数列的概念及其表示法-课件

故数列{an}是以3为周期的周期数列， 故a2009＝a(2007＋2)＝a2＝4. 答案：4
数列的通项公式的探求与应用 【例 1】 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，… (2)12，34，78，1156，3312，… (3)12，14，－58，1136，－2392，6641，…
23，n＝1 ∴an＝ 31n，n≥2
用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项 数n的关系．当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律， 便于归纳．当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出 现时，可用(－1)n或(－1)n＋1调节．
变式探究11：(2010年连云港市模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对 于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是( ) (A)k>0 (B)k>－1 (C)k>－2 (D)k>－3 解析：∵an＋1>an， ∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2， 化简得k>－(2n＋1)，要使此不等式对n∈N*都成立， 只需k大于－(2n＋1)的最大值，而n∈N*， ∴－(2n＋1)的最大值为－3， ∴k>－3，故选D.
∴an－an－1＝ln n－n 1(n≥2)， an－1－an－2＝ln nn－ －12， …
a2－a1＝ln 21，
将以上 n－1 个式子相加，得
an－a1＝ln
n－n 1＋ln
nn－ －12＋…＋ln
2 1
＝ln(n－n 1·nn－ －12·…·21)＝ln n，
∴an＝2＋ln n(n≥2)，经检验 n＝1 时也适合． 故选 A.
提示：不唯一．如 1,0,1,0,1,0，…，其通项公式可以是 an＝10 成 an＝1－2－1n(n∈N*)，而有些数列没有通项公式．
n为奇数 ，也可以写
n为偶数
5．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任意一项an与an－1(n≥2)(或其前面的项)之间的 关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．它是数列的一种表 示方法． 6．an与Sn的关系
【例1】 (2010年高考陕西卷)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2,3，…)”是“{an}为递增 数列”的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析：由an＋1>|an|可得，an＋1>an， ∴{an}为递增数列， ∴“an＋1>|an|(n＝1,2,3，…)”是“{an}为递增数列”的充分条件． 若{an}为递增数列，不一定有an＋1>|an|，如－3，－2，－1,0,1，… ∴“an＋1>|an|(n＝1,2,3，…)”不是“{an}为递增数列”的必要条件，故选B.
3．数列的表示法 (1)列表法； (2)图象法：数列可用一群孤立的点表示； (3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式 叫做这个数列的通项公式． 质疑探究2：数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都能写出通项公式？
20＝2＋3×6.所以 2 5是该数列的第 7 项．
2．数列 1，85，175，294，…的一个通项公式是( D )
(A)an＝2nn＋2 1 (B)an＝nnn＋＋12
(C)an＝n2＋n1＋2－ 1 1
nn＋2 (D) 2n＋1
解析：经检验可知D正确．
3．已知数列{an}的通项公式是 an＝3n2＋n 1，那么这个数列是( A ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)摆动数列 (D)常数列 解析：∵an＋1－an＝32n＋n＋11＋ 1－3n2＋n 1＝3n＋123n＋4＞0，∴{an}是递增数列．
第1节 数列的概念及其表示法
考纲展示 了解数列的概念和几种表示方法(列表、图象、通项公式)．
1．数列的概念 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，我们把上 面的数列简记为{an}．
从 函 数 观 点 看 ， 数 列 可 以 看 成 以 正 整 数 集 N*( 或 它 的 有 限 子 集 {1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时， 所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
设 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则 an＝SSn1－，Snn－＝1，1n≥2.
1．(教材改编题)数列 2， 5，2 2，…，则 2 5是该数列的( B ) (A)第 6 项 (B)第 7 项 (C)第 10 项 (D)第 11 项
解析：数列可化为 2， 5， 8，…，且 2 5＝ 20，因为 5＝2＋3×1,8＝2＋3×2，…，
思路点拨：根据所给前几项的特点，归纳其通项公式，注意项与项数，项与项之间的 关系．对(2)、(3)可分别观察分母、分子的变化情况．
解：(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以通项 an＝2(n＋1)(n∈N*)． (2)注意到分母分别是 21,22,23,24,25，…，而分子比分母少 1，所以Βιβλιοθήκη Baidu通项 an＝2n2－n 1(n ∈N*)． (3)分母规律明显，而第 2,3,4 项的绝对值的分子比分母少 3，因此可考虑把第 1 项变为 －2－2 3，这样原数列可化为－212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，－252－5 3，262－6 3，… ∴其通项 an＝(－1)n2n2－n 3(n∈N*)．
变式探究 41：(2010 年福建龙岩一模)已知数列{an}的通项 an＝nbn＋a c(a，b，c∈(0，＋ ∞))，则 an 与 an＋1 的大小关系是( )
(A)an>an＋1 (B)an＜an＋1 (C)an＝an＋1 (D)不能确定
解析：an＝nbn＋a c＝b＋a nc， ∵y＝nc是减函数，∴an＝b＋a nc为增函数， ∴{an}为递增数列，因此 an＜an＋1，故选 B.
