沪科版-数学-八年级下册-16.3等腰三角形 等腰三角形新题类析
等腰三角形的性质和判定的综合题目
-鼓励学生在课后继续思考、探索联系观点的内涵，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本章节的学习内容，培养学生的理论联系实际能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合本节课所学的联系观点，选取一个生活中的实例，分析其中包含的联系特征及其影养学生合作、探究的学习能力，提高学生在案例分析中运用联系观点分析问题的能力。
-引导学生运用比较法、分析法等学习方法，深入挖掘联系现象背后的本质规律。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对联系观点的认同，使学生认识到联系是事物发展的内在规律，树立正确的价值观。
-增强学生的社会责任感，培养学生关注社会、关注生活的态度。
3.强化实践环节，引导学生关注现实生活中的联系现象，提高学生理论联系实际的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解联系的普遍性、多样性、条件性等特征，并能运用联系的观点分析实际问题。
-掌握联系的方法论，学会从联系的角度认识问题、分析问题，提高解决问题的能力。
2.过程与方法方面的重难点：
5.观察日记：要求学生观察身边的事物和现象，运用联系观点进行分析，记录在日记中。持续一周，每天至少记录一个实例，并写出自己的思考。
6.课后实践：鼓励学生参加社会实践活动，将所学联系观点运用到实际中，如参与环保活动、社区服务等。要求学生撰写实践报告，不少于1000字，内容需包括实践过程、联系观点的应用及收获。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以现实生活中的实例导入新课，如“互联网的发展与人们生活的联系”、“环境保护与经济发展的联系”等，引发学生对联系概念的思考。
中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略
中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略等腰三角形是中考数学中常见的一个题型，掌握解题思路和攻略对于中考数学的顺利通过非常重要。
本文将介绍等腰三角形问题的解题思路和攻略，希望能帮助同学们更好地应对这类问题。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两条边相等的三角形，其性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（底边所对的角）相等。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（顶边所对的角）平分底边。
二、解题思路解等腰三角形问题的关键在于利用等腰三角形的性质，找到已知条件和需要求解的未知量之间的关系。
下面将介绍几种常见的解题思路。
1. 使用底角性质解题：如果已知等腰三角形的两个底角相等，可以利用这一性质来解题。
通过已知条件和底角性质，可以建立方程或找到相应的关系式，从而求解未知量。
2. 利用顶角平分底边性质解题：如果已知等腰三角形的顶角平分底边，可以利用这一性质来解题。
可以通过已知条件和顶角平分底边性质，建立方程或找到相应的关系式，进而求解未知量。
3. 利用勾股定理解题：有时候，等腰三角形问题中可能会涉及到与直角三角形相关的内容。
此时，可以尝试利用勾股定理和等腰三角形的性质进行解题。
三、解题攻略除了解题思路外，下面还列举了一些常见的解题攻略，帮助同学们更好地解决等腰三角形问题。
1. 注意题目中给出的条件：在解题时，要仔细阅读题目，将已知条件和需要求解的未知量提取出来，明确问题的要求。
2. 利用图形性质：画图是解决等腰三角形问题的有效方法之一。
合理利用等腰三角形的性质和图形的特点，可以更好地理解和解决问题。
3. 运用代数方法：当图形给出的信息较少或者不便于直接利用几何性质时，可以尝试使用代数方法，建立方程或者列举可能的条件，以求解未知量。
4. 反证法解题：有时候，可以运用反证法来解决等腰三角形问题。
假设某个结论不成立，通过推理推导出矛盾，从而得出正确结论。
四、总结通过上述的解题思路和攻略，相信同学们对于中考数学中的等腰三角形问题能够有更清晰的认识和更高的解题能力。
等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则知识点02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm ，则第三边的长为cm ．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm ，则底边为4cm ，则第三边的长为8cm ，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm ，则底边为8cm ，则第三边的长为4cm ，448+=，故不能组成三角形．故答案为：8．【变式训练】1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为3cm 和8cm ，则周长是cm ．【答案】19【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为3cm 和8cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3cm ，底边是8cm 时：338+<，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm ，腰长是8cm 时，388+>，能构成三角形，则其周长()38819cm =++=．故答案为：19．2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若()2450a b -+-=，则以a ，b 为边长的等腰三角形的周长为．【答案】13或14【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a ，b 的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案．【详解】解：∵()2450a b -+-=，且()240a -≥，50b -≥，∴40a -=，50b -=，解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE ∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ⊥，90BAD ∠=︒∴EBA BAE BAE ∠+∠=∠+EBA CAD BAE ∠=∠∠=，【答案】10【详解】解：AB 5BD CD ∴==，210BC BD ∴==，故答案为：10．2．两个同样大小的含(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，题型04根据等腰三角形三线合一进行证明(1)若106BAC DAE ∠∠=︒，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1180ADE AED ∠=∠=︒∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =∠=∠=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ⊥，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD⊥连接AC AD，∵AB AE ABC AED BC ED=∠=∠=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ⊥．2．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形∠，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BC是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C ∠=∠，即可证明ABC 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，∵AD 平分CAE ∠，∴EAD CAD ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x ∠=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到13BEC x ABC =-∠∠，A =∠【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ．(1)若40C ∠=︒，求BAD ∠的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC 的周长，AEF △的周长为15，求ABC 的周长．【详解】（1）解：AB AC = ，C ABC ∴∠=∠，∵40C ∠=︒，∴40ABC ∠=︒，AB AC = ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90BDA ∴∠=︒，∴90904050BAD ABC ︒︒︒︒∠=-∠=-=；（2）证明：BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠，∴EBF FEB ∠=∠，BF EF ∴=，BEF ∴ 是等腰三角形；（3）解：AEF 的周长为15，15AE AF EF ∴++=，BF EF = ，15AE AF BF ∴++=，即15AE AB +=，BE 平分ABC 的周长，=15AE AB BC CE ∴++=，ABC ∴ 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(2)若6,3,4AD BE EF ===，求线段AB 的长．(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80︒，则这个等腰三角形的顶角为（）．