李雅普诺夫稳定性的基本定理
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11.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1 Lyapunov 关于稳定性的定义
系统稳定性是动态系统一个重要的、可以用定量方法研究和 表示的定性指标。
它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系 统变换而改变, 但可通过系统反馈和综合加以控制。 这也是控制理论和控制工程的精髓。 在经典控制理论中，讨论的是在有界输入下，是否产生 有界输出的输入输出稳定性问题。 从经典控制理论知道，线性系统的输入输出稳定性
要掌握好Lyapunov稳定性理论，重要的是深刻掌握和理 解Lyapunov稳定性定义的实质和意义。
在这里，空间想象力对理解Lyapunov稳定性的实质和意 义非常有帮助。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即
线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统 转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内
此外，庞加莱还在1895年证明了“庞加莱 回归定理” ，并开创了动力系统理论。
在Routh和Poincare等工作的影响下，1892年，俄国数学力 学家A.M. Lyapunov（李亚普诺夫，1857–1918) 发表了博士 论文“The General Problem of the Stability of Motion 论运动 稳定性的一般问题”，建立了关于运动稳定性研究的一般性 理论，总结和发展了系统的经典时域分析法。
第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
李雅普诺夫稳定性理论
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
Pij Pji
x x1 x2 xn T
李氏第二法稳定性定理
设 x f (x,t) 1)在 xe 满足 f (0,t) 0
2） xe 0 V (x, t)存在
定理1
若1)
V
(
x,
t
)
正定 xe
2)
V ( x, t )
负定
则 xe渐近稳定
3)若 x V (x)
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
xe 1
0
0
0 xe3 1
0 xe2 1
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) 0 满足 x0 xe (,t0)
则平衡状态 xe 是不稳定的
推论1 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe不稳定
推论2 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe 是李雅普
诺夫意义下的稳定
选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数 V (x,t)
(Lyapunov)稳定性理论李雅普诺夫
（1）局限于描述线性定常系统
（2）局限于研究系统的外部稳定性 （输入输出稳定性）
经典控制理论的稳定性判据
劳斯（Routh）判据
奈氏（Nyquist）判据
现代控制理论对稳定性分析的特点
（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统 （2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性（状态稳定性） （3）能够反映系统稳定的本质特征。
表示状态空间中，以 x e为球心，半径为c的球
以平衡点xe 为球心，取 和 为半径，在n维状态空间作出 两个球域 S ( )、S ( )。 其中
：任意取的正数（可以任意小） ：是 取定后看能否找到的
1、李雅普诺夫意义下稳定 任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
表示向量 x 到x e的距离 n2 x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 c
表示状态空间中，以 x e为圆心，半径为c的圆
n3
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( x3 x3e ) 2 c
Ax x
e Ax e 0 x
平衡状态：
A 0 xe 0 一个平衡状态——状态空间原点 A 0
无穷多个平衡状态
非线性系统：
f (x, t ) x
平衡状态： x e f (x e , t ) 0 一般有多个平衡状态
例：
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫稳定性的定义
李雅普诺夫第一法（间接法）
（2）局限于研究系统的外部稳定性 （输入输出稳定性）
经典控制理论的稳定性判据
劳斯（Routh）判据
奈氏（Nyquist）判据
现代控制理论对稳定性分析的特点
（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统 （2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性（状态稳定性） （3）能够反映系统稳定的本质特征。
表示状态空间中，以 x e为球心，半径为c的球
以平衡点xe 为球心，取 和 为半径，在n维状态空间作出 两个球域 S ( )、S ( )。 其中
：任意取的正数（可以任意小） ：是 取定后看能否找到的
1、李雅普诺夫意义下稳定 任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
表示向量 x 到x e的距离 n2 x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 c
