率与直线倾斜角的关系可得：tan 1k α==，∴直线l 的倾斜角4πα=（或45α=︒） . 【点睛】本题主要考查导数研究函数的切线方程，由直线的斜率确定倾斜角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．1【解析】【分析】由题意知f （x ）在x=1处的切线的斜率为4根据导数的几何意义即可求解【详解】因为f （x ）在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行所以f （x ）在x=1处的切线的斜率为4又所以解得故解析：1【解析】【分析】由题意知，f （x ）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解.【详解】因为f （x ）在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行，所以f （x ）在x=1处的切线的斜率为4又2()31f x ax '=+，所以(1)314f a ='+=，解得1a =，故填1.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.18．①③【解析】因为；因为不存在异于的点；因为总存在异于的点满足条件；因为不存在异于的点；所以选①③解析：①③【解析】因为122111y x x x x x =-=-∴=-'≠取；因为231,0y x x =-='时不存在异于M 的点N ；因为1sin sin y x x =-=-'∴总存在异于M 的点N 满足条件；因为212412(2)x x y x x x ='-+=-+，x =不存在异于M 的点N ；所以选①③ 19．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ=20．【解析】结合函数的解析式可得：对函数求导可得：故切线的斜率为则切线方程为：即圆：的圆心为则：解析：2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-，对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=，则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-. 三、解答题21．(I)93100x y --=；（Ⅱ）4.【解析】试题分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率根据点斜式可得切线的方程；（2）设出曲线过点P 切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，解方程方即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可的结果.试题（Ⅰ）当a ＝1时，()3123f x x x =-+，∴f'（x ）＝x 2－1， ∴k 切＝f'（2）＝4－1＝3．∵()823f =，所以切线方程为()8323y x -=-，整理得9x －3y －10＝0．（Ⅱ）设曲线的切点为（x 0，y 0），则3212'3k x ax a x a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭切，所以切线方程为()()202y x a x =--．又因为切点（x 0，y 0）既在曲线f （x ）上，又在切线上，所以联立得()()200030002,]123y x a x y x ax a ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩ 可得x 0＝0或x 0＝3，所以两切线的斜率之和为－a ＋（9－a ）＝9－2a ＝1，∴a ＝4．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求曲线切线，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-. 22．(1) 4106y x x '=-；(2) 3sin 4cos y x x =--'；(3) 812y x '=+【解析】试题分析：利用基本的导函数计算公式和导数的运算法则计算相应的导数值即可试题利用基本函数的导数运算法则求导可得：4106y x x '=- （2）3sin 4cos y x x =--' （3）812y x '=+点睛：求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．23．（1）3a=-（2）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）()22222a x a f x x x x='+=+，由f'（2）=1，能求出a ；（II ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．当a≥0时，f'（x ）＞0，f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）；当a ＜0时()()()2x a x a f x x +---'=．列表讨论，能求出函数f （x ）的单调递区间试题（1）2222'()2a x a f x x x x+=+= 由已知'(2)1f =，解得3a =-．（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．①当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；②当0a <时2()()'()x a x a f x x+---=．当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是)a -；单调递增区间是(,)a -+∞．考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性24．（1）172；（2）y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0. 【分析】（1）函数()31132f x x =+的导数为()f x '=x 2，曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1，写出切线的方程，分别令x =0，y =0，得到在x ，y 轴上的截距，再利用三角形面积公式求解.（2）易得A （2，12）不在图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），再由231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩求解.【详解】（1）因为函数()31132f x x =+，所以()f x '=x 2，所以()1=1f ' 所以曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1，则切线的方程为y 56-=x ﹣1，即为6x ﹣6y ﹣1=0，令x =0，可得y 16=-；y =0，可得x 16=. 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S 111126672=⨯⨯=；（2）由A （2，12）和()31132f x x =+，可得f （2）811322=+≠，即A 不在f （x ）的图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），则231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩，解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故切线的方程为y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 25．（1）734y x =-（2）见解析【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程，求出切线与直线0x =和直线y x =的交点，根据三角形面积公式，即可得出答案.【详解】（1）31(2)222f =-= 23()1f x x '=+，37(2)144f '∴=+= 则曲线()y f x =在2x =处的切线方程为17(2)24y x -=-，即734y x =- （2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程为231()y n x m m ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭即2331()y m x m m m ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得6y m =-令y x =，得2y x m ==从而切线与直线0x =的交点为60,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线与直线y x =的交点为(2,2)m m ∴点(,)P m n 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积16|2|62S m m=⋅-⋅=，为定值. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.26．(1) 418y x =- ；(2) 13y x =；切点坐标(2,26)--，【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．【详解】（1）可判定点(1,14)-在曲线()y f x =上∵2()31f x x '=+.∴()f x 在点(1,14)-处的切线的斜率为(1)4k f '==.∴切线的方程为144(1)y x +=-，即418y x =-.（2）设切点坐标为()00,x y ，则直线l 的斜率为()20031f x x '=+，300016y x x =+-，∴直线l 的方程为()()2300003116y x x x x x =+-++-.又∵直线l 过坐标点(0,0)，∴()()23000003116x x x x =+-++-，整理得，308x =-，∴02x =-，∴30(2)(2)1626y =-+--=-，得切点坐标(2,26)--， 23(2)113k =⨯-+=，∴直线l 的方程为13y x =.【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（） A ．4B ．92CD ．22．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B．C ．4D．3．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（） A ．1-B ．1C ．3D ．44．设a 为实数，函数()32(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（） A ．20x y +=B ．20x y -=C ．0x y -=D ．0x y +=5．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题： ①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-；④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（） A ．4 B ．3C ．2D ．16．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-7．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=8．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920209．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（） A ．-4B ．14-C ．14D ．410．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <11．曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e12．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题13．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________． 14．函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为______．15．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 16．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.17．对于曲线4()1xf x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线221()ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是____________.18．已知函数()()20,0f x ax bx a b =+>>的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2，则8a bab+的最小值为___________ 19．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则该几何体外接球的表面积为_______________.20．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+（t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点．（i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围． 22．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件. 24．求下列函数的导数：（1）()(1sin )(14)f x x x =+-；（2）()21x xf x x =-+. 25．已知函数（）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，试讨论的单调性．26．