A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．20︒或100︒【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80︒，∴等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B ∠=︒，则CAD ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC 是等腰三角形的是（）A ．40B ∠=︒，80C ∠=︒B ．123A BC ∠∠∠=::::C ．2A B C∠=∠+∠D ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．【详解】解：A ．∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，A ．16【答案】A 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．先得出ABD ACF ∠=∠，进而得到AF 长，求出AB 出即可．【详解】CE BD ⊥ ，90BEF ∴∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90CAF ∴∠=︒，90FAC BAD ∴∠=∠=︒ABD ACF ∴∠=∠．在ABD △和ACF △中【答案】10︒，80︒，140︒或20︒【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，+∵BAC ∠是ABP 的一个外角，∴20BAC APB ABP ∠=∠+∠=︒，∵AB AP =，∵AB AP=，20BAP∠=︒，∴180802BAPABP APB︒-∠∠=∠==︒；当BA BP=时，如图：∵BA BP=，∴20BAP BPA∠=∠=︒，∴180140ABP BAP BPA∠=︒-∠-∠=︒；当PA PB=时，如图：∵PA PB=，∴20BAP ABP∠=∠=︒；综上所述：当ABP是等腰三角形时，故答案为：10︒，80︒，140︒或20︒．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．【答案】(1)三角形的三边分别为3cm9cm9cm、、(2)能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．（1）设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ⊥Q ，AD AC =，AE ∴平分CAD ∠，CAE DAE ∴∠=∠，在CAE V 和DAE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAE DAE ∴ ≌，CE DE ∴=，90ADE ACE ∠=∠=︒，设BE x =，则8CE DE x ==-，由勾股定理可得：222DE BD BE +=，()22284x x ∴-+=，解得：5x =，5BE ∴=．14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，ED AB ∥，分别交BC 、AC 于点D 、E ，点F 在BC 的延长线上，且CF DE =，(1)求证：CEF △是等腰三角形；(2)连接AD ，当AD BC ⊥，8BC =，CEF △的周长为16时，求DEF 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)20【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键．（1）利用等腰三角形的性质得到B ACB ∠=∠，然后推出EDC ECD ∠=∠，DE EC =，结合已知条件，得到结论．当AD BC ⊥时，AB AC =，∴142BD CD BC ===， DEF 的周长DE DF EF =++，∴DEF 的周长CE EF CD =+++15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）的平分线，DF AB 交AE 的延长线于(1)若120BAC ∠=︒，求BAD ∠(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE ∠=∠，求【答案】(1)见解析(2)108BAC ∠=︒【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C ∠=∠，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =∠∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C ∠=∠∠=∠，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD ∠，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC ∠=∠∠=∠，∴A ABC CB =∠∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（3）当ACD 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒∴100ACB ACD BCD ∠=∠+=︒∠；当ACD 是等腰三角形，DA AC =时，如图，则65ACD ADC ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒，∴5065115ACB ∠=︒+︒=︒；当ACD 是等腰三角形，CD AC =的情况不存在；当BCD △是等腰三角形，DC BD =时，如图，则1803ACD BCD B ︒-∠=∠=∠=∴2603ACB ACD BCD ∠=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD ∠=∠，设BDC BCD x ∠=∠=，则B ∠=则1802ACD B x ∠=∠=︒-，由题意得，180250x x ︒-+︒=，解得，2303x ︒=，∴8018023ACD x ︒∠=︒-=，∴3103ACB ︒∠=，综上所述：ACB ∠的度数为100。
初二数学等腰三角形的判定试题答案及解析
初二数学等腰三角形的判定试题答案及解析1.有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是海里．【答案】10【解析】过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，求出∠APB=∠PAB，推出PA=PB=20，根据含30度角的直角三角形性质求出PD=PB，代入求出即可．解：如图：过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，∴∠PDB=90°，∵∠PBD=30°，∠PAB=15°，∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=15°=∠PAB，∴PB=AB=20，在Rt△PBD中，PB=20，∠PBD=30°，∴PD=PB=10，故答案为：10．点评：本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出PB的长和得出PD=PB，题目比较典型，是一道比较好的题目，主要考查学生的理解能力和计算能力．2.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，有下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD；⑤BE=CH．其中你认为正确的有．（填序号就可以）【答案】①②③【解析】①由CD是斜边AB上的高，∠ACB=90°，得到∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，即可得到答案；②由角平分线的性质得到CE=EF，根据三角形的外角性质能求出∠CHE=∠CEA，推出CH=CE即可得到答案；③根据直角三角形全等的判定定理HL即可；④⑤根据边得关系即可判断．解：①∵CD是斜边AB上的高，∠ACB=90°，∴∠CDB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴①正确；②∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE，∵∠C=90°，EF⊥AB，∴CE=FE，∵∠CHE=∠CAE+ACD，∠CEA=∠BAE+∠B，∠ACD=∠B，∴∠CHE=∠CEA，∴CH=CE，即：CH=CE=EF，∴②正确；③∵在Rt△ACE和Rt△AFE中AE=AE，CE=EF，∴Rt△ACE≌Rt△AFE，∴AC=AF，∴③正确；④∵CH=EF，∴CH≠HD，∴④错误；⑤∵在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF=CH，∴⑤错误；故答案为：①②③．点评：本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明．此题题型较好，综合性强．3.在△ABC中，∠A=40°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形．【答案】40°或70°或100°【解析】分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．解：（1）当∠A是底角，①AB=BC，∴∠A=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=100°；②AC=BC，∴∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°．故答案为：40°或70°或100°．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能进行分类讨论，并求出各种情况时∠B的度数是解此题的关键．4.如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为．