表示状态空间中，以 x e为圆心，半径为c的圆
n3
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( x3 x3e ) 2 c
Ax x
e Ax e 0 x
平衡状态：
A 0 xe 0 一个平衡状态——状态空间原点 A 0
无穷多个平衡状态
非线性系统：
f (x, t ) x
平衡状态： x e f (x e , t ) 0 一般有多个平衡状态
例：
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫稳定性的定义
李雅普诺夫第一法（间接法）
李雅普诺夫稳定性特征根分布
李雅普诺夫稳定性特征根分布
李雅普诺夫稳定性特征根分布在系统控制领域被广泛研究，并被广泛应用在科
学和工程中。
李雅普诺夫稳定性特征根分布是对一个系统的稳定性的影响因素的研究和分析。
李雅普诺夫稳定性特征根分布可以通过一个表达式来表示：λn=(-
βn)+(α+(2π/πn))^2，其中λn为特征根，εn为特征值，α为系统系数，和
πn为系统周期。
它表示了系统的稳定性特征根分布和稳定性特征值分布之间的关系。
由于特征根和特征值严格地反映了一个系统的稳定性，所以李雅普诺夫稳定性
特征根分布被用于分析一个系统的稳定性。
该分布一般包括一个特征根的实部和虚部，它们的关系可以描述为：如果特征根的实部都大于零，则系统是稳定的；如果特征根的实部小于零，则系统是不稳定的；如果特征根的实部有正有负，则系统就会出现振荡。
为了检验一个系统的稳定性，通常先用信号在控制系统上模拟，然后计算系统
的特征根和特征值，并绘制出李雅普诺夫稳定特征根分布图表。
通过该图表分析，如果特征根的实部均大于零，则系统的稳定性得到证明；如果有负特征根，则系统就是不稳定的。
通过李雅普诺夫稳定性特征根分布曲线，在一定程度上可以反映出系统稳定性，从而用于系统状态的判断，以此为基础，改正或调节系统，提高系统的效率，获得更好的性能。
因此，李雅普诺夫稳定性特征根分布在系统应用和控制中有着重要的应用，为后续的系统控制工作提供了可取的依据。
第五章李雅普诺夫稳定性分析讲诉
第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法，它是从能量观点进行稳定性分析的，它的基本思想是建立在这样一个物理事实基础之上，即：由经典力学理论可知，对于一个振动系统，如果系统的总能量随时间增长而连续减少，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。
1）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为0e x =，满足(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。
则系统在原点处的平衡状态是一致渐进稳定的。
此外，如果当||||x →∞,有(,)v x t →∞，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐进稳定的。
2）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。
（3）(,)v x t 在0x ≠时不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。
3）李雅普诺夫意义下稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是负定的。
v x t（3）则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下是一致稳定的。
4）不稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是正定的。
v x t则系统在原点处的平衡状态是不稳定。
第四章李雅普诺夫稳定性理论
对概念的几点说明：
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节 李雅普诺夫间接法
思想：李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。
一、线性定常系统的稳定性
线性定常系统的稳定性判别定理：
(1)李氏稳定 A的约当标准形J中，实部为0的特征 值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均 有负实部。 (2)渐近稳定 A的特征值均具有负实部。
，其中P为实对
称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但
V(x)并不一定都是简单的二次型。
(4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的 稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。
(5) 由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用 于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如 高阶非线性系统或时变系统。
A奇异：
b. 非线性系统 例：
令
2. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。
说明： (1) 系统不一定都存在平衡点； (2) 但系统也可能有多个平衡点； (3) 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当
的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）； (4) 稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对
(3)不稳定 A的特征值中至少有一个有正实部。
说明：
(1)劳斯判据依然适用。 (2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。
解释： 例1：
