【数学】数学二次函数的专项培优练习题附答案解析

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【2021中考数学】二次函数培优训练含答案

【二次函数】一．选择题1．抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2﹣2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2+22．关于二次函数y＝﹣2（x+3）2+8的图象，下列说法错误的是（）A．开口向下B．对称轴x＝﹣3C．最小值是8D．顶点坐标（﹣3，8）3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．44．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（）A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min5．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：x…﹣012…y…﹣1﹣m﹣﹣1n…则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最小值；②不等式y＞的解集是x＜﹣或x＞；③方程ax2+bx+c＝﹣的实数根分别位于0＜x＜﹣和＜x＜2之间；④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；其中正确的是（）A．①②③B．②③C．①②D．①③④7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．其中正确的是（）A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④9．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向上B．函数的最大值为1C．图象的对称轴为直线x＝﹣2D．当x＜2时y随x的增大而增大10．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2二．填空题11．若是二次函数，则k＝．12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝12t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了m．14．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．15．已知抛物线y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴交于A，B两点，直线y2＝2x+b经过点（x1，0）．若函数w＝y1﹣y2的图象与x轴只有一个公共点，则线段AB的长为．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（﹣1，﹣2a），Q（﹣4，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．17．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．（1）当销售单价为58元时，每天销售量是件．（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？18．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，A为抛物线顶点．（1）写出二次函数的解析式；（2）若抛物线上两点B（x1，y1），C（x2，y2）的横坐标满足﹣1＜x1＜x2，则y1y2（用“＞”，“＜”或“＝”填空）；（3）观察图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．19．已知，二次三项式﹣x2+2x+3．（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：x……﹣3﹣2﹣1012……y……m71﹣117……解答下列问题：（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；（Ⅱ）表格中m的值等于；（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象；（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式．参考答案一．选择题1．解：抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y＝（x+1）2+2．故选：D．2．解：∵二次函数y＝﹣2（x+3）2+8，∴a＝﹣2，则抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣3，函数有最大值为：8，顶点坐标（﹣3，8）故选项A，B，D正确，不合题意，选项C错误，符合题意．故选：C．3．解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y 轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c ＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1，故③正确；抛物线与x轴交点（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，故④不正确；故选：B．4．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故选：B．5．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．故选：D．6．解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝1，函数图象开口向上，该函数有最小值，故①正确；不等式y＞的解集是x＜﹣或x＞，故②正确；方程ax2+bx+c＝﹣的实数根分别位于0＜x＜﹣和＜x＜2之间，故③正确；当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误；故选：A．7．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．故选：D．8．解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴OE＝OF，∵∠BOE ＝∠COF ，∴∠EOF ＝∠BOC ＝90°， ∴△OEF 是等腰直角三角形；故①正确；②∵当OE ⊥BC 时，OE 最小，此时OE ＝OF ＝BC ＝1，∴△OEF 面积的最小值是＝，故②正确； ③∵BE ＝CF ，∴CE +CF ＝CE +BE ＝BC ＝2，设EC ＝x ，则BE ＝CF ＝2﹣x ， ∴EF ＝＝，∵0＜x ＜2， ∴≤EF ＜2， ∵＜＜2，∴存在一个△ECF ，使得△ECF 的周长是2+，故③正确；④由①知：△OBE ≌△OCF ，∴S 四边形OECF ＝S △COE +S △OCF ＝S △COE +S △OBE ＝S △OBC ＝S 正方形ABCD ＝×2×2＝1，故④正确；故选：D ．9．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2+1，a＝3，∴该函数图象开口向上，故选项A正确；函数的最小值为1，故选项B错误；函数图象的对称轴为直线x＝2，故选项C错误；当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D错误；故选：A．10．解：∵函数y＝ax2+2ax+m（a＜0），∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，又∵函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），∴该函数图象过点（﹣4，0），∴使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2，故选：B．二．填空题11．解：∵是二次函数，∴k2+1＝2且k﹣1≠0，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．12．解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，∵点A（2，2）在抛物线上，∴2＝22+k解得：k＝﹣2，∴平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．故答案为：y＝x2﹣2．13．解：∵s＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6，∴当t＝1时，s取得最大值6，即当t＝1时，汽车刹车后行驶的距离s取得最大值6m，∴汽车刹车后到停下来前进了6m，故答案为：6．14．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n＜0；所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．故答案为n＝1或﹣3≤n＜0．15．解：∵y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴交于A，B两点，而交点为（x1，0）、（x2，0），不妨设A（x1，0）、B（x2，0），∵直线y2＝2x+b经过点（x1，0），∴2x1+b＝0，∴x1＝﹣，A（﹣，0），∵函数w＝y1﹣y2的图象与x轴只有一个公共点，∴该公共点就是点A，∴设w＝＝x2+bx+，∴y1＝w+y2＝x2+bx++2x+b＝x2+（b+2）x++b．∴由韦达定理得：x1+x2＝﹣（b+6），x1x2＝+3b，∴|AB|＝|x1﹣x2|＝＝＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，∴A（0，﹣5a），点A向左平移4个单位长度，得到点B（﹣4，﹣5a）；（2）∵A与B关于对称轴x＝﹣2对称，∴抛物线对称轴x＝﹣2；（3）∵对称轴x＝﹣2，∴b＝4a，∴y＝ax2+4ax﹣5a，①a＞0时，点A（0，﹣5a）在y轴负半轴上，此时，点P，Q位于抛物线内部（如图1）．所以，抛物线与线段PQ无交点；②当a＜0时，点A（0，﹣5a）在y轴正半轴，当Q点在抛物线上时，则2＝16a﹣16a﹣5a，解得a＝﹣，即当﹣≤a＜0时，（如图2），结合图象，抛物线与线段PQ有一个交点；综上，a的取值范围是﹣≤a＜0．17．解：（1）200+（60﹣58）×20＝240（件），故答案为：240；（2）设该品牌童装获得的利润为y元，根据题意得，y＝（x﹣40）（﹣20x+1400）＝﹣20x2+2200x﹣56000，∴销售该品牌童装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝﹣20x2+2200x﹣56000；（3）根据题意得57≤x≤60，y＝﹣20（x﹣55）2+4500，∵a＝﹣20＜0∴抛物线开口向下，当57≤x≤60时，y随x的增大而减小，∴当x＝57时，y有最大值为4420元，∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4420元．18．解：（1）根据图示知，抛物线顶点坐标是（﹣1，2），则该抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2；（2）根据图示知，当x＜﹣1时，y的值随x的值增大而减小，所以抛物线上两点B（x1，y1），C（x2，y2）的横坐标满足﹣1＜x1＜x2，则y1＞y2；故答案是：＞；（3）由抛物线y＝﹣（x+1）2+2的对称轴是直线x＝﹣1知，抛物线与x轴的另一交点坐标是（1，0），所以当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．19．解：（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，∵m为整数，方程的根为有理数，∴m﹣4＝±3，∴m＝7或m＝1（舍）；（2）由已知可得A（，0），B（0，n），∵函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，当≤﹣3，n＜3时，∴n≤﹣6；当＞﹣3，n≥3时，∴n≥3；当＞3，n≤3时，n不存在；当＜3，n≥3时，3≤n＜6；当直线与抛物线y＝﹣x2+2x+3相切时，也满足条件，可得n＝7，综上所述：n≤﹣6或3≤n＜6或7．20．解：（Ⅰ）由表格可知，该函数有最小值，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝﹣1和x＝1时的函数值相等，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝0，顶点坐标为（0，﹣1），设二次函数为y＝ax2﹣1，把x＝1，y＝1代入得，1＝a﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣1；（Ⅱ）把x＝﹣3代入y＝2x2﹣1得，y＝17；∴m＝17，故答案为17；（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象如图：（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，则平移后的二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2．。

二次函数培优专题

二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。

- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。

比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。

2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。

- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。

如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。

对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。

3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。

对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。

数学二次函数的专项培优易错难题练习题附详细答案

3 假设存在这样的点，过点 P 作 PE x 轴于点 E ，交 AC 于点 F ．
设
E
x,
0
，则
P
x,
1 4
x2
x
3
，
设直线 AC 的解析式为 y kx b ，
∵ 直线 AC 过点 A6,0 ， C 0, 3 ，
∴
6k b
3 b
0
，
解得
k
1 2
，
b 3
∴ 直线 AC 的解析式为 y 1 x 3， 2
∴
点
F
的坐标为
F
x,
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
x
3
，
则
PF
1 2
x
3
1 4
x2
x
3
1 4
x2
3 2
x
，
∴
S
APC
S
APF
S
CPF
1 2
PF
AE
1 2
PF
OE
1 2
PF
OA
1 2
1 4
x2
3 2
x
6
3 4
x2
9 2
x
3 (x 3)2 4
27 4
，
∴ 当 x 3 时， S
APC
有最大值
27 4
，
此时点
P
∴ m= 5 或 5 （舍弃）， ∴ Q（ 5 ， 4 5 ）．
（Ⅲ）如图，作 MK⊥对称轴 x=2 于 K．
①当 MK=OA，NK=OC=5 时，四边形 ACNM 是平行四边形． ∵ 此时点 M 的横坐标为 1， ∴ y=8， ∴ M（1，8），N（2，13）， ②当 M′K=OA=1，KN′=OC=5 时，四边形 ACM′N′是平行四边形，此时 M′的横坐标为 3，可得 M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第 3 问中理解通过平移 AC 可应用“一组对边平行且相等” 得到平行四边形.

初中数学二次函数的应用培优练习题2(附答案详解)

