立体几何中的求角问题
高中立体几何中二面角经典求法
高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。
（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。
二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。
而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角。
(二)1、由定义作出二面角的平面角；2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。
4、空间坐标法求二面角的大小5、平移或延长（展）线（面）法6、射影公式S射影=S斜面cosθ7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。
例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.解: 设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。
同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB又∵OA⊂平面PAB ∴а⊥OA同理а⊥OB.∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,.∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°2、三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。
例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C 1DE与面CDE所成二面角的正切值.解：在长方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中由三垂线定理可得：CD =2 CE=1, DE=3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。
立体几何角度求解全攻略
立体几何中的角度问题攻略新东方孟祥飞异面直线角：采用平移法，或者向量线面角：（1）当射影线好找时采用定义法，（2）当射影线不好找时建议采用向量法，但是等体积法也是不错的选择二面角：（1）当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况，采用定义法即可（2）当二面交线垂线不好平移（主要原因为计算量太大）建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少平移运算。
（3）三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积转化。
S 中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度例题：1.正四面体ABCSEA CFB异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。
SEPA CPF和SF所成平面角即所求FBSE这样的构建也是不错的选择EQ 和EB 所成角为所求A CQF B求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，则EB=3，EQ=23，QB=27 所以32323247343cos =⨯⨯-+=QEB 此题还可以采用五坐标向量法来求解，2.三棱锥A BCD -，且,,,)(,>=<+===AC EF f DFCFBE AE λλλαβαλλ>=<BD EF ,λβ，求)(λf 的单调性 A EQB DFC此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线（等比例线）方式平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值π，其实就是求角EQF 的单调性，而角EQF 为棱AC 和BD 之间角，是为定值的3.正方体1111D C B A ABCD -，E 是1BC 中点，求DE 与ABCD 所成角。
D 1 C 1 A 1 B 1 ED C Q A B线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE 直线的射影，不难发现DE 的射影即为DQ ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ ，只需求解直角三角形EDQ 即可求出线面角的三角函数值。
立体几何中的向量方法求夹角
[策略点睛]
[规范作答] 如图所示，取BC中点 O，连结AO.
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
成的角. (2)范围:
(0,
2
]
(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a, b ,其夹角
为
,则有
cos
|
cos
|
|
|ab| a||b|
(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的
方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,
应取其补角作为两异面直线所成的角.
例2 Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
3 , 1 , 44
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由 C1D m, DB m 得
C1
B1
31 2
C1D m
4
x y 4
2
z 0,
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m (3, 3, 6)
30 10
[题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的 角？
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角．
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
3.2.4立体几何中的向量方法求夹角
C
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 D
Al
