矩形菱形正方形及其性质判定
菱形、矩形、正方形的性质及判定
特殊
四边
边
形
菱
形
菱形、矩形、正方形的性质判定
性
质
角
对角线
面积
对称性
判定
边
角
对角线
矩 形
正 方 形
【例题精讲】
【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足为 E，∠DAE :∠BAE = 3 :1, 求∠EAC的度数。
【拓展练习】
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相较于点 O，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，交 BC 于 E，求 ∠BOE的度数
C.AD//BC，∠A =∠C
D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
13,.在矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 E，且 CE=DE，若 AB=2AD，则∠ADE 等于（
A.45°
B.30°
C.60°
D.75°
14.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是（
A.16
8.菱形的周长为 16，两邻角度数的比为 1:2，此菱形的面积为（
）
A.4 3
B.8 3
C.10 3
D.12 3
9.已知 E 是矩形 ABCD 的边 BC 的中点，那么 SΔ AED =
S矩形ABCD （
）
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
4
5
6
10.如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形 ABCD 的面积为
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
6.已知菱形 ABCD，AE⊥BC 于 E，若 S菱形ABCD = 24 ，且 AE=6，则菱形的边长为（
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例
ABCD EFO矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考. 一、矩形知识的应用例1(甘肃白银7市课改)如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 .分析：由四边形ABCD 是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC ，由三角形全等可求出阴影部分的面积.解：∵矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O . ∴OA=OB=OD=OC ，AC=BD∵)(,SAS COF AOE COD AOB ∆≅∆∆≅∆ ∴COF AOE COD AOB S S S S ∆∆∆∆==, ∴阴影部分的面积33221=⨯⨯=点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上(四个角都是直角)，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.二、菱形知识的应用例2. (山东)如下图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a ，求：(1)∠ABC 的度数；(2)已知a AO 23=，求对角线AC 的长；(3)求菱形的面积.分析： 因为E 是AB 的中点，且DE ⊥AB 可得等腰三角形ABD 为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC 的长和菱形面积.解：(1)连结BD.在菱形ABCD 中，∵ DE ⊥AB ，E 是AB 的中点，∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD 为等边三角形.∴ ∠ABD=60° .∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.(2)在菱形ABCD 中 ，AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分. 由(1)在Rt △ABO 中，a AO 23=a a AO AC 32322=⨯==∴ (3)由(1)知a AB BD ==，∴a a S ⋅⨯=⋅=321BD AC 21菱形 .232a = 点评：(1)本题首先证明△ABD 是等边三角形，从而求出∠ABD 的度数，再利用菱形的性质可求∠ABC.(2)求AC 的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)菱形的面积可用21AC·BD 求出，也可利用AB·DE 求出. 本题应用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，即可求出面积.三、正方形知识的应用例3(浙江台州)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H (如图).试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.分析：本题是将正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG .构造全等三角形.解：HG HB =. 证法1：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形.∴90B G ∠=∠=°.由题意知AG AB =，又AH AH =.DCAB GHFEDC AB GHFERt Rt()∴△≌△，AGH ABH HL=∴.HG HB证法2：连结GB.，都是正方形，∵四边形ABCD AEFG∠=∠=∴°.ABC AGF90由题意知AB AG=.∴.∠=∠AGB ABG∴.∠=∠HGB HBG∴.=HG HB点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH或HBG∠即可.=HGB∠练习：1.如图，如果要使平行四边行ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.2.如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E.求证：四边形CDC′E是菱形.3.如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC 于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.参考答案1.AB AD AC BD，等.=⊥2.证明：根据题意可知DE∆≅C∆CDE'则'''，，=∠=∠=CD C D C DE CDE CE C E∵AD//BC ∴∠C′DE=∠CED∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE∴CD=C′D=C′E=CE ∴四边形CDC′E为菱形3.(1) 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.(2) 不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC 边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.说明：未用举反例的方法说理的不得分.(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .从而有BE=DF.。