初中数学二次函数的应用培优练习题2（附答案详解）1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A ．此抛物线的解析式是y=﹣15x 2+3.5B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D ．篮球出手时离地面的高度是2m2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+6与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝2x 2于B 、C 两点，则BC 的长为（）A ．2B ．3C ．22D ．233．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为（） A ．35m B ．3m C ．10m D ．12m 4．直线5y x 22=-与抛物线21y x x 2=-的交点个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．互相重合的两个 5．如图，隧道的截面是抛物线，可以用y= 21416x -+表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是（）6．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元7．函数2y ax bx c =++与y kx =的图象如图所示，有以下结论：①240b ac ->；②10a b c +++>；③9360a b c +++>；④当13x <<时，2()0ax b k x c +-+<.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高( )A ．8元或10元B ．12元C ．8元D ．10元9．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上，C 点在斜边上．设矩形的一边AB ＝x m ，矩形的面积为y m 2，则y 的最大值为________．10．某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，•制造窗框的材料的总长为15m ，若AB=xm ，BC=ym ，则y 与x 的函数解析式为______，窗户的面积S 与x 的函数解析式为_____，当x≈______时，S 最大≈_____，此时通过的光线最多（结果精确到0.01m ）11．如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20厘米，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分面积y （厘米2）与时间t （秒）之间的函数关系式为____12．农贸市场拟建两间长方形储藏室,储藏室的一面靠墙(墙长30m),中间用一面墙隔开,如图所示,已知建筑材料可建墙的长度为42m,则这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为_______m 2.13．已知，二次函数y=x 2+bx ﹣2017的图象与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则当x=x 1+x 2时，则y 的值为___________.14．若函数y=ax 2+3x-1的图像与x 轴有交点，则a 的取值范围是________．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是h=9.8t ﹣4.9t 2．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为_____．16．如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），过点C 作CN 垂直DM 交AB 于点N ，连结OM ，ON ，MN .下列五个结论：①CNB DMC ∆≅∆；②ON OM =；③ON OM ⊥；④若2AB =，则OMN S ∆的最小值是1；⑤222AN CM MN +=.其中正确结论是_________.（只填序号）17．江汉路一服装店销售一种进价为50元/件的衬衣，生产厂家规定每件定价为60～150元．当定价为60元/件时，每星期可卖出70件，每件每涨价10元，一星期少卖出5件．(1)当每件衬衣定价为多少元时(定价为10元的正整数倍)，服装店每星期的利润最大？最大利润为多少元？(2)请分析每件衬衣的定价在哪个范围内时，每星期的销售利润不低于2 700元． 18．某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20 m 和11 m 的矩形大厅内修建一个60 m 2的矩形健身房ABCD ．该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(如图为平面示意图)，已知装修旧墙壁的费用为20元/m 2，新建(含装修)墙壁的费用为80元/m 2.设健身房的高为3 m ，一面旧墙壁AB 的长为x m ，修建健身房墙壁的总投入为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)为了合理利用大厅，要求自变量x 必须满足条件：8≤x≤12，当投入的资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少．19．某大学生利用业余时间参与了一家网店经营,销售一种成本为30元/件的文化衫,根据以往的销售经验,他整理出这种文化衫的售价y 1(元/件),销量y 2(件)与第x(1≤x<90)天的函数图象如图所示(销售利润=(售价-成本)×销量).(1)求y 1与y 2的函数解析式.(2)求每天的销售利润W 与x 的函数解析式.(3)销售这种文化衫的第多少天,销售利润最大,最大利润是多少?20．如图，抛物线y=﹣212x 2x +2与x 轴相交于A ，B 两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C ．（1）求A ，B 两点坐标．（2）连结AC ，若点P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为t ，四边形ABPC 的面积为S ．试用含t 的式子表示S ，并求t 为何值时，S 最大．（3）在（2）的基础上，在整条抛物线上和对称轴上是否分别存在点G和点H，使以A，G，H，P四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出G，H的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，说明理由．22．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF，求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．23．如图，Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AC =BC ，AB =4cm ．动点D 沿着A →C →B 的方向从A 点运动到B 点．DE ⊥AB ，垂足为E ．设AE 长为x cm ，BD 长为y cm （当D 与A 重合时，y =4；当D 与B 重合时y =0）．小云根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t ≈__________．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB =AE 时，AE 的长度约为 cm ．24．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3.点E 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点B停止.当点E不与△ABC的顶点重合时，过点E作其所在直角边的垂线交AB于点F，将△AEF绕点F沿逆时针方向旋转得到△NMF，使点A的对应点N落在射线FE上.设点E的运动时间为t（秒）.（1）用含t的代数式表示线段CE的长.（2）求点M落到边BC上时t的值.（3）当点E在边AC上运动时，设△NMF与△ABC重叠部分图形为四边形时，四边形的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式.（4）直接写出点M到AC、BC所在直线的距离相等时t的值.参考答案1．A【解析】【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2.5时，即可求得结论．【详解】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，∴a=﹣15，∴y=﹣15x2+3.5．故本选项正确；B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，∴当x=﹣2.5时，h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．2．D【解析】∵抛物线y=ax 2+6与y 轴交于点A ，∴A（0，6），∵当y=6时，2x 2=6，∴x=∴B 点坐标（6），C 6），-（，故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x 轴的直线上两点间的距离等，解题的关键是先确定出点A 的坐标.3．C【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】令函数式21251233y x x =-++中，y =0，即21251233x x -++=0，解得1210,2x x ==- (舍去)，即铅球推出的距离是10m.故选C.【点睛】考查二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达式的实际意义，需要结合题意. 4．C【解析】【分析】抛物线212y x x =-与直线522y x =-交点函数值为同时满足两个解析式的点的函数值，即满足方程212x x -=522x -，解出方程的根即可求交点个数.解：抛物线212y x x =-与直线522y x =-相交， ∴212x x -=522x -，,即：2320x x -+=，解得：11x =，22x =. ∴抛物线212y x x =-与直线522y x =-的交点个数是2个. 故答案为C.【点睛】抛物线与直线的交点问题实质是一元二次方程的性质问题，联立直线与抛物线方程，可以求一元二次方程的根，也可以通过判别式判断：（1）当0，抛物线与直线有两个交点；（2）当=0，抛物线与直线有一个交点；（3）当0时抛物线与直线有无交点． 5．A【解析】把y =3代入y = 21416x -+中得： x =4，x = -4（舍去）．∴每条行道宽应不大于4m ．故选A ．点睛；本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．由题意可知，直接把y=3代入解析式求解即可．6．B【解析】【分析】设利润为y ，售价定为每件x 元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x 的值即可．【详解】设利润为y ，售价定为每件x 元，由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，整理得：y=-10x 2+480x-5400=-10（x-24）2+360，∴开口向下，故当x=24时，y有最大值．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．7．C【解析】【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2-4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【详解】①由图象可知：抛物线与x轴无交点，即△＜0，∴△=b2-4ac＜0，故此选项错误；②由图象可知：抛物线过点(1，1)即当x=1时，y=a+b+c=1，a+b+c+1=2>0，故此选项正确；③由点(3，3)在抛物线上，得到9a+3b+c=3，∴9a+3b+c+3=6>0，正确；④由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y=kx的下方，即当1＜x＜3时，x2+bx+c＜kx，∴x2+(b-k)x+c＜0，故此选项正确.故选C.【点睛】主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图像上点的坐标特征，利用函数图像解不等式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．A【解析】【分析】每件利润为（x-8）元，销售量为（100-10×102x），根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y （元）与售单价x （元）之间的函数关系；再根据函数关系式，利用二次函数的性质求最大利润．【详解】解：（1）依题意，得y=（x-8）•（100-10×102x -）=-5x 2+190x-1200=-5（x-19）2+605， -5＜0，∴抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=19时，y 的最大值为605，∵售价为偶数，∴x 为18或20，当x=18时，y=600，当x=20时，y=600，∴x 为18或20时y 的值相同，∴商品提高了18-10=8（元）或20-10=10（元）故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．9．300【解析】由题意可得：DC ∥AF ，则△EDC ∽△EAF ，故30,3040ED DC AD x AE AF -==则, 解得12034x AD -=，故S=AD•AB=22120333•30(20)300444x x x x x -=-+=--+，所以当x=20时，即y 的最大值为300m 2．故答案是：300m 2．10．y=1574x x π-- S=－3.5x 2+7.5x 1.07 4.02 【解析】因为半圆的半径AB =x m,矩形的宽BC =y m,材料的总长为15m,所以4y +7x +πx =15,所以1574x x y π--=, 所以窗户的面积2215712 3.57.542x x S x r x x ππ--=⨯+=-+, 所以当7.5152 3.514x =-=⨯≈1.07时,()()27.5 4.024 3.5S -=≈⨯-最大, 故答案为:1574x x y π--=,2 3.57.5S x x =-+, 1.07, 4.02. 11．y=12（20-2t ）2 【解析】A M =20-2t ，则重叠部分面积y =12×AM 2= 12（20-2t ）2 12．147【解析】分析：设中间隔开的墙EF 的长为xm,建成的储藏室总占地面积为sm²,根据题意可知AD 的长度等于BC 的长度，列出式子AD-2+3X=28,得出用x 的代数式表示AD 的长，再根据矩形的面积=AD·AB 得出S 关于x 的解析式，再利用二次函数的性质即可求解. 详解：设中间隔开的墙EF 的长为xm,建成的储藏室总占地面积为sm²,根据题意得AD+3x=42,解得AD=42-3x,则S=x(42-3x)= -3x²+42x=-3(x-7)²+147,故这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为：147m²,故答案为147. 点睛：本题考查了二次函数的应用，配方法，矩形的面积，有一定的难度，解答本题的关键是得到建成的储藏室的总占地面积的解析式.13．−2017.【解析】【分析】因为二次函数y=x 2+bx-2017的图象与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，所以x 1+x 2=-b ，当x =x 1+x 2=−b 时,y =(−b )2+b ⋅(−b )−2017=−2017，由此即可解决问题．【详解】∵二次函数y =x 2+bx −2017的图象与x 轴交于点A (x 1,0)、B (x 2,0)两点，∴x 1+x 2=−b ，∴当x =x 1+x 2=−b 时,y =(−b )2+b ⋅(−b )−2017=−2017.故答案为：−2017.【点睛】考查二次函与x轴的交点问题，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.14．a≥-【解析】【分析】二次函数与x轴的交点个数，即令y=0时，方程的解个数即为与x轴的交点个数；当有交点时，则方程的判别式≥0，代入相应的数据求解即可.【详解】令y=0，则ax2+3x-1=0，因为函数y=ax2+3x-1的图像与x轴有交点，所以=9+4a≥0，解得a≥-.故答案为：a≥-.【点睛】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题，熟知二次函数图像与x轴的交点与的关系是解决本题的关键.15．1s．【解析】小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式是：h=9.8t﹣4.9t2．把h=4.9代入得4.9=9.8t﹣4.9t2，解得t=1s，故答案为1s．16．①②③⑤【解析】分析：根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．详解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，故②正确；∵△OCM≌△OBN∴∠COM=∠BON∴∠COM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°∴ON⊥OM故③正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，∴△MNB的面积=12x（2-x）=-12x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值12，此时S△OMN的最小值是1-12=12，故④不正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故⑤正确；点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．17．(1)当每件衬衣定价为120元或130元时，服装店每星期的利润最大，最大利润为2 800元．(2)每件衬衣的定价在110～140元之间时(定价为10元的正整数倍)，每星期的销售利润不低于2 700元．【解析】试题分析：（1）设每件衬衣定价为x元，服装店每星期的利润为W元，利用每一件的利润乘卖出的件数列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（2）根据（2）中求出的二次函数，建立一元二次方程求出方程的解，确定出涨价最少时的x的值，根据二次函数的性质即可求得x的取值范围．试题解析：(1)设每件衬衣定价为x元，服装店每星期的利润为W元．由题意得，W＝(x－50)＝－x2＋125x－5 000＝－(x－125)2＋2 812.5.∵60≤x≤150，且x是10的正整数倍，∴当x取120或130时，W有最大值2 800.因此，当每件衬衣定价为120元或130元时，服装店每星期的利润最大，最大利润为2 800元．(2)令W＝2 700，即－x2＋125x－5 000＝2 700，解得x1＝110，x2＝140.∴每件衬衣的定价在110～140元之间时(定价为10元的正整数倍)，每星期的销售利润不低于2 700元．18．(1)y=30060xx⎛⎫+⎪⎝⎭，(0<x≤20)；(2)利用旧墙壁的总长度为16 m．【解析】【分析】(1)根据题意可得AB=x，AB·BC=60，所以BC=60x．求得y与x的函数解析式；(2)把y=4800代入函数解析式整理，可解得x的值．【详解】解：(1)根据题意，AB=x，AB·BC=60，所以BC=60x，y=20×360xx⎛⎫+⎪⎝⎭+80×360xx⎛⎫+⎪⎝⎭，即y=30060xx⎛⎫+⎪⎝⎭(0<x≤20)(2)把y=4800代入y=30060xx⎛⎫+⎪⎝⎭，得4800=30060xx⎛⎫+⎪⎝⎭，整理得x2-16x+60=0，解得x1=6，x2=10经检验x1=6，x2=10都是原方程的根.由8≤x≤12，只取x=10所以利用旧墙壁的总长度10+6010=16 m．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用, 同时也考查了矩形的面积计算公式, 关键是熟练掌握二次函数的性质和公式，并能用其解决一些基本的有关二次函数的题目．19．（1）y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)；（2）W=22x180x2?000(1x50),120?x12?000(50x90).⎧-++≤<⎨-+≤<⎩（3）销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最大利润是6050元．【解析】【分析】（1）待定系数法分别求解可得；（2）根据：销售利润=（售价-成本）×销量，分1≤x＜50、50≤x＜90两种情况分别列函数关系式可得；（3）当1≤x＜50时，将二次函数关系式配方后依据二次函数性质可得此时最值情况，当50≤x＜90时，依据一次函数性质可得最值情况，比较后可得答案．【详解】(1)当1≤x<50时，设y1=kx+b，将(1，41)，(50，90)代入，得k b41,50k b90,+=⎧⎨+=⎩解得k1,b40,=⎧⎨=⎩∴y1=x+40，当50≤x<90时，y1=90，故y1与x的函数解析式为y1=x40(1x50), 90(50x90);+≤<⎧⎨≤<⎩　设y2与x的函数解析式为y2=mx+n(1≤x<90)，将(50，100)，(90，20)代入，得50m n100,90m n20,+=⎧⎨+=⎩解得:m2,n200,=-⎧⎨=⎩故y 2与x 的函数关系式为y 2=-2x+200(1≤x<90)．(2)由(1)知，当1≤x<50时，W=(x+40-30)(-2x+200)=-2x 2+180x+2000；当50≤x<90时，W=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000；综上，W=22x 180x 2?000(1x 50),120?x 12?000(50x 90).⎧-++≤<⎨-+≤<⎩ (3)当1≤x<50时，∵W=-2x 2+180x+2000=-2(x-45)2+6050，∴当x=45时，W 取得最大值，最大值为6050元；当50≤x<90时，W=-120x+12000，∵-120<0，W 随x 的增大而减小，∴当x=50时，W 取得最大值，最大值为6000元；综上，当x=45时，W 取得最大值6050元．答:销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最大利润是6050元．20．（1）A，0），B （，0）；（2）当时，S 最大；（3）满足条件的点P 的坐标为G（﹣2，﹣14），H（2，﹣14）或G（2，﹣154），H（2，﹣154）或G（﹣2，14），H（2，14）．【解析】【分析】（1）令y=0，则2120,2x x -+=解得x =x =A ，B 两点坐标．（2）点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，P 的横坐标为t ，设P （t ，p ），则21222p t =-++，PQ p BQ t OQ t ===，，，根据S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB 列出S 与t 的函数关系式，根据二次函数的性质t 为何值时，S 最大．（3）抛物线的对称轴为：2,x =分别画出示意图，根据平行四边形的性质即可求出G ，H 的坐标.【详解】解：（1）针对于抛物线212222y x x =-++，令y=0，则21220,22x x -++= 解得2x =-或22x =∴()()20220A B -，，，；（2）针对于抛物线212222y x x =-++令x=0，∴y=2，∴C （0，2），如图1，点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∵P 的横坐标为t ，∴设P （t ，p ），∴21222p t =-++，22PQ p BQ t OQ t ===，，， ∴S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB()()11122222222p t t p =++⨯+⨯⨯，11,22t pt pt =+-t =++21222t t t ⎫=-++++⎪⎪⎭2t =-+(0t <<，∴当t =时，S 最大=（3）满足条件的点的坐标为G ，﹣14），H 14）或G 154），H 154）或G ，14），H ，14）．【点睛】属于二次函数的综合题，会求二次函数与x 轴的交点坐标，二次函数的最值，以及平行四边形的性质，综合性比较强，难度较大.21．(1)y=﹣x 2+2x+3；（2）当t=32时，l 有最大值，l 最大=94；（3）t=32时，△PAD 的面积的最大值为278；（4）t=12+. 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）易知直线AD 解析式为y=-x+3，设M 点横坐标为m ，则P （t ，-t 2+2t+3），M （t ，-t+3），可得l=-t 2+2t+3-（-t+3）=-t 2+3t=-（t-32）2+94，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）由S △PAD =12×PM×（x D -x A ）=32PM ，推出PM 的值最大时，△PAD 的面积最大；（4）如图设AD 的中点为K ，设P （t ，-t 2+2t+3）．由△PAD 是直角三角形，推出PK=12AD ，可得（t-32）2+（-t 2+2t+3-32）2=14×18，解方程即可解决问题；试题解析：（1）把点 B （﹣1，0），C （2，3）代入y=ax 2+bx+3，则有304233a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，∴D（3，0），且A（0，3），∴直线AD解析式为y=﹣x+3，设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∵0＜t＜3，∴点M在第一象限内，∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣32）2+94，∴当t=32时，l有最大值，l最大=94；（3）∵S△PAD=12×PM×（x D﹣x A）=32PM，∴PM的值最大时，△PAD的面积中点，最大值=32×94=278．∴t=32时，△PAD的面积的最大值为278．（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．∵△PAD 是直角三角形，∴PK=12AD ， ∴（t ﹣32）2+（﹣t 2+2t+3﹣32）2=14×18，整理得t （t ﹣3）（t 2﹣t ﹣1）=0，解得t=0或3， ∵点P 在第一象限，∴22．（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点，∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PB PF PE=． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键． 23．（1）2.9；（2）答案见解析；（3）2.3．【解析】试题分析：（1）通过取点、画图、测量，可得到结果；（2）通过描点，连线即可作出函数的图象；（3）根据题意可得当DB=AE 时，AE 的长度约为2.3cm ．试题解析：（1）2.9（2）如图所示：（3）2.3 24．（1）当点E 在边AC 上时，44CE t =-，当点E 在边BC 上时，44CE t =-；（2）t 的值为58；（3）当508t <≤时，292S t =，当8111t ≤<时，218246S t t =-+-；（4）1019t =或1013t =或1913t =．【解析】分析：（1）分当点E 在边AC 上时和当点E 在边BC 上时两种情况进行讨论.(2)当点M 落在边BC 上时，画出示意图，4AE t =,3FE MF t ==．根据,FMB B ∠=∠ 3BF MF t ==．根据BF AF AB +=，列出方程求解即可.(3)分当508t <≤时和当8111t ≤<时两种情况进行讨论. 详解：（1）当点E 在边AC 上时，44CE t =-．当点E 在边BC 上时，44CE t =-．（2）如图①，当点M 落在边BC 上时，3BF MF t ==．∵BF AF AB +=，∴355t t +=．∴58t =． ∴点M 落到边BC 上时t 的值为58．（3）当508t <≤时，如图②．2113934222242S t t t t t =⋅⋅-⋅⋅⋅=．当8111t ≤<时，如图③．()()2163344182462S t t t t t =-+-=-+-．点睛：属于图形的运动题，涉及知识点较多，综合性比较强，难度较大，注意分类讨论思想在数学中的应用.。