的大小就是向量A B C与D 的夹角(如图
(1))
n1 , n2
l
,
②设 是二面角n 1 n 2 的法向量,则向量 与
的两个面 的夹角(或其补
n 1 (1)
n2
角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))
l
(2)
例2 正三棱柱 ABC A 1B1C1中，D是AC的 中点，当AB1 BC 1时，求二面角DBC 1C 的余弦值。
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
C1
B1
A1
C D
B A
以C为原点建立空间直角坐标系 C-x yz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m(x, y,z) 同法一，可求 B(0,1,0)
31
2
D(
4
, ,0) 4
C1 (0,0,
) 2
∴
C1D(
3,1, 44
空间“角度”问题
ZPZ
复习引入
1.异面直线所成角
设直线l,m的方向向量分别为a,b
ab
若两直线l , m
所成的角为(0≤ ≤ ), 则
2
cos
ab
l
高考典型题型训练——立体几何中求角与距离
C A1EB1C1高考典型题型训练——立体几何中求角与距离1. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°2如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=23，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ；（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.3. 如图a—l—β是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，∆ABC是等腰直角三角形∠ACB=.900（I）求三棱锥D—ABC的体积；（2）求二面角D—AC—B的大小；（3）求异面直线AB、CD所成的角.4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．图①图②5. 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．（1）求证：AP⊥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．6. 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求证：AF⊥BD；(3) 求二面角B—FC—G的正切值.7. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.(1) 求证PQ∥平面CDD1C1；(2) 求证PQ⊥AD；A B C D E A 1 B 1C 1D 1 xyz(3)求线段PQ 的长.8. 如图4，在长方体ABCD -1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB上移动。
立体几何求线线角的方法
立体几何求线线角的方法
在立体几何中，求线线角的方法主要有以下几种：
1. 利用垂足定理：当两直线相交时，将垂足抬高成两个相互垂直的直角，然后利用已知条件求解。
2. 利用平行线之间的性质：当两条线平行时，其对应的内角、外角及同位角相等，可以利用这一性质求解线线角。
3. 利用圆内切、外切性质：当两条直线分别与内切圆或外切圆相切时，由于切点与圆心连线垂直，可以利用垂足定理求解。
4. 利用正弦定理、余弦定理：当已知两条直线的夹角和其它边长或角度时，可以利用正弦定理或余弦定理求解线线角。
5. 利用矢量运算：将两条直线表示为矢量形式，然后利用矢量运算求解线线角。
需要注意的是，对于线线角的求解，常常需要已知某些边长、角度或者有关线段的关系，因此在具体问题中，需要利用给定的条件来选择适合的求解方法。
一道经典的立体几何求角问题
一道经典的立体几何求角问题边长为2的正ABC ∆，O 是重心，沿OB 把ABC ∆翻折使60.AOC ∠=o（1）求OC 与AB 所成角的余弦值；（2）求OC 与平面OAB 所成角的正弦值； （3）求二面角C OA B --的正弦值. 解：（1）如图，过点O 作OD ∥AB 交AM 于D ， 则COD ∠或其补角即为OC 与AB 所成的角。
易知，90AMB ∠=o，OC =，1233OD AB ==，1AM CM ==，,60,OA OC AOC AOC =∠=∴∆o Q 为正三角形。
2221cos .23AM CM AC CMA AM CM +-∴∠==⋅22282cos 9CD CM MD CM MD CMA ∴=+-⋅⋅∠=， 222cos 2OC OD CD COD OC OD +-∴∠==⋅（2）用等体积法求。
设OC 与平面OAB 所成角为θ，易知BM ⊥平面ACM ，221211113333323O ABC B ACM O ACM B ACM ACM V V V V S BM ----∆=-==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=设点C 到平面OAB 的距离为d ，则由COAB O ABC V V --=得1211332d ⨯⨯⨯=， 解得d=s i n.d OC θ=== （3）为了作图看得清，特将图形作了一定的转动。
由（1）知AOC ∆为正三角形，∴取OA 的中点E ，连结CE ，则有CE OA ⊥。
在AOB ∆内作EF OA ⊥于E ，连接CF ， 则CEF ∠为二面角C OA B --的平面角。
易知1CE =，30BAO ∠=o，12tan 30,.3cos303AE EF AE AF ∴=⋅===o o 在ACF ∆中，由余弦定理，22242cos 3CF AC AF AC AF FAC =+-⋅⋅∠=，2221cos 23CE FE CF CEF CE FE +-∴∠==-⋅，∴二面角C OA B --。
立体几何角度的求法
根据定义作出来
1
③向量法：求两异面直线a、b上非零向量a、b的夹角（注意异面直线成角范围）
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
2）角的两边分别在两个面内
这条直线叫做二面角的棱。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
立体几何角度的求法
①平移法 ②补形法 ③向量法：求两异面直线a、b上非零向量a、b的 夹角（注意异面直线成角范围）
问题1.在如图所示正方体 中,E、F分别是AB、AD的中 点，求异面直线BF、C1E所 成的角的余弦值.
