三视图复习

2．求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算． (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更 容易，或是求出一些体积比等． (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计 算体积的几何体.
「对 点 训 练」 1．(2018·沈阳模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
解析：由题意知四棱锥的底面 EFGH 为正方形，其边长为 22，即底面面积为12，由
正方体的性质知，四棱锥的高为12.故四棱ห้องสมุดไป่ตู้ M－EFGH 的体积 V＝31×21×12＝112. 答案：112
A．17π C．20π
B．18π D．28π
解析：由三视图可知，该几何体是一个球被截去81后剩下的部分，设球的半径为 R， 则该几何体的体积为87×43πR3，即238π＝87×43πR3，解得 R＝2.故其表面积为78×4π×22＋ 3×41×π×22＝17π.故选 A.
答案：A
5．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
「对 点 训 练」 1．(2018·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则 三棱锥 A－BCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )
解析：正视图和俯视图中棱 AD 和 BD 均看不见，故为虚线，易知选 A. 答案：A
2．某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该 几何体的侧视图的面积为( )
A.125 C.32＋3 3
B．6＋ 3 D．4 3
解析：由题图可知该几何体的侧视图如图，则该几何体的侧视图的面积为 3×2＋12 × 3× 3＝125，故选 A.
答案：A
3．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形 的个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
A．90π C．42π
B．63π D．36π
解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为 6，高为 14 的圆 柱，所以该几何体的体积 V＝21×32×π×14＝63π.故选 B.
答案：B
6．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球
的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π
B．34π
π C.2
D．π4
解析：设圆柱的底面半径为 r，则 r2＋122＝12，解得 r＝ 23，∴V 圆柱＝π× 232×1
＝34π，故选 B. 答案：B
●考点一 空间几何体的三视图 【例 1】 (1)(2018·兰州模拟)如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个 顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体 ABCD 的正视图、侧视图、俯视图是 (用①②③④⑤⑥代表图形)( ) A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
解析：由圆柱的三视图及已知条件可知点 M 与点 N 的位置如图 1 所示，设 ME 与 FN 为圆柱的两条母线，沿 FN 将圆柱的侧面展开，如图 2 所示，连接 MN，MN 即为 从 M 到 N 的最短路径，由题意知，ME＝2，EN＝4，∴MN＝ 42＋22＝2 5.故选 B.
答案：B
3．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形 和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各 个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
解析：由三视图得几何体的直观图，如图．
其中 SD⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1，故△SDC， △SDA 为直角三角形．∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面 SDA，∴AB ⊥SA，故△SAB 是直角三角形，
从而 SB＝ SD2＋AD2＋AB2＝3，易知 BC＝ 22＋12＝ 5，SC＝ 22＋22＝2 2，则 SB2≠BC2＋SC2，故△SBC 不是直角三角形，故选 C.
(2)(2018·西安模拟)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD ⊥平面 CBD，形成的三棱锥 C－ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为 ()
1 A.2
2 C. 4
B．
2 2
D．14
[解析] (1)正视图应为边长为 3 和 4 的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应 为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为 4 和 5 的长方形，且侧视图中左上到右下的 对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为 3 和 5 的长方形，且俯视图中左上 到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选 B.
答案：C
(3)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 5 C．56＋12 5
B．60＋12 5 D．30＋6 5
(3)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，还原该三棱锥 P－BCD，易得 BD＝PB
＝ 41，PD＝2 5，∴S△PBD＝21×2 5× 又易得 S△BCD＝21×4×5＝10，
空间几何体的三视图、表面积与体积
2．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上 的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在 此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 17 C．3
B．2 5 D．2
412－22 52＝6 5，
S△BCP＝12×BC×PC＝10，
S△PCD＝21×CD×CC1＝10，
∴该三棱锥的表面积是 30＋6 5.
规律方法 1．求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形 平面化，这是解决立体几何的主要出发点． (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体， 先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．
2 A.3 C．2
B．34 D．83
解析：根据该三棱锥的三视图可以看出该三棱锥底面三角形一边长是 2，该边上的 高也是 2，三棱锥的高也是 2，其直观图如图为三棱锥 A－BCD，则其体积 V＝31×12 ×2×2×2＝43.故选 B.
答案：B
3．(2018·天津卷)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正 方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M－EFGH 的体积为 ________．
(2)由三棱锥 C－ABD 的正视图、俯视图得三棱锥 C－ABD 的侧视图为直角边长是 22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥 C－ABD 的侧视图的面积为14，故选 D.
规律方法 1．由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认．二要熟 悉常见几何体的三视图． 2．由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面． (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应 的棱、面的位置． (3)确定几何体的直观图形状.
A．10 C．14
B．12 D．16
解析：由多面体的三视图还原直观图如图：
该几何体由上方的三棱锥 A－BCE 和下方的三棱柱 BCE－B1C1A1 构成，其中面 CC1A1A 和面 BB1A1A 是梯形，则梯形的面积之和为 2×2＋24×2＝12.故选 B.
答案：B
4．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( )