8.5 自旋单态和自旋三重态
量子力学(第八章自旋)
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
第8章 自旋
(10)
ˆ 2 的本征态，设 最后要求 是 J
2 aYl , m ( , ) 2 aYl , m ( , ) ˆ J bY ( , ) bY ( , ) l ,m1 l ,m1
(11)
22
λ(无量纲)待定，在Pauli表象中，
11
3 自旋算符和泡利矩阵
一方面，自旋既是角动量就应当满足角动量的对 易规则，即 ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S i j ijk k
i, j , k 1, 2, 3
ˆ ˆ S 2
(8)
(9 )
ˆ (无量纲) 引进Pauli算符
则有
ˆ i , ˆ j ] 2iijk ˆk [
21
ˆ 的本征态，但相应的本征 可见 1和 2 虽都是L z
值相差 。因此波函数可取为
aYl ,m (, ) (, , sz ) bY ( , ) l ,m1
( 9)
显然
ˆ2 l (l 1)2 L ˆ J z (m 1 / 2)
0 x b *
b 0
0 1 b e i 2 b
进而得
0 1 x 1 0
(14)
16
0 i y i z x i 0
(15)
综上就有
1 0 z 0 1 (16)
2 2
18讲-自旋纠缠态
为 S 2的本征态？令 χ = c1ψ 3 + c2ψ 4 即 检验
χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2)
S2 χ = λ h2 χ 是否满足
14
二、双原子体系的自旋态(8) χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2), 检验 S 2 χ = λ h 2 χ
二、双原子体系的自旋态(6) 1 2 2 S ψ 1 = h (3 + σ 1 xσ 2 x + σ 1 yσ 2 y + σ 1 zσ 2 z )α (1)α (2) 2 由例1， σ xα = β , σ x β = α , σ yα = i β , σ y β = −iα ,
σ zα = α , σ z β = − β , 可得
2 设 S 2 = S x2 + S y + S z2 , 则[S 2 , S j ] = 0, j = x , y , z
习题：证明[S , S j ] = 0, j = x , y , z
2
8
二、双电子体系的自旋态(2)
Q [ s1 z , s2 z ] = 0, 选(s1 z , s2 z )为自旋力学量 完全集，求其共同本征态。记
4
一、自旋态与自旋波函数(2)
考虑自旋后，稳态下电子的波函数 ψ 1 ( r ) ψ = ψ ( r, sz ) = , 一般 ψ 1 ( r ) ≠ ψ 2 ( r ) ψ 2 ( r ) 通常，轨道与自旋的耦合能量很小， 忽略不计的话，有 ψ = ψ ( r , s z ) = ψ ( r ) χ ( s z ) a 其中， χ ( s z ) = → 自旋函数 b ψ 1 ( r ) a ψ = ψ ( r, sz ) = = ψ ( r ) b = ψ ( r ) χ ( sz ) ψ 2 ( r ) 5
低温超导材料中的自旋三重态研究
低温超导材料中的自旋三重态研究低温超导材料一直以来都备受科学家们的关注，因为它们具有独特的性质和潜在的应用前景。
近年来，自旋三重态研究在低温超导材料中引起了广泛的兴趣。
自旋三重态是指自旋三个自由度之间有耦合的状态，具有非常有趣的物理特性。
首先，我们来了解一下低温超导材料的基本性质。
低温超导材料是指在接近绝对零度的温度下，电阻突然消失并且电流可以在材料中无阻碍地流动。
超导材料的超导性质由库珀对（由两个电子组成的一个复合粒子）的配对来解释。