矩形、菱形、正方形的性质与判定(2)
11.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）学习过程：一、情境创设回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：条 件结 论四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O四边形ABCD 是平行四边形二、探索活动问题一 你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗？ 证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线证出平行四边形。
问题二 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
问题三 你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？问题四 你认为“在四边形ABCD 中，如果OA=OC ，OB ≠OD ，那么四边形ABCD 不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？分析：假设四边形ABCD 是平行四边形，那么OA=OC ，OB=OD ，这与条件OB ≠OD 矛盾，所以四边形ABCD 不是平行四边形。
假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。
三、例题教学例1 已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F 。
求证：四边形AECF 是平行四边形。
分析：由垂直可证一组对边平行，再利用全等证这组对边相等；或由平行四边形对角线互相平分知OA=OC ，再证OE=OF 即可；或由垂直证一组对边平行，再利用面积相等法证这组对边相等。
四、练习P 20 练习 1、2OABCDE FHG ABCDE F五、小结1、如图，AD∥BC，AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，图中有哪些四边形是平行四边形？说说你的理由。
2、“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么两条边所对的角也不相等”这个命题正确吗？如果正确证明你的结论。
3.矩形、菱形、正方形及其性质、判定1
(20070911184130515992)第42题. （2007江苏常州课改，9分）已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E G H ，，分别在正方形ABCD 边AB CD DA ，，上，2AH =，连接CF ． （1）当2DG =时，求FCG △的面积；（2）设DG x =，用含x 的代数式表示FCG △的面积； （3）判断FCG △的面积能否等于1，并说明理由．答案：解：（1） 正方形ABCD 中，2AH =，4DH ∴=． 又2DG =，因此HG =EFGH的边长为 在AHE △和DGH △中，90A D ==∠∠，2AH DG ==，EH HG ==AHE DGH ∴△≌△．AHE DGH ∴=∠∠．90DGH DHG += ∠∠，90DHG AHE ∴+= ∠∠， 90GHE ∴= ∠，即菱形EFGH 是正方形．同理可以证明DGH CFG △≌△．因此90FCG =∠，即点F 在BC 边上，同时可得2CF =，从而14242FCG S =⨯⨯=△． 2分（2）作FM DC ⊥，M 为垂足，连结GE ， AB CD ∥，AEG MGE ∴=∠∠， HE GF ∥，HEG FGE ∴=∠∠． AEH MGF ∴=∠∠．在AHE △和MFG △中，90A M ==∠∠，HE FG =，AHE MFG ∴△≌△．2FM HA ∴==，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2．因此12(6)62FCG S x x =⨯⨯-=-△． 6分（3）若1FCG S =△，由6FCG S x =-△，得5x =，此时，在DGH △中，HG =相应地，在AHE △中，6AE =>，即点E 已经不在边AB 上． 故不可能有1FCG S =△．9分另法：由于点G 在边DC 上，因此菱形的边长至少为4DH =，当菱形的边长为4时，点E 在AB边上且满足AE =E 逐渐向右运动至点B 时，HE的长AADH AH（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为HE =此时，DG =0x ≤≤ 而函数6FCG S x =-△的值随着x 的增大而减小，因此，当x =FCG S △取得最小值为6-又因为661->-=，所以，FCG △的面积不可能等于1． 9分(20070911184131703993)第43题. （2007江苏连云港课改，3分）如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） Ａ．四边形AEDF 是平行四边形Ｂ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形Ｃ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形答案：Ｄ(20070911184135625633)第44题. （2007江苏泰州课改，9分）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD BC ，的中点，G H ，分别是BD AC ，的中点，AB CD ，满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论． 答案：（1）当AB CD =时，四边形EGFH 是菱形．（2）证明： 点E G ，分别是AD BD ，的中点，12EG AB ∴ ∥，同理12HF AB ∥，EG HF ∴ ∥．∴四边形EGFH 是平行四边形12EG AB = ，又可同理证得12EH CD =，AB CD = ， EG EH ∴=，∴四边形EGFH 是菱形．