大学物理变化的电磁场习题思考题

习题8

8-1．如图所示，金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B

的均匀磁场

中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v

在环所在平面内

运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。

解：（1）由法拉第电磁感应定律i d dt

εΦ

=-，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感应电动势0i ε=； （2）利用：()a

ab b

v B dl ε=

⨯⋅⎰

，有：22ab Bv R Bv R ε=⋅=。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

8-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=，在与其相距cm 5.0=d 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ，宽cm 0.2=a 。 不计线圈自感，若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。 首先用

0l

B dl I μ⋅=∑⎰ 求出电场分布，易得：02I B r

μπ=， 则矩形线圈内的磁通量为：00ln

22x a

x

I I l x a

l dr r x

μμππ++Φ=

⋅=⎰

， 由i d N

d t εΦ=-，有：011()2i N I l d x

x a x dt

μεπ=--⋅+ ∴当x d =时，有：041.92102()

i N I l a v V d a μεπ-=

=⨯+。

解法二：利用动生电动势公式解决。 由

0l

B dl I μ⋅=∑⎰ 求出电场分布，易得：02I B r

μπ=， 考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：22NB lv ε=， 则：12εεε=-=

00411

() 1.921022()

N I N I al v l v V d d a d d a μμππ--==⨯++。

8-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I 的电流，长为l 的金属棒ab 与长直导线共面

且垂直于导线放置，其a 端离导线为d ，并以速度v

平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势ε并比较U a 、U b 的电势大小。 解法一：利用动生电动势公式解决：

()d v B dl ε=⨯⋅

02I v d r r

μπ=⋅，

∴02d l

d

v I dr r

μεπ

+=-

⎰

0ln 2v I d l d μπ+=-，

由右手定则判定：U a >U b 。

解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路''abb a ，如图，

S B d S Φ=⋅⎰ 02d l d I y dr

r

μπ+=⎰0ln 2I y d l d μπ+=， ∴d dt εΦ

=-

00ln ln

22I Iv d l d y d l d dt d

μμππ++=-⋅=-。 由右手定则判定：U a >U b 。

8-4．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为

120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v

平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB 直导线的电动势相等。

200()ln 222R AO

R Iv I v v B dl d x x μμεππ

=⨯⋅=-=-⎰⎰

，

5002

25()ln 224

R OB

R Iv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰ ，

∴05

ln 22

AB AO OB Iv μεεεπ=+=-

。 解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为θ，那

么，00022(2cos )2(2cos )

I I I B x R R R μμμππθπθ===--，再由()v B dl ε=⨯⋅⎰

有： sin d B Rd v εθθ=⋅⋅，∴2030

sin 2(2cos )

I

Rv d R π

μεθθπθ=-⋅-⎰

05

ln 22

Iv μπ=-

。

A

O

B

A

O

B

θ

8-5．有一长直螺线管，每米有800匝，在管内中心放置一绕有30圈的半径为1cm 的圆形小回路，在1/100s 时间内，螺线管中产生5A 的电流，问小回路中的感应电动势为多少？ 解：长直螺线管内部的磁场为： 1101I n B μ= 由题意：

A/s 500100

/15

1==dt dI 穿过小回路的磁通量为： 2122S B N m =Φ 小回路中的感应电动势为：

V

1074.450010308001043471

2210---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==Φ=

ππμεdt

dI

S N n dt d m

8-6．电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按

0sin B B t ω=的规律变化。已知cm 10=a ，T 10220-⨯=B ，

rad/s 50=ω，Ω=10R ，求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

2220(4)3cos i d d B

a a a B t dt dt

επππωωΦ=-

=--⋅+=， ∴203cos i

a B t I R R

επωω== A πR ωB a πI 32202max

1042.910

501021.035--⨯=⨯⨯⨯⨯==。

8-7．直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为μ 的介质中， 已知：0sin I I t ω=，其中ω、0I 是大于零的常量，求：与其共面的 N 匝矩形回路中的感应电动势。 解：首先用

0l

B dl I μ⋅=∑⎰ 求出电场分布，易得：02I B x

μπ=， 则矩形线圈内的磁通量为：0000ln sin ln

222d a

d

I I l I l d a d a

l dr t r d d

μμμωπππ+++Φ=

⋅==⎰

， ∴00cos ln 2N I l d d a

N t dt d

μεωωπΦ+=-=-。