（1）求曲线1y x=在点()11--，处的切线方程；（2）求经过点（4，0）且与曲线1y x=相切的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论．【详解】 ∵ln |2|0a b c d a -+-+=，∴ln ab a =，2dc =+，设(,)P a b ，(,)Q cd ，则点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，设曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 21ln xy x -'=， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x=递减，max ln 1e y e e==，直线2y x =+在曲线ln xy x=上方，由021ln 1x x -=，即200ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．0ln101y ==，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+的距离为2h ==， ∴22()()a c b d -+-的最小值为292h =．故选：B ．【点睛】本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．2．C解析：C 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=．当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4．故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．3．C解析：C 【分析】设切点坐标为()0,1x ，求导得到44y x '=-，计算得到答案. 【详解】设切点坐标为()0,1x ，∵44y x '=-，由题意知，0440x -=，∴01x =，即切点为()1,1，∴124p =-+，∴3p =.故选：C . 【点睛】本题考查了根据切线求参数，意在考查学生的计算能力.4．C解析：C 【分析】求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程即可.【详解】由题, ()()2321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=.故()3f x x x =+,()231f x x ='+.又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-, 即0x y -=. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.5．B解析：B 【分析】作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，设112x =，21x =，()()121221ln ln1122ln 21112f x f x x x x --==>=--，显然①不正确；作出函数()ln f x x =的图象，取点()()11,C x f x ，点()()22,D x f x ，取线段CD 的中点B ，过B 作垂直于x 轴的直线交函数图象于A ，显然A B y y >，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即④成立.在弧CD 之间，必存在某点E ，使过该点的切线的斜率等于割线CD 的斜率，所以②对.对于③，1()f x x'=，()'f x 在()0,∞+上单调递减，(1)1f '=，表示过点()1,0的切线的斜率为1，若11x >，21>x ，则1()1f x '<，2()1f x '<，割线CD 的斜率小于1，所以③对. 故选：B.【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.7．C解析：C 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．8．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.【详解】由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.9．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=，∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．10．B解析：B 【分析】令()()xf xg x e=，x ∈R ．()()()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论．【详解】解：令()()xf xg x e =，x ∈R ． ()()()xf x f xg x e '-'=， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >．故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．D解析：D 【详解】因为曲线12xy e =，所以1212x y e '=切线过点（4，e 2）∴f′（x ）|x=4=12e 2， ∴切线方程为：y-e 2=12e 2（x-4），令y=0，得x=2，与x 轴的交点为：（2，0），令x=0，y=-e2，与y 轴的交点为：（0，-e2），∴曲线12x y e =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=12×2×|-e 2|=e 2. 故选D ．12．C解析：C 【分析】根据基本导数公式判断即可．【详解】()sin 'cos x x =，()3'3ln 3xx= ，()21log 'ln2x x =⋅，'211x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题二、填空题13．n2n+1【解析】【分析】利用导数的几何意义求a 然后通过数列{1f(n)}的通项公式利用裂项法进行求和即可求出Sn 【详解】由题意知f(x)=2ax 则k=f(1)=2a2a ⋅(-18)=-1故a=4f 解析：【解析】【分析】利用导数的几何意义求a ，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．【详解】由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题14．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：【解析】【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】因为函数在处的切线与直线垂直，所以函数在处的切线斜率，因为，所以，解得，故答案是0. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.15．【解析】【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率再根据点斜式求切线方程【详解】设是点P 附近的一点则当无限趋于0时无限趋于常数1∴曲线在点P 处有切线且切线的斜率为1故所求切线方程为【点睛】本题考查导解析：30x y --=【解析】【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程. 【详解】设()12,12Q x x ⎛⎫+∆ ⎪ ⎪-+∆⎝⎭是点P 附近的一点，则()()1112111PQ x x k xx x x+-+∆-∆===∆∆--∆+∆．当x ∆无限趋于0时，PQ k 无限趋于常数1，∴曲线11y x=-在点P 处有切线，且切线的斜率为1，故所求切线方程为30x y --=．【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.16．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案．对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，，又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-．若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（），则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，，又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..17．【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域进而将已知转化为两个值域存在包含关系进而可得答案详解：∵∴∵故∵∴g′′（x ）=2（lnx+1）当x ∈（0）时g′′（x ）＜0g′（x ）为减函数；当x ∈（解析：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域，进而将已知转化为两个值域存在包含关系，进而可得答案．详解：∵()41x f x e =+，∴()2441(1)2x x x xe f x e e e --==+'++∵11224x xx xe e e++≥+=,故()[)'10f x ∈﹣， ∵()221ln 2g x ax x x x =-+,∴()'2g x a xlnx =+， g′′（x ）=2（lnx+1），当x ∈（0，1e）时，g′′（x ）＜0，g′（x ）为减函数；当x ∈（1e，+∞）时，g′′（x ）＞0，g′（x ）为增函数；故当x=1e 时，g′（x ）取最小值a ﹣2e ，即g′（x ）∈[a ﹣2e，0）若对于曲线()41x f x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线l 1，总存在在曲线()221ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线l 2，使得l 1∥l 2，则[﹣1，0）⊆[a ﹣2e ，0）,即a ﹣2e≤﹣1．解得：a ∈2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，故答案为：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．18．9【解析】分析：求出原函数的导函数由=2a+b=2得a+=1把变形为+后整体乘以1展开后利用基本不等式求最小值详解：由f （x ）=ax2+bx 得=2ax+b 又f （x ）=ax2+bx （a ＞0b ＞0）在点解析：9 【解析】分析：求出原函数的导函数，由(1)f '=2a+b=2，得a+2b =1，把8a b ab +变形为8b +1a后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．详解：由f （x ）=ax 2+bx ，得()f x '=2ax+b ，又f （x ）=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）在点（1，f （1））处的切线斜率为2，所以(1)f '=2a+b=2，即a+2b=1．则8a b ab +=8b +1a =（8b +1a ）（a+2b ）=5+8a b +2ba≥9．当且仅当8a b =2ba ，即a=13，b=43时“=”成立．所以8a bab+的最小值是9．故答案为：9点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是8a b ab +=8b +1a =（8b +1a ）（a+2b），这里利用了常量代换的技巧，即把常量“1”用“a+2b”代替，这样后面就可以利用基本不等式求最值了.常量代换这个技巧要注意理解掌握并灵活运用.19．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ=20．【解析】由题意可得所以第4秒末的瞬时速度为填解析：32【解析】由题意可得t S t =+（）()1s t=+'所以第4秒末的瞬时速度为3(4)12s '==，填32。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测(含答案解析)(1)

一、选择题1．与曲线2y x 相切，且与直线210x y ++=垂直的直线的方程为（）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+2．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-3．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）x =在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（） A ．4B ．12C ．2e D ．e4．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+5．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<-B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<6．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A eB ．e2C ．e 2D ．e e7．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（）A B C D 8．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（）A B C D ．9．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <10．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（）A ．2B ．2C ．(42e - D ．(42e +11．直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b等于（） A ．14-B ．12-C ．14D ．1212．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．0x y += B ．1x = C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．