矩形菱形正方形及其性质判定

矩形、菱形、正方形及其性质、判定

第1题. （贵州省贵阳市，10分）如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的

中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．（5分）

（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）

答案：（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点

∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CB

A C AE CF =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

(SAS)AED CFB ∴

△≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形．

证明：AD BD ⊥ ，

ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边（或90ADB ∠= ）

E 是AB 的中点， 1

2

D E A B B E ∴=

=． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =， ∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴四边形BFDE 是菱形．

第2题. (湖北省黄冈市,7分)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过

点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =． 答案：证明：四边形ABCD 是正方形，

AD CD = ，A DCF ∠=∠=90ADC ∠= ， DF DE ⊥ ，90EDF ∴∠= ．

ADC EDF ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠．

12∴∠=∠．

在ADE △与CDF △中12AD CD A DCF ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

，

，， A D E C D F ∴

△≌△．DE DF ∴=．

A

B C

D

E

F A

E

B

C

F

D 1 2

3

第3题. （湖北省咸宁市，8分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点

O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；

（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．

答案：解（1）证明： ∵CE 平分BAC ∠， ∴12∠=∠，

又∵MN ∥BC ， ∴13∠=∠， ∴32∠=∠，

∴EO CO =．

同理，FO CO =． ∴ EO FO =． （2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．

∵EO FO =，点O 是AC 的中点． ∴四边形AECF 是平行四边形．

又∵12∠=∠，45∠=∠． ∴1

24180902

∠+∠=⨯︒=︒，即90ECF ∠=︒．

∴四边形AECF 是矩形．

第4题. （江苏省南京市，6分）如图，在

ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，

AF ＝DE ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ； （2）四边形ABCD 是矩形． 答案：证明：（1）∵BE ＝CF ， BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ， ∴ BF ＝CE ．

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ．

在△ABF 和△DCE 中， ∵AB ＝DC ， BF ＝CE ，AF ＝DE ， ∴△ABF ≌△DCE ．

（2）证明：∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠B ＝∠C ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ． ∴∠B ＋∠C ＝180°． ∴∠B ＝∠C ＝90°． ∴四边形ABCD 是矩形．

第5题. （湖南省湘潭市，6分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，

过C 作CF ⊥DE ，垂足为F .

（1）猜想：AD 与CF 的大小关系； （2）请证明上面的结论.

A B

C E F M N O (第19题图）A

B

C

E

F M N O (第19题图）

1

2345A

B D

C

E F B

A

C

D

E

F

答案：解：（1）AD CF =.

（2） 四边形ABCD 是矩形，

,AED FDC DE AB CD ∴∠=∠∴==

又,90,CF DE CFD A ⊥∴∠=∠=︒

ADE FCD ∴≅∆ AD CF ∴=

第6题. （江西省南昌市，4分）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD

上的点B '处，点A 落在点A '处； （1）求证：B E BF '=；

（2）设AE a AB b BF c ===，，，试猜想a b c ，，之间的一种关系，并给予证明． 答案：（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠， 在矩形ABCD 中，AD BC ∥， B EF BFE '∴∠=∠， B FE B EF ''∴∠=∠． B F B E ''∴=． B E BF '∴=．

（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222

a b c +=．

证：连结BE ，则BE B E '=．

由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．

在ABE △中，90A ∠=

，2

2

2

AE AB BE ∴+=．

AE a = ，AB b =，222a b c ∴+=．

（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>． 证：连结BE ，则BE B E '=．

由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=． 在ABE △中，AE AB BE +>， a b c ∴+>．

第7题. （内蒙古自治区赤峰市，10分）如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，

重合的四边形ABCD 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．

答案：答：四边形ABCD 是菱形．

证明：由AD BC ∥，AB CD ∥得四边形ABCD 是平行四边形

过A C ，两点分别作AE BC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ．

A

B

C

D F

A '

B '

E

A B C D