待定系数法求二次函数解析式的十种类型
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2（a ≠0）.由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点（032,）和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422(). 将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念，其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。
它的复杂性使得学生更易于弄清楚，并且在数学知识的建立上也有较大的作用。
本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。
首先，用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法，是一种求解二次函数解析式的有效方法。
它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点，有助于研究函数的拓展和深入分析。
求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤：首先，将二次函数解析式以下式形式表达：ax + bx + c = 0；其次，求解ax + bx + c的系数a、b、c的解，即a、b、c的值，这样就可以得到完整的二次函数解析式；最后，根据完整的二次函数解析式，可以进行函数曲线的画法，以便对函数特征进行更深入的分析。
这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。
这些不等式的解也可以用上述的方法求出，只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式，并根据所给的条件来解系数a、b、c，从而得到最终的不等式解。
此外，学生也可以使用特殊的因式分解法，通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式，通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。
这种方法可以用来求解多项式方程，从而得到多项式函数的解析式。
在求解二次函数时，还有一种简便而又实用的方法，即通过图表的方法，根据函数图象的特点求出函数的解析式，从而更加简单、快捷地求解二次函数。
通过以上介绍，用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。
由此可见，求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式，从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用，进而深入认识数学知识，受益匪浅。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2019秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ， 把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0). 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ，所得函数为5422-+-=x x y 对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2019•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有930,3,1,2a b c c ba⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)． 由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)． 则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--． 又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)． 则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积． 【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-，∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-． 即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)， ∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ） A ．众数是2.3 B ．平均数是2.4 C ．中位数是2.5D ．方差是0.012．如图，直线a ∥b ．将一直角三角形的直角顶点置于直线b 上，若∠l ＝28°，则∠2的度数是（ ）A.108°B.118°C.128°D.152°3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，若∠C ＝60°，AB ＝2，则k 的值为（ ）AB C ．1 D ．24．在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回B 地.如图是甲、乙两人离B 地的距离(km)y 与行驶时间(h)x 之间的函数图象，下列说法中①A 、B 两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M 的坐标为(23，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是49小时或89小时. 正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，6BC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，点E 是AC 的中点，点P是CD上的一动点，则PA PE+的最小值是（）A．B．6 C．D6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．87．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y＝kx上（k＞0，x＞0），则k的值为（）A．B．C．9 D．8．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（）A．4()3b a-元B．4()3b a+元C．5()4b a-元D．5()4b a+元9．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．跳远项目中，以测量最靠近起跳线的点到起跳线的距离作为成绩．如图是小慧在跳远训练中的一跳，下列线段中，它的长度能作为她的成绩的是（）A.线段PAB.线段PBC.线段ADD.线段BD11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A.120°B.130°C.140°D.150°12．如图所示几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.二、填空题13．在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是AB 边上的中线，点E 在边AC 上（不与A ，C 重合），且BE ＝CD ．设ABBC＝k ，若符合条件的点E 有两个，则k 的取值范围是_____．14．如图，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3，EF=2，G 为 DE 上一动点，把三角尺DEF 绕直角顶点 F 旋转一周，在这个旋转过程中，B ，G 两点的最小距离为_____.15．已知x 满足（x+3）3＝64，则x 等于_____． 16．分解因式：29m - =___________.17．若把代数式245x x --化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=______． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x+1的图象l 与y 轴交于点C ，A 1的坐标为（1，0），点B 1在直线l 上，且A 1B 1平行于y 轴，连接CA 1、OB 1交于点P 1，过点A 1作A 1B 2∥OB 1交直线l 于点B 2，过点B 1作B 1A 2∥CA 1交x 轴于点A 2，A 1B 2与B 1A 2交于点P 2，……，按此进行下去，则点P 2019的坐标为_____．