【数学】江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2020届高三下学期第二次学情调研(二模)数学试卷含附加题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【详解】∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1，0)，
∴双曲线
x2 a2
y2 4a
1 的顶点为(1，0)，故
a＝1.
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.
8.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S4 5S2 ， a2 2 ，则 a4 ＝_______.
1 2
BC 2
2 3
AA1
1 9
63
24 .
故答案为： 24
【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10.已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
的周期为
2，且
x [0，1]时，f
(x)
2x a,
bx 1 x 1
,
0 x 1 2 ，则
1 x1 2
a＋b＝_______.
【答案】0 【解析】
【答案】 0, 2
【解析】
【分析】
2 x 0
由函数 y
2
x
ln
x
有意义，得到
x
0
，即可求解，得到答案.
2 x 0 【详解】由题意，函数 y 2 x ln x 有意义，则满足 x 0 ，解得 0 x 2 ，
所以函数 y 2 x ln x 的定义域为 0, 2 .
故答案为 0, 2.
9.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点，则三棱锥 C—MBD 的体积为_______.
【答案】24 【解析】 【分析】
利用顶点转化的方法，由VC—MBD =VM BCD 计算出几何体的体积.
【详解】VC—MBD =VM BCD
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(wd无答案)
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合 A＝{1，2}， B＝{﹣1， a}，若 A B＝{﹣1， a，2}，则 a＝_______.(★★) 2. 若复数 z满足(1﹣ i) z＝1＋ i，其中 i是虚数单位，则 z的实部为_______.(★) 3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 _______ .(★★) 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y的值为 _______ .(★) 5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.(★★) 6. 函数的定义域为_______.(★★) 7. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y 2＝4 x的焦点是双曲线的顶点，则 a＝______.(★★) 8. 已知等比数列的前 n项和为，，，则＝_______.(★) 9. 已知正方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为6，点 M是对角线 A 1 C上靠近点 A 1的三等分点，则三棱锥 C— MBD的体积为_______.(★★) 10. 已知定义在 R上的奇函数的周期为2，且 x [0，1]时，，则 a＋ b＝_______.(★★) 11. 已知锐角满足，则＝_______.(★★) 12. 如图，在△ ABC中，∠ ABC＝， AB＝1， BC＝3，以 AC为一边在△ ABC的另一侧作正三角形 ACD，则＝ _______ .(★★★★) 13. 在平面直角坐标系 xOy中， AB是圆 O： x 2＋ y 2＝1的直径，且点 A在第一象限；圆 O 1：( x﹣ a) 2＋ y 2＝ r 2( a＞0)与圆 O外离，线段 AO 1与圆 O 1交于点 M，线段 BM与圆 O交于点 N，且，则 a的取值范围为_______.(★★★★) 14. 已知 a， b R， a＋ b＝ t（ t为常数），且直线 y＝ ax＋ b与曲线（ e 是自然对数的底数，e≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对( a， b)唯一存在，则实数 t 的取值范围为_______.二、解答题(★★★) 15. 已知△ ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，且 bsin2 A＝ asinB. （1）求 A；（2）求 cos( B＋)＋ sin( C＋)的最大值.(★★★) 16. 已知在四棱柱 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1中，底面 ABCD是菱形，且平面 A 1 ADD 1⊥平面 ABCD， DA 1＝ DD 1，点 E， F分别为线段 A 1 D 1， BC的中点.（1）求证：EF∥平面 CC 1 D 1 D；（2）求证：AC⊥平面 EBD.(★★★) 17. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C：( a＞ b＞0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过点 P(0，1)的直线 l与椭圆 C交于两点 A， B.己知在椭圆 C上存在点 Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求 Q的坐标.(★★★★) 18. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路 OE， OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A， B.现规划修建一条新路（由线段 MP，，线段 QN三段组成），其中点 M， N分别在 OE， OF上，且使得MP， QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P， Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.（1）若，求 QN的长度；（2）求新路总长度的最小值.(★★★★★) 19. 已知各项均为正数的数列的前 n项和为，，且对任意 n ，恒成立.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，，(2＜ i＜ j)成等差数列，求正整数 i， j.(★★★★★) 20. 已知函数，， m， n R. （1）当 m＝0时，求函数的极值；（2）当 n＝0时，函数在(0，)上为单调函数，求 m的取值范围；（3）当 n＞0时，判断是否存在正数 m，使得函数与有相同的零点，并说明理由. (★★) 21. 已知点 M(2，1)在矩阵 A＝对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A的特征值.(★★★) 22. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为( 为参数).以原点 O 为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为.（1）求曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（2）点 P是曲线 C上的动点，求 P到直线 l的距离的最小值.(★★★) 23. 已知 a， b， c是正数，求证：对任意 R，不等式恒成立.(★★★) 24. 如图，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD， AB＝2，AD＝ AP＝3，点 M是棱 PD的中点.（1）求二面角 M— AC— D的余弦值；（2）点 N是棱 PC上的点，已知直线 MN与平面 ABCD所成角的正弦值为，求的值. (★★★★★) 25. 已知数列中，，( n ).（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和；② 和；（2）当n≥3时，证明：.。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A U B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝_______. 2．若复数z 满足(1﹣i )z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______. 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是_______.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为_______.5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.6．函数ln y x =的定义域为_______.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝______.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝_______. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为_______.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12,?02()11,?112x a x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝_______.11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______. 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅u u u r u u u r＝_______.13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且10OM O N +=u u u u r u u u u r r ，则a 的取值范围为_______.14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e x y x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为_______.15．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bsin 2A ＝asinB .