高考数学专题2024概率与统计历年题目解析
高考数学经典试题与解析 专题九 计数原理与概率统计
专题九计数原理与概率统计——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2023年全国高考真题]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.231．答案：D解析：依题意，用1A ，2A 表示高一的2名学生，1B ，2B 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2名学生的选法有()12,A A ，()12,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共4种，所以所求概率4263P ==，故选D.2．将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A.120种 B.150种 C.180种 D.240种2．答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①先将甲、乙等5名同学分成3组：若分成1，2，2的3组，则有12254222C C C15 A =（种）方法；若分成1，1，3的3组，则有11354322C C C 10 A =（种）方法，故将5人分成3组，每组至少有1人，有151025+=（种）分组方法.②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有3325A 150=（种）.3．[2023春·高二·四川内江·期中校考]在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数是()A.454B.358-C.358D.73．答案：C解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以8n =，二项式展开项的通项公式为842218811C C 22rrr rr r r r T x x x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令462r +=，得4r =，所以6x 的系数为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选C.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =∣()A.112B.29C.13D.234．答案：B解析：易知()()()n AB P BA n A =∣，其中AB 表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故()2n AB =.而1133()C C 9n A =⋅=，所以()2()()9n AB P B A n A ==∣.故选B.5．[2023春·高二·江苏盐城·月考联考]已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量在区间(],μσμσ-+，(]2,2μσμσ-+和(]3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布()290,15N ，则此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有()A.477人B.136人C.341人D.131人5．答案：B 解析：根据题意，()()()60120751050.95440.68261051200.135922P X P X P X <≤-<≤-<≤===，则10000.1359135.9136⨯=≈，故此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有136人.故选：B.6．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）99.29.49.69.810销量y （件）1009493908578预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为()参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：615116iii x y==∑，622160.7i i x x =-=∑.A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元6．答案：B解析：由题意，得1(99.29.49.69.810)9.56x =⨯+++++=，1(1009493908578)906y =⨯+++++=，6162216511669.590ˆ200.76i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===--∑∑，ˆ909.520280a=+⨯=，则ˆ20280y x =-+.设工厂获得利润L 元，则2(5)(20280)20(9.5)405L x x x =--+=--+，当9.5x =时，L 取得最大值.所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.7．[2024春·高一·河南三门峡·期末校考]某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3000名学生每周平均体育运动时长的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是()A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为6007．答案：C解析：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）,故选项A 正确;对于B,该校高一年级的总人数为430001200433⨯=++,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为()0.0250.120.25+⨯=,所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为12000.25300⨯=,故选项B 正确;对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为()0.0750.0252100%20%+⨯⨯=,故选项C 错误;对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为300020%600⨯=,故选项D 正确.故选：C.8．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为()A.14B.724C.1124D.17248．答案：D解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是()12P A =，()23P B =，()34P C =，则不获一等奖的概率分别是()11122P A =-=，()21133P B =-=，()31144P C =-=，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++1231131211123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，这三人都获得一等奖的概率为()()()()12312344P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率1111724424P =+=.故选：D.二、多项选择题9．[2020年全国高考真题]我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图，()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量9．答案：CD解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A 错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B 错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%，故C 正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D 正确.10．已知()*nx n ⎛+∈ ⎝N 的展开式中共有7项，则该二项展开式中()A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有4项10．答案：ACD解析：由题意知6n =，则6x ⎛⎝的展开式的通项为3666216C C (0,1,2,,6)2rr rr r r r T x x r --+===⋅ .对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，故A 正确；对于B ，令1x =，得6613122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所有项的系数和为632⎛⎫⎪⎝⎭，不为1，故B 错误；对于C，由二项式系数的性质，可知6x ⎛⎝的展开式中第4项的二项式系数最大，为36C 20=，故C 正确；对于D ，当362r-∈Z ，即0,2,4,6r =时，对应的项为有理项，共有4项，故D 正确.故选ACD.11．[2023春·高二·江苏·期中联考]红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲同学调配出红色”，B 表示事件“甲同学调配出绿色”，C 表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.1()15P A =B.1()4P C A =∣C.4()45P BC =D.事件B 与事件C 相互独立11．答案：AC解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为26C .对于A ，A 表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有22C 种方法，则2226C 1()C 15P A ==，故A 正确；对于B ，事件A 发生需要2瓶颜料均为红色，事件C 发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，在事件A 发生的条件下，事件C 不可能发生，所以()0P CA =∣，故B 错误；对于C ，若事件B 发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则112226C C 4()C 15P B ==，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则1224C 1()C 3P C B ==∣，故414()()()15345P BC P B P C B =⨯=⨯=∣，故C 正确；对于D ，若事件C 发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则21111111222242222264C C C C C C C C 4()C C 15P C ++==，444()()()151545P B P C P BC ⋅=⨯≠=，事件B 与事件C 不相互独立，故D 错误.故选AC.三、填空题12．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若,,{1,2,3,4}a b c ∈，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.12．答案：12解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率121242P ==.13．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，则随机变量X 方差的最小值为__________.13．