李氏稳定 不稳定 李氏稳定
李氏稳定 不稳定
例2：
求A的特征值： 得A特征值：
不稳定
二、非线性系统的稳定性 非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判
李雅普诺夫稳定性分析(二)
但是，如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函 数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。 2) 对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫 函数总是存在的，但并不唯一。 3) 对于非线性系统，虽然具体的李雅普诺夫函数可 证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的， 但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定 的; 4) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普 诺夫函数的方法。 寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状 态方程而具体分析。
2 V (x) = x12 + x2 2 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 ≤ 0
由于V’(x)是负半定函数，由定理5-5的1)可知， 系统为一致稳定的。
′ x1 = x2 ′ x2 = − x1 − x2
对例5-5，选取李雅普诺夫函数为
1 2 2 V ( x , t ) = ( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 + x2 2
T
例5-10 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定，试确定增益的取值范围。
x3
k s +1
1 s+2
x2
1 s
x1
-
解: 由图可写出系统的状态方程为 ɺ 1 0 x1 x1 0 x = 0 x ɺ2 −2 1 2 x3 − k 0 − 1 x 3 ɺ
解出p11、p12和p22，得
p11 p12 1 3 1 P= = 2 1 2 p12 p22
为了验证对称矩阵P的正定性，用合同变换法 检验如下:
1 3 1 行( 2) −(1) / 3→( 2) 1 9 0 P= ⇒ 2 1 2 列( 2)−(1) / 3→( 2) 6 0 5
5.1 李雅普诺夫稳定性的定义
从定义5-1可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量 为零向量的点(状态) 由于导数表示状态的运动变化方向, 因此平衡态就是指 能够保持平衡、维持现状不运动的状态, 如下图所示
平衡态
平衡态 平衡态
平衡态(3/4)
例5-1 对于非线性系统
′ x1 = − x1 3 ′ x2 = x1 + x2 − x2
李雅普诺夫稳定性的定义 李雅普诺夫稳定性的定义(1/2) 的定义
5.1 李雅普诺夫稳定性的定义
系统稳定性是动态系统一个重要的, 可以用定量方法研究和 表示的定性指标 它反映的是系统的一种本质特征, 这种特征不随系统线 性变换而改变, 但可通过系统反馈和综合加以控制 经典控制理论中, 线性系统的输入输出稳定性取决于其特征 方程的根, 与初始条件我们所研究的系统的状态方程为 x’ = f(x,t) 其中x为n维状态变量, f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时 间t的非线性向量函数 定义5-1 动态系统 x’ = f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t) ≡ 0 的状态,并用xe来表示
平衡态(2/4)
其平衡态为下列代数方程组 − x1 = 0 3 x1 + x2 − x2 = 0 的解, 即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态
0 x e,1 = 0
x e, 2
0 = 1
x e,3
0 = − 1
平衡态(4/4)
李雅普诺夫稳定性研究系统在 其平衡态附近(邻域)的运动变 化问题 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后 都趋于该平衡态, 则称该 平衡态是渐近稳定的 若发散掉则称为不稳定的, 若能维持在平衡态附近某 不稳定 个邻域内运动变化则称为 平衡态 稳定的, 如上图所示
第三章李雅普诺夫稳定性分析
xe为该系统的一个平衡状态。
Page: 14
Modern Control Theory
3-3 李雅普诺夫稳定性
现 代 三、 李雅普诺夫意义下的稳定性定义 控 制 1.李雅普诺夫意义下的稳定性 理 x 定义： 0, ( , t0 ) 当x0满足： 0 xe 论 有 x (t ; x0 , t0 ) xe
2、内部稳定性：
系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。
系统的稳定性都是相对平衡状态而言的。
Modern Control Theory
Page: 13
3-3 李雅普诺夫稳定性
现 代 二、对象及其平衡状态 控 制 1、系统： x f ( x, t ) 理 论
其解：
2
半正定
2
3)
2 V x x12 x2
V x 3x1 2 x2
半负定
5)
2 V x x1 x2 x2
不定
Page: 9
Modern Control Theory
3-2 预备知识
现 代 5) 不定：能找到 -x≠0，使 V x xT Px 0 控 又能找到-x≠0，使V(x)<0, 称其为不定 制 理 论
x2
1 1 1 x1 x3 1 3 1 x2 1 1 3 x3
p1 1
Modern Control Theory
p2 4
p3 2
Page: 11
3-2 预备知识
现 代 控 制 理 论
方法二：配方法
2 2 V ( x) x12 3x2 3x3 2x1x2 2x2 x3 2x1x3