设曲线31x y x +=-在点()2,5处的切线与直线10ax y +-=平行，则a =_________ 14．直线l 是曲线32y x x =+-在点()0,2-处的切线，求直线l 的倾斜角__________． 15．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是28y x =-+，则(3)(3)f f '+=__________．16．如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.17．已知直线2y x c =+与曲线()2e 1xf x x x =+++相切,则实数c 的值是_________.18．曲线ln(1)x y e x =++在(0,1)处的切线方程__________．19．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____． 20．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.三、解答题21．已知函数()24ln 23f x x x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()3g x f x ax m =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.22．已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点()4,0n -，且()()*02,f n n N '=∈.（1）求()f x 的解析式；设数列{}n a 满足()2nn a f n =-⋅'，求数列{}n a 的前n 项和.23．求下列函数的导数：（1）()(1sin )(14)f x x x =+-；（2）()21x xf x x =-+.24．已知()(),1nf x y ax by =++（常数,a b Z ∈，*n N ∈且2n ≥）. （1）若2a =-，0b =，2019n =，记()201901,i ii x y a x a f ==+∑，求：①20191ii a =∑；②20191ii ia =∑.（2）若(),f x y 展开式中不含x 的项的系数的绝对值之和为729，不含y 的项的系数的绝对值之和为64，求n 的所有可能值. 25．已知函数()()221f x ax a x lnx =+--.（1）当12a =时，求函数()f x 在1x =点处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性. 26．已知函数2yx x ．（1）求这个函数图像垂直于直线30x y +-=的切线方程；（2）求这个函数图像过点()1,4-的切线方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，根据两直线垂直可求得01x =，即可求得切线方程. 【详解】设切点为()00P x y ，，由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，又直线210x y ++=的斜率为12-，所以()01212x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，解得01x =，则2001y x ==，2k =，所以所求直线的方程为()121y x -=-，即21y x =-.故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.3．C解析：C 【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，，设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--，[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．5．B解析：B 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】解：由函数图象可知，函数单调递增，但函数的增长速度越来越缓慢，由导数的几何意义可知，()3f '表示函数在3x =处的切线l 的斜率；()4f '表示函数在4x =处的切线m 的斜率；()()()()434343f f f f --=-表示函数图象上()()3,3f 与()()4,4f 两点连线n 的斜率，由图可知l n m k k k >>，故(4)(4)(3)(3)f f f f ''<-< 故选：B【点睛】本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于基础题．6．B解析：B【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解. 【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-. 设21y x =-与函数()ex g x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.7．D解析：D 【分析】由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】解:令2sin 0x ππ-=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由23ln 2y x x =-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，即当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，由点到直线的距离公式可得：min ||PQ=故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.8．A解析：A 【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-，曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：31032f a e ππ'⎛⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =. 故选A . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【分析】令()()xf xg x e=，x ∈R ．()()()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论．【详解】解：令()()x f x g x e=，x ∈R ． ()()()xf x f xg x e '-'=， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min2. 故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．11．A解析：A 【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24代入直线方程解得：14b =- 故选A 【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案.12．D解析：D由题可得11'()1x f x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．4【分析】求出原函数的导函数得到函数在x=2时的导数再由两直线平行与斜率的关系求得a 值【详解】由得：又曲线在点处的切线与直线平行即故填4【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程考查两直线解析：4 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x =2时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】由31x y x +=-得：22134(1)(1)x x y x x ---'==---24x y =∴=-'又曲线31x y x +=-在点()2,5处的切线与直线10ax y +-=平行 4a ∴-=-，即4a =.故填4. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，属于中档题.14．（或）【分析】由题意首先利用导函数求得切线的斜率然后由斜率确定倾斜角即可【详解】曲线点在曲线上因为在曲线上点的切线方程的斜率为1由直线的斜率与直线倾斜角的关系可得：直线的倾斜角（或）【点睛】本题主要解析：4πα=（或45α=︒）【分析】由题意首先利用导函数求得切线的斜率，然后由斜率确定倾斜角即可. 【详解】曲线32y x x =+-，点()0,2-在曲线上，231y x '=+，因为0'|1x k y ===，∴在曲线上点()0,2-的切线方程的斜率为1，由直线的斜率与直线倾斜角的关系可得：tan 1k α==，∴直线l 的倾斜角4πα=（或45α=︒） . 【点睛】本题主要考查导数研究函数的切线方程，由直线的斜率确定倾斜角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】分析：根据导数几何意义得再根据函数值得代入即得结果详解：由题意可知故点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：0【解析】分析：根据导数几何意义得(3)2f '=-，再根据函数值得(3)2382f =-⨯+=，代入即得结果.详解：由题意可知(3)2382f =-⨯+=，(3)2f '=-，故(3)(3)0f f '+=．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.16．-2011【解析】分析：由题意函数的图象在点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值以内可求得再根据切点的双重性即切点既在曲线上又在切线上可求得的值即可求解答案详解：根据函数的图象可知函数的图象在点处解析：-2011【解析】分析：由题意，函数()y f x =的图象在点P 处的切线的斜率就是函数P 在该点处的导数值，以内可求得(2018)f '，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得(2018)f 的值，即可求解答案.详解：根据函数的图象可知，函数()y f x =的图象在点P 处的切线切于点P ，所以(2018)201882010f =-+=-，又由切线的方程为8y x =-+，所以(2018)f '为函数()y f x =的图象在点P 处的切线的斜率，所以(2018)1f '=-，所以(2018)(2018)201012011f f +=--=-'.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.17．2【解析】设切点坐标为∵∴又∵直线与曲线相切∴解得∴将切点代入到直线可得故答案为2点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的解析：2【解析】设切点坐标为()00,x y ，∵()21x f x e x x =+++，∴()21xf x e x ='++，又∵直线2y x c =+与曲线相切，∴()000212x f x e x =++='，解得00x =，∴02y =，将切点代入到直线可得2c =，故答案为2.点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的重要性，主要利用：1、切点处的导数即为斜率；2、切点坐标满足曲线方程；3、切点坐标满足切线方程.18．【解析】则曲线在处切线方程的斜率曲线在处的切线方程为即答案为解析：21y x =+【解析】11x y e x =++' ，则曲线()ln 1x y e x =++在()0,1处切线方程的斜率012,01k e =+=+ 曲线()ln 1x y e x =++在()0,1处的切线方程为()120y x -=-。

(北师大版)上海市高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(答案解析)

一、选择题1．若直线y =kx +b (k 1>)是曲线y =lnx +2-e 的切线，也是y =1x e -的切线，则bk=（） A ．-1B ．-2C ．-eD ．-122．已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x by e +=相切，则2a b的取值范围是（）A ．[),e +∞B ．2[,)e +∞C ．[2,)+∞D ．[4,)+∞3．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（） A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x -y +1=0D ．x +y -1=04．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（）A ．3B ．0C ．2D ．45．设a 为实数，函数()32(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（） A ．20x y +=B ．20x y -=C ．0x y -=D ．0x y +=6．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<-B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<8．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（） A ．2B ．－1C ．1D ．－29．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为()A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．110．已知函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，若数列{1()f n }的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( ) A ．20102011B ．20112012C ．20122013D ．2013201411．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（） A ．2eB ．eC ．1ln 22D ．2ln 2二、填空题13．