自旋三重态的出现打破了传统上认为的库珀对的自旋为零（自旋单态）或为一（自旋三重态）的假设。
研究人员通过实验发现，在某些低温超导材料中，超导相变似乎与自旋三重态有关。
特别值得一提的是铁基超导体，其自旋三重态特性的研究一直备受关注。
铁基超导体是近年来发现的一类新型超导材料，具有较高的临界温度和复杂的电子结构。
研究表明，铁基超导体中存在着复杂的自旋状态，如自旋波和自旋密度波，这与超导性质存在耦合关系。
自旋三重态的研究不仅有助于理解低温超导材料的机制，还可能为超导材料的应用提供新的思路。
例如，自旋三重态具有比自旋单态更高的协变因子。
这意味着自旋三重态对外界磁场更加敏感，这在磁传感技术中具有重要意义。
此外，自旋三重态还具有更长的库珀对传输距离，这对于构建高性能的超导电子器件也具有一定的潜力。
然而，要深入研究低温超导材料中的自旋三重态并不容易。
首先，自旋三重态的存在常常难以直接观察到，需要借助一些精密的实验手段进行检测。
其次，自旋三重态的性质非常复杂，可能涉及到多个自由度之间的相互作用。
因此，科学家们需要运用复杂的理论模型和计算方法来解释实验数据。
最近，随着实验技术的不断发展，研究人员对低温超导材料中的自旋三重态进行了更加深入的探索。
通过应用高能分辨率的中子散射等实验技术，科学家们成功地观测到了自旋三重态的存在并研究了其性质。
此外，先进的理论模型和计算方法也为解释自旋三重态的性质提供了重要的支持。
自旋相关自由基对单重态氧或三重态氧的选择结合规律
自旋相关自由基对单重态氧或三重态氧的选择结合规律自旋相关自由基对单重态氧或三重态氧的选择结合规律1. 引言自旋相关自由基作为有机合成化学领域中的重要研究对象，其对于选择性合成和反应机理的理解具有重要意义。
其中，自旋相关自由基与单重态氧（singlet oxygen）或三重态氧（triplet oxygen）的选择结合规律是一个备受关注的研究领域。
2. 自旋相关自由基的概念与性质自旋相关自由基是指在分子结构中，两个自由基中的未成对电子自旋方向呈现关联的现象。
两个自由基的自旋方向可以同时垂直向上或垂直向下，这被称为α-α自旋关联；或者自旋方向可以一个向上一个向下，这被称为α-β自旋关联。
自旋相关自由基可以通过不同反应途径生成，并且其存在可以对化学反应产率、立体选择性等方面产生重要影响。
深入研究自旋相关自由基对单重态氧或三重态氧的选择结合规律，对于探索反应机理、合成方法的优化具有重要意义。
3. 单重态氧与自旋相关自由基的选择结合规律在研究中发现，自旋相关自由基与单重态氧的选择结合规律与自由基的自旋状态密切相关。
一般来说，α-α自旋相关自由基更倾向于选择性地与单重态氧反应，而α-β自旋相关自由基则更倾向于与三重态氧反应。
此选择性反应可以通过能级匹配原理进行解释。
单重态氧和自旋相关的α-α自由基具有相似的自旋多重度，从而可以形成较为稳定的中间态，从而促进反应的进行。
而与α-β自旋相关的自由基相比，反应物之间的能量差异较大，从而导致其反应不够稳定。
4. 三重态氧与自旋相关自由基的选择结合规律对于α-β自旋相关自由基与三重态氧的选择结合规律，理论研究发现其关系较为复杂。
在一些情况下，α-β自旋相关自由基可以与三重态氧有选择性地反应，但通常其反应速率较慢。
这可以解释为，三重态氧与自旋相关自由基反应的选择性与反应物之间的距离以及能级差异有关。
在有些情况下，由于反应物之间的空间隔离或能级差异较大，使得反应难以发生或速率较慢。
自旋单态和自旋三重态
s1z
s2 z
1 的粒子组成的体系具有三个对称的波函数，是自旋的三重态，一个反对 称2的波函数，是自旋单态。
现在来计算耦合表象中算符 和
ur ur u，r 则有 S s1 s2
的本$S征2 值。Sµ令z
6.7 自旋单态和自旋三重态
S1z s1z s2z
ur ur S 2 (s1 s2 )2 ur ur
（6.7.14）
