待定系数法求二次函数解析式的十种类型

一、三点型----一般式 y=ax2+bx+c 即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax 2+bx+c 然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a 、b 、c 即得解析式

已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。

分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故

所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.

这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析

式y=ax 2+bx+c.

二、交点型----交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 即已知抛物线与X 轴的两个交点的坐标A(x 1 ,0 ) ,B(x 2, 0) 或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(x —x 1)(x — x 2),求出a 即得解析式

例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2

+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21

∴y=21x(x-3),即 y=

x x 23212-. 三、顶点型------y=a(x-h)2

+k 即已知抛物线的顶点坐标( h, k ),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式 y=a ( x —h )2 +k ，求出a 、k 可即得解析式。

例 3 已知抛物线y=ax 2

+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(h,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21

∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272

12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

四、平移型左加右减自变量，上加下减常数项

例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122

+-=x x y 则b 与c 分别等于

(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.

分析逆用平移分式，将函数y=x 2

-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。

∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662+-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ）

五、弦比型（设两根为x1, x2, 则弦长=|x1-x2|

由韦达定理：x1+x2=-b/a, x1x2=c/a 因此|x1-x2|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-b/a)^2-4c/a=(b^2-4ac)/a^2=Δ/a^2 因此有|x1-x2|=√Δ/|a|）

例 5 已知二次函y=ax 2

+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=

a ?

就本题而言，可由对称

性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2+8x-6.

六、识图型例 6 如图1，抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212其中一条的顶点为P ，另一条与X 轴交于M 、

N 两点。

（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点（2）求两条抛物线的解析式。

解（1）抛物线y=c x b x +++)2(212与x 轴交于M ，N 两点（过程从略）；

（2）因y=d x b x +-+)2(212的顶点坐标为（0，1），

∴b-2=0,d=1, ∴b=2.∴Y=1212+x .

将点N 的坐标与b=2分别代入y=221x +(b+2)x+c 得c=6.

∴y=221x +4x+6

七、面积型

例 7 已知抛物线y=x c bx ++2 的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与 y 轴交于Q （0，-3），与x 轴的交点为A 、B ，

顶点为P ，ΔPAB 的面积为8。求其解析式。

解将（0，-3）代入y=c bx x ++2得 c=-3.

由弦长公式，得

122+=b AB 点P 的纵坐标为4122

b --

由面积公式，得

.841212212

2=--?+b b

解得.2±=b

因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.

所以解析式为y=322--x x

八、几何型

例 8 已知二次函数y=2x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。

解由弦比公式，得AB=4)42(42-=--m m m

顶点C 的纵坐标为-4)4(2

-m

∵ΔABC 为等边三角形 ∴43214)4(2-?=--m m

解得m=4,32±故所求解析式为 y=

,344)324(2+++-x x 或y=344)324(2-+--x x

九、三角型

例 9已知抛物线y=c bx x ++2的图象经过三点（0，2512

）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且A 、B 为直角三角形的两

个锐角，求其解析式。

解 ∵A+B=900

，∴sinB=cosA.

则由根与系数的关系，可得 ???=?-=+c A A b A A cos sin cos sin

将（0，2512）代入解析式，得c=.2512 （1）2)2(2

?-,得 ,125242=-b ∴

57±=b ∵-b ,0?∴b=-57

所以解析式为y=

2512572+-x x 十、综合型

例 10 如图2，已知抛物线y=-q px x ++2

与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点，若∠ACB=900，且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2，求其解析式．

解设A ，B 两点的横坐标分别为x 21,x ,则q=(-x .)21OB OA x ?=?

由ΔAOC ～ΔCOB ，可得OC 2

=OA ·OB ，

∴q 2=q 解得q 1=1,q 2=0（舍去），又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得2=-OB OC OA OC

即21121=--

X X

∴x 1+x 2=-2x 1x 2 即 p=2p=2 所以解析式为y=-x 2+2x+1