（1）求A ；（2）求cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值. 16．已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点.（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ；（2）求证：AC ⊥平面EBD .17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B .己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标.18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B .现规划修建一条新路（由线段MP ，»PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，»PQ所对的圆心角为6π.记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）.（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值.19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立.（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j . 20．已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R . （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由.21．已知点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)，求矩阵A 的特征值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.23．已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c a x x a b c--+≤++恒成立. 24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点.（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PN PC 的值.25．已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+(n N *∈). （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362ni n i i a =>-∑.参考答案1．1【解析】【分析】根据集合A B U 中的元素，判断出a 的值.【详解】∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A U B ＝{﹣1，a ，2}，∴a ＝1.故答案为：1【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2．0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z ，由此求得z 的实部.【详解】2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3．30【解析】【分析】用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率，将所得结果乘以100，求得成绩在[)80,90以内的学生人数.【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.故答案为：30【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.4．﹣1【解析】【分析】运行循环结构代码，由此计算出输出的y的值.【详解】运行程序，第一步：y＝2，x＝2；第二步：y＝﹣1，x＝﹣1；退出循环，输出的y的值为﹣1.故答案为：1-【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题. 5．2【解析】【分析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，求得男生和女生人数的比值.【详解】∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，∴男生人数与女生人数的比值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查概率的概念，属于基础题. 6．(]0,2【解析】【分析】由函数ln y x =+有意义，得到200x x -≥⎧⎨>⎩，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数ln y x =有意义，则满足200x x -≥⎧⎨>⎩，解得02x <≤，所以函数ln y x =的定义域为(]0,2.故答案为：(]0,2.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．1【解析】【分析】先求得抛物线24y x =的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得a 的值. 【详解】∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)， ∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.8．2或8【解析】【分析】根据已知条件进行化简，对12a a +是否为零分成两种情况进行分类讨论，由此求得4a 的值.【详解】∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时2422a a q ==；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8.故答案为：2或8【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.9．24【解析】【分析】利用顶点转化的方法，由=C MBD M BCD V V -—计算出几何体的体积.【详解】2311121=6243239C MBD M BCD V V BC AA -=⨯⨯=⨯=—. 故答案为：24【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.10．0【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性、周期性求得()()1,0f f 的值，由此列方程，解方程求得,a b 的值，进而求得+a b 的值.【详解】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =，∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -== ∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．2【解析】【分析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得， 23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0 解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题. 12．4【解析】【分析】取AC 的中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥.根据平面向量的线性运算以及数量积运算，将BD AC ⋅u u u r u u u r 转化为221()2BC BA -u u u r u u u r ，由此求得BD AC ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】取AC 中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥，则1()()()2BD AC BE ED AC BE AC BA BC BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222211()(31)422BC BA =-=⨯-=u u u r u u u r . 故答案为：4【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．()4【解析】【分析】 根据10OM O N +=u u u u r u u u u r r 判断出四边形1ONO M 为平行四边形，由此求得圆1O 的方程以及1AO 的长，进而判断出A 点在圆22()9x a y -+=上，根据圆22()9x a y -+=与圆221x y +=的位置关系，求得a 的取值范围.【详解】10OM O N +=⇒u u u u r u u u u r r 四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1，所以圆1O 的方程为()221x a y -+=，且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=，故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，由()222291x a y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2802A a x a a -=>⇒> 故a 的取值范围为(4).故答案为：()4【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.14．{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】设出切点坐标()000,e x x x ，根据切点在切线和曲线上，以及导数与切线的斜率的关系列方程组，由此求得+a b 关于0x 的表达式，构造函数()f x ，利用()'fx 研究()f x 的单调性，由此求得t 的取值范围.【详解】设切点为(0x ，00x x e)(1)e x y x '=+，∴00020000(1)e e e x x x a x b x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 0200e (1)x a b x x t +=-++=有唯一解，构造函数()2()1x f x e x x =-++()e (2)(1)x f x x x '=-+-，注意到2x <-时()0f x <，故()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-)U {e }. 