9分（用分析法由四边形EGFH 是菱形推出满足条件“AB CD =”也对）(20070911184136828118)第45题. （2007江苏无锡课改，7分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E F ，分别是边CD ，AD 的中点．求证：AE CF =．Ａ ＦＣＤＢＥ答案：证明：菱形ABCD 中，AD CD =． 1分E F ，分别是CD AD ，的中点，1122DE CD DF AD DE DF ∴==∴=，，．3分 又ADE CDF ∠=∠ ，AED CFD ∴△≌△． 5分AE CF ∴=． 7分(20070911184137906587)第46题. (2007江苏徐州课改，7分)如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC BD ，的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定是．．．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD 必须．．满足．．怎样的条件？答案：（1）矩形，菱形，菱形； 3分 （2）当平行四边形EFGH 是矩形时，四边形ABCD 必须满足：对角线互相垂直； 5分 当平行四边形EFGH 是菱形时，四边形ABCD 必须满足：对角线相等． 7分(20070911184138703236)第47题. （2007辽宁大连课改，3分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若2OA =，则BD 的长为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：A(200709111841414686)第48题. （2007江西课改，3分）如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点AECD BFA H G CEB D AD O B CC 落在C '处，BC '交AD 于E ，若22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个答案：B(20070911184143875855)第49题. （2007辽宁大连课改，7分）如图－1，小明在研究正方形ABCD 的有关问题时，得出：“在正方形ABCD 中，如果点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的一点，且FAE EAD ∠=∠，那么EF AE ⊥”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图－2、图－3、图－4），其他条件不变，发现仍然有“EF AE ⊥”的结论．你同意小明的观点吗？若同意，请给结合图11－4加以证明；若不同意，请说明理由．答案：解：同意．方法一：证明：如图①，延长AE 交BC 的延长线于点G四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，D ECG ∴∠=∠．E 为DC 的中点，∴DE EC =，又DEA CEG ∠=∠ ，(ASA)ADE GCE ∴△≌△． 3分∴AE GE DAE G =∠=∠，．FAE DAE ∠=∠ ，FAE G ∴∠=∠．5分 ∴FA FG =． EF AE ∴⊥．7分方法二：证明：如图②，在AF 上截取AG AD =， 连接EG GC ，．FAE EAD ∠=∠，AE AE =，(SAS)AEG AED ∴△≌△．DE GE ∴=，AGE D ∠=∠，12∠=∠．点E 是DC 的中点，EC DE ∴=，EC GE ∴=．四边形ABCD 是平行四边形，180AD BC BCD D ∴∴∠+∠= ∥．180EGF AGE ∠+∠= ，BCD EGF ∴∠=∠．3分C 'DE D E C C BF 图—1 图—2 图—3 图—4F②①EG EC = ，EGC ECG ∴∠=∠．FGC FCG ∴∠=∠．GF FC ∴=．又EF EF = ，(SSS)GEF CEF ∴△≌△．6分34∴∠=∠．1123(1234)1809022AEF ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=⨯= ． EF AE ∴⊥．7分(20070911184149031398)第50题. （2007辽宁大连课改，12分）两个全等的Rt ABC △和Rt EDA △如图放置，点B A D ，，在同一条直线上．操作：在图中，作ABC ∠的平分线BF ，过点D 作DF BF ⊥，垂足为F ，连结CE ． 探究：线段BF CE ，的关系，并证明你的结论．说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的Rt ABC △和Rt EDA △”改为“两个全等的等腰直角ABC △和等腰直角EDA △（点C A E ，，在同一条直线上）”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得．．．2．分．．答案：解：操作如图①， 结论：BF CE ⊥，12BF CE =．………………2分 方法一：证明：如图②，设CE 交BF 于点N ，交BD 于点M ． Rt Rt ABC EDA △≌△，90ABC EDA ∴∠=∠=，AC AE =，12∠=∠． BC DE ∴∥，BCE DEC ∴∠=∠． AC AE = ，34∴∠=∠，513∠=∠+∠ ，24DEC ∠=∠+∠，545DEC DME ∴∠=∠=∠= ．545BCE ∴∠=∠=．………………………………4分 BC BM ∴=．CBAEDC BA ED②GM N 15 324 FCB AED①F又BF 平分ABC ∠，MN ∴12CM =，BF CE ⊥．………………6分 过点D 作DG CE ⊥，垂足为G ．45DME DEM ∠=∠= ，DM DE ∴=．12MG ME ∴=． DF BF ⊥ ，BF CE ⊥，DG CE ⊥，90FNG DGN F ∴∠=∠=∠= ，∴四边形FNGD 为矩形．8分∴111222FD NG MN MG CM ME CE ==+=+=．又BF 平分ABC ∠，DF BF ⊥，90ABC ∠=，45FBD FDB ∴∠=∠= ，BF DF ∴=，12BF CE ∴=．12分方法二：证明：如图③，过点C 作CG DE ⊥，交ED 的延 长线于点G ，BF 交CE 于点N ．90ABC BDG G ∠=∠=∠= ，∴四边形BDGC 为矩形． ∴DG BC =，BD CG =．Rt Rt ABC EDA △≌△，AB DE AD CB ∴==，．AB AD DE DG ∴+=+．即BD EG CG ==．∴CEG △为等腰直角三角形．………………………………4分∴sin 45CGCE ===． 6分BF 平分ABC ∠，90ABC ∠= ，45FBD ∴∠= ．DF BF ⊥ ，BDF ∴△为等腰直角三角形．sin 45BFBD ∴==，)2CE BF ∴===，12BF CE ∴=．10分又 45FDB GEC ∠=∠=，FDG GEC ∴∠=∠．FD CE ∴∥，180FNE DFN ∴∠+∠= ．90DFN ∠= ，90FNE ∴∠= ．