【答案】24【解析】根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA，求证△AON和△BOM为等腰三角形，再根据AC+BC=24，利用等量代换即可求出△CMN的周长解：AO、BO分别是角平分线，∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，∵MN=MO+ON，AC+BC=24，∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24．故答案为：24．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证△AON和△BOM为等腰三角形，难度不大，是一道基础题．5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60°，∠BCE=50°，求∠AED的度数．【答案】50°【解析】作DF∥BC，与AB相交于F，连接CF，设CF与BD相交于G，连接EG，证DF=DG，BC=BG，求出∠BEC，推出BE=BG，求出△EFG是等腰三角形，推出EF=EG，证△DFE≌△DGE，求出△EDB，根据三角形外角性质求出即可．解：∵AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠ACB=80°，∴∠ABD=20°，作DF∥BC，与AB相交于F，连接CF，设CF与BD相交于G，连接EG．∴四边形DFBC为等腰梯形．∵∠DBC=∠FCB=60°，∴△BGC，△DGF都是正三角形，即BG=CG，∵∠BCE=50°，∠EBC=80°，∴∠BEC=50°，即BE=BC，知△BGE是等腰三角形．得：∠BGE=80°，∠FGE=40°．又因∠EFG=∠BDC=40°，∴△EFG是等腰三角形，EF=GE．∵DF=DG，∴△DFE≌△DGE．∴DE平分∠FDG，∴∠EDB=30°，∴∠AED=∠EDB+∠EBD=50°．答：∠AED的度数是50°．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．6.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD∥AB交AD于D．试判断△ADC的形状，并说明你的理由．【答案】等腰三角形【解析】利用平行线的性质可以得到：∠1=∠ADC，利用角平分线的性质可以得到∠1=∠2，从而得到∠2=∠ADC，利用等角对等边可以判定等腰三角形．解：△ADC为等腰三角形．证明：∵CD∥AB，∴∠1=∠ADC，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠ADC，∴AC=DC，∴△ADC为等腰三角形．点评：本题考查了等腰三角形的判定，题目中应用到了平行线的性质及等角对等边的知识，题目比较简单．7.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，D是BC的中点，连接AD，求∠BAD与∠ADC的度数．【答案】60°【解析】因为∠B=∠C=30°，所以△ABC是等腰三角形，又因为D是BC的中点，所以AD⊥BC （三线合一）即∠ADC=90°，所以△ADB，△ADC是直角三角形，利用三角形内角和是180°求∠BAD=60°．解：∵△ABC中，∠B=∠C=30°，∴AB=AC，∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°∠ADB=90°，∴∠BAD=∠ADB﹣∠B，=90°﹣30°，=60°．点评：本题考查等腰三角形的判断方法：等角对等边和等腰三角形的一个重要性质：“三线合一”是一小型的综合题．8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，已知AD=5cm，BC=9cm，求等腰梯形ABCD的周长．【答案】等腰梯形ABCD的周长是24cm【解析】根据平行线的性质推出∠DAC=∠DCA推出AD=CD=AB，代入求出即可，解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD=AB=5cm，∴等腰梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+5cm+5cm+9cm=24cm，答：等腰梯形ABCD的周长是24cm．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出AD=CD是解此题的关键．9.如图，在等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°．若BD平分∠ABC，则图中等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确定△BCD与△ABD也是等腰三角形解：由图可知，∵AB=BC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠A=36°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠A=36°∴△ABD为等腰三角形，∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C∴△BCD均为等腰三角形，∴题中三角形共有三个．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．10.在△ABC中，已知∠A=∠B，且该三角形的一个内角等于100°．现有下面四个结论：①∠A=100°；②∠C=100°；③AC=BC；④AB=BC．其中正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】假如∠A=100°，求出∠B=100°，不符合三角形的内角和定理，即可判断①；假如∠C=100°，能够求出∠A、∠B的度数；关键等腰三角形的判定推出AC=BC，即可判断③④．解：∠A=∠B=100°时，∠A+∠B+∠C＞180°，不符合三角形的内角和定理，∴①错误；∠C=100°时，∠A=∠b=（180°﹣∠c）=40°，∴②正确；∵∠A=∠B，∴AC=BC，③正确；④错误；正确的有②③，2个，故选B．点评：本题考查了等腰三角形的判定和三角形的内角和定理等知识点的应用，能根据定理进行说理是解此题的关键，分类讨论思想的运用．11.已知顶角为36°，90°，108°，°四个等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形．那么这四个等腰三角形里有几个等腰三角形可以用两条直线把这个等腰三角形分割成三个小的等腰三角形（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】顶角为：36°90°，108°，的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．解：如图，在1中，三个小等腰三角形的度数分别为：36°，36°108°；36°，36°，108°；72°，72°，36°；在2中，三个小等腰三角形的度数均为：45°，45°，90°；在3中，三个小等腰三角形的度数分别为：36°，36°108°；36°，36°，108°；72°，72°，36°；在4中，三个小等腰三角形的度数分别为：；；，，．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定；该题是在顶角为：36°90°，108°，的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形基础上，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形，进而归纳出可以无限地分下去．12.如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，BC=6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F．则△AEF的周长为（）A．9B．11C．12D．13【答案】C【解析】根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，求证∠EDB=∠EBD，可得BE=ED，DF=FC，然后利用AB+AC即可求出△AEF的周长．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD=∠DBC，∵过点D作BC的平行线交AB于点E，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=ED，∴∠EDB=∠EBD，同理可得DF=FC，∴△AEF的周长即为AB+AC=7+5=12．故选C．点评：此题主要考查等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，此题的突破点是△AEF的周长即为AB+AC．13.已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠B交AC于点D，则点D（）A．是AC的中点B．在AB的垂直平分线上C．在AB的中点D．不能确定【答案】B【解析】由已知条件可得∠ABD=30°=∠B，得出线段相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理可知答案B是正确的．解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵BD平分∠B交AC于点D，∴∠ABD=30°=∠A，∴DA=DB．∴D在AB的垂直平分线上．故选B．点评：此题主要考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．由角相等得出线段相等是正确解答本题的关键．14.在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，由于点E在对称轴AE上，有EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，作AD⊥AE交圆于点D，则有AC=AD，AD=AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．