$S
2
(1) S
3 2
h
2
(1) S
2[s¶1x 1 (s1z )s¶2x 1 (s2z )
2
2
s¶1y 1 (s1z )s¶2 y 1 (s2z ) s¶1z 1 (s1z )s¶2z 1 (s2z )]
2
2
2
2
=2h
2
(1) S
（6.7.15）
6.7 自旋单态和自选三重态
Sµz S(1) (s¶1z s¶2z )1 (s1z )1 (s2z ) hS(1)
2
2
类似有
$S
2
(2 S
)
2h
2
(2 S
)
Sµz
(2 S
)
h
(2 S
)
$S
2
(3) S
2h
2
(3) S
Sµz
(3) S
0
$S 2 A 0
Sµz A 0
（6.7.16）
（6.7.17） （6.7.18） （6.7.19） （6.7.20） （6.7.21） （6.7.22）
6.7 自旋单态和自选三重态
S¶y 1 2
h 2
0
i
i 0
1
4 自旋单态与三重态 - 西安交通大学教师个人主页 - 首页
2
2
= s1z c 1 (s1z )c 1 (s2z ) + c 1 (s1z )s2z c 1 (s2z )
2
2
2
2
=
1 2
hc 1 (s1z )c 1 (s2z ) +
2
2
1 2
hc 1 (s1z )c 1 (s2z
2
2
)
= hc 1 (s1z )c 1 (s2z )
2
2
计算表明，
c
I s
是
S2
2 个Bose 子体系，其对称化波函数是：
F（ S q1 , q2 ) =
1 2
[F（q1
,
q2
)
+
F（q2
,
q1
)]
1，2 粒子在 i，j 态中的一种排列
=
1 2
[f（i q1
)f
j
(q2
)
+
f（i q2
)f
j
(q1
)]
N 个 粒子在 i，j … k 态
N 个Bose 子体系，其对称化波函数可类推是：
I。n1=n2=n3=1
F
1 （ 1 1
S
q1
,
q2
,
q3
)
=
1 3
[f（1 q1
)f2 (q2
)f 3
(q3
)
+
f（1 q2
)f2 (q3
)f 3
(q1
)
+ f（1 q3 )f2 (q1 )f3 (q2 ) + f（1 q3 )f2 (q2 )f3 (q1 )
+ f（1 q2 )f2 (q1 )f3 (q3 ) + f（1 q1 )f2 (q3 )f3 (q2 )]
自旋三重态及其在有机发光中的应用
[8]
H E
自旋三重态和自旋单态的能量
• 积分方程E = ∫ψ﹡Hψdr
[8]
▫ 化为ET=∫ψT﹡HψTdr=-5/2 +J12-K12 ES=∫ψS﹡HψSdr= -5/2 +J12+K12
• 两个电子的自旋耦合
▫ 自旋力学量完全集(s1z,s2z) ，其中s1z,s2z为粒子1、2 自旋角动量在z方向的投影，非耦合表象 ▫ 自旋力学量完全集(s2,sz)，其中s=s1+s2，sz为粒子1、 2自旋角动量之和在z方向的投影，耦合表象
H E
非耦合表象
• 非耦合表象
α1 α2 α1 β2 β1 α2 β1 β 2
H E
荧光、磷光与激子
+
激子
singlet E0+J+K triplet E0+J-K
荧光 磷光
ground state
[11] Yuichiro Kawamura, Development of High Performance OLED materials and Current Progress, Idemitsu Kosan Co.,Ltd., 9 October 2012 P31
不变子空间
• 不变子空间：群的某些算符作用在其上时重新产 生自己的一组状态
[2]
▫ 例：球谐函数Ylm中的正交矢量组{Y00,Y11,Y10,Y1-1} J±Ylm=[l(l+1)-m(m±1)]1/2 Ylm±1 Jz Ylm=mYlm
量子力学(第八章自旋)解读
