【数学】数学二次函数的专项培优练习题附答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线

y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；

（2）求函数2

(0)y ax b a =+≠的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）y 13

=x 2

﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】

（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；

（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】

（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3；

（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3，

所以点B 的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：

3

90b a b =-⎧⎨

+=⎩

， 解得：133

a b ⎧

=⎪⎨⎪=-⎩，

所以二次函数的解析式为：y 13

=

x 2

﹣3； （3）存在，分以下两种情况：

①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC •tan30°3=

设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3=

联立两个方程可得：2

3313

3y x y x ⎧=-⎪

⎨=-⎪⎩

， 解得：1212033

36x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩

， 所以M 1（36）；

②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝3

设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3

=

联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

， 解得：12120332

x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．

综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）． 【点睛】

此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．

2．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=

13x ﹣4

3

与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线

y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是

x=32

． （1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】

（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3

2

列出关于a 、c 的方程组求解即可；

（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到

22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y

Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 （1）当y=0时，

14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=3

2

，得16120

3322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩

，

解得14

a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；

（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，

∴直线m 的解析式为y=

13

x ． ∵点P 是直线1上任意一点，

∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ． 又∵PE=3PF ， ∴

PC PB

PF PE

=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP ⊥PE ．

（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．

∵CF=3BE=18﹣3a ， ∴OF=20﹣3a ． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，

∴

22x x x x Q P F E ++=，22y y y y

Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．

将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q （﹣2，6）．

如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．