微分方程的基本概念 一阶微分方程(一)
微分方程的基本概念
3．具有初始条件的微分方程： 此类微分方程的特点是给定了某些函数值 ，如 都是给定的数（称为初值） 等，其中 y0 ， y0 y x x y0 ， y x x y0 。此时所求出
0 0
的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数 C 。
注 1：微分方程的特解不包含任意常数 C ，因为此时可利用初始条件将常数 C 变 为确定的数。
例 1：解微分方程
现将初始条件 y x 0 1 代入通解 y x 2 C ，得： 1 02 C ，从而有 C 1 于是，该微分方程的特解为 y x 2 1
注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需
理会初始条件） ；代入初始条件求得特解。
第一节 微分方程的基本概念
1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例 1：
dy 2 x 为一阶微分方程。 dx
例 2： x
d2y dy x2 4 x 3x 3 为二阶微分方程。 2 dx dx
注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。 2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于 微分方程的阶数。
再将初始条件 y x 1 2 代入 y
于是，该微分方程的特解为 y
先将初始条件 y x 1 3 代入 y x 2 C1 ，得： 3 12 C1 ，从而有 C1 2 于是有 y
x3 x3 C1 x C2 2 x C2 3 3
x3 13 1 2 x C2 ， 得：2 2 1 C2 ， 从而有 C2 3 3 3 x3 1 2x 3 3
d2y 例 2：解微分方程 2 2 x 。 dx
一阶微分方程
一阶微分方程1. 简介微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了函数与它的导数之间的关系。
一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。
在物理、工程、经济等领域中，许多问题都可以通过一阶微分方程来建模和解决。
本文将介绍一阶微分方程的基本概念、求解方法以及一些应用。
2. 基本概念在介绍一阶微分方程之前，我们需要先了解一些基本概念。
2.1 导数导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为：f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h其中，h表示一个无限小的增量。
导数可以理解为函数在某一点的斜率，它的值越大，表示函数在该点的变化越快。
2.2 一阶微分方程一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。
通常形式为：dy/dx = f(x, y)1其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。
这个方程描述了未知函数y的导数与x和y之间的关系。
3. 求解方法解一阶微分方程的方法有很多种，这里介绍两种常见的方法：分离变量法和常系数线性微分方程的求解。
3.1 分离变量法分离变量法是一种常用的求解一阶微分方程的方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离开来，分别对x和y进行积分。
具体步骤如下：1.将一阶微分方程写成dy/dx=f(x, y)的形式；2.将方程两边关于x和y进行分离；3.对两边同时进行积分，得到一个含有常数C的通解；4.如果给定了一个初始条件y(x0) = y0，则可以通过代入初始条件来确定常数C，得到一个特解。
3.2 常系数线性微分方程的求解常系数线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
它的求解方法基于特解与齐次方程解的叠加原理。
1.首先求解对应的齐次方程dy/dx + P(x)y = 0，得到一个通解；2.再寻找一个特解，使得它满足原方程dy/dx + P(x)y = Q(x)；23.最终的通解等于齐次方程的通解与特解之和。
微分方程基本概念介绍
微分方程基本概念介绍微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或称微商）之间的关系的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
本文将就微分方程的基本概念进行介绍。
一、微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。
二、微分方程的类型1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶导数，最高阶数为1；2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二阶导数，最高阶数为2；3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0；4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)；5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程，如y' = y²。
三、解微分方程的方法1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分；2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解；3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解；4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解；5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解；6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。
四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，用来研究包含未知函数及其导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中，y是未知函数，f(x, y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
为了求解一阶微分方程，我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。
分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开，并进行适当变换，使得两边可以分别积分得到解。
恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式，然后积分求解。
线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程，通过乘以合适的因子，将其转化为恰当方程求解。
二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中，y是未知函数，f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。
二阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
与一阶微分方程类似，二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。
其中，常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。
常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程，通过猜测解的形式，将其代入方程并化简求解。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
微分方程知识点
微分方程知识点微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中许多现象的变化规律。
它是关于未知函数及其导数之间的关系式。
在物理、工程、经济等领域中，微分方程广泛应用。
本文将介绍微分方程的基本概念和常见类型，帮助读者对微分方程有更深入的了解。
一、微分方程的定义微分方程是包含一个或多个未知函数及其导数的方程。
一般形式为：F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0其中，x 是自变量，y 是未知函数，y' 是 y 对 x 的导数，y^(n) 是 y 的 n 阶导数（n 为正整数）。
二、常见的微分方程类型1. 一阶微分方程一阶微分方程是只包含一阶导数的微分方程。
常见的一阶微分方程类型包括：（1）可分离变量型dy/dx = f(x)g(y)这类微分方程可以通过变量分离的方法求解。
（2）齐次型dy/dx = f(y/x)这类微分方程可以通过令 y = ux 来化简，得到一阶线性微分方程。
（3）一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
该类型的一阶微分方程可以通过积分因子法求解。
2. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程是包含二阶导数的微分方程。
一般形式为：a(d^2y/dx^2) + b(dy/dx) + cy = f(x)其中 a、b、c 是常数，f(x) 是已知函数。
这类微分方程可以通过特征方程的根的情况来分类，并利用特解和齐次解的线性叠加原理求解。
3. 高阶线性微分方程和常系数线性微分方程除了二阶线性微分方程，还存在高阶线性微分方程。
当系数为常数时，称之为常系数线性微分方程。
求解方法与二阶线性微分方程类似，但需要考虑更多的特征方程根的情况。
4. 线性微分方程组线性微分方程组是多个未知函数相互依赖的微分方程的集合。
一般形式为：dy1/dx = a11y1 + a12y2 + ... + a1ny_n + F1(x)dy2/dx = a21y1 + a22y2 + ... + a2ny_n + F2(x)...dyn/dx = an1y1 + an2y2 + ... + anny_n + Fn(x)其中，a_ij 和 F_i(x) 是已知函数。
微分方程的基本概念与分类
微分方程的基本概念与分类微分方程是数学中的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。
微分方程在自然科学、工程技术等领域中有着广泛的应用，可以描述许多自然现象和物理问题。
本文将介绍微分方程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和掌握微分方程的知识。
一、微分方程的基本概念微分方程是表示未知函数与其导数之间关系的方程。
在微分方程中，未知函数一般用y表示，自变量一般用x表示。
微分方程根据未知函数的阶数和表达形式可以分为多种类型，下面将介绍几种常见的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为一阶的微分方程。
一阶微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
一阶微分方程可以进一步分为可分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程等。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为二阶的微分方程。
二阶微分方程的一般形式为d²y/dx²=F(x,y,dy/dx)，其中F(x,y,dy/dx)是已知函数。
二阶微分方程可以进一步分为常系数二阶线性微分方程、变系数二阶线性微分方程等。
3. 高阶微分方程高阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为高于二阶的微分方程。
高阶微分方程的求解相对复杂，需要借助特殊函数或数值方法进行求解。
二、微分方程的分类根据微分方程的阶数、表达形式以及系数的性质，可以将微分方程进行进一步的分类。
1. 阶数分类根据微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，微分方程可以分为一阶微分方程、二阶微分方程、高阶微分方程等。
2. 标准形式分类根据微分方程的标准形式，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是只涉及一元函数的微分方程，而偏微分方程是涉及多元函数和它们的偏导数的微分方程。
3. 特殊类型分类在微分方程中，有一些特殊类型的微分方程具有特定的特征和解法。
例如分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程、恰当微分方程等。
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中重要的一部分，它描述了一个或多个变量之间的关系以及变量的变化率。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有导数或微分的数学方程。
它包含未知函数及其导数，通常用“y”表示未知函数，如y(x)。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
1. 常微分方程常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
