《数学物理方法》第六章_勒让德函数
勒让德变换公式
勒让德变换公式以勒让德变换公式是数学分析中的一种重要工具，它在信号处理、泛函分析、微分方程等领域有着广泛的应用。
该公式是由法国数学家亨利·勒让德于1811年提出的，可以将函数在不同的域之间进行变换，从而帮助我们更好地理解和处理问题。
在介绍以勒让德变换公式之前，我们需要先了解一些基本概念。
在数学中，函数是描述两个变量之间关系的一种工具。
我们可以将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以是连续的，也可以是离散的。
而变换则是将一个函数通过某种方式转换成另一个函数的过程。
以勒让德变换公式是一种线性变换，它可以将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）。
在时域中，函数表示随时间变化的信号，而在频域中，函数表示信号的频率分布。
这种变换对于处理信号和波动问题非常有用，可以帮助我们更好地理解信号的特性和行为。
以勒让德变换公式可以用以下形式表示：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中，F(s)表示在频域中的函数，s是复数变量，f(t)表示在时域中的函数，t是实数变量。
这个公式可以将时域中的函数f(t)通过积分的方式转换到频域中的函数F(s)。
通过这个公式，我们可以将一个复杂的时域函数转换成频域中的简单函数，从而更好地分析和处理问题。
以勒让德变换公式具有很多重要的性质和应用。
首先，它是线性的，也就是说，对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，以勒让德变换公式可以将它们的线性组合转换为频域中的线性组合。
其次，它是可逆的，也就是说，我们可以通过逆变换将频域中的函数转换回时域中的函数。
这使得我们可以在时域和频域之间自由切换，根据具体问题选择更合适的分析方法。
以勒让德变换公式在信号处理中有着广泛的应用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频率成分和能量分布，从而帮助我们更好地理解和处理信号。
例如，在音频处理中，我们可以将声音信号通过以勒让德变换公式转换到频域中，然后进行滤波、降噪等处理，最后再将处理后的信号通过逆变换转换回时域，从而获得清晰的声音效果。
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
勒让德多项式及其应用
勒让德多项式及其应用勒让德多项式是一种经典的特殊函数，它是由法国数学家勒让德于18世纪末研究长城摆的运动方程时发现的。
作为一个基本的特殊函数，勒让德多项式在物理、数学和工程学等领域中都有广泛应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质及其在物理和数学中的一些应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式P_n(x)的定义如下：其中n为整数，x为实数。
勒让德多项式是一类具有特殊结构的多项式函数，它可以通过递推关系式来求解。
具体来说，勒让德多项式满足以下递推公式：其中n+1次勒让德多项式可以通过n次和n-1次勒让德多项式来表达。
这个递推公式还有一个等价的形式：由此可以得到勒让德多项式的一些基本性质，例如P_n(x)在[-1,1]上有n个实根，其中n-1个简单实根和一个n阶重根。
此外，勒让德多项式还满足下列正交性：其中w(x)为勒让德多项式的权函数。
二、勒让德多项式的一些性质除了递推公式和正交性以外，勒让德多项式还有一些重要的性质。
例如，勒让德多项式是一个偶函数，即P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)。
此外，勒让德多项式还有如下的反演公式：其中f(y)和g(x)分别是两个函数，而K_n(x,y)是勒让德函数的核函数：其中P_n(x)和P_n(y)分别是n次勒让德多项式在x和y处的取值。
勒让德函数的核函数经常被用于计算物理中的各种耦合系统中的能量本征状态。
三、勒让德多项式在物理学中的应用勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁场和量子力学中。
在电磁场中，勒让德函数的核函数可以用来描述两个电荷或磁荷之间的相互作用。
在量子力学中，勒让德多项式则被用来表示转动不变性系统的波函数，比如氢原子和氢分子离子。
此外，在量子力学和粒子物理中，勒让德多项式还经常用来表示原子轨道和粒子的旋转等。
四、勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在数学的一些分支中也有广泛的应用，特别是在微积分和数论等领域。
例如，在微积分中，勒让德多项式可以用来表示函数的幂级数展开式，而在数论中，勒让德多项式则被用来研究阶乘和高次导数等问题。
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
数学物理方程第六章 勒让德多项式
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
勒让德多项式
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性 质； ）
有关的定解问题。 （3 会用勒让德多项式求解 有关的定解问题。 ）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中， 域内的迪利克雷问题： 在第四章中，我们用格 林函数法解决了球形区 域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程 第一类边界条件
数学物理方法
第六章 勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（ 勒让德（1752～1833） ～ ） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利 埃 勒让德 公元1752─公元1833 为法国数学家， 勒让德（ 1752─公元1833） 阿德利昂 玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于 玛利 巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学 年毕业于马扎兰学院。 巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学 教授。1782年以 关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金， 年以《 教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员 年成为伦敦皇家学会会员。 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。 曾与拉格朗日（ ）、拉普拉斯 拉普拉斯（ 勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace） 并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴， 并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了 ， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴 卓越的贡献。 卓越的贡献。
第六章---数理方程勒让德多项式
y2
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
(2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k) x2k1 (2k 1)!
