(优选)复变函数留数和留数定理
复变函数与留数定理
复变函数与留数定理复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
复变函数具有许多独特的性质和定理，其中留数定理是复分析中的重要内容之一。
本文将介绍复变函数的基本概念和留数定理，并探讨其应用及相关性质。
一、复变函数的基本概念1. 复数与复平面复数由实部和虚部构成，可以表示为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i为虚数单位。
复平面是以实部和虚部为坐标轴的平面，可将复数表示为一个点在平面上的位置。
2. 复变函数的定义复变函数f(z)是将复平面中的每个点z映射到另一个复数w的规则。
它可以表示为w=f(z)，其中z和w都是复数。
3. 解析函数解析函数是指在某个区域内可导的复变函数。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即偏导数存在且连续。
4. 复变函数的性质与实变函数类似，复变函数也具有加法、乘法、除法和复合等性质。
此外，复变函数还具有解析性和保持拓扑的性质。
二、留数定理的基本概念1. 留数的定义留数是指复变函数在孤立奇点处的积分残余。
对于具有孤立奇点的复变函数，可以通过计算留数来求解相关积分。
2. 留数定理（1）留数定理的形式留数定理是指对于具有简单闭合围道的复变函数f(z)，其在围道内部的留数之和等于围道上的积分值。
数学上可表示为∮ f(z)dz = 2πi * (Sum(Res(f,zk)))，其中∮表示围道上的积分，Res表示留数。
（2）留数定理的应用留数定理在求解复分析中的积分具有重要作用。
它可以简化积分计算的过程，特别适用于含有极点和奇点的函数。
三、留数定理的应用案例1. 计算围道积分通过留数定理，我们可以将一些复杂的积分问题转化为计算围道内的留数。
根据留数定理，可以将围道上的积分转化为计算留数的和，从而简化计算过程。
2. 求解实数积分通过将实数积分转化为复数积分，并利用留数定理的性质，我们可以求解一些难以计算的实数积分。
这种方法被称为留数法，为求解实变函数积分提供了一种有效的途径。
3. 应用于物理问题留数定理在物理学中也有广泛的应用。
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与积分变换5.2留数
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都 解 析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)
1 z - z0
( z ),
其 中 (z)在 z 0 解 析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的 一 级 极 点 .
根 据 规 则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1
e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2
复变函数与留数定理
复变函数与留数定理复变函数在数学中有着重要的地位，它是实变函数的推广和扩展。
复变函数的研究依赖于留数定理，这是复分析中的重要概念。
本文将介绍复变函数以及留数定理的基本概念和应用。
一、复变函数的定义与性质复变函数是定义在复数域上的函数，其定义域和值域都是复数集合。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u和v是实变函数。
复变函数和实变函数的性质有相似之处，如连续性、可微性和可导性等。
但复变函数的导数是一个复数，具有方向和模的概念。
二、留数定理的基本概念留数是复变函数在孤立奇点处的特殊性质。
留数定理是复变函数理论中的核心内容之一。
对于函数f(z)，若z=a是它的孤立奇点，可以通过留数计算沿闭合曲线的积分。
留数定理包括留数定理、柯西公式和狄利克雷问题等。
1. 留数定理留数定理是针对有限孤立奇点的情况。
当f(z)在区域D内有孤立奇点a1,a2,...,an时，针对闭合曲线C内的函数f(z)，可以通过求解a1,a2,...,an处的留数来计算C上的积分。
这个定理在复积分计算、曲线积分和求和等问题中有广泛的应用。
2. 柯西公式柯西公式是留数定理的一个重要推论。
柯西公式表明，如果函数f(z)在区域D内解析（即可导），则它在D内的任何闭合曲线C上的积分为零。
这个结论为复变函数的求解和计算提供了方便。
3. 狄利克雷问题狄利克雷问题是留数定理与边值问题相结合的应用，它在电磁学和热传导等领域中起着重要作用。