• 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做
斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） • 直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角 • 直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的
角是0°
思考
• 直线与平面所成的角θ的取值范围
是： 0≤θ≤π/2
。
• 斜线与平面所成的角θ的取值范围
是： 0＜θ＜π/2
。
斜线和平面所成的角的求法
（1）射影法：在线上取一点作面的垂线，斜 足与垂足的连线与斜线所成的角即为所求。 1B1C1D1中，E、F分别为BB1 、 CD的中点，(1)求直 线D1F与平面ADE所成的角. (2)求D1E与平面ADE所 成的角正弦值. 求斜线与平面所成的角可以分三步
பைடு நூலகம்（1）证明： AD CE ； （2）设侧面 ABC 为等边三角形，求二面角C AD E 的余弦值．
A
作垂面
B C
E D
问 题 5. 如 图 ， 直 三 棱 柱 ABC A B C 中 ， AB=1 ， 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
立体几何中的向量方法求夹角
立体几何中的向量方法求夹角1.确定两个向量假设有两个向量A和B，它们的坐标分别为(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)。
2.计算向量的点积向量的点积是两个向量各个对应坐标分量的乘积之和，可以用以下公式表示：A·B=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂3.计算向量的模向量的模是向量的长度，可以用以下公式表示：A，=√(x₁²+y₁²+z₁²)B，=√(x₂²+y₂²+z₂²)4.计算夹角的余弦值夹角的余弦值可以通过点积和模的关系计算得到，用以下公式表示：cosθ = (A·B) / (，A，，B，)5.计算夹角夹角的弧度可以通过余弦值计算得到，用以下公式表示：θ = arccos(cosθ)6.将弧度转换为度数为了方便阅读和理解，可以将弧度转换为角度，用以下公式表示：α=θ*180°/π以上就是利用向量方法求解立体几何中夹角的具体步骤。
下面通过一个例子来说明向量方法求解立体几何中夹角的应用。
例题：给定两个向量A(2,3,-1)和B(1,-2,4)，求它们之间的夹角。
解答：首先计算向量A和向量B的点积：A·B=2*1+3*(-2)+(-1)*4=2-6-4=-8然后计算向量A和向量B的模：A，=√(2²+3²+(-1)²)=√(4+9+1)=√14B，=√(1²+(-2)²+4²)=√(1+4+16)=√21接下来计算夹角的余弦值：cosθ = (A·B) / (，A，，B，) = -8 / (√14 * √21)然后计算夹角：θ = arccos(cosθ)最后将弧度转换为角度：α=θ*180°/π通过以上计算，可以得到向量A和向量B之间夹角的大小。
空间向量与立体几何：第7讲利用平面向量求角度问题
利用平面向量求角度问题【基础知识】一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为cos β＝|AC →·BD →||AC →||BD →|.利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【规律技巧】注意线线、线面和二面角的平面角的角度的取值范围【典例讲解】 求异面直线所成的角【例1】 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2.求：(1)△PCD 的面积．(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .【变式探究】 如右图所示正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，已知点H 在A ′B ′C ′D ′的对角线B ′D ′上，∠HDA ＝60°.求DH与CC′所成的角的大小．利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．【变式探究】(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．利用空间向量求二面角【例3】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D －AF －E 的余弦值．设平面AEF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则n 1⊥EF →，n 1⊥F A →，因此⎩⎨⎧y 1＝0，－3x 1－3y 1＋4z 1＝0，取x 1＝4，则n 1＝(4，0，3)为平面AEF 的一个法向量．[来源:学+科+网] 由于CF ⊥平面ADF ，故平面ADF 的一个法向量n 2＝(3，－1，0)． 由图可见所求二面角θ的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝4316＋3×（3）2＋（－1）2＝25719.【变式探究】如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E－BF－C的正弦值．【针对训练】1、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________．2、如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E 为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．【练习巩固】1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22答案 B2．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于__________． 答案 233.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是__________．4．已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)5．在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110B.25C.3010D.22答案 C。
第2讲 立体几何中的空间角问题
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
解 方法一 如图(2)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.
由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，
所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.
由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，又BC∩BD＝B，
故OH⊥平面DBC，
所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(2)(2021·温州模拟)如图，点M，N分别是正四面体ABCD的棱AB，CD上 的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则 A.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而增大 B.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小 C.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而减小
√D.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
又∵AA1∥B1B，∴BB1⊥BM. 又BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BMC， ∴BB1⊥平面BMC， 又CM⊂平面BMC，∴BB1⊥CM.
(2)求直线BM与平面CB1M所成角的正弦值.
解 方法一 作BG⊥MB1于点G，连接CG. 由(1)知BC⊥平面AA1B1B，得到BC⊥MB1， 又BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面BCG，
MN＝ x2－3x＋7，
所以在△MNE 中，cos θ＝2
4－x x2－3x＋7
＝12 1＋x2－9－3x5＋x 7(x∈[0,3])，
令 f(x)＝x2－9－3x5＋x 7，
则 f′(x)＝5xx22－－31x8＋x－782<0，
所以f(x)在定义域内单调递减，即x增大，f(x)减小，即cos θ减小，从而θ 增大，故D正确，C错误.