曲线232ln y x x x =-+的切线中，斜率最小的切线方程为__________.14．已知函数()3221y f x x x x ==-++，过点()()1,1A f 作()y f x =的切线l ，则直线l 的方程为__________________.15．在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________.16．若函数()()ln 2f x x =+的图象在点()00,P x y 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数为______.17．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________. 18．曲线332y x x =-+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是______19．曲线12x y x e =++在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 20．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___．三、解答题21．已知曲线382y x x =-+ （1）求曲线在点0x =处的切线方程；（2）过原点作曲线的切线:l y kx =，求切线方程. 22．已知函数图象上一点，且在点处的切线与直线平行． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值；(3)关于的方程在区间上恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．23．已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线斜率为.(1) 求实数的值； (2) 求函数在区间上的最小值；(3) 若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围.24．已知函数()()221f x 2ax x lnx ax x =--+. （a ∈R ）．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（e ，f （e ）处的切线方程（e ＝2.718…）（2）已知x ＝e 为函数f （x ）的极值点，求函数f （x ）的单调区间．25．设函数()3f x x =的图象上一点()()1,1P f 处的切线l 与()3f x x =的图象的另一交点为Q ．（1）确定点Q 的坐标；（2）求函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积． 26．已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-，与1x y e -=的切点为()212,x x e -，分别求出切线方程，由切线相同列出关于1x ，2x 的方程组，解出方程即可得出切线方程进而得结果. 【详解】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-，与1x y e-=的切点为()212,x x e-，由ln 2y x e =+-的导数为1y x'=，1x y e -=的导数为1x y e -'=，可得2111x k e x -==， ∴切线分别为()1111ln 2y x e x x x --+=-和()22112x x y e e x x ---=-，即111ln 1y x x e x =++-和()221121x x y e x e x --=+- 由于两切线相同，∴()221111211ln 11x x e x x e e x --⎧=>⎪⎨⎪+-=-⎩，解得1212x e x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则切线为y ex e =-，∴k e =，b e =-，则1bk=-，故选：A. 【点睛】本题主要考查求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.2．D解析：D 【分析】取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】x b y e +=，则'1x b y e +==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，将切点代入直线得到1b a =-+，()2211224b a b b b b +==++≥=，当1b =时等号成立.故选：D. 【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定1b a =-+是解题的关键.3．C解析：C 【分析】求出()'fx ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.【详解】()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-， ()'12111f ∴=⨯-=.∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.4．A解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5．C解析：C 【分析】求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程即可.【详解】由题, ()()2321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=.故()3f x x x =+,()231f x x ='+.又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-, 即0x y -=. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】因为()221x sinx f x x =+，()221x sinxf x x -=-+，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ；因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinxf x x++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦'故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ；故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.7．B解析：B 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】解：由函数图象可知，函数单调递增，但函数的增长速度越来越缓慢，由导数的几何意义可知，()3f '表示函数在3x =处的切线l 的斜率；()4f '表示函数在4x =处的切线m 的斜率；()()()()434343f f f f --=-表示函数图象上()()3,3f 与()()4,4f 两点连线n 的斜率，由图可知l n m k k k >>，故(4)(4)(3)(3)f f f f ''<-< 故选：B【点睛】本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于基础题．8．A解析：A 【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．B解析：B 【解析】由题意，求出y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程，取0y =，求得n x ，再利用对数的运算性质可得答案. 【详解】由y ＝x n ＋1，可得(1)n y n x =+'，即11x y n ='=+即曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+- 令0y =，得1n n x n =+ log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013=20141220132014122013log ()log ()1232014x x x =⋅=- 故选B 【点睛】本题考查了曲线的切线方程和对数的运算，细心计算是解题的关键，属于中档题.10．D解析：D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求b ，然后通过数列{()1f n }的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S 2013的值．【详解】∵f(x)=x 2-ax ，∴f′(x)=2x -a ，根据导数的几何意义， ∴y=f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a ，∵函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直， ∴()1213a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，∴a=-1，∴f(x)=x 2+x ，∴f(n)=n 2+n=n(n+1)，∴()()111111f n n n n n ==-++ , ∴20131111112013112232013201420142014S =-+-++-=-=. 故选D ．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．考查学生的综合能力．属于中档题．11．C解析：C 【分析】根据基本导数公式判断即可．()sin 'cos x x =，()3'3ln 3xx= ，()21log 'ln2x x =⋅，'211x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题12．B解析：B 【解析】()()00ln 1,ln 12f x x f x x ''=+=+=,解得0x e =,故选B. 二、填空题13．【分析】求出导函数由基本不等式求得最小值得最小的切线斜率及切点坐标然后可得切线方程【详解】由题意当且仅当且即时等号成立又时即斜率为1切点为切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查用基解析：30x y --=【分析】求出导函数，由基本不等式求得最小值，得最小的切线斜率，及切点坐标，然后可得切线方程．【详解】由题意22232331y x x x x '=-+=+-≥=，当且仅当22x x =且0x >，即1x =时等号成立，又1x =时，2y =-，即斜率为1，切点为(1,2)-，切线方程为21y x +=-，即30x y --=．故答案为：30x y --=．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用基本不等式求最值，属于中档题．14．或【分析】求出设切点为利用导数的几何意义得出解出最后由点斜式写出切线方程【详解】设切点为由得则整理得解得或则或所以直线的方程为或即或故答案为：或【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用属于中档题解析：450x y +-=或1y = 【分析】求出()1f ，设切点为()320000,21x x x x -++,利用导数的几何意义得出3200025410x x x -+-=，解出0x ，最后由点斜式写出切线方程.【详解】()321121111f =-⨯++=设切点为()320000,21x x x x -++，由()2341f x x x '=-+得()2000341f x x x '=-+则3220000002113411x x x x x x -++-=-+- 整理得()23200000125410102x x x x x ⎛⎫-+-=⇒--= ⎪⎝⎭，解得012x =或01x = 则()014fx '=-或()00f x '= 所以直线l 的方程为11(1)4y x -=--或1y =，即450x y +-=或1y = 故答案为：450x y +-=或1y = 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.15．【分析】求出原函数的导函数可得导函数的最小值求出使导函数取最小值的值即可得出结果【详解】解：由题意得当且仅当时取等号故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率考查基本不等式求最值是中解析：4【分析】求出原函数的导函数，可得导函数的最小值，求出使导函数取最小值的x 值，即可得出结果. 【详解】解：由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率，考查基本不等式求最值，是中档题.16．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率和方程由两直线重合的条件解方程可得即可得到所求的个数【详解】解：函数的导数为可得点处的切线斜率为切线方程为函数的导数为设与相切的切点为可得切线斜率为切线方程为由题解析：2【分析】求得函数()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得0x ，即可得到所求P 的个数．【详解】解：函数()(2)f x ln x =+的导数为1()2f x x '=+，可得点0(P x ，0)y 处的切线斜率为012x +，切线方程为00001(2)22x y x ln x x x =++-++，函数()x g x e =的导数为()x g x e '=，设l 与()g x 相切的切点为(,)m n ，可得切线斜率为m e ，切线方程为m m m y e x e me =+-，由题意可得012m e x =+，000(2)2m m x ln x e me x +-=-+，可得0000011(2)022x x ln x x x ++-+=++，解得01x =-或2e -．则满足条件的P 的个数为2，故答案为：2．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．17．-1【分析】根据题意直线与曲线相切于点利用导数的几何意义可求【详解】由题意可知直线恒过且与曲线相切于点；如图由得所以即【点睛】本题主要考查导数的几何意义切线的斜率为切点处的导数值侧重考查逻辑推理的核解析：-1 【分析】根据题意直线()()20y m x m =+>与曲线相切于点D ，利用导数的几何意义可求. 