狄利克雷问题可以通过留数定理求解，将定义在一条封闭曲线上的边值问题转化为计算特定点上的积分问题。
三、复变函数与实变函数的关系复变函数理论是实变函数理论的扩展和推广，两者之间有着密切的联系。
复分析的基本定理和方法可以归结为实分析的特殊情况，同时复分析也为实分析提供了新的解题思路和工具。
1. 复变函数的导数与实变函数的导数复变函数的导数是一个复数，可以表示为f'(z)=u_x+iv_x，其中u_x和v_x是u和v相对于x的偏导数。
留数定理与复变函数的积分
留数定理与复变函数的积分留数定理与复变函数的积分留数定理与复变函数的积分是高等数学中关于函数积分的一种重要内容，它在应用数学、物理学和工程学等领域有着很大的用途。
下文介绍一下留数定理与复变函数的积分：一、留数定理1. 概念留数定理（ResidueTheorem）是18世纪荷兰数学家弗兰克·泰勒提出的理论，是用以解决复变函数的积分的一种方法，它可以将某一复变函数的积分问题转化为该函数的根的积分来解决，而这些根可以通过特殊的方法求出。
2.应用由于留数定理，可以把复变函数的积分问题，包括复杂的褶积列、无穷级数等，转换成一系列的极限，利用极限的简单特性，可以将复杂的积分准确合理地解决掉。
这样可以大大缩短计算时间，提高准确度，因此，在工程中有很多应用。
二、复变函数的积分1. 概念复变函数（Complex Function）积分，是指把复变函数分解为可导函数的积分，而复变函数同时又包括实函数积分和虚函数积分，是一种特殊的积分。
2. 公式复变函数积分公式为：$$\int_{\gamma}f(z)dz=\int_a^b(u(z)dx+v(z)dy)$$其中，$\gamma$表示所讨论的积分的边界，$u(z)$与$v(z)$分别是复变函数$f(z)$在$z$处取得实函数与虚函数值。
3. 应用复变函数积分的应用泛泛，在日常生活中有很多使用，比如物理学中单晶极化、多晶变形、电学等、数学与统计学中多元函数的积分及拉格朗日插值等等，复变函数积分在很多领域的应用都显得十分重要。
三、结论留数定理与复变函数的积分是一个关于高等数学中函数积分的重要内容，它在工程学、物理学等领域得以深入的应用，简化了一些复杂的积分问题带来的计算时间，提高了精度，从而起到事半功倍的效果。
复变函数留数和留数定理
f
( z )]
说明 将函数的零阶导数看作它本身, 规则1可看作 规则2当n=m=1时的特殊情形, 且规则2可取m=1.
6
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那么 z0 为
f (z) 的一级极点, 且有
一Δ 、留数的定义和计算
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
f (z) 在 0 z z0 R 内的 Laurent 级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-
z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得
Re s f (z), z0 0
4
(2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
9
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
Res[
f
(z),0]
大学数学复变函数的解析性与留数定理
大学数学复变函数的解析性与留数定理复变函数是数学中重要的概念之一，其在复平面上有着独特的性质与定理。
其中，解析性与留数定理是复变函数的核心内容。
本文将详细介绍大学数学中复变函数解析性与留数定理的概念、性质和应用。
一、解析性的概念与性质解析性是复变函数的最基本性质之一，它表示在定义域内处处可导。
具体定义如下：定义1：设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在复平面上的函数，若f(z)在其定义域内任意一点z0都可导，则称f(z)在该区域是解析的。
接下来，我们来讨论解析性的性质。
性质1：解析函数是连续的。
即，若f(z)是解析函数，则f(z)在其定义域内连续。
性质2：解析函数的导数也是解析函数。
具体而言，若f(z)是解析函数，则f'(z)也是解析函数。
性质3：解析函数的实部与虚部分别满足实轴与虚轴上的某个柯西-黎曼方程组。
