巧解双曲线的离心率
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
如何求双曲线的离心率
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2 姨 3 －1
%
故选D. = 姨 3 +1，
%
与渐近线y=
b 得出其斜率的乘积为-1， 进而求得b和a， x垂直， c a
点评 ： 本题把双曲线的问题放在正六边形中考查 ， 情境新 颖 ， 综合考查多方面的能力 ， 掌握正六边形的性质是解决本题的 基础 . 利用性质得出计算 2a=|EC|-|FE| 的值是解题的关键 ． 例 6 （2012 年浙江杭州第二中学高三模拟） 如图 3， F2为双
如何 求 双 曲
离心率 的 线
黄 健
筅湖北省广水市育才高中
也可求出渐近线的方程， 即
b % 2 当双曲线的 = 姨e －1 . 但要注意， a x2 y 2 （a>0， － =1 a2 b2
焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两解.
例 1 （2012 年湖北黄冈高三模拟） 双曲线
%
则它的离心率e=______. ） 的一条渐近线方程为y= 姨 2 x， b>0 2 由于新课标降低了对双曲线的要求， 双曲线中基本知识必然 成为高考考查的热点， 考查中常常涉及到双曲线基本量 （a、 b、 c、 ） 之间的关系以及双曲线的渐近线， 特别是双曲线的离心率， 求 e 双曲线离心率涉及到解析几何 、 平面几何、 代数等多个知识点， 综合性强， 方法灵活， 解题关键是挖掘题中的隐含条件， 能够体 现双曲线解题的技巧与方法. 下面通过具体例子分类解析如何 求解双曲线的离心率.
一 、利用渐近线与离心率的关系求解
双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小的程度 的， 所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系， 二者之 间可以互求. 已知渐近线的方程时，可得 b a +b =1+ a a2
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注江西临川二中 何泉清解几是高考重点考查的内容，故椭圆、双曲线的离心率问题依然是高考数学的热点和重点．一、求离心率的值 求解椭圆、双曲线离心率的值的方法：一是直接利用其定义；二是利用直线与其位置关系，转化到一个关于离心率e 的方程来求解．例1 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线2222by a x -=1上的一点，1PF ·2PF =0，且tan ∠P F 1F 2=21，则此双曲线的离心率e = ． 解：如图1，∵1PF ·2PF =0，∴△P F 1F 2为直角三角形．∵tan ∠P F 1F 2=21，∴12PF PF =21，即| P F 1|=2| P F 2|． 又| PF 1|-| PF 2|=2a ，| PF 1|2+| PF 2|2=（2c ）2， 图１∴| PF 2|=2a ,5| PF 2|2=4c 2,20a 2=4c 2， ∴22ca =5，则e =c a =5．例2 已知椭圆的短轴长为 6,F 1、F 2分别为它的左、右焦点，CD 是过F 1的弦，且与x 轴成α角（0＜α＜)π，若△F 2CD 的周长为20，则椭圆的离心率e =．解：如图2，∵| CF 1|+| CF 2|=2a ，|DF 1|+|DF 2|=2a ，∴两式相加，得：| CF 1|+| CF 2|+|DF 1|+|DF 2|=20=4a ．∴a =5，又b =3，∴c =4, 则e =a c =54． 图２ 点评：例1、例2是直接利用双曲线、椭圆的一义来求离心率的．例3 设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（b ，0）两点．已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．2或332 解：由l ： by a x -=1，得bx +a -yab =0 原点到直线l 的距离为22b a ab+-=43c ，又a 2+b 2=c 2， ∴ab =43c 2，∴a 2b 2= 163c 4，即a 2c 2-a 4=163c 4，两边同除以a 4，则e 2-1=163e 4，解得e =2或e =332． 又b ＞a ＞0，∴ab ＞1，即e 2-1＞1，e 2＞2． ∴e =2．故选A ．例4 已知椭圆C 的方程为2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），若直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F 2，则椭圆的离心率e 的（ ）A ．21B ．22C ．23D ．2-1解：设半焦距为c ，则F 2（c ,0）．∵M 在轴上的射影恰好是右焦点F 2，∴M （c , 22c ）． ∴22a c +22)22(bc =1，又a 2-c 2=b 2， ∴22ac +)(2222c a c -=1， 整理得，2c 4-52a c 2+2a 4=0，即2e 4-5e 2+2=0．