【详解】由题意可知，直线恒过()2,0-，且与曲线相切于点D ；如图，由cos y x =-得sin y x '=，4sin m x =，44cos (2)x m x -=+，所以444cos sin (2)x x x -=+，即()442tan 1x x +=-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切线的斜率为切点处的导数值，侧重考查逻辑推理的核心素养.18．【解析】【分析】求得函数的导数得到进而得出在点处切线的斜率再利用斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】由题意函数则即曲线上的任意一点处切线的斜率设直线的倾斜角为即又因为所以即曲线上的任意一点处切线的倾斜解析：2[0,)(,)23πππ 【解析】【分析】求得函数的导数，得到23y x =≥'P 处切线的斜率k ≥再利用斜率与倾斜角的关系，即可求解．【详解】由题意，函数32y x =+，则23y x =≥'，即曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的斜率k ≥设直线的倾斜角为α，即tan α≥ 又因为[0,)απ∈，所以2[0,)(,)23ππαπ∈，即曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是2[0,)(,)23πππ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，再利用直线的斜率与倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19．【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率得切线方程再求三角形面积【详解】因为所以与与两坐标轴交点为因此围成的三角形面积为【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程考查基本分析与运算能力属基础题解析：32【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率，得切线方程，再求三角形面积. 【详解】因为12x y e '=+，所以03,320)3313(y k x y x e =-=-∴=++=，与与两坐标轴交点为(1,0),(0,3)-，因此围成的三角形面积为1313.22⨯⨯= 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程，考查基本分析与运算能力，属基础题.20．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析：14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124f '=-，然后把x=1代入即可. 【详解】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+， ∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为 14【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题.三、解答题21．（1）82y x =-+；（2）5y x =-. 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导函数，再求出函数在x=0处的导数即斜率，易求切线方程．（2）设切点为（x 0，y 0），则直线l 的斜率为f'（x 0）=3x 02-8，从而求得直线l 的方程，由条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．试题(1)∵f′(x)=(x 3−8x+2)′=3x 2−8，∴在点x=0处的切线的斜率k=f′(0)=−8,且f(0)=2， ∴切线的方程为y=−8x+2.(2)设切点为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f′(x 0)=3x 20−8， ∴直线l 的方程为y=(3x 20−8)(x−x 0)+x 30−8x 0+2. 又∵直线l 过点(0,0),∴0=(3x 20−8)(−x 0)+x 30−8x 0+2，整理,得x 30=1,∴x 0=1,直线l 的斜率k=3×(1)2−8=−5， ∴直线l 的方程为y=−5x. 22．（1）（2）答案见解析（3）【解析】试题分析：（1）由及曲线在处的切线斜率为，即可求得，又函数过点，即可求的.（2）由（1）易知，令可得或，然后对进行分类讨论，确定函数在的单调性，即可求出函数在上的最大值和最小值；（3）构造函数，研究函数的单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围.试题(1)因为，曲线在处的切线斜率为，即，所以.又函数过点，即，所以.所以.(2)由，.由，得或.①当时，在区间上，在上是减函数，所以，.②当时，当变化时，、的变化情况见下表：020－0＋＋2－2，为与中较大的一个．.所以.(3)令，．在上，；在上，.要使在上恰有两个相异的实根，则解得．考点：利用导数求函数的最值；利用导数求参数的范围.23．（1）；（2）；（Ⅲ）点的横坐标的取值范围为．【解析】试题分析：（1）根据图像过原点得，又切线斜率等于切点处导数值，得，解出；（2）时，对求导以判断函数的单调性，得，令则，令则或，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，为极小值点，，为极大值点，，，比较极小值与区间端点处函数值，，得在上的最小值为0，当或1时取得；（3）设，利用横坐标的对称关系得出，由得，于是①，然后对以为分界点分类讨论方程①是否存在解，当时，都有，故方程①无解；当时，，代入①化简得，该方程判别式小于0，故方程无解；当时，代人①化简得，再考虑此方程是否有解，令，求导分析知是增函数，注意到，故的值域是，因此方程①对任意正实数恒有解；当时，由横坐标的对称性同理可得，方程①对任意正实数恒有解，综上可得点的横坐标的取值范围.试题（1）当时，，，依题意，，又，故；...............3分（2）当时，，令有，故在单调递减；在单调递增；在单调递减．又,所以当时，； 6分（3）设，因为中点在轴上，所以，又①，（ⅰ）当时，，当时，．故①不成立 7分（ⅱ）当时，代人①得：，无解； 8分（ⅲ）当时，代人①得：②，设，则是增函数.的值域是． 10分所以对于任意给定的正实数，②恒有解，故满足条件．（ⅳ）由横坐标的对称性同理可得，当时，，代人①得：③设，令，则由上面知的值域是的值域为.所以对于任意给定的正实数，③恒有解，故满足条件. 12分综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为..........14分考点：1、导数与切线关系；2、函数单调性与最值；3、分类讨论的思想；4、函数与方程的思想.24．（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）．【分析】（1）当a＝0时，求函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得结果.（2）根据导数和极值和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】（1）∵a＝0，∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx，则直线的斜率k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1，f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0，故所求切线方程为x+y﹣e＝0．（2）函数的导数f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx，∵x＝e为函数f（x）的极值点，∴f′（e）＝2ae﹣1＝0，解得a1（经检验符合题意）2e则f ′（x ）＝（1x e -）lnx x e e-=lnx ，由f ′（x ）＝0得x ＝1或x ＝e ，列表得【点睛】本题主要考查函数切线的求解，以及函数极值和单调性与导数的关系，熟练掌握导数的几何意义和导数的综合应用是关键，属于中档题． 25．（1）()2,8Q --；（2）274．【分析】（1）利用导数求出函数()3f x x =在点()()1,1P f 处的切线方程，将此切线方程与函数()y f x =的解析式联立，可求出点Q 的坐标；（2）利用图象确定被积函数与被积区间，利用定积分可计算出由函数()y f x =的图象与切线l 围成的封闭图形面积. 【详解】（1）点()1,1P ，()23f x x '=，故()13f '=，所以切线l 的方程为()131y x -=-，即32y x =-.联立332y x y x ⎧=⎨=-⎩，得3320x x -+=，解得2x =-或1x =（舍去），所以点()2,8Q --．（2）由图，设函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积为S ，则()12342121327322424S x x dx x x x --⎛⎫=⎰-+=-+= ⎪⎝⎭，所以所求面积为274．【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用定积分计算封闭区域的面积，考查计算能力，属于中等题.26．（Ⅰ）0x y -=和2727640x y --=. （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a=-.【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；(Ⅱ)由题意分别证得()()60f x x --≥和()0f x x -≤即可证得题中的结论； (Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a 的值. 【详解】（Ⅰ）23()214f x x x '=-+，令23()2114f x x x '=-+=得0x =或者83x =. 当0x =时，(0)0f =，此时切线方程为y x =，即0x y -=；当83x =时，88()327f =，此时切线方程为6427y x =-，即2727640x y --=；综上可得所求切线方程为0x y -=和2727640x y --=. （Ⅱ）设321()()4g x f x x x x =-=-，23()24g x x x '=-，令23()204g x x x '=-=得0x =或者83x =，所以当[2,0]x ∈-时，()0g x '≥，()g x 为增函数；当8(0,)3x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数；当8[,4]3x ∈时，()0g x '≥，()g x 为增函数；而(0)(4)0g g ==，所以()0g x ≤，即()f x x ≤；同理令321()()664h x f x x x x =-+=-+，可求其最小值为(2)0h -=，所以()0h x ≥，即()6f x x ≥-，综上可得6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知6()0f x x -≤-≤，所以()M a 是,6a a +中的较大者，若6a a ≥+，即3a ≤-时，()3M a a a ==-≥；若6a a <+，即3a >-时，()663M a a a =+=+>；所以当()M a 最小时，()3M a =，此时3a =-.【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(答案解析)(1)

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（） A ．4B ．92C ．322D ．23．函数()2221sin cos 622x xf x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．4．已知函数()2018sin xf x x ex -=++，令()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，，()()1n n f x f x +'=，则()2019f x =（） A ．sin x x e --+B ．sin x x e --C ．cos x x e ---D ．cos x x e --+5．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<-B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<6．221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（） A ．0B ．1C ．12D ．不存在 7．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=8．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+9．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能10．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（） A ．3B ．13C ．2D ．1211．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <12．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-二、填空题13．已知函数()2sin cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线(0)y ax a =>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，3x ，则()123123tan x x x x x x +-=+-________．14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k的取值范围是______．15．已知抛物线1C ：224y x x =+和2C ：22y x m =-+有且仅有一条公切线（同时与1C 和2C 相切的直线称为1C 和2C 的公切线），则m =______. 16．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 17．