故选D．点评：本题容易找出三条边上的高交于点O，是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点．15.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形．点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A.3B.5C.8D.10【答案】C【解析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．解：如图所示：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有0个；②点C以点B为标准，AB为底边，符合点C的有0个；③点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C1、C3、C7，共3个；④点C以点A为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C2、C4、C5，C6、C8共5个；综上所述，所有符合条件的点C共有8个．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．16.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点AB之间的距离是（）A．13B．9C．18D．10【答案】C【解析】运用勾股定理可将三角形的直角边求出，将两个直角边进行相加即为两个固定点之间的距离．解：∵电线杆高为12m，铁丝长15m，∴固定点与电线杆的距离==9m，∵两个直角三角形全等，∴两个固定点之间的距离=9×2=18m．故选C．点评：本题考查正确运用勾股定理，关键是从实际问题中找到直角三角形，并利用勾股定理进行有关的运算．17.三角形中，一条边的垂直平分线恰好经过三角形的另一个顶点，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由已知条件，根据线段的垂直平分线的性质，可得，此三角形的两边相等，则这个三角形一定是等腰三角形．解：根据线段的垂直平分线的性质，可得，此三角形的两边相等，则这个三角形一定是等腰三角形．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定；由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到边相等是正确解答本题的关键．18.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．35°D．40°【答案】C【解析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=（180°﹣∠ADB）÷2答案可得．解：∵DE垂直平分AB，∴AD=DB∴∠B=∠DAB∵∠C=90°，∠CAD=20°∴∠B=（180°﹣∠C﹣∠CAD）÷2=35°故选C点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．19.如图，在△ABC中，BD=DE=EC，△ADE为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】根据已知的BD=DE=EC和△ADE为等边三角形，利用等腰三角形的判定进行判断即可．解：∵△ADE为等边三角形，∴AD=DE=AE，∵BD=DE=EC，∴AD=DE=AE=BD=EC，∴等腰三角形有△ABD、△ACE、△ADE、△ABC共四个．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的判定及等边三角形的性质，属于基础题，应该重点掌握．20.已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+CE=5．故选A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证DB=DO，OE=EC，难度不大，是一道基础题．。
等腰三角形知识点+经典例题
等腰三角形知识点+经典例题本文介绍了等腰三角形的定义、作法、对称性、性质和判定定理。
首先定义了等腰三角形是有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
然后介绍了作法，即以已知的线段a,b作等腰三角形ABC，使AB=AC=b,BC=a。
接着讲解了等腰三角形的对称性，包括轴对称、底角相等、底边上的中线等长、底边上的高线垂直于底边等。
其次，介绍了等边三角形与等腰三角形的关系，即等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
接下来，讲解了等腰三角形的性质，包括底角相等、顶角平分线、底边上中线和高线互相重合等。
最后，介绍了等腰三角形的判定定理，即若一条角平分线同时是等腰三角形的两边之一，则该三角形是等腰三角形。
同时，还给出了等腰三角形中重要线段的性质，包括两底角的平分线相等、底边上的高上任一点到两腰的距离相等等。
1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
简单来说，等角对等边。
要点解释：要明确判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆。
判定定理得到的结论是等腰三角形，而性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角的关系。
此外，不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形。
2.等边三角形的判定定理如果三个角相等，那么这个三角形就是等边三角形。
另外，一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。
3.含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
要点解释：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后通过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明命题的方法叫做反证法，也称归谬法，适用于直接证明有困难的命题。
典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题例1、（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数。
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
等腰三角形典型题解析
B
E
∴△ABC≌△AED（SAD） ∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
C FD
又∵△ACD 中 AF 是 CD 边的中线（已知）
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∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）
三、练习
（一）、选择题
1．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线
B．底边上的高
C．底柱 BD、DE 要多长？
B D
以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于∠A=30°， A E C
1
1
AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= AB．
2
4
[例]等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高．
分析：观察图形可
1
所 以 DE= AD， BC=
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A D
E
B
C
答案： 10．60°或 120° 11．∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°， ∴在 Rt△ADC 中 CD=2AD， ∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，
⊥CD.
分析：要证明 AF⊥CD，而点 F 是 CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接 AC、
AD，证明 AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
在△ABC 和△AED 中
证 明 ： 连 接 AC、 AD A
AB AE(三 三 ) ABC AED(三 三 ) BC ED(三 三 )
等边三角形
一、复习知识要点
1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
初二数学-等腰三角形10道典型题剖析
思路分析：由BD平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
=x，由AB=AC可得
1
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中
2
由三角形内角和定理可列出x B
D C
的方程，求出x．
解：设1 x,
BD平分ABC，
A
1 2 x, AB AC,
1 2
B
D C
C ABC 1 2 2x．
在DBC中，
提示： 本题为文字命题，解题时应分为以下 三个步骤： （1）根据题意作图； （2）写出已知， （3）进行求证．
已知：在ABC中，AB AC, D为底边BC
的中点，DE AB于点E, DF AC于点F．
求证：DE DF．
A
思路分析：由等腰三角形的性质易得
E
F
B C,又BD DC，DE AB, DF AC，
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC=∠C, ∴BF=FC, ∴AC-AB=2BE.