51李雅普诺夫稳定性的定义解析
本章简介(2/2)
? 最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设 计。
目录
? 概述 ? 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 ? 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 ? 5.3 线性系统的稳定性分析 ? 5.4 非线性系统的稳定性分析 ? 5.5 Matlab问题 ? 本章小结
目录(1/1)
? 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论 的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的 注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得 到了进一步研究和发展。
? 本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫 第一法和第二法的理论及应用。
概述(10/5)
? 本章需解决的问题:
? 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳 定性方法的思路是一致的。
? 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。
? 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳 定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函 数来分析判别稳定性。
? 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第 二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。
? 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统 输入输出间动态关系,讨论的是
? 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,
未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。
概述(4/5)
? 再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化 方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用, 但是难以胜任一般系统。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
本章简介
本章简介(1/2)
? 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 ? 主要介绍 ? 李雅普诺夫稳定性的定义以及 ? 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; ? 着重讨论 ? 李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统 的应用、 ? 李雅普诺夫函数的构造、 ? 李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
李雅普诺夫稳定性理论
几点说明： 1) V ( x, t ) 选取不唯一，但没有通用办法， V ( x, t ) . 选取不当，会导致 V ( x, t ) 不定的结果。 2) 这仅仅是充分条件。 . V ( x, t )--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤： 1) 构造一个 V ( x, t ) 二次型； . 2) 求 V ( ，并代入状态方程； . x, t ) 3) 判断 V ( x, t ) 的定号性； . V [ x(t ; x0 , t ), t ] 是否为零。 4) 判断非零情况下， 渐进稳定 李氏稳定 不稳定
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x f ( xe ) x
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为：
Ax x
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g ( x)有关，
.
说明： x 0 V ( x, t ) 0 系统维持等 能量水平运动，使 x(t; x0 , t0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V ( x, t ) 正定 . 则原点是不稳定的。 说明：V ( x, t ) 正定 能量函数随时间增 大，x(t; x0 , t0 ) 在xe 处发散。
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
3.3 李雅普诺夫第二法(直接法)
李雅普诺夫稳定性的基本定理
试确定系统在原点处的稳定性。 试确定系统在原点处的稳定性。 解 1： 由状态方程知 原点为该系统的平衡态。 原点为该系统的平衡态。 ： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为 将系统在原点处线性化 则系统矩阵为 0 ∂f (x) A= = τ ∂x x =xe − K 2 1 − K1
因此,系统的特征方程为 因此 系统的特征方程为 |λI-A|=λ2+K1λ+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知 原非线性系统的原点为渐近稳定的充 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: 分条件为 K1>0 和 K2>0.