设曲线3()f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ______．18．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.19．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf ，则(3)f '=_______．三、解答题21．已知a R ∈，函数()()(x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f1，求a 的值；（2）设()x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立；（3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立. 22．已知函数2()ln f x ax x =-(a 为正实数)．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[1,e]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围． 23．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件.24．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数()ln f x x x =-的图象在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，且1212x x =，则12x x +=（）A ．2B ．3C ．4D ．62．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A ．12e-B ．2e -C ．2e --D ．12e--3．设点P 是曲线()23xf x e =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ) A．65B C D ．65．若点P 在曲线32y x x =-+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（） A ．02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3024πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，C ．34，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30224πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 6．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（）A ．220x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y +-=D ．440x y +-=7．221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（） A ．0 B ．1C ．12D ．不存在8．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-9．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（） ①()x x f x e =，②()f x x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．110．已知函数32(),3x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数的图象均相切，则m =（）A ．233-或13- B ．3-或7- C ．73-或7- D ．73-或13- 11．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（）A ．22B ．322C ．(41)22e - D ．(41)22e + 12．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题13．设曲线31x y x +=-在点()2,5处的切线与直线10ax y +-=平行，则a =_________ 14．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．15．曲线 2xy x =+ 在点 ()1,1-- 处的切线方程为________________． 16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.17．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是28y x =-+，则(3)(3)f f '+=__________．18．如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.19．已知直线2y x c =+与曲线()2e 1xf x x x =+++相切,则实数c 的值是_________.20．设()0sin f x x =，()()10'f x f x =，()()21'f x f x =，…，()()1'n n f x f x +=，n N ∈，则()20170f = __________三、解答题21．已知曲线 5y x = （1）求曲线在()1,5的切线方程；（2）求过点 ()0,5P 且与曲线相切的切线方程．22．设函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 满足f'（0）=4，f'（-2）=0．（1）求a ，b 的值及曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数f （x ）有三个不同的零点，求c 的取值范围． 23．（1）函数()(1sin )f x x x =+的导数为()'f x ，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭；（2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．24．已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程. 25．已知a 是实数，函数()()2f x xx a =-.（1）若()13f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）求()f x 在区间[]0,2上的最大值.26．求下列函数的导函数. （1）()521y x =+ （2）1log 32ay x =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】求得()11f x x'=-，由()()121f x f x ''⋅=-结合条件1212x x =可求得12x x +的值.【详解】()ln f x x x =-，()111x f x x x-'∴=-=，由题意可得()()()()121212111x x f x f x x x --'⋅==-'，化简得()1212210x x x x +-+=，1212x x =，122x x ∴+=. 故选：A,【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查利用导数求解函数的切线斜率，考查计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【分析】求导得到()()'121f x f x'=-，取1x =得到()11f '=，代入数据计算得到答案. 【详解】()()21ln f x xf x '=-，则()()'121f x f x'=-，取1x =，则()()11211f f ''=-，则()11f '=，故()12f x x '=-，12f e e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了求导函数值，计算()'11f =是解题的关键.3．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】由()23xf x e =+，所以()'=xf x e又P 是曲线()23xf x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 .4．C解析：C 【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，01x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min ||PQ == 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.5．B解析：B 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义，结合二次函数的性质和正切函数的图象和性质即可得到结论．【详解】解：32y x x =-+的导数为231y x '=-，设(,)P m n ，可得P 处切线的斜率为231k m =-，则1k-，由tan k α=，(0απ<且)2πα≠即为tan 1α-，由正切函数的性质可得02πα≤<或34παπ≤< 可得过P 点的切线的倾斜角的取值范围是30,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，. 故选：B ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及二次函数的性质和正切函数的图象和性质，考查运算能力，综合性较强．6．A解析：A 【分析】求导得到()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，代入数据计算斜率得到答案. 【详解】()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，故切线斜率12x k y ='==- 故所求切线方程为2(1)y x =--，即220x y +-= 故选：A . 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.7．A解析：A 【分析】化简得到221lim 221n n n n →∞+-+，利用极限公式得到答案. 【详解】22222112(1)121lim limlim 0112221(1)12n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+-++===-+-+-+ 故选：A 【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.8．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数； ②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数．故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.10．D解析：D 【分析】先根据直线和()245g x x x =-+的图像相切，求出a=-4,再根据直线和()323x f x x x m =+-+相切求出切点P (1,2)-或(3,10)--.把点P (1,2)-和(3,10)--代入曲线方程即得m 的值. 【详解】联立2y x a =+与2()45g x x x =-+得2650,x x a -+-=364(5)0,a 4a ∴∆=--=∴=-,所以直线方程为y=2x-4,由题得2()21,f x x x '=+-设切点P 坐标为00,)x y （，所以20000()21=21f x x x x '=+-∴=，或-3,所以切点P (1,2)-或(3,10)--.把点P (1,2)-和(3,10)--代入()323xf x x x m =+-+得m=73-或13-.故选D 【点睛】本题主要考查直线和曲线相切，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．12．C解析：C 【分析】根据基本导数公式判断即可．【详解】()sin 'cos x x =，()3'3ln 3xx= ，()21log 'ln2x x =⋅，'211x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题二、填空题13．4【分析】求出原函数的导函数得到函数在x=2时的导数再由两直线平行与斜率的关系求得a 值【详解】由得：又曲线在点处的切线与直线平行即故填4【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程考查两直线解析：4【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】由31xyx+=-得：22134(1)(1)x xyx x---'==---24xy=∴=-'又曲线31xyx+=-在点()2,5处的切线与直线10ax y+-=平行4a∴-=-，即4a=.故填4.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，属于中档题.14．n2n+1【解析】【分析】利用导数的几何意义求a然后通过数列{1f(n)}的通项公式利用裂项法进行求和即可求出Sn【详解】由题意知f(x)=2ax则k=f(1)=2a2a⋅(-18)=-1故a=4f解析：【解析】【分析】利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．【详解】由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题15．【分析】求函数导数利用导数的几何意义即可得到结论【详解】函数的导数为则函数在点处的切线斜率则函数在点处的切线方程为即故答案为：【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法意在考查学生对这解析：21y x =+【分析】求函数导数，利用导数的几何意义即可得到结论．【详解】函数2xy x =+的导数为22()(2)f x x ='+，则函数在点()1,1--处的切线斜率(1)2k f '=-=，则函数在点()1,1--处的切线方程为()121y x +=+，即21y x =+.故答案为：21y x =+. 【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-.16．