故答案为：{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15．（1）3π（2）1 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cos A ，进而求得A 的大小. （2）用B 表示出C ，将所求表达式化为sin()3B π+，结合三角函数最值的求法，求得所求最大值.【详解】（1）∵bsin 2A ＝asinB ，∴2bsinAcosA ＝asinB ， ∴由正弦定理sin sin a b A B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1， ∴cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值为1. 【点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）连接1CD ，通过证明四边形1ED CF 是平行四边形，证得1//EF CD ，由此证得//EF 平面11CC D D .（2）通过证明DE AD ⊥，结合面面垂直的性质定理证得DE ⊥平面ABCD ，由此证得DE AC ⊥，由菱形的性质得到BD AC ⊥，从而证得AC ⊥平面EBD .【详解】（1）连结CD 1，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形， ∴A 1D 1//B 1C 1，BC //B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，∴ED 1//FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ，∴EF //平面CC 1D 1D.（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD //A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点，∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD //A 1D 1，∴DE ⊥AD ，又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1I 平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1， ∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD I DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ，∴AC ⊥平面EBD .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.17．（1）22143x y +=（2）Q (1，32)或(﹣1，32) 【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离，以及222b a c =-，求得22,,a b c ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）首先判断直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能是平行四边形，不符合题意.然后设出直线l 的方程1y kx =+，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，求得Q 点坐标并代入椭圆方程，由此求得k 的值，进而求得Q 点坐标.【详解】（1）设焦距为2c ，∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P (0，1)，设直线l 为：1y kx =+，设A (1x ，11kx +)，B (2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q (12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k ++=⋅-+=++， ∴Q (2834k k -+，2634k+)，∵点Q 在椭圆C 上， ∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q (1，32)或(﹣1，32). 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）QN 的长度为1千米（2）6π【解析】【分析】（1）连接,,CB CN CM ，通过切线的几何性质，证得四边形BCQN 是正方形，由此求得QN 的长度. （2）用θ表示出线段MP ，»PQ，线段QN 的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，»PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-++，366ππ≥+=，当tan θ=答：新路总长度的最小值为6π.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19．（1）证明见解析；2n n a =（2）i ＝4，j ＝5 【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系式证得数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此得到22n n S a +=.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n b 的表达式，由2,,i j b b b 成等差数列列方程，分成2j i ≥+和1j i =+两种情况进行分类讨论，由此求得整数,i j .【详解】（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-，∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =，∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243i i b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，∴2(243)9243i ji j +-=++-， 变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j---+->， 令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i i i i i i i i c c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为0112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查等差中项的性质，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．（1）函数()f x 有极大值﹣1，无极小值;（2）m 的取值范围为{0};（3）存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，详见解析.【解析】【分析】（1）当0m =时，利用()'f x 研究函数()f x 的单调性，由此求得函数()f x 的极值.（2）当0n =时，由()'0F x ≥或()'0Fx ≤恒成立，将m 分成02m <<，0m <，2m ≥和0m =四种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.（3）设0x 为相同的零点，由此得到00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩，进而得到000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②.通过构造函数法，结合零点存在性定理，证得①②能同时成立，由此证得存在符合题意的正数m . 【详解】（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+， ∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==， 要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)U (12m-，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12，12m -)时，()0>g x ，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)U (12，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12m -，12)时，()0>g x ，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0<g x ，x ∈(12，+∞)时，()0>g x ，不符题意； ④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩， 得00ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 由（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 21．矩阵A 的特征值为4或﹣1 【解析】 【分析】首先根据矩阵变换列方程组，解方程组求得,a b 的值，也即求得矩阵A ，然后根据特征值的求法，求得矩阵A 的特征值. 【详解】∵点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1. 【点睛】本小题主要考查矩阵特征值的求法，考查矩阵变换，属于基础题.22．（1）2214x y +=；0x y +-（2【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=求得曲线C 的普通方程，由直角坐标和极坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）设出P 点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得P 到直线l 的距离的表达式，根据三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最小值. 【详解】（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，由sin()4πρθ+=sin cos 22ρθρθ+=化简得直线l 的普通方程为0x y +-=. （2）设P (2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用参数求最值，属于中档题. 23．