答案：18解析：由1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，得1()2P X x ==，所以随机变量X 的数学期望21()4x E X +=，则方差222221123121111()42444442162x x x D X x ⎡⎤+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当12x =时，()D X 取到最小值18，故答案为18.14．[2023届·西北工业大学附中·模拟考试]将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有_________种.14．答案：72解析：设8张门票的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8.若甲选123，则乙可以是56，67，78共3种，此时共有333A 18=种；若甲选234，则乙可以是67，78共2种，此时共有332A 12=种；若甲选345，则乙可以是78共1种，此时共有33A 6=种；若甲选456，则乙可以是12共1种，此时共有33A 6=种；若甲选567，则乙可以是12，23共2种，此时共有332A 12=种；若甲选678，则乙可以是12，23，34共3种，此时共有333A 18=种.综上所述，不同的分配方法有181266121872+++++=种.四、解答题15．[2024春·高一·青海西宁·期末]为了解学生的周末学习时间（单位：小时）,高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：(1)用分层抽样的方法在[)20,25和[]25,30中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3人接受检测,求检测的3人来自同一区间的概率;(2)估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.15．答案：(1)1 5 ;(2)8.75小时.解析：(1)由图可知,40名学生中周末的学习时间在[)20,25的人数为0.035406⨯⨯=人,周末的学习时间在[]25,30的人数为0.0155403⨯⨯=人,从中用分层抽样抽取6人,则周末的学习时间在[)20,25的有4人,记为A,B,C,D;周末的学习时间在[]25,30的有2人,记为a,b;则再从中选派3人接受检测的基本事件有ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb, ADa,ADb,Aab,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,Bab,CDa,CDb,Cab,Dab共有20个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC,ABD,ACD,BCD共有4个,所以检测的3人来自同一区间的概率41205 P==;(2)学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<,学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>,所以25%分位数在区间[)5,10内,则0.250.1 558.750.30.1-+⨯=-,所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.16．[2024春·高二·宁夏石嘴山·月考校考]2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G ，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G 、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT 公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 123456收入y （百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dx y c =⋅(a ，b ，c ，d 均为常数)哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7月份的5G 经济收入.(结果保留小数点后两位)（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：x yu 621()i i x x =-∑61()()iii x x y y =--∑61()()iii x x uu =--∑ 1.52e 2.66e 3.5021.15 2.8517.70125.35 6.734.5714.30其中，设ln u y =，ln i i u y =(1,2,3,4,5,6i =).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(21,2,3,,)i i x v n = ，其回归直线ˆˆˆvx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii Ri i x x v v x x β==--=-∑∑，ˆˆv x αβ=-16．答案：（1）e dx y c =⋅更适宜（2） 1.520.38e ˆx y +=，65.35百万元（3）分布列见解析，1解析：（1）根据散点图判断，e dx y c =更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；（2）因为e dx y c =，所以两边同时取常用对数，得ln ln y c dx =+，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50x =， 2.85u =，所以61621()( 6.73ˆ0.380,17.70(iii ii x x u u dx x ==--==≈-∑∑所以ˆln 2.850.380 3.50 1.52c u dx=-≈-⨯=.所以ˆ 1.520.38u x =+，即ˆln 1.520.38y x =+，所以 1.520.38e ˆx y +=.令7x =，得 1.520.387 1.52 2.66ˆe e e 4.5714.3065.35y +⨯==⨯≈⨯≈，故预测该公司7月份的5G 经济收入大约为65.35百万元.（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X 的取值为0，1，2，2326C 1(0)C 5P X ===，113326C C 3(1)C 5P X ===，2326C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X 012P153515所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.17．[2024春·高三·内蒙古赤峰·开学考试校考]卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线250250乙生产线300200（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关；（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7069.8415.0246.63510.82817．答案：（1）没有；（2）分布列见解析，95解析：（1）补充列联表如下：合格品优等品总计甲生产线250250500乙生产线300200500总计5504501000根据列联表中的数据，经计算得到221000(250200250300)10.10110.828550450500500K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为25015002=，乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为20025005=，所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为12，25，由题意随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，()22139025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22211221312331C C 2525510P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2222211221313212372C C 2525525100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22211221212313C C 252555P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2212142525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X 01234P91003103710015125所以X 的期望()933711901234100101003255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．[2024春·高二·福建宁德·期末]毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75145～分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，13.σ=现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望.(结果精确到0.01)；（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为12；若前一关通过，则本关通过的概率为13，已知甲同学第一关通过的概率为13，记甲同学通过第n 关的概率为n P ，请写出n P 的表达式，并求出n P 的最大值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.18．答案：（1）0.012；（2）0.23；（3）13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n P 的最大值为49.解析：（1）由频率分布直方图，得()100.0050.0190.030.020.0021a a ⨯++++++=，解得0.012a =.（2）由题意得：800.05900.121000.191100.3μ=⨯+⨯+⨯+⨯1200.21300.121400.02109.2+⨯+⨯+⨯=，()2109.2,13X N ～，()()()122135.220.022752P X P X P X μσμσμσ--<≤+>=>+=≈，()10,0.02275Y B ～，()0.22750.23E Y np ==≈.（3）记甲同学第()*n n ∈N 关通过为事件n A ，依题意，113P =，当2n ≥时，()113n n P A A -=，()112n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为113P =，则1320721P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为221-，公比为16-的等比数列，所以13217216n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，113213213721672167n n n P --⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n P 随着n 的增大而减小，所以，249n P P ≤=，又4397>，所以n P 的最大值为49.19．[2024春·高二·江苏南通·月考校考]篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若23p =，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；（2）若1223p ≤≤，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：①设事件C 表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求()P C ；（结果用含p 的式子表示）②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？