BF EC ∴⊥．12分 方法三：证明：如图④，设BF 交CE 于点N ，延长BF ， ED 交于点G ，连结CF 并延长交EG 于点H ．BF 是ABC ∠的平分线，90ABC ∠= ，C BADFGN H12 C BAED③FG N1245∴∠=∠= ．90BDG ∠= ，145G ∴∠=∠= ，BD GD ∴=．…………4分DF BF ⊥ ，FD FB FG ∴==．245G ∠=∠= ，CFB HFG ∠=∠，BCF GHF ∴△≌△（ASA ）． 6分CF HF ∴=，BC GH =．Rt Rt ABC EDA △≌△，BC DA AB ED ∴==，． AD GH ∴=，AB DH =，DE DH ∴=．8分FD CE ∴∥，且12FD CE =．90180FNE DFN FNE ∠+∠=∠+= ，90FNE ∴∠= ． BF CE ∴⊥，12BF CE =． 12分改变条件：选“两个全等的等腰直角ABC △和等腰直角EDA △（点C A E ，，在同一条直线上）”． 证明：如图⑤，连结CF AF ，．90ABC ∠= ，BF 是ABC ∠的平分线，45DBF ∴∠=．DF BF ⊥ ，BFD ∴△为等腰直角三角形．Rt Rt ABC EDA △≌△，AB AD ∴=，CA AE =． AF AB ∴⊥，AF AB =．ABC △为等腰直角三角形，BC AB ∴⊥，BC AB =，BC AF∥． ∴四边形BAFC 是正方形．∴BF CE ⊥，BF CA =．∴12BF CE =． 2分(20070911184150031933)第51题. （2007内蒙赤峰课改，4分）如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，15ABE ∠=，且AB AE =，则DE = cm ．答案：3(20070911184151484619)第52题. (2007浙江台州课改,8分)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想．C BAED 25题⑤FCDED C A BG H F答案：解：HG HB =． 证法1：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形． ∴90B G ∠=∠=°．由题意知AG AB =，又AH AH =．Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△， HG HB =∴． 证法2：连结GB ．∵四边形ABCD AEFG ，都是正方形， 90ABC AGF ∠=∠=∴°． 由题意知AB AG =． AGB ABG ∠=∠∴． HGB HBG ∠=∠∴． HG HB =∴．(20070911184152296701)第53题. （2007辽宁12市课改，10分） 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．答案：解：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， ∴∠AEF =∠ECD ． 3分 又∠F AE =∠EDC =90°．EF =EC ∴Rt △AEF ≌Rt △DCE ． 5分 AE =CD ． 6分 AD =AE +4．∵矩形ABCD 的周长为32 cm ， ∴2（AE +AE +4）=32． 8分 解得， AE =6 （cm ）． 10分DCAB GHFEDC AB GHFEB C A E DF(20070911184153281789)第54题. （2007内蒙赤峰课改，4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，分别等于8和6，将BD 沿CB 的方向平移，使D 与A 重合，B 与CB 延长线上的点E 重合，则四边形AECD 的面积等于（ ） A ．36 B ．48 C ．72 D ．96答案：A(20070911184155312481)第55题. (2007内蒙鄂尔多斯课改9分)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图16（1），已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，(30)A ，，(04)B ，，请你画出以格点为顶点，OA OB ，为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；（3）如图16（2），将ABC △绕顶点B 按顺时针方向旋转60，得到DBE △，连结AD DC ，，30DCB =∠．求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形．答案：（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）2分（填正确一个得1分）（2）答案如图所示．(34)M ，或(43)M ，．（没有写出不扣分）2分（根据图形给分，一个图形正确得1分）BE 图（1）A（2） A（3）证明：连结EC ABC DBE △≌△5分 AC DE ∴=，BC BE =6分 60CBE = ∠ EC BC ∴=，60BCE = ∠7分 30DCB = ∠ 90DCE ∴= ∠ 222DC EC DE ∴+= 8分222DC BC AC ∴+=，即四边形ABCD 是勾股四边形9分(2007091118415645386)第56题. （2007宁夏课改，8分）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =． （2）AE BD ∥．答案：解：（1）能正确说明ADB EBD ∠=∠（或ABF EDF △≌△） 3分BF DF =∴4分 （其它方法参考以上标准给分）．（2）能得出AEB DBE ∠=∠（或EAD BDA ∠=∠） 7分AE BD ∴∥8分 （其它方法参考以上标准给分）．(20070911184157421952)第57题. （2007山东德州课改，3分）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8答案：AAB C D EF ＢＦＣＥＤ Ａ(20070911184158671190)第58题. （2007山东德州课改，3分）如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=，点E F ，分别从点B D ，出发以同样的速度沿边B CD C ，向点C 运动．给出以下四个结论：①AE AF =②CEF CFE ∠=∠③当点E F ，分别为边BC DC ，的中点时，AEF △是等边三角形④当点E F ，分别为边BC DC ，的中点时，AEF △的面积最大．