证明见解析； 【解析】 【分析】先由基本不等式求得b c aa b c++的最小值，然后根据绝对值三角不等式证得不等式成立. 【详解】对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”，任意x ∈R ，由绝对值不等式得2121(2)(1)3x x x x x x --+≤--+≤--+= 当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x ∈R ，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立. 【点睛】本小题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式，属于中档题.24．（1（2）14PN PC = 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据平面ACD 和平面MAC 的法向量，计算出二面角M AC D --的余弦值.（2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，由此求得MN u u u u r，根据直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值列方程，解方程求得λ的值，进而求得PNPC. 【详解】（1）以{AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，则各点的坐标为A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，P (0，0，3)，M (0，32，32)， AP u u u r ＝(0，0，3)，AC uuu r ＝(2，3，0)，AM u u u u r ＝(0，32，32)因为P A ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n r ＝(x ，y ，z )，所以00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n r ＝(3，﹣2，2)，∴cos <AP u u u r ，n r >＝AP 17AP n n ⋅⋅u u u r r u u u r r ，∴二面角M —AC —D； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，其中(2,3,3)PC =-u u u r，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+u u u u r u u u r u u u r ，∵平面ABCD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,AP MNAP MN AP MNλ-+⋅<>==⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD22，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+， 化简得41λ=，即14λ=，∴14PN PC =. 【点睛】本小题主要考查面面角的求法，考查根据线面角求线段长度的比值，考查空间想象能力，考查运算求解，属于中档题. 25．（1）①2a ＝362⨯；②3a ＞336()2⨯（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，比较出①②中两数的大小关系.（2）首先利用数学归纳法证明当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，然后利用放缩法，证得所要证明的不等式成立. 【详解】（1）①∵22166393a =⨯-+=，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵231993213a =⨯-+=，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯ 其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---++++⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑L L ，131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项，考查数学归纳法证明不等式，考查放缩法证明不等式，考查等比数列前n 项和，属于难题.。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三二模语文试卷(精品)
苏锡常镇四市高三教学情况调研语文一、语言文字运用(12分)1.在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是(3分)和同行相比，郭开先生的精神也是的。
多年来，他不囿陈见，著述严谨，哪怕是一个脚注，一个标点，他都细加推敲，，在业内赢得了良好的声誉。
A.质疑当仁不让无微不至B.置疑不遑多让无微不至C.置疑当仁不让一丝不苟D.质疑不遑多让一丝不苟D2.下列楹联与所吟咏的名胜古迹对应正确的一项是(3分)①此地似曾游，想当年列坐流觞未尝无我仙缘难逆料，问异日重来修禊能否逢君②一楼萃三楚精神，云鹤俱空横笛在二水汇百川支流，古今无尽大江流③杰阁重开，依然万里群峰小斯楼更上，犹觉千秋此地高④我辈复登临，目极湖山千里而外奇文共欣赏，人在水天一色之中A.①醉翁亭②岳阳楼③鹳雀楼④蓬莱阁B.①兰亭②黄鹤楼③鹳雀楼④滕王阁C.①醉翁亭②黄鹤楼③天一阁④滕王阁D.①兰亭②岳阳楼③天一阁④蓬莱阁B3.在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是(3分)月光洒满庭院，，，，。
，，。
她脚下的绿茵和近旁的花草也披了月光，柔软无声地在她脚下延展。
①泛着皎洁的月光②承载着银色的光华③在那里荡漾④喷水池里的微波⑤远处枝叶扶疏的桂树⑥轻逸而静寂⑦烘出淡灰的影A.④②⑥⑤⑦①③B.⑤②⑦⑥⑦①③C.⑤①⑦④②③⑥D.④①③⑦⑤②⑥B4.下列诗句中，与右图漫画的情境最吻合的一项是(3分)A.桑柘影斜春社散，家家扶得醉人归。
B.送到江头惆怅尽，归时重上去时船。
C.田翁烂醉身如舞，两个儿童策上船。
D.蓑笠双童傍酒船，湖山相引到房前。
C二文言文阅读(20分)阅读下面的文言文，完成5~8题。
盛溪绿生志胡胤嘉吾乡吕水山先生，通博异才，微及艺事，率尔造极。
书法精劲，画无尘埃气。
余尝得其所写《双柑图》，枝叶扶映，生气可摘。
性好奖成人材，凡有片长，引接不倦。
我家乡的吕水山先生，通达渊博，才能特出，稍一接触艺术之事，就能达到最高境界。
书法精妙道劲，绘画没有尘俗之气。
2020年4月江苏省七市(南通泰州扬州徐州淮安连云港宿迁)2020届高三第二次调研联考(二模)生物试题及答案
绝密★启用前江苏省七市(南通泰州扬州徐州淮安连云港宿迁) 2020届高三毕业班第二次教学质量调研联考(二模)生物试题2020年4月本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分120分，考试时间100分钟。
第Ⅰ卷(选择题共55分)一、单项选择题：本部分包括20小题，每小题2分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题意。
1. 下列有关人体细胞中元素和化合物的叙述，正确的是()A. 碳元素在活细胞中含量最多B. Na＋在细胞内的含量远比细胞外高C. 血红蛋白中含有Fe元素D. 不同组织细胞中mRNA的种类相同2. 高等植物细胞内元素转移的过程，只能发生在细胞器中的是()A. CO2中的碳元素转移到葡萄糖B. H2O中的氢元素转移到葡萄糖C. 丙酮酸中的氧元素转移到CO2D. ATP中的磷元素转移到RNA3. 下列有关细胞中酶与ATP的叙述,错误的是()A. 有些酶分子的组成元素与ATP相同B. 酶的合成离不开ATP,ATP的合成也离不开酶C. 动物小肠中消化蛋白质需要酶和ATP参与D. 线粒体和叶绿体既能合成酶也能合成ATP4. 下列有关物质进出细胞的叙述,正确的是()A. 小肠上皮细胞吸收氨基酸和葡萄糖都需要载体B. 性激素进入靶细胞的过程需要载体和能量C. 植物根细胞吸收Ca2＋的速率与土壤溶液中Ca2＋浓度成正比D. 神经递质释放需消耗ATP,属于主动运输5. 肿瘤分良性肿瘤和恶性肿瘤,具备扩散能力的肿瘤就是恶性肿瘤,即癌症。
下列有关癌细胞的叙述,错误的是()A. 肿瘤是基因突变导致细胞异常增殖的结果B. 癌细胞表面没有糖蛋白导致其容易扩散C. 癌细胞在体外培养时可呈多层重叠生长D. 可以利用抗体对癌症进行靶向治疗和免疫治疗6. 已知一个基因型为AaBb(两对等位基因独立遗传)的精原细胞经减数分裂形成的4个精子的基因组成为AB、Ab、ab、ab。
下列示意图能解释这一结果的是()7. 下列有关双链DNA结构和复制的叙述,正确的是()A. 不同DNA分子中嘌呤数与嘧啶数的比例具有特异性B. DNA的两条脱氧核苷酸链间通过磷酸二酯键相互连接C. 细胞中DNA复制离不开解旋酶、Taq酶、引物、dNTP等D. 边解旋、边配对可以降低DNA复制的差错8. 右表是对人类某种单基因遗传病的调查结果,相关分析错误的是()A. 该调查对家庭采取随机抽样B. 根据第一类家庭调查结果可推测该病是伴X染色体隐性遗传病。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
15．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin 2A＝asinB .
（1）求A；
（2）求cos（B＋）＋sin （C＋）的最大值.
63
【答案】（1） （2）1
3
【解析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cosA，进而求得A
的大小.
（2）用B表示出C，将所求表达式化为sin（B ），结合三角函数最值的求法，求得
化简得3sin2
2sin
cos
2cos
0，两边同时除以cos2得，
3tan2
2tan
1
0，∵
为锐角，∴
tan>0
解得tan
1
3
故答案为：2
点睛】 本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基 础题.
∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另
2
uuur uuur
【解析】取AC的中点E，连接ED,BE，则ED AC.根据平面向量的线性运算以
uuur uuur1uuur2uuur2uuur uuur
及数量积运算，将BD AC转化为(BC BA )，由此求得BD AC的值.
【详解】 取AC中点E，连接ED , BE，则ED AC，则
uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuur1uuur uuur uuuruuur
2x
a,?0
1
x
2，则a＋b＝
bx
11
,?
x1
x
12
f (x)
答案】0
程求得a,b的值，进而求得a b的值.