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱 （Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年
左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量
Sz
s
，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值： （2）每个电子具有自旋磁矩 s 它与自旋角动
量
2
（若将空间任意方向取为z方向） 的关系是
ms 称为自旋磁量子数。由
且
2
S S S S
2 2
2 2 x
^2
(13)
2
3 故 S 的本征值是 S S S S 4
2 y 2 z
[ S , S z ] [ S , S y ] [ S , S x ] 0 (14)
2
若将任何角动量平方算符的本征值记为
J j ( j 1)
0 1 (Sz ) 2 1
(7)
与 构成电子自旋态空间的一组正交完备基，
任何一个自旋态式（4），均可用它们来展开， 表示为 a (8) ( S z ) a b
(9)
b 而计及空间坐标的波函数式（1），可以表示为
(r , Sz ) (r , 2) (r , 2)
^
^
^
^
^
(24)
z x x z i y
即
^
^
^
^
^
i
式(21)和(24)和 数性质。
概括了Pauli算符的全代
特例: 在量子力学中凡与自旋有关的力学量常 ˆ 算符表示。 ˆ 在任意方向n 的分量算符 ˆn 以
或表示为
[ i , j ] 2iijk k
自旋三重态解释
自旋三重态解释嘿，朋友们！今天咱来聊聊自旋三重态这玩意儿。
你说这自旋三重态啊，就像是一场奇妙的舞蹈。
想象一下，粒子们就像是一群欢快的舞者，它们在微观世界里尽情地跳跃、旋转。
自旋三重态呢，就是其中一种特别带劲的舞蹈风格。
在这个微观的舞台上，粒子们有着自己独特的舞步和节奏。
自旋三重态的粒子就像是那些充满活力、激情四溢的舞者，它们以一种特别的方式展现着自己的魅力。
咱们日常生活里也有类似的情况呀。
比如说，一场热闹的派对，有些人特别活跃，能带动整个气氛，这就有点像自旋三重态的粒子。
它们充满了能量，让周围的一切都变得生动起来。
而且哦，这自旋三重态可不是随随便便就出现的，它得在特定的条件下才会闪亮登场。
这就好像一个优秀的舞者，需要在合适的舞台、合适的音乐下才能发挥出最佳水平。
你知道吗，科学家们为了研究这自旋三重态可没少下功夫！他们就像一群执着的观众，努力去理解这些粒子的“舞蹈语言”。
他们通过各种实验和观察，一点点地揭开自旋三重态的神秘面纱。
想想看，要是没有这些科学家们的努力，我们怎么能知道这么奇妙的微观世界呢？这自旋三重态可真是让我们大开眼界啊！它就像是一个隐藏在微观世界里的宝藏，等待着我们去发现、去探索。
每次想到这里，我就忍不住感叹，这世界可真是太神奇了！我们生活的这个世界，既有宏观的壮丽景象，又有微观的奇妙之处。
而自旋三重态就是微观世界里一颗璀璨的明珠。
它让我们看到了物质的另一种表现形式，让我们对世界的认识更加深入、更加全面。
这难道不令人兴奋吗？所以啊，朋友们，不要小看这小小的自旋三重态，它里面蕴含着大大的学问呢！让我们一起保持对科学的好奇心，继续去探索这个充满神奇的世界吧！总之，自旋三重态就是这么神奇、这么有趣，值得我们好好去研究和了解。
量子力学(第八章自旋)解读
(r , 2) (r , S z ) (r , 2)
(1)
称为旋量波函数。其物理意义如下： 2 (r , 2) ：是电子自旋向上（ S z 2 ）, 位置在 r 处的几率密度。 2 (r , 2) : 是电子自旋向下（ S z 2 ） 位置在 r 处的几率密度。 而 2 3 d r (r , 2) 表示电子自旋向上（ Sz 2 ） 的几率。 2 3 d r (r , 2) 表示电子自旋向下（Sz 2） 的几率。