上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）答案：①②③(20070911184200203397)第59题. （2007山东德州课改，9分）已知：如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC △外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． （1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当ABC △满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．答案：（1）证明：在ABC △中，AB AC AD BC =，⊥． BAD DAC ∴∠=∠．2分AN 是ABC △外角CAM ∠的平分线， MAE CAE ∴∠=∠．1180902DAE DAC CAE ∴∠=∠+∠=⨯= ．4分又AD BC CE AN ⊥，⊥，90ADC CEA ∴∠=∠= ，∴四边形ADCE 为矩形．5分（2）说明：①给出正确条件得1分，证明正确得3分． ②答案只要正确均应给分．例如，当90BAC ∠=时，四边形ADCE 是正方形． 6分证明：90BAC AB AC AD BC ∠== ，，⊥于D ．45ACD DAC ∴∠=∠= 7分 DC AD ∴=．8分由（1）四边形ADCE 为矩形， ∴矩形ADCE 是正方形． 9分(20070911184201171814)第60题. （2007山东东营课改，9分）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥ＦＤ ＡＢBC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．答案：（1）证明：在△A BC 中， AB ＝AC ，AD ⊥BC ．∴ ∠BAD ＝∠DAC ．2分∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴ MAE CAE ∠=∠．∴ ∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝⨯21180°＝90°．4分又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴ ADC CEA ∠=∠＝90°， ∴ 四边形ADCE 为矩形．5分（2）说明：①给出正确条件得1分，证明正确得3分． ②答案只要正确均应给分．例如，当AD ＝12BC 时，四边形ADCE 是正方形．6分证明：∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ．∴ DC ＝12BC ．7分又 AD ＝12BC ， ∴ DC ＝AD ． 8分 由（1）四边形ADCE 为矩形，∴ 矩形ADCE 是正方形． 9分(20070911184201875200)第61题. （2007山东济南课改，4分）下列说法不正确的是（ ） A ．有一个角是直角的菱形是正方形 B ．两条对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．四条边都相等的四边形是正方形答案：D(20070911184202796787)第62题. （2007山东济南课改，3分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AF BE =．求NB证：DE CF =；答案：证明：AF BE = ，EF EF =，AE BF ∴= 1分四边形ABCD 是矩形，90A B ∴== ∠∠，AD BC =， DAE CBF ∴△≌△ 2分DE CF ∴= 3分(20070911184203546698)第63题. （2007山东聊城课改，4分）如果菱形的周长是8cm ，高是1cm ，那么这个菱形两邻角的度数比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:5 D ．1:6答案：C(20070911184205750549)第64题. (2007山东青岛课改,8分)将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ． （1）求证：ABE AD F '△≌△；（2）连结CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．答案：证明：（1）由折叠可知：D D '∠=∠，CD AD '=，C D AE '∠=∠． ∵四边形ABCD 是平行四边形，B D ∠=∠∴，AB CD =，C BAD ∠=∠．2分∴B D '∠=∠，AB AD '=，D AE BAD '∠=∠， 即1223∠+∠=∠+∠． 13∠=∠∴．ABE AD F '∴△≌△． 4分（2）四边形AECF 是菱形．由折叠可知：AE EC =，45∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥． 56∠=∠∴．46∠=∠∴．AF AE =∴． AE EC =∵，AF EC =∴．又AF EC ∵∥，∴四边形AECF 是平行四边形．A F D C EB D 'A F DC E BD ' 12 34 5 6AF AE ∵，∴四边形AECF 是菱形． 8分(20070911184206437361)第65题. （2007山东日照课改，3分）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） A ．4cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm 答案：D(20070911184207140152)第66题. （2007山东日照课改，3分）如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB →BC →CD →DA →AB 连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）答案：B(20070911184207875550)第67题. （2007山东日照课改，3分）如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30o 到正方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于 ． 答案：33(20070911184208937711)第68题.（2007山东潍坊课改，3分）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 答案：D(20070911184212500731)第69题. 当出现此信息时，说明word 文档内容过多过大，请尝试重新导出试题或减少试题数量。
菱形、矩形、正方形的性质与判定
A．24
B.18
C．12
D.9
9．如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD 边的中点 C′处，点 B 落在点 B′处，其中 AB＝9，BC ＝6，则 FC′的长为( D )
A.130
B.4
C．4.5
D.5
10．如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E， 连接 CE.若 BC＝7，AE＝4，则 CE＝ 5 .