6. 3 勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
将6.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (k 1) (n k)(k n 1)
2)!
6. 3 勒让德多项式
an4
(2n 4)! 2!2n (n 2)!(n
4)!
一般地当 n 2k 0 时，有
6.1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2
d 2
cot
d
d
n
n
1
m2
sin2
0
令 x cos ，并记 P( x) (cos )
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
n
n
1
m2 1 x2
P
0
k0
(k c 2)(k c 1)ak2 [(k c)(k c 1) n(n 1)ak 0
a k0 k2
(k
(k＋c)(ck)(k
cc1)a1k)xk
c2
n(n
(k＋c 1)(k c 2)
0 1)
ak
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
37
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
38
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部． (3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分
二阶线性齐次常微分方程 (1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程．
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数．
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解．
在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称 为勒让德方程的本征值问题．方程中的参数 l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征 函数．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式
证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明． 二项式展开定理为
33
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
17
这表明，在x=±1处，两级数是发散的．
18
物理量总是有界的
因此，在求解勒让德方程时，要求解在 x=±1有界，并把“解在x=±1有界”的 条件称为勒让德方程的自然边界条 件． 为了得到在闭区间[-1,1]内有界的解，必 须研究在什么条件下，这两个无穷级数 才能中断为多项式.
第六章 勒让德多项式1
( 2 1)l ( x)
l 1
C
dx
（6.1.11）
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．
式（6.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
Pl ( x) 1 π 0
π
( x i 1 x 2 cos )l d
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
式（6.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 2 (3x 2 1) 1 4 (3cos 2 1)
(6.1.12)
x2 1
【证明】 取 C 为圆周，圆心在 z x ，半径为 ．在
C
上有：
x x 1e
2
i
d i x 2 1ei d i( x)d
并注意到
2 1 ( x x 2 1ei )2 1 ( x 2 1)(1 ei2 ) 2 x x 2 1ei
P3 ( x)
1
1 (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20 cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30 cos ) 8 128
dl dx
l
x
2l 2 k
(2l 2k )(2l 2k 1) [2l 2k (l 1)]x
《数学物理方法》第六章勒让德函数
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
13
3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
36
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为
勒让德函数母函数及其在静电场中的应用资料
勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用指导教师：娄宁二000级物理（1）班：洪世松勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用一. 勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法 1. 勒让德多项式的母函数引入的必要性 ⑴.勒让德多项式的由来通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件()πθ,01=±=x 时求解拉普拉斯方程02=ψ∇时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑： 其一是所研究的问题不具有对称性。
拉普拉斯方程02=∇U 在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：()[]()()θθcos cos 12/2m l m l m P P x=-=Θ，其中m＝0、1、2、3，…，l 。
式中当m ＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式()θcos l P 。
其二是所研究的问题具有轴对称性。
其解的形式为勒让德多项式的形式，即()θcos l P ＝()()()()kl l kl k x k l k l k k l 22/0!2!!2!221-=----∑，其中⎦⎤⎢⎣⎡2l 表示的是不超过2l 的最大整数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2l ＝r 的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ01l l l ll r B r A ，其中l =0,1,2,……。
由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。
从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。
⑵.对所研究问题的对称性的讨论以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ）()θ,r E的要求。
在图一所示的物理情景中，求解位于某一匀强场中的导体球外任一点的电势Ψ，为使求解的问题简单化，我们可建立如图一所示的直角坐标系，这样求解的问题就具有轴对称性，所以由前面分析的第二种情况易写出空间各点的电势为：()θc o s 01l l l l l l P r B r A ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ。
第13讲 勒让德多项式
4
105 cos
2
50)
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
如 l 为 2n 1 （即为奇数）时，则 P2n1(x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2n1 (0) 0
（１.8）
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos
4
20
cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70
x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30
cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
(
x)
d dx
[(1
x
2
)Pl(
x)]
Pl
(
x)
d dx
[(1
x
2
)Pn(
x)]}dx
1
[n(n 1) l(l 1)] 1Pl (x)Pn (x)dx
因为上面等式左边的积分值为
(1 x2 )[Pn (x)Pl(x) Pl (x)Pn(x)] |11 0
1
所以当 n l 时，必然有 1Pl (x)Pn (x)dx 0
第六章 勒让德函数
说明：
（2）对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级 数解法要选定某个点 z0 作展开中心，得到的解是以 z0 为中心 的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在 收敛圆内部才有意义。
（1 ） 级数解法是一个比较普遍的方法， 对方程无特殊的要求。
2.方程的常点和奇点
方程的标准形式： w( z) p( z)w( z) q( z)w( z) 0 （1） 其中： w( z ) ——未知的复变函数， p( z ) 、 q( z) ——已知的 复变函数（方程的系数）
k 0 k 0 k 0
w0 ( z ) C2 k z
k 0
2k
w1 ( z ) C2 k 1 z 2 k 1
k 0
w0 ( z ), w1 ( z ) 都是方程的解，但线性无关。方程的通解是 w0 ( z ) 与 w1 ( z ) 的线性组合。
数学物理方法
2(2k 2) 4k 4 2(2k 2 2) C2 k C2 k 2 C2 k 22 2k (2k 1) 2k (2k 1) (2k 2)(2k 2 1) (4k 4 )(4k 8 ) (2k )! (4 )( ) C0