∴e 4=21，故选B ． 点评：例3、例4求离心率的方法是有相同的特点：先根据条件得到一个关于a 、c 的齐次等式，然后等式两边同除以a 的方幂，得到一个关于离心率的方程，解出e 并注意条件即得到所求．二、求离心率的取值范围其方法可以利用椭圆、双曲线的变化范围，直线与椭圆、双曲线的三种位置关系建立的一元二次方程存在实根的条件，图形的直观性，实数的非负性或已知变量的取值范围（隐含条件的不等关系）等来确立含离心率e 的不等式，从而获解．例5 已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解法一：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0）， ∴PA k =a x y +00，PB k =ax y -00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PA PB PA k k k k -+=2202002a y x ay -+， ∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得 y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1． 解法二：以AB 为弦，含0120的角且在x 轴上方的弓形弧与上半椭圆的交点除A 、B外至多有两个，至少有一个，所以上顶点D （0，b ）在弓形内，即∠ADB ≥0120， ∴∠ODB ≥600（点O 为坐标原点），∴ba ≥3，即a 2≥3b 2=3(a 2-c 2)， 则e 2≥32． ∴33≤e ≤1． 点评：椭圆、双曲线上点的横、纵坐标的取值范围往往可以确立含离心率e 的不等式．解法二是考虑到几何性质运用数形结合的思想方法建立了含e 的不等式，简化了求解过程．下面再看例6对这一方法漂亮的应用．例6 已知椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上有点P ，使∠F 1PF 2为直角，求椭圆离心率的取值范围．解：依题意知，以F 1F 2为直径的圆Ｃ与椭圆必有公共点P ，则椭圆短轴上端点B 必在圆Ｃ的内部或圆上，即|OB |≤r =c （r 为圆Ｃ的半径），∴b ≤c ，∴a 2- c 2≤c 2, 即2 c 2≥a 2，则22≤e ＜1． 点评：本题还有其他多种解法，请同学们试试．例7 过双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 且倾斜角为045的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点．求双曲线离心率的取值范围．解：设F （c ,0），则直线AB 的方程为y =x -c ，且c 2= a 2+ b 2 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-c x y b y a x 12222，消去y ，得2222)(b c x a x --=1， 即（a 2- b 2）x 2-2 a 2cx + a 2 (b 2 -c 2)=0．∵直线AB 与双曲线有两个交点，∴a 2- b 2≠0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2222b a c a -，x 1x 2=22222)(ba cb a -+． 又∵A 、B 分别在双曲线的右支上， ∴⎪⎩⎪⎨⎧〉-+=≠-0)(022*******b a c b a x x b a ，即a 2＞ b 2，a 2＞c 2- a 2， ∴e 2＜2，则1＜e ＜2．点评：本题是以直线与双曲线的位置关系来确立含e 的不等式，亦可由图形上根据角度的大小关系确立含e 的不等式来求解．例8 已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 满足=λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线e 的取值范围． 解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图3，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．设A （-c ,0）， C （2c ,h ）， E （x 0,y 0）,其中c =21|AB |，h 是梯形的高． ∵=λ， 图３∴（x 0+c ，y 0）=λ（2c -x 0，h -y 0）， ∴x 0=)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h ． 设双曲线方程为2222by a x -=1， ∵C 、E 在双曲线上，并考虑e =a c ， ∴222222221,(1)42()() 1.(2)411e h b eh b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩ 由(1)得22bh =42e -1，代入(2)，得42e （4-4λ）=1+2λ， ∴λ=1-132+e ，由32≤λ≤43，得32≤1-132+e ≤43， 解得7≤e ≤10． 故双曲线离心率的取值范围为[7，10]．点评：本题依据已知变量的范围来确立含e不等式从而获解．―――原载《广东教育》2005年第18期。