详解】
故答案为：0
江苏省苏锡常镇四市2021届高三下学期3月一模考试 化学 试题 (含答案)
2020~2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）化 学 2021年3月 注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共100分，考试时间75分钟。
2．请把选择题和非选择题的答案均填写在答题卷的指定栏目内。
可能用到的相对原子质量：H -1 C -12 O -16 K -39 Mn -55 Fe -56一、单项选择题：本题包括13小题，每小题3分，共计39分。
每小题只有一个选项最符合题意。
1．2020年我国已提前完成向国际社会所承诺的碳减排目标。
下列措施不．利于实现碳减排的是 A ．加大化石能源占能源消费比重 B ．推进绿色低碳的生产生活方式 C ．开展节能减排和新能源的开发D ．加强二氧化碳的捕集和再利用2．高纯度HF 刻蚀芯片的反应为：4HF ＋Si ＝SiF 4↑＋2H 2O。
下列有关说法正确的是 A ．(HF)2的结构式：H －F －F －H B ．H 2O 的比例模型：C ．SiD ．SiF 4的电子式： 3．氧化物在生产、生活中有广泛应用。
下列氧化物的性质与用途具有对应关系的是 A ．Al 2O 3有两性，可用于制造耐高温陶瓷 B ．ClO 2有氧化性，可用于自来水消毒C ．SiO 2硬度大，可用于制备光导纤维D ．SO 2有还原性，可用于漂白有色织物阅读下列资料，完成4-6题：氯气是常用的化工原料，可用作消毒剂和漂白剂；实验室用MnO 2和盐酸反应可制取氯气。
氯气有毒，泄漏时需要妥善处理。
4．下列有关氯气的说法不正确．．．的是 A ．Cl 2是由共价键构成的非极性分子 B ．制备漂白粉的方法是用石灰水吸收Cl 2 C ．利用湿润的淀粉-KI 试纸可检验Cl 2D ．工业上可用电解饱和食盐水制得Cl 25．实验室制取氯气时，下列实验能达到相应目的的是二氧化锰A ．生成Cl 2B ．净化Cl 2C ．收集Cl 2D ．吸收Cl 2尾气6．自来水厂一种预防和处理Cl 2泄漏的方法如题6图所示。
江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试题Word版含解析
江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.a的值为____．【答案】4【解析】【分析】a值即可a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.（____．【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求故实部为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2种，甲、乙两人中恰有1种，【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.___．【解析】【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.___．【解析】【分析】先由平移得f(x)【详解】=2sin(3x+【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.则b的值为___．【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为AB的长为____．【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣°＝28，解得即【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，则球O的表面积为____m2．【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，∴2R则球O的表面积S＝4πR2＝29π【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O 的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R满足上，___．【答案】5【解析】【分析】【详解】的周期为4，故f(x)关于（2,0）中心对称，又f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.，b，的解集为{ x | 3 < x < 4}___．【解析】【分析】由不等式解集知a<0,将b,c分别用a 表示代入利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,，当且仅当-24a=即故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B点P（3，1，M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【解析】【分析】设AB中点为M将向量坐标【详解】设AB中点为②，将【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.，从集合；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则____．【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为4344故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.，其中（1（2【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1（2展开即可代入求解【详解】（1∥，，所以．解得．（2）因为，所以，，解得【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题16.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,进而BB1⊥A1B1,证得A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是基础题.17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM 5 m，BC 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH（1）求屋顶面积S关于（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当【答案】（1（2【解析】【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM 平面ABCD，得FH⊥HM．在R t△FHM中，HM 5因此△FBC所以S)．（2）在Rt△FHM，所以主体高度为记，所以，，得列表：为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1C2C2与C1（1）求椭圆C2的标准方程；（2C2上一点．C1，且直线C1均有且只有一个公共点，求证：【答案】（1（2）①见解析，②见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆b即可；（2）①当直线OP斜率不存在时，得OP斜率存在时，设直线OP，推求；②，直线的方程为，记，则C1的方程得，由，得，再将代入得由韦达定理及点P【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，C2（2）①1°当直线OP斜率不存在时，2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为代入椭圆C1的方程，消去y，由题意，同号，所以为定值．，所以直线的方程为代入椭圆C1的方程，消去yC1有且只有一个公共点，k．又点在C2上，所以【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，熟练运用韦达定理，及构建二次方程思想是关键，要求较高的计算能力，是中档题19.（1时，求函数的极值；（2）在的值；（3【答案】（1的极大值为；极小值为（2（3）见解析【解析】【分析】（1（2（3）假设存在一条直线的图象有两个不同的切点同一直线理，，令构造函数，求导求得盾，说明假设不成立，则不存在【详解】（1）时，函数的定义域为，令得，或；极小值为（2）依题意，切线方程为变形得在，（当且仅当，，从而（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点的方程为：整理得，消去得，．，由与，得，所以为上的单调减函数，所以【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.20.n项和为S n n项和为T n，且（1（2（3的所有值．【答案】（1（21为公比的等比数列；（3）0【解析】【分析】（1）令n=1,n=2列关方程求解即可；（2）因①，③n=1比数列（3）由（2）对任意的，当为奇数时恒成立，和，当为奇数时，单调减，（*），说明上面两个不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有【详解】（1（2①②④又由（1，1为首项，为公比的等比数列．（3）由（2．，对任意的，当为奇数时，，因为所以，所以（*），时，有，所以，当为奇数时，时，有不符．综上，实数的所有值为0．【点睛】本题考查数列综合问题，由递推关系求数列通项公式，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，准确计算是关键，是难题21.【选做题】A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy为参数)，椭圆C的参数方程为C交于A，B两点，求线段AB的长．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x，y，z【答案】A B C：见解析【解析】【分析】A由矩阵的运算求解即可；B坐标，由弦长公式求得AB的长；C．由柯西不等式证明即可【详解】A.矩阵的特征多项式的另一个特征值为B，．C．由柯西不等式得，，所以当且仅当“”时取等号．【点睛】本题考查矩阵运算，直线的参数方程，弦长公式，柯西不等式证明不等式，熟练掌握矩阵运算，柯西不等式是关键，是基础题【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．22.AB 1，AP AD 2.（1所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC M，N的位置．【答案】（1（2）M为AB的中点，N为PC的中点【解析】【分析】（1）由题意知，AB，AD，AP平面PCD的一个法向量为（2PCD M,N的位置【详解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．设平面PCD不妨取则．所以平面PCD设直线PB与平面PCD即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（21）知，平面PCDPCD所以M为AB的中点，N为PC的中点．【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题23.证明：（1（2，【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1（2）运用数学归纳法证明即可【详解】（1（2）①当时，由（1）可知，命题成立；均为非负实数，且所以【点睛】本题考查数学归纳法证明不等式，基本不等式证明问题，准确计算，严密的推理是关键，是中档题。