（1）一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，f(x, y) 表示未知函数 y 关于自变量 x 和 y 自身的函数关系。
（2）高阶常微分方程高阶常微分方程涉及到多个导数。
例如：d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = g(x)其中，d²y/dx²表示 y 的二阶导数，p(x)、q(x)、g(x) 是与自变量 x 有关的一阶函数。
2. 偏微分方程偏微分方程是涉及多个自变量的微分方程，它包含未知函数及其偏导数。
例如，二维空间中的波动方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = c²∂²u/∂t²其中，u(x, y, t) 表示未知函数，c 是常量，x、y、t 分别表示空间坐标和时间。
二、微分方程的解法微分方程的解法主要包括解析解和数值解。
解析解是通过对微分方程进行变量分离、变量替换、积分等数学处理得到的解，而数值解则是借助计算机等工具使用数值方法进行近似计算得到的解。
1. 解析解对于一阶常微分方程，常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、常数变易法等。
通过适当的变量变换和数学操作，可以将微分方程转化为可直接求解的形式，得到解析解。
对于高阶常微分方程和偏微分方程，解法更加复杂。
常用的解法包括变量分离法、齐次方程法、常数变易法、特征方程法、叠加原理法等。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)。
2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。
3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。
4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。
二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。
- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。
- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。
- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。
2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。
- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。
三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。
2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。
3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。
4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。
5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。
一阶微分方程的意义
一阶微分方程的意义摘要：1.一阶微分方程的定义和基本概念2.一阶微分方程的意义和应用领域3.常见的一阶微分方程类型及求解方法4.一阶微分方程在实际问题中的作用和价值5.总结与展望正文：一、一阶微分方程的定义和基本概念二阶及以下微分方程称为一阶微分方程。
在一阶微分方程中，未知函数的阶数为1，且其导数与未知函数本身之间存在某种关系。
一阶微分方程是微积分学中的基本概念，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
二、一阶微分方程的意义和应用领域1.意义：一阶微分方程是研究函数变化规律的重要工具，它可以描述许多实际问题中的动态过程。
通过求解一阶微分方程，我们可以了解函数在某一段时间内的变化趋势，为预测和控制实际问题提供理论依据。
2.应用领域：一阶微分方程在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律和动量守恒定律都可以表示为一阶微分方程；在经济学中，一阶微分方程可以用来描述货币供应量、物价水平等经济指标的变化；在生物学中，一阶微分方程可以用来模拟生物种群的数量变化等。
三、常见的一阶微分方程类型及求解方法常见的一阶微分方程类型有：线性微分方程、非线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程等。
求解一阶微分方程的方法有：分离变量法、常数变易法、线性代数法等。
根据具体问题选择合适的求解方法，可以有效地解决实际问题。
四、一阶微分方程在实际问题中的作用和价值一阶微分方程在实际问题中具有重要作用。
通过求解一阶微分方程，我们可以了解动态过程的规律，为实际问题的解决提供理论依据。
例如，在控制系统中，一阶微分方程可以用来分析系统的稳定性和动态性能；在经济学中，一阶微分方程可以帮助我们预测和调控经济指标的变化，为政策制定提供参考。
五、总结与展望总之，一阶微分方程作为微积分学的基本概念，在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
掌握一阶微分方程的定义、求解方法和实际应用，对于解决实际问题具有重要意义。
微分方程的基本概念,一阶微分方程
1 y sin x C ，C为任意常数 x 将初始条件 ( ) 1代入, 得C , y
1 因此所求特解为 sin x . y x
例6 求方程 ye sin x e sin x y cos x 1 0 的通解.
解
运用通解公式求解．将所给方程改写成
dy 1 2 x y 0, 2 dx x 1 2x , 这是一个线性齐次方程， 且 P ( x ) 2 x 1 2 1 2 P ( x )dx 2 dx ln x , 则 x x x
由通解公式得该方程的通解
y Cx e ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1.
群的数量变化情况的问题）、传染病传播问题（描
述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，
预报传染病高潮的到来的问题）等都会用到著名的
马尔萨斯（Malthus）模型(
为常数): ，0 x
dx x dt x ( 0) x 0
数导数的方程．
(1 ) ( 2)
观察模型，易发现（1）式是含有未知函
定义
凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程，
称为微分方程，未知函数是一元函数的微分方程称 未知函数是多元函数的微分方程称 为常微分方程， 为偏微分方程.
