历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不

同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35

． 答（ ）

． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ）

． 方程0

12=--x x 的解是

（A ）251±； （B ）25

1±-；

（C ）251±或251±-； （D ）251±-±

．

答（ ）

． 已知：)19911991(21

1

1n n x --=（n 是自然数）．那么

n

x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1

1991--；

（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1

1991)1(--n ．

答（ ）

． 若M n

1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）

． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是

（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）

． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和

1

3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是

（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）

1

1=S

． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =，

60=∠A

，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则

（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21

；

答（ ）

（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题

１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．

２．已知关于x 的一元二次方程02

=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c

b 32 ．

3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，

q p

n

m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．

４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD

120=，AB 6=，BC 35-=，

CD = 6，则AD = ．

第二试

x + y ， x － y ， x y ， y x

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．

二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．

求证：BF ＝AF ＋CF

三、将正方形ABCD 分割为 2

n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

120 135

1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足1

=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式

ac b 42-=∆与平方式2

0)2(b ax M +=的关系是

(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.

3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是 (A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为

(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )

5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数

)0(>=

k x k

y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面

积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是

(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定

答( )

6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和

记为2S ,则21

S S 的整数部分是

(A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )

︒=∠60A ,又E 7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,

是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .

则AE :EB 等于 (A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )

8.设9

321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且 921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,1

9x x -的最小值是

(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.

2.若0≠x ,则x x x x 4

4211+-++的最大值是__________. 3.在ABC ∆中,

B A

C ∠∠=∠和,90

的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .

4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=

+33)()(b a a b .

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062

=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有

一个时，求a 的取值范围.

二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且

A CED BED ∠=∠=∠2.

求证：CD BD 2=.

三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：

A ：320651

B ：105263

C ：612305

D ：316250

已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M