双曲线的离心率
双曲线的离心率
双曲线的离心率定义为双曲线上任意一点到它的长轴的距离除以到短轴的距离的比值，其符号表示为e，称为双曲线的离心率。
双曲线总是一种几何形状，它的定义即在任意一
点处都满足特定方程，特别是，双曲线满足椭圆方程：
$$
\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } }+\frac
{ { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } }=1
$$
这里a和b分别叫做长轴和短轴的长度，因此，双曲线离心率的定义就是指：
$$
e=\frac { a }{ b }
$$
双曲线是一类重要的曲线，在几何图形中起着重要作用，它有多种形式，可以根据离
心率来划分，离心率表示双曲线形状的大小，离心率越大，双曲线越扁，离心率越小，双
曲线越圆。
如果离心率为1，则双曲线为椭圆，离心率大于1，则双曲线称为钝心双曲线；离心率小于1，则双曲线称为锐心双曲线；当离心率等于无穷大时，双曲线变为直线。
双
曲线是非常常见的几何图形，由于其扁平程度的不同，在许多地方都有应用，比如在球面
测地学中，双曲线用来定义地球的地图投影，也可以用于计算电流在涡旋器中的流动等。
双曲线也经常被应用在求解复杂方程组以及分析特殊函数的问题中。
双曲线的特征与其离心率有关，离心率越大，双曲线越快，越圆，反之，则双曲线变
得越扁，离心率越小，因此，双曲线的离心率在双曲线中起着关键作用，它反映了双曲线
形状的大小，可以用来描述双曲线的属性，以及求解复杂的几何图形模型。
双曲线的焦点与离心率的计算方法
双曲线的焦点与离心率的计算方法双曲线是经典的数学曲线之一，具有特殊的性质和形态。
焦点和离心率是描述双曲线的重要参数，能够帮助我们深入理解和分析双曲线的性质。
本文将介绍双曲线的定义、焦点与离心率的计算方法，并探讨它们在几何和物理中的应用。
一、双曲线的定义双曲线是具有以下几何性质的曲线：1. 定义域：双曲线的定义域为实数集，即曲线上的每一个点都对应一个实数，而且实数可以取任意值。
2. 对称轴：双曲线有两条对称轴，分别为纵轴和横轴。
对称轴是曲线的镜像轴，将曲线分为两个对称的部分。
3. 四个分支：双曲线由四个分支组成，分别位于对称轴及其延长线的两侧。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别靠近其两个对称轴。
渐近线与双曲线在无穷远处趋于平行。
二、焦点的计算方法焦点是双曲线上的一个特殊点，具有重要的几何和物理意义。
双曲线的焦点计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(c,0)和F2(-c,0)。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(0,c)和F2(0,-c)。
三、离心率的计算方法离心率是双曲线的一个重要参数，用来描述双曲线的形态特征。
离心率的计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(c,0)和F2(-c,0)，顶点为V(a,0)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(0,c)和F2(0,-c)，顶点为V(0,a)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
离心率e是一个大于1的实数，可以反映出双曲线的独特形状。
当离心率e趋近于1时，双曲线的形状趋近于抛物线；当e大于1时，双曲线的形状更加尖锐。
四、焦点和离心率的应用焦点和离心率是双曲线的重要参数，在几何和物理中具有广泛的应用。
双曲线离心率求解技巧
双曲线离心率求解技巧双曲线是数学中一种常见的曲线形状，其特点是离心率大于1。
在解决问题和分析双曲线时，了解和计算离心率是一项重要的技巧。
下面是一些关于双曲线离心率求解技巧的详细说明。
首先，让我们回顾一下双曲线的定义。
双曲线可以通过以下方程表示：(x²/a²) - (y²/b²) = 1其中，a和b是曲线的两个参数，通过改变这两个参数的值可以调整曲线的形状。
曲线的离心率可以通过参数a 和b来计算，具体方法如下：1. 找到曲线的焦点坐标。
双曲线的焦点坐标可以通过下面的公式计算：c = √(a² + b²)其中，c是双曲线曲线的焦点到原点的距离。
根据焦点的位置，曲线可以分为两种类型：左右开口和上下开口。
如果曲线是左右开口的，焦点坐标的x分量为±c，y分量为0；如果曲线是上下开口的，焦点坐标的x分量为0，y 分量为±c。
2. 计算离心率。
离心率是一个用来描述在双曲线上的点离焦点的距离和该点到曲线的距离之比。
数学上，离心率可以通过以下公式计算：e = c/a离心率大于1，说明曲线是一个双曲线。
离心率越接近于1，曲线的形状越趋向于直线。
离心率越大，曲线的形状越弯曲。
计算离心率是分析和解决问题的关键步骤之一，因为离心率的大小可以告诉我们关于曲线特性的很多信息。
例如，离心率越大，曲线的焦点越集中，曲线在焦点附近的形状会发生明显变化。
除了上述的求解技巧，还有一些常见的双曲线的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和使用双曲线。