错源：忽视公式的使用条件致误 【例题】 若数列{an}满足 a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n＋3 1(n∈N*)，则 an＝________. 错解：∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n＋3 1① ∴a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝n3② ①－②，得 3n－1an＝13， an＝31n， ∴该数列的通项公式为 an＝31n.
an－a1＝2＋4＋6＋…＋(2n－2)＝2＋22n－2×(n－1)＝n2－n. ∴an＝a1＋n2－n＝n2－n＋33(n≥2)， a1＝33 也适合上式，∴an＝n2－n＋33. ∴ann＝n2－nn＋33＝n＋3n3－1， 由函数单调性可知当 n＝6 时，ann有最小值221. 答案：221
由于数列是一种特殊的函数，所以在研究数列的项、最值、单调性、周 期性、项的大小比较等问题时，可以借助研究函数的方法进行求解．
【例2】 (2010年高考湖南卷)若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m 使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列 {an}是1,2,3，…，n，…，则数列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N*， an＝n2，则(a5)*＝________.((an)*)*＝________. 解析：∵{an}是12,22,32,42,52,62，…，n2 ∴{(an)*}是0,1,1,1,2,2，… 故(a5)*＝2. 又{((an)*)*}是1,4,9,16，… ∴猜想：((an)*)*＝n2. 故填：2，n2. 答案：2 n2
(2)∵an＝n－n 1an－1(n≥2)，
∴an－1＝nn－ －21an－2，
…
a2＝12a1.
以上 n－1 个式子相乘得
an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n(n≥2)． 经检验 n＝1 时也适合． ∴an＝1n. 答案：1n
数列{an}中的递推关系是确定数列{an}的一种方法，因而利用递推关系我 们可以确定数列的某些项或通项公式．通常依据递推式的特点进行转化，目标是构造特 殊数列或运用累加法、累乘法求解．一般地，①若an＋1＝an＋d(常数)，则{an}为等差数 列；②若an＋1＝an·q(q为常数)，则{an}为等比数列；③若an＋1＝an＋f(n)，可用累加法； ④若an＋1＝f(n)·an，可用累乘法；⑤若an＋1＝pan＋q，可用待定系数法，构造等比数列 求解．
＝－2n＋25. 经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25， ∴an＝－2n＋25(n∈N*)．
Sn 与 an 的关系式为 an＝SSn1－，Snn－＝1，1n≥2 求解时，要分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论，然后验证两种情况是否可以合并，若能，则 用一个关系式表示，若不能，则用分段形式表示．
Sn与an的关系及应用 【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)． 求{an}的通项公式． 思路点拨：∵Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an， ∴an＝Sn－Sn－1(n≥2)且n＝1时，a1＝S1. 解：n＝1时，a1＝S1＝23. n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)
从函数角度认识数列 【例 4】 (2010 年高考辽宁卷)已知数列{an}满足 a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值 为________．
思路点拨：先由 an＋1－an＝2n 运用累加法求出 an，进而写出ann，可根据其单调性求其最 小值．
解析：由 an＋1－an＝2n 得，a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，…，an－an－1＝2(n－1)(n≥2)， 将这 n－1 个式子累加得
错解分析：本题的错误原因是忽视了 a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝n3中 n≥2，使得计算过程 中出现了考虑不全面的错误．
正解：当 n＝1 时，a1＝23； 当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋3n－1an ＝n＋3 1① a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝n3② ①－②，得 3n－1an＝13，an＝31n， ∵a1＝23不适合上式，
质疑探究1：学数列过程中，符号“{an}”表示单元素集合吗？符号“an”呢？ 提示：“{an}”不表示单元素集合，它是数列a1，a2，a3，…，an，…的简单表示，而“an” 则表示数列的第n项． 2．数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列和无穷数列． (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类： 递增数列——从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； 递减数列——从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； 常数列——各项相等的数列； 摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
数列的递推公式及应用
【例 2】 (1)(2010 年东北四市联考)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则 an 等 于( )
(A)2＋ln n (B)2＋(n－1)ln n (C)2＋nln n (D)1＋n＋ln n (2)数列{an}的首项 a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2，n∈N*)，则 an＝________. 思路点拨：(1)可利用递推公式 an＋1－an＝ln(1＋1n)累加求 an；(2)可利用aan－n 1＝n－n 1累乘 求 an. 解析：(1)由已知，an＋1－an＝ln n＋n 1，a1＝2，
4．(2010年嘉兴模拟)数列{an}满足其中任何连续的三项之和为20，并且a4＝9，a12＝7，则 a2009＝________. 解析：由已知及a4＝9可得a5＋a6＝11，故a7＝9. 又由a12＝7可得a10＋a11＝13，从而a9＝7，进而a8＝4，a6＝7，a5＝4，a3＝7，a2＝4，a1＝ 9.