例8．如图，△ABD、 △AEC都是等边三角 形，求证： △AFG是等边三角形．
思路分析：利用等边三角 形的性质可推出，边、角 的等量关系，从而易证三 角形全等，进而说明
△AFG是等边三角形．
证明：∵△ABD 和△AED是正三角形， ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴ ∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB, ∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB, ∴ ∠CAD=∠BAE, △ADC≌△BAE, ∴ ∠ADF=∠GBA．
70°、40°或55°、55°
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°， 求其余两角．
沪科版-数学-八年级上册-16.3等腰三角形 点悟等腰三角形性质
点悟“等腰三角形性质”【基础知识精讲】等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质:1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)2. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 其中，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这一性质叫做等腰三角形的“三线合一”。
这两个性质用几何语言表述为：在△ABC 中，如图，∵AB ＝AC ∴∠B ＝∠C （等边对等角） 在△ABC 中，如图（1）∵AB ＝AC ，∠1＝∠2∴AD ⊥BC ，BD ＝DC （等腰三角形三线合一） （2）∵AB ＝AC ，BD ＝DC∴AD ⊥BC ，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一） （3）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC∴BD ＝DC ，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）等腰三角形的性质定理1揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是今后证明两角相等的重要依据之一，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.【重点难点解析】本节研究的重点是在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题.难点是掌握等腰三角形中常用的辅助线：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时则需要选择其中一条，这要视情况而定，如果作的不合适，可能使证明变得复杂，甚至很难证明，注意在做题时分析总结规律. 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD ⊥BC ，使∠1=∠2.ABCD12ABCD12【典型应用指南】（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。
等腰三角形知识点+经典例题
等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。
在几何学中，等腰三角形有着独特的特点和应用。
本文将介绍等腰三角形的基本性质和解题技巧，并通过经典例题加深对该知识点的理解。
一、等腰三角形基本性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长相等，通常表示为AB = AC。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等，通常表示为∠B = ∠C。
3. 对顶角平分底边：等腰三角形的对顶角（即顶点处的角）平分底边，即顶角的平分线与底边相等和垂直。
4. 底角是钝角：当等腰三角形的顶角大于90度时，底角为钝角。
二、等腰三角形的特殊性质1. 高线重合：等腰三角形的高线与底边重合，且高线上的高度等于底边的中线和中线的一半。
2. 内切圆：等腰三角形的内切圆与底边相切，且圆心在高线上。
3. 外接圆：等腰三角形的外接圆的圆心位于底边的中点，且外接圆的半径等于底边长度的一半。
三、等腰三角形的解题技巧1. 利用等腰三角形的两边相等性质，可在题目中找到相等的边长，进而推导其他角度和边长的关系。
2. 利用等腰三角形的两底角相等性质，可在题目中找到已知角度与未知角度的关系，从而推导解题过程。
3. 利用等腰三角形的对顶角平分底边性质，和底角是钝角的特点，可应用角平分线定理解题。
四、经典例题例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6cm，∠B = 60°，求角A的度数和三角形的面积。
解析：由于AB = AC，可知三角形ABC是等腰三角形。
又∠B =∠C = 60°，由等腰三角形的两底角相等性质可得∠A = 180° - 2∠B = 60°。
三角形ABC的三个角度均为60°，是等边三角形。
根据等边三角形的性质，三角形ABC的面积为√3/4 * AB^2 = √3/4 * 6^2 = 9√3 cm^2。
例题2：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，∠A = 100°，求顶角B的度数和三角形的周长。
沪科版-数学-八年级上册-八上16.3等腰三角形新题展析
等腰三角形新题展析江苏 高峰今年来，围绕等腰三角形的有关知识出现了许多设计新颖、令人耳目一新的新题型，现归类如下，供参考。
一、判断说理题例1、在一次数学活动中，黑板上画着如图1所示的图形，活动前老师在准备的4张纸上分别写有如下四个等式中的一个等式：① AB=DC ，②∠ABE=∠DCE ，③AE=DE ，④∠A=∠D . 小明闭上眼睛从4张纸片中随机抽取1张，再从剩下的纸片中随机抽取1张.请结合图形回答下列问题：当抽得①②时，以①②为条件能判定△BEC 是等腰三角形吗？说说你的理由.分析：判断说理型首先要根据条件和图形做出正确的判断，然后对所作的判断作出合理的解释，有利于培养同学们思维的严谨性。
根据等腰三角形的判定定理可知，要判断△BEC 是否为等腰三角形，关键是能否由①②得到△BEC 中两边或两角相等。
解：能.理由是：∵AB=DC ，∠ABE=∠DCE ，∠AEB=∠DEC ，∴△ABE ≌△DCE ，∴BE=CE ，∴△BEC 是等腰三角形.二、图形分割型例2、已知ABC △中，90A ∠=，67.5B ∠=，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）分析：要画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形，这条直线必须过一个顶点。
然后对每一种情形，还要进行分类讨论，如图3，若这条直线过点A ，则分三种情形进行讨论：①∠BAD=∠B ；②∠B=∠ADB ；③∠ADB=∠BAD ，然后再判断△ADC 是否为等腰三角形即可。