所以在△FNM中， cos θ＝2 x25－－3xx＋7＝21
1＋x21－8－3x7＋x 7(x∈[0,3])，
立体几何求角
立体几何之求角一、知识点归纳1、 两条异面直线所成的角θ的范围是 ，当θ= 时，这两条异面直线互相垂直。
异面直线所成角的求法：（1）平移(做平行线)其中一条或两条直线，使之同在某一三角形中，通过解三角形求出所求的角。
（2）利用向量夹角来求：设异面直线b a ,的方向向量为,，则直线b a ,的夹角θ由公式||||cos b a ⋅=θ2、 斜线AO 与它在平面α内的射影AB 所成的角1θ叫做 。
设AC是α内的一条直线，AO 与AC 所成的角为θ，AB 与AC 所成的角为θ2，则θ1、θ2、θ的余弦值关系是________________.3、平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中__________. 如果直线和平面垂直，那么就说_______________. 如果直线和平面平行或在平面内，那么说______________.4、直线和平面所成的角的范围为_____________.5、斜线和所交平面所成的角的范围为__________.6、直线与平面所成的角（设为θ）（1）斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的_____________所成的________________，叫做这条直线和这个平面所成的角。
（2）当一条直线__________于平面时，规定它们所成的角是直角；当一条直线和平面___________或_________时，规定它们所成的角为________________.(3)填写下表:在直线与平面所成的角的定义中体现_________和___________数学思想.（4）斜线和平面所成的角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的_____________来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线就是斜线在平面上的___________________.在平面内经过斜足的直线有无数条，；它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的____________来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是_____________.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的,它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”，根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中__________________.线面角的求法：（1）做出线面角，找出此角所在的三角形，通过解三角形求出此角。
立体几何中有关的角的计算问题
立体几何中 有关的角的
计算问题
立体几何中的三类角：
1. 异面直线所成的角 θ
范围： 0ºθ≤90º 解题关键：找平行线 特殊情况： 垂直 转化为证明线线垂直 2. 直线和平面所成的角 θ 范围： 0º≤θ≤90º 解题关键：作垂线、找射影 特殊情况：垂直 转化为证明线面垂直
分析： SA=AC , E是SC的中点，AE⊥SC
DE⊥SC , SC⊥平面BDE SC⊥AD， SB⊥平面ABC
SB⊥AD， AD⊥平面SBC S
AD⊥DE AD⊥DC
E
所以∠EDC就是所求二面角
的平面角。 ∠EDC=60o。
D
B
C
A
例6.设△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，
且AB=BC=BD=1, ∠CBA=∠DBC=120o.
故∠AED就是二面角A-SC-B的平面角。
设AC=a， 则AB=BC= 2 a
2
又SA ⊥平面ABC，所以∠SCA就是SC
E
与平面ABC所成的角，即∠SCA=60o
SA= 3a AD=
sin∠AED= 2 7
3 AE= 3
7
2
D
7
侧面SAC与SBC所成的二面角的大小为arcsin 2 7 。
7
例5.如图，SB⊥平面ABC，AB⊥AC，SB=AB， SA=AC，E是SC的中点，DE⊥SC，交BC于D， 求平面EAD和平面CAD所成的角的大小。
(2) A、D的连线与平面BCD所成的角；
(3)二面角A-BD-C的大小。
作图分析：
A
HM
C
OB
D
总 结:
在求解此三类角时,关键是找到它的平面 角，并加以证明和说明。如果原图中没有所求 角的平面角，则可以根据需要添加辅助线。添 加辅助线往往通过从图形中的特殊点，向投影 面或棱作垂线(或平行线)来实现的。添线过程 的科学性和合理性，以及确定垂足(或交点)的 位置对解题至关重要。
立体几何求角、距离的解法
立体几何求角、距离的解法考点一、空间中的夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。
（1）两条异面直线所成的角求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角 求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。
通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝SS '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角例题1：已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1是上下底面正方形的中心，求二面角O 1-BC-O 的大小。
2：已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 11的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。
点评：利用平面角定义法中特殊位置的线段。
3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点O ，连OC 交EF 于G ，连GH 。
立体几何_异面直线成角求法
构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4πC ．510arccos D ．2π解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF＝2222221112B GG FB FB G G F+-+-=∙＝0，故∠B 1G F ＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．图1BCE图21A 1B 1C 1D ACDE FG解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ．∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°， 又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度． 故填90°．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，P A ⊥平面A B C，90A C B ∠=︒且P A A C B C a===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体'''D B C A D B C P -，P B 与A C 所成的角的大小即此正方体主对角线P B 与棱B D 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即ta n P D D B A D B∠==．点评：本题是将三棱柱补成正方体'''D B C A D B C P -，从而将问题简化．异面直线练习一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面1D 1B 1C PDBCAPBCAA B C SE F ABC D D 1 C 1B 1 A 1 M N N MFE DCB A J IHG F ED C B A B A C DA F EPC BA 直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）548．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ） （A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿 DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ． 三、解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QRPR ＝3，求AC 与BD 所成的角．16．已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB＝2，E 、F 分别为PA 和BC 的中点．