具体而言，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在某区域上的解析函数，则u(x,y)与v(x,y)分别满足以下柯西-黎曼方程组：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x二、留数定理的概念与应用留数定理是复变函数理论中的重要工具，它用于计算函数在奇点处的留数，并在复积分计算中发挥着重要的作用。
我们先来了解留数的概念。
定义2：设f(z)是定义在某区域上的解析函数，z0是f(z)的孤立奇点，若存在常数Res(f,z0)，使得对于任意以z0为中心的圆内部的路径γ，有以下等式成立：∮(f(z)dz) = 2πiRes(f,z0)留数的计算方法有多种，其中最常用的方式是留数定理。
留数定理给出了计算函数在孤立奇点处留数的方法，具体表述如下：定理1（留数定理）：设f(z)是定义在某区域上的解析函数，z0是f(z)的孤立奇点，若f(z)在z0处的展开式为：f(z) = Σ(a_n(z-z0)^n)则f(z)在z0处的留数为：Res(f,z0) = a_(-1)利用留数定理，我们可以解决一些重要的数学问题。
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
复变函数留数定理
复变函数留数定理复变函数留数定理（Residue Theorem）是复分析中的重要概念，用于计算对应于奇异点（singular point）的留数（residue）。
留数定理提供了计算复变函数沿闭曲线的积分的一种有效方法，它与复分析中其他重要的定理和方法相辅相成，对于解决实际问题具有重要意义。
一、留数的定义设函数f(z)在点z=a附近解析且具有洛朗展开式f(z)=∑(n=-∞)^∞ a(n)(z-a)^n其中a(n)是复数，令C为以a为圆心的半径为R的圆周，且其方向与实轴正方向一致。
如果函数f(z)在圆盘界上的点（除去a点）上解析，则称a点是函数f(z)的奇异点。
奇异点主要有三种形式：可去奇点、极点和本性奇点。
对于函数f(z)一个奇异点a，定义留数Res[f(z), a]为Res[f(z), a] = a(-1)即留数等于洛朗展开式的一次项系数a(-1)。
二、留数的求解方法1. 求可去奇点的留数当a点是函数f(z)的可去奇点时，即a点是f(z)的解析点，那么留数等于0。
2. 求一阶极点的留数当a点是函数f(z)的一阶极点时，即a点是f(z)的奇异点且它的最低零次是-1次，要求a(-1)≠0。
此时留数可以通过以下方法求解：Res[f(z), a] = lim(z→a) (z-a)f(z)3. 求高阶极点的留数当a点是函数f(z)的高阶极点时，即a点是f(z)的奇异点且它的最低零次大于等于-1次。
此时留数可以通过以下公式计算：Res[f(z), a] = a(-1) = 1/(n-1)! * d^(n-1)/dz^(n-1) [(z-a)^n * f(z)]其中，n为a点的零次。
三、留数定理的表述留数定理的基本表述为：设函数f(z)在闭合曲线C的内部除有限个奇异点外是全纯的，则有积分公式成立：∮[C] f(z)dz = 2πi * ∑ Res[f(z), a]其中，[C]代表C内部的积分，∑代表对所有奇异点求和。
复变函数中的留数定理推广
复变函数中的留数定理推广复变函数中的留数定理推广是一个重要的数学概念，它在解析几何、复分析以及其他一些数学领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨留数定理的推广并介绍其相关的一些概念和定理。
首先，我们回顾一下复变函数中的留数定理。
对于一个在某个区域内解析的函数，如果它在这个区域的一个孤立奇点z0处有留数，则沿着这个奇点的闭合曲线积分等于2πi乘以该函数在奇点处的留数，即：∮C f(z)dz = 2πi Res(f, z0)其中C是围绕z0的一个简单闭合曲线，f(z)是在C内解析的函数，Res(f, z0)表示f(z)在z0处的留数。
现在，我们来考虑留数定理的推广。
实际上，在复变函数中存在一类更广泛的情况，当函数在奇点处有无穷阶极点时，我们仍然可以推广留数定理。
这类情况下，留数的计算需要用到极点的Laurent级数展开。
设f(z)在区域D中除了一个可去奇点z=a外解析，并且存在正数R，使得当0<|z-a|<R时，f(z)可以展开为Laurent级数的形式：f(z) = ∑(n=-∞)^(∞) c(n)(z-a)^n其中c(n)是常数系数。
在这种情况下，我们可以得到一个推广的留数定理：1/2πi ∮C f(z)dz = ∑(n=-∞)^(∞) c(n)这个推广定理表明，即使函数存在无穷阶的极点，我们仍然可以通过求和极点处的系数来计算曲线积分，而不再需要判断极点的类型。
这个推广留数定理在解析几何中有许多应用。