三、解答题19．在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，试求x+y 是10的倍数的概率．20．(1)计算)0-4cos60°+（13）-1. (2)先化简,再求值:（2-43-3x x x +-13x -）·(22-21-32x x x x ++-2-2x ),其中x=4.21．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝mx的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴于D ，若OB ＝3，OD ＝6，△AOB 的面积为3． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当x ＞0时，比较kx+b 与mx的大小．22．计算：214)0452-︒⎛⎫ ⎪⎝⎭． 23．解不等式组()214111143x x x x ⎧+-⎪⎨+--≤⎪⎩＞24．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC D ⊥于点.（1）如图1，点E 、F 在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =. （2）点M ，N 分别在直线AD ，AC 上，且90BMN ∠=︒. ①如图2，当点M 在AD的延长线上时，求证：AB AN +=；②当点M 在点A ，D 之间，且30AMN =︒∠时，已知AB =AM 的长.25．有一块含30°角的直角三角板OMN ，其中∠MON ＝90°，∠NMO ＝30°，ON ＝，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC 的顶点B 与点O 重合，BC 边落在OM 上，点A 恰好落在斜边MN 上，将等边△ABC 从图1的位置沿OM 方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与斜边MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）（0＜t ＜6）．（1）等边△ABC 的边长为 ；（2）在运动过程中，当 时，MN 垂直平分AB ；（3）当0＜t ＜6时，求直角三角板OMN 与等边△ABC 重叠部分的面积S 与时间t 之间的函数关系式．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．3k <<且1k ≠ 14． 15．16．(m －3)(m ＋3) 17．-718．20202019221,33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭三、解答题 19．1 【解析】 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对可以列举出结果数，根据等可能事件的概率公式得到结果． 【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果， 故形成的数对（x ，y ）共有100个．满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对包括以下10个：（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10）．故“x+y 是10的倍数”的概率为 1100.1100P ==． 【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个关于数字的题目，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，然后根据概率公式计算．20．（1）；（2）x-2，2. 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质、绝对值的意义、零指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的意义逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可；（2）先根据分式的运算法则将所给代数式化简，再把x=4代入计算即可. 【详解】解:(1)原式4×12+3(2)原式=2-43-3x x x ++1-3x ·2(-1)(-1)(-2)x x x -2-2x=2(-2)-3x x ·-1-2x x -2-2x=2(-2)-3x x ·-3-2x x=x-2,当x=4时,原式=4-2=2. 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义及分式的运算法则是解答本题的关键. 21．(1) 223y x =-,12y x =;(2) 当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞mx【解析】 【分析】（1）根据点A 和点B 的坐标求出一次函数的解析式，再求出C 的坐标6，2） ，利用待定系数法求解即可求出解析式（2）由C （6，2）分析图形可知，当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞mx【详解】 （1）S △AOB ＝12OA•OB＝3，∴OA＝2，∴点A的坐标是（0，﹣2），∵B（3，0）∴2 30 bk b=-⎧⎨+=⎩∴232 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴y＝23x﹣2．当x＝6时，y＝23×6﹣2＝2，∴C（6，2）∴m＝2×6＝12．∴y＝12x．（2）由C（6，2），观察图象可知：当0＜x＜6时，kx+b＜mx,当x＞6时，kx+b＞mx．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标22．1【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣3+12＝2﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．-5≤x＜5 2【解析】【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：() 214111143x xx x⎧+-⎪⎨+--≤⎪⎩＞①②由①得x＜52；由②得x≥-5；∴不等式组的解集为-5≤x＜52．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．24．（1）见解析；（21.【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAD=45°，进而得出∠CAD=∠B，再判断出∠BDE=∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；（2）①先判断出AM=PM，进而判断出∠BMP=∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP=AB+AN，再判断出，即可得出结论；②先求出BD，再求出∠BMD=30°，最后用三角函数求出DM，即可得出结论．【详解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，AD=BD，∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，∴∠AMP=90°，∵∠PAM=45°，∴∠P=∠PAM=45°，∴AM=PM，∵∠BMN=∠AMP=90°，∴∠BMP=∠AMN，∵∠DAC=∠P=45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN=PB，∴AP=AB+BP=AB+AN，在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，∴，∴AM；②如图，在Rt△ABD中，AD=BD=2∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，∴∠BMD=90°-30°=60°，在Rt△BDM中，DM=1BDtan BMD==∠，∴．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BDE≌△ADF是解（1）的关键，构造出全等三角形是解（2）的关键．25．（1）3；（2）3；（3）22(03)84(36)tSt+<⎪=+<<….