江苏省苏锡常镇四市2024届高三下学期教学情况调研(二)(二模)化学试题
S2O3
2
3
而溶解。氯化碘
ICl
性质与卤素单质相似，常用作分析化学试剂。下列说法正确的是
A．基态 F 原子的核外电子排布式为 2s2 2p5
B． KHF2 中既含有离子键，又含有共价键
C．
ClO
2
、
ClO
3
和
ClO
4
中
O
Cl
O
键角依次逐渐减小
D． S2O32 (结构如上图)中两个 S 原子均可作配位原子
(须用 NBS 和 AlBN，无机试剂和有机溶剂任用，
16．实验室用磷矿脱镁废液制备 MgHPO4 3H2O 的实验过程可表示为
(1)磷矿脱镁废液中主要含
H
2
PO
4
及少量
Mg
2
、
Ca
2
、
Fe3
、
Al3
和
SO
2 4
。
①向废液中加入 NaOH 溶液调节 pH 为 4.5 ，可达到 Ca2、Fe3 和 Al3 的最佳沉淀效果。其中 Ca2 转化为
试卷第 1页，共 9页
的混合物，可制得 HCl 。氯还可形成 HClO2 、HClO3 、HClO4 等多种含氧酸。ClO2 是 Al 级高效安全灭菌消毒剂；
Cl2 与 CH4 反应可制备有机溶剂 CCl4 。在照相底片的定影过程中，底片上未曝光的 AgBr 浸入 Na 2S2O3 溶液转变
成
Ag
C C．制取粗硅： SiO2 Si
高温
CO D．冶炼生铁： Fe2O3 Fe
高温
9．非天然氨基酸 Y 是一种重要的药物中间体，其部分合成路线如下：
下列说法不．正．确．的是 A． X 分子存在顺反异构体 B． Y 分子中含有 2 个手性碳原子 C． X Y 的反应类型为还原反应 D． Y 能与 NaOH 反应，不能与 HCl 反应
江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试卷
2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数 学 2023.03注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答字写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∪C R B ＝A ．{x |x ＜2}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ≤1}D ．R2．两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为s A ＝(4，3)，s B ＝(－2，6)，则s B 在s A 上的投影向量的长度为A ．10B ．102 C ．1010D ．2 3．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点不同”，则P (B |A )＝A ．79B ．89C ．911D ．10114．已知正四面体P －ABC 的棱长为1，点O 为底面ABC 的中心，球O 与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O 的半径为A ．612 B ．69 C ．29 D ．235．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x ＋sin x ，则不等式＜e π的解集是A ．(1＋π2，＋ )B ．(0，1＋π2)C ．(0，1＋e π2)D ．(1－π2，1＋π2)6．在△ABC 中，∠BAC ＝2π3，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，△ABD 的面积是△ADC面积的3倍，则tan B ＝A ．37 B ．35 C ．335 D ．6－3337．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (c ，0)，点P ，Q 在直线x ＝a 2c 上，FP ⊥FQ ，O为坐标原点，若→OP ·→OQ ＝2→OF 2，则该椭圆的离心率为A ．23B ．63C ．22D ．328．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，若对任意正整数n ，S n ＋1＝－3a n ＋1＋a n ＋3，S n ＋a n ＞(－1)n a ，则实数a 的取值范围是A ．(－1，32)B ．(－1，52)C ．(－2，52) D ．(－2，3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，分数不低于X 即为优秀，已知优秀学生有80人，则(第9题图)A ．a ＝0.008B ．X ＝120成绩(分)C ．70分以下的人数约为6人D ．本次考试的平均分约为93.6 10．已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋1，则A ．a ＋b 的最小值为2＋2 2B ．ab 的最小值为1＋ 2C ．1a ＋1b 的最小值为22－2 D ．2a ＋4b 的最小值为16 211．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)＋cos ωx (ω＞0)，则下列结论正确的有A ．将函数y ＝2sin ωx 的图象向左平π6个单位长度，总能得到y ＝f (x )的图象B ．若ω＝3，则当x ∈[0，2π9]时，f (x )的取值范围为[1，2]C ．若f (x )在区间(0，2π)上恰有3个极大值点，则136＜ω≤196D ．若f (x )在区间(π3，5π12)上单调递减，则1≤ω≤16512．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1上的动点，满足D 1F ＝C 1E ，则 A ．BF 与DE 垂直B ．BF 与DE 一定是异面直线C ．存在点E ，F ，使得三棱锥F －A 1BE 的体积为154D ．当E ，F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点时，平面AEF 截正方体所得截面的周长为313＋32 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 13．(2－1x)(x －2)5的展开式中x 2的系数为 ▲ ．14．在△ABC 中，已知→BD ＝2→DC ，→CE ＝→EA ，BE 与AD 交于点O ．若→CO ＝x →CB ＋y →CA (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝ ▲ ．15．已知圆C ：x 2－2x ＋y 2－3＝0，过点T (2，0)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，点P 在圆C上，若CP //AB ，→P A ·→PB ＝12，则|AB |＝ ▲ ．16．已知函数f (x )＝x e x －e x －x 的两个零点为x 1，x 2，函数g (x )＝x ln x －ln x －x 的两个零点为x 3，x 4，则1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4＝ ▲ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2＋a 3＋a 4＝39，a 5＝2a 4＋3a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝na n，求{b n }的前n 项和T n ．▲ ▲ ▲18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋sin2A ＝(3tan B ＋2)cos2A ． (1)若C ＝3π4，求tan B 的值；(2)若A ＝B ，c ＝2，求△ABC 的面积．▲ ▲ ▲19．(12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ，侧面A 1B 1BA 为菱形，∠ABB 1＝π3，A 1B ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，E 是AC 的中点． (1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)点P 在线段A 1E 上(异于点A 1，E )，AP 与平面A 1BE 所成角为π4，求EPEA 1的值．(第19题图)▲ ▲ ▲20．(12分)某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a %，若逐个化验需化验2000次．为减轻化验工作量，随机按n 人－组进行分组，将各组n 个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n 个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次．假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立． (1)若a ＝0.2，n ＝20，试估算该小区化验的总次数；(2)若a ＝0.9，每人单独化验一次花费10元，n 个人混合化验一次花费n ＋9元．求n 为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小． (注：当p ＜0.01时，(1－p )n ≈1－np ．)▲ ▲ ▲21． (12分)已知直线l 与抛物线C 1：y 2＝2x 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与抛物线C 2：y 2＝4x 交于两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中A ，C 在第一象限，B ，D 在第四象限． (1)若直线l 过点M (1，0)，且1|BM |－1|AM |＝22，求直线l 的方程； (2)①证明：1y 1＋1y 2＝1y 3＋1y 4；②设△AOB ，△COD 的面积分别为S 1，S 2(O 为坐标原点)，若|AC |＝2|BD |，求S 1S 2．▲ ▲ ▲22．(12分)已知定义在(0，＋∞)上的两个函数f (x )＝x 2＋14，g (x )＝ln x ．(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值；(2)设直线y ＝－x ＋t (t ∈R )与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )分别交于A ，B 两点，求|AB |的最小值．▲ ▲ ▲。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【答案】30
【解析】用 减去成绩在 以外的学生的频率，将所得结果乘以 ，求得成绩在 以内的学生人数.
