巧解双曲线的离心率

巧解双曲线的离心率

离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。

1、求离心率的值

（1）利用离心率公式a

c

e =

，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a

b

，再求出e 值。

例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3

4

=，则双曲线的离心

率为__________.

分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3

4

=a b

解答：由已知可得3

4

=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .

（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c

例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线

的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。

解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c b

a b

所以2

1

5+=

e （负舍） 2、求离心率的取值范围

求离心率的取值范围关键是建立不等关系。

（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。

例3 若双曲线22

221x y a b

-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________.

分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>

⇒>>a

b e a b b a

（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。

例4 双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上非顶点的一

点，且212PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为__________.

分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等

式。

解答：因为⎪⎩⎪⎨⎧=-=a

PF PF PF PF 22212

1a PF a PF 2,421==⇒，而c F F 221=，又因为三角

形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a c a 622<<，所以31<

例5 已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲

线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线离心率e 的取值范围是__________. 分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。

解答：由⎪⎩⎪⎨⎧=-=a

PF PF PF PF 24212

1可得322a PF =，又因为点P 在双曲线的右支上，

a c PF -≥2，即

3532≤=⇒-≥a c e a c a ，所以3

5

1≤

例6 双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直

线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是______

分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系 解答：由图象可知渐近线斜率

360tan =≥ a

b

，再由2)(12≥+==a b a c e 。

（5）运用函数思想求解e 的取值范围。

例7 设1>a ，则双曲线22

22

1(1)x y a a -

=+的离心率e 的取值范围是________. 分析：把离心率e 表示成关于a 的函数，然后求函数的值域

解答：把e 或2

e 表示成关于a 的函数，21

2)1(12222

22

++=++=a a a a a e ，然后用

求函数值域的方法求解，)5,2(∈e 。

小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率e 的值或取值范围有很多种办法，求值不一定非要先求出c a ,的值，能够得到c b a ,,中某两者的关系即可；求取值范围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。

练习： （1）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3

解：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2

b 2＝1 可得y 2

＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，3)(12=+==a

b

a c e

答案：B

（2）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5

2，则C 的渐近线方程为( )．

A ．y ＝±14x

B ．y ＝±13x

C ．y ＝±1

2x D ．y ＝±

x

解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，又离心率为e ＝

c

a ＝1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2

＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±

1

2x . 答案：C

（3）双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( )． A. 5 B ．2 C. 3 D. 2

解：如图1，由l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，可得PF 1⊥PF 2，则|OP |＝1

2|F 1F 2|＝c ， 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫m ，b a m ，则 m 2

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a m 2＝c

a m ＝c ，