到底片上，结果发现射线束方向发生偏转，
分裂成两条分立的线，这说明氢原子有磁 矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而 发生偏转。
z
N
B B
S
（Stern----Gerlach实验）
由于这是处于基态的氢原子，轨道角动量为 零，基态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量 产生。故是一 种新的磁矩。此外，由于实验 上发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场 中只有两种取向，是空间量子化的，而且只 取两个值。假定原子具有磁矩 ，它在 z 方 向上的外磁场B 中的势能为
所以归一化条件为 2 2 2 3 3 3 d r (r , S z ) d r d r[ (r , 2) (r , 2) ] sz 2 (2) 1
在很多情况下，波函数可以分离变量，即
(r , S z ) (r ) ( S z )
2.自旋态的描述
为了对电子的状态作出完全描述，如前 所述，还必须考虑其自旋状态。确切的说， 要考虑电子自旋在某给定方向（例如z轴方 向）的两个可能取值（投影）的波辐，即 波函数中还应包括自旋投影这个变量（习 (r , S z ) Sz 惯上取为 ），记为 ，与连续变量 2 不同， r 只能取Sz 两个分立值，因此， 使用二分量波函数是方便的
如何理解自旋单态和自旋三重态？
如何理解自旋单态和自旋三重态？自旋单态和自旋三重态是研究两个1/2自旋耦合时得到的结果。
根据量子力学的基本理论，1/2自旋的粒子属于费米子，直接想到的例子就是电子。
当考虑两个耦合电子波动方程的解时，必须要考虑到泡利不相容原理。
泡利不相容原理说的是，在一个量子系统中，任意两个费米子不能占据相同的量子态。
这是费米子作为全同粒子的必然要求。
我们可以形式上去考虑一下费米子的波函数。
如果不考虑自旋和轨道的相互作用，那么电子波函数可以写成轨道部分和自旋部分的乘积。
根据费米子的定义，它的波函数必须是反对称化的。
所以可以分为两种情况：1. 轨道部分是对称化的，自旋部分是反对称化的；2. 轨道部分是反对称化的，自旋部分是对称化的。
我们考虑两个电子的自旋，可以很容易地想象出四种所有的四种状态，即↑↑，↑↓，↓↑，↓↓。
但是这四种状态不符合全同粒子的基本要求。
如果是全同粒子的话，我们将不能分辨出两个电子，假如是A和B，到底哪个自旋向上，哪个自旋向下。
这个时候我们可以对上面四种状态做一下处理，得到四种本征自旋态，即•↑↑，（1，1）•（↑↓+↓↑）/√2 （1，0）•↓↓ （1，-1）•（↑↓-↓↑）/√2 (0,0)其中前三种是对称化的，称为自旋三重态，最后一种是反对称化的，称为自旋单态。
后面括号中的两个数分别标出了对应自旋态下的总自旋和自旋z方向分量的值。
有些朋友可能会云里雾里。
很多人接下来都会想到一个问题就是，什么体系处于自旋单态，什么体系处于自旋三重态呢？首先，我们要寻找的就是多电子体系，因为单电子体系中是不存在自旋耦合问题的。
最简单的多电子体系就是氦原子，它有两个电子。
我们将处于自旋三重态的氦称为正氦，处于自旋单态的氦称为仲氦。
自旋三重态的氦和自旋单态的氦形成了两套独立的光谱。
可以想象，单态氦的光谱线是单线光谱，而三重态的氦则会有复杂的光谱结构。
事实上，日常生活中见到的大多数分子都以自旋单态的形式存在，有一个例外是氧分子。
超导体的自旋三重态超导性研究
超导体的自旋三重态超导性研究超导体的自旋三重态超导性是一个备受关注的研究领域。
自旋三重态超导性指的是在超导材料中，电子的自旋以三重态的形式结合，从而形成超导态。
这种超导性的研究对于解决能源危机和实现高效能源转化具有重要意义。
本文将对超导体的自旋三重态超导性进行综述。
一、超导体的基础知识超导体是一种在极低温下，电阻突然消失且磁场被完全排斥的物质。
