三视图复习

412－22 52＝6 5，
S△BCP＝12×BC×PC＝10，
S△PCD＝21×CD×CC1＝10，
∴该三棱锥的表面积是 30＋6 5.
规律方法 1．求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形 平面化，这是解决立体几何的主要出发点． (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体， 先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．
(2)(2018·西安模拟)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD ⊥平面 CBD，形成的三棱锥 C－ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为 ()
1 A.2
2 C. 4
B．
2 2
D．14
[解析] (1)正视图应为边长为 3 和 4 的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应 为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为 4 和 5 的长方形，且侧视图中左上到右下的 对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为 3 和 5 的长方形，且俯视图中左上 到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选 B.
2 A.3 C．2
B．34 D．83
解析：根据该三棱锥的三视图可以看出该三棱锥底面三角形一边长是 2，该边上的 高也是 2，三棱锥的高也是 2，其直观图如图为三棱锥 A－BCD，则其体积 V＝31×12 ×2×2×2＝43.故选 B.
答案：B
3．(2018·天津卷)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正 方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M－EFGH 的体积为 ________．
A．10 C．14
B．12 D．16
解析：由多面体的三视图还原直观图如图：
该几何体由上方的三棱锥 A－BCE 和下方的三棱柱 BCE－B1C1A1 构成，其中面 CC1A1A 和面 BB1A1A 是梯形，则梯形的面积之和为 2×2＋24×2＝12.故选 B.
答案：B
4．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( )
A．17π C．20π
B．18π D．28π
解析：由三视图可知，该几何体是一个球被截去81后剩下的部分，设球的半径为 R， 则该几何体的体积为87×43πR3，即238π＝87×43πR3，解得 R＝2.故其表面积为78×4π×22＋ 3×41×π×22＝17π.故选 A.
答案：A
5．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
(2)由三棱锥 C－ABD 的正视图、俯视图得三棱锥 C－ABD 的侧视图为直角边长是 22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥 C－ABD 的侧视图的面积为14，故选 D.
规律方法 1．由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认．二要熟 悉常见几何体的三视图． 2．由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面． (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应 的棱、面的位置． (3)确定几何体的直观图形状.
A．90π C．42π
B．63π D．36π
解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为 6，高为 14 的圆 柱，所以该几何体的体积 V＝21×32×π×14＝63π.故选 B.
答案：B
6．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球
的球面上，则该圆柱的体积为( )
解析：由三视图得几何体的直观图，如图．
其中 SD⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1，故△SDC， △SDA 为直角三角形．∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面 SDA，∴AB ⊥SA，故△SAB 是直角三角形，
从而 SB＝ SD2＋AD2＋AB2＝3，易知 BC＝ 22＋12＝ 5，SC＝ 22＋22＝2 2，则 SB2≠BC2＋SC2，故△SBC 不是直角三角形，故选 C.
2．求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算． (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更 容易，或是求出一些体积比等． (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计 算体积的几何体.
「对 点 训 练」 1．(2018·沈阳模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
答案：C
(3)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 5 C．56＋12 5
B．60＋12 5 D．30＋6 5
(3)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，还原该三棱锥 P－BCD，易得 BD＝PB
＝ 41，PD＝2 5，∴S△PBD＝21×2 5× 又易得 S△BCD＝21×4×5＝10，
解析：由圆柱的三视图及已知条件可知点 M 与点 N 的位置如图 1 所示，设 ME 与 FN 为圆柱的两条母线，沿 FN 将圆柱的侧面展开，如图 2 所示，连接 MN，MN 即为 从 M 到 N 的最短路径，由题意知，ME＝2，EN＝4，∴MN＝ 42＋22＝2 5.故选 B.
答案：B
3．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形 和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各 个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
「对 点 训 练」 1．(2018·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则 三棱锥 A－BCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )
解析：正视图和俯视图中棱 AD 和 BD 均看不见，故为虚线，易知选 A. 答案：A
2．某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该 几何体的侧视图的面积为( )
A.125 C.32＋3 3
B．6＋ 3 D．4 3
解析：由题图可知该几何体的侧视图如图，则该几何体的侧视图的面积为 3×2＋12 × 3× 3＝125，故选 A.
答案：A
3．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形 的个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
A．π
B．34π
π C.2
D．π4
解析：设圆柱的底面半径为 r，则 r2＋122＝12，解得 r＝ 23，∴V 圆柱＝π× 232×1
＝34π，故选 B. 答案：B
●考点一 空间几何体的三视图 【例 1】 (1)(2018·兰州模拟)如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个 顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体 ABCD 的正视图、侧视图、俯视图是 (用①②③④⑤⑥代表图形)( ) A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
解析：由题意知四棱锥的底面 EFGH 为正方形，其边长为 22，即底面面积为12，由
正方体的性质知，四棱锥的高为12.故四棱锥 M－EFGH 的体积 V＝31×21×12＝112. 答案：112
空间几何体的三视图、表面积与体积
2．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上 的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在 此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 17 C．3
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B．2 5 D．2