w( z) p( z)w( z) q( z)w( z) 0 （ 1 ）有唯一满足初始条件
w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1 ) （ C0 , C1：任意常数）的幂级数解。解
的具体形式： w( z ) Ck ( z z0 ) k
k 0
数学物理方法
2
k 2
k (k 1)C x
k 0 k
k 0
第六章 勒让德函数
上式为恒等式：在 x 0的邻域内成立，故有 (k 2)(k 1)Ck 2 [k (k 1) l (l 1)]Ck 0
数学物理方法
得系数递推公式：
Ck 2 k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) Ck Ck (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
数学物理方法
以上只是一般性的论断，并未提供具体求出级数解得方 法，即如何确定常数 1 , 2 , g , ck , d k 。事实上，这些常数的确 定在一般情况下很困难。 但在一定条件下，会出现（1） ， （2）或（3）式中级数没 有负幂项的情形，这样的解称为正则解。 关于正则解，有如下定理：
2.将级数解代入方程，求待定系数。
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
（1）
数学物理方法
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
数学物理方法
例：求厄米特方程 w 2 zw w 0 在 z0 0 邻域内的解。
解：1.级数解的形式 由于 p( 程的常点。 级数解具有以下形式：
w( z ) Ck z k
k 0
k 0
改变第一项的求和指标：
k 2 k k ( k 1) C x ( k 2)( k 1) C x k k 2 k 0 k 0
代入（4）式，有：
k {( k 2)( k 1) C [ k ( k 1) l ( l 1)] C } x 0 k 2 k k 0
勒让德函数在量子力学中的应用
勒让德函数在量子力学中的应用勒让德函数是数学中的一种特殊函数，由法国数学家勒让德研究得出。
勒让德函数在物理学中的应用非常广泛，尤其在量子力学领域起到了重要的作用。
量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它将粒子的性质描述为波的性质。
波函数是量子力学中最基本的概念之一，用来描述粒子的状态。
而勒让德函数则是求解薛定谔方程的一种重要方法。
薛定谔方程是量子力学中的核心方程，用来描述粒子在给定势能下的波函数演化。
通过薛定谔方程，我们可以求解粒子的能级和波函数。
在薛定谔方程中，波函数的形式可以选择不同的基函数展开。
而勒让德函数正是一种常用的基函数。
勒让德函数具有多个性质，例如正交性和归一化性，使得它非常适合用来展开波函数。
当我们取勒让德函数作为基函数时，波函数可以表示为一系列勒让德函数的线性组合形式。
通过求解系数，我们可以得到波函数在给定势能下的具体形式。
勒让德函数在量子力学中的应用不仅限于波函数的表示，还可以用来求解一些特殊问题。
例如，当体系具有球对称性时，我们可以使用球谐函数展开波函数。
而球谐函数正是勒让德函数在球坐标系下的具体形式。
在实际应用中，我们经常遇到具有球对称性的问题，如氢原子的电子云分布。
通过利用球谐函数，我们可以非常方便地求解这些问题，进而得到粒子的能级和波函数。
除了球谐函数，勒让德函数还可以应用于磁量子数的求解。
磁量子数描述了粒子在外加磁场中的行为。
通过求解勒让德函数的特定形式，我们可以得到粒子在不同磁场下的能级和波函数。
勒让德函数在量子力学中的应用不仅仅局限于上述问题，还有很多其他方面。
例如，勒让德函数在角动量的描述中也扮演了重要角色。
角动量是量子力学中的另一个重要概念，描述了粒子的自旋和轨道运动。
总之，勒让德函数在量子力学中具有广泛的应用。
它不仅作为展开波函数的基函数，还可以用来求解特殊问题。
通过勒让德函数，我们可以更深入地理解量子力学的原理，揭示微观世界的奥秘。
在今后的研究中，勒让德函数仍将发挥重要作用，推动量子力学的进一步发展。
勒让德函数
在特殊函数中的应用1 作出0-4阶勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y0=legendre<0,x>;y1=legendre<1,x>;y2=legendre<2,x>;y3=legendre<3,x>;y4=legendre<4,x>;plot<x,y0<1,:>,'g*',x,y1<1,:>,'b+',x,y2<1,:>,'ro',x,y3<1,:>,'k:',x,y4<1 ,:>,'r:'>>> legend<'P_0','P_1','P_2','P_3','P_4'>;title<'Legendre'>>>〔仿真结果〕2 作出二阶连带勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y=legendre<2,x>;plot<x,y<1,:>,'g*',x,y<2,:>,'b+',x,y<3,:>,'ro'>>> legend<'P_2^0','P_2^1','P_2^2'>3 