解：经过分析可得只有下面两种分割方法：（1）若把67.5B ∠=视为底角，则应把90A ∠=分成67.5和22.5两部分，如图3所示；若把22.5C ∠=视为底角，则应把67.5B ∠=分成45和22.5两部分，如图4所示；接着把90A ∠=视为顶角或底角，最后把67.5B ∠=或22.5C ∠=视为顶角A D CB E图1 图2ABC备用图①ABC备用图② ABC备用图③AB C图3 67.567.5 22.522.5ABC图422.522.54545D三、探究条件型例3、如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ．（1）说明：COD △是等边三角形；（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？分析：（3）要使AOD △是等腰三角形，应分三种情形进行探求。
(完整版)全等等腰三角形题型归纳(经典完整)
(完整版)全等等腰三角形题型归纳(经典完整)本文将对全等等腰三角形题型进行归纳和总结，帮助读者更好地理解和解决此类题目。
全等等腰三角形是指两个三角形的两边长度相等且对应的夹角也相等。
1. 理解全等等腰三角形全等等腰三角形的特点是两边长度相等且对应的夹角也相等。
在解题时，我们可以利用以下几个性质：- 两边相等的三角形的对应角必然相等，也就是如果两个等腰三角形的两条边长度相等，那么它们的对应夹角必然相等。
- 如果两个等腰三角形的两个对应角相等，那么它们的两边必然相等。
2. 全等等腰三角形的题型2.1. 给定等腰三角形的两边长度，求对应夹角的值在这种题型中，已知等腰三角形的两条边长度，需要求出对应的夹角。
解题步骤如下：1. 利用性质1，由于等腰三角形的两边相等，则对应的夹角也相等。
2. 利用三角函数（如正弦、余弦、正切等）求出对应夹角的值。
2.2. 给定等腰三角形的一个对应角，求两边的长度在这种题型中，已知等腰三角形的一个对应角的值，需要求出两边的长度。
解题步骤如下：1. 利用性质2，由于等腰三角形的两个对应角相等，则两边的长度相等。
2. 利用三角函数求出两边的长度。
3. 示例题3.1. 示例一：已知等腰三角形的两边长度分别为5cm，求对应夹角的值。
解题步骤如下：- 根据性质1，两边相等，则对应夹角相等。
- 使用三角函数，求出对应夹角的值。
3.2. 示例二：已知等腰三角形的一个对应角的值为45°，求两边的长度。
解题步骤如下：- 根据性质2，两个对应角相等，则两边的长度相等。
- 使用三角函数，求出两边的长度。
4. 总结本文对全等等腰三角形题型进行了归纳和总结，并给出了相应的解题步骤和示例题。
通过掌握全等等腰三角形的性质和解题方法，读者将能够更好地解决此类题型。
《等腰三角形》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (3)
16.3等腰三角形性质教学目标：1、知识与技能1）探究并掌握等腰三角形的性质定理及推论；2）能根据等腰三角形的性质解决有关计算和证明的问题2、过程与方法采用探究学习法，学生在折叠的过程中观察、发现问题，猜测结论，并进行证明，形成定理3、情感态度与价值观1）通过探究性学习实验，使学生发现等腰三角形“等边对等角”及“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的性质;2）通过性质的证明和例题的分析，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力;3）使学生进一步了解发现真理的方法（探究- 猜想--论证）.教学重点等腰三角形性质的探索、证明和应用；教学难点：等腰三角形性质的证明教学方法：实验探究法教学用具：三角板，用纸做的一个等腰三角形，几何画板，多媒体教学过程：有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
2、通过实例，探究出有理数除法法则。
会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。
重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。
教学过程：一、创设情景，导入新课 1、有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
有一个因数是0，积就为0. 2、有理数乘法运算律：a ×b = b ×a (a ×b )×c = a ×(b ×c ). a ×(b+c )=a × b + a ×c 3、计算（分组练习，然后交流）（见ppt ） 二、合作交流，解读探究 1、（1）6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？（2）怎样计算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3） （－6）÷（－3） 学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。
初二八年级数学等腰三角形性质与判定知识点与例题
学科教师辅导讲义知识点一、等腰三角形的性质1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）【典型例题】1. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
2. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
3. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等4. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
（1）求证AN=BM（2）求证△CEF为等边三角形知识点二、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
【典型例题】1．如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点3．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（）A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是正确的4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．5．如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．课后练习1．如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个3．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③ D．①②③④4．如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（）A．30° B．32° C．36° D．40°5．如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为______．6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．7．如图，P为AB上一点，△APC和△BPD是等边三角形，AD与BC相交于O（1）求证：AD=BC；（2）求∠DOB的度数．。
高中数学等腰三角形的性质及相关题目解析
高中数学等腰三角形的性质及相关题目解析一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边对应的两个角）相等，而顶角（顶点对应的角）则是独立的。
这种特殊的三角形有着一些独特的性质，我们将在下面的内容中进行详细讨论。