例如，在计算复平面上的奇点和极点时，我们可以利用这个定理来计算曲线积分，从而简化计算过程。
在复分析中，留数定理的推广也有一些重要的应用。
例如，可以用于计算奇点的残差和积分，以及在数论中的应用。
综上所述，复变函数中的留数定理的推广是一个重要的数学概念，它在解析几何、复分析以及其他一些数学领域中都有广泛的应用。
通过推广留数定理，我们可以在更广泛的情况下计算曲线积分，并简化复杂的计算过程。
《高等数学教学资料》第二节留数与留数定理
本节介绍高等数学中重要的留数与留数定理。掌握留数的概念、计算方法， 以及留数定理的应用与证明。
留数的概念
1 复数函数
留数是复数函数在奇点处的特殊数值，表示函数在该点的振荡与增长趋势。
2 奇点分类
简单极点、高阶极点和可去奇点是计算留数时常见的情况。
留数的计算方法
留数定理的条件
曲线内只包含有限个奇点，而且这些奇点都是简单极点。
留数定理的应用举例
1
计算积分
应用留数定理计算各类复杂积分，简化计算步骤。
2
计算级数和
利用留数定理求解级数和，加速计算结果的收敛性。
3
求解微分方程
通过留数定理将微分方程的解转换成复古底的积分，简化解题过程。
留数定理的证明
积分路径变形
通过曲线拓扑及路径变形证明留 数定理的成立。
1 留数是复数函数在奇 2 了解常见的奇点分类 3 掌握留数定理的概念、
点处的特殊数值，表
和计算留数的方法，
条件、应用和证明过
示函数的振荡和增长
为留数定理的应用打
程，提升数学问题的
趋势。
下基础。
解题能力。
洛朗展开运算
基于洛朗级数展开，从留数的角 度给出留数定理的证明过程。
柯西积分定理
由柯西积分定理推导出留数定理 的证明。
留数定理的推广
1 留数的互补性
对于一些特殊情况，留数可以相互抵消，使 得计算更加简洁。
2 多重极点的处理
对于高阶极点，可以通过留数的推广方式处 理，进一步扩展留数定理的应用。
总结和要点
剩余定理
通过与柯西积分定理联合使用， 利用奇点的留数计算复杂容朗级数，借助级数中的留数项 计算积分。
复变函数留数和留数定理
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理论支撑
复变函数留数和留数定理是数学领域 中非常重要的概念，它们在复分析、 积分方程、特殊函数等领域有着广泛 的应用。留数定理是解决复积分问题 的重要工具，它可以用来计算复平面 上的曲线积分，解决物理和工程领域 中的许多问题。
留数的计算方法包括直接法、参数法 和级数展开法等。其中，直接法是最 常用的方法，通过将函数在奇点附近 进行泰勒展开，然后利用展开式计算 留数。参数法和级数展开法则适用于 某些特殊情况，如函数具有特定的对 称性或周期性等。
2πi f(z0)，其中z0是该开域内的点。
应用范围
02 柯西积分公式适用于解析函数，即在其定义域内可微
的函数。
特殊情况
03
当z0是奇点时，柯西积分公式不适用。
积分定理和路径的选取
积分定理
如果f(z)在包含z0的开
域内解析，则对于该开
域内的任何两个点z1和
z2，有∫f(z)dz
=
∫f(z)dz + f(z2)(z1-
留数定理是复分析中的核心定理之一 ，它建立了奇点、积分和留数之间的 联系。通过留数定理，我们可以将复 杂的积分问题转化为相对简单的留数 计算问题，从而简化计算过程。此外 ，留数定理还可以用来研究函数的奇 点性质和函数在无穷远点的行为等。
对未来研究和应用的展望
深入研究留数定理
应用领域的拓展
尽管我们已经对留数定理有了较为深 入的了解，但仍有许多未解决的问题 和需要进一步研究的方向。例如，对 于具有更复杂奇点的函数，如何更准 确地计算留数？如何利用留数定理解 决更广泛的积分问题？这些都是值得 探讨的问题。
02
复变函数基础知识
复数及其运算
复数
复变函数的全纯函数与调和函数性质及留数定理及洛必达法则与泰勒展开
复变函数的全纯函数与调和函数性质及留数定理及洛必达法则与泰勒展开复变函数是复数域上的函数，它可以表示为两个实数变量的函数。
全纯函数是指在其定义域上解析的复变函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的复变函数。
本文将探讨全纯函数和调和函数的性质，以及留数定理、洛必达法则和泰勒展开的应用。
1. 全纯函数的性质全纯函数是复变函数中一个重要的概念，它具有一些特殊的性质。
首先，全纯函数在其定义域上解析，即它在该域上无奇点。
其次，全纯函数是无穷可微的，也就是说它的所有阶导数都存在。
此外，全纯函数的导数仍然是全纯的。
这一性质被称为全纯函数的解析性。
根据解析性质，我们可以在全纯函数上应用复变函数的求导法则，并得到结果。
2. 调和函数的性质调和函数是复变函数中的另一个重要概念，它是满足拉普拉斯方程的函数。