二次函数培优试题(30道解答题)

二次函数培优试题〔30道解答题〕注：全是2021年各地市中考题，不少是压轴题一．解答题〔共30小题〕1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2〔m﹣2〕x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．〔1〕假设+=1，求的值；〔2〕求+﹣m2的最大值．2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．3．如图1，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点A〔2，1〕，射线AB与反比例函数图象交于另一点B〔1，a〕，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．〔1〕求k的值；〔2〕求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；〔3〕如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．4．如图，二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．〔1〕写出该函数图象的对称轴；〔2〕假设将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？5．假设两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，那么称这两个二次函数为“同簇二次函数〞．〔1〕请写出两个为“同簇二次函数〞的函数；〔2〕关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A〔1，1〕，假设y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．6．如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？7．抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．9．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A〔0，3〕，B〔﹣1，0〕，请解答以下问题：〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A〔0，﹣2〕，B〔3，4〕．〔1〕求抛物线的表达式及对称轴；〔2〕设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的局部为图象G〔包含A，B两点〕．假设直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．11．如图，二次函数的图象与x轴交于A〔﹣3，0〕和B〔1，0〕两点，交y轴于点C〔0，3〕，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．〔1〕请直接写出D点的坐标．〔2〕求二次函数的解析式．〔3〕根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．12．关于x的方程x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．〔1〕求k的取值范围；〔2〕试说明x1＜0，x2＜0；〔3〕假设抛物线y=x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．13．二次函数y=x2﹣4x+3．〔1〕用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；〔2〕求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．14．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根〔精确到0.1〕．15．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x可近似地用反比例函数y=〔k＞0〕刻画〔如下图〕．〔1〕根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量到达最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．〔2〕按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．16．九〔1〕班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x〔1≤x≤90〕天的售价与销量的相关信息如下表：时间x〔天〕1≤x＜50 50≤x≤90售价〔元/件〕x+40 90每天销量〔件〕200﹣2x该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．〔1〕求出y与x的函数关系式；〔2〕问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？〔3〕该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．17．某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量〔件〕与每件的销售价x〔元/件〕如下表：x〔元/件〕38 36 34 32 30 28 26t〔件〕 4 8 12 16 20 24 28假定试销中每天的销售量t〔件〕与销售价x〔元/件〕之间满足一次函数．〔1〕试求t与x之间的函数关系式；〔2〕在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？〔注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价〕18．“丹棱冻粑〞是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；假设每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．〔1〕现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？〔2〕假设该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？19．某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1〔元/件〕与销售月份x〔月〕的关系大致满足如图的函数，销售本钱y2〔元/件〕与销售月份x〔月〕满足y2=，月销售量y3〔件〕与销售月份x〔月〕满足y3=﹣10x+20．〔1〕根据图象求出销售价格y1〔元/件〕与销售月份x〔月〕之间的函数关系式；〔6≤x≤12且x为整数〕〔2〕求出该服装月销售利润W〔元〕与月份x〔月〕之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？〔6≤x≤12且x为整数〕20．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．〔1〕求出每天所得的销售利润w〔元〕与每件涨价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；〔3〕商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比拟哪种方案的最大利润更高，并说明理由．21．在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2〔单位：件/时〕，y1、y2与工作时间x〔小时〕之间大致满足如下图的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一局部．〔1〕根据图象答复：•调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x〔小时〕的取值范围是_________；说明线段AB的实际意义是_________．〔2〕求出调试过程中，当6≤x≤8〔3〕时，生产甲种产品的效率y1〔件/时〕与工作时间x〔小时〕之间的函数关系式．〔3〕调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z〔件〕与生产甲所用时间m〔小时〕之间的函数关系式．22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温比照实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，〔1〕分别求y A、y B关于x的函数关系式；〔2〕当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？〔3〕在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？23．某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x〔元/人〕〔x＞20〕，日接待游客的人数为y〔人〕．〔1〕求y与x〔x＞20〕的函数关系式；〔2〕景点每日的接待本钱为z〔元〕，z与y满足函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？〔利润=门票收入﹣接待本钱〕24．某企业设计了一款工艺品，每件的本钱是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于本钱．〔1〕求出每天的销售利润y〔元〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？〔3〕如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总本钱不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？〔每天的总本钱=每件的本钱×每天的销售量〕25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次〔最低档次〕的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．〔1〕假设生产第x档次的产品一天的总利润为y元〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕，求出y关于x的函数关系式；〔2〕假设生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．26．某商家方案从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1〔元/台〕与采购数量x1〔台〕满足y1=﹣20x1+1500〔0＜x1≤20，x1为整数〕；冰箱的采购单价y2〔元/台〕与采购数量x2〔台〕满足y2=﹣10x2+1300〔0＜x2≤20，x2为整数〕．〔1〕经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？〔2〕该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在〔1〕的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．27．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀〞栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润归还债务〔所有债务均不计利息〕．该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的关系可用图中的一条折线〔实线〕来表示．该店应支付职工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元〔不包含债务〕．〔1〕求日销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的函数关系式；〔2〕假设该店暂不考虑归还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡〔收人=支出〕，求该店职工的人数；〔3〕假设该店只有2名职工，那么该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？28．在2021年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x〔x≥60〕元，销售量为y套．〔1〕求出y与x的函数关系式．〔2〕当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；〔3〕当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是]．29．某经销商销售一种产品，这种产品的本钱价为10元/千克，销售价不低于本钱价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y〔千克〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系如下图：〔1〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔2〕求每天的销售利润W〔元〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？〔3〕该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？30．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装本钱为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y〔单位：万元/吨〕与销售数量x〔x≥2〕之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s〔单位：万元〕与加工数量t〔单位：吨〕之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．〔1〕直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；〔2〕第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元〔毛利润=销售总收入﹣经营总本钱〕．①求w关于x的函数关系式；②假设该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？〔3〕第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题〕1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2〔m﹣2〕x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．〔1〕假设+=1，求的值；〔2〕求+﹣m2的最大值．考点：根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．专题：代数综合题．分析：〔1〕首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；〔2〕把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4〔m﹣2〕2﹣4〔m2﹣3m+3〕=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．〔1〕∵x1+x2=﹣2〔m﹣2〕，x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1解得：m1=，m2=〔不合题意，舍去〕∴=﹣2．〔2〕+﹣m2=﹣m2=﹣2〔m﹣1〕﹣m2=﹣〔m+1〕2+3．当m=﹣1时，最大值为3．点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．考点：一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．专题：几何图形问题．分析：〔1〕根据矩形的面积公式进行列式；〔2〕、〔3〕把y的值代入〔1〕中的函数关系，求得相应的x值即可．解答：解：〔1〕设围成的矩形一边长为x米，那么矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得y=x〔32÷2﹣x〕=﹣x2+16x．答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；〔2〕由〔1〕知，y=﹣x2+16x．当y=60时，﹣x2+16x=60，即〔x﹣6〕〔x﹣10〕=0．解得x1=6，x2=10，即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；〔3〕不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由〔1〕知，y=﹣x2+16x．当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0因为△=〔﹣16〕2﹣4×1×70=﹣24＜0，所以该方程无解．即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．点评：此题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．3．如图1，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点A〔2，1〕，射线AB与反比例函数图象交于另一点B〔1，a〕，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．〔1〕求k的值；〔2〕求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；〔3〕如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．考点：反比例函数综合题；一次函数的性质；二次函数的最值．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2；〔2〕作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为〔1，2〕，那么AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，那么OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为〔0，﹣1〕，于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；〔3〕利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为〔t，〕〔0＜t＜1〕，由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为〔t，t﹣1〕，那么MN=﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△OMN=•t•〔﹣t+1〕，再进行配方得到S=﹣〔t﹣〕2+〔0＜t＜1〕，最后根据二次函数的最值问题求解．解答：解：〔1〕把A〔2，1〕代入y=得k=2×1=2；〔2〕作BH⊥AD于H，如图1，把B〔1，a〕代入反比例函数解析式y=得a=2，∴B点坐标为〔1，2〕，∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，∴tan∠DAC=tan30°=；∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，∴CD=2，∴OC=1，∴C点坐标为〔0，﹣1〕，设直线AC的解析式为y=kx+b，把A〔2，1〕、C〔0，﹣1〕代入得，解，∴直线AC的解析式为y=x﹣1；〔3〕设M点坐标为〔t，〕〔0＜t＜1〕，∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为〔t，t﹣1〕，∴MN=﹣〔t﹣1〕=﹣t+1，∴S△OMN=•t•〔﹣t+1〕=﹣t2+t+=﹣〔t﹣〕2+〔0＜t＜1〕，∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有最大值，最大值为．点评：此题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用二次函数的性质解决最值问题．4．如图，二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．〔1〕写出该函数图象的对称轴；〔2〕假设将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：〔1〕由于抛物线过点O〔0，0〕，A〔2，0〕，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；〔2〕作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，那么A′点的坐标为〔1，〕，根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣〔x﹣1〕2+的顶点．解答：解：〔1〕∵二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；〔2〕点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为〔1，〕，∴点A′为抛物线y=﹣〔x﹣1〕2+的顶点．点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标为〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．5．假设两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，那么称这两个二次函数为“同簇二次函数〞．〔1〕请写出两个为“同簇二次函数〞的函数；〔2〕关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A〔1，1〕，假设y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：代数综合题；新定义．分析：〔1〕只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数〞的函数表达式即可．〔2〕由y1的图象经过点A〔1，1〕可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数〞就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：〔1〕设顶点为〔h，k〕的二次函数的关系式为y=a〔x﹣h〕2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2〔x﹣3〕2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3〔x﹣3〕2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4是“同簇二次函数〞．∴符合要求的两个“同簇二次函数〞可以为：y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4．〔2〕∵y1的图象经过点A〔1，1〕，∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2〔x﹣1〕2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=〔a+2〕x2+〔b﹣4〕x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，∴y1+y2=〔a+2〕〔x﹣1〕2+1=〔a+2〕x2﹣2〔a+2〕x+〔a+2〕+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5〔x﹣1〕2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5〔0﹣1〕2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5〔3﹣1〕2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：此题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质〔开口方向、增减性〕，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．6．如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．专题：新定义．分析：〔1〕根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可；〔2〕①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案；②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律．解答：解：〔1〕由题意可得出：y=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴此函数图象的顶点坐标为：〔1，0〕；〔2〕①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=〔x+2〕2﹣5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=〔x++2﹣1〕2﹣5+1=〔x+1〕2﹣4=x2+2x﹣3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y=x2+2x+3=〔x+1〕2+2，∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y=x2+3x+4=〔x+〕2+，∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．点评：此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解题关键．7．抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．专题：分类讨论．分析：〔1〕直接把A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；〔2〕根据〔1〕中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；〔3〕根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．解答：解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；〔2〕∵由〔1〕知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，∴M〔﹣1，4〕．〔3〕由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i〕当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii〕当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．点评：此题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第〔3〕问需要分类讨论，防止漏解．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．考点：待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式〔组〕．专题：代数综合题．分析：〔1〕根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；〔2〕令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；〔3〕画出图象，再根据图象直接得出答案．解答：解：〔1〕∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，。