【解析】【分析】（1）根据，∠OMN＝30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，由此即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．根据S＝S△MEB﹣2S△MDC，计算即可．②当3＜t ＜6时，S＝S△MEB．【详解】解：（1）在Rt△MON中，∵∠MON＝90°，ON＝M＝30°∴OM＝6，∵△ABC为等边三角形∴∠AOC＝60°，∴∠OAM＝90°∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA＝12OM＝12×6＝3．故答案为3．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，所以t＝3．故答案为3．（3）易知：OM＝6，MN＝，S△OMN＝12×6＝∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，∴∠BEM＝90°．①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，∴∠CFM＝∠M＝30°，∴CF＝CM，∵CD⊥FM，∴DF＝DM，∴S△CMF＝2S△CDM，∵△MEB∽△MON，∴2MEBMONS BMS MB⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△MEB＝2822t-+，∵△MDC∽△MON，∴2MDCMONS MCS MN⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△MDC＝2848t-+，∴S＝S△MEB﹣2S△MDC＝﹣284+．②当3＜t＜6时，S＝S△MEB＝2822-+，综上所述，S＝22(03)(36)tt+<<<⎩…．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．b 2•b 3＝b 6 B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．（ab ）2＝ab 2D ．（﹣a ）6÷（﹣a ）3＝﹣a 32．如图的四个转盘中，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）A. B. C. D.3．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y ＝6的解，则k 的值为（ ）A.34B.43C.﹣34D.﹣434．6月15日“父亲节”，小明准备送给父亲一个礼盒（如图所示），该礼盒的俯视图是（ ）A. B. C. D.5．下列标志中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，AC ＝则图中阴影部分的面积是（ ）A ．32π-B ．32π C ．3924π- D ．3π-7．在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①22S S >乙甲；②22S S <甲乙.③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的是（ ）A.①③B.①④C.②④D.②③8．如图所示的几何体的左视图是（）A.B.C.D.9．如图，DE∥MN，Rt△ABC的直角顶点C在DE上，顶点B在MN上，且BC平分∠ABM，若∠A＝58°，则∠BCE的度数为（）A．29°B．32°C．58°D．64°10．如图,在菱形ABCD中,AB=8,∠B=60°,P是AB上一点,BP=5,Q是CD边上ー动点,将四边形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A`.当CA`的长度最小时,则CQ的长为( )A．7 B．C．D．11．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列判断不正确的是（ ）A ．△ABC ≌△DCB B ．△AOD ≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC二、填空题 13．二次函数223y x =的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形(其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相邻的菱形在y 轴上有一个公共点)，则第2017个菱形的周长=______．14．写出一个解为11x y =⎧⎨=-⎩的二元一次方程是_____．15．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点的距离之和PA+PB 的最小值为______．16．中国的领水面积约为3700000km 2，将3700000用科学记数法表示为_____． 17．计算：＝_____．18．利用标杆测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆的高为米，测得米，米,则建筑物的高为__米．三、解答题19．2019年初，电影《流浪地球》和《绿皮书》陆续热播，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影打分，过程如下．收集数据20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99《绿皮书》88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 85 91 89 97 92整理、描述数据绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整．(说明：60≤x＜70表示一般喜欢，70≤x＜80表示比较喜欢，80≤x＜90表示喜欢，90≤x＜100表示超级喜欢)分析数据、推断结论(1)估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有人；(2)你认为观众更喜欢这两部电影中的(填《流浪地球》或《绿皮书》)，理由是．20．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B 型净水器的数量相等（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元，试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金．若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的最大利润不低于20200元但不超过23000元，求a 的取值范围．21．某学校打算假期组织老师外出旅游，初步统计，参加旅游的人数约在30～60人左右．该校联系了两家报价均为1200元的旅行社，甲旅行社的优惠措施是30人以内（包括30人）全额收费，超出部分每人打六折；乙旅行社的优惠措施是每人打九折，若人数在30人（包括30人）以上，还可免去两个人的费用． （1）该校选择哪一家旅行社合算？（2）若该校最终确定参加旅游的人数为48人，学校可给每位参加旅游的教师补贴200元，则参加旅游的教师每人至少要花多少钱？22．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D ．（1）求证：∠APO ＝∠CPO ；（2）若⊙O 的半径为3，OP ＝6，∠C ＝30°，求PC 的长．23．（1）计算：（0+3tan30°﹣2|+11()2-（2）解方程：3+1x xx x -= 24．已知四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，148BCD ∠=︒.（Ⅰ）如图①，若E 为AB 上一点，延长DE 交O 于点P ，连接AP ，求APD ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点A 作O 的切线，与DO 的延长线交于点P ，求APD ∠的大小.25．春暖花开，树木萌芽，某种时令蔬菜的价格呈上升趋势，若这种蔬菜开始时的售价为每斤20元，并且每天涨价2元，从第六天开始，保持每斤30元的稳定价格销售，直到11天结束，该蔬菜退市． （1）请写出该种蔬菜销售价格y 与天数x 之间的函数关系式；（2）若该种蔬菜于进货当天售完，且这种蔬菜每斤进价z 与天数x 的关系为z ＝﹣21(8)8-x +12（1≤x≤11），且x 为整数，那么该种蔬菜在第几天售出后，每斤获得利润最大？最大利润为多少？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．806814．x+y=01516．