二、等腰三角形的性质及证明1. 等腰三角形的底角相等。
考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
我们可以通过以下证明来说明底角相等的性质：假设∠ABC=∠ACB=x，我们需要证明∠BAC=∠BCA=x。
根据三角形内角和定理，我们知道∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。
代入已知条件，得到x+x+∠BAC=180°，即2x+∠BAC=180°。
由于∠BAC和∠BCA是等腰三角形的两个顶角，它们的和等于180°，即∠BAC+∠BCA=180°。
将上述两个等式联立，得到2x+∠BAC=∠BAC+∠BCA。
经过简化，我们得到x=∠BCA。
所以，∠BAC=∠BCA=x，即等腰三角形的底角相等。
2. 等腰三角形的高线是底边的垂直平分线。
考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
我们需要证明高线BD是底边AC 的垂直平分线。
我们可以通过以下证明来说明高线是底边的垂直平分线的性质：首先，连接点D（高线BD与底边AC的交点），我们需要证明∠ABD=∠CBD。
由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。
根据性质1，我们知道∠ABC=∠ACB。
又因为∠ABD和∠ACD是等腰三角形的两个顶角，它们的和等于180°，即∠ABD+∠ACD=180°。
将上述两个等式联立，得到∠ABC=∠ACB=∠ABD+∠ACD。
经过简化，我们得到∠ABD=∠CBD。
所以，高线BD是底边AC的垂直平分线。
三、等腰三角形的相关题目解析1. 题目：在等腰三角形ABC中，AB=AC=8cm，AD是高线，求AD的长度。
解析：根据等腰三角形的性质，我们知道高线是底边的垂直平分线。
《等腰三角形》证明题题型归类训练(十二种题型)
《等腰三角形》证明题题型归类训练(十二种题型)等腰三角形证明题题型归类训练（十二种题型）1. 等腰三角形的定义题型题目：定义等腰三角形并给出一个例子。
解析：等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
例如，三角形ABC中AB=AC，那么三角形ABC就是一个等腰三角形。
2. 根据等腰三角形的性质题型题目：已知三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，角A=40°，求角B和角C的度数。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为角A=40°，所以角B=角C=(180°-40°)/2=70°。
3. 等腰三角形的边长关系题型题目：在等腰三角形ABC中，AB=5cm，AC=5cm，BC=8cm，求角B和角C的度数。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为BC=8cm，所以角B和角C是等角，可以使用余弦定理来求解。
根据余弦定理，设角B和角C的度数为x°，则BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(x°)8² = 5² + 5² - 2 * 5 * 5 * cos(x°)64 = 50 - 50 * cos(x°)50 * cos(x°) = -14cos(x°) = -14/50x ≈ 120°所以角B和角C的度数约为120°。
4. 等腰三角形的高题型题目：在等腰三角形ABC中，AB=5cm，AC=5cm，BC=8cm，求高的长度。
解析：由于三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。
又因为BC=8cm，所以角B和角C是等角，可以使用正弦定理来求解。
根据正弦定理，设等腰三角形ABC的高为h，角B和角C的度数为x°，则h/sin(x°) = BC/sin(90°)h/sin(x°) = 8/sin(90°)h/sin(x°) = 8/1h/sin(x°) = 8所以等腰三角形ABC的高的长度为8cm。
数学初二等腰三角形难题
数学初二等腰三角形难题
初二等腰三角形的难题可能涉及到等腰三角形的性质、计算等
腰三角形的各种边长和角度等内容。
下面我将从多个角度来解答这
些问题。
首先，等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
等腰三角形
的性质包括，等腰三角形的底边上的两个底角相等；等腰三角形的
顶角等于180°减去底角的一半；等腰三角形的高线、中线、角平
分线等都有特殊的性质。
在解题时，可以利用这些性质来求解等腰
三角形相关的问题。
其次，计算等腰三角形的边长和角度是等腰三角形难题的常见
内容。
例如，给定等腰三角形的顶角或底边长度，要求计算等腰三
角形的边长或角度。
在解决这类问题时，可以利用三角函数（正弦、余弦、正切）以及勾股定理等数学工具来进行计算。
此外，等腰三角形的面积计算也是一个常见的难题。
计算等腰
三角形的面积可以利用面积公式S=底边长度×高/2来求解，其中高
可以通过勾股定理或者利用等腰三角形的性质来计算。
最后，解决等腰三角形难题时需要注意的是，要灵活运用等腰三角形的性质和相关的几何知识，善于转化和联想，多画图、多列方程，有条不紊地进行推理和计算，最终得出正确的结论。
同时，要注意审题，理解问题的要求，避免在解题过程中出现偏差。
综上所述，解决数学初二等腰三角形的难题需要对等腰三角形的性质、计算方法和解题技巧有深入的理解和掌握。
希望以上回答能够帮助你更好地理解和解决相关问题。
八年级沪科版等腰三角形专题复习
师生小结
1.本节课我们学习了： 2.你学到了什么？
课堂检测
一、选择题
1、如右图所示，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，下列结论中不正确的是（ ）
A、AB＝2BD
B、AD⊥BC C、AD 平分∠BAC
D、∠B＝∠C
2、(2009 年云南省)如图，等腰△ABC 的周长为 21，底边 BC ＝ 5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，
，
,求
的周长.
1
知识梳理
(一）等腰三角形
1、 等腰三角形性质：
性质 1：等腰三角形是轴对称图形，
所在的直线是它的对称轴；
性质 2：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质 3：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
2、 等腰三角形的推论：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
）
A、15°
B、25°
C、30°
D、50°
3
类型二：等腰三角形的判定及性质应用 例 1、在等腰△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的高， 点 E、F 分别是边 AB、AC 上的中点，且 EF∥BC． （1）试说明△AEF 是等腰三角形； （2）试比较 DE 与 DF 的大小关系，并说明理由.
A M
D
C
T
E
B
2、在△ABC 中，∠B＝2∠C，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC＝AB＋BD． A
C
D
B
3、如图,已知:AD 平分 BAC,EF 垂直平分 AD 交 BC 的延长线于 F,连结 AF. 求证: CAF= B.
