李雅普诺夫稳定性的基本定理

李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)
右图所示动力学系统的平衡态在 一定范围内为渐近稳定的平衡态。
➢ 对该平衡态的邻域,可定义其
能量(动能+势能)函数如下:
h
f
x v
mg
V 1 mv2 mgh 2
1 mx2 mg(x cos ) 0
2
渐近稳定 平衡态
其中x为位移, x’为速度,两者且选为状态变量。
李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1
例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
x1
x2
K1(
x12
x2 1) x2
K2
x1
K1, K2 0
试确定系统在原点处的稳定性。
解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。
➢ 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为
f (x)
0
A x xxe K2
...
nn
aij x i x j
i1 ji
ann xn2
其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。
二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)
由线性代数知识知,实二次型函数V(x)又可表示为 V(x)=xPx
其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:
a11 P a12/2
定理3-3 实对称矩阵P必定可经合同变换化成对角线矩阵,则 P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所有 对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于 零; ➢ P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。
矩阵正定性的判别方法(3/5)—矩阵定号性判定定理
定理3-3中的合同变换是指对对称矩阵的同样序号的行和列 同时作同样的初等变换。
列:( 2 ) (1)( 2 )
0
2
1
-1 2 5
-1 1 5
1 0 0
行:(3)(1)(3)
0 列:(3)(1)(3)
2
1
0 1 4
1 0 0
行:(3)(2) / 2(3)
0 列:(3)(2) / 2(3)
2
0
0 0 7/2
因此,由定理3-3知,矩阵P为正定矩阵。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(1/5)
上述三种判别实对称矩阵P的定号性的方法,各有千秋。但总 的说来, ➢ 基于塞尔维斯特定理的方法计算量较大,若将该方法推广 到判别非负定性和非正定性,则计算量成指数性地增加。 ➢ 特征值判别法需求解高阶特征方程以获得特征值,计算较 复杂,计算量也较大。 ➢ 合同变换法对矩阵只作初等变换,计算简单,便于应用。
➢ 若对任意n维非零向量x,都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函 数V(x)为区域上的非正定函数。
➢ 若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为
负值,则称函数V(x)为不定函数。
实函数的正定性(4/4)
下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、 负定函数等的例子。
...
a12 / 2 a22 ...
... a1n/2 ... a2n/2 ... ...
a1n/2 a2n/2 ... ann
二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。 ➢ 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 ➢ 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正 定性。
参看课本P169
实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义
定义3-6 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x,都有V(x)<0;当且仅当x=0时,才有 V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的负定函数。
➢ 若对任意n维非零向量x,都有V(x)≥0,且V(0)=0,则称函 数V(x)为区域上的非负定函数。
矩阵正定性的判别方法(1/5)
(3) 矩阵正定性的判别方法
判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 ➢ 塞尔维斯特判别法、 ➢ 矩阵特征值判别法和 ➢ 合同变换法。
下面分别介绍。
矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理
定理3-1(塞尔维斯特定理) (1) 实对称矩阵P为正定的充要条 件是P的各阶顺序主子式均大于零,即
=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos =mgx’fsin
f
x
v
h
mg
渐近稳定 平衡态
当取值为[0,90],由于v的方向与x相反，x’为负,因此上式恒 小于零。
✓ 即渐近稳定的平衡态,其正定的能量函数的导数(变 化趋势)为负。
对小球向上运动时亦可作同样分析。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(4/5)
➢ 在图中所示状态,v=-x’,由牛顿第二定律可知,其运动满足 如下方程:
m(-x’’)=mgcos-fmgsin 其中f为摩擦阻尼系数。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(3/5)
➢ 因此,有 mx’’=-mg(cos-fsin)
➢ 因此,能量的变化趋势(导数)为 V’=mx’x’’+mgx’cos
➢ 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。
定义3-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x都有V(x)>0;当且仅当x=0时,才有
V(x)=0,
➢ 则称函数V(x)为区域上的正定函数。
实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义
从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 数。由正定函数的定义,我们相应地可定义 ➢ 负定函数、 ➢ 非负定(又称半正定或正半定)函数、 ➢ 非正定函数(又称半负定或负半定)和 ➢ 不定函数。
定义3-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x)分 别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩阵P 相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □
二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义
因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为 判别对称矩阵的正定性。 ➢ 对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别 记为 P>0, P<0, P≥0, P≤0。
矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2
例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性:
1 -1 -1
P -1 3
2
-1 2 5
解 先对对称矩阵P作合同变换如下
矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2
1 -1 -1
1 0 -1
P -1 3
2
行:( 2 ) (1)( 2 )
二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性
二次型函数是一类特殊形式函数。
➢ 设V(x)为关于n维变量向量x的实二次型函数,则其可以表 示为 V ( x) a11x12 a12 x1x2 ... a1n x1xn
a22 x22 ... a2n x2 xn
数学预备知识(1/1)
1. 数学预备知识
下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预 备知识: ➢ 函数的正定性 ➢ 二次型函数和对称矩阵的正定性 ➢ 矩阵正定性的判别方法
实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义
(1) 实函数的正定性
实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。
➢ 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下 恒为负的。
2. 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义
从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零, 即运动变化的趋势为零)的状态。 ➢ 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。 ➢ 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。 ➢ 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
从直观物理意义的角度,也非常易于理解。 ➢ 由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律 可知,物体的能量将随物体运动减少, ➢ 即其导数(变化趋势)为负。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(5/5)
再如右图所示的动力学系统,其 平衡态在一定范围内为不稳定 的平衡态。
李雅普诺夫第二法(2/3)
李雅普诺夫第二法又称为直接法。 ➢ 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 ✓ 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 达到最小值。
✓ 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 量,其储存的能量将越来越大。
1) 正定函数 x12 2x22
(x1 2x2 )2 x22
2) 负定函数 x12 2x22
(x1 2x2 )2 5x12
3) 非负定函数 2x22 (x1 2x2 )2
Leabharlann Baidu
4) 非正定函数 3x12 (x1 2x2 )2
5) 不定函数 3x12 2x22 (x1 2x2 )2 (x1 2x2 )2
李雅普诺夫第一法(1/7)
3.2.1 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: ➢ 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态 附近进行线性化, ✓ 即在平衡态求其一次Taylor展开式, ✓ 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 ➢ 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
李雅普诺夫第一法(6/7)
由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 ➢ 值得指出的区别是: ✓ 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。
➢ 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,而不能推广至时变系统。
➢ 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
李雅普诺夫第二法(3/3)
在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 ➢ 数学预备知识,然后介绍一些 ➢ 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 ➢ 李雅普诺夫稳定性定理
Δ 1
p11
0
Δ 2
p11 p21
p12 0 p22
...
Δ n
|
P
|
0
其中pij为实对称矩阵P的第i行第j列元素。 (2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是P的各阶顺序主子式满足
i
0 0
i为偶数 i为奇数
i 1,2,...,n
矩阵正定性的判别方法(2/5)—矩阵定号性判定定理
定理3-2 实对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定的充 分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等 于零与小于等于零; ➢ 实对称矩阵P为不定的充分必要条件是P的特征值有正 有负。 □
因此,系统的特征方程为
1
K1
|I-A|=2+K1+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: K1>0 和 K2>0.
参看课本P168
李雅普诺夫第二法(1/3)
3.2.2 李雅普诺夫第二法
由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统。 ➢ 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法。