不可压缩流体的平面势流解读

第六章 不可压缩流体的平面势流

§6-1 有势流动的速度势函数

一、速度势函数ϕ

对于无旋流动，有

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⎪

⎬⎫∂∂=

∂∂∂∂=∂∂∂∂=

∂∂y u x x w z u z y w υυ (1)

根据数学分析可知：上式成立是z w y x u d d d ++υ成为某一函数),,,(t z y x ϕ的

全微分的充要条件。ϕ称为速度势函数，简称速度势。

即：z w y x u d d d d ++=υϕ 又有：

z z y y x x d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=

ϕϕϕϕ

x u ∂∂=∴ϕ，y ∂∂=ϕ

υ，z w ∂∂=

ϕ

又由矢量分析：

k

z i y i x k w i i u V

∂∂+∂∂+∂∂=++=ϕϕϕυϕϕ∇==grad (2) 即速度势的梯度等于流场的速度。 在柱坐标中：径向速度：

r r ∂∂=

ϕ

υ

切向速度：θϕϕυθ∂∂=

∂∂=r s 轴向速度：

z z ∂∂=

ϕυ

由此可见，ϕ对任意方向的偏导数，就是速度V

在该方向的投影，这是ϕ的

一个重要性质。

函数),,,(t z y x ϕ称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动)0rot (=V

，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。

在有势流动中，Γ和ϕ的关系为：

()⎰⎰++=⋅=B A

B A

AB z w y x u s V Γd d d d υ

A

B B A

ϕϕϕ-==⎰d (3)

即在有势流动中，沿AB 曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B 与起点A 的速度势之差。

又：在有势流动中，沿任一封闭周线K 的速度环量

()⎰⎰++=⋅=K K z w y x u s V Γd d d d υ

⎰K ϕ

d ＝ 若ϕ是单值或由斯托克斯定理，则0

d =⎰K

ϕ

二、势函数方程

将

x u ∂∂=

ϕ，y ∂∂=ϕ

υ，z w ∂∂=ϕ代入不可压流体连续方程：

0=∂∂+∂∂+∂∂z w y x u υ

则有：02

2

22222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕz y x (4) (其中

2

2

22222

z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇称为拉普拉斯算子) 即在不可压流体的有势流动中，速度势ϕ满足拉普拉斯方程。凡是满足拉

普拉斯方程的函数，数学上称为调和函数，所以，速度势点数是一个调和函数。

对柱面坐标，ϕ的拉普拉斯方程为：

2222222

11z r r r r

∂∂+

∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕθϕϕϕϕ (5) 〔推导过程为：将

r r ∂∂ϕυ＝

，θϕυθ∂∂r ＝，z z ∂∂ϕυ＝代入柱面坐标的连续方程，即可〕

根据以上讨论可知：只要流体流动无旋。则必然存在单值的速度势函数，

反之，若流场中存在单值的势函数ϕ，则此流动必为无旋流动。此外，流动无旋，流场中沿封闭曲线的速度环量为零。

即： ϕω⇔0＝ 00=⇒Γ＝ω

因此，求解不可压流体的无旋流动问题，便可归结为求解速度势问题，以

此求得速度场，再由无旋流动的伯努利方程const g 2g 2

=++V p z ρ，求得压力分布。

§6-2 流函数

一、不可压缩流体的流函数ψ

以上引进的势函数虽然能使问题简化，但它仅限于有势流动(即无旋流动)，对于有旋流动，我们必须根据定常，不可压二元流动的连续方程，引出流函数的概念。

推导如下：由二元不可压流体的连续方程

0=∂∂+∂∂y x u υ 则： y x

u ∂∂-

=∂∂υ (1) 又：平面流动的流线微分方程为：

υy u x d d =

0d d =-⇒x y u υ (2)

由数学分析可知：(1)是(2)成为某一函数),(y x ψ的全微分的充要条件。即：

x y u d d d υψ-= (3)

又：

y y x x d d d ∂∂+∂∂=

ψ

ψψ

所以，

y u ∂∂=

ψ，x ∂∂-=ψ

υ (4)

则， x y x u ∂∂∂=∂∂ψ2 ， y x y

∂∂∂-=

∂∂ψυ2 0

22=∂∂∂-∂∂∂=∂∂+∂∂y x x y y x u ψ

ψυ 说明ψ满足连续性方程

二、流函数的基本性质

(1) 等流函数线为流线

显然，在流线上，x y u d d υ-，即⇒=⇒0d ψ 即：c =ψ 即，c =ψ的曲线为流线。 在每条流线上ψ的常数值各不相同。

(2) 即：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。

证：取两道流成21,ψψ，再取曲线AB 垂

直于各流线，假定垂直纸面的尺寸为1，在AB

曲线上取微元线段l d ，其上速度为V

，则通过曲线AB 的体积流量为：

()⎰

⎰+==B

A

B

A d ),cos(),cos(d l

y V x V u l V q n

υ

⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=B

A d )d d (d d l l x l y

u υ

()1

2A B B A

B

A

d d d ψψψψψυ-=-==-=⎰⎰x y u

X 指向减小方向，l x d d 为负。为使),cos(y V

为正，所以在d x 前加负号。

证毕。

由此可见：两根流线之间的流量等于两流函数的差值。同时，由于在引出ψ这个概念时，没有涉及流体是有粘性还是无粘性(即理想或实际)，有旋或无旋。所以，不论是有粘性还是无粘性，有旋还是无旋，只要是不可压流体的平面流动，就存在流函数。

三、流函数方程

02

2

22222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ψψψψz y x (5)

1