作出三阶连带勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y=legendre<3,x>;plot<x,y<1,:>,'g*',x,y<2,:>,'b+',x,y<3,:>,'ro',x,y<4,:>,'k:'>>>legend<'P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3'>4 作出整数阶贝塞尔函数的图形>>cleary=besselj<0:5,<0:0.2:10>'>;plot<<0:0.2:10>',y>ylabel<'j_v<x>'>xlabel<'x'>legend<'J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5'>text<1,0.8,'J_0<x>'>text<2,0.6,'J_1<x>'>text<3,0.5,'J_2<x>'>text<4.2,0.4,'J_3<x>'>text<5.1,0.4,'J_4<x>'>>>text<6.5,0.4,'J_5<x>'>Legendre函数2007年12月13日星期四 01:00Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的,是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的.1. 氢原子波函数的角度部分：用MATLAB来画一画：l=0,m=0,即s轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y0n=legendre<0,cos<t>,'sch'>;polar<t,y0n<1,:>.^2>;l=1,m=0,+1,-1 即p轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y1n=legendre<1,cos<t>,'sch'>;polar<t,y1n<1,:>.^2,'r'>;hold on;polar<t,y1n<2,:>.^2,'g'>;l=2,m=0,+1,-1,+2,-2 即d轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y2n=legendre<2,cos<t>,'sch'>;polar<t,y2n<1,:>.^2,'r'>; %d<z^2>hold on;polar<t,y2n<2,:>.^2,'g'>;polar<t,y2n<3,:>.^2,'b'>;Legendre多项式函数〔7.12〕由于展开式〔7.13〕而称为Legendre〔勒让德〕多项式的母函数.展开项系数称为Legendre多项式,下节将证明它满足Legendre方程式〔7.11〕.称为阶.将式〔7.13〕左边利用二项式定理展开,有在上式中,含有的项只出现在含的项和以前各项中.在这些项中,将含的各项展成幂级数,并找出所有含的项,其系数合为〔7.13〕其中,这是因为当时,求和中最低幂项是,当时,最低幂项是. Legendre多项式的具体形式写成〔7.14〕Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues〔洛德利格〕公式〔7.15〕〔7.14〕式和〔7.15〕的正确性可以代入Legendre方程式〔7.11〕直接证明.由式〔7.14〕和〔7.15〕可得出前几阶Legendre多项式具体形式图7.1显示在区间〔－1,1〕上的图形,一般有图7.1 Legendre 函数4,40) 3, 2,1, 0, ( n x P n )( 第二类Legendre 函数值得一提的式,Legendre 方程〔7.11〕应有另一个独立的解,这个解称为第二类Legendre 函数,记为.其形式为 等一般的形式是由于的对数形式,第二类Legendre 函数在边界是无界的〔并非全部〕.因此不能构成Legendre 方程的本征函数系,所以,对将不在作讨论.Legnedre 多项式的零点的零点都是一阶的,全部位于区域〔－1,1〕内.且与的零点相互穿插,在的两个相邻零点之间必有一个的零点；反之亦然.2.3 Legnedre 多项式的性质Legendre 多项式的性质如下： 递推公式 ①<7.16><7.17> <7.18><7.19>② <7.20>对称性 ③<7.21>特殊点的值④<7.22>⑤<7.23>⑥<7.24>积分表达形式⑦ <7.25>Laplace第一积分⑧ <7.26>取,由式〔7.26〕得取,由式〔7.26〕得⑨ <7.27>Laplace第二积分⑩<7.28>积分公式〔7.29〕〔7.30〕〔7.31〕利用Rodrigues公式〔7.15〕可证明积分公式,下面证明方程〔7.31〕.利用式〔7.15〕,有将积分作次分部积分,然后设,并利用积分公式得下面由母函数入手,证明Legendre多项式得递推公式,将母函数式〔7.12〕写下〔7.12〕对式〔7.12〕两边取导数,得用乘上两边,得将上式左边中母函数再作展开,得等式〔7.32〕比较〔7.32〕式两边项得系数,得递推关系.这是式〔7.20〕的结果.同理,对式〔7.12〕两边的求导,得将上式两边乘以,并将左边母函数展开,得〔7.33〕比较项的系数,得这就是式〔7.19〕.其它递推公式可依此导出,这里不再证明.