19．答案：（1）124；（2）①321388p p +；②15解析：（1）设事件i A 表示甲在一轮比赛中投进i 个球，i B 表示乙在一轮比赛中投进i 个球，()0123i =,,,，D 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球所以2031D A B A B =+()()()2031P D P A B P A B =+2332203133331111211C C C C 22323324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⨯⨯⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭（2）①()()()()203031P C P B A P B A P B A =++()3332231323311113C 1C 22288p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦⎝；②设随机变量X 表示n 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则有3213,88X B n p p ⎛⎫~+ ⎪⎝⎭，故()321388E X n p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要满足题意，则()3E X ≥，即3213388n p p ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，又12,23p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3231388n p p ≥+，令()321388f x x x =+，12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()3208f x x x '=+>在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()f x 的最大值为211354f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即321388p p +的最大值为1154，于是，3231388p p +的最小值为16211，因162141511<<，故理论上至少要进行15轮比赛.。
2024年高考数学概率与统计历年题目深度分析
2024年高考数学概率与统计历年题目深度分析一、引言概率与统计是高考数学的重要组成部分，也是许多考生所头疼的难点。
为了帮助考生更好地备考，本文将对2024年高考数学概率与统计部分的历年题目进行深度分析，以帮助考生理解和掌握该知识点。
二、选择题分析选择题是高考概率与统计部分的常见题型，它在考查考生对基础知识掌握的同时，也注重考察考生的分析和推理能力。
下面我们就来分析一道经典的选择题：【题目】某公司对一种新产品进行市场调查，调查发现，有60%的消费者愿意购买该产品。
某天，该公司在商场附近随机访问了10位顾客，问他们是否愿意购买该产品。
则愿意购买该产品的顾客数的期望值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】这是一道概率计算的题目。
已知有60%的消费者愿意购买该产品，那么对于每一位顾客来说，他愿意购买的概率就是0.6。
而题目问的是愿意购买该产品的顾客数的期望值，可以使用期望的性质进行计算。
设愿意购买该产品的顾客数为X，则X的可能取值为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10（总共11个取值）。
根据期望的定义，我们有：E(X) = 0×P(X=0) + 1×P(X=1) + 2×P(X=2) + … + 10×P(X=10)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率。
由于每一位顾客愿意购买的概率都是0.6，所以我们可以得到：P(X=k) = C(10,k) × (0.6)^k × (0.4)^(10-k)代入式子，我们有：E(X) = 0×P(X=0) + 1×P(X=1) + 2×P(X=2) + … + 10×P(X=10)= 1×C(10,1)×(0.6)^1×(0.4)^9 + 2×C(10,2)×(0.6)^2×(0.4)^8 + … +10×C(10,10)×(0.6)^10×(0.4)^0进行计算，我们得出答案为2。
2024届新高考数学大题精选30题：概率统计(精选30题)(解析版)
大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X.【答案】(1)1 2；(2)分布列见解析，1.【分析】(1)根据组合知识求得取球的方法数，然后由概率公式计算概率；(2)确定X的所有可能取值为0，1，2，然后分别计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】(1)设事件A=“取出的2个小球上的数字不同”，则P A=C12C12+C12C12C14C14=12.(2)X的所有可能取值为0，1，2.①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有2×A22×A22种，则P X=0=2×A22×A22A44=13.②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有2×A22×A22种，则P X=1=2×A22×A22A44=13.③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有2×A22×A22种，则P X=2=2×A22×A22A44=13.所以X的分布列为X012P 131313所以X的数学期望E X=0×13+1×13+2×13=1.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.【答案】(1)7 27；(2)分布列见解析，31781.【分析】(1)写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出；(2)算出X为不同值时对应的概率并填写分布列，之后求出数学期望即可.【详解】(1)设“三局比赛后，甲得3分”为事件A，甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，所以P A=133+A3313 3=727，故三局比赛甲得3分的概率为7 27 .(2)依题意知X的可能取值为2,3,4,5，P X=2=2×132=29，P X=3=2×C12133=427，P X=4=2×C12134+C1313 4=1081，P X=5=1-P X=2-P X=3-P X=4=1-29-427-1081=4181，故其分布列为：X2345P2942710814181期望E X=2×29+3×427+4×1081+5×4181=31781.3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？【答案】(1)9种(2)349.【分析】(1)法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；(2)考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.【详解】(1)法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C13；再选出副队长，方法数也是C13，故共有方法数为C13×C13=9(种).方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A 24=4×3=12(种)；若甲任队长，方法数为C 13，故甲不担任队长的选法种数为12-3=9(种)答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.(2)①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：14×67×17=398.②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为34×27×17=398，所以，前三次传球中满足题意的概率为：398+398=349.答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349.4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO 问界M 7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ ．【答案】(1)73.3分(2)分布列见解析；期望为35【分析】(1)根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案；(2)确定抽取的“问界粉”人数，再确定ξ的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.【详解】(1)由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40％，打分低于80分的客户的所占比例为70％，所以本次调查客户打分的中位数在[70，80)内，由70+10×0.50-0.400.70-0.40=2203≈73.3，所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；(2)根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，则ξ的所有可能取值分别为0，1，2，其中：P (ξ=0)=C 03C 27C 210=715，P (ξ=1)=C 13C 17C 210=715，P (ξ=2)=C 23C 07C 210=115，所以ξ的分布列为：ξ012P715715115所以数学期望E (ξ)=0×715+1×715+2×115=35．5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25，25，45，选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.【答案】(1)35(2)4411000【分析】(1)利用全概率公式，即可求得答案；(2)求出乙答对的概率，设每一轮比赛中甲得分为X ，求出X 的每个值对应的概率，即可求得三轮比赛后，甲总得分为Y 的每个值相应的概率，即可得答案.【详解】(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件A i i =1,2,3 ,记随机任选1题，甲答对为事件B ，则P A 1 =14,P A 2 =14,P A 3 =12,P B |A 1 =25,P B |A 2 =25,P B |A 3 =45，则P B =P A1 P B |A 1 +P A2 P B |A 2 +P A3 P B |A 3=14×25+14×25+12×45=35；(2)设乙答对记为事件C ，则P C =P A 1 P C |A 1 +P A 2 P C |A 2 +P A 3 P C |A 3 =14×12+14×12+12×12=12，设每一轮比赛中甲得分为X ，则P X =1 =P BC =P B P C =35×1-12 =310，P X =0 =P BC ∪BC =P BC +P CB=35×12+1-35 ×1-12 =12，P (X =-1)=P B C =1-35 ×12=15，三轮比赛后，设甲总得分为Y ，则P Y =3 =3103=271000，P Y =2 =C 23310 2×12=27200，P Y =1 =C 13×310×122+C 23×3102×15=2791000，所以甲最终获得奖品的概率为P =P Y =3 +P Y =2 +P Y =1 =271000+27200+2791000=4411000.