以下是一些常见的例子：1. 长轴和短轴：在双曲线上，a被称为长轴，b被称为短轴。
它们之间的关系是a²- b²= 1。
长轴是双曲线在水平方向上的最长距离，短轴是双曲线在垂直方向上的最短距离。
2. 渐近线：双曲线的渐近线是指曲线在无限远处趋于的直线。
双曲线有两个渐近线，一个是左右开口的情况下的水平渐近线（y = ±(b/a) * x），另一个是上下开口的情况下的垂直渐近线（x = ±(a/b) * y）。
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式是指双曲线的离心率有三种可能的表示形式：椭圆离心率，双曲线离心率和双曲线参数离心率。
首先，椭圆离心率是指双曲线的离心率的椭圆形式。
椭圆离心率的表示形式是C=a/b，其中C代表椭圆离心率，a代表双曲线的短半轴长，b代表双曲线的长半轴长。
第二种双曲线离心率表示形式是双曲线离心率。
双曲线离心率的表示形式是C=e，其中C代表双曲线离心率，e代表双曲线的离心率。
最后，双曲线参数离心率的表示形式是C=e/2，其中C代表双曲线参数离心率，e代表双曲线的离心率。
双曲线的三种离心率公式可以用来表示双曲线的各种形状，从而有助于我们对双曲线的研究。
椭圆离心率可以用来表示双曲线的轮廓，双曲线离心率可以表示双曲线的不同程度的弯曲，而双曲线参数离心率可以表示双曲线的不同程度的扭曲。
双曲线是很多几何图形的一种，它的三种离心率公式可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并且可以应用到许多数学问题中。
例如，可以使用双曲线离心率来计算两个双曲线之间的距离，可以使用双曲线参数离心率来计算双曲线的曲率，也可以使用椭圆离心率来计算双曲线的面积。
总之，双曲线的三种离心率公式可以用来帮助我们更好地理解双曲线的形状，它们也可以用来解决许多数学问题，这使得它们极具有实用价值。
双曲线的离心率的求法
双曲线的离心率的求法1.设1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得︒=∠3021F PF ，︒=∠12012F PF ，则双曲线的离心率为 （ ▲ )A ．2B ．3C ．123+D ．213+2.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）3.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ． [，+∞） B ． [2，+∞） C ．D ． （1，2] 4.已知12,F F 是两个定点，点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点， 并且12PF PF ⊥，1e 和2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A ．2212114e e +=B ．22124e e +=C ．2212112e e +=D ．22122e e += 5.设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点。
若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且123AF AF =，则双曲线的离心率为A．2 B．2 C．2 D6过双曲线的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ．若，则双曲线的离心率为 A ．B ．C ．D ．7设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )．A. B. D.38.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是A B ．2 C D9如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为10.已知点P 是双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若 212121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=成立，则双曲线的离心率为 11设F 1、F 2分别为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点, 以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点, 且满足∠MAN=120o , 则该双曲线的离心率为12已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为。
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。
双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。
本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。
它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。