数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案

过 P2 作 P2Q⊥BC，此时，△ CP2Q∽ △ BCO，
③如图 3，作 BC 的中垂线，交 x 轴于 M4，连接 CM4，则 CM4=BM4，
设 OM4=x，则 CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x= 3 ， 2
∵ M4 在 x 轴的负半轴上，
∴ M4（- 3 ，0）， 2
综上所述，当 B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，M 的坐标为（-1，0）或
（2）连接 BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 BE＝ 1 CD＝CE．利 2
用 SSS 证明△ OBE≌ △ OCE，得出∠ BOE＝∠ COE，即点 E 在第四象限的角平分线上，设 E 点坐标为（m，﹣m），代入 y＝x2﹣2x﹣3，求出 m 的值，即可得到 E 点坐标；（3）过点 Q 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，根据三角形的面积公式可得 S△ ACQ＝ S△ ACF．由 S△ ACQ＝2S△ AOC，得出 S△ ACF＝2S△ AOC，那么 AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y＝﹣3x﹣3．根据 AC∥ FQ，可设直线 FQ 的解析式为 y＝﹣ 3x+b，将 F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+3，把它与抛
代入点 C（3, 0），可得 a＝－1．
∴ y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵ P（1 1 t ，４）， 2
将 x 1 1 t 代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝ 4 1 t 2 ，
2
4
∴ M（1 1 t ， 4 1 t 2 ），

九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含答案

九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、二次函数1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）．作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43，当y=-1时，有-1312x+43=-1，解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）．（3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．2．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=，即244213x x x--=-，解得，x= −1，x=4（舍去）∴x2-4x=-5∴点P的坐标为（-1，-5），又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为（14，0）∴S△PAB=115531524⨯⨯+=【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．3．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

数学二次函数的专项培优练习题(含答案)

2
2
G，∠ DCF=2∠ BAC=∠ DGC+∠ CDG，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得 A（-4，0），C（0，2），
∵ 抛物线 y=- 1 x2+bx+c 经过 A．C 两点， 2
∴
0＝
1 16 4b c 2
，
2＝c
∴
b=
3 2
，
c=2
抛物线解析式为： y 1 x2 3 x 2 ; 22
y x 2
（2）联立
y
x2
2x
，
解得
x1 y1
1
，
3
x2 y2
2 0
，
∴ C（﹣1，3），
∵ A（1，﹣1），B（2，0），
∴ AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，
∴ AB2+BC2＝AC2，
1 2
a2
3 2
a
2
∴
M
a，1 2
a
2
∵ B1，0
∴
N
1,
5 2
∴
S1 S2
DM BN
1 a2 2a 2
5
1 a 22 4
5
5
2
∴
当
a
2
时，
S1 S2
的最大值是 4 5
;
②∵ A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴ AC=2 5 ，BC= 5 ，AB=5，
∴ AC2+BC2=AB2， ∴ △ ABC 是以∠ ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的中点 P，

数学二次函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。

∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。

∴BD=4。

∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。

∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 4442=+=。

若∠POB=90°，则∠POD=45°。

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题(含答案)

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）23．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（）A．±2 B．±4 C．±D．±9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（）A．③④B．②④C．②③D．①④二．填空题 10．若抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为． 11．若抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x 的一元二次方程a （x +h ﹣2）2+k ＝0的解为．12．抛物线经过原点O ，还经过A （2，m ），B （4，m ），若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为． 13．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m /h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱最高点O ．14．如图，抛物线解析式为y ＝x 2，点A 1的坐标为（1，1），连接OA 1；过A 1作A 1B 1⊥OA 1，分别交y 轴、抛物线于点P 1、B 1；过B 1作B 1A 2⊥A 1B 1分别交y 轴、抛物线于点P 2、A 2；过A 2作A 2B 2⊥B 1A 2，分别交y 轴、抛物线于点P 3、B 2…；则点P n 的坐标是．三．解答题16．已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点P ．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）若点P 关于坐标系原点O 的对称点仍然在抛物线上，求此时m 的值；（3）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．17．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？18．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2﹣4mx +n （m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且S △ABC ：S △BCE ＝3：4．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上，①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．19．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为ts．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为．参考答案一．选择题1．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；D符合题意；故选：D．2．解：∵抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），∴所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2．故选：D．3．解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x＝2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．4．解：∵y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2﹣4a+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，∴x1+x2＝4，∴当x取x1+x2时，y＝a（4﹣2）2﹣4a+4＝4，故选：C．5．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．6．解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D．7．解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．8．解：设y＝0，则＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，解得：m＝4或m＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴OA＝1，OB＝4，设x＝0，则y＝﹣4m，∴OC＝|﹣4m|，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OC2＝OA•OB，即16m2＝4，解得：m＝±，故选：C．9．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝2，即a﹣b+c＝2，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），即x＝﹣1时，y有最大值2，∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：A．二．填空题（共5小题）10．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线在x轴截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+9，代入（5，0）得，9a+9＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+9．11．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．12．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），∴对称轴是：x＝3，AB＝2，∵△AOB的面积为4，∴AB•|m|＝4，m＝±4，当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．13．解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），由题意：，解得，∴y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，故t＝＝4（h），答：再过4小时水位达到桥拱最高点O．故答案为：4．14．解：∵点A1的坐标为（1，1），∴直线OA1的解析式为y＝x，∵A1B1⊥OA1，∴OP1＝2，∴P1（0，2），设A1P1的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，解求得B1（﹣2，4），∵A2B1∥OA1，设B1P2的解析式为y＝x+b2，∴﹣2+b2＝4，∴b2＝6，∴P2（0，6），解求得A2（3，9）设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3，∴﹣3+b3＝9，∴b3＝12，∴P3（0，12），…∴P n（0，n2+n），故答案为（0，n2+n）．三．解答题（共6小题）15．证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．在Rt△FCG中，CF＝6，∴，．∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝＝216．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），∵对称点仍然在抛物线上，∴m+3＝m+2m﹣3，解得m＝3；（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．17．解：（1）由题意可得：y＝100+×10＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元；∴应降价80﹣70＝10（元）．∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，解得：x1＝65，x2＝75，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．18．解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F，∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0），∴对称轴为直线x＝2，∴AF＝BF，点F（2，0），即OF＝2，∵S△ABC ：S△BCE＝3：4，∴S△ABC ＝3S△ABE，∴3××AB×OE＝AB×CF，∴CF＝3OE，∵CF⊥AB，OE⊥AB，∴CF∥OE，∴，∴AF＝3OA，∵OF＝OA+AF＝2，∴OA＝，AF＝，∴点A坐标为（，0），∵AB＝2AF＝3，∴OB＝，∴点B坐标为（，0）；（2）①∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）过点A（，0），∴0＝m﹣2m+n，∴n＝m，∴y＝mx2﹣4mx+n＝m（x﹣2）2﹣m，∴点C（2，﹣m），如图2，过点C作CF⊥OB于F，CH⊥y轴于H，又∵∠FOH＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴CF＝OH＝m，∵将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，∴OC＝O'C，OB＝O'A＝，又∵CH⊥OO'，∴OO'＝2OH＝m，∵OA2+O'O2＝O'A2，∴+m2＝，∴m＝，∴点C坐标为（2，﹣），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：∴直线CE的解析式为y＝﹣x+；②∵m＝，∴y＝x2﹣x+．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．20．解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6，∴m＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）连线得，（3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：（答案不唯一）（4）∵直线y＝kx+b经过（，），∴，∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，∴x2﹣3x﹣4+kx+b＝0和方程x2+3x﹣4+kx+b＝0各有两个不相等的实数根，即方程x2﹣（3﹣）x﹣4+b＝和0x2+（3+）x﹣4+b＝0各有两个不相等的实数根，∴，解得b≠，且b＞或b＜，∴b的取值范围为b＞或b＜．故答案为：b＞或b＜．。