在二维空间中，调和函数满足Δf=0，其中Δ是拉普拉斯算子。
调和函数具有一些重要的性质，如最大值原理和平均值性质。
最大值原理指出，调和函数在其定义域上的最大值只能在边界上取到，而不能在内部取到。
平均值性质说明了调和函数在其定义域上的取值与边界上的取值之间存在一定的关系。
3. 留数定理及其应用留数定理是复变函数理论中的重要定理，它与全纯函数的奇点有关。
留数定理表明，如果在一个闭合曲线内除去有限个奇点，那么曲线内的奇点和曲线上的积分之和等于零。
该定理在数学和物理学中有广泛的应用，如计算复积分、求解微分方程等。
4. 洛必达法则与泰勒展开的应用洛必达法则是求解极限的一种常用方法，它可以用于计算无穷小量之间的比值。
在复变函数中，洛必达法则同样适用于计算复数函数的极限。
泰勒展开是复变函数中另一个重要的工具，它可以将一个函数表示为幂级数的形式。
泰勒展开在近似计算和函数逼近中有广泛的应用。
综上所述，复变函数的全纯函数和调和函数具有一些特殊的性质，留数定理和洛必达法则与泰勒展开是复变函数理论中的重要工具。
深入理解和应用这些概念和定理，对于研究和解决实际问题具有重要的意义。
复变函数-留数定理资料
当 m 1时
z Re s[ f ( z ),1] lim( z 1) f ( z ) lim 1 z 1 z 1 z 2
当m 2时
( m 1) 1 m Re s[ f ( z ),1] lim( z 1) f ( z ) ( m 1)! z 1
z 例 求 dz | z| 3 ( z 1)( z 2)
z 解 :由于 f ( z ) 在圆周 | z | 3内部有一个一级 ( z 1)( z 2) 极点 z 1, 和一个一级极点z 2
ze z 例 求 Re s[ 2 ,1] z 1
解： 显然，z 1是f ( z )的一级极点，
ze z e ze z 所以 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
或者：取P ( z ) ze z , Q( z ) z 2 1
所以 而
C
f ( z )dz 2iRe s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), 1]
ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 z 1 z 1 2
ze z e1 Re s[ f ( z ), 1] lim( z 1) 2 z 1 z 1 2 于是得到 e e 1 ze z C z 2 1 dz 2i 2 2 2i ch 1
P (1) e Re s[ f ( z ),1] Q(1) 2
1 例 求 Re s[ 2 , i] 3 ( z 1)
解： 由于 f ( z )
1 ( z i )3 ( z i )3
所以z i是f ( z )的三级极点。
复变函数中的留数定理
复变函数中的留数定理
复变函数是指既定义在复数域上又取复数值的函数。
复变函数具有许多特殊的性质和定理，其中留数定理是其中一个重要的定理。
本文将介绍复变函数中的留数定理以及其应用。
一、留数的定义和计算方法
在复变函数中，留数(residue)是指当函数在某个点存在奇点时，即函数在该点不解析的情况下，奇点点内仍然具有一定的数值。
留数的计算方法可以通过洛朗级数展开或者柯西积分公式来实现。
对于一个圆心在奇点上的积分路径，留数的计算公式可以表示为：Res[f;z_0] = (1 / (2πi)) ∮ f(z)dz
二、留数定理的表述
留数定理是指当一个函数在一个环形区域上解析且没有奇点时，该函数的积分沿该闭合曲线的环形轮廓，等于沿环形区域内部孤立奇点的留数之和。
数学表述如下：
∮ f(z)dz = 2πi ∑Res[f;z_i]
三、留数定理的应用
1. 计算积分：留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
通过计算函数在奇点处的留数，可以将积分转化为留数之和的形式，从而简化计算过程。
2. 求解无穷级数：通过留数定理，可以将一个函数展开为洛朗级数，从而求解一些复杂的无穷级数。
3. 解析函数的奇点：留数定理可以帮助我们分析函数在复平面上的
奇点，并研究奇点的类型和性质。
总结：
复变函数中的留数定理是一个重要的工具，可以在计算积分、求解
无穷级数和分析奇点等方面发挥关键作用。
留数定理的应用不仅仅局
限于数学领域，而且在物理学、工程学和经济学等学科中也具有重要
的意义。
通过掌握留数定理的原理和计算方法，我们可以更好地理解
和应用复变函数的知识。
复变函数-5.2 留数
R [f( e z ) ,0 s ] 0 .
