2015年河南高考数学试题

2015年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中元素的个数为：

（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2

（2）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC =

（A ）(7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)

（3）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =

（A ）2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +

（4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数。从1，2，3，4，5，中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为

（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）120

（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12

，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则||AB =

（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中

有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：

积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，

米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆

的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛

米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约

有

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛

（7）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为的前n 项和。若844S S =，则10a =

（A ）172 （B ）192 （C ）10 （D ）12

（8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为

（A ）13(,),44

k k k Z ππ-+∈

（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-

+∈

（C ）13(,),44k k k Z -+∈

（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈

（9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =

（A ）5

（B ）6

（C ）7

（D ）8

（10）已知函数12

22,1,()log (1),1,x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14

- （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为1620π+，则r =

（A ）1

（B ）2

（C ）4

（D ）8

（12）设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且

(2)(4)1f f -+-=，则(a = )

（A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）数列{}n a 中112,2,n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =________

（14）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则a =______

（15）若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩

，则3z x y =+的最大值为___________________

（16）已知F 是双曲线2

2

:18y C x -=的右焦点，P 是C

左支上一点，A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为____________________________

三、解答题：

（17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，

2sin 2sin sin B A C =。

（I ）若a b =，求cos B ，

（II ）若90B =︒

，且a =ABC ∆的面积。

（18）（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，

（I ）证明：平面ACE ⊥平面BED ；

（II ）若120,ABC AE EC ∠=︒⊥，三棱锥

E ACD -

求该三棱锥的侧面积。

（19）（本小题满分为12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量(1,2,,8)i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

表中81

18i i i w w w ===∑。 （I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（II ）的结果回答下列问题：

（i ）当年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+斜率和截距的最小二乘估计分别为

12

1()(),()n

i i

i n i

i u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑。 （20）（本小题满分12分）

已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点。 （I ）求k 的取值范围；

（II ）若12OM ON ⋅= ，其中O 为坐标原点，求||MN 。

（21）（本小题满分12分）

设函数2()ln x f x e a x =-。

（I ）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；

（II ）证明：当0a >时，2()2ln f x a a a

≥+。 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选 题号后的方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E 。

（I ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；