(2)解：如图，设 AD⊥BF 于 H，作 DG⊥BC 于 G， 则四边形 BGDH 是矩形，∴DG＝BH＝12BF. ∵BF＝BC，BC＝CD，∴DG＝12CD. 在 Rt△CDG 中，∠CGD＝90°，DG＝12CD， ∴∠C＝30°， ∵BC∥AD，∴∠ADC＝180°－∠C＝150°.
菱形、矩形、正方典形范的例性质与判定
1【. 例 1】如图，在菱形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， 作 DF⊥BC 于点 F，连接 EF.求证： (1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C， ∵DE⊥BA，DF⊥CB， ∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∠A＝∠C 在△ADE 和△CDF 中，∠AED＝∠CFD＝90° ，
AD＝CD ∴△ADE≌△CDF.
(2)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝CB， ∵△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF，∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE.
4.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据 题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已
在△AOD 和△COE 中， OA＝OC，
∠AOD＝∠COE，
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。
四种特殊四边形的性质
四种特殊四边形常用的判定方法：
一组邻
一组邻
边相等对角线相
对角线
垂直
对角线
相等
对角线垂
直。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(3)
菱形的性质定理证明与应用。
教学难点
菱形的性质和直角三角形的知识综合应用。
预习内容
预习活动
课堂补充
一、创设情境
市场里有一种衣帽架，它是用四长四短的木条构成几个菱形，顶点处上下两排挂钩可以根据需要将它伸缩，不仅美观，而且实用。我们学校的伸缩大门也是这样的。通过你们的观察，什么样的图形是菱形？它具有哪些特殊的性质？
例2、如图，在菱形ABCD中，∠DAB=3题型展示：
你能再补充一个跟本节内容相关的中考题目吗？
请把题目整理出来并给出答案！
题目：
预习总结
1、通过本节课的学习，你认为你的学习重点是：
2、通过本节课的学习，你认为你的学习难点是：
3、通过本节课的学习，你认为你还有哪些东西没有掌握：
二、合作交流
1、你能证明菱形的这些性质吗？
2、你认为菱形的两条对角线将一个菱形分成的图形有什么特殊的地方？如果要计算一个菱形的面积，你有几种方法？
三、典例分析：
例1、如图，三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，定点A、E、F、C、G、H处是上下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩间的距离（例如AC）。若菱形的边长为13cm，要使两排挂钩之间的距离为24cm，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
课时编号
006
课题
1、3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（3）
教学目标
知识与技能
1、能证明矩形菱形的性质定理。
2、运用菱形的性质定理解决具体问题，提高分析能力和观察能力。
过程与方法
探索并证明菱形的性质，利用性质解决与菱形有关的实际问题。
情感、态度与价值观
通过菱形性质的学习，体会菱形的图形美与实用性。
课后随笔
矩形、菱形、正方形---菱形的判定
§20.3.矩形、菱形、正方形----菱形的判定复习巩固1、矩形的判定定理： 从角考虑：___________________________的平行四边形是矩形。
从对角线考虑：____________________________的平行四边形是矩形。
从角考虑：____________________________的四边形是矩形。
2.矩形的性质：3.菱形的性质：4、菱形的判定方法1: 定义：有一组邻边__________的平行四边形是菱形. 几何表示：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=CD∴四边形ABCD 是菱形。
5、菱形的判定方法2: ________________平行四边形是菱形． 应用判定方法2时，要注意其性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．已知：平行四边形ABCD ，对角线AC⊥BD ，求证：四边形ABCD 是菱形证明：在ABCD 中，OB=OD∵AC ⊥BD∴∠AOB____∠AOD在△AOB 与△AOD 中,∴四边形ABCD 是菱形思考：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？____________________________________ 画一个菱形，使它的边长为6cm 。
（草稿）通过菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：6.菱形的判定方法3：___________的四边形是菱形．已知:四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD 是菱形。
证明：已知：如图ABCD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交12（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？13.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ． （1）求证：四边形ABED 是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE ，试判断△CDE 的形状，并说明理由．15.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC =CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形．16. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ． (1)求证：△ADE ≌△CBF ．(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．17.（2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG ∥BD ，交CB 的延长线于点G ．（1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．18.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．求证：MN 与PQ 互相垂直平分。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分
平行四边形判定：1、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形定义：有一个角是90°的平行四边形叫做矩形
矩形性质:1、四个角都是90°2、对角线相等
矩形判定：1、有一个角是90°的平行四边形是矩形
2、三个角都是90°的角是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形性质：1、四边相等2、对角线互相垂直