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程y =b x +a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．【答案】(1)X 的分布列见解析，期望E (X )=95(2)y=7x +17；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，(2)利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C ，D ，E 这3家超市，则随机变量X 的可能取值为1，2，3P (X =1)=C 13C 22C 35=310，P (X =2)=C 23C 12C 35=35，P (X =3)=C 33C 35=110，∴X 的分布列为：X123P31035110数学期望E (X )=1×310+2×35+3×110=95．(2)x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+60+60+705=52，b=ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2=60+160+300+360+560-5×5×524+16+25+36+64-5×52=7，a=52-7×5=17．∴y 关于x 的线性回归方程为y=7x +17；在y =7x +17中，取x =10，得y =7×10+17=87．∴预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量X i =1,第i 局乙当裁判0,第i 局甲或丙当裁判, i =1,2,⋅⋅⋅,n ，p i =P X i =1 ，X 表示前n 局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n =3且X =1”的概率；(2)求p i ；(3)求E X ，并根据你的理解，说明当n 充分大时E X 的实际含义.附：设X ，Y 都是离散型随机变量，则E X +Y =E X +E Y .【答案】(1)34；(2)p i =-13 ×-12i -1+13；(3)p i ，答案见解析。
2024年高考数学概率统计在工程问题中的应用历年真题
2024年高考数学概率统计在工程问题中的应用历年真题近年来，数学概率统计在工程领域的应用越发广泛。
作为一门重要的工具和方法，数学概率统计为工程师们提供了解决问题、优化设计以及降低风险的有效手段。
本文将通过回顾2024年高考数学真题，探讨数学概率统计在工程问题中的实际应用。
题目一：某航天公司进行火箭发射的可行性分析，其火箭成功发射的概率为0.95，而失败的概率为0.05。
如果该公司计划连续发射20枚火箭，问至少有几枚火箭会成功的概率高于90%？解析：这是一个典型的二项分布问题。
根据题意，火箭成功发射的概率为p=0.95，失败的概率为q=0.05。
我们需要计算至少有几枚火箭会成功的概率高于90%。
首先，我们可以利用二项分布的公式计算每个可能取值的概率，然后累加计算概率高于90%的情况。
但是由于需要计算较多的组合情况，这种方法比较繁琐。
相对而言，可以采用逆向思维的方法简化计算。
考虑到至少有几枚火箭成功的概率高于90%，则至多有几枚火箭失败的概率低于10%。
根据二项分布的性质，我们可以通过计算“至多有几枚火箭失败的概率低于10%”来得到答案。
利用二项分布的计算公式，可以得到至多有k枚火箭失败的概率为P(X≤k)，其中X表示火箭失败的次数。
我们需要找到满足P(X≤k)≥0.1的最大k值。
通过查表或使用计算工具，我们可以得到当k=1时，P(X≤1)=0.0951；当k=2时，P(X≤2)=0.181；当k=3时，P(X≤3)=0.2653；当k=4时，P(X≤4)=0.3446；当k=5时，P(X≤5)=0.4176。
由此可见，当至多有5枚火箭失败时，满足P(X≤5)≥0.1。
因此，至少有15枚火箭会成功的概率高于90%。
综上所述，根据2024年高考数学真题中的火箭发射问题，数学概率统计帮助我们求解至少成功的火箭数量，为航天工程提供了可行性分析的依据。
题目二：一家汽车制造公司收集了过去5年的销售数据，并发现每年新车销售量均呈正态分布。
2024高考数学精选概率统计真题历年汇编
2024高考数学精选概率统计真题历年汇编2024年高考数学考试，概率统计部分是考生们关注的重点。
为了帮助大家更好地复习备考，本文将汇编2024年高考数学概率统计部分的精选真题。
以下是真题内容及解析。
一、选择题1. 设随机变量X的概率分布列为X 0 1 2 3 4P(X) a 2a 4a 6a 8a则a的取值范围是：A. [0, 1/20]B. [0, 1/8]C. [0, 1/6]D. [0, 1/4]解析：根据概率分布列的性质，各事件的概率之和应为1，即a + 2a + 4a + 6a + 8a = 1。
解得a = 1/42。
所以，a的取值范围是[0, 1/42]，选项A与答案一致。
2. 设事件A、B相互独立，已知P(A) = 1/3，P(B) = 1/4，P(A∪B) = 5/12，那么P(A∩B)的值为：A. 1/12B. 1/16C. 1/18D. 5/12解析：由概率的加法定理，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
代入已知条件，得5/12 = 1/3 + 1/4 - P(A∩B)。
解得P(A∩B) = 1/12，选项A与答案一致。
3. 甲、乙两个工人分别负责两台机器的维修，他们各自独立地对机器进行维修，设甲在任意一天修好机器的概率为0.7，乙在任意一天修好机器的概率为0.6，那么工作两天后，有且仅有一台机器被修好的概率是：A. 0.39B. 0.42C. 0.45D. 0.48解析：根据题意，只有甲在第一天修好乙在第二天修好或甲在第二天修好乙在第一天修好这两种情况满足条件。
所以，设事件A表示甲在第一天修好，事件B表示乙在第一天修好，则所求概率为P(A)×P(B') + P(A')×P(B)，计算得0.7×0.4 + 0.3×0.6 = 0.42，选项B与答案一致。
二、解答题4. 某家超市进行促销活动，消费者购买该超市某种商品的概率为0.3。
2024年高考数学概率统计历年题目全扫描
2024年高考数学概率统计历年题目全扫描2024年的高考即将来临，数学科目一直是考生们的重点和难点之一。
其中，概率统计作为数学的一个重要分支，对于数学成绩的提高具有重要意义。
为了帮助同学们更好地备考，本文将对近十年的高考数学概率统计部分的历年题目进行全面扫描，帮助大家更好地了解题型和复习重点。
第一部分：选择题分析选择题是高考数学概率统计部分的常见题型之一，也是考生们最易把握的题型。
下面我们结合历年的选择题，来总结概率统计选择题的特点和解题技巧。
1. 下列哪个事件是必然事件？A. 投掷一枚硬币出现正面B. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌是红桃C. 投掷一个均匀骰子出现的点数是7D. 从26个大写英文字母中任意选择一个字母是元音字母解析：根据概率的定义，必然事件是指事件发生的概率为1的事件。
在选项中，只有A选项“投掷一枚硬币出现正面”，硬币只有正反两面，因此出现正面的概率为1，故A是正确选项。
2. 一枚硬币连续翻两次，出现正面的次数为k，那么k的取值范围是：A. k≥0B. 0≤k≤1C. k≥1D. 1≤k≤2解析：一枚硬币连续翻两次，每次的结果都是正面或反面，根据排列组合的知识可知，共有2^2=4种可能的结果：正正、正反、反正、反反。
而题目要求的是出现正面的次数，所以k的取值范围是1≤k≤2，故选项D是正确选项。
通过以上两道选择题的解析，我们可以看出，在解决概率统计选择题时，关键在于理解并掌握概率的基本概念和计算方法，同时也要善于利用排列组合的知识。
在复习过程中，可以多做相关的选择题练习，加深对知识点的理解和应用能力。
第二部分：填空题分析填空题在概率统计部分同样占据一定比例，它要求考生能够熟练地应用概率和统计的相关公式和计算方法。
下面我们通过历年的填空题，总结填空题的解题技巧。
1. 一枚硬币连续抛掷，已知前两次抛掷的结果是正反，那么下一次抛掷出正面的概率是____。
解析：一枚硬币连续抛掷，每次结果独立，所以每次抛掷出正面的概率都是1/2，即0.5。
2024年高考数学二轮专题10 概率与统计的综合运用(精讲精练)(解析版)
专题10概率与统计的综合运用【命题规律】概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．【核心考点目录】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望核心考点二：超几何分布与二项分布核心考点三：概率与其它知识的交汇问题核心考点四：期望与方差的实际应用核心考点五：正态分布核心考点六：统计图表核心考点七：回归分析核心考点八：独立性检验核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题核心考点十：决策型问题核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．A B C，所以甲学校获得冠军的概率为【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,,()()()()=+++P P ABC P ABC P ABC P ABC=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.50.40.80.50.40.80.50.60.80.50.40.20.160.160.240.040.6=+++=．（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，()00.50.40.80.16P X==⨯⨯=,()100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()300.50.60.20.06P X==⨯⨯=.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.期望()00.16100.44200.34300.06132．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【解析】（1）平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）．550.020650.017750.006850.002)1047.9（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1(1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．（3）设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈．3．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A 24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【解析】（1）根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ，则24012()26013==P M ；B 共有班次240次，准点班次有210次，设B 家公司长途客车准点事件为N ，则210()27840==P N .A 家公司长途客车准点的概率为1213；B 家公司长途客车准点的概率为78.（2）列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.4．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数 1.377r =≈．【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m（2）r==0.01340.970.01377==≈≈则0.97r≈（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3mY，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209mY．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m5．