第六章—水文频率计算

6.4 水文频率计算
正态分布
分布线性 皮尔逊Ⅲ型分布
水文频率计算
对数正态分布
矩法
参数估计 适线法
其他方法
6.4.1 线型分布
• 6.4.1.1 正态分布
自然界中许多随机变量如水文测量误差、抽 样误差等一般服从或近似服从正态分布。正态分 布具有如下形式概率密度
f (x)
1
e
(
xa)
2 2
2
2
式中:ɑ—为平均数(总体均值EX)； σ — 标准差；
—
f（x）
68.3%
正态分布的密度曲线与x轴所围成的面积等1。在
a
—
区间所对应的面积占全面积的68.3%，a
—
3
区间所
对应的面积占全面积的99.7%
6.4.1.2 皮尔逊Ⅲ型分布
皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一段有限，一点无限
的不对称单峰曲线，数学上称为伽马分布，器
概率密度函数为
f
(x)
a ( )
(x
a0 )a1 e ( xao )
P P(x xP )
f (x)dx
xP
直接由上式计算P值非常麻烦，实际做法是通过
变量转换，根据拟定的Cs值进行积分，并将成果制
成专用表格，从而使计算工作大大简化。
令
x - EX
EXC v
则有
x EX (1 Cp)
dx EXCvd
ᵠ是标准化变量，称为离均系数，ᵠ的均值为0， 标准差为1。这样经过标准化变化后在化简可得
e—为自然对数的底
• 正态分布的密度曲线有以下3个特点 （1）单峰。 （2）关于均值ɑ对称，即Cs=0. （3）曲线两端趋于无限，并以x轴为渐近线 正态分布概率密度函数只包括两个参数，即均值ɑ
和均方差σ。因此，若某个随机变量服从正态分布， 只要求出均值ɑ和均方差σ值，则分布便确定。 正态分布曲线在 a 处出现拐点。
经验频率
经验频率的估算在于对样本序列中的每一项估算其 对应的频率。设一个总体，共有无穷项，我们随机地将 其分成许多个样本（设为k个），每个样本都含有n项且 相互独立。各个样本中的各项可按大小自大而小的次序 安排如下。
第一个样本: 1 x1* ,1 x2* ,......., 1 xm* ,...., 1 xn* 第二个样本: 2 x1* ,2 x2* ,......., 2 xm* ,...., 2 xn* 第 k 个样本: k x1* ,k x2* ,......., k xm* ,...., k xn*
抽样误差 统计参数的均方误公式：
x
n
2n
1
3 4
Cs2
Cv
Cv 2n
1
2Cv2
3 4
Cs2
2CvCs
Cs
6 n
1
3 2
Cs2
5 16
Cs4
6.4.2.2 适线法
适线法:根据估计的频率分布Fra Baidu bibliotek线和样本经验点据分 布配合最佳来优选参数的方法 优点:层次清楚，方法灵活，操作容易 实质是通过样本的经验分布去探求总体的分布 适线法:目估适线法、计算机优化适线法
年降雨量（mm）
经验频率曲线
x
1200
1000 800
0 20 40 60
80
100 W（%）
某地年降雨量经验分布曲线
如图所示的折线经验分布曲线，如消除折线而
画成一条光滑的曲线，水文计算中习惯上称为经验 频率曲线，在样本确定的情况下，这条曲线基本上 取决于样本中每一项在图上的位置，即每一项的纵、 横坐标。经验频率曲线的形状与每一项频率的估算， 关系极为密切。
由样本估计总体的方法有很多，例如矩法、 概率权重矩法、线性矩法、权函数法即适线法等。 一般情况下，这些方法各有各的特点，均可独立 使用。我国工程水文中通常采用适线法，而其他 方法估计参数，一般作为适线法的初估值。
6.4.2.1矩法
矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参 数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。 该发计算简单，事先不用选定频率曲线线型，因 此，是频率分析计算常用的办法。
偏态系数Cs对频率曲线的影响
图中Cv=0.1时各 种不同的Cs对频 率曲线的影响情 况。正偏情况下， Cs愈大，对应的 频率愈上段愈陡， 下段愈平缓。
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式中：参数α，β，a0为皮尔逊三型分布的形 状、尺度和位置参数，α>0,β>0。
f(x )
a (x ( )
a e )a 1 (x ao ) 0
4 Cs2
;
2 ;
xCvCs
a0
x(1
2Cv Cs
)
水文计算中，一般需要求出制定频率p所对应的 随机变量xp,这要通过对密度曲线进行积分，求出等 于或大于xp的累积频率p值，即
当k→ 较大时，可以证明
P m n 1
上式在水文计算中通常称为期望公式，以此 估计经验频率。
频率与重现期
（1）当研究暴雨洪水时，一般P<50%，采
用
T1
P
式中：T为重现期，以年计；P为频率，以小 数点或百分数计。
（2）当研究枯水问题时，一般P>50%,采用
T 1 1 P
目估适线法
目估适线法估计频率曲线参数的具体步骤如下 （1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频 率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标变量取值， 横坐标经验频率） （2）选定水文频率分布线型（一般选用皮尔逊Ⅲ型） （3）假定一组参数 x、Cv、Cs。为了使假定值接近 实际，可用矩法或其他方法求出3个参数的值作为假 定值。当用矩法估计时，Cs的误差太大，一般不计 算，假定为Cv的某一倍数
由于各阶原点矩和中心矩都与统计参数之间 有一定的关系。因此，可以用矩来表示参数。
设水机标量x的分布函数为F(x)，则x的r阶原点矩
和中心矩分别为
mr xr f (x)dx
和
r [x E(x)]r f (x)dx
式中:f(x)为随机变量X的概率密度函数。
对于样本，r阶样本原点矩 mr 和r阶样本中心矩 r
分别为
mr
1 n
n i 1
xir
r=1,2,…
1 n
n
( xi
i 1
_
x)r
式中：n为样本容量
r=2,3,...