10
§5.2 留数
第 五 章 解 z0是 f (z) 的本性奇点，
留 数
将 f (z) 在 z0的去心邻域内洛朗展开，有
及 其 应
f(z)(1z)e1z (1z)(11 z2 !1 z23 !1 z3)
用
(11)1,
2! z
R[ef(sz),0]3. 2
11
§5.2 留数
第
五
章 解 z1是 f (z) 的本性奇点，
留
数
将 f (z) 在 z0的去心邻域内洛朗展开，有
及 其
f(z)z2cos 1 (z11)2cos1
应
z1
z1
用
[(z 1 )2 2 (z 1 ) 1 ](1 2 !(z 1 1 )2 4 !(z 1 1 )4 )
(21) 1 ,
用
1 z(1 z z2 )(1 1 z 2 !1 z2 )
1(1111),
z
2! 3!
R [fe (z ),s 0 ] (1111)e.
2! 3! 13
§5.2 留数
第
五
章 解 方法一 利用洛朗展式求留数
留 数
将 f (z) 在 z0的去心邻域展开，得
及
其 应
f(z)z 1 6[z (z 3 1 !z3 5 1 !z5 7 1 !z7 )]
方法二 利用高阶导数公式求解
I2πi 1lim (ez1) πi .
2!z 0 24
§5.2 留数
z 1
z1
sin2 z2
z
sin21.
I 2 π i ( R [ f ( z ) e ,0 ] s R [ f ( z ) e , 1 ] ) s 2πisin21.
复变函数第五章 留数理论及其应用
由规则3
P( z) z 1 = 3= 2, Q ( z ) 4 z 4z
此法在很多情况下此法更为简单.
z dz , C为正向圆周: z = 2 . 例5 计算积分 4 z 1 C z 在 z = 2 的外部, 除 点外没有 解 函数 4 z 1
其他奇点. 根据定理 5.2与规则4: z z 4 1 dz = 2iRes f ( z ), C 1 1 = 2iRes f 2 ,0 z z z = 0. = 2iRes , 0 4 1 z
k =1
n
C
Res[ f ( z ), zk ] f ( z )dz = 2i k =1
= 2iRes[ f ( z ), ].
n
(留数定理)
计算积分
C
f ( z )dz
计算无穷远点的留数.
优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)
3.在无穷远点处留数的计算 •规则4
z = 0是p( z )的 三 级 零 点 , 是f (z)的三级极点。
1 z sin z z sin z 由规则2 Re s ,0 = lim " 6 3 z (3 1)! z0 z
若将f ( z )作Laurent级数展开 :
z sinz 1 1 3 1 5 = 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 = 3 3! z 5! z
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] = c1 = f ( z )dz 2i c
( 2)
二、利用留数求积分
1. 留数定理 设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点
复变函数中的留数定理及其推导
复变函数中的留数定理及其推导复变函数中的留数定理是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们求解一些非常复杂的积分问题。
在本文中，我们将深入探讨留数定理的本质及其具体推导方法。
一、留数定理的基本概念留数定理是由法国数学家留数（Cauchy）于19世纪初发现的。
它是一种重要的数学工具用于计算复平面上的奇异积分。
在这里，我们先来了解一下什么是“奇异点”。
奇异点是指函数在该点没有定义或不连续的点，如可以取无穷大的点、极点和孤立奇点等。
我们以一个简单的例子来说明：$I=\int_{C}\frac{1}{z-1}dz$其中，C为包围点z=1的任意一条简单闭合曲线。
当C逆时针绕点z=1一周时，积分的值趋近于无穷大，而当C顺时针绕点z=1一周时，积分的值趋近于负无穷大。
由此可见，积分$I$的值与曲线C的方向有关，这意味着函数$\frac{1}{z-1}$在点z=1处存在奇异性。
点z=1称为函数$\frac{1}{z-1}$的极点。
对于复系数函数$f(z)$，其在点z0处的留数（Residue）可表示为：$Res[f(z),z0]=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z0}dz$其中，C为包围点z0的任意一条简单闭合曲线，而留数的定义正是以上积分的结果。
二、留数定理的述现在我们来到了本文的重点：留数定理。
若$\Omega$是以平面上一条简单闭曲线为界的区域，则对于任意在$\Omega$上除点z1,z2，... ,zk外解析的函数$f(z)$，有：$\int_{C}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}Res[f(z),zk]$其中，C是一条位于$\Omega$内的任意简单闭曲线，zk是$\Omega$内的孤立奇点（即除极点、可去奇点外的奇异点）。
这就是留数定理的本质。
简单来说，留数定理告诉我们：如果一个复变函数在某些点处存在奇异性，则通过沿着包围这些点的任意简单闭曲线进行积分，积分结果正比于这些奇点处的留数之和。
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以 2i 后所得的数 称为 f (z)在 z0 的留数. (Residue)
记作 Res[ f (z), z0]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环 域内的Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
2. 计算留数的一般公式
由Laurent级数展开定理, 定义留数的积分值是f(z)在环
域 0 z z0 内Laurent级数的负一次幂系数c-1
Re s f (z), z0 c1
1
2i
C
f
zdz
(1)若z0为函数f(z) 的可去奇点, (负幂项的项数为零
个), 则它在点z0的留数为零.