初二数学沪科版等腰三角形的有关概念难题
初二数学沪科版等腰三角形的有关概念难题1、方程的解是（）A．－1B．2C．1D．0 答案B 解析2、如图，在中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动答案A 解析3、方程组的解满足一次函数的关系式y = —x + b，则b的值为( 答案B 解析本题主要考查的是二元一次方程组。
由条件可知方程组的解为，代入y = —x + b，解得b=1.所以应选B。
4、如果a＞b，b＞0那么＋等于（）A．a－bB．a＋bC．b－aD．－a－b 答案B 解析5、把二次函数y =的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是( 答案A 解析6、在中，分式的个数是（）A 答案B 解析7、如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（; ▲;）A．2 答案D 解析8、（2014?白银）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列答案B 解析试题分析：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，由题意得：x（5﹣x）=6，故选：B．点评：本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．9、不等式组的解在数轴上表示为（▲ ) 答案C 解析10、某市教育局为了解初中学生参加综合实践活动(包括社会调查、社区服务、科技活动、文体活动四类) 情况, 从全市9万名答案A 解析11、小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（答案B 解析初三数学部审青岛版二元一次方程组及解法12，不等式组的解集是（）A．B．C．D．无解答案B 解析13、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，若AD=CD=6，则AB的长等于（）．A．9 答案D 解析。
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等腰三角形新题类析
等腰三角形作为特殊的三角形，它广泛的存在于我们的生活中，与我们密切相拌。
它有着众多的美妙的性质，是近年来各地的中考题的热点之一，下面就有关等腰三角形的新题型作一些介绍，供同学们参考。
一、修改条件题
例1、如图1，在Rt ABC △中，90C M ∠=，是AB 的中点，AM AN MN AC =，∥．
（1）说明：MN AC =；
（2）如果把条件“AM AN =”改为“AM AN ⊥”，其它条件
不变，那么MN AC =不一定成立．如果再改变一个条件，就能使
MN AC =成立．请你写出改变的条件并说明理由．
分析：（1）连结CM ，说明△AMN ≌△MAC 即可；（2）要使MN=AC
成立，可使△AMN ≌△MAC ，只需∠AMC=90°即可。
又M 是AB
的中点，所以只需将条件“∠C=90°”换成“AC=BC ”，根据等腰三
角形的“三线合一”的性质即可得到∠AMC=90°。
解：（1）连结CM ，因为∠C=90°，M 是AB 的中点，所以CM=AM ，
所以∠ACM=∠MAC ，因为AM=AN ，所以∠ANM=∠AMN ，
CM=AM=AN ，因为MN ∥AC ，所以∠AMN=∠MAC ，所以∠ACM=
∠MAC=∠ANM=∠AMN ，所以△AMN ≌△MAC ；
（2）将条件“∠C=90°” 改为“AC=BC ”。
因为AC=BC ，M
是AB 的中点，所以CM ⊥AB ，所以∠CMA=90°，因为AM ⊥AN ，所以∠MAN=90°，所以∠CMA=∠MAN =90°，因为MN ∥AC ，所以∠AMN=∠MAC ，又因为AM=MA ，所以△AMN ≌△MAC ，所以MN=AC 。
二、探索结论题
例2、如图2，已知ABC △的面积为3，且AB=AC ，现将ABC △沿CA 方向平移CA 的长度得到EFA △．
（1）求ABC △所扫过的图形面积．
（2）探究：AF 与BE 的位置关系，并说明理由．
分析：（1）△ABC 所扫过的图形是四边形CBFE ，要求四边形CBFE 的面积，关键是求出△BAF 的面积，而根据条件易证△ABC ≌△BAF ；（2）通过观察可猜想AF 与BE 互相垂直平分，
利用等腰三角形的“三线合一”的性质即可进行证明。
解：（1）根据平移的性质，可得BC ∥AF ，BC=AF ，△ABC ≌△AFE ，则∠CBA=∠FAC ，又因为AB=BA ，所以△ABC ≌△BAF ，所以△ABC 所扫过的图形是四边形CBFE 的面积=3S
△ABC =9；
（2）因为△ABC ≌△BAF ，所以AC=BF ，又AB=AC ，所以AB=FB ，∠CBA=∠BCA ，根据平移的性质，可得AB=AC=EA=EF ，所以AB=FB=EA=EF ，又因为∠BCA=∠FAE ，所以∠BAF=∠FAC ，所以AF 垂直平分BE ，又因为EA=EF ，所以BE 垂直平分AF ，所以AF 与BE 互相垂直平分。
三、结论辨析题
例3、如图3，已知AB=AC,∠A=36o ，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ．有下
面3个结论：
①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；
③△AMD ≌△BCD ． B F E
C A (C ) 图2
(1)判断其中正确的结论是哪几个?(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 分析：从条件出发，结合图形进行判断，不正确的结论可举反例予以说明。
解：（1）由AB=AC,∠A=36o ，得∠ABC=∠C=72°，因为MN 是AB 的中垂线，所以DA=DB ，
所以∠ABD=∠A=36°，所以∠DBC=∠ABC －∠A=72°－36°=36°，所以∠DBC=∠ABD ，又∠BDC=180°－∠DBC －∠C=72°，所以∠BDC=∠C ，所以①射线BD 是∠ABC 的平分线、②△BCD 是等腰三角形都是正确的，而△AMD 是直角三角形，△BCD 是锐角三角形，所以③△AMD ≌△BCD 是错误的；（2）略。
五、运动探究型
例5、如图4，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。
(1)在图4①中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。
①说明DM ＝DN ；
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
(2)继续旋转至如图4②的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM ＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转至如图4③的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM ＝DN 是否仍然成立？请写出结
论，不用证明。
分析：（1）①连结DB ，说明△BMD ≌△CND 或△ADM ≌△BDN 即可得到DM=DN ；②由△BMD ≌△CND ，可得S △BMD
=S △CND ，则四边形DMBN 的面积与△DBC 的面积相等；（2）与（3）观察图形，
可发现△BMD ≌△CND 或△ADM ≌△BDN 依然成立，所以DM=DN 仍然成立。
解：（1）①连接DB,在Rt △ABC 中，因为AB=BC ，AD=DC ，所以DB=DC=AD ，∠BDC=90°，所以∠ABD=∠C=45°，因为∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，所以∠MDB=∠NDC ，所以△BMD ≌△CND ，所以DM=DN 。
②四边形DMBN 的面积不发生变化。
由①得△BMD ≌△CND ，所以S △BMD =S △CND ，所以S 四边形DMBN =S △DBN +S △DMB =S △DBN +S △DNC =S △DBC =21S △ABC =4
1； （2）成立。
连接DB,在Rt △ABC 中，因为AB=BC ，AD=DC ，所以DB=DC ，∠BDC=90°，所以∠DCB=∠DBC=45°，所以∠DBM=∠DCN=135°，因为∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，所以∠CDN=∠BDM ，所以△CDN ≌△BDM ，所以DM=DN 。
（3）DM=DN 。
A A A
B B
C C
D D D N N N
E E
F E F F M M M 图①图② 图③ 图4。