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-，即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可17．【解析】分析：根据导数几何意义得再根据函数值得代入即得结果详解：由题意可知故点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：0【解析】分析：根据导数几何意义得(3)2f '=-，再根据函数值得(3)2382f =-⨯+=，代入即得结果.详解：由题意可知(3)2382f =-⨯+=，(3)2f '=-，故(3)(3)0f f '+=．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.18．-2011【解析】分析：由题意函数的图象在点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值以内可求得再根据切点的双重性即切点既在曲线上又在切线上可求得的值即可求解答案详解：根据函数的图象可知函数的图象在点处解析：-2011 【解析】分析：由题意，函数()y f x =的图象在点P 处的切线的斜率就是函数P 在该点处的导数值，以内可求得(2018)f '，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得(2018)f 的值，即可求解答案.详解：根据函数的图象可知，函数()y f x =的图象在点P 处的切线切于点P ，所以(2018)201882010f =-+=-，又由切线的方程为8y x =-+，所以(2018)f '为函数()y f x =的图象在点P 处的切线的斜率，所以(2018)1f '=-，所以(2018)(2018)201012011f f +=--=-'.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．2【解析】设切点坐标为∵∴又∵直线与曲线相切∴解得∴将切点代入到直线可得故答案为2点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的解析：2 【解析】设切点坐标为()00,x y ，∵()21xf x e x x =+++，∴()21xf x e x ='++，又∵直线2y x c =+与曲线相切，∴()000212x f x e x =++='，解得00x =，∴02y =，将切点代入到直线可得2c =，故答案为2.点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的重要性，主要利用：1、切点处的导数即为斜率；2、切点坐标满足曲线方程；3、切点坐标满足切线方程.20．1【解析】由题意由此可知在逐次求导的过程中所得的函数呈周期性变化从开始计周期是4∵是一周中的第三个函数∴∴故答案为1点睛：本题考查函数的周期性探究过程中用的是归纳推理对其前几项进行研究得出规律求解本解析：1 【解析】由题意()0sin f x x =，()()10cos f x f x x '==，()()21sin f x f x x ='=-，()()32cos f x f x x ='=-，()()43sin f x f x x ='=，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵201745041=⨯+，()2010f x 是一周中的第三个函数，∴()2017cos f x x =，∴()20170cos01f ==，故答案为1.点睛：本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．本题易因为判断不准()2010f x 一周期中的第几个数而导致错误，要谨慎.三、解答题21．（1）5250x y -+=．（2）54200x y -+=．【解析】试题分析：（1）求出5y x =的导函数，将x 1=代入导函数可得切线斜率为52k =，结合切点坐标()1,5，利用点斜式可得结果；（2）因为点 ()0,5P 不在曲线 5y x = 上，可设切点坐标为 (),M t u ，根据（1）的方法求得切线斜率为52t，利用斜率公式可得切线斜率为 5u t -，所以 55552u t t t t--==，解方程求出4t =，利用点斜式可得结果. 试题（1）切点坐标为，则由 5y x =得 0052x x y x ==所以 52k =．所求切线方程为 ()5512y x -=- 即 5250x y -+=．（2）因为点 ()0,5P 不在曲线y =上，需设切点坐标为 (),M t u ，则切线斜率为．又因为切线斜率为5u t-，所以5u t -==．所以2t t -=，得 4t =．所以切点坐标为 ()4,10M ，斜率为 54．所以切线方程为 ()51044y x -=-．即 54200x y -+=．【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及切线方程，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再利用等差数列求通项的.22．（1）a=b=4，y=4x+c ；（2）（0，3227）. 【解析】试题分析：（1）求出f （x ）的导数，由f'（0）=4，f'（-2）=0求得a ，b 的值，再求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f （x ）=0，可得-c=x 3+4x 2+4x ，由g （x ）=x 3+4x 2+4x ，求得导数，单调区间和极值，由-c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．试题(1)函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的导数为f ′(x )=3x 2+2ax +b ，根据题意得：()()0421240f b f a b ⎧==⎪⎨-=-+=''⎪⎩，解得4,4a b ==.可得y =f (x )在点(0,f (0))处的切线斜率为k =f ′(0)=b=4，切点为(0,c )，可得切线的方程为y =4x +c ； (2)由（1）f (x )=x 3+4x 2+4x +c ，由f (x )=0,可得−c = x 3+4x 2+4x ，由g (x )= x 3+4x 2+4x 的导数g ′(x )=3x 2+8x +4=(x +2)(3x +2) 当23x >-或x <−2时,g ′(x )>0,g (x )递增；当−2<x <−23时,g ′(x )<0,g (x )递减. 即有g (x )在x =−2处取得极大值，且为0； g (x )在x =−23处取得极小值,且为−3227，由函数f (x )有三个不同零点,可得−3227<−c <0，解得0<c <3227，则c 的取值范围是(0,32 27). 23．（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）求出()cos 1sin f x x x x '=++，即得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值；（2）设切点为001,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先求出切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--，再求出l 与坐标轴所围成的三角形的面积2S =，即得证. 【详解】（1）()(1sin )f x x x =+，则()[(1sin )](1sin )(1sin )cos 1sin f x x x x x x x x x x ''''=+=+++=++，所以cos 1sin 22222f ππππ'⎛⎫=++=⎪⎝⎭；（2）设切点为001,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵1y x =，21y x '∴=-，∴切线l 的斜率201k x =-， ∴切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--，令0x =，得02y x =，令0y =，得02x x =，所以l 与坐标轴所围成的三角形的面积0012222S x x =⋅⋅=，因此l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．【点睛】本题主要考查导数的运算，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 24．（1）172；（2）y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0.【分析】（1）函数()31132f x x =+的导数为()f x '=x 2，曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1，写出切线的方程，分别令x =0，y =0，得到在x ，y 轴上的截距，再利用三角形面积公式求解. （2）易得A （2，12）不在图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），再由231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩求解.【详解】（1）因为函数()31132f x x =+，所以()f x '=x 2，所以()1=1f '所以曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1，则切线的方程为y 56-=x ﹣1，即为6x ﹣6y ﹣1=0，令x =0，可得y 16=-；y =0，可得x 16=. 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S 111126672=⨯⨯=；（2）由A （2，12）和()31132f x x =+，可得f （2）811322=+≠，即A 不在f （x ）的图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），则231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩，解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故切线的方程为y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 25．（1）0a =；320x y --=（2）max 84,20,2a a f a -≤⎧=⎨>⎩【分析】（1）求函数()f x 的导数，由()13f '=，计算可得a 和()1f ，根据点斜式即得在点()()1,1f 处的切线方程；（2）由导数()232f x x ax '=-，令()0f x '=，可得10x=，223ax =，讨论a 的取值范围，利用函数单调性即得. 【详解】（1）()232f x x ax '=-.因为()1323f a '=-=，所以0a =. 又当0a =时，()11f =，()13f '=，则切点坐标()1,1，斜率为3，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()131y x -=-化简得320x y --=. （2）()232f x x ax '=-，令()0f x '=，解得10x =，223a x =. 当203a≤，即0a ≤时，()f x 在[]0,2上单调递增，从而()max 284f f a ==-. 当223a≥，即3a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，从而()max 00f f ==. 当2023a <<，即0<<3a ，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，从而max 84,020,23a a f a -<≤⎧=⎨<<⎩.综上所述，max 84,20,2a a f a -≤⎧=⎨>⎩.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，以及研究含参数的函数的最大值，属于中档题.26．（1）410(21)y x '=+；（2）3(32)ln y x a'=-+【分析】根据复合函数求导法则计算．【详解】（1）445(21)210(21)y x x '=+⨯=+；（2）log (32)a y x =-+，133(32)ln (32)ln y x a x a'=-⨯=-++．【点睛】本题考查复合函数求导法则，掌握复合函数的求导运算法则是解题基础．。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测(含答案解析)