注意：本书仅讨论常微分方程，并简称微分方程.
dx ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 如引例方程 x及 dt 2 y 2 y 4 0 4 y y sin x 5 xy 0 ; 2 2 t x
2 2 因此所求特解为 y 3( x 1) 1.
Hale Waihona Puke dy 练习1 求方程 ky( y a ) 的通解(其中k 与 dx a 均是正的常数. )
微分方程的基本概念和解法技巧
微分方程的基本概念和解法技巧微分方程是数学中重要的一种方程，它涉及到函数与它的导数之间的关系。
在物理学、工程学、经济学等领域中，微分方程广泛应用于描述各种变化和运动的规律。
了解微分方程的基本概念和解法技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。
一、微分方程的基本概念1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为 F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中 y 是未知函数。
2. 阶数：微分方程的阶数是指该方程中导数的最高阶数。
常见的阶数有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 解：微分方程的解是满足方程的函数。
一般来说，一个微分方程可以有无穷多个解。
4. 初值问题：初值问题是求解微分方程时给定一个或多个初始条件，根据这些条件确定方程的解。
初值问题通常涉及到一个点上的初始状态。
5. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程只涉及到一个自变量，而偏微分方程则涉及到多个自变量。
常微分方程的解是一类函数，而偏微分方程的解是一个函数族。
二、微分方程的解法技巧1. 变量可分离法：适用于可以将微分方程的变量分离开的情况。
通过将方程两边同时乘以不同变量的函数，使得方程可以变为两个积分的形式，从而得到解。
2. 齐次方程法：适用于可以通过变量代换将微分方程化为齐次方程的情况。
齐次方程中的未知函数可以表示为一个比值函数，通过变量代换后，方程可以化为一个仅依赖于一个变量的方程，从而得到解。
3. 一阶线性常微分方程：适用于形如 y' + p(x)y = q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过乘以一个适当的积分因子将方程化为可积形式，然后求解积分得到方程的解。
4. 常系数线性微分方程：适用于形如 y⁽ⁿ⁾ + aₙy⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁y' + a₀y =g(x) 的常系数线性微分方程。
通过猜测形式，得到特解和齐次方程的通解，从而得到方程的通解。
微分方程的基本概念
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分
d2x 方程 2 + k 2 x = 0的解. 并求满足初始条件 dt dx x t = 0 = A, = 0 的特解. dt t = 0 dx 解 Q = − kC1 sin kt + kC 2 cos kt , dt 2 d x = − k 2C1 cos kt − k 2C 2 sin kt , dt 2 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
2
y′ = xy ,
′′ + 2 y′ − 3 y = e x , y
( t + x )dt + xdx = 0,
∂z = x + y, ∂x
实质: 联系自变量, 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 分类1 常微分方程, 偏常微分方程. 微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 高阶导数的阶数称之. 分类2: 分类2: 一阶微分方程 F ( x , y , y′ ) = 0,
设y = ϕ( x )在区间 I 上有 n 阶导数 ,
F ( x , ϕ( x ), ϕ′( x ),L, ϕ( n ) ( x )) = 0.
微分方程的解的分类： 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数, (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 通解 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
第二节微分方程的基本概念一阶微分方程资料教程
第九章 微分方程
第一节 第二节 第三节 第四节
微分方程的基本概念 一阶微分方程 高阶微分方程 微分方程在经济学中的应用
第一节 微分方程的基本概念
一.微分方程的定义
1.微分方程 含有自变量、未知函数以及未
知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.
2.阶 未知函数最高阶导数(或微分)的阶数.
二.齐次方程
一般形式:
dy f ( y ) dx x
解
令 yu
x
则 yxu
dy u x du
dx
dx
代入 uxdu f(u)
dx
即 du1[f(u)u]
dx x
解得 u(x,c)
从而 y (x,c).
x
y
例4 求方程 (xex y)dxxdy的通解.