参看课本P168 参看课本
李雅普诺夫第二法(2/3)
李雅普诺夫第二法又称为直接法。 李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后 其储存的能 若系统平衡态渐近稳定 则系统经激励后,其储存的能 则系统经激励后 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时 其能量 达到最小值。 达到最小值。 反之,若平衡态不稳定 则系统将不断地从外界吸收能 反之 若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 若平衡态不稳定 其储存的能量将越来越大。 量,其储存的能量将越来越大。 其储存的能量将越来越大 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 基于这样的观点 只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数 通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。 时间推移是否衰减 就可判断系统平衡态的稳定性。 就可判断系统平衡态的稳定性
李雅普诺夫稳定性(2)
x f (x)
的任何轨迹线的时间导数是半负定的，即
V dV (x) V x V f (x) 0 dt x x
那么称V (x) 为系统的李雅普诺夫函数。
x2
x2
V V3
V V2
V
V V1
0
V1 V2 V3 x1
x1
x(t)
x(t)
李雅普诺夫理论基础
几何解释：表示 V(x) 值的点总是指向杯底，或指向越来 越小的V (x)值等高线。
R a 1
李雅普诺夫理论基础
x1
极限环
从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近 一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的 R 为足够小，使得半径为 R 的圆完全落入极限环的封 闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将 越出这个圆,因此原点是不稳定的。
李雅普诺夫理论基础
2、渐近稳定性与指数稳定性
李雅普诺夫理论基础
例：对于一阶系统 x ax bx5
原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的
线性化是：
x ax
应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳
定性性质：
（1）a 0 渐近稳定； （2）a 0 不稳定；
（3）a 0 不能从线性化说明系统稳定性性源自。在第三种情况下，非线性系统为
征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的 （对实际的非线性系统）；
2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果 A的所有特征
值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳 定的（对实际的非线性系统）；
3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果 A 的所有特
征值都在左半复平面内，但至少有一个在 j 轴上），那 么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性 系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。
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➢ 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。
定义3-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x都有V(x)>0;当且仅当x=0时,才有
V(x)=0,
➢ 则称函数V(x)为区域上的正定函数。
实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义
从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 数。由正定函数的定义,我们相应地可定义 ➢ 负定函数、 ➢ 非负定(又称半正定或正半定)函数、 ➢ 非正定函数(又称半负定或负半定)和 ➢ 不定函数。
...
nn
aij x i x j
i1 ji
ann xn2
其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。
二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)
由线性代数知识知,实二次型函数V(x)又可表示为 V(x)=xPx
其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:
a11 P a12/2
李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1
例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
x1
x2
K1(
x12
x2 1) x2
K2
x1
K1, K2 0
试确定系统在原点处的稳定性。
解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。
➢ 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为
f (x)
0
A x xxe K2
数学预备知识(1/1)
1. 数学预备知识
下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预 备知识: ➢ 函数的正定性 ➢ 二次型函数和对称矩阵的正定性 ➢ 矩阵正定性的判别方法
实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义
(1) 实函数的正定性
实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。
➢ 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下 恒为负的。
二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性
二次型函数是一类特殊形式函数。
➢ 设V(x)为关于n维变量向量x的实二次型函数,则其可以表 示为 V ( x) a11x12 a12 x1x2 ... a1n x1xn
a22 x22 ... a2n x2 xn
定义3-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x)分 别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩阵P 相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □
二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义
因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为 判别对称矩阵的正定性。 ➢ 对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别 记为 P>0, P<0, P≥0, P≤0。