菱形判定:1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四条边都相等的四边形是菱形
3、对脚线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形性质：具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质
正方形判定：1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、有一组邻边相等的矩形是正方形
3、有一个角是直角的菱形是正方形。
平行四边形、矩形、菱形的性质和判定比较
一、填表：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质比较
二、平行四边形、矩形、菱形、正方形的周长和面积公式
三、判定
平行四边形的五种判定法：
判定（1）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
判定（2）：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定（3）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
判定（4）：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
判定（5）：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
矩形的三种判定法：
判定（1）一个角是直角的平行四边形是矩形
判定（2）三个角是直角的四边形是矩形
判定（3）对角线相等的平行四边形是矩形
菱形的三种判定法：
判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形
判定（2）四条边相等的四边形是菱形
判定（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
正方形的三种判定法：
判定（1）对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；
判定（2）的矩形是正方形；
判定（3）的菱形是正方形。
四、三个定理
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
初三总复习 矩形、菱形、正方形的性质与判定
矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。
这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。
二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定。
2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。
（）分析：不正确。
反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。
2、对角线相等的四边形是矩形。
分析：不正确。
因为对角线不平分，未必是平行四边形。
反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。
3、四个角都相等的四边形是矩形。
分析：正确。
因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。
4、对角线互相垂直的四边形是菱形。
几何公式定理：矩形,菱形、正方形
几何公式定理：矩形，菱形、正方形
几何公式定理：矩形
1、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
2、矩形性质定理2矩形的对角线相等
3、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
4、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
几何公式定理：菱形
5、菱形性质定理1菱形的四条边都相等
6、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
7、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(ab)2
8、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
9、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何公式定理：正方形
1、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
2、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
3、定理1关于中心对称的两个图形是全等的
4、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
5、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(1)
对于命题条件的特殊情况，知道相应的命题判定也会有特殊的判定方法。
让学生自己写出证明。让先写完的学生到黑板上板演。
板书设计
情境创设
1、
2、
定理……
……
……
例1：……
……
……
例2：……
……
……
作业布置
课后随笔
综合法：由问题入手，要证明这样的问题我得有什么样的条件那这样的条件又如何从已知条件中得到？如果条件中很“难”直接得到我是不是要“创造”出这样的条件。这种思维在表达书写时，大家不太习惯。所以我们要注意自己的表达书写格式。
比如证明平行四边形对角相等，就要创造出连接一组对角线从而以全等三角形来完成。
教师提出问题，让学生思考
当初我们是如何得到这样性质的？请复习教材回忆。
出示例题，让学生思考
证明：在□ABCD中
AB∥CD，AD∥BC
∵∠BAC＝∠ACD，
∠BCA＝∠CAD
又∵AC＝AC
∴△ABC≌△CDA
AB＝CD
显然△AOB≌△COD
∴AO＝CO，BO＝DO
根据条件写出己知、求证并进行证明的能力得到提高
讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达
课时编号
备课时间
课题
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（1）
教学目标
1、能证明平行四边形的三个性质①对边相等②对角相等③对角线互相平分
2、进一步培养学生的分析、综合的思考方法，及表达书写能力。发展学生演绎推理能力。
教学重点
平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性
教学难点
分析综合思考的方法
所以有
定理：平行四边形对角相等