样本特征值的数学期望值与总体同一特征值比较
接近，如n足够大时，其差别更微小。经过证明，样
本原点矩 本中心矩
mrr的的数数学学期期望望不正是好总是体总的体中原心点矩矩，m把r,但 r样经
估计时，只能说有很多个同容量的样本资料，用上式计
算出来的统计参数的均值，可望等于或近似等于相应总
体参数。而对于某一个具体的样本，计算出参数可能大
于或小于总体参数，两者存在误差。因此，用有限样本
资料算出来的统计参数，去估计总体的统计参数总会出
现一定的误差，这种随机抽样引起的误差，在统计上称
为统计误差。
过修正后，再求其数学期望，则可得到 r。修正的
数值称为该参数的无偏估计量，然后用它作为参数
估计值。
1n
x n i1 xi
E(
2
)
n
1 n
2
E( 3 )
(n
1) (n n2
2)
3
1 n
x
n
xi
i 1
Cv
( K i 1) 2
n 1
C s
( K i 1) 3 (n 3)C v 3
用上述无偏估值公式计算出来的参数作为总体参数的
为避免配线时修改参数的盲目性，需要了 解统计参数对频率曲线的影响 均值对频率曲线的影 1）当皮尔逊Ⅲ型频率 曲的两个参数Cv和Cs 不变时，由于均值 的 不同，可以使频率曲 线发生很大的变化。 2）均值大的均值小的 曲线陡
变差系数Cv对频率曲线的影响 为了消除均值 的影 响，我们以模比系数 K为变量绘制频率曲 线，见右图。图中 Cs=1.0。Cv=0时， 随机变量的取值都等 于均值，此时频率曲 线即为k=1的一条水 平线，随着cv的增大， 频率曲线的偏离程度也 随之增大，曲线显得越来越陡。
现在每个样本中取出同序来研究，设取第m项，则有
1 xm * ,2 xm * ,...., k xm *
其在总体中都有一个对应的出现概率为
1 Pm* ,2 Pm* ,...., k Pm*
水文资料只是一个样本，期望它处于平均情 况，即期望样本中第m项的频率是许多样本中通 序号概率的均值
1 P k (1Pm 2Pm ......k Pm )
（4）根据初估的 、x Cv、Cs，计算Xp值。以 为纵坐标，P为横坐标，即可得到频率曲线。将 此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据 配合的情况，若不理想，则修改参数（主要调 整Cv以及Cs)再次进行计算。
（5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况， 从中选择一条鱼经验点据配合较好的曲线作为 采用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体 参数的估值。
P( p ) p f (, Cs)d 在进行频率计算时，由样本估计出的Cs值，查ᵠ 值表得出不同的P的ᵠp值，然后利用估计出的x、Cv 值即可求出与各种p相应的xp值，从而可绘出频率 曲线。如何求得皮尔逊三型分布曲线的参数— x 、Cv、
Cs是关键。
6.4.2 参数估计
在概率分布函数中都有一些表示分布特征的 参数，水文频率曲线线型选定之后，为了具体确 定概率分布函数，就得估计出这些参数。由于水 文现象的总体通常是无限的，我们无法取得，这 就需要用有限的样本观测资料去估计总体分布线 型中的参数，故称为参数估计。