注：当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时,若 g 为偶
函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-
Res[
f1 ( z ),0]
1 lim
4! z0
d4 dz 4
(e z
1)
1 4!
14
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;
另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
ez z5
1
1 z5
1
z
z2 2!
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
0 (高阶导数公式)
2i
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
C
C
C
0 (柯西积分定理)
2ic1
Res
f
(z),0
(6
1
d5
lim 1)! z0
dz
5
z
6
z
sin z6
z
1 5!
.
13
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;
解：z0 0是函数 e z 1 的一级零点,
又是函数 z 5 的五级零点.
于是它是 f1(z) 的四级极点, 可用规则 2计算其留数,其中 m 4,为了计算简便 应当取其中 n 5 ,这时有
z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得
Re s f (z), z0 0
5
(2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那么
Res[f
z3 3!
z4 4!
z5 5!
z6
,6!
1
1 z4
1 2! z 3
1 3! z 2
1 4! z
1 5!
z 6!
,
其中 n 4 的项的系数为 c1 1 4! ,从而也有 Res[ f1(z),0] c1 1 4! .
15
(2) f2 (z) si,n(1 z); z0 0
解： 数为
f2 (在z)点 的z0 去 0心邻域
(z),
z0
]
lim(z
z z0
z0
)
f
(z).
6
规则2 若z0为f(z) 的m级极点, 则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
f
( z )]
说明 将函数的零阶导数看作它本身, 规则1可看作 规则2当n=m=1时的特殊情形, 且规则2可取m=1.
Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
c1
1 2i
C
f (z)dz
f (z)在 z0 的留数 Res[ f (z), z0]
1. 定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
z0的某个去心邻域0 z z0 R内，包含 z0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值 除
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
Res[
f
(
z),0]
(3
1 lim
1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
11
解 如果利用Laurent展开式求 c1 较方便:
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
z3 z1 , 3! 5!
Res
sin 1 (1)n z 2n1
z n0 (2n 1)!
显然 z0 为0 它的本性奇点,其中 ,于是得c1 1
内0的 Lzaurent级
n的项0的系数为
Res[sin1 z ,0] c1 1
16
(3) f3(z) z, sin2 .z z0 0
解：显然 z0 是0 f3(z) 的z一sin级2 极z 点;可是不能用规
z
sin z6
z
,0
c1
1 5!
.
12
注意: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开Laurent级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m
取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6
（优选）复变函数留数和留数 定理
一Δ 、留数的定义和计算
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
f (z) 在 0 z z0 R 内的 Laurent 级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
则 求其留数3,由规则 得
1
Res[
f3
(z),
0]
lim( z 2
z0
sin2 z)
lim(2 z 2sin z cos z) (L'Hospital法则) z0
7
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那么 z0 为
f (z) 的一级极点, 且有
Res[
f
( z ),ห้องสมุดไป่ตู้
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
.
8
3.典型例题
例1
求
f
(z)
ez zn
在
z
0 的留数.
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res
ez zn
,0
(n
1
lim 1)! z0
dn1 dz n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
10
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点