2. 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义
从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零, 即运动变化的趋势为零)的状态。 ➢ 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。 ➢ 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。 ➢ 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
➢ 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
李雅普诺夫第二法(3/3)
在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 ➢ 数学预备知识,然后介绍一些 ➢ 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 ➢ 李雅普诺夫稳定性定理
➢ 若对任意n维非零向量x,都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函 数V(x)为区域上的非正定函数。
➢ 若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为
负值,则称函数V(x)为不定函数。
实函数的正定性(4/4)
下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、 负定函数等的例子。
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos =mgx’fsin
f
x
v
h
mg
渐近稳定 平衡态
当取值为[0,90],由于v的方向与x相反，x’为负,因此上式恒 小于零。
✓ 即渐近稳定的平衡态,其正定的能量函数的导数(变 化趋势)为负。
对小球向上运动时亦可作同样分析。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(4/5)
1) 正定函数 x12 2x22
(x1 2x2 )2 x22
2) 负定函数 x12 2x22
(x1 2x2 )2 5x12
3) 非负定函数 2x22 (x1 2x2 )2
4) 非正定函数 3x12 (x1 2x2 )2
5) 不定函数 3x12 2x22 (x1 2x2 )2 (x1 2x2 )2
定理3-3 实对称矩阵P必定可经合同变换化成对角线矩阵,则 P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所有 对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于 零; ➢ P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。
矩阵正定性的判别方法(3/5)—矩阵定号性判定定理
定理3-3中的合同变换是指对对称矩阵的同样序号的行和列 同时作同样的初等变换。
➢ 在图中所示状态,v=-x’,由牛顿第二定律可知,其运动满足 如下方程:
m(-x’’)=mgcos-fmgsin 其中f为摩擦阻尼系数。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(3/5)
➢ 因此,有 mx’’=-mg(cos-fsin)
➢ 因此,能量的变化趋势(导数)为 V’=mx’x’’+mgx’cos
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)
右图所示动力学系统的平衡态在 一定范围内为渐近稳定的平衡态。
➢ 对该平衡态的邻域,可定义其
能量(动能+势能)函数如下:
h
f
x v
mg
V 1 mv2 mgh 2
1 mx2 mg(x cos ) 0
2
渐近稳定 平衡态
其中x为位移, x’为速度,两者且选为状态变量。
李雅普诺夫第一法(6/7)
由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 ➢ 值得指出的区别是: ✓ 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。
➢ 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,而不能推广至时变系统。
列:( 2 ) (1)( 2 )
0
2
1
-1 2 5
-1 1 5
1 0 0
行:(3)(1)(3)
0 列:(3)(1)(3)
2
1
0 1 4
1 0 0
行:(3)(2) / 2(3)
0 列:(3)(2) / 2(3)
2
0
0 0 7/2
因此,由定理3-3知,矩阵P为正定矩阵。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(1/5)
因此,系统的特征方程为
1
K1
|I-A|=2+K1+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: K1>0 和 K2>0.
参看课本P168
李雅普诺夫第二法(1/3)
3.2.2 李雅普诺夫第二法
由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统。 ➢ 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法。
矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2
例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性:
1 -1 -1
P -1 3
2
-1 2 5
解 先对对称矩阵P作合同变换如下
矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2
1 -1 -1
1 0 -1
P -1 3
2
行:( 2 ) (1)( 2 )
...
a12 / 2 a22 ...
... a1n/2 ... a2n/2 ... ...
a1n/2 a2n/2 ... ann
二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。 ➢ 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 ➢ 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正 定性。
从直观物理意义的角度,也非常易于理解。 ➢ 由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律 可知,物体的能量将随物体运动减少, ➢ 即其导数(变化趋势)为负。
定义3-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x都有V(x)>0;当且仅当x=0时,才有
V(x)=0,
➢ 则称函数V(x)为区域上的正定函数。
实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义
从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 数。由正定函数的定义,我们相应地可定义 ➢ 负定函数、 ➢ 非负定(又称半正定或正半定)函数、 ➢ 非正定函数(又称半负定或负半定)和 ➢ 不定函数。
...