7×10617．318．15三、解答题19．补全统计图与统计表见解析；(1)720；(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题干中所给数据，整理可补全直方图；再根据众数和中位数的定义可得；（2）答案不唯一，合理即可．【详解】（1）补全《流浪地球》的分布直方图如下：填统计表如下：估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有1800×820＝720(名)，故答案为：720；(2)答案不唯一，喜欢《绿皮书》理由：在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数； 为《绿皮书》打分在80分以上的有16人，而为《流浪地球》打分在以上的只有12人．故答案为：《绿皮书》，在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数．【点睛】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键．20．（1）每台A 型、B 型净水器的进价分别是2000元、1800元；（2）a 的取值范围是20≤a≤90．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以求得x 的取值范围和利润与x 的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）设每台A 型的进价为m 元，5000045000200m m =-， 解得，m ＝2000，经检验，m ＝2000是原分式方程的解，∴m ﹣200＝1800，答：每台A 型、B 型净水器的进价分别是2000元、1800元；（2）2000x+1800（50﹣x ）≤98000，解得，x≤40，设公司售完50台净水器并捐款后获得的利润为w 元，w ＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x ）﹣ax ＝（120﹣a ）x+19000，当a≥120时，w≤19000不合题意，当a ＜120时，120﹣a ＜0，当x ＝40时，w 取得最大值，∴20200≤40（120﹣a ）+19000≤23000，解得，20≤a≤90，即a 的取值范围是20≤a≤90．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．21．（1）当旅游人数小于46人时，选乙旅行社；人数为46人时，两家旅行社费用一样；人数大于46人时，选甲旅行社；（2）820.【解析】【分析】（1）设x 人参加旅游，用x 分别表示甲和乙旅行社的费用，两费用相等则列方程求出对应的人数，谁家费用较大列不等式求出对应的人数范围．（2）人数为48人则选甲旅行社花费少，把总费用求出后再减去学校补贴总额200×48元，得到总旅游费用，再除以48记得人均费用．【详解】解：（1）设参加旅游的人数为x人（30＜x＜60），甲旅行社费用为y1元，乙旅行社费用为y2元，得：y1=1200×30+1200×0.6（x-30）=720x+14400y2=1200×0.9（x-2）=1080x-2160当y1=y2时，720x+14400=1080x-2160解得：x=46当y1＞y2时，720x+14400＞1080x-2160解得：x＜46当y1＜y2时，720x+14400＜1080x-2160解得：x＞46答：当旅游人数小于46人时，选乙旅行社；人数为46人时，两家旅行社费用一样；人数大于46人时，选甲旅行社．（2）由（1）得，人数为48人时选甲旅行社费用更低．∴（720×48+14400-200×48）÷48=820（元）答：参加旅游的教师每人至少要花820元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，是选择方案的常考题．22．（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据切线长定理证明；（2）根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据勾股定理求出AP，根据含30°的直角三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠CPO；（2）解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴AP=，在Rt△CAP中，∠C＝30°，∴PC＝2AP＝．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握切线长定理、勾股定理是解题的关键．23．（1）；（2）x＝﹣1.5．【解析】【分析】（1）根据0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值及负整数指数幂即可解答.（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式＝13221+-++=+（2）去分母得：x 2＝x 2﹣2x ﹣3，移项合并得：﹣2x ＝3，解得：x ＝﹣1.5，经检验x ＝﹣1.5是原方程的解．【点睛】本题考查了0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值、负整数指数幂及解分式方程，掌握各种运算的法则是关键，解分式方程必须检验.24．（Ⅰ）；58APD ∠=︒；（Ⅱ）26APD ∠=︒.【解析】【分析】（Ⅰ）连接BD ，根据圆内接四边形的对角互补得出BAD 32∠=︒，再根据直径所对的圆周角是直角得出ADB 90∠=︒，从而求出ABD ∠，再根据同弧所对的圆角角相等即可得出APD ∠的度数.（Ⅱ）连接AD,根据等腰三角形的性质，可得ADO OAD 32∠∠==︒，再根据切线的性质和三角形即可得出APD ∠度数.【详解】解：（Ⅰ）连接BD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴BCD BAD 180.∠∠+=︒∵BCD 148,∠=︒∴BAD 32.∠=︒又AB 是O 的直径，∴BDA 90.∠=︒∴BAD ABD 90,∠∠+=︒∴ABD 58.∠=︒∴APD ABD 58.∠∠==︒（Ⅱ）连接AD,由（Ⅰ）可知：BAD 32,∠=︒又OA OD =，可得ADO OAD 32,∠∠==︒∵DP 切O 于点A,∴OA PA ⊥，即PAO 90.∠=︒则PAD PAO OAD 122,∠∠∠=+=︒在APD 中，∵PAD ADO APD 180,∠∠∠++=︒∴APD 26∠=︒.【点睛】本题考查了圆内接四边形定理、圆周角定理、切线的性质等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键.25．（1）202(1)218(16)30(611)x x x y x +-=+<⎧=⎨⎩…剟；（2）在第11天进货并售出后，所获利润最大，且为每件最大利润为19.125元．【解析】【分析】（1）根据销售价格随时间的变化关系设y 与x 之间的函数关系为y ＝kx+b,由分段函数求出其值即可;（2）根据利润＝售价﹣进价就可以表示出利润与时间之间的关系,由二次函数的性质就可以求出结论．【详解】解：（1）该种蔬菜销售价格y 与天数x 之间的函数关系式：y ＝()()()20212181630611x x x x ⎧+-=+≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩; （2）设利润为W,则W ＝y ﹣z ＝()()()()()()()222211218812141688113081281861188x x x x x x x x x ⎧++--=+≤≤⎪⎪⎨⎪+--=-+≤≤⎪⎩为整数为整数, W ＝21148x +,对称轴是直线x ＝0,当x ＞0时,W 随x 的增大而增大, ∴当x ＝5时,W 最大＝258+14＝17.125（元） W ＝()218188x -+,对称轴是直线x ＝8,当x ＞8时,W 随x 的增大而增大,∴当x＝11时,W最大＝18×9+18＝1918＝19.125（元）综上可知：在第11天进货并售出后，所获利润最大且为每件19.125元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,待定系数法求函数的解析式的运用,二次函数的最值的运用,解答时求出利润的解析式是关键．。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
八年级数学下用待定系数法求二次函数的解析式
3、抛物线在x轴上截得的线段长为4，且 顶点坐标是（3，－2）
答案： y 1 ( x 1)( x 5) 1 x2 3x 5
2
2Leabharlann 24、已知抛物线的图象如图所示,求抛物线 的解析式.