利用母函数,已证明Legendre式多项式〔7.14〕满足递推公式〔7.16〕～〔7.20〕,则式〔7.14〕是Legendre方程〔7.11〕的解.下面证明定理.定理设函数是在〔－1,1〕区间上有一、二阶连续倒数的连续函数, 若满足递推公式〔7.16〕和式〔7.17〕～〔7.20〕 , 则是Legendre方程的解.将递推公式〔7.16〕两边对求导,得〔7.34〕再将式〔7.16〕乘以,得〔7.35〕将式〔7.34〕乘以,并与式〔7.35〕相加,得〔7.36〕由式〔7.17〕,将换成,有〔7.37〕将式〔7.37〕两边对求导,得〔7.38〕或写成〔7.39〕将式〔7.39〕代入式〔7.36〕,得〔7.40〕再由式〔7.16〕将式〔7.40〕中的项替代,最后,得到Legendre方程2.4 Fourier－Legendre级数第6章§1.3讨论了区间〔－1,1〕上,Legendre方程的本征值为〔7.41〕相应的本征函数是Legendre多项式〔7.42〕由Legendre方程〔7.11〕知,.在边界,因而Legendre方程的解满足自然边界条件,因而有本征函数正交性〔7.43〕第6章§1.4还讨论了函数在区间〔－1,1〕上用Legendre函数展成的广义Fourier级数,称为Fourier－Lengendre级数.模计算如下：将母函数式〔7.12〕两边平方,得〔7.47〕Fourier－Lengendre级数展开定理若在区间〔－1,1〕上连续,或有限第一类间断点,那么,Fourier－Lengendre 级数〔7.44〕其中〔7.45〕〔7.46〕在〔－1,1〕上的连续点收敛于；在的间断点,则收敛于平均值；在,收敛于；在,级数收敛于.将方程〔7.47〕两边对从－1到1积分,并利用正交关系式〔7.43〕可知式〔7.47〕右边的第二项积分等于零.于是,有〔7.48〕式〔7.48〕左边的积分可完成为〔7.49〕将式〔7.49〕与式〔7.48〕的右边相比较,得[例7.1]在〔－1,1〕区间上,试求展成Fourier－Lengendre级数.解设根据积分公式〔7.30〕可知,当时,所有积分等于零,即利用式〔7.29〕,计算得〔被积函数是奇函数〕于是有由上述计算可得出以下结论：在的Fourier－Lengendre级数中,若是奇数,只含奇数阶Lengendre多项式；若为偶数,只含偶数阶Lengendre多项式.且Lengendre 多项式的阶数最高阶为.下面列出部分的Fourier－Lengendre多项式的阶数：2.5具有轴对称性的物理问题举例由本章§1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解.把对称轴取作求坐标的轴,Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为〔7.50〕Laplace方程描写的轴对称问题的形式解：<7.51>对于球内问题,有对于球外问题,应为零.[例7.2]半径为的均匀带电圆环,总电量为,如图7.2,求圆环周围空间的电势.图 7.2 带电的圆环解先由Coulomb〔库仑〕定律求在轴上的电势,〔7.52〕将式〔7.52〕作Laurant〔罗朗〕展开,得〔7.53〕势〔7.53〕可看成是形式解〔7.51〕在的边界条件.比较两式,且有,得[例7.3]半径为的半球导体,球面温度保持在,底面温度保持为,如图7.3,求半导体球内的稳定温度分布.图7.3 半圆形导体解稳定时,导体内的温度分布满足Laplace方程.温度分部具有轴对称性.对于球内问题,由式〔7.51〕有〔7.54〕边界条件是〔7.55〕〔7.56〕由式〔7.55〕,有显然,只有当为奇数时才有.因而,式〔7.54〕成为〔7.57〕由式〔7.56〕,有利用Fourier－Legendre级数展开定理,有〔7.58〕最后一步积分是利用习题7.2第3①题的结果求得的.将式〔7.58〕换写成表达式,并代入式〔7.57〕,有〔7.59〕§ 3* 连带LEGENDRE多项式3.1 连带LEGENDRE多项式上节讨论了对称的定解问题,当时,式〔7.5〕转变成Legendre方程〔7.10〕.当物理问题是非轴对称时,将式〔7.5〕写下：〔7.59〕类似地,作代换,令,式〔7.5〕变成连带Legendre方程〔7.60〕式〔7.60〕的本征值是,只有当取等整数时,式〔7.60〕才有本征函数解.设〔7.61〕于是,有将上述结果代入式〔7.60〕得〔7.62〕另则,由Legendre方程〔7.11〕对作次求导,得〔7.63〕比较式〔7.63〕与〔7.62〕有〔7.64〕由式〔7.61〕得到满足方程〔7.60〕的连带Legendre多项式〔7.65〕在以上推导中,阶导数表示为特别是3.2 连带LEGENDRE多项式的性质积分表达式①〔7.67〕递推公式②〔7.68〕③ <7.69> ④〔7.70〕⑤〔7.71〕对称性⑥〔7.72〕⑦〔7.73〕⑧〔7.74〕正交关系⑨〔7.75〕⑩〔7.76〕。
勒让德函数与正交归一系素
勒让德函数与正交归一系素勒让德函数是数学中的一类特殊函数，它在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
在本文中，我们将探讨勒让德函数的定义、性质以及它与正交归一系素的关系。
勒让德函数是法国数学家勒让德于1772年提出的一种函数形式。