【答案】24
【解析】利用顶点转化的方法，由 计算出几何体的体积.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10．已知定义在R上的奇函数 的周期为2，且x [0，1]时， ，则a＋b＝_______.
【答案】0
【解析】根据函数 的奇偶性、周期性求得 的值，由此列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线 的顶点，则a＝______.
【答案】1
【解析】先求得抛物线 的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得 的值.
输出的y的值为﹣1.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题.
5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.
【答案2
【解析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，求得男生和女生人数的比值.
高考数学母题解密专题01 集合及其运算附解析(江苏专版)
专题01 集合及其运算【母题来源一】【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =__▲___.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算.∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =，故答案为：{}0,2.【名师点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．【母题来源二】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则 A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源三】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B = ▲ ．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】 这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}A B x x A x B =∈∈且.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（2020届江苏省苏州市吴江区高三下学期五月统考数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，则AB =______.【答案】{}4【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，所以{}4A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．（江苏省无锡市、常州市2019-2020学年高三下学期5月联考数学试题）已知集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=__________．【答案】{}0,1,2,4 【解析】集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =， ∴{}0,1,2,4M N ⋃=.故答案为：{}0,1,2,4.【点睛】本题考查并集及其运算，属于基础题.3．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．4．（2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第二次调研考试数学试题）已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______.【答案】9 【解析】集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，∴54a -=，则a 的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.5．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 6．（2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题）已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．7．（江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县2020届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =.若{4}A B ⋂=，则实数a 的值为______.【答案】4【解析】{}4A B ⋂=4A ∴∈且4B ∈4a ∴=【点睛】本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题.8．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）集合{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，若A B B ⋃=，则x =_________________．【答案】0【解析】∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，又{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，∴31x =，∴0x =，故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的并集运算的应用，属于基础题．9．（江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.10．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【答案】±1【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故答案为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.11．（2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考数学试题）设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =___________.【答案】{}2,0-【解析】由已知，{}|1B x x =<，所以AB ={}2,0-. 故答案为：{}2,0-【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12．（江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题）若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}A B m =，则实数m 的值为_______.【答案】1- 【解析】∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．13．（江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．14．（江苏省淮安市清浦中学2019-2020学年高三下学期5月阶段性检测数学试题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．15．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题）设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】{}{}0,1,2,0,1U A =={}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.16．（2020届江苏省苏州市常熟市高三阶段性抽测三数学试题）已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.【答案】(]2,4 【解析】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.故答案为：(]2,4.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.17．（2020届江苏省南通市高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B⋂=.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
江苏省苏锡常镇四市2020┄2021届高三下学期教学情况调研一 化学Word版 含答案
2020┄2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）化 学 3注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分。
考试时间100分钟。
2．请把答案写在答题卡的指定栏目内。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Al-27 Mn-55 Ni-59 Ag-108选择题（40分）单项选择题：（本题包括10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意。
） 1．我国科学家制得了SiO 2超分子纳米管，微观结构如图。
下列叙述正确的是 A ．SiO 2与干冰的晶体结构相似 B ．SiO 2耐腐蚀，不与任何酸反应 C ．工业上用SiO 2制备粗硅D ．光纤主要成分是SiO 2，具有导电性 2．下列关于化学用语的表示正确的是A ．HClO 的电子式：B ．中子数为16的硫原子：C ．K +的结构示意图：D ．对硝基甲苯的结构简式：3．25℃时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是 A ．pH ＝1的溶液中：Na ＋、NH 4＋、NO 3—、ClO — B ． ＝10—10的溶液中：K +、Ba 2+、NO 3—、Cl —C ．0.1 mol ·L —1NaAlO 2溶液中：Na ＋、Al 3+、HCO 3—、SO 42—D ．常温下，在c （H +）水·c （OH —）水＝10—26的溶液中：K ＋、Fe 2+、Cl —、NO 3— 4．右图是金属镁和卤素单质（X 2）反应的能量变化示意图。
下列说法正确的是 A ．由MgCl 2制取Mg 是放热过程B ．热稳定性：MgI 2＞MgBr 2＞MgCl 2＞MgF 2C ．常温下氧化性：F 2＜Cl 2＜Br 2＜I 2D ．由图可知此温度下MgBr 2（s ）与Cl 2（g ）反应的热化学方程式为：MgBr 2（s ）＋Cl 2（g ）=MgCl 2（s ）＋Br 2（g ），ΔH ＝—117kJ·mol —1 5．下列物质性质与应用对应关系不．正确．．的是 A ．生石灰能与水反应，可用于实验室干燥氯气B ．二氧化氯具有强氧化性，可用于自来水的杀菌消毒C ．常温下，铝与浓硫酸发生钝化，可用铝槽车贮运浓硫酸D ．钠是一种具有强还原性的金属，可用于冶炼钛、锆、铌等金属 6．下列有关实验装置进行的相应实验，不．能．达到实验目的的是A ．用装置甲制取氯气B ．用装置乙除去氯气中的少量氯化氢和水蒸气C ．用装置丙可证明Cl 2的氧化性强于SD ．用装置丁可以完成“喷泉”实验7．设N A 为阿伏伽德罗常数的值。
江苏省苏锡常镇四市2021届高三下学期5月教学情况调研(二)英语试题(含答案评分标准听力原文)