数学二次函数的专项培优练习题附答案

(3)当 x＝﹣1 时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴ 点 E(﹣1，﹣2)，
如图，直线 BC 的解析式为 y＝5x+15，直线 BE 的解析式为 y＝x﹣1，直线 CE 的解析式为 y
＝﹣x﹣3，
∵ 以点 B、C、E、D 为顶点的四边形是平行四边形，
∴ 直线 D1D3 的解析式为 y＝5x+3，直线 D1D2 的解析式为 y＝x+3，直线 D2D3 的解析式为 y＝ ﹣x﹣9，
（3）过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2，利用两直线垂直一次项系数互为
负倒数设直线 PC 的解析式为 y=- 1 x+b，把 C 点坐标代入求出 b 得到直线 PC 的解析式为 3
y＝ x2 2x 3
y=-
1 3
x+3，再解方程组
y＝
1 3
x
3
得此时 P 点坐标；当过点 A 作 AC 的垂线交抛物
；（3）t=1，(1+ 2 ，2)和(1－ 2 ，
2). 【解析】
【分析】
（1）当 x=0 时代入抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出 y=3 而得出 C 的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出 B 的坐标，在直角三角形 AOC 中，由三角形函数值就可以求
出 OA 的值，得出 A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点 P 在线段 CB 上时，和如图 3 点 P 在射线 BN 上时，就有 P 点的坐标为（t，-t+3），Q 点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出 d 与 t 之间的函数关系式而得出结论；
y＝5x 3

数学二次函数的专项培优易错难题练习题(含答案)及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a，∴抛物线顶点D 的坐标为（-12，-94a ）；（2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2，∴y=2x-2，则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩＝＝，得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，∴（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=2a-2， ∴N 点坐标为（2a-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，∴a ＜0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为122a x a =-=-， ∴E （-12，-3）， ∵M （1，0），N （2a-2，4a -6），设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =12|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ，（3）当a=-1时，抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94，由222y x xy x⎧=--+⎨=-⎩，-x2-x+2=-2x，解得：x1=2，x2=-1，∴G（-1，2），∵点G、H关于原点对称，∴H（1，-2），设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0，t=94，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，t=2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．2．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y 轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可；（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论．试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3；（2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=，即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ∴当m=2时，L 最大=365；（3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②，解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去），当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．3．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝252m m--，S的最大值是25 8，此时动点M的坐标是（52，74）；（3）点M82秒．【解析】【分析】（1）首先求出B 点的坐标，根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C 点的坐标，设出M 点的坐标，再根据△ABM 的面积为S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.（3）首先证明△OHA ′∽△OA ′B ，再结合A ′H +A ′C ≥HC 即可计算出t 的最小值.【详解】（1）将x ＝0代入y ＝﹣3x +3，得y ＝3，∴点B 的坐标为（0，3），∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，∴3＝a +4，得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）将y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（3，0），∵点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ， ∴0＜m ＜3，点M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1，∴点A 的坐标（1，0），∵△ABM 的面积为S ，∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()2123313222m m m ⨯-++⨯⨯+-，化简，得S ＝252m m --＝21525228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当m ＝52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74），即S 与m 的函数表达式是S ＝252m m --，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）；（3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，13），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，13OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ， ∴3BA A H''=，即3BA A H ''=， ∵A ′H +A ′C ≥HC ＝2218233⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴t ≥823，即点M 在整个运动过程中用时最少是823秒．【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t 的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P点的坐标为()1,1-，()1,11-±，()1,219--±.【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴16404206a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326abc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y=233642x x--+；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=122x--，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，233642m m--+），则点F（m，122m--），∴DF=233642m m--+﹣（122m--）=2384m m--+，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=12×DF×AG+12DF×EH=12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503．（3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA PE AE =，分三种情况讨论：当PA =PE n =1，此时P （﹣1，1）；当PA =AE =n =，此时点P 坐标为（﹣1，）；当PE =AE =n =﹣2P 坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，1，﹣2）．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．5．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交x 轴于A （-2，0），B （1，0），交y 轴于C （0，2）；（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC ，在直线AC 上方的抛物线上是否存在点N ，使△NAC 的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N 的坐标，若不存在，说明理由．（3）若点M 在x 轴上，是否存在点M ，使以B 、C 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．（4）若P 为抛物线上一点，过P 作PQ ⊥BC 于Q ，在y 轴左侧的抛物线是否存在点P 使△CPQ ∽△BCO （点C 与点B 对应），若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（50）或（-32，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（-73，-109）．【解析】【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式；（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；②如图5，图3中的M（-32，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），a=-1，∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（-2，0）、C（0，2）代入得：202k bb-+⎧⎨⎩＝＝，解得：12 kb⎧⎨⎩＝＝，∴直线AC的解析式为：y=x+2，∴D（n，n+2），∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，∴S△ANC=12×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），（3）存在，分三种情况：①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；②如图2，由勾股定理得：22251=+，以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM35此时，M2（50），M3（50）；③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，解得：x=32，∵M4在x轴的负半轴上，∴M4（-32，0），综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±5，0）或（-32，0）；（4）存在两种情况：①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，此时，△CP1Q∽△BCO，∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，∴P1（-1，2），②如图5，由（3）知：当M（-32，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，过P2作P2Q⊥BC，此时，△CP2Q∽△BCO，易得直线CM 的解析式为：y=43x+2，则24232y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--+⎩，解得：P 2（-73，-109），综上所述，点P 的坐标为：（-1，2）或（-73，-109）．【点睛】本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1，将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2．∵EG 关于y 轴对称，∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG设点E 的坐标为(n ，n +3)，点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n∵DE ＝DC ＝4，∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3)将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)．∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++．∵EC ＝CD ＝4，∴2k 2+8k +16＝16，解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4．∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1)将点E 上移1个单位长度得点G ．∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（5524,）；（4）符合条件的点F的坐标（17171，71，27【解析】【分析】（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y ＝kx+2，求得k；（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD2122m+=②当DF＝BD 24522m m-+=，③当BF＝DF22145m m m+-+m＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，将B （2，0）代入，0＝a （2﹣1）2﹣1，∴a ＝1，抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，0＝2k +2，k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x=-+⎧⎨=-⎩，解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0），∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，∴点A 与A '关于直线BC 对称，AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），∵A （1，﹣1），B （2，0）∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，∴A '（3，1），∵C （﹣1，3），∴直线A 'C ：1522y x =-+，联立：215222y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴E （52，54）；（4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；∴D （0，2）∵B （2，0），∴BD ＝12x x 222(21)(0)1BF m m =-+-=+，222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+，①当BF ＝BD 时，2122m +=，m ＝±7，∴F 坐标（1，7）或（1，﹣7）②当DF ＝BD 时，24522m m -+=，m ＝2±7，∴F 坐标（1，2+7）或（1，2﹣7）③当BF ＝DF 时，22145m m m +=-+，m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F 的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

二次函数培优专题训练(含答案)

；；；．
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
11．若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．
12．二次函数y=x2-4x+5的最小值是
13．已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝ax2（a≠0）上的两点．当x2＜x1＜0时，y2＜y1，则a的取值范围是_____．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．
（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？
19．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示.
(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每干克的收益是多少元?(收益=售价－成本)
试题解析：A：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确，
B：当x=0，y=1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误，
C：∵a=-1，∴函数的开口向下，对称轴是x=1，故此选项错误，
D：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误，
故选A．
考点：二次函数的性质．
(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；
(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.

人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案

x
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】 ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下， ∴a＜0，
∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴在 y 轴左侧， ∴a，b 同号， ∴b＜0， ∴一次函数 y=ax+c，图象经过第二、四象限，
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b2 4ac 0 ，即 b2 4ac ，所以①正确；②由二次函
数图象可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以 abc 0 ，故②错误；
③对称轴：直线 x b 1， b 2a ，所以 2a b c 4a c ， 2a
有两个不相等的实数根，其中正确的有（）
A．2 个【答案】B 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线 x=1，∴ b 2a
=1，∴b=﹣2a＞0，∵与 y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误； 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确； ∵与 x 轴交于点 A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣
∴函数 y＝的图象在第二、第四象限，
故选 B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键．