超导体的研究可以追溯到1911年荷兰物理学家海克·卡末林·奥尼斯发现了水银在低温下的超导性。
迄今为止，人们已经发现了许多不同类型的超导体，包括传统超导体、低温铁基超导体和高温铜氧化物超导体等。
二、自旋三重态超导性的原理在超导材料中，电子的自旋可以以两种形式存在：自旋单态和自旋三重态。
自旋单态是指两个电子的自旋方向相反，自旋三重态是指两个电子的自旋方向相同。
在传统超导体中，电子的自旋以自旋单态的形式结合，而在自旋三重态超导体中，电子的自旋以自旋三重态的形式结合。
研究表明，自旋三重态超导体具有更高的超导转变温度和更强的磁场耐受性。
三、自旋三重态超导性的研究方法目前，研究人员主要使用实验和理论两种方法来研究自旋三重态超导性。
实验方法包括磁化率、热容、电阻率和超导体的磁场响应等测量技术。
理论方法包括利用数值计算和理论模型分析超导体的能带结构、费米面形状和电子之间的相互作用等。
四、自旋三重态超导体的应用自旋三重态超导体具有许多潜在的应用领域。
首先，自旋三重态超导体可以用于制备更高转变温度的超导体材料，从而提高能源传输的效率。
其次，自旋三重态超导体对磁场具有更好的抗干扰能力，可以用于制备高磁场强度的磁体。
此外，自旋三重态超导体还可以应用于量子计算、量子通信和量子传感等领域。
五、自旋三重态超导性的挑战和展望尽管自旋三重态超导性在理论和实验研究中取得了一些重要的进展，但仍存在一些挑战。
首先，制备高质量的自旋三重态超导体样品是一个难题。
其次，研究自旋三重态超导性的机制仍然存在许多争议。
甘肃省兰州市五十八中2022-2023学年高三下学期建标检测语文试题(解析版)
由此可以推断，鸟类能将来自视觉、听觉和磁感觉的方向信息综合起来加以分析整理，最终对前行的方向做出正确的判断。当然，要全面解开候鸟迁徙中获得方位信息的疑问，尚待时日。
（取材于李德、朱晓璐、王江云的相关文章）
材料二：
中国科学院与英国牛津大学、德国奥登堡大学的教授们组成的团队，通过蛋白纯化和控制环境的行为学实验研究发现，迁徙鸟类的隐花色素4a蛋白比非迁徙鸟类的隐花色素4a蛋白的磁场敏感性更强，揭示了由该蛋白介导的磁感应机理。相关研究成果于2021年6月23日以封面文章的形式发表于《自然》杂志。
A.人们一直在研究候鸟迁徙能够准确辨别方向的原因，但是可惜的是，种种原因的猜测都毫无依据。
B.当前研究活动中，基于地图罗盘理论的正确性，科学家可通过技术控制鸟类的一些行为活动。
C.候鸟感知磁场的关键物质隐花色素4a蛋白因为由大量氨基酸组成，所以对蓝光非常敏感。
D.从量子力学的研究角度出发，候鸟只要转动头部，就会影响到地球磁场角度的细微变化。
有人猜想，候鸟能通过身体中类似钟表的感觉器官，在天空飞行中计算太阳的位置，不断地调整自身与太阳的角度，确定自己飞行的方向和路线。也有人认为，候鸟是天生的“气象学家”，它们能够在飞行中“自觉”利用有利的气象条件顺利到达目的地。还有人认为，候鸟对地球磁场的变化十分敏感，能够依据地磁场辨别方向。
8.4 自旋单态与三重态,自旋纠缠态
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 及
y i , y i , x , x , z , z
（7）
容易证明
2 2 s 1 2 2 1 2 2 2 s 1 2 2 1 2
（15）
以它们为基矢的表象称为角动量耦合表象.
可分离态：由两个粒子组成的复合体系的量子态，
如果能够表示为每个粒子的量子态的乘积，则称为 可分离态. 纠缠态：由两个粒子组成的复合体系的量子态，
8.4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 如果不能够表示为每个粒子的量子态直乘,而是 它们的叠加态，则称为纠缠态.
,为对易自旋力学量完全集，
令 s1z 本征态记为 1和 1 ， 1.求 s z 的本征态.