江苏省苏锡常镇四市2020-2021学年高三教学情况调查（二）英语2021年5月第一部分：听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题, 从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后, 你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.How soon will the package arrive with EM?A. In about two weeks.B. In less than two days.C. In more than three days.2.What will the man do next week?A. Give a report.B. Make a presentation.C. Take a rest.3.What does the women advise the man to do?A. Find the article at the reference desk.B. Read the article on the computer.C. Turn to the librarians for help.4. What will the woman probably do?A. Cancel her membership.B. Rush to catch a busC. Call the man back later.5. what do we learn from the conversation?A. The woman didn't like classical music.B. The man didn’t think highly of the conductor.C. The conductor didn't like the choice of the music.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(二) 地理 答案 (1)
2019-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）地理参考答案及评分标准2020.05 一、选择题(共60分)(一)单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共36分。
1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．A 9．D10．C 11．B 12．D 13．C 14．D 15．C 16．B 17．A 18．C (二)双项选择题:本大题共8小题,每小题3分，共计24 分。
19．AD 20．CD 21．AD 22．AB23．AC 24．CD 25．BD 26．AC二、综合题:本大题分必做题(第27题~第29题)和选做题(第30题)，共计60 分。
27．（13分）（1）自东南向西北高山冰雪融水内流区（3分）（2）莲湖中部岩浆侵入；侵入规模加大乃至喷出；湖床抬升。
（3分）（3）风力（1分）托素湖为内流湖；湖水蒸发，盐分积累。
（2分）B点靠近河流入湖口，有淡水注入。
（1分）（4）全球变暖，入湖水量减少，蒸发加剧；河流M处地壳抬升，湖水无法向外排泄；流域内生产生活用水量增大。
（3分）28．（12分）（1）纬度高，生长周期长；成熟期降水少，光照充足，昼夜温差大（2分）。
（2）大荔冬枣成熟期为9月份，此时该地降水量较多；连续阴雨或暴雨天气会导致冬枣吸收的水分过多，出现裂果现象。
（2分）（3）大荔冬枣成熟早，上市早；距我国东部市场和国际市场较远（2分）。
大荔冬枣能够抢先占有国内市场，销售价格高（1分）。
（4）加大科技投入，提高冬枣品质；加强市场营销，打造品牌优势；延长产业链，增加附加值；整合旅游文化，坚持多元发展；完善基础配套，加强区际合作。
（5分）29．（15分）（1）太平洋旱受东北信风控制；北部有山地，阻挡海洋水汽（4分）（2）地处南北美洲航海、航空中点；拥有巴拿马运河，是南北美洲大陆东西联系的重要通道；旅游业、航运业发达，客货运量较大。
（3分）（3）我国经济快速发展，从美洲大量进口农矿产品；海运运量大，运价低，适宜大宗商品运输；巴拿马运河地理位置优越；“一带一路”倡议积极推动双边合作。
江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2019届高三年级二模联考数学试题
绝密★启用前江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2019届高三年级第二次高考模拟联考数学试题(满分160分,考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．1. 已知集合A ＝{0,1,2},B ＝{x|－1<x<1},则A ∩B ＝________．2. 已知i 为虚数单位,则复数(1－2i)2的虚部为________．3. 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为________．4. 已知箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球,一次摸出2只球,则摸到的2只球颜色相同的概率为________．5. 如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图,已知从左到右的前3组的频率成等差数列,则第2组的频数为________．6. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值是________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤0，2x －1， x>0，若f(a －1)＝12,则实数a ＝________． 8. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题“今有马行转迟,次日减半疾,七日行七百里”,意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半,七天一共行走了700里,则这匹马在最后一天行走的里程数为________．9. 已知圆柱的轴截面的对角线长为2,则这个圆柱的侧面积的最大值为________．10. 设定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y ＝3cos 2x ＋2的图象交于点P,则点P 到x 轴的距离为________．11. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知5a ＝8b,A ＝2B,则sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝________．12. 若在直线l ：ax ＋y －4a ＝0上存在相距为2的两个动点A,B,在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点C,使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点),则实数a 的取值范围是________．13. 在△ABC 中,已知AB ＝2,AC ＝1,∠BAC ＝90°,D,E 分别为BC,AD 的中点,过点E 的直线交AB 于点P,交AC 于点Q,则BQ →·CP →的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝x 2＋|x －a|,g(x)＝(2a －1)x ＋aln x,若函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题,共计90分．解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图,在三棱锥DABC 中,已知AC ⊥BC,AC ⊥DC,BC ＝DC,E,F 分别为BD,CD 的中点．求证：(1) EF ∥平面ABC ；(2) BD ⊥平面ACE.16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(2cos α,2sin α),b ＝(cos α－sin α,cos α＋sin α)．(1) 求向量a 与b 的夹角；(2) 若(λb －a )⊥a ,求实数λ的值．。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(带答案解析)
（2）过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标.
18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP， ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q， 所对的圆心角为 .记∠PCA＝ （道路宽度均忽略不计）.
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另一侧作正三角形ACD，则 ＝_______.
13．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且 ，则a的取值范围为_______.
（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为 ，求 的值.
25．已知数列 中， ， (n ).
（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和 ；② 和 ；
（2）当n≥3时，证明： .
参考答案
1．1
【解析】
【分析】
根据集合 中的元素，判断出 的值.
【详解】
∵集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，且A B＝{﹣1，a，2}，
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.
4．﹣1
【解析】
【分析】
运行循环结构代码，由此计算出输出的 的值.
【详解】
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(二)数学试题含附加题(解析版)
江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnf x x x=-+的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214x ya a-=的顶点，则a＝．8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，425S S=，22a=，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()f x的周期为2，且x∈[0，1]时，12, 02()11,112x a xf xbxxx⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a＋b＝．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意x∈R，不等式21b c ax xa b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．（1）求二面角M—AC—D的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e-){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()23B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=时取“＝”，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n nS S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立，令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min所以P 到直线l ． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑． 解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。