人教数学二次函数的专项培优练习题(含答案)附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ， ∴PC PB PF PE=． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a b a b ++⎧⎨-+⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)∵点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，∴设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，∴2231y x x y x ⎧--+⎨-⎩＝＝，解得：1145x y -⎧⎨-⎩＝＝，2210x y ＝，＝⎧⎨⎩ ∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ，则点F(m ，m ﹣1)，∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4，∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-52（m+32 ）2+ 1258， ∴当m ＝32-时，P 最大， ∴点P(32-，154). (3)当x ＝﹣1时，y ＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC 的解析式为y ＝5x+15，直线BE 的解析式为y ＝x ﹣1，直线CE 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，∵以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D 1D 3的解析式为y ＝5x+3，直线D 1D 2的解析式为y ＝x+3，直线D 2D 3的解析式为y ＝﹣x ﹣9，联立533y x y x +⎧⎨+⎩＝＝得D 1(0，3)，同理可得D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D 的坐标为D 1(0，3)，D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．4．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+-解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=，解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274，此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.5．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3 （2）（﹣32，154）（3）存在，P （﹣2，3）或P （5172-+，53172-+）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ，直线AB 解析式为y ＝x +3，设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则F （t ，t +3），则PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ，根据S △PAB ＝S △PAF +S △PBF 写出解析式，再求函数最大值；（3）设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3），PD ＝﹣t 2﹣3t ，由抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，由对称轴为直线x ＝﹣1，PE ∥x 轴交抛物线于点E ，得y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称，所以2E Px x +＝﹣1，得x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ，故PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |，由△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°，得PD ＝PE ，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ；②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0） ∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3 ∴A （0，3）∴直线AB 解析式为y ＝x +3 ∵点P 在线段AB 上方抛物线上 ∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0） ∴F （t ，t +3）∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ∴S △PAB ＝S △PAF +S △PBF ＝12PF •OH +12PF •BH ＝12PF •OB ＝32（﹣t 2﹣3t ）＝﹣32（t +32）2+278∴点P 运动到坐标为（﹣32，154），△PAB 面积最大（3）存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3） ∴PD ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4 ∴对称轴为直线x ＝﹣1 ∵PE ∥x 轴交抛物线于点E∴y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称∴2E Px x +＝﹣1 ∴x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ∴PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90° ∴PD ＝PE①当﹣3＜t ≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ∴﹣t 2﹣3t ＝﹣2﹣2t 解得：t 1＝1（舍去），t 2＝﹣2 ∴P （﹣2，3）②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t ∴﹣t 2﹣3t ＝2+2t 解得：t 1＝517-+，t 2＝517--（舍去） ∴P （5172-+，53172-+）综上所述，点P 坐标为（﹣2，3）或（517-+，5317-+）时使△PDE 为等腰直角三角形．【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716（3）2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．【解析】【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--．设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716．（3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)．当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．7．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴，由已知可求5(,0)2A -，点A 关于2x =对称点为13(,0)2，则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，DA ∴=，182DN =，365CD =当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆，DAC DPN ∆∆，DP DNDA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQDBA ∆∆，DNQDCA ∴∆∆，DP DNDB DC∴=，DP ∴=综上所述DP = ②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DNDA DC∴=， 245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<；故答案为92155n <<；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．8．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连结AM 、BM ．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM 的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x 的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m ，2m ），当m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．【解析】试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：∴，解得：∴抛物线的解析式为．（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴化简得：∴＝＝当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点∴．考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别9．已知抛物线21322y x x =--的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）△ABC 是直角三角形；（3）存在，302，⎛⎫- ⎪⎝⎭、311222⎛-+ ⎝⎭，、311222⎛-- ⎝⎭，．【解析】【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A ，B ，C 的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y 12=-x 232-x +2．故答案为y 12=-x 232-x +2；（2）当y =0时，12-x 232-x +2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=1，即B （﹣4，0），A （1，0）．当x =0时，y =2，即C （0，2）．AB =1﹣（﹣4）=5，AB 2=25，AC 2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC 2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）y 12=-x 232-x +2的对称轴是x 32=-，设P （32-，n ），AP 2=（132+）2+n 2254=+n 2，CP 294=+（2﹣n ）2，AC 2=12+22=5.分三种情况讨论： ①当AP =AC 时，AP 2=AC 2，254+n 2=5，方程无解； ②当AP =CP 时，AP 2=CP 2，254+n 294=+（2﹣n ）2，解得：n =0，即P 1（32-，0）；③当AC =CP 时，AC 2=CP 2，94+（2﹣n ）2=5，解得：n 1=22+，n 2=22-，P 2（32-，22+），P 3（32-，22-）．综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标（32-，0），（32-，22+），（32-，22-）．【点睛】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程，要分类讨论，以防遗漏．10．综合与探究如图，抛物线y=211433x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．【答案】（1）C（0，﹣4）；（2）Q 5252﹣4）或（1，﹣3）；（3）当m=2时，QF有最大值．【解析】【分析】（1）解方程13x2−13x-4=0得A（-3，0），B（4，0），计算自变量为0时的二次函数值得C点坐标；（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-4，则可设Q（m，m-4）（0＜m＜4），讨论：当CQ=CA时，则m2+（m-4+4）2=52，当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG为等腰直角三角形，则FG=QG=22FQ，再证明△FGP～△AOC得到34FG PG=，则PG=223FQ，所以PQ=26FQ，于是得到32，设P（m，13m2-13m-4）（0＜m＜4），则Q（m，m-4），利用PQ=-13m2+43m得到32-13m2+43m），然后利用二次函数的性质解决问题．【详解】（1）当y=0，13x2−13x-4=0，解得x1=-3，x2=4，∴A（-3，0），B（4，0），当x=0，y=13x2−13x-4=-4，∴C（0，-4）；（2）2234=5+，易得直线BC的解析式为y=x-4，设Q（m，m-4）（0＜m＜4），当CQ=CA 时，m 2+（m-4+4）2=52，解得m 1=522，m 2=-522（舍去），此时Q 点坐标为（522，522-4）；当AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m 1=1，m 2=0（舍去），此时Q 点坐标为（1，-3）；当QA=QC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=252（舍去），综上所述，满足条件的Q 点坐标为（522，522-4）或（1，-3）；（3）解：过点F 作FG ⊥PQ 于点G ，如图，则FG ∥x 轴．由B （4，0），C （0，-4）得△OBC 为等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45∴△FQG 为等腰直角三角形， ∴FG=QG=22FQ ， ∵PE ∥AC ，PG ∥CO ，∴∠FPG=∠ACO ，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP ～△AOC ．∴FG PG OA CO =，即34FG PG =， ∴PG=43FG=43•22FQ=223FQ ， ∴PQ=PG+GQ=23FQ+22FQ=26FQ ， ∴32PQ ，设P （m ，13m 2-13m-4）（0＜m ＜4），则Q （m ，m-4），∴PQ=m-4-（13m 2-13m-4）=-13m 2+43m ，∴FQ=7（-13m 2+43m ）=-7（m-2）2+7∵-7＜0， ∴QF 有最大值．∴当m=2时，QF 有最大值．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

数学二次函数的专项培优练习题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+5152-），P2（352，1+52），P3（52，1+52），P455-15-.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758；（3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）；如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m 2+4m-3=m-2，解得：x=3+5或352； P 的坐标为（3+5，152-）或（352，1+52）；综上所述，点P 的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（352，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）．【解析】【分析】（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩，解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 33=，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1212032x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，所以M 2，﹣2）．综上所述M 的坐标为（，6，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．3．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，解得：x ＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w ，根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．4．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC 与OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13．【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ．（2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ．设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |．由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-．（3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ．如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上．设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）．联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）．过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+ 当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．5．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．（1）求点B ，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形．（3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+，令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=；在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=；在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ， ∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=，∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中： (1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-. 设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t=-+⎧⎨=-++⎩.解得32x ty t=-⎧⎨=⎩，∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+.(2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.6．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3．（2）（I ）当点P 的横坐标为-12时，点Q 的横坐标为72，∴此时点P 的坐标为（-12，74），点Q 的坐标为（72，-94）．设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，将P （-12，74）、Q （72，-94）代入y=mx+n ，得：17247924m n m n ⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154m n -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线PQ 的表达式为y=-x+54．如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），∴DE=-x2+2x+3-（-x+54）=-x2+3x+74，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+72；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．7．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：时间(天)1361036…日销售量(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．【解析】分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．详解：（1）设数m=kt+b，有,解得∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．（2）设日销售利润为P，由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.（3）P1=（-2t+96）=-+（14+2a）t+480-96n，∴对称轴为t=14+2a，∵1≤t≤20，∴14+2a≥20得a≥3时，P 1随t 的增大而增大，又∵a ＜4， ∴3≤a ＜4．点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果．（3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：x =即1216x x m =-=-+，由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可；（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =22m ，PN =22（4﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12×22m ×22（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论： ①当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA =BD AQ ，即324=4AQ ，解得：AQ =823，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣83）； ②当△ABD ∽△DQA 时，BDAQ=1，即AQ =10，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）．点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．10．如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3,0)，点c 的坐标为(0,6).点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止.设运动时间为t 秒.（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为________；（2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；（3）当1t =时，抛物线2y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使12MQD MKQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）PQ 的中点坐标是(2.5,2)；（2）92t -=或3t 4=；（3）124(,)39D ，2240(,)39D -. 【解析】分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB＝，分别列方程可得t 的值；（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q （3，2），M （0，2），可得MQ ∥x 轴，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，画出符合条件的点D ，证明△KEQ ∽△QMH ，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D ．详解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0）， ∴OA=3，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4， ∴P （2，0），Q （3，4）， ∴线段PQ 的中点坐标为：（2+32，0+42），即（52，2）；故答案为：（52，2）；（2）如图1，∵四边形OABC 是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90°∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝， ∴36223t tt --＝， 4t 2-15t+9=0，（t-3）（t-34）=0， t 1=3（舍），t 2=34，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB＝， ∴33262t t t＝--，t 2-9t+9=0， t=935±， ∵0≤t≤6，9+35＞7， ∴x=9+352不符合题意，舍去，综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是34或9+35；（3）当t=1时，P （1，0），Q （3，2），把P （1，0），Q （3，2）代入抛物线y=x 2+bx+c 中得：10932b c b c ++⎧⎨++⎩＝＝，解得：32b c -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线：y=x 2-3x+2=（x-32）2-14， ∴顶点k （32，-14）， ∵Q （3，2），M （0，2）， ∴MQ ∥x 轴，作抛物线对称轴，交MQ 于E ， ∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ， ∴∠MKE=∠QKE=12∠MKQ ，如图2，∠MQD=12∠MKQ=∠QKE ，设DQ 交y 轴于H ，∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ ∽△QMH ，∴KE MQ EQ MH＝，∴12+3432MH＝，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式为：y=-23x+4，则224332y xy x x＝＝⎧-+⎪⎨⎪-+⎩，x2-3x+2=-23x+4，解得：x1=3（舍），x2=-23，∴D（-23，409）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=12∠MKQ=∠QKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y=23x，则22332y xy x x⎧⎪⎨⎪-+⎩＝＝，x2-3x+2=23x，解得：x1=3（舍），x2=23，∴D（23，49）；综上所述，点D的坐标为：D（-23，409）或（23，49）．点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题．。

人教版九(上)数学第二十二章二次函数培优测试卷(附答案)