解 一般形式
dy
y
ex
y
dx
x
令 yu
x
即得通解
1 y2 1 x2 c
2
2
将 x1 y2 代入得 c 5
2
故特解为 x2 y2 5.
例3 求方程 (1ex)dyyexdx的通解.
解 一般形式
dy ex
dx
1ex
y
分离变量
1 y
dy
ex 1 ex
dx
两边积分
1
ex
ydy1ex dx
ln yln1 (ex)ln c
方程通解 yc(1ex).
从而通解 x22x yy22x6yc特解
例7 解方程 ( 2 x 3 y 4 ) d ( 4 x x 6 y 5 ) d 0 . y
解 dy 2x3y4 2x3y4
dx 4x6y5 2(2x3y)5
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故 s 0.2t 2 20t,
于是制动后列车的运动规律为
s 0.2t 2 20t. 2
二、微分方程的定义
1.微分方程定义：
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y 2 y 3 y e x , (t2 x)d t x d x 0,
y xy,
d y 2x, dx
d2 dt
. x
16
例1 求解微分方程 y2 x2 d y xy d y . dx dx
解 原方程可变为：( y )2 d y y d y
x dx x dx
令u y，则 y ux, y xu u，
x
u2 (u xu) u(u xu)
即 xu u , (1 1 )d u d x ,
两边积分 d y d x ,
1 y2 1 x2
求积分得 arcsin y arcsin x C.
即为通解.
13
例4
求方程
2x sin
yd
x
(x2
3) cos
yd
y
0
满足
y
x 1
π 6
的特解.
解 原方程变形为
x
2x 2
3
d
x
cos sin
y y
d
y
0,
积分得
2x
cos y
x2 3 d x sin y d y 0d x,
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
4
3.微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
设y ( x)在区间I上有n阶导数，若 F( x,( x),( x), ,(n)( x)) 0.则y (x) 是它的解.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有的独立的任意常数的个
分离变量得
u u
1
d
u
d
x,
积分得 u ln(u 1) x C.
将 u x y代入上面式子得：y ln(x y 1) C,
或 x C1e y y 1, (C1 eC )
注意：形如 y f (ax by)(b 0)的方程可用 u ax by
代换，将其化为可分离变量的方程. 21
2 x 是一阶微分方程.
d2 s dt2
0.4是二阶微分方程.
y(4) xy 12 y 5 y sin 2x是四阶微分方程.
x2 y xy 4 y 3x4是三阶微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶(n)微分方程 F ( x, y, y, , y(n) ) 0,
6-1微分方程的基本概念 一、微分方程的实际模型
例1 一曲线通过点(1, 4)，且在该曲线上任一点M(x, y) 处的
切线的斜率等于该点的横坐标的为2倍, 求该曲线方程.
解 设所求曲线为 y y(x)，
d y 2x， dx
其中x=1时，
y=4.
y 2x d x 即 y x2 C,
因为x=1时，y=4. 求得 C 3,
dx cos x
,
得 ln y ln(sec x tan x) lnC,
则得通解为 y C(sec x tan x),
1
又
Q
y x0
, 2
得C 1 , 2
故所求特解为 y 1 (sec x tan x). 2
15
6-2.2 齐次型微分方程
1.齐次型微分方程：如果一个一阶微分方程能化为
数与微分方程的阶数相同，则该解叫通解.
例 d y 2x 的通解为 y x2 C, dx
d2 s dt2
0.4 的通解为
s
0.2t 2
C1t
C2.
5
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
例 d y 2x 的特解为y x2 3,
dx
d2 s dt2
0.4的特解为
s
0.2t
2
20t ,
特解的图象: 微分方程的积分曲线.
通解的图象: 积分曲线族.
这就是微分方程的解的几何意义.
6
4.初始条件: 用来确定任意常数的条件.
5.初如值例问12题中:的求x当=微t1=分时0时方，，程ys=满=20.足，v初始dd st条件20的. 解的问题.