8.4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
s2 z 本征态记为 2 和 2 ，
则 sz s1z s2 z 的本征态为
1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 （5）
8.4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态
（2）
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 令
2 2 2 s 2 sx sy sz
（3） （4）
可以证明
[ s 2 , s ] 0, x, y, z
可以选 (s1z , s2 z ) ,或 求 ( s 2 , sz ) 的本征态：
( s 2 , sz )
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 8.4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态 8.4.1 自旋单态与三重态 设两个电子的自旋为s1与s2，则两个电子的自旋之和
三重态
自旋单态的两个电子可以处于相同的空间态，而三重态不可以。
如果无外磁场，并且先不考虑电子间库伦作用，则两个电子都处于空间波函数的基态时具有最低能级，即只有自旋单态可以达到最稳定状态。
如果具有强外磁场，自旋三重态在空间态能级上将劈裂为三个能级，并且能级差随磁场增加而增加，其中有一个能级可以比空间波函数基态能级更低，在这种能级上三重态更稳定。
至于电子之间的库伦相互作用，同处于基态时的相互作用和三态时的相互作用之差似乎总是小于空间波函数激发态和基态之差（我不确定有没有哪个定理明确指出过，位力定理可能对此支持），因此考虑库伦相互作用不改变单态比三重态稳定的结果。
严格的分析涉及到多体相互作用，电子数的增加会改变空间态的能级和本征态，不过在原子这种例子中，原子核对电子的吸引总是强于电子相互作用因而能级结构改变不大，以上的简明图象是适用的。
分子的三重态
分子的三重态在化学领域中，分子的三重态是指分子处于一个具有三个不同能级的电子激发态。
这些能级是由分子的电子构型和分子中的电子相互作用所决定的。
分子的三重态具有独特的性质和行为，对于理解分子的结构、反应和性质至关重要。
在三重态中，分子的电子处于高能级，激发态的状态。
这种状态与分子的基态不同，因为它具有不同的电子分布和电子自旋状况。
由于电子自旋的相互作用，分子的三重态可能具有两种不同的自旋状态，分别称为自旋三重态和自旋单态。
自旋三重态和自旋单态的能级之间存在能量差异，这使得分子在不同的电子激发态之间进行跃迁成为可能。
这些跃迁可以通过吸收或发射光的形式进行，从而产生各种各样的光谱现象。
这些光谱现象可以用于分析分子的结构和动力学行为。
分子的三重态还可以通过化学反应进行转化。
在一些反应中，分子的基态可以被激发为三重态，然后再回到基态。
这种转化可以通过光激发或化学反应来实现。
分子的三重态在这些反应中起到了重要的作用，它们可以作为反应中间体或过渡态，参与到反应的进行中。
除了在化学反应中的作用，分子的三重态还对分子的氧化还原性质和磁性质有重要影响。
分子的三重态可以影响其与其他分子或离子的相互作用，从而改变其化学性质。
此外，分子的三重态也可以影响分子的磁性，从而影响分子在外磁场中的行为。
分子的三重态是分子电子激发态的一种形式，具有重要的化学和物理性质。
通过研究分子的三重态，我们可以更好地理解分子的结构、反应和性质。
同时，分子的三重态也为开发新的材料和化学反应提供了潜在的机会。
因此，对于分子的三重态的研究具有重要的科学意义和应用价值。
分子的三重态
分子的三重态分子的三重态是指分子在激发态时所具有的自旋多重度为3的状态。
在化学和物理学中，分子的自旋态是指分子内部电子的自旋方向。
通常情况下，分子的自旋态可以分为单态和三重态两种。
单态是指自旋方向相同的状态，而三重态是指自旋方向不同的状态。
分子的三重态在化学反应和光谱学中具有重要的作用。
它们可以通过光激发或化学反应的方式产生，并且在一些化学反应中起着关键的作用。
例如，在光化学反应中，分子的三重态可以通过光激发产生，并参与到一系列的反应中。