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m．以上（含950m．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【解析】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A31233(0)()0.60.50.520P X P A A A===⨯⨯=，123123123(1)((()P X P A A A P A A A P A A A==++80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，123123123(2)()()()P X P A A A P A A A P A A A==++70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1232(3)()0.40.50.520P X P A A A===⨯⨯=.∴X 的分布列为X 0123P320820720220∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.6．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii)由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅【方法技巧与总结】（一）涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为称1122()n n E X x p x p x p =+++ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称()21()()ni i i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值()E X 的偏离程度，其X 的标准差．（1）离散型随机变量的分布列的性质①0(1,2,,)i p i n = …；②121n p p p +++= ．（2）均值与方差的性质若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且2E aX b aE X b D aX b a D X+=++=()();()()（3）分布列的求法①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型①二项分布；②超儿何分布．2、常见的连续型概率分布模型正态分布．（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题【核心考点】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典型例题】例1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）．已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0．5，0．6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0．5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0．5，假设每场比赛结果相互独立．（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望．【解析】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为0.5,0.5,0.5，，甲队比赛3场获胜的概率为P =0.50.50.50.125⨯⨯=；（2）X 所以可能取得值为0,200,400,600,800；()3500.50.12P X ===，()31213200C 0.50.500..540.5600.07.5P X ==⨯=⨯⨯=⨯，()()11233332400C 0.50.60.50.40.55C 0.50.40.5 2.1050.50.262.P X ==⨯+⨯⨯⨯=⨯+⨯=⨯⨯，()()313233336000.5C 0.50.60.5C 0.50.60.50.40.5 3.40.50.425P X ==+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯=，()2333800C 0.50.605.50.900.112.5P X ===⨯⨯=⨯．即X 0200400600800P0．1250．0750．26250．4250．1125所以()00.1252000.0754000.26256000.4258000.1125465E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．例2．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直到第二次测试才合格的概率为932，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为23，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立．（1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P ；（2）设甲教师参加测试的次数为m ，乙教师参加测试的次数为n ，求m n ξ=+的分布列．【解析】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为14．（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12，由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=，11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：ξ23456P1635144581441396596例3．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A ：1个红球2个白球；B ：3个白球；C ：恰有1个黄球；D ：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．（1）写出顾客分别获一､二､三等奖时所对应的概率；（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为X ，求X 的分布列和期望．【解析】（1）由题意可得：()()23331010C 3111,C 12040C 120P A P B =====，()1264310C C 363=C 12010P C ==，2()1()()()3P D P A P B P C =---=所以中一等奖的概率为1120，二等奖的概率为140，三等奖的概率为310（2）记事件E 为顾客摸出的第一个球是白球，事件F 为顾客获得二等奖，则()111229C C 1C 18P FE ==∣．（3）由（1）知一名顾客中奖的概率为113112040103P =++=．由题意可得，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以()()5512C 1,2,3,4,533i ii P X i i -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则分布列为X012345P32243802438024340243102431243()15533E X =⨯=核心考点二：超几何分布与二项分布【规律方法】超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．一般地，在含有M 件产品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为()P X k ==1(0,1,2,,)k n M N MnNC C k m C --= ，其中min{,}m M n =，且*,,,,n N M N n M N N ∈……，称为超几何分布列．一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为P ，则(P X =)(1),0,1,2,,k kn k nk C p p k n -=-= ．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率．此时有,)EX np DX np p ==-．【典型例题】例4．（2022春·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分[]50,60(]60,70(]70,80(]80,90(]90,100频率0．10．10．30．30．2（1）如果规定竞赛得分在(]80,90为“良好”，竞赛得分在(]90,100为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？（2）在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；（3）以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．【解析】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为101505=，所以成绩为“良好”的抽取11000.365⨯⨯=人，成绩为“优秀”的抽取11000.245⨯⨯=人．（2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良，故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率33424646610C C +C C 19C 42P ==．（3）由题意知，X 的可能取值0，1，2，3．由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为12011005P ==，竞赛得分不是“优秀”的概率为21141155P P =-=-=．若以频率估计概率，则X 服从二项分布13,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()030314640C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()121314481C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()212314122C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3331413C 55125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故X 的分布列为X123P6412548125121251125数学期望()13355E X =⨯=．例5．（2022·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；（2）某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入m 号球槽得到的奖金为X （元），其中16040X m =-．（ⅰ）求一次抽奖的奖金X （元）的分布列及数学期望()E X ；（ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为Y （元），求()E Y ．【解析】（1）记事件A ：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．所以()1516113C 2232P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）（i ）记随机变量M ：小球掉入m 号球槽，则M 的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7．