NMD CBA D CB A P QD 1C 1B 1A 1（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）EF 与PC 所成的角； （3）线段EF 的长．17．如图，AB 和CD 是两异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ，M 是BD 的中点，N 是AC 的中点．（1）求证：MN ⊥AC ； （2）当AB ＝CD ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c 时，求MN 的长．18．（如图）已知P 、Q 是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心． （1）求线段PQ 的长； （2）证明：PQ ∥AA 1B 1B ．§1 异面直线一、复习要点1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离． 2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性． 5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想； ②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成； ④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．M NC．M ND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF 和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE 间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN 与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD 和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a , b 是异面直线是指① a ∩b =∅, 且a 与b 不平行；② a ⊂面α，b ⊂面β，且平面α∩β=∅；③ a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b =∅；④ 不存在平面α，能使a ⊂α且b ⊂α成立。
高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)
高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|； （2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值，需要再算一步。
直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。
注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。
平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。
二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。
一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量） （4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
立体几何——面角求法
二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1的正切值为 .解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。
例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在R t B G A ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.D B 1图1AO A 1CBD 1C 1O 1A 图3 αβPBlGPAＳBＳCＳDＳFE例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值. 分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23， 则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.(1)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.解法一:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形, ∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE, ∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,图4B 1A αβA 1BlEF又OE===在直角三角形BEO中,tan∠BEO===3,∴二面角B-PC-A的正切值为3.例5. (2010重庆, 19, 12分) 如图, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形, PA⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E是棱PB的中点.(1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.(1) 过点D作DF⊥CE, 交CE于F, 过点F作FG⊥CE, 交AC于G, 则∠DFG为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC⊥平面PAB, 又AD∥BC, 得AD⊥平面PAB, 故AD⊥AE, 从而DE==. 在Rt△CBE中, CE==. 由CD=, 所以△CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=.因为AE⊥平面PBC, 故AE⊥CE, 又FG⊥CE, 知FG AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在Rt△ADG中, DG=AC==.所以cos∠DFG==.3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
立体几何中的求角问题
考向二：求线面所成角
题型一：直接利用垂直关系找射影
1．（2015浙江文）如图,在三棱柱中,
,
在地面的射影为的中点，是的中点。
(1)证明:平面
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
2.（2016年浙江高考）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=
3.
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
题型二：利用平行线和垂直关系找射影
3.（2017天津文）如图,在四棱锥中,平面，，
，，，，.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求证:平面
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
题型三：构造垂直关系作射影
4．（2016天津文）如图,四边形是平行四边形,平面平面,，，，
，，，为的中点.
（1）求证:平面
（2）求证:平面平面
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
B
A
3。
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立 体 几 何 中 的 求 角 问 题
集美中学数学组 刘 海 江
一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？
1、 两条异面直线所成的角θ的范围是 ，当θ= 时，这两条异面直线互相垂直。
☆异面直线所成角的求法：
（1）平移(做平行线)其中一条或两条直线，使之同在某一三角形中，通过解三角形求出所求的角。
（2）利用向量夹角来求：设异面直线b a ,的方向向量为,，则直线b a ,的夹角θ由公式||||cos b a ⋅=θ，
2、 斜线AO 与它在平面α内的射影AB 所成的角1θ叫做 。
设AC 是α内的一条直线，AO 与AC 所成的角为θ，AB 与AC 所成的角为θ2，则θ1、θ2、θ的余弦值关系是________________.
3、平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中__________. 如果直线和平面垂直，那么就说_______________. 如果直线和平面平行或在平面内，那么说______________.
4、直线和平面所成的角的范围为_____________.
5、斜线和所交平面所成的角的范围为__________.
