沪科版-数学-八年级下册-16.3等腰三角形 等腰三角形新题类析

等腰三角形新题类析

等腰三角形作为特殊的三角形，它广泛的存在于我们的生活中，与我们密切相拌。它有着众多的美妙的性质，是近年来各地的中考题的热点之一，下面就有关等腰三角形的新题型作一些介绍，供同学们参考。

一、修改条件题

例1、如图1，在Rt ABC △中，90C M ∠=，是AB 的中点，AM AN MN AC =，∥．

（1）说明：MN AC =；

（2）如果把条件“AM AN =”改为“AM AN ⊥”，其它条件

不变，那么MN AC =不一定成立．如果再改变一个条件，就能使

MN AC =成立．请你写出改变的条件并说明理由．

分析：（1）连结CM ，说明△AMN ≌△MAC 即可；（2）要使MN=AC

成立，可使△AMN ≌△MAC ，只需∠AMC=90°即可。又M 是AB

的中点，所以只需将条件“∠C=90°”换成“AC=BC ”，根据等腰三

角形的“三线合一”的性质即可得到∠AMC=90°。

解：（1）连结CM ，因为∠C=90°，M 是AB 的中点，所以CM=AM ，

所以∠ACM=∠MAC ，因为AM=AN ，所以∠ANM=∠AMN ，

CM=AM=AN ，因为MN ∥AC ，所以∠AMN=∠MAC ，所以∠ACM=

∠MAC=∠ANM=∠AMN ，所以△AMN ≌△MAC ；

（2）将条件“∠C=90°” 改为“AC=BC ”。因为AC=BC ，M

是AB 的中点，所以CM ⊥AB ，所以∠CMA=90°，因为AM ⊥AN ，所以∠MAN=90°，所以∠CMA=∠MAN =90°，因为MN ∥AC ，所以∠AMN=∠MAC ，又因为AM=MA ，所以△AMN ≌△MAC ，所以MN=AC 。

二、探索结论题

例2、如图2，已知ABC △的面积为3，且AB=AC ，现将ABC △沿CA 方向平移CA 的长度得到EFA △．

（1）求ABC △所扫过的图形面积．

（2）探究：AF 与BE 的位置关系，并说明理由．

分析：（1）△ABC 所扫过的图形是四边形CBFE ，要求四边形CBFE 的面积，关键是求出△BAF 的面积，而根据条件易证△ABC ≌△BAF ；（2）通过观察可猜想AF 与BE 互相垂直平分，

利用等腰三角形的“三线合一”的性质即可进行证明。

解：（1）根据平移的性质，可得BC ∥AF ，BC=AF ，△ABC ≌△AFE ，则∠CBA=∠FAC ，又因为AB=BA ，所以△ABC ≌△BAF ，所以△ABC 所扫过的图形是四边形CBFE 的面积=3S

△ABC =9；

（2）因为△ABC ≌△BAF ，所以AC=BF ，又AB=AC ，所以AB=FB ，∠CBA=∠BCA ，根据平移的性质，可得AB=AC=EA=EF ，所以AB=FB=EA=EF ，又因为∠BCA=∠FAE ，所以∠BAF=∠FAC ，所以AF 垂直平分BE ，又因为EA=EF ，所以BE 垂直平分AF ，所以AF 与BE 互相垂直平分。

三、结论辨析题

例3、如图3，已知AB=AC,∠A=36o ，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ．有下

面3个结论：

①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；

③△AMD ≌△BCD ． B F E

C A (C ) 图2

(1)判断其中正确的结论是哪几个?(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 分析：从条件出发，结合图形进行判断，不正确的结论可举反例予以说明。

解：（1）由AB=AC,∠A=36o ，得∠ABC=∠C=72°，因为MN 是AB 的中垂线，所以DA=DB ，

所以∠ABD=∠A=36°，所以∠DBC=∠ABC －∠A=72°－36°=36°，所以∠DBC=∠ABD ，又∠BDC=180°－∠DBC －∠C=72°，所以∠BDC=∠C ，所以①射线BD 是∠ABC 的平分线、②△BCD 是等腰三角形都是正确的，而△AMD 是直角三角形，△BCD 是锐角三角形，所以③△AMD ≌△BCD 是错误的；（2）略。

五、运动探究型

例5、如图4，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。

(1)在图4①中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。

①说明DM ＝DN ；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

(2)继续旋转至如图4②的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM ＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)继续旋转至如图4③的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM ＝DN 是否仍然成立？请写出结

论，不用证明。 分析：（1）①连结DB ，说明△BMD ≌△CND 或△ADM ≌△BDN 即可得到DM=DN ；②由△BMD ≌△CND ，可得S △BMD

=S △CND ，则四边形DMBN 的面积与△DBC 的面积相等；（2）与（3）观察图形，

可发现△BMD ≌△CND 或△ADM ≌△BDN 依然成立，所以DM=DN 仍然成立。

解：（1）①连接DB,在Rt △ABC 中，因为AB=BC ，AD=DC ，所以DB=DC=AD ，∠BDC=90°，所以∠ABD=∠C=45°，因为∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，所以∠MDB=∠NDC ，所以△BMD ≌△CND ，所以DM=DN 。

②四边形DMBN 的面积不发生变化。

由①得△BMD ≌△CND ，所以S △BMD =S △CND ，所以S 四边形DMBN =S △DBN +S △DMB =S △DBN +S △DNC =S △DBC =21S △ABC =4

1； （2）成立。连接DB,在Rt △ABC 中，因为AB=BC ，AD=DC ，所以DB=DC ，∠BDC=90°，所以∠DCB=∠DBC=45°，所以∠DBM=∠DCN=135°，因为∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，所以∠CDN=∠BDM ，所以△CDN ≌△BDM ，所以DM=DN 。

（3）DM=DN 。

A A A

B B

C C

D D D N N N

E E

F E F F M M M 图①图② 图③ 图4