人教版九（上）数学第二十二章二次函数培优测试卷（附答案）一．选择题1．下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣x2+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝2．抛物线y＝4（x+3）2+12的顶点坐标是（）A．（4，12）B．（3，12）C．（﹣3，12）D．（﹣3，﹣12）3．关于抛物线y1＝（2+x）2与y2＝（2﹣x）2的说法，不正确的是（）A．y1与y2的顶点关于y轴对称B．y1与y2的图象关于y轴对称C．y1向右平移4个单位可得到y2的图象D．y1绕原点旋转180°可得到y2的图象4．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣4，0），（6，0），则抛物线的对称轴是（）A．1 B．直线x＝1 C．2 D．直线x＝25．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析y ＝x2﹣2x+1，则b与c分别等于（）A．2，﹣2 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，187．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）第 1 页共57 页A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒8．若函数y＝（a﹣3）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的和为（）A．7 B．10 C．12 D．159．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③9a+c＞3b；④5a+2c＞0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．知：如图抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则这条抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2xB．y＝﹣x2xC．y ＝﹣x2xD．y＝﹣x2﹣x第 2 页共57 页E．故函数的表达式为：y＝﹣x2x二．填空题（共6小题）11．抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为．12．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过s，火箭到达它的最高点．13．已知点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是．14．若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝．15．开口向下的抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，当抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界）内，仅有4个整数点（整数点就是横、纵坐标均为整数的点）时，a的取值范围是．16．将二次函数y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是．三．解答题17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值第 3 页共57 页18．若抛物线上y＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），1P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？19．已知二次函数y＝x2﹣2ax+4a+2．（1）若该函数与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该函数与x轴的另一交点坐标；（2）不论a取何实数，该函数总经过一个定点，①求出这个定点坐标；②证明这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．第 4 页共57 页20．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．21．血橙以果肉酷似鲜血的颜色而得名，果实一般在1月下旬成熟，由于果农在生产实践中积累了丰富的经验，采取了留树保鲜技术措施，将鲜果供应期拉长到了5月初．重庆市万州区孙家村晚熟柑橘以血橙为主，主要销售市场是成都、重庆市区、万州城区，据以往经验，孙家村上半年1﹣5月血橙的售价y（元/千克）与月份x之间满足一次函数关系y＝x+2.5（1≤x≤5，且x是整数）．其销售量P（千克）与月份x之间的函数关系如图．第 5 页共57 页（1）请你求出月销售量P（千克）与月份x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（2）血橙在上半年1﹣5月的哪个月出售，可使销售金额W（元）最大？最大金额是多少（3）由于气候适宜以及留树保鲜技术的提高，预计该产区今年5月将收获60000千克的血橙，由于人力、物力等各方面成本的增加，孙家村决定，将5月的销售价格提高a%，当以提高后的价格销售50000千克血橙后，由于保存技术的限制，剩下的血橙制成一种新型研发出的果肉饼进行销售，每千克的血橙可生产0.8千克果肉饼，果肉饼的售价格在血橙提高后的价格的基础上将再提高a%，最后该产区将这批果肉饼全部售完后，血橙和果肉饼的销售总金额达到了480000元．求a的值．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0），分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）求点D的坐标．（2）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．①求该抛物线的解析式；第 6 页共57 页②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．23．如图1．已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A（2，）直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①如图2，点P是抛物线L上的一个动点，过点P作PM⊥l于点M，试判断PM与PF 之间的数量关系，并说明理由；②将抛物线L和点F都向右平移2个单位后，得到抛物线L1和点F1，Q是抛物线L1上的一动点，且点Q在L1的对称轴的右侧，过点Q作QN⊥l于点N，连接QA．求|QA﹣QN|的最大值，并直接写出此时点Q的坐标．第7 页共57 页第 8 页共 57 页参考答案一．选择题1．解：A 、是二次函数，故本选项符合题意；B 、当a ＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；C 、不是二次函数，故本选项不符合题意；D 、不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．2．解：∵抛物线y ＝4（x +3）2+12，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，12），故选：C ．3．解：∵抛物线y 1＝（2+x ）2＝（x +2）2，∴抛物线y 1的开口向上，顶点为（﹣2，0），对称轴为直线x ＝﹣2；抛物线y 2＝（2﹣x ）2＝（x ﹣2）2，∴抛物线y 2的开口向上，顶点为（2，0），对称轴为直线x ＝2；∴y 1与y 2的顶点关于y 轴对称，∴它们的对称轴相同，y 1与y 2的图象关于y 轴对称，y 1向右平移4个单位可得到y 2的图象，∵y 1绕原点旋转180°得到的抛物线为y ＝﹣（x +2）2，与y 2开口方向不同， ∴关于抛物线y 1＝（2+x ）2与y 2＝（2﹣x ）2的说法，不正确的是D ，故选：D ．4．解：∵抛物线与x 轴的交点为（﹣4，0），（6，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x＝＝1，即x ＝1．故选：B ．5．解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，排除B 、C ；当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D ；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选：A．6．解：∵得到函数解析y＝x2﹣2x+1∴y＝（x﹣1）2∴将新二次函数y＝（x﹣1）2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6又∵y＝x2+bx+c∴b＝﹣6，c＝6故选：C．7．解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，又∵﹣5＜0，∴抛物线开口向下，有最高点，此时，t＝﹣＝2．故选：B．8．解：当a﹣3≠0且△＝4a2﹣4×（a﹣3）（a﹣）≥0，解得a＞且a≠3，当a﹣3＝0，函数为一次函数，它与x轴有一个交点，所以a＞，解两个不等式得，因为不等式组无解，所以a≤5，所以a的范围为＜a≤5，所以满足条件的a的值为0，1，2，3，4，5所以所有满足条件的整数a之和为0+1+2+3+4+5＝15．故选：D．9．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，第9 页共57 页∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣4a，∴4a+b＝0，所以②正确；∵x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，所以③错误；把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，而b＝﹣4a，∴c＝﹣5a，∴5a+2c＝5a﹣10a＝﹣5a＞0，所以④正确．故选：B．10．解：如下图所示，OA＝，∠ABD＝60°，则OB ＝＝1，过点B（﹣1，0），∵四边形ABDE平行四边形，则∠AED＝∠ABD＝60°，OH＝OA＝，同理可得：HE＝1＝AH，过点E（2，），第10 页共57 页将点B、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2x故选：B．二．填空题11．解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1，故答案为：x＜1．12．解：函数的对称轴为：t＝﹣＝﹣＝16，即经过16s，火箭到达它的最高点，故答案为16．13．解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，∴该函数开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，﹣1＜x＜2，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，当x＝﹣1时，y取得最大值，此时y＝（﹣1﹣1）2+2＝6，∴﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y≤6，故答案为：2≤y≤6．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝﹣1．故答案为﹣1．15．解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．第11 页共57 页当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．则，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．16．解：将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+1．故答案为：y＝2x2+1．三．解答题17．解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴解得：m＞﹣且m≠0．∵m＞且m≠0，m取其内的最小整数，∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∵1＞0，∴当x≤时，y随x的增大而减小．第12 页共57 页第 13 页共 57 页又∵n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是﹣5≤y ≤1﹣n ， ∴n 2﹣3n ﹣3＝1﹣n ，1﹣3﹣3＝﹣5，解得：n ＝1﹣．18．解：（1）k ＝4时，由交点式得y ＝a （x +1）（x ﹣4），（0，4）代入得a ＝﹣1， ∴y ＝﹣3x 2+3x +4，则B （4，0），连OP ，设P （m ，﹣m 2+3m +4），S △BCP ＝S △OPB +S △OPB ﹣S △OBC＝＝﹣2（m ﹣2）2+8m ＝2时，最大值为8，∴P 的横坐标为2时有最大值．（2）a ＝1时，c ＝4，设y ＝x 2+bx +4，A （﹣1，0）代入得b ＝5， ∴y ＝x 2+5x +4．令y ＝0求得B （﹣4，0），则直线BC 方程为y ＝x +4，过P 作PH 平行于y 轴交直线BC 于H ，设P （n ，n 2+5n +4）、H （n ，n +4），＝＝﹣2（n +2）2+8n ＝﹣2面积最大值为8，此时P 的横坐标为﹣2．（3）由（1）知，当面积最大时，P 的横坐标等于B 的横坐标的一半，由（2）知，面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半，故：可以推断，当面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半．19．解：（1）（﹣1，0）代入得0＝1+2a+4a+2，∴，∴y＝x2+x，∴另一交点为（0，0）．（2）①整理得y＝a（4﹣2x）+x2+2，令x＝2代入y＝6，故定点为（2，6），②∵y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2+（﹣a2+4a+2），顶点为（a，﹣a2+4a+2），而﹣a2+4a+2＝﹣（a﹣2）2+6，当a＝2时，纵坐标有最大值6，此时x＝2，y＝6，顶点（2，6），故定点（2，6）是所有顶点中纵坐标最大的点．20．解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a＝﹣，故函数的表达式为：y＝﹣（x﹣8）2+8，（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD＝2m，第14 页共57 页第 15 页共 57 页则点A （8﹣m ，y ），则AB ＝y＝﹣（x ﹣8）2+8＝8﹣m 2，设：w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB＝﹣m 2+2m +16，∵﹣＜0，故w 有最大值，当m ＝4时，w 的最大值为20，故AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是20．21．解：（1）设P ＝kx +b ，将（1，70000），（5，50000）代入得：，解得∴P ＝﹣5000x +75000．（2）∵上半年1﹣5月血橙的售价y （元/千克）与月份x 之间满足一次函数关系y＝x +2.5（1≤x ≤5，且x 是整数）∴W ＝Py＝（﹣5000x +75000）（x +2.5）＝﹣2500x 2+25000x +187500 ∴当x＝﹣＝5时，销售金额W （元）最大，最大金额是250000元．（3）设a %＝t ，5月份的销售价格y＝×5+2.5＝5由题意得：5（1+t ）×50000+（60000﹣50000）×0.8×5（1+t ）（1+）＝480000∴25（1+t ）+4（1+t ）（1+t ）＝48 ∴化简得：6t 2+35t ﹣19＝0 ∴（2t ﹣1）（3t +19）＝0 ∴t ＝50%或t＝﹣（舍）故a ＝50．22．解：（1）过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图1，∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DBF＝∠BAO，又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，在△AOB和△BFD中，，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，∴D的坐标是（3，1），（2）①根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，解得：b ＝，∴抛物线的解析式为y＝．②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，∴C （，1），∵C、D两点的纵坐标都为1，∴CD∥x轴，∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO与∠BCD互余，要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，设P的坐标为（x，），（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，第16 页共57 页则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得：x1＝0（舍去），，∴，∴点P的坐标为（）．（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3，则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得：x1＝0（舍去），，∴，∴P点坐标为（），综上所述，在抛物线上是否存在点P（）或，使得∠POB与∠BCD互余．第17 页共57 页（3）如图4，∵D（3，1），E（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，∴y＝ax2﹣4ax+3a+1．分两种情况：①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴3a+1＜0，解得a＜﹣；②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个．根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，∴，第18 页共57 页设Q（2a，﹣a）在直线OQ上，设直线OQ的解析式为y＝kx，∴k＝﹣，则直线OQ的解析式为y＝﹣x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，∴方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣x有两个不相等的实数根，∴，整理得：，解得：或（舍去），综上所示，a的取值范围为a＜﹣或．23．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2；（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切；第19 页共57 页（3）①设点P（m， m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，则AF′＝＝；将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），故点Q（6，4）；故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．第20 页共57 页人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习题含答案一、选择题1.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3sB．第4.3sC．第5.2sD．第4.6s2.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞-3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是-2D．抛物线的对称轴是x =-3.已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为x m，圆柱的侧面积为y m2，则y与x的函数关系式为（）A．y=-2πx2+18πxB．y=2πx2-18πxC．y=-2πx2+36πxD．y=2πx2-36πx4.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A．60m2B．63m2第21 页共57 页C．64m2D．66m25.已知抛物线y=ax2+bx+c过（1，-1）、（2，-4）和（0，4）三点，那么a、b、c的值分别是（）A．a=-1，b=-6，c=4B．a=1，b=-6，c=-4C．a=-1，b=-6，c=-4D．a=1，b=-6，c=46.二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）C．抛物线的对称轴是直线x=1D．抛物线与x轴有两个交点7.抛物线y=-2x2的对称轴是（）A．直线x =B．直线x =-C．直线x=0D．直线y=08.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（）A．（-4，-3）B．（-3，-3）第22 页共57 页C．（-3，-4）D．（-4，-4）二、填空题9.在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1=a1（x+h1）2+k1与y2=a2（x+h2）2+k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y=（x+1）2-1与y=（x-1）2+3互为梦函数，写出二次函数y=2（x+3）2+2的其中一个梦函数_____________________．10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k__________时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.已知函数y=（m-2）x2-3x+1，当________时，该函数是二次函数；当_______时，该函数是一次函数．12.抛物线y=2x2-4x-6与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．有下列说法：①抛物线的对称轴是x=1；②A、B两点之间的距离是4；③△ABC的面积是24；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中，说法正确的是_________________．（只需填写序号）13.如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________________．14.观察下表：第23 页共57 页则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时一个近似根是______，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是_______．15.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点和点（-2，0），则2a-3b______0．（＞、＜或=）16.如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=_____________．三、解答题17.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式；（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？第24 页共57 页18.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？19.已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），当a，b，c满足什么条件时，（1）它是二次函数？（2）它是一次函数？（3）它是正比例函数？20.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y=-x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．21.已知二次函数y=-x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．第25 页共57 页第二十二章《二次函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．∵4.6s最接近4.5s，∴当4.6s时，炮弹的高度最高．2.【答案】D【解析】将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、-=-，当x≥-时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=(x +)2-，二次函数的最小值是-，C不正确；D、-=-，抛物线的对称轴是x =-，D正确．3.【答案】C【解析】根据题意，矩形的一条边长为x m，则另一边长为（36-2x）÷2=18-x（m），则圆柱体的侧面积y=2πx（18-x）=-2πx2+36πx．4.【答案】C【解析】设BC=x m，则AB=（16-x）m，矩形ABCD面积为y m2，根据题意得y=（16-x）x=-x2+16x=-（x-8）2+64，当x=8m时，y max=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．5.【答案】D【解析】根据题意，得，第26 页共57 页解得．6.【答案】D【解析】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．7.【答案】C【解析】对称轴为y轴，即直线x=0．8.【答案】A【解析】令y=0，可得x=3或x=-1，∴A点坐标为（-1，0）；D点坐标为（3，0）；令x=0，则y=-3，∴C点坐标为（0，-3），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AD=BC=4，∴B点的坐标为（-4，-3）．9.【答案】y=2（x-3）2+2（答案为不唯一）．【解析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，可|a1|=a2，h1与h2互为相反数,二次函数y=2（x+3）2+2的一个梦函数是y=2（x-3）2+2.10.【答案】＜2【解析】由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，因此当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.【答案】m≠2；m=2【解析】y=（m-2）x2-3x+1，当m≠2时，该函数是二次函数；当m=2时，该函数是一次函数．12.【答案】①②④【解析】①抛物线y=2x2-4x-6的对称轴是直线x =-=1，故①正确；②2x2-4x-6=0，解得x=-1或3，所以AB=4；故②正确；③∵AB=4，C（0，-6），∴S△ABC =×4×6=12，故③错误；④∵抛物线y=2x2-4x-6的开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大；∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确，所以正确的第27 页共57 页是①②④．13.【答案】（1+，2）或（1-，2）【解析】∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=-x2+2x+3中，令y=2，可得-x2+2x+3=2，解得x =1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1-，2）.14.【答案】2.7；-0.7【解析】∵x=2.7时，y=-0.11；x=2.8时，y=0.24，∴方程的一个根在2.7和2.8之间，又∵x=2.7时的y值比x=2.8更接近0，∴方程的一个近似根为2.7；∵此函数的对称轴为x=1，设函数的另一根为x ，则=1，解得x=-0.7．15.【答案】＞【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线经过原点和点（-2，0），∴对称轴是x=-1，又对称轴x =-，∴-=-1，b=2a．∴2a-3b=2a-6a=-4a＞0．16.【答案】4【解析】根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4．17.【答案】解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），∴2=a（0-6）2+2.6，解得a =−，故y与x的关系式为y =-（x-6）2+2.6；（2）当x=9时，y =−（x-6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；第28 页共57 页当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，解得x1=6+2＞18，x2=6-2（舍去），故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时二次函数解析式为y =−（x-6）2+，此时球若不出边界h ≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时球要过网h ≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h ≥．【解析】（1）利用h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出即可；（2）利用当x=9时，y =-（x-6）2+2.6=2.45，当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，分别得出即可；（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），第29 页共57 页抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．18.【答案】解：（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得，∴抛物线的解析式为y =-t2+5t +，∴当t =时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y =-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【解析】（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5），（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为y =-t2+5t +，当t =时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y =-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．19.【答案】解：（1）当a≠0时，y=ax2+bx+c是二次函数；（2）当a=0，b≠0，c≠0时，y=ax2+bx+c是一次函数；（3）当a=0，b≠0，c=0时，y=ax2+bx+c是正比例函数．【解析】（1）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案；（2）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项不等于零是一次函数，可得答案；（3）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项等于零是正比例函数，可得答案．20.【答案】解：∵将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到y=mx2+n-6，∴m=-1，n-6=3，∴n=9，∴原抛物线y=-x2+9，∴顶点P（0，9），令y=0，第30 页共57 页则0=-x2+9，解得x=±3，∴A（-3，0），B（3，0），∴AB=6，∴S△PAB =AB•OP =×6×9=27．【解析】根据平移的性质得出y=mx2+n-6，根据题意求得m=-1，n=9，从而求得原抛物线的解析式，得出顶点坐标和与x轴的交点坐标，进而根据三角形面积求得即可．21.【答案】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0，∴m＞-1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=-9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=-x+3，∵抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，∴把x=1代入y=-x+3得y=2，∴P（1，2）．【解析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞-1；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=-x+3，把对称轴方程x=1，代入直线y=-x+3即可得到结果．第31 页共57 页人教版九年级数上册第22章：二次函数单元提优测试（附答案）一．选择题1．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2+bx+4＝0的根是（）A．x1＝x2＝200 B．x1＝0，x2＝400C．x1＝100，x2＝300 D．x1＝100，x2＝5003．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到4．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直1于y轴的直线l（x轴除外）与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（）第32 页共57 页A．0≤t＜2或10＜t≤12 B．0≤t≤2或10≤t≤12C．0≤t＜2或6＜t≤8 D．0≤t≤2或6≤t≤85．二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴的交点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y37．一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（）A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m8．二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，当x＝t时，y＞0，则x＝t+2时函数值（）A．c＜y＜0 B．y＜c C．y＞0 D．y＜09．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐第33 页共57 页标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之个间，以下结论：①abc＞0 ②b2﹣4ac＝0，③2a﹣b＝0，④a+b+c ＜0；⑤c﹣a＝3，其中正时的有（）个A．2 B．3 C．4 D．511．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜D．﹣2≤a＜012．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b第34 页共57 页。