答案： y=－2(x＋1)2－3.
5．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
用一般式比较简便；
②顶点式：_y＝__a_(_x_－__h_)_2_＋__k，当已知抛物线的顶点时， 用顶点式较方便；
③交点式(两根式)：y_＝__a_(_x_－__x_1_)(_x_－__x_2_) _，当已知抛物线与 x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便．
例1、求满足下列条件的二次函数的关系式： 图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)；
y … 4 0 －2 －2 0 …
求这个二次函数关系式． 答案： y＝x2－x－2.
6、抛物线y=ax2+bx+c与y= -x2形状相同,对 称轴是直线 x=3, 最高点在直线 y=x+1上,求 抛物线解析式;
答案： y=－(x－3)2＋4
22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式
复习：学过的二次函数解析式有哪些？ ①一般式：_y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_ ②顶点式：_y_＝__a_(_x_－__h_)2_＋__k_
y ax2 bx c
回忆当y=0时
a
x2
b a
x
c a
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
b
思路：已知三点，选用一般式．
答案：y＝－x2＋x＋3
例2、 求满足下列条件的二次函数的关系式： 图象顶点坐标为(1，－6)，且经过点 (2，－8)．
二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4）∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋24．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：若是已知条件是图像上的顶点（h，k）与另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题二1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－82．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）与另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题三1．如图，抛物线的函数表达式是( )A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋42．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋24．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．3.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数解析式
顶点式： y=a(x-h)2+k
例2
例题
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课 堂 练 习
封面 小结
02
顶点式：
y=a(x-h)2+k
一般式： y=ax2+bx+c
已知一元二次函数f(x)在x= -1，0，1处的函数值分别为7，-1，-3，求这个二次函数的解析式？ 已知一元二次函数g(x)的图象的顶点坐标为（1,2），并且经过点M（3，-4），求g(x)的解析式？
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简约风年终工作总结
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用待定系数法 求二次函数的解析式
x
o
课 前 复 习
例 题 选 讲
课 堂 小 结
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用待定系数法求二次函数的解析式
y
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添加你的文数法？待定系数法 求函数解析式的一般步骤是什么？
1. 假设函数的解析式。
３．将所求系数值代回原函数解析式。
例题
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2．列方程(或方程组）求待定系数。
二次函数解析式有哪几种表达式？
”
课 前 复 习
思考
例题
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一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
例 题 选 讲
一般式： y=ax2+bx+c
顶点式： y=a(x-h)2+k
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由条件得：
c=1 a+b+c=2 4a+2b+c=-1
二次函数待定系数法求函数解析式
二次函数待定系数法求函数解析式精心整理专题训练：求二次函数的解析式一、已知三点求解析式1.经过三点（-1，-22），（1，-8），（2，8）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,-14)。
解析式为y = 2x^2 - 4x - 16.2.经过三点（0，0），（-1，-1），（1，9）的二次函数为抛物线，解析式为y = 4x^2 - 4x。
3.经过三点（-1，-6），（1，-2），（2，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,-1)。
解析式为y = x^2 - x - 5.4.经过三点（1，a），（2，b），（3，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = -3x^2 + 18x - 15.5.经过两点（-1，10），（2，7）且3a+2b=16的二次函数为抛物线，解析式为y = -x^2 + 4x +6.6.经过两点（a，b）和（12，b）且顶点纵坐标为3的二次函数为抛物线，解析式为y = -1/36(x-a)^2 + b + 3.7.经过两点（-3，c）和（0，3）的二次函数为抛物线，其顶点为M(－3，c+1)，对称轴为x=－3，解析式为y = -x^2 + 6x + c。
8.经过三点A（-1，0），B（0，-1），C（1，2）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 1.9.经过三点（-1，-2），（0，-1），（1，0）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 2.10.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3，解析式为y = -1/2x^2 + 3.11.经过点A（-1，4），（1，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - 4.12.经过三点（1，0），（-1，0），（0，-3）的二次函数为抛物线，其顶点为(0,-3)且对称轴为y=-3，解析式为y = -x^2 - 3.13.经过三点（-1，3），（3，-1），（4，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向下，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,2)。
14待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】
22.1.5待定系数法求二次函数解析式 二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4题型2：一般式求二次函数解析式-a 、b 、c 未知2.二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点A （﹣1，8）、B （2，﹣1），与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的表达式．题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．题型6：综合-待定系数法求最短距离6.如图，已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型7：综合-三角形面积7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。