由题意可得()()661117C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()()6161626C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()()62611535C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()6361204C 264P M ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；所以M 的分布列为：M 1234567P164664156420641564664164因为16040404X m m =-=-，所以X 的可能取值为：0，40，80，120．其中()()200464P X P M ====，()()()30403564P X P M P M ===+==，()()()12802664P X P M P M ===+==，()()()21201764P X P M P M ===+==．所以一次抽奖的奖金X （元）的分布列为：X4080120P206430641264264所以数学期望为()20301227504080120646464642E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii ）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为2Y X =．因为()752E X =，所以()()7522752E Y E X ==⨯=．例6．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应．为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图．（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户．若抽取的5户中购买量在[3,6]（单位：kg ）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6]（单位：kg ）的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值．【解析】（1）随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．则()3335C 10C 10P ξ===，()213235C C 31C 5P ξ===，()123235C C 32C 10P ξ===，ξ012()P ξ11035310所以()336125105E ξ=⨯+⨯=．（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为1.50.102.50.303.50.254.50.205.50.15 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（kg ）则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[]4,6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为0.200.150.35p =+=．若从小区随机抽取10户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则()~10,0.35X B ，若k 户的可能性最大，则()()1010C 1kkk p P X k p -=-=，0,1,,10k =⋅⋅⋅()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩，得()()()()()()()()1011111010101911010C 0.350.65C 0.350.65C 0.350.65C 0.350.65k k k k k k k k k k k k -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，即()()()71113131710k kk k ⎧-≥⎪⎨+≥-⎪⎩，解得2.85 3.85k ≤≤，由于k *∈N ，故3k =．核心考点三：概率与其它知识的交汇问题【规律方法】在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．【典型例题】例7．（2022春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或6时得2分，掷得的点数为2，3，4，5时得1分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；（1）设投掷2次骰子，最终得分为X ，求随机变量X 的分布与期望；（2）设最终得分为n 的概率为n P ，证明：{}1n n P P --为等比数列，并求数列{}n P 的通项公式；【解析】（1）X 的可能取值为2，3，4，()2242339P x ==⨯=，()12432339P x ==⨯⨯=，()1114339P x ==⨯=，∴ X 的分布列为X234P494919数学期望()44182349993E X =⨯+⨯+⨯=．（2）由题意知()1221333n n n P P P n --=+≥，()11213n n n n P P P P ---∴-=--，212273339P =+⨯=，123P =，2119P P ∴-=，{}1n n P P -∴-是以19为首项，13-为公比的等比数列，()2111293n n n P P n --⎛⎫∴-=⨯-≥ ⎪⎝⎭，∴ 当2n ≥时，()()()121321n n n P P P P P P P P -=+-+-++- 2221111139333n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11121313913n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+⨯+121113123n -⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13114123n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1n =时，上式也成立，综上：13114123n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．例8．（2022春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值；（III ）求n p ．【解析】（1）121110,3333p p ==⨯⨯=．（2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=；当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -；②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+，即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n np -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．综上所述，1111,=2430,21n n n k p n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩．例9．（2022春·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型1α和2α．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为45和23．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．（1）设经过两次检测后两类试剂1α和2α合格的种类数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p ，若当0p p =时，()f p 最大，求0p 的值．【解析】（1）剂型1α合格的概率为：343455⨯=；剂型2α合格的概率为：322535⨯=由题意知X 的所有可能取值为0，1，2．则()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，则X 的分布列为X 012P6251325625数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=．（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为()21p p -，检测4人确定“感染高危户”的概率为()31p p -，则()()()()()2321112f p p p p p p p p =-+-=--．令1x p =-，因为01p <<，所以01x <<，原函数可化为()()()22101g x x x x =-<<．因为()()2222211144x x x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦-≤=，当且仅当221x x =-，即x =此时1p =，所以01p =核心考点四：期望与方差的实际应用【规律方法】数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量12,ξξ的期望，当12E E ξξ=时，不应认为它们一定一样好，还需要用12,D D ξξ来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．【典型例题】例10．（2022春·河南·高三期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于()N n n *∈份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n 次；二是混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k 份检验的次数共为1k +1)p <<，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．（1）若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p。
2024年高考数学专题概率统计历年题目归纳
2024年高考数学专题概率统计历年题目归纳在高考数学考试中，概率统计是一个重要的考点。
掌握概率统计的基础理论和解题方法是学生取得高分的关键。
为了帮助同学们更好地备考2024年高考数学专题概率统计，本文将对历年高考数学专题概率统计题目进行归纳和总结。
1. 投掷硬币问题：- 实例：某学生有3枚硬币，分别为甲、乙、丙。
每枚硬币均正反面均匀无区别，共有两面。
甲硬币正面为A，乙硬币正面为B，丙硬币正面为C。
每枚硬币正、反面出现的概率均为0.5。
如果学生随机选取一枚硬币并投掷，问投掷得到正面的概率是多少？- 解题思路：根据题意，学生随机选取硬币的概率为1/3，而每枚硬币出现正面的概率为0.5。
因此，投掷得到正面的概率为(1/3)×0.5 = 1/6。
2. 生日相同问题：- 实例：某班级有30名学生，问他们中至少有两人生日相同的概率是多少？- 解题思路：首先需要计算不同学生生日都不相同的概率。
第一个学生的生日可以是任意一天，而第二个学生的生日不同于第一个学生的概率为(365-1)/365，第三个学生的生日不同于前两个学生的概率为(365-2)/365，以此类推。
所以，30名学生都不生日相同的概率为(365-1)/365 × (365-2)/365 × … × (365-29)/365。
因此，他们中至少有两人生日相同的概率为1-[(365-1)/365 × (365-2)/365 × … × (365-29)/365]。
3. 球的抽取问题：- 实例：某箱子里有5个白球和3个黑球，从中随机抽取2个球，问这两个球颜色相同的概率是多少？- 解题思路：首先需要计算抽取第一个球后，剩下球的情况。
若首先抽到白球，则剩下4个白球和3个黑球。
此时，抽取第二个球颜色相同的概率为4/7。
若首先抽到黑球，则剩下5个白球和2个黑球。
此时，抽取第二个球颜色相同的概率为2/7。
高考数学概率统计历年真题全解2024
高考数学概率统计历年真题全解2024一、概率统计概述概率统计是数学的一个分支，研究的是随机事件的发生规律以及对这些规律进行推断和分析的方法。