首先，我们将介绍双曲线的离心率。
离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。
通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。
其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。
对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。
渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。
本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。
我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。
在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。
在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。
1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。
对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。
精彩纷呈的双曲线离心率计算公式
该 曲线为 双 曲线． 于是 ａ ＝ｔ ０ ｂ ａ ， ＝ｃｔ， ｎ ｏ０
ｅ ＝
因此 曲线 Ｃ 必 为双 曲线 ， 。 Ｕ 。Ａ 为 它 的两个 顶 点 ，２＝４ Ａ ，： 了 ｂ
，
・ ． ．
√＋ ∈ ， １ ＝ （ ＋
例 ２ 已知 双 曲线 中 心 在 原 点 ０， 点 在 轴 焦 上 ， 渐 近线 分 别 为 Ｚ， ， 两 。ｌ 经过 右 焦 点 Ｆ 的直 线 垂
右焦点分别为 Ｆ ， ， Ｐ为双曲线上一点， ， Ｐ ， 上 ＩＦ Ｉ Ｉ ｌ ４ ｂ则双曲线的离心率为 Ｐ ．Ｊ ＝ ａ， Ｐ
—
．
—
得 ｅ ＝
． ．
＝
２
．
解 ： ＩＦ ＝Ａｌ Ｉ则 ＡＩＦ ｌ ４ ｂ 设 Ｐ ｌ Ｉ Ｐ ， Ｐ ２ ＝ ａ ，
又 ｌＰ —Ｉ Ｉ Ｆ１ ｌ ｌ ＝２ ． Ａ—Ｉ Ｉ ａ，．Ｉ ． Ｉ．Ｉ ｌ ａ， ＝２
’ ∈（ ， ’． １ Ｃ￥ ＜ ＇． Ｉ３ ． ０ Ｏ 盯］． 一 Ｏ０ １．ｅ ． ． ｇ（ ，］
．
・ ．
・ ．
‘ Ａ Ｃ为等腰三角形 ， Ａ Ｃ＝ ２ 。 Ａ Ｂ ／ Ｂ １０ ， Ｃ Ｂ＝３ 。直接 由公 式 三 ， Ａ ０，
．
例 ７ 已知双 曲线 一 ＝１口＞ ， ＞ ） （ ｏ ｂ ｏ 的左 、
‘ Ｉｉｏ—ｓ —ｓ （ ＋ 。 ｎｔ ｉ ｌ ｓ ｑ ｉ 卢） ｎ
即
一 ．
！ ！！ ！ 二
，
．
‘ 一
＝
．
・
６ ・ ８
＜ 效学之友）
２１ ０ ２年第 ｌ ２期
例 ４ 设 ＡＡ Ｃ 为 等 腰 Ｂ 三角 形 ，＿ Ｂ ／Ａ Ｃ＝１０ ， 以 ２ 。则
抓住关键__掌握方法_双曲线离心率的求法_王泽龙
，
∴ kAB ·kOP
=－
b2 a2
（值范围
例 7 如图 2，在直角 DEF 中，∠DEF
=
90°，| E→F |
= 2，| E→F + E→D |
=
5 2
，椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1，以 E、F 为焦点，且过点 D，点 O 为
坐标原点．
（ 1） 求椭圆 C 的标准方程；
为 60°，则双曲线的离心率为
．
分析 先 确 定 双 曲 线 的 图 形，结 合
ＲtB1 OF1 中边角之间几何特征，建立相应的 关系式，进而求解对应的离心率，利用几何法
求解双曲线的离心率关键是应用几何图形的
性质．
解 如图 1，不失一般性，假设双曲线的
焦点在 x 轴上． 由于 c ＞ b，所以
∠B1 F1 B2 = 60°，∠B1 F1 O = 30°． 在 ＲtB1 OF1 中，
设 MN 的中点为 H，则 KH ⊥ MN，此条件涉及
到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率，故用“点差
法”． 解
( ) （ 1）
x2 + y2 43
= 1，K 0，12
． （ 过程
略）
设 M（ x1 ，y1 ） ，N（ x2 ，y2 ） ，H（ x0 ，y0 ） ，直线 l
的斜率为 k（ k ≠ 0） ，则
2a = | PF1 | － | PF2 | = （ 槡3 － 1） m．
而 2c = 2m，
所以根据离心率的定义，有
e=
c a
=
2c 2a
=2 槡3 － 1
=
槡3
+ 1．
例析双曲线的离心率问题
例析双曲线的离心率问题
徐春生
【期刊名称】《中学生数理化:高二数学、高考数学》
【年(卷),期】2022()22
【摘要】离心率是双曲线的一个重要参数,它与基本元素a,b,c及渐近线、双曲线
的定义有着密切的关系,解题时涉及逻辑推理、运算求解、直观想象、数据分析等
核心素养。
一、由双曲线的定义或性质求离心率例1设点P是以F_(1)、F_(2)为左、右焦点的双曲线(x^(2)/a^(2))-(y^(2)/b^(2))=1 (a>0,b>0)左支上一点,且满足
PF_(1)⊥PF_(2),tan∠PF_(2)F_(1)=2/3.