用待定系数法求二次函数解析式
复习
判断下列问题适合设哪种函数表达式? y=a(x-x1)(x-x2) 1、已知：二次函数过A（-1，6）， B（1，4），C（0，2）；求函数的 y=ax2 解析式. 2、已知抛物线的顶点为(-1，-3)与y轴 交于点(0，-5). 求抛物线的解析式。
3、已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、 B (1，0)，且过点M(0，1)；求抛物 线的解析式. 4、已知抛物线的顶点坐标为(0,3),与x 轴的一个交点是(-3，0)；求抛物线的 解析式. 5、已知抛物线经过(0,0)和(2,1)两 点,且关于y轴对称,求抛物线的解析式.
o x
2、对称轴：x=h
(h,k)
X=h
设函数解析式(顶点式)为：y=a(x-h)2+k
y
图象性质：
o
x
抛物线经过原点
设函数解析式为：y=ax2+bx
y
x1
o
x2
图象性质：抛物线与x轴交 于两点（x1,0）（x2,o） x
设函数解析式（交点式）为：y=a(x-x1)(x-x2)
例：已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、 B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式．
y
图象性质：1、对称轴是y轴 2、顶点坐标是原点
o
x
设函数解析式为：y=ax2
y
图象性质：1、对称轴是y轴
2、顶点在y轴上（除原点外）
o x
设函数解析式为：y=ax2+k
y
图象性质:1、对称轴是x=h
2、顶点在x轴上
x
o
X=h
设函数解析式为：y=a(x-h)2
y
待定系数法求二次函数解析式的方法归类(解析版)
专项05 待定系数法求二次函数解析式的方法归类二次函数的四种解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。
（2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。
顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设y=a（x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A （1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得{a+b+c=0 c=−54a+2b+c=3解得{a=−1 b=6 c=−5所以，所求函数的解析式为y=−x2+6x−5．y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4．所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x = 3．【变式1-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。
求该二次函数的解析式【答案】解：根据题意，得 {0=1+b +c −3=c解得 {b =2c =−3所以所求的二次函数的解析式为y=x 2+2x -3【变式1-2】一个二次函数的图象经过A （0，0），B （1，9），C （-1，-1），求这个二次函数的解析式．【答案】解：设二次函数的解析式为 y =ax 2+bx +c ．∵抛物线经过 A(0,0) ， B(1,9) ， C(−1,−1) ，∴{c =0a +b +c =9a −b +c =−1 ，解得 {a =4b =5c =0，∴y =4x 2+5x【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），∴设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把（2，﹣3）代入得a ﹣4＝﹣3，解得a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣4【变式2-1】已知抛物线的顶点为 (−2，−4) ，且经过点 (1，12) ，求此抛物线的解析式．【答案】解：∵二次函数的图象的顶点为（﹣2，﹣4），∴可设函数解析式为：y ＝a （x+2）2﹣4，∵函数图象经过点（1， 12） ∴a×9﹣4＝ 12， ∴a =12 ，∴二次函数的表达式为： y =12(x +2)2−4 ． 【变式2-2】已知抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，与y 轴交于点(0，﹣4)，求抛物线的解析式．【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2−2，∵抛物线经过点(0，﹣4)，∴a−2=−4，解得a=−2，∴抛物线解析式为y=−2(x−1)2−2．【变式2-3】已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+b将A，B点坐标带入得，{0=4a+b，6=a+b，解得a=-2，b=8，则y=-2(x-1)²+8.【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．【答案】解：由题意可设二次函数的解析式为：y=a(x+1)(x−3)将C（0，﹣3）代入得：−3=a(0+1)(0−3)解得a=1∴y=(x+1)(x-3)= x2−2x−3∴此二次函数的解析式为：y=x2−2x−3.【变式3-1】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式【答案】解：依题意，设函数的解析式为y=a(x+3)(x−1)(a≠0)将点(0,−3)代入，得−3=−3a∴a=1∴所求函数解析式为y=(x+3)(x−1)，即y=x2+2x−3【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，求抛物线的解析式。
用待定系数法求二次函数解析式(涵盖所有类型和考点)
求一次函数解析式的常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。
其中求一次函数解析式就是一类常见题型。
一. 定义型例1. 已知函数y m xm =-+-()3328是一次函数，求其解析式。
解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨⎩∴=±≠⎧⎨⎩m m 33∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33注意：利用定义求一次函数y k x b =+解析式时，要保证k ≠0。
如本例中应保证m -≠30 二. 点斜型例2. 已知一次函数y k x =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
解：Θ一次函数y k x =-3的图像过点（2，－1） ∴-=-123k ，即k =1故这个一次函数的解析式为y x =-3变式问法：已知一次函数y k x =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。
三. 两点型已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
解：设一次函数解析式为y k x b=+ 由题意得024=-+=⎧⎨⎩k bb∴==⎧⎨⎩k b 24 故这个一次函数的解析式为y x =+24四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
y2O 1 x解：设一次函数解析式为y k x b=+ 由图可知一次函数y k x b=+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+⎧⎨⎩k bb∴=-=⎧⎨⎩k b 22故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 斜截型例5. 已知直线y k x b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。
当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// Θ直线y k x b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。
首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。
一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。
其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。