6、直线与平面所成的角（设为θ）
（1）斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的_____________
所成的________________，叫做这条直线和这个平面所成的角。
（2）当一条直线__________于平面时，规定它们所成的角是直角；当一条直线和平面
___________或_________时，规定它们所成的角为________________.
(3)填写下表:
在直线与平面所成的角的定义中体现_________和___________数学思想.
（4）斜线和平面所成的角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的_____________来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线就是斜线在平面上的___________________.在平面内经过斜足的直线有无数条，；它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的____________来定
义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是_____________.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的,它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”，根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中__________________.
☆线面角的求法：
（1）做出线面角，找出此角所在的三角形，通过解三角形求出此角。
(2) 斜线AO 与平面α所成的角θ可由(sin =θ是平面
α的法向量）
7、从一条直线出发的两个_________ _叫做二面角,这条直线叫做
____________.这两半平面叫做____________.棱为l ，两个面分别为α，β的二面角记为___________.
8、一个平面垂直于二面角的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA 、OB ，则AOB
∠叫做_____________.二面角的范围是___________.平面角是直角的二面角叫做______________，相交成直二面角的两个平面叫做________________.
二面角的平面角的做法常用三垂线定理来做，要结合图形深刻理解，灵活运用。
☆面面角的求法：
（1）做出二面角的平面角，将其纳入某个三角形，通过解三角形求出所求的角。
（2）利用向量：二面角α—l —β的棱l 上有A ，B 两点，AC βα⊂⊂BD ,且l BD l AC ⊥⊥,，则,所成的角θ即为二面角的大小。
由公式 便可求出；
（3）利用法向量：设平面α，β的法向量分别是21,n n ，则21,n n ，所成角的大小是二面角或二面角的补角的大小。
由公式 可求。
二、练一练，写一写，这些题目你能独立完成吗？
选择题
1、 一条直线与一个直二面角的两个面所成的角为21,θθ。
那么必有 [ ]
A 、221π
θθ≤+ B 、221π
θθ≥+ C 、 2
21πθθ≠+ D 、21θθ+的大小不确定。
2、将长方体截去一角，截痕三角形为 [ ]
A 、直角三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、以上情况均有可能。
3、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1 ，则侧棱与底面所成的角是 [ ]
A 、75ο
B 、60ο
C 、45ο
D 、30ο
4、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面ABC ∆中CA=CB=1，ο90=∠BCA ，棱AA 1=2，
M，N分别是A
1B
1
、AA
1
的中点，则BN的长是[ ]
A、3 B 、3 C 、4 D、5
填空题
5、已知一个点到二面角的两个面的距离分别是a和a2，到棱的距离是2a，求这个二面
角的大小（设点P在二面角的内部）为。
6、正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
，则平面A
1
BD与平面C
1
BD的夹角的余弦值为。
7、过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA=PB，则平面ABP和平面CDP
所成的二面角的大小。
8、正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
中，则二面角B—A
1
C—A的大小。
解答题
9、在四面体A—BCD中，AB=CD=3，E和F分别是AD、BC上的点，
且A E：ED=BF：FC=1：2，已知EF=7，求异面直线AB与CD所成的角。
10、AO是平面α的斜线，O 是斜足，AB⊥α于B，OD是α内不与OB重合的直线，
θ
θ
θ=
∠
=
∠
=
∠AOD
BOD
AOB,
,
2
1。
求证：
2
1
cos
cos
cosθ
θ
θ=
11、正三棱柱ABC—A
1B
1
C
1
的底面边长为a，侧棱长为a
2。
（1）建立适当坐标系，写出A、B、A
1、C
1
的坐标；
（2）求AC
1与侧面ABB
1
A
1
所成的角。
12、 在棱长为a 的正方体OABC —O 'A 'B 'C '
中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且
AE=BF ，试判断A 'F ，C 'E 的位置关系。
13、已知二面角a —l —β为120ο，A ，B ,6||,,,,,=⊥⊂⊥⊂∈AB l BD BD l AC AC l βα |AC|=2, |BD|=4,
求：（1）C 、D 两点间的距离；
（2）求CD 与AB 所成角的大小；
（3）CD 与平面β所成角的大小。
14 、ABCD 是直角梯形，090=∠=∠BAD ABC ，SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=
21， （1）求SC 与AB 所成的角；
(2) 求SC 与平面ASD 所成角的大小；
(3) 求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的大小；
(4) 求点C 到平面SBD 的距离。