【总页数】2页(P17-18)
【作者】徐春生
【作者单位】广东省汕头市澄海凤翔中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.例说高考数学复习中的纵向发散——对一类双曲线离心率问题的讨论
2.例析椭圆、双曲线离心率的求法
3.树立目标意识,求解圆锥曲线离心率问题——以求解双
曲线离心率为例4.例析点差法解决双曲线的点线对称问题5.例谈“几何与代数主
题教学”中数学思维的培养——以双曲线离心率问题教学为例
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活用渐近线 巧求离心率
2020年第10期 中学数学教学参考（下甸）'高考频迫活用渐近线巧求离心率杨宝兰（河北易县中学)摘要：渐近线方程离不开相应的双曲线方程，又在一定程度上决定着双曲线方程。
通过双曲线方程一条 渐近线的倾斜角确定双曲线方程的离心率，通过探究与变式拓展总结规律，充分挖掘高考题的内涵，揭示 双曲线的渐近线与离心率之间的联系。
关键词：双曲线；渐近线；离心率；倾斜角 文章编号：1002-2171 (2020) 10-0060-02渐近线是双曲线方程特有的几何性质，表明双曲 线在开口方向无限延伸时，相应的曲线无限靠近渐近 线。
渐近线方程直接决定对应双曲线方程的离心率， 两者可以进行有效转化与应用。
下面笔者结合一道 高考题进行说明。
1问题呈现(2019年高考数学全国卷I 文科第10题）双曲线C :^ —$ = l(a>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C 的离心率为（）。
A . 2sin 40° B. 2cos 40°C —~— D -sin 50〇cos 50。
2解法分析解法1:(直接求解法）由题可知双曲线C :bx 2 _y 21U >0,6>0)的渐近线方程为3；=士二:r ，又由于双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，可得btan 130。
c2-a2-tan 50°，而 tan 50° = Sin ，可得^sin2 50°cos2 50° cos2 50*cos 50—1，所以丨，即f;。
故选D 。
cos^ 50° …cos 50解法2:(公式变形法）由题意得双曲线C 的一条渐近线的斜率为一l = tan 130°,则双曲线C 的离心a率<'1+a /1 + tan2130°:sin2130°cos2130°j —= —^5。
高中数学双曲线离心率取值范围的解题策略学法指导
双曲线离心率取值范围的解题策略求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。
一、利用双曲线性质例1 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左支上，双曲线两焦点为21F F 、，已知|PF |1是点P 到左准线l 的距离d 和|PF |2的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由题设|PF |d |PF |221=得：|PF ||PF |d |PF |121=。
由双曲线第二定义e d |PF |1=得：e |PF ||PF |12=，由焦半径公式得：e ex a ex a =+--，则a e e a)e 1(x 2-≤-+-=，即01e 2e 2≥--，解得21e 1+≤<。
点评：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1by a x 2222=-的右支上则a x ≥。
二、利用平面几何性质例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由双曲线第一定义得：a 2|PF ||PF |21=-，与已知|PF |4|PF |21=联立解得：a 32|PF |,a 38|PF |21==，由三角形性质|F F ||PF ||PF |2121≥+得：c 2a 32a 38≥+解得：35e 1≤<。
点评：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
三、利用数形结合 例3 （同例2） 解析：由例2可知：a 32|PF |,a 38|PF |21==，点P 在双曲线右支上由图1可知：a c |PF |1+≥，|a c PF |2-≥，即a c a 32,a c a 38-≥+≥，两式相加得：c a 35≥，解得：35e 1≤<。
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巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。
经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。
下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值（1）利用离心率公式ace =，先求出c a ,，再求出e 值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出ab，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为__________.分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得34=a b解答：由已知可得34=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。
例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c ba b所以215+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
例3 若双曲线22221x y a b-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________.分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>⇒>>ab e a b b a（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
例4 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上非顶点的一点，且212PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为__________.分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等式。
解答：因为⎪⎩⎪⎨⎧=-=aPF PF PF PF 222121a PF a PF 2,421==⇒，而c F F 221=，又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a c a 622<<，所以31<<e 。
（3）利用圆锥曲线相关性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