一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。
对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。
再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。
比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。
根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。
总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解设定二次函数的解析式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为待定系数。
一、已知函数的根情况一：已知函数的两个根$x_1$和$x_2$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_2)=0$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=0$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=-c$$注意到$x_1$和$x_2$为已知值，$a$、$b$和$c$为待定系数，上述方程可以看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组。
通过解这个方程组，即可求出$a$、$b$和$c$。
情况二：已知函数的一个根$x_1$和函数经过的一个点$(x_3,y_3)$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_3)=y_3$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_3}^2+b{x_3}=y_3-c$$同样地，将上述方程看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，求解即可得到$a$、$b$和$c$的值。
二、已知函数的值当已知二次函数经过的两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$时，同样可以通过设定$a$、$b$和$c$为待定系数，列出方程组来求解。
将已知点代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2$$进一步化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=y_1-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=y_2-c$$同样地，上述方程可看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，通过求解该方程组，即可求出$a$、$b$和$c$的值。
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法求二次函数解析式，是中考数学中最常见的必考题型。
要使用待定系数法，首先必须掌握二次函数的解析式形式。
求二次函数的解析式是二次函数类题型最基础、最关键的环节，根据不同的已知条件，选择适合的解析式形式，可以方便、快捷的求出二次函数的解析式，为了后面的解题起到关键的保障。
y=ax 2（顶点在原点时）
y=ax 2+c （对称轴是y 轴时）注意y 轴用方程表示为x=0 y=a （x-h ）2（顶点在x 轴上时）
y=a （x-h ）2+k （给出一个顶点坐标时）
y=（x-x 1）（x-x 2）（给出的点是与x 轴的交点坐标）如（x 1，0）（x 2，0）
y=ax 2+bx+c （给出了三个点是任意坐标） x=-a
b 2（给出对称轴） y=a b a
c 442 （给出顶点的纵坐标）。
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式1.内容提要：二次函数解析式有三种表达形式，1.一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数2.顶点式：y=a(x －h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，(h,k)为顶点坐标。
3.交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：（1） 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y=a(x －h)2+k(a≠0)(简称顶点式)；已知抛物线与x 轴的两个交点(或与x 轴的一个交点及对称轴)，用y=a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)(简称两点式)；（2） 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；（3） 若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0))，那么最后的结果必须写成此种形式。
2.例题分析：(1)一般式法例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，那么这个二次函数的解析式是？解：设二次函数是y=ax 2+bx+c ，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点。
得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=12421c b a c b a c ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132c b a ∴ 函数解析式为y=－2x 2+3x+1.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a 、b 、c 值。
(2)顶点坐标法例2、某抛物线的顶点为(－2，3)，并经过点(－1，5)。
求此抛物线的解析式。
解：(方法一)设二次函解析式为：y=a(x －h)2+k ，其顶点是(h, k).∵顶点是(－2，3)，∴ y=a(x+2)2+3.又∵过(－1，5)点，∴ 5=a(－1+2)2+3.∴ a=2,∴ y=2(x+2)2+3, ∴ y=2x 2+8x+11.∴ 函数解析式为：y=2x 2+8x+11.小结：因为有顶点坐标，又过任意一点，可以用顶点式，分别代入顶点坐标，和任意一点坐标，求出a 值，结果写成一般式。
二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法是求解二次函数解析式的一种常用方法。
它的基本思想是：已知二次函数的某些性质或特征，根据这些性质或特征列出方程组，通过待定系数的方式求解二次函数的解析式。
具体来说，二次函数待定系数法的求解步骤如下：
1. 根据题目条件列出方程组。
2. 假设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为待定系数。
3. 根据方程组解出 $a$，$b$，$c$ 的值，从而得到二次函数的解析式。
常用的二次函数待定系数法有以下几种：
1. 已知二次函数图像过某个点和另一个点的切线，求解析式。
2. 已知二次函数图像过三个点，求解析式。
3. 已知二次函数的对称轴和顶点坐标，求解析式。
4. 已知二次函数的零点和另一个点，求解析式。
5. 已知二次函数的一个根和一个点，求解析式。
6. 已知二次函数的一个根和对称轴的位置，求解析式。
二次函数待定系数法是数学中一个非常重要的方法，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
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待定系数法求二次函数解析式的十种类型
一、 三点型----一般式 y=ax2+bx+c 即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax 2+bx+c 然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a 、b 、c 即得解析式
已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。
分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。
故
所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析
式y=ax 2+bx+c.