它可以表示为幂级数的形式，被广泛地运用于数学和物理学中。
勒让德函数具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等。
首先，我们来讨论勒让德函数的定义。
勒让德函数可以用勒让德方程来描述，即：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0$$其中，$y''$表示函数$y$的二阶导数，$y'$表示函数$y$的一阶导数，$n$为常数。
这个方程可以简化为二阶常微分方程，它的解即为勒让德函数。
勒让德函数具有多种表示形式，最常见的是勒让德多项式表示。
勒让德多项式是勒让德函数的一种特殊形式，可以表示为幂级数的形式。
通过勒让德多项式，我们可以方便地计算勒让德函数的性质和各类数值。
接下来，我们来研究勒让德函数的性质。
勒让德函数具有正交归一性质，即在一定的正交区间内，不同的勒让德函数之间满足正交关系。
这使得勒让德函数在数学中的应用非常广泛。
例如，在傅里叶级数中，勒让德函数可以作为正交基函数，将任意函数展开成一系列正交归一的勒让德函数。
在物理学中，勒让德函数也常用于解决具有球对称性的问题，如电磁场中的球谐函数等。
此外，勒让德函数还具有递推关系。
根据递推公式，我们可以通过已知的勒让德函数计算出更高阶的勒让德函数。
这为勒让德函数的计算提供了一种有效的方法。
勒让德函数在实际应用中有着广泛的用途。
例如，勒让德函数在量子力学中的应用非常重要。
在量子力学的球谐函数中，勒让德函数扮演着关键的角色。
它们描述了电子在原子中的运动状态，并可用于计算不同量子数对应的波函数。
此外，勒让德函数在天体力学中也有所应用。
例如，太阳系行星的轨道运动可以用勒让德函数进行描述。
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6
定理1
在常点z0的邻域|z- z0|<R内，方程(6. 1. 1)
有唯一满足初始条件初始条件w(z0) = C0 ,
wʹ(z0) = C1 的幂级数解 (6.1.2)
7
定理2 在正则奇点z0的邻域|z-z|<R内，方程的 解为
C0≠0 ， D0≠0。 r1和r2称为方程的指标方程
8
指标方程的确定：将
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式
证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明． 二项式展开定理为
33
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
17
这表明，在x=±1处，两级数是发散的．
18
物理量总是有界的
因此，在求解勒让德方程时，要求解在 x=±1有界，并把“解在x=±1有界”的 条件称为勒让德方程的自然边界条 件． 为了得到在闭区间[-1,1]内有界的解，必 须研究在什么条件下，这两个无穷级数 才能中断为多项式.
19
5. 本征值与本征函数 从系数递推公式(6.1.9), 若l为偶数：l =2n(n为 正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止．将 k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为
34
在等式右边的分子分母中同乘以(l-2s)！，有
罗德里格斯公式得证．
35
§6.2.2 勒让德多项式的母函数
若函数w(x,t)的泰勒级数为
则w(x,t)称为Pl(x)的母函数(或生成函数)． 勒让德多项式的母函数为
式中规定多值函数的单值分支为.
36
将x看作参数,w(x,t)作为t的函数在|t|<1解析① 今在|t|<1 的圆内将它展开为泰勒级数，可证明 展开系数为 证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
§6.1 勒让德方程与勒让德多项式
本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程 的级数解法，随后求出勒让德方程的通 解，舍去不符合有界性条件的特解，最 后规定最高次幂项系数，即得勒让德多 项式．
§6.1.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法
二阶线性齐次常微分方程的标准形式是
式中w(z)是待求的复变函数; p(z)和q(z)是已 知的复变函数，称为方程的系数． 一般来说，方程在复平面的不同区域的解可 以有不同的形式．通常的间题是：求方程在 某点z0的邻域内满足一定条件[如初始条件 w(z0) = C0 , wʹ(z0) = C1 ]的解．
代入方程(6.1.1)，由最低次幂项的系数和为 零得到r的方程(称为指标方程)，方程的两个 根就是r1和r2(取r1≥r2)． w2(z) 含或不含对数项，取决 r1和r2是否为零 与整数；系数a是否为零而定
9
定理1和定理2的证明见有关专著①．
本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线 性齐次常微分方程的级数解法．
50
51
作业- §6.2
Group A
1. 2.
第132页
Group B
1. 2.
Group C
1. 2.