例5 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线离心率e 的取值范围是__________. 分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。
解答：由⎪⎩⎪⎨⎧=-=aPF PF PF PF 242121可得322a PF =，又因为点P 在双曲线的右支上，a c PF -≥2，即3532≤=⇒-≥a c e a c a ，所以351≤<e . （4）运用数形结合思想建立,a c 不等关系求解e 的取值范围。
例6 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是______分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系 解答：由图象可知渐近线斜率360tan =≥ ab，再由2)(12≥+==a b a c e 。
（5）运用函数思想求解e 的取值范围。
例7 设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是________. 分析：把离心率e 表示成关于a 的函数，然后求函数的值域解答：把e 或2e 表示成关于a 的函数，212)1(1222222++=++=a a a a a e ，然后用求函数值域的方法求解，)5,2(∈e 。
小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率e 的值或取值范围有很多种办法，求值不一定非要先求出c a ,的值，能够得到c b a ,,中某两者的关系即可；求取值范围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。
总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。
练习： （1）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3解：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1 可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，3)(12=+==aba c e答案：B（2）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，又离心率为e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x . 答案：C（3）双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( )． A. 5 B ．2 C. 3 D. 2解：如图1，由l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，可得PF 1⊥PF 2，则|OP |＝12|F 1F 2|＝c ， 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，则 m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m 2＝ca m ＝c ，解得m ＝a ，即得点P 的坐标为(a ，b )，则由K PF 2＝b a －c ＝－b a ，可得2a ＝c ，即e ＝ca ＝2.答案：B（4）若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解：由题意，双曲线的焦点在x 轴上，所以e ＝m 2＋m ＋4m＝5，所以m ＝2.答案：2（5）如图2，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是___． A ．3 B ．2 C. 3 D. 2解:设双曲线的方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，椭圆的方程为x 2a 22＋y 2b 22＝1，由于双曲线与椭圆有公共焦点且M ，O ，N 将椭圆长轴四等分， 所以a 2＝2a 1，又e 1＝c a 1，e 2＝c a 2，所以e 1e 2＝a 2a 1＝2.答案：2（6）设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________． 解：由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝23a ，|PF 1|＝83a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧83a ≥c ＋a ，23a ≥c －a ，整理得53a ≥c ，所以c a ≤53，即e ≤53，又e ＞1，所以1＜e ≤53.答案：]35,1(图2图3（7）已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．解：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0， 即－1<e <2. 又e >1， 故1<e <2. 答案：(1,2)（8）如图3，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，求C 的离心率. 解：依题意，知直线F 1B 的方程为y ＝bc x ＋b ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b c x ＋b ，x a －yb ＝0，得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b ，x a ＋yb ＝0，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac c ＋a ，bc c ＋a ， 所以PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cb 2，c 2b .所以PQ 的垂直平分线方程为y －c 2b ＝－c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2，所以c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＝3c .所以a 2＝2b 2＝2c 2－2a 2，即3a 2＝2c 2. 所以e ＝62.图4答案：62（9）双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2. ∴双曲线的离心率为 2. 答案： 2（10）如图4，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .求①双曲线的离心率e ；②菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2.解：①由题意可得a =b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.②设sin θ＝b b 2＋c2，cos θ＝c b 2＋c2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案：①1＋52 ；②2＋52。