一阶:
y f (x, y)
过定点的积分曲线;
于是
ln( x2 3) ln(sin y) lnC,
则得通解为 ( x2 3)sin y C,
又
y
x 1
6
,
得 C 2,
故所求特解为 ( x2 3)sin y 2.
14
例5 求方程
ycos y
y
满足 y x0
1 2
的特解.
解 原方程变形为 d y d x ,
y cos x
积分
dy y
d y ( y ) 的方程，则称它为齐次型微分方程.
dx x
d
2.齐次型微分方程的解法：
y
(
y
).
dx x
(1)令 u y x
(或
v
x y
)
即
y
xu,
则
d d
y x
u
x
d d
u x
,
(2)代入原方程得：u x d u (u), 即 d u (u) u .
dx
dx x
y
(3)求此可分离变量方程的解，并回代 u
解
dx
令x
y
u,d y
du 1
代入原方程
dx dx
du dx
1 u2
2u，
du (u 1)2
dx
解得 1 x C,（C为任意常数）
代回
u
u1
x
y，得
x
1 y
1
x
C,
原方程的通解为 ( x y 1)( x C) 1.
19
例4 求微分方程 xy y x2 y2 0 满足条件 y x1 1的特解.
dx
dx
22
y xx0 y0
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x x0
y0 ,
y x x0
y0
7
例3
验证函数
y C sin 2x
是微分方程
d2 y d x2
4
y
0的解，
但不是通解,也不是特解(C为任意常数) .
证
将
y
C sin 2x,
d d
y x
2C cos 2x,
d2 y d x2
4C sin 2x，
2.求可分离变量微分方程的解的步骤：
(1) 分离变量；将原方程化为 g( y)d y f (x)d x
(2) 对两端积分； g( y)d y f (x)d x
(3) 求积分；G( y) F(x) C 即为微分方程的隐式解.
10
例1 求微分方程 d y 2xy 的通解. dx
解 分离变量 d y 2x d x,
也不是特解.
8
例4
验证
y
Cx
2 (C为任意常数) 为方程
y
2y x
的通解.
并求满足初始条件 y 2的特解.
x1
解 由 y Cx2 得 y 2Cx，
将 y、y的表达式代入原方程
右边= 2 y 2Cx 2 2Cx y =左边. xx
故 y Cx 2是原方程的解. 又因为它含有任意常数C,
dx
解 这是可分离变量方程，分离变量得：
d y (sin x cos x)d x 1 y2
两端积分
dy 1 y2
(sin x cos x)d x
得 arcsin y (cos x sin x) C
即为微分方程的通解.
隐式通解
12
例3
解方程 d y
1 y2 .
d x 1 x2
解 分离变量 d y d x , 1 y2 1 x2
代入原微分方程的左端得
d2 y
d x2 4 y 4C sin2x 4(C sin 2x) 0.
所以 y C sin 2x 是原方程的解。
但由于所给方程是二阶方程，则由通解的定义知它的通解
中应有两个任意常数，所以它不是所给方程的通解。
又由特解定义知，特解中不含任意常数，所以 y C sin 2x
则所求曲线方程为 y x2 3 .
1
例2 列车在平直的轨道上以20米/秒的速度行驶， 当制动时列车获得的加速度为a = -0.4米/秒，2 求制动后
列车的运动规律.
解
设制动后t秒钟行驶s米，s
s(t)，d2 s dt2
0.4
当t=0时，s=0，v
ds dt
20
,而v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2 代入条件后知 C1 20, C2 0，
回代得原方程的通解为
arcsin
x
y = ln x+C, x
由
y
x1
1得
C
π 2
. 则特解为
arcsin
y x
= ln
x+
2
.
20
例5 解
求解微分方程 d y 1 dx xy
令 x y u, 则y u
. x,
d
y
d
u
1，于是
du 1 1, dx u
dx dx 即du 1 1 u1.
dx u u
x
(u xu)cos u 1 ucos u
即 xucos u 1, x d u cos u 1 , cos ud u d x ,