在高考中，概率统计是一个重要的考点，占据了相当的比重。
为此，我们整理了2024年高考数学概率统计部分的历年真题，并进行全面解析，以便同学们更好地复习备考。
二、选择题1. (2024年高考数学试题第一题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第一题内容省略)2. (2024年高考数学试题第二题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第二题内容省略)三、填空题1. (2024年高考数学试题第三题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第三题内容省略)2. (2024年高考数学试题第四题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第四题内容省略)四、解答题1. (2024年高考数学试题第五题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第五题内容省略)2. (2024年高考数学试题第六题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第六题内容省略)五、综合题(2024年高考数学试题第七题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第七题内容省略)六、总结通过对2024年高考数学概率统计部分的历年真题全面解析，我们可以发现在这一部分考题中，题目类型多样，涉及了选择题、填空题、解答题以及综合题等。
因此，考生在备考过程中需要对每种题型进行充分的练习和掌握，掌握基础知识的同时，也要注重解题技巧的积累和应用。
在准备概率统计部分考试的过程中，同学们还需要注重对知识点的理解和记忆，同时进行大量的习题练习，做到理论联系实际。
此外，注意解题过程中科学合理地运用公式和数学方法，同时要善于归纳总结，使得问题的解决更加精准和高效。
最后，祝愿同学们在高考中取得优异的成绩，实现自己的梦想！。
2024_2025年高考数学真题分类汇编专题14概率与统计填空题文
专题14概率与统计(填空题)近三年高考真题1．（2024•上海）现有某地一年四个季度的GDP （亿元），第一季度GDP 为232（亿元），第四季度GDP 为241（亿元），四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为 （亿元） ．【答案】946（亿元）．【解析】设其次季度GDP 为x 亿元，第三季度GDP 为y 亿元，则232241x y <<<，中位数与平均数相同， ∴23224124x y x y ++++=， 473x y ∴+=，∴该地一年的GDP 为232241946x y +++=（亿元）．故答案为：946（亿元）．2．（2024•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm ，最小值为154cm ，依据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．【答案】7．【解析】极差为18615432-=，组距为5，且第一组下限为153.5，32 6.45=，故组数为7组， 故答案为：7．3．（2024•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有肯定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ． 【答案】120；35． 【解析】设盒子中共有球15n 个，则甲盒子中有黑球2n 个，白球3n 个，乙盒子中有黑球n 个，白球3n 个，丙盒子中有黑球3n 个，白球3n 个， 从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为23154620n n n n n n ⨯⨯=； 将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率93155n n =．故答案为：120；35．4．（2024•乙卷（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参与社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【答案】3 10【解析】设5人为甲、乙、丙、丁、戊，从5人中选3人有以下10个基本领件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；甲、乙被选中的基本领件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被选中的概率为310．。
2024高考数学概率与统计历年题目综合解析
2024高考数学概率与统计历年题目综合解析数学是高考中的一门重要科目，而其中的概率与统计部分更是高考数学中的难点之一。
为了帮助同学们更好地备考，本文将对2024年高考数学概率与统计部分的历年题目进行综合解析，帮助大家全面了解各种题型的解题思路。
以下将分为两个部分进行讲解。
第一部分：概率题目解析概率题目是数学中常见的题型之一，解决概率题主要是根据条件和已知信息进行分析和计算。
下面我们通过几道历年高考题来讲解一下解题技巧。
题目1：（2020年高考真题）某公司准备派销售人员去拜访某地的客户，已知每位销售人员能成功地使该地的客户转变为合作伙伴的概率是0.6。
如果派去2位销售人员，使该地的客户转变为合作伙伴的概率是多少？解析：根据题目可知，每位销售人员能成功地使客户转变为合作伙伴的概率是0.6。
而派去2位销售人员，只要其中一位成功，就能实现转变。
我们可以通过排除法来计算。
如果第一位销售人员成功，第二位失败，概率为0.6 * 0.4 = 0.24。
如果第一位销售人员失败，第二位成功，概率同样为0.24。
如果两位销售人员都成功，概率为0.6 * 0.6 = 0.36。
将这三种情况的概率相加，得到总概率为0.24 + 0.24 + 0.36 = 0.84。
因此派去2位销售人员，使该地的客户转变为合作伙伴的概率为0.84。
题目2：（2018年高考真题）某公司招聘了3名销售人员，其中1名有2%的概率在第一年辞职，另外两名均有1%的概率在第一年辞职。
问第一年内这家公司至少有一名销售人员辞职的概率是多少？解析：题目中要求计算至少有一名销售人员辞职的概率，我们可以通过计算不发生该事件的概率，然后用1减去该概率来得到。
第一名销售人员不辞职的概率是1 - 0.02 = 0.98。
第二名销售人员不辞职的概率是1 - 0.01 = 0.99。
第三名销售人员不辞职的概率是1 - 0.01 = 0.99。
由于三名销售人员的辞职情况是相互独立的，我们可以将它们的概率相乘，得到不发生任何人员辞职的概率为0.98 * 0.99 * 0.99 ≈ 0.9702。
2024年高考数学概率统计历年真题精细分析
2024年高考数学概率统计历年真题精细分析概率统计是高中数学中的一门重要的学科，也是在高考数学卷中占有一定比重的内容。
通过对历年真题的精细分析，我们可以更好地理解和掌握概率统计的知识点，提高解题能力和应对高考的能力。
下面，我们将对2024年高考数学概率统计部分的历年真题进行精细分析，帮助同学们深入了解考点，掌握解题技巧。
1. 第一题【题目描述】某校全年级的学生身高数据如下：- 140cm-150cm：30人- 150cm-160cm：60人- 160cm-170cm：80人- 170cm-180cm：50人- 180cm-190cm：30人从中随机抽取一位同学，求身高在160cm以上的概率。
【解题思路】首先，计算总人数：30 + 60 + 80 + 50 + 30 = 250。
然后，计算身高在160cm以上的学生人数：80 + 50 + 30 = 160。
最后，计算概率：160 / 250 ≈ 0.64。
【解答】身高在160cm以上的概率为0.64。
2. 第二题【题目描述】一袋中有12个黑球和8个白球，从中无放回地抽取3个球，求至少有2个黑球的概率。
【解题思路】首先，计算总球数：12 + 8 = 20。
然后，计算抽取至少2个黑球的情况有几种：- 抽取2个黑球：C(12, 2) * C(8, 1) = 66 * 8 = 528- 抽取3个黑球：C(12, 3) = 220最后，计算概率：(528 + 220) / C(20, 3) ≈ 0.343。
【解答】抽取至少有2个黑球的概率为约0.343。
3. 第三题【题目描述】设事件A、B相互独立。
若P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，则P(A∪B) = ?【解题思路】由题意可知，事件A、B相互独立，则P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)。
已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，且相互独立，则P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.3 = 0.12。
2024年高考数学概率与统计真题深度解读
2024年高考数学概率与统计真题深度解读2024年高考数学考试中的概率与统计题目是考生们备受关注的重要部分。
本文将对该年份的真题进行深度解读，帮助考生们更好地理解并应对这类题型。
以下是对主要题目的详细解析。
第一题：概率计算【题目】某游乐园的过山车共有10个座位，游客依次排队入座。
已知第一个游客会坐在左边或者右边的两个座位之一，之后的每个游客都会选择一个尚未坐人的座位，并以1/2的概率选择坐在剩下的左边或右边座位。
那么，最后一个游客坐在左边座位的概率是多少？【解析】根据题目给出的排队规则，我们可以逐步分析游客入座的情况。
首先，第一个游客的入座位置有两种可能，坐在左边座位的概率为1/2，坐在右边座位的概率也为1/2。
接下来，第二个游客入座时，如果第一个游客坐在左边座位，那么第二个游客只能选择右边座位，因此第二个游客坐在左边座位的概率为0；同理，如果第一个游客坐在右边座位，那么第二个游客也只能选择左边座位，因此第二个游客坐在左边座位的概率为1/2。
类似地，我们可以继续推理，得到如下表格：游客编号坐在左边座位的概率第1个游客 1/2第2个游客 0第3个游客 1/2第4个游客 1/4第5个游客 1/8...第10个游客 1/512最后一个游客坐在左边座位的概率等于所有游客选择左边座位的概率之和，即：1/2 + 0 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/512 = 1 - 1/512 = 511/512因此，最后一个游客坐在左边座位的概率为511/512。
第二题：统计分析【题目】某班级有50名学生，其中30人会打篮球，20人会踢足球，10人既会打篮球又会踢足球。
现在从班级中随机选择一名学生，问他/她既不会打篮球也不会踢足球的概率是多少？【解析】根据给出的信息，我们可以利用概率的加法原理和减法原理来求解该题目。
首先，既会打篮球又会踢足球的学生人数为10人，因此会打篮球的学生人数为30-10=20人，会踢足球的学生人数为20-10=10人。
高考数学2024概率统计历年真题研究
高考数学2024概率统计历年真题研究1、引言在高中数学学科中，概率统计是一个重要的分支，也是高考数学考试中的一部分。
掌握概率统计的方法和技巧对于高考的顺利通过至关重要。
为了帮助同学们更好地复习概率统计，本文将通过对历年真题的研究，总结出一些关键点和解题思路。
2、概率统计知识点总结在历年的高考概率统计题目中，可以总结出以下几个高频的知识点：2.1 概率计算概率计算是概率统计中最基础的内容之一。
在计算概率时，常常需要根据题目条件进行排列组合的计算，并利用乘法原理和加法原理来求解。
在解题时，我们要注意条件的转化和计算的精度，避免出现错误的结果。
2.2 随机事件与样本空间随机事件与样本空间的概念是概率统计中的基本概念。
了解事件与样本空间的关系，并能够正确地描述和分析事件发生的可能性是解题的前提。
2.3 条件概率条件概率是指在已知一定条件下，某一事件发生的概率。
在解题时，要注意条件概率的计算和条件的转化，灵活应用条件概率公式进行解题。
2.4 事件的独立性事件的独立性是指两个事件相互之间没有影响，一个事件发生与否不影响另一个事件发生的概率。
在解题时，要判断事件之间是否独立，并灵活运用独立事件的概率计算公式。
2.5 排列与组合排列与组合是概率统计中经常出现的计算方法。