数学二次函数的专项培优练习题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=60-10x；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．【解析】试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x），利用配方法化简可求最大值．试题解析：解：（1）由题意得：y =60﹣10x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣2110x +42x +10800 =﹣110（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．2．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC 与OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13．【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ．（2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ．设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |．由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-．（3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ．如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上．设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）．联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）．过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．3．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－9 8【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据x o是函数y的一个不动点的定义，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o是函数y的一个不动点的定义得到ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，整理得ax02+bx o+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，解得x o=-1或x o=3，所以函数y的不动点为-1和3；（2）因为y=x o，所以ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，即ax02+bx o+（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.4．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：时间(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 1=t+25(1≤t≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(原/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 2=—t+40(21≤t≤40且t 为整数).下面我们来研究这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a ＜4．【解析】分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t 是均匀减少的，所以确定m 与t 是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；（2）根据日销售量、每天的价格及时间t 可以列出销售利润W 关于t 的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a 的取值范围．详解：（1）设数m=kt+b ，有,解得∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．（2）设日销售利润为P ，由P=（-2t+96）=t 2-88t+1920=（t-44）2-16，∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P 在21≤t≤40上随t 的增大而减小，∴当t=21时，P 有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元. （3）P 1=（-2t+96）=-+（14+2a ）t+480-96n ，∴对称轴为t=14+2a ， ∵1≤t≤20，∴14+2a≥20得a≥3时，P 1随t 的增大而增大，又∵a ＜4， ∴3≤a ＜4．点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．5．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3yx .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)+-或317(1,)--.【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标；（3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94），见解析. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ．【详解】（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，∵A （﹣3，0），C （0，3）， ∴直线AC 解析式为y ＝x+3，设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3）， ∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ． ∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()213332x x --⋅=，解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4），当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点， ∴D 点坐标为（﹣1，4），又∵A （﹣3，0），∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2， ∵B （1，0），C （0，3）∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC ＝310，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝310410⨯＝6105，BE ＝2105， ∴CE ＝310， ∴tan ∠ACB ＝2AECE=， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2， ∴∠ACB ＝∠PAB ，∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ，即OM 为y ＝﹣x ，设OM 与AD 的交点M （x ，y ）依题意得：3y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（32-，32）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则依题意得：33y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3494x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（34-，94），综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为（32-，32）或（34-，94）．【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 【答案】（1）21452=-+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式并解得：12a =-，故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ，即：24m -=，214542m m s -+--=，解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+，解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的t 值.【答案】(1)点A 的坐标为（4，8）将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx 得8=16a+4b 0=64a+8b 解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x 2+4x（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE=PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE=AP=t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+t ，8-t ）.∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.②共有三个时刻：t1=163， t2=4013，t3=8525．【解析】（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．9．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．【解析】分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M（m ，12m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ=，即214 132222mm m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4），将点C （0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-12，则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x 2+32x+2；（2）由题意知点D 坐标为（0，-2），设直线BD 解析式为y=kx+b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y=12x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），∴Q （m ，--12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2），则QM=-12m 2+32m+2-（12m-2）=-12m 2+m+4，∵F （0，12）、D （0，-2），∴DF=52，∵QM ∥DF ，∴当-12m2+m+4=52时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则21=42 DO MBOB BQ==，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BPBQ PQ=，即214132222mm m-=-++，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．10．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；当m=-时，最大值L=9；（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为C（-1,4）．（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．由题意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，∴DE=EF．L=4DE=-4m2-12m．L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时，最大值L=9．（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．。

人教版九年级数学上册《二次函数》培优练习(含答案)

人教版九年级数学上册《二次函数》培优练习（含答案）一．选择题1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝x+B．y＝3（x﹣1）2C．y＝ax2+bx+c D．y＝+3x2．抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）4．一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系中大致的图象可能是（）A．B．C．D．5．二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝2x2﹣12x B．y＝﹣2x2+6x+12 C．y＝2x2+12x+18 D．y＝﹣2x2﹣6x+186．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m7．二次函数y＝﹣3x2+6x变形为y＝a（x+m）2+n形式，正确的是（）A．y＝﹣3（x+1）2﹣3 B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x﹣1）2+38．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠09．已知二次函数y＝2x2﹣bx+1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（）A．b≤4B．b≥2C．b≤2D．b≥410．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c满足（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0二．填空题11．若函数y＝x2﹣2x+1图象与直线有两个交点，则b为．12．若二次函数y＝ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点（﹣3，0），则二次函数解析式为：．13．如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是．14．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b2＞4ac；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③a＞；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x≤3；⑤当x＞0时，y随x增大而增大．上述五个结论中正确的有（填序号）三．解答题16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．17．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式，对称轴，顶点坐标；（2）画二次函数的图象并标出图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．19．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）20．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E 点的坐标．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x+是一次函数，此选项错误；B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，此选项正确；C、y＝ax2+bx+c不是二次函数，此选项错误；D、y＝+3x不是二次函数，此选项错误；故选：B．2．解：y＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，故抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是：（3，﹣5）．故选：C．3．解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选：A．4．解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除D；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；故选：C．5．解：二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是：y ＝2（x﹣3+6）2+2﹣2，即y＝2x2+12x+18．故选：C．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．7．解：y＝﹣3x2+6x＝﹣3（x2﹣2x）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1）＝﹣3（x﹣1）2+3 故选：D．8．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．9．解：∵y＝2x2﹣bx+1，∴对称轴为x＝，∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴≥1，∴b≥4，故选：D．10．解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数的对称轴在y轴的右边，∴﹣＞0，∴＜0，∵a＞0，∴b＜0，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：将y＝x2﹣2x+1和组成方程组得，，整理得，x2﹣x+1﹣b＝0，∵两函数有两个交点，∴△＞0，∴（﹣）2﹣4（1﹣b）＞0，解得b＞﹣，故答案为b＞﹣．12．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，所以抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4，把（﹣3，0）代入得a•（﹣3+2）2+4＝0，解得a＝﹣4，所以抛物线解析式为y＝﹣4（x+2）2+4．故答案为y＝﹣4（x+2）2+4．13．解：∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，∴k﹣3≠0，解得：k≠3，∴k需满足的条件是：k≠3，故答案为：k≠3．14．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y＝x+m1与C2相切时，令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1＝0，△＝﹣8m1﹣15＝0，解得m1＝﹣，当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2，m2＝﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故答案是：﹣3＜m＜﹣．15．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤错误．故答案为①②．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．17．解：（1）w＝（x﹣30）•y＝（﹣x+60）（x﹣30）＝﹣x2+30x+60x﹣1800＝﹣x2+90x﹣1800，w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x＝45时，w有最大值，最大值是225．（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，解得x1＝40，x2＝50，∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．18．解：（1）把A（2，0），B（0，﹣1），C（4，5）代入得：，解得：，则二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣1＝（x﹣）2﹣，即对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，﹣）；（2）如图所示：y＝x2﹣x﹣1，令y＝0，得到x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝2或x＝﹣1，则D（﹣1，0）．19．解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）（2）对于函数w＝﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．又∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着x的增大而增大，∴当x＝32时，W＝2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000解这个方程得：x1＝30，x2＝40．∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P（元），由题意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000∵k＝﹣200＜0，∴P随x的增大而减小．∴当x＝32时，P的值最小，P＝3600．最小值答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得：．∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如答图1，∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为x＝＝﹣1，∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），M（﹣1，0）∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，∴P点坐标为：P1（﹣1，）；∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，解得，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S＝BF•EF+（OC+EF）•OF四边形BOCE＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝﹣a2﹣a+＝﹣（a+）2+，∴当a＝﹣时，S最大，且最大值为．四边形BOCE此时，点E坐标为（﹣）．。

中考数学二次函数(大题培优)含详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.2．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94，当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）. 【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式．（2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标．（3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入 y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±2，∵x＞0∴x＝1+2．∴P（1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.5．如图1，在矩形ABCD中，DB＝6，AD＝3，在Rt△PEF中，∠PEF＝90°，EF＝3，PF＝6，△PEF（点F和点A重合）的边EF和矩形的边AB在同一直线上．现将Rt△PEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）如图1，连接PD，填空：PE＝，∠PFD＝度，四边形PEAD的面积是；（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．【答案】（1）3009+93；（233）见解析. 【解析】分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6∴sin ∠P=1=2EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD∴∠PAD=300，根据勾股定理可得3 所以S 四边形PEAD =12×（3+3）993 ；（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，在Rt △ADF 中，由AD=3，得33 ；（3）分三种情况讨论：①当0≤t 3 PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，3t ，∴S=12332； ②3＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴3-t ，S △ABD 93， ∵∠FBK=∠FKB ，∴3，KH=KF×sin6009-3t,∴S=S △ABD ﹣S △FBK=23993,424t t -+- ③当3≤t≤33时，PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，BF=33-t, BE=33-t+3，OE=BE×tan300=9-333t +，∴S=233233633-t t --++．点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.6．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标．【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠，将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中，得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．7．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2﹣3x 。

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