二、交点型----交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 即已知抛物线与X 轴的两个交点的坐标A(x 1 ,0 ) ,B(x 2, 0) 或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(x —x 1)(x — x 2),求出a 即得解析式
例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9 的顶点A （2，-1）。
将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21
∴y=21x(x-3),即 y=
x x 23212-. 三、顶点型------y=a(x-h)2
+k 即已知抛物线的顶点坐标( h, k ),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式 y=a ( x —h )2 +k ，求出a 、k 可即得解析式 。
例 3 已知抛物线y=ax 2
+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。
分析 此类题型可设顶点坐标为(h,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21
∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272
12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。
四、平移型 左加右减自变量，上加下减常数项
例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122
+-=x x y 则b 与c 分别等于
(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.
分析 逆用平移分式，将函数y=x 2
-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。
∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662+-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ）
五、弦比型（设两根为x1, x2, 则弦长=|x1-x2|
由韦达定理：x1+x2=-b/a, x1x2=c/a 因此|x1-x2|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-b/a)^2-4c/a=(b^2-4ac)/a^2=Δ/a^2 因此有|x1-x2|=√Δ/|a|）
例 5 已知二次函y=ax 2
+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=
a ∆
就本题而言，可由对称
性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。
再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2+8x-6.
六、识图型 例 6 如图1， 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212其中一条的顶点为P ，另一条与X 轴交于M 、
N 两点。
（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点（2）求两条抛物线的解析式。
解 （1）抛物线y=c x b x +++)2(212与x 轴交于M ，N 两点（过程从略）；
（2）因y=d x b x +-+)2(212的顶点坐标为（0，1），
∴b-2=0,d=1, ∴b=2.∴Y=1212+x .
将点N 的坐标与b=2分别代入y=221x +(b+2)x+c 得c=6.
∴y=221x +4x+6
七、面积型
例 7 已知抛物线y=x c bx ++2 的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与 y 轴交于Q （0，-3），与x 轴的交点为A 、B ，
顶点为P ，ΔPAB 的面积为8。
求其解析式。
解 将（0，-3）代入y=c bx x ++2得 c=-3.
由弦长公式，得
122+=b AB 点P 的纵坐标为4122
b --
由面积公式，得
.841212212
2=--⋅+b b
解得.2±=b
因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.
所以解析式为y=322--x x
八、几何型
例 8 已知二次函数y=2x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。
解 由弦比公式，得AB=4)42(42-=--m m m
顶点C 的纵坐标为-4)4(2
-m
∵ΔABC 为等边三角形 ∴43214)4(2-⋅=--m m
解得m=4,32±故所求解析式为 y=
,344)324(2+++-x x 或y=344)324(2-+--x x
九、三角型
例 9已知抛物线y=c bx x ++2的图象经过三点（0，2512
）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且A 、B 为直角三角形的两
个锐角，求其解析式。
解 ∵A+B=900
，∴sinB=cosA.
则由根与系数的关系，可得 ⎩⎨⎧=⋅-=+c A A b A A cos sin cos sin
将（0，2512）代入解析式，得c=.2512 （1）2)2(2
⨯-,得 ,125242=-b ∴
57±=b ∵-b ,0〉∴b=-57
所以解析式为y=
2512572+-x x 十、综合型
例 10 如图2，已知抛物线y=-q px x ++2
与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点， 若∠ACB=900，且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2，求其解析式．
解 设A ，B 两点的横坐标分别为x 21,x ,则q=(-x .)21OB OA x ⋅=⋅
由ΔAOC ～ΔCOB ，可得OC 2
=OA ·OB ，
∴q 2=q 解得q 1=1,q 2=0（舍去）， 又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得2=-OB OC OA OC
即21121=--
X X
∴x 1+x 2=-2x 1x 2 即 p=2p=2 所以解析式为y=-x 2+2x+1。