介质中的高斯定理

第 2 章静电场

2.4 介质中的静电场方程

2.4.2 介质中的高斯定律

1.介质中高斯定律的微分形式

ερ

=

∙∇E 0

ερρp

+=

∙∇E （真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement ）

∙D 线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。

D ——辅助矢量，又称电通密度，C /m 2代入P

∙-∇=p ρ)

(1

P E 0

∙∇-=∙∇ρερ

ε=+∙∇)(0P E P

E D +=0ε则有

ρ

=⋅∇D 电介质中高斯定律的微分形式

为自由电荷体密度

ρ

2. 介质中高斯定律的积分形式

⎰

∑=∙S

q

S D d 介质中高斯定律的积分形式

⎰

∑∑+=

∙S

q q )

(S E p 0

1

d

ε代入⎰∙-=S p q S

P d ⎰⎰∑∙-=∙S S q S

P S E d d 0

ε⎰∑⎰=∙+∙S

S

q

S P S E d d 0

ε⎰∑=∙+S

q

S P E d )(0

εq 为闭合面包围的自由电荷

• D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；• P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。

• E 线由正电荷出发，终止于负电荷；

D 线

E 线

P 线

D 、

E 与P

三者之间的关系

图示平行板电容器中放入介质板后，其D 线、E 线和P 线的分布。

3.D 和E 的关系D = ε0E + P P = χe ε0E

⇒⎭

⎬⎫

D = ε0

E +χe ε0E = ε0(1+χe ) E

= ε0εr E = εE

D = εE

介质的本构关系或组成关系

e

r 1χεε

ε+==ε——介质的电容率（介电常数）F/m

εr ——介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲

χe 、εr 和ε的取值取决于媒质的特性

4. 介质特性

电场中，介质的特性由其介电常数确定。E D ε=r ε⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x E E E D D D 3332

31

2322211312

11εεεεεεεεε均匀、线性、各向同性介质的介电常数是常量--简单介质。

各向异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵-张量

晶体、地球上空电离层会显示各向异性的特点与空间位置无关，是常数----均匀介质

与空间位置有关，是函数----非均匀介质)

(r

ε与电场大小无关----线性介质与电场大小有关----非线性介质

)(E ε与方向无关----各向同性介质与方向有关----各向异性介质

介质存在时，静电场的基本方程为

总结

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧==∙=∙⎰⎰E D l E S D ε0d d c S q ⎪⎩

⎪

⎨⎧==⨯∇=∙∇E D E D ερ