nn
aij x i x j
i1 ji
ann xn2
其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。
二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)
由线性代数知识知,实二次型函数V(x)又可表示为 V(x)=xPx
其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:
a11 P a12/2
李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1
例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
x1
x2
K1(
x12
x2 1) x2
K2
x1
K1, K2 0
试确定系统在原点处的稳定性。
解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。
➢ 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为
f (x)
0
A x xxe K2
数学预备知识(1/1)
1. 数学预备知识
下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预 备知识: ➢ 函数的正定性 ➢ 二次型函数和对称矩阵的正定性 ➢ 矩阵正定性的判别方法
实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义
(1) 实函数的正定性
实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。
➢ 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下 恒为负的。
二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性
二次型函数是一类特殊形式函数。
➢ 设V(x)为关于n维变量向量x的实二次型函数,则其可以表 示为 V ( x) a11x12 a12 x1x2 ... a1n x1xn
a22 x22 ... a2n x2 xn
定义3-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x)分 别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩阵P 相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □
二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义
因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为 判别对称矩阵的正定性。 ➢ 对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别 记为 P>0, P<0, P≥0, P≤0。
2. 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义
从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零, 即运动变化的趋势为零)的状态。 ➢ 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。 ➢ 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。 ➢ 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
➢ 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
李雅普诺夫第二法(3/3)
在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 ➢ 数学预备知识,然后介绍一些 ➢ 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 ➢ 李雅普诺夫稳定性定理
➢ 若对任意n维非零向量x,都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函 数V(x)为区域上的非正定函数。
➢ 若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为
负值,则称函数V(x)为不定函数。
实函数的正定性(4/4)
下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、 负定函数等的例子。
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos =mgx’fsin
f
x
v
h
mg
渐近稳定 平衡态
当取值为[0,90],由于v的方向与x相反，x’为负,因此上式恒 小于零。
✓ 即渐近稳定的平衡态,其正定的能量函数的导数(变 化趋势)为负。
对小球向上运动时亦可作同样分析。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(4/5)
1) 正定函数 x12 2x22
(x1 2x2 )2 x22
2) 负定函数 x12 2x22
(x1 2x2 )2 5x12
3) 非负定函数 2x22 (x1 2x2 )2
4) 非正定函数 3x12 (x1 2x2 )2
5) 不定函数 3x12 2x22 (x1 2x2 )2 (x1 2x2 )2
定理3-3 实对称矩阵P必定可经合同变换化成对角线矩阵,则 P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所有 对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于 零; ➢ P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。
矩阵正定性的判别方法(3/5)—矩阵定号性判定定理
定理3-3中的合同变换是指对对称矩阵的同样序号的行和列 同时作同样的初等变换。
➢ 在图中所示状态,v=-x’,由牛顿第二定律可知,其运动满足 如下方程:
m(-x’’)=mgcos-fmgsin 其中f为摩擦阻尼系数。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(3/5)
➢ 因此,有 mx’’=-mg(cos-fsin)
➢ 因此,能量的变化趋势(导数)为 V’=mx’x’’+mgx’cos
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)
右图所示动力学系统的平衡态在 一定范围内为渐近稳定的平衡态。
➢ 对该平衡态的邻域,可定义其
能量(动能+势能)函数如下:
h
f
x v
mg
V 1 mv2 mgh 2
1 mx2 mg(x cos ) 0
2
渐近稳定 平衡态
其中x为位移, x’为速度,两者且选为状态变量。
李雅普诺夫第一法(6/7)
由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 ➢ 值得指出的区别是: ✓ 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。
➢ 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,而不能推广至时变系统。
列:( 2 ) (1)( 2 )
0
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1
-1 2 5
-1 1 5
1 0 0
行:(3)(1)(3)
0 列:(3)(1)(3)
2
1
0 1 4
1 0 0
行:(3)(2) / 2(3)
0 列:(3)(2) / 2(3)
2
0
0 0 7/2
因此,由定理3-3知,矩阵P为正定矩阵。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(1/5)
因此,系统的特征方程为
1
K1
|I-A|=2+K1+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: K1>0 和 K2>0.
参看课本P168
李雅普诺夫第二法(1/3)
3.2.2 李雅普诺夫第二法
由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统。 ➢ 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法。
矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2
例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性:
1 -1 -1
P -1 3
2
-1 2 5
解 先对对称矩阵P作合同变换如下
矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2
1 -1 -1
1 0 -1
P -1 3
2
行:( 2 ) (1)( 2 )
...
a12 / 2 a22 ...
... a1n/2 ... a2n/2 ... ...
a1n/2 a2n/2 ... ann
二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。 ➢ 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 ➢ 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正 定性。
从直观物理意义的角度,也非常易于理解。 ➢ 由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律 可知,物体的能量将随物体运动减少, ➢ 即其导数(变化趋势)为负。