在解题时，要根据题目给出的条件，确定是需要计算排列还是组合，并正确地进行计算，确保结果的准确性。
3、历年真题分析通过对历年概率统计相关真题的分析，我们可以发现以下一些规律和解题技巧：3.1 题目类型的多样性高考概率统计题目的类型很多，涉及到概率计算、条件概率、事件的独立性等多个方面。
在复习时，要对各种类型的题目都进行适当的练习和掌握。
3.2 理解题目条件的重要性在解答概率统计题目时，理解题目给出的条件是解题的关键。
有时，题目中给出的条件并不是直接用于计算概率，而是需要经过一些转化才能得到正确的答案。
因此，对题目条件的准确理解至关重要。
3.3 解题思路的灵活运用在高考概率统计题目中，解题思路的灵活运用非常重要。
高考数学概率与统计2024历年真题深度探究
高考数学概率与统计2024历年真题深度探究概率与统计是高考数学中非常重要的一个章节，几乎每年都会在高考中出现相关的题目。
为了更好地备战高考，我们有必要深入探究2024年历年真题中与概率与统计相关的题目。
本文将结合相关题目，对概率与统计知识点进行深度探讨，并分享解题技巧。
一、概率与统计基础知识回顾在开始深入探究2024年历年真题之前，我们首先回顾一下概率与统计的基础知识。
1.1 概率概率是指某一事件发生的可能性大小。
常见的概率计算方式包括古典概型、几何概型和统计概型等。
1.2 统计统计是指通过收集、整理、分析和解释数据，得出相应结论的方法和过程。
统计学的主要任务是描述和分析数据，提供科学的决策依据。
在解题过程中，我们需要灵活应用概率和统计相关的知识点，从而高效解决问题。
二、深度解析2024年历年真题2.1 题目一：某班有60名学生，其中有30名男生，30名女生。
在这60名学生中，有10名学生使用眼镜。
从这60名学生中随机选择1名学生，求选中的学生是男生或使用眼镜的概率。
解析：根据题目，我们可以得到男生和女生的概率为1/2，使用眼镜的概率为10/60=1/6。
我们需要求解选中学生是男生或使用眼镜的概率，可以利用概率的加法原理求解。
即P(男生或使用眼镜)=P(男生)+P(使用眼镜)-P(男生且使用眼镜)。
代入数值计算得出结果。
2.2 题目二：一批电视机每天的正常出厂台数为800台，其中有2%的产品是次品。
从这批电视机中随机选择10台，求这10台中正常品台数不超过8台的概率。
解析：根据题目，我们可以得到次品的概率为2%。
我们需要求解10台电视机中正常品台数不超过8台的概率，可以利用概率的互补事件求解。
即求出正常品台数为8、9、10的概率，并计算其互补事件，即正常品台数不超过8台的概率。
2.3 题目三：某市2019年度的高温天数为80天，低温天数为100天。
每个月的高温和低温天数呈现周期性变化。
预计2024年该市高温天数将增加20%。
2024年高考数学概率模型的构建与分析历年真题
2024年高考数学概率模型的构建与分析历年真题在2024年的高考数学考试中，概率模型是一个重要的考点。
本文将通过分析历年真题，来构建和分析2024年高考数学概率模型。
一、选择题选择题是高考数学中常见的题型之一，也是考核学生对基本概率概念和计算的掌握程度。
下面是几道典型的选择题，我们通过它们来构建概率模型。
例题1：某班学生的身高服从正态分布，均值为165cm，标准差为5cm。
则某个学生的身高大于170cm的概率是多少？解析：首先，我们知道正态分布曲线可以通过均值和标准差来确定。
假设X是某个学生的身高，则X服从正态分布N(165, 25)。
我们需要求解P(X > 170)，即求出170对应的标准正态分布的累积概率值。
通过查表或使用计算器，我们可以得到P(Z > 1) ≈ 0.1587。
所以，某个学生的身高大于170cm的概率约为0.1587。
例题2：有5个不同色子，每个色子的6个面分别标有1至6的整数。
现随机抽取一个色子，把它掷一次，设色子的数字为X，求P(X ≤ 3)。
解析：每个色子的数字都是等可能出现的，所以每个数字出现的概率都是1/6。
我们只需要统计出1、2、3这三个数字出现的概率即可。
由于只有一个色子，所以取得这三个数字的概率相加就是所求的结果，即P(X ≤ 3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2。
通过以上两个例题，我们可以看到概率模型用来解析选择题时通常涉及到概率分布的计算。
我们可以通过给定的条件来构建概率分布，并利用已知的概率分布进行计算。
二、填空题填空题是另一种常见的高考数学题型，它要求学生根据已知条件计算出特定的概率值。
以下是两个例题。
例题3：某班级有60人，其中30人擅长足球，20人擅长篮球，10人既擅长足球又擅长篮球。
从中随机选取一名学生，则这名学生既擅长足球又擅长篮球的概率是多少？解析：根据题目给出的条件，我们可以利用集合的概念来计算概率。
设A表示擅长足球的学生，B表示擅长篮球的学生，我们需要求解P(A∩B)。
高考数学2024概率与统计历年题目全解
高考数学2024概率与统计历年题目全解概率与统计作为高考数学中的重要部分，一直是考生们难以逾越的“坎”。
为了帮助广大考生更好地应对高考概率与统计部分的考题，本文将对高考数学2024年概率与统计题目进行全面解析，希望能够为考生们提供帮助和指导。
1. 选择题部分选择题是高考中概率与统计部分的常见题型，也是考生们容易出错的地方。
以下是2024年高考概率与统计选择题的解答：题目一：已知事件A发生的概率为P(A)=0.6，事件B发生的概率为P(B)=0.3，且事件A与事件B相互独立。
求事件A发生且事件B不发生的概率。
解答一：事件A发生且事件B不发生，表示为A发生的概率P(A)乘以B不发生的概率P(B')，即P(A且B')=P(A)×P(B')=0.6×(1-0.3)=0.6×0.7=0.42。
因此，事件A发生且事件B不发生的概率为0.42。
题目二：已知事件C发生的概率为P(C)=0.4，事件D发生的概率为P(D)=0.5，且事件C与事件D相互独立。
求事件C或事件D发生的概率。
解答二：事件C或事件D发生，表示为C发生的概率P(C)加上D发生的概率P(D)，即P(C或D)=P(C)+P(D)=0.4+0.5=0.9。
因此，事件C或事件D发生的概率为0.9。
2. 计算题部分计算题是概率与统计部分的重要考察内容，需要考生们掌握一定的计算方法和技巧。
以下是2024年高考概率与统计计算题的解答：题目一：某班有40名学生，其中20名男生、20名女生。
现从该班级随机选取3名学生，求选出的3名学生全为男生的概率。
解答一：选出的3名学生全为男生的概率等于从20名男生中选取3名学生的概率除以从40名学生中选取3名学生的概率。
即P(全为男生)=C(20,3)/C(40,3)=[20×19×18]/[40×39×38]=0.0283。
因此，选出的3名学生全为男生的概率为0.0283。
数学高考概率与统计2024历年真题精析
数学高考概率与统计2024历年真题精析概率与统计是高中数学的一个重要分支，也是高考数学中的一大考点。
为了帮助同学们更好地备考概率与统计部分，本文将对2024年历年真题进行精析，希望能够给大家带来一定的帮助。
一、选择题1. 设事件A和事件B为互不相容事件，P(A)=0.2，P(B)=0.3，则P(A∪B)的值为多少？解析：根据概率的加法公式，对于互不相容事件的概率求和为各个事件概率之和。
所以，P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.2 + 0.3 = 0.5。
2. 设事件A和事件B为独立事件，P(A)=0.4，P(B)=0.5，则事件A和事件B同时发生的概率是多少？解析：对于独立事件，事件A和事件B同时发生的概率等于各个事件概率的乘积。
所以，P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2。
3. 一家手机厂商共生产两类手机：A型手机和B型手机。
根据过去的统计数据，A型手机的销售量占总销售量的30%，B型手机的销售量占总销售量的70%。
据此，每月销售量在2000台以上的概率是多少？解析：根据统计数据，A型手机销售量的概率为0.3，B型手机销售量的概率为0.7。
要计算每月销售量在2000台以上的概率，可以根据正态分布的性质，找到对应的标准正态分布表格，查找对应的概率值。
假设每月销售量的平均值为μ，标准差为σ，根据题目信息我们可以得到：0.3μ + 0.7μ = 2000。
解得μ = 2000。
再根据标准差的定义，若每月销售量为X，则X～N(2000,σ^2)。
根据标准正态分布表格，可以找到X > 2000的概率值，即我们所求的答案。
二、填空题1. 在班级里，60%的学生练习了足球，40%的学生练习了篮球，且有15%的学生既练习足球又练习篮球。
求有练习运动的学生中，只练习一种运动的比例。
解析：根据容斥原理，有练习运动的学生中，只练习一种运动的比例等于P(足球) + P(篮球) - 2P(足球∩篮球)。
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高考数学专题2024概率与统计历年题目解析概率与统计作为高考数学的重要部分，占据了相当大的比重。
掌握
概率与统计的相关知识对于考生来说是至关重要的。
本文将通过对
2024年高考概率与统计专题历年题目的解析，帮助考生更好地理解和
掌握这一部分知识点。
一、选择题解析
选择题是高考中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解题技巧是
很重要的。
题目1：某班有30名学生，其中男生占总人数的40%。
已知从该班随机抽取一名学生，他是男生的概率是多少？
解析：根据题目可知男生的人数为30 × 40% = 12人，所以男生的
概率是12/30 = 2/5。
题目2：某工厂生产零件，每天生产150个。
已知每个零件的质量
标准为99%，A同学随机抽样抽取2个零件，请问这两个零件都合格
的概率是多少？
解析：每个零件合格的概率为99% × 1/100 = 0.99。
因为是随机抽取，所以这两个零件都合格的概率为0.99 × 0.99 = 0.9801。
二、解答题解析
解答题在概率与统计中也占据重要地位，考察学生的综合应用能力
和解题能力。
题目3：某校学生的身高服从正态分布，其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm；女生的平均身高为165cm，标准差为4cm。
已知该校男女生比例为2：3，请问在该校随机抽取一个学生，他身高超过175cm的概率是多少？
解析：根据题目可知男生的概率为2/5，女生的概率为3/5。
设男生身高超过175cm的概率为p1，女生身高超过175cm的概率为p2。
根据正态分布的性质，可以计算出男生身高超过175cm的概率为0.5 × (1 - p1) = 2/5，女生身高超过175cm的概率为0.5 × (1 - p2) = 3/5。
解方程得到p1 = 1/5，p2 = 2/5，所以在该校随机抽取一个学生，他身高超过175cm的概率为(2/5) × (1/5) + (3/5) × (2/5) = 11/25。
题目4：一家工厂生产某种产品，质量合格率为95%。
从该工厂随机抽取10个产品进行质量检测，请问其中至少有一个不合格品的概率是多少？
解析：一个产品不合格的概率为1 - 95% = 5%。
所以10个产品都合格的概率为0.95^10 ≈ 0.599。
所以至少有一个不合格品的概率为1 -
0.599 ≈ 0.401。
三、案例分析题解析
案例分析题是对考生综合运用概率与统计知识进行解答，考验考生的逻辑思维和分析能力。
题目5：某地区某种疾病的发病率是0.02。
现将该地区的人群分为两类，一类是患者，一类是正常人。
已知在所有的报告中，有80%是
真正的患者，且凡是真正的患者都会报告，但也会有10%的正常人错
误地报告成患者。
现在已知某人报告了该种疾病，请问他真的患病的
概率是多少？
解析：设某人真的患病的概率为A，报告中不患病、却报告患病的
概率为B，报告中患病、确实患病的概率为C。
根据贝叶斯定理，可以得到以下等式：A × 0.8 = C，(1 - A) × 0.1 = B，A + (1 - A) = 0.02。
解方程可得A=0.9625，即某人报告了该种疾病，他真的患病的概率为
96.25%。
综上所述，通过对2024年高考数学概率与统计专题历年题目的解析，我们可以看出解题的关键在于对知识点的深入理解和运用。
希望
考生能充分利用这些解析，巩固和提高自己的概率与统计的解题能力，取得优异的成绩。
同时也希望考生能够正确认识概率与统计在现实生
活中的应用，将所学知识与实际问题相结合，发掘概率与统计的深层
意义。
祝愿所有考生在高考中取得好成绩！。