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题1．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（）A ．eB ．2eC ．e -D ．2e -2．与曲线2yx 相切，且与直线210x y ++=垂直的直线的方程为（）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+ 3．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（） A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x -y +1=0D ．x +y -1=04．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（）A ．3B ．0C ．2D ．45．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）x =a的值为（） A ．4B ．12C ．2eD ．e6．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1B ．13C ．23D ．127．已知方程223150x ax a +=的两实根为1x ，2x ，若函数()(1)(1)f x x x x =-+在1x x =与2x x =处的切线相互垂直，满足条件的a 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数()()431f x x a x a =+-+．若()f x 为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（） A ．54y x =-B ．53y x =-C ．42y x =-D ．43y x =-9．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C 455D 25510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能11．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（）. A ．1BC ．2D．12．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题13．不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对任意0,b a >∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是_________.14．设曲线31x y x +=-在点()2,5处的切线与直线10ax y +-=平行，则a =_________ 15．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．16．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式1()3'(1)f x xf x=+，则'(2)f 的值等于__________．17．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____． 18．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.19．已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，则实数k 的值为__________．20．某物体作直线运动，其位移S 与时间t的运动规律为S t =+t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.三、解答题21．已知函数()ln f x x ax =+．（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程； (2)若()f x 存在与直线20x y -=平行的切线，求a 的取值范围． 22．对于函数()ln f x x =，21()2g x ax bx =+（0a ≠），()()()h x g x f x =-. （1）当曲线()y h x =在点(1,(1))h 处的切线方程为3y x =时，求,a b ；（2）当1a b +=，且0a >时，过曲线()y f x =上任一点P 作x 轴的垂线l ，l 与曲线()y g x =交于点Q ，若P 点在Q 点的下方，求a 的取值范围.23．已知函数()2ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ .（1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围. 24．已知函数2()2ln .f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在()2,(2)f 处的切线斜率为l ，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.25．已知()(),1nf x y ax by =++（常数,a b Z ∈，*n N ∈且2n ≥）. （1）若2a =-，0b =，2019n =，记()201901,i ii x y a x a f ==+∑，求：①20191ii a =∑；②20191ii ia =∑.（2）若(),f x y 展开式中不含x 的项的系数的绝对值之和为729，不含y 的项的系数的绝对值之和为64，求n 的所有可能值. 26．已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程；（2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求导得到()'ln 1f x x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =，当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C. 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．C解析：C 【分析】由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，根据两直线垂直可求得01x =，即可求得切线方程. 【详解】设切点为()00P x y ，，由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，又直线210x y ++=的斜率为12-，所以()01212x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，解得01x =，则2001y x ==，2k =，所以所求直线的方程为()121y x -=-，即21y x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】求出()'fx ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.【详解】()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-， ()'12111f ∴=⨯-=.∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.4．A解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5．C解析：C 【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，，设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线21x y e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2xx x y e-=='=-=-，所以曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==，所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．D【分析】由题得12x x a +=，2123a x x =，再根据两切线互相垂直得到()222212129320x x x x -++=，把韦达定理代入化简即得解.【详解】3()f x x x =-，2'()31f x x =-，依题知()()221231311x x --=-，即()222212129320x x x x -++=.∵123x x a +=，2123a x x =， ∴()22222212121252233x x x x x x a a a +=+-=-=， ∴42320a a -+=.解得22a =，21a =，即a =1a =±，经检验每个值都符合题意，故满足条件的a 有4个. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．C解析：C 【分析】由奇偶性求得1a =，可得函数()f x 的解析式，求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. 【详解】因为函数()()431f x x a x a =+-+为偶函数，所以()()f x f x -=，可得()3210a x -=，可得1a =，所以函数()41f x x =+，可得()34f x x '=，()12f =；曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为()'14f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程为：()241y x -=-．即42y x =-．故选C ．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.9．B【分析】利用导数求出与直线23y x =+平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得. 【详解】1y x '=,令12x =可得12x =，所以切点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据题意可知1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0m =，所以3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2AB =.故选B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.10．A解析：A 【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ， ∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．对函数ln y x =求导得1yx'=，令1y'=，得1x=，所以，曲线C上一点到直线l上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a cb d-+-的最小值为22＝．故选C．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．12．C解析：C【分析】根据基本导数公式判断即可．【详解】()sin'cosx x=，()3'3ln3x x=，()21log'ln2xx=⋅，'211x x⎛⎫=-⎪⎝⎭故选C.【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题二、填空题13．【分析】设可得又分别在曲线及直线：上计算可得在点处的切线与直线平行求出点到直线的距离即最小值为进而解不等式即可【详解】由题意设则即又分别在曲线及直线：上且令解得且所以在点处的切线与直线平行又点到直线解析：[]1,2-【分析】设(),lnP b b，()2,1Q a a--，可得22PQ m m≥-，又P，Q分别在曲线()lnf x x=及直线l：1y x=+上，计算可得()f x在点1,0P处的切线与直线l平行，求出点P到直线l的距离d，即PQ最小值为d，进而解不等式22m m-≤即可.【详解】由题意，设(),lnP b b，()2,1Q a a--，则()()2222ln1PQ b a b a=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即22PQ m m≥-，又P，Q分别在曲线()lnf x x=及直线l：1y x=+上，且()1f xx'=，令11x=，解得1x=，且()10f=，所以()f x在点1,0P处的切线与直线l平行，又点P 到直线l 的距离为d ==，所以PQ所以22m m -≤，解得12m -≤≤. 故答案为：[]1,2-. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.14．4【分析】求出原函数的导函数得到函数在x=2时的导数再由两直线平行与斜率的关系求得a 值【详解】由得：又曲线在点处的切线与直线平行即故填4【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程考查两直线解析：4 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x =2时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】由31x y x +=-得：22134(1)(1)x x y x x ---'==--- 24x y =∴=-'又曲线31x y x +=-在点()2,5处的切线与直线10ax y +-=平行 4a ∴-=-，即4a =.故填4. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，属于中档题.15．7【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率可得再由切点在切线上可得进而得到所求值详解：的图象在点处的切线方程是可得则所以答案是点睛：该题考查的是有关导数的几何解析：7 【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得'(2)1f =，再由切点在切线上，可得(2)6f =，进而得到所求值.详解：()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是4y x =+，可得(2)246f =+=，'(2)1f =，则(2)'(2)617f f +=+=，所以答案是7.点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.16．【解析】由题得所以故填解析：54【解析】由题得22111()31(1)311=12f x f f f f x =-+∴=-+'''∴''（）（）（）. 所以213135()(2)=2424f x f x ''=-+∴=-+，故填54. 17．【解析】因为函数所以；则曲线在点处的切线斜率为所以曲线在点处的切线方程为：联立得：即所以则故答案为点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程直线的点斜式方程难度中档；我们在解答这类题的解析：14【解析】因为函数()3f x x =，所以()23f x x '=；则曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线斜率为()21113k f x x =='，所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线方程为：321113()y x x x x -=-，联立()3f x x =得：32321111320()(2)0x xx x x x x x -+=⇒-+=，即212x x =-，所以()22221312f x x x =='，则()()1214f x f x =''，故答案为14. 点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，直线的点斜式方程，难度中档；我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.18．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。