在这些反应中，分子的三重态可以与其他分子发生能量转移或电子转移，从而引发一系列的反应过程。
除了在化学反应中起作用外，分子的三重态还在光谱学中具有重要的应用。
分子的三重态可以通过光谱仪进行研究和测量，从而获得分子的结构和性质信息。
在光谱学中，分子的三重态可以通过测量分子在激发态时的能级差异来确定。
这些能级差异可以通过测量分子在不同波长下的吸收或发射光谱来获得。
在分子的三重态中，分子的自旋方向不同，因此分子在三重态下具有不同的能级结构和性质。
例如，在一些分子中，三重态具有较长的寿命和较低的能级，因此可以通过光谱学方法进行研究和测量。
此外，分子的三重态还具有较强的活性和反应性，可以参与到一系列的化学反应中。
分子的三重态在化学和物理学领域中具有广泛的应用。
通过研究分子的三重态，可以更好地理解分子的结构和性质，从而为化学反应和光谱学研究提供重要的理论基础。
此外，分子的三重态还可以应用于光化学反应、光催化反应和荧光探针等领域，为相关技术和应用提供支持。
分子的三重态是分子在激发态时具有的自旋多重度为3的状态。
它在化学反应和光谱学中具有重要的作用，可以通过光激发或化学反应的方式产生，并参与到一系列的反应过程中。
通过研究分子的三重态，可以更好地理解分子的结构和性质，为化学反应和光谱学研究提供重要的理论基础。
分子的三重态在化学和物理学领域中具有广泛的应用，为相关技术和应用提供支持。
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两个自旋为 1 2 的粒子组成的体系具有三个对 称的波函数，是自旋的三重态，一个反对称 的波函数，是自旋单态。
现在来计算耦合表象中算符 S 2 和 S z 的本征
值9 。令 Ss1s2 ，则有
2
S1z s1z s2z
S2 (s1 s2)2
=s12 s22 2s1 s2
=3 2
2 2[s1xs2x s1ys2y s1zs2z ]
又因
（6）
（7） （8）
Sx1 2
0 21
11 00
=
0 21
212
（9）
Sx 12
0 21
1010
1 20
2
1 2
（10）
9
3
综合（15）至（22）式得出，S 2 作
用在对称波函数上
、 、 (1) (2) (3)
S
S
S
时，其本
征值为 2 2 ，若将 S 2 的本征值表示
为 s(s1) 2，即得总自旋角动量量子
1.（3）态 S( 3 ) 两个粒子的自旋虽然平行，但合
成后的总自旋角动量与z 轴垂直；
1.（4）态 A 两个粒子的自旋反平行。
9
8
9
9
2 S 1 mS
3 3
1 1
三重态
30
1 0 单态
9
7
说明：态
、 、 (1)
(2)
(3)
S
S
S
各不同。 S
2
表现在
作用在这些波 函数上，分别得出三个
不同的值 、- 、 0 。
1.（1）
态 ( 1 ) S
，两个粒子的自旋都平行于z
轴；
1.（2）态 S( 2 ) 两个粒子的自旋都反平行于z 轴；
8.5 自旋单态和自旋三重态 本节我们讨论两个自旋都是 1 2 的粒子， 自旋和自旋之间的耦合。
当两个粒子体系的哈密顿算符不含自旋 时，两个自旋为1 粒子的总的自旋波函数
2
是每个粒子自旋波函数的乘积。
(s1z,s2z)1(s1z)2(s2z) (1,2=2 1)（1）
利用单个粒子的自旋波函数，可以按以下四
种方式构成两个粒子的总自旋波函数：
(1) s
1
(s1z )1
(s2z )
（2）
2
2
9
(2) s
12
(s1z
)
1 2
(s2z
)
（3） 1
(3) s
12[12(s1z)12(s2z)12(s2z)12(s1z)]
（4）
A 12[12(s1z)12(s2z)12(s2z)12(s1z)]Fra bibliotek（5）
脚标S 表示波函数是对称的，交换两个粒子， 将s 1 z 变为s 2 z 后，波函数不变号，脚标 A 表示波 函数是反对称的，交换两个粒子，将s 1 z 变为 s 2 z
数 s 1 ，这正是 1 1 耦合的结果。同理， 将 作用S 2 在反对称2 波2 函数 上， A 其本征
值为零，相应的 的结果。
，s 这0 是
1耦 合1
22
9
6
上述结果表明：
(1) S
(2) S
(3 S
)
Sˆ 2 S Sˆ z mS
22 1 1 22 1 1 22 1 0 0
A 0 0 0 0