6.2.3 6.2.4
6.2.2 6.2.4
6.2.1 6.2.4
52
§6.3 勒让德多项式的 正交性与完备性
在介绍“正交性”含义的基础上，证 明勒让德多项式的正交性； 计算勒让德多项式的模, 导出勒让德多 项式的正交归一关系式； 在介绍“完备性”含义的基础上，给 出以{Pl(x)}为基将函数f (x)展开为广义 傅里叶级数的条件，以及计算广义傅 里叶系数的公式
式中u=x在曲线Cʹ的内部． 2.拉普拉斯积分
40
拉普拉斯积分证明
在施列夫利公式中，取u平面的回路Cʹ为以x 为圆心 ， 为半径的圆周，则
41
将以上各式代人施列夫利公式，即
得拉普拉斯积分
42
【例6.2.1】试由拉普拉斯积分证明勒让 德多项式的特殊值
Pl(1) =1,
Pl(-1) = (-1)l
l l=0 l -1
l -1
- 2 x Pl ( x ) t
l=0
+
l P ( x )t
l l=0
l -1+ 2
=
l Pl ( x ) t
-
l=0
( 2 l + 1) xP l ( x ) t +
l l
l=0
( l + 1) Pl ( x ) t
l
l +1
l=0
( l + 1) Pl + 1 ( x ) t -
4
级数解法对方程没有特殊的要求．它的 基本方法是：把方程的解表示为以z0为 中心、带有待定系数的幂级数，将这个 幂级数代入方程及定解条件，求出所有 待定系数即可．
方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数p(z) 及q(z)的解析性决定．
5
常点、正则奇点、非正则奇点
如果p(z)和q(z)在z0点的邻域解析， z0称为方 程的常点； 如果z0最多是：ⅰ)p(z)的一阶极点，ⅱ)q(z) 的二 阶极点， z0称为方程的正则奇点； 注： [ⅰ)或ⅱ)]=[ ⅰ)和ⅱ)] 如果z0不满足上面两种条件，则 z0称为方程 配非正则奇点。
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+5, C2n+7, …均为 零。 y1(x)的最高次幂为x2n+1= xl ．类似地， 取常数C0=0，则勒让德方程的解为
21
因此，无论 l 为偶数还是奇数，勒让德
方程的解都
中断为 l 次的多项式(6.1.
16)或式(6. 1.17)，因而在x=±1保持有 界．这表明本征值l=l(l+1)，l=0,1,2,…
27
勒让德多项式的函数曲线如图6. 1所示
28
由式(6. 1.20)可以直接得到关于Pl(x)的奇偶性 及若干特殊值：
(1) 奇偶性
Pl(-x) ＝(-1)l Pl(x)
(6.1.22)
这直接用-x替代式(6. 1.20)中的x，利用 (-x)l-2s =(-1)l (-x)l-2s 可得．
29
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
37
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
38
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部． (3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分
13
2. 系数递推公式
由此得系数递推公式
14
3. 由递推公式求系数，得通解
15
勒让德方程的通解可表示为
它们是勒让德方程的两个线性无关的特解．
16
4. 有界解的要求，自然边界条件
现在以y0(x)为例，求级数的收敛半径． 令u=x2，则
级数Y0(u)相邻两项的系数分别为Cn和Cn-2．由 式(6. 1. 10)可得
6.2.11)
解 分别将x =±1代入拉普拉斯积分，得
43
【例6.2.2】试由拉普拉斯积分证明 |Pl(x)|d1 (6.2.12)
证明 将x = cosq 代入拉普拉斯积分，并利用 复变积分的性质5，便有
44
6.2.4 勒让德多项式的递推公式
在积分过程中, 常用到以下几个递推公式(l 1):
x Pl ( x ) t l
l=0
Pl ( x ) t
l +1
l=0
l Pl ( x ) t
x Pl ( x ) t l
Pl 1 ( x ) t -
l
l =1
l =1
l =1
lP l ( x ) = x Pl ( x ) - Pl 1 ( x ) 48
49
其他证明方法？
二阶线性齐次常微分方程 (1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程．
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数．
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解．
在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称 为勒让德方程的本征值问题．方程中的参数 l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征 函数．
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, …均为 零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
(6.1.16)
20
同理，若l为奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级 数y1(x)到x2n+1项为止．将k=l=2n+1代入式(6. 1. 9)，即得x2n+3项的系数为