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1、矩形的性质定理定理1：矩形的四个角都是直角．说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质．(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直．定理2：矩形的对角线相等．说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等．推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．说明：与中位线定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系．2、矩形的判定定理定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．3、菱形的性质定理定理：菱形的四条边都相等．说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．(2)利用该特性可以证明线段相等．定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理．4、菱形的判定定理定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理2：四条边都相等的四边形是菱形．说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等．5、正方形的性质普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角．说明：正方形这些性质根据定义可直接得出．特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．6、正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序；①先证明是平行四边形；②再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；③最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)．说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．二、重难点知识归纳1、特殊的平行四边形知识结构三、典型例题讲解例1、如图所示，M，N分别是平行四边形AB CD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，求证四边形P MQN 为矩形．错解：连接MN．∵四边形ABC D是平行四边形，∴AD BC．又∵M，N分别为AD，BC的中点，∴AM BN．∴四边形AMN B是平行四边形．又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB是菱形．∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．同理∠MQN=90°，∴四边形PMQ N为矩形．分析：错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边形PMQN是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形PM QN是平行四边形，证四边形PM QN是平行四边形这种方法比较好．正解：连接MN，∵四边形ABC D是平行四边形，∴AD BC．又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定义)，∴四边形BND M为平行四边形．∴BM DN，同理ANM C．∴四边形PMQ N是平行四边形．∵AM BN，∴四边形ABN M是平行四边形．又∵AD=2AB，AD=2AM，∴AB=AM，∴四边形ABN M是菱形．∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PMQ N是矩形．例2、如图所示，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．(1)试判断四边形PQEF的形状，并证明；(2)PE是否总过某一定点?并说明理由；(3)四边形PQE F的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?分析：(1)猜想四边形P QEF为正方形，先证它为菱形，再证有一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即APCE ，四边形APC E为平行四边形，易知PE与A C平分于点O；(3)此问中显然当点P，Q，E，F分别运动至与正方形A BCD各顶点重合时面积最大，分析最小值时的情形可根据S正=PE2，而PE最小时是PE⊥AB，此时PE=BC．解：(1)四边形PQE F为正方形，证明如下：在正方形AB CD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．∴四边形PQE F为正方形．(2)连接AC交P E于点O．∵AP EC，∴四边形APC E为平行四边形．又∵O为对角线A C的中点，∴对角线PE总过AC的中点．(3)当P运动至与B重合时，四边形PQE F面积最大，等于原正方形面积，当PE⊥AB时，四边形PQE F的面积最小，等于原正方形面积的一半．小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题．例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB，交直线DE于F，设CD=x．(1)当x取何值时，四边形EAC F是菱形?请说明理由；(2)当x取何值时，四边形EAC D的面积等于2？分析：本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用，有一定的探究性．解：(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF//AC．∵AE//CF，∴四边形EAC F是平行四边形．当CF=AC时，四边形ACF E是菱形．此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，∴ED=BD·tan B=(3－x)．∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，∴x2＋(x)2=22，∴(负值不合题意，舍去)．即当时，四边形ACF E是菱形．(2)由已知条件可知四边形E ACD是直角梯形，例4、如图所示，在等腰梯形A BCD中，AD//BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．(1)求证四边形M ENF是菱形；(2)若四边形ME NF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．分析：由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形MENF的四边相等．当四边形ME NF是正方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接M N(梯形的高)进行探究．证明：(1)∵四边形ABC D是等腰梯形，∴AB=CD，∠A=∠D．∵M为AD中点，∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E，F，N分别为MB，MC，BC的中点，∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，∴EN=FN=MF=ME，∴四边形ENF M是菱形．解：(2)结论：等腰梯形AB CD的高等于底边BC的一半．理由如下：连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯形ABCD的高，又∵四边形MEN F是正方形，∴△BMC为等腰直角三角形，∵N为BC中点，∴MN=BC．小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段．例5、如图所示，在梯形ABC D中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上的一个动点．若AD=3，则PD＋PC的最小值为_________．分析：本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识．由M，N为AD，BC中点可知，直线MN为等腰梯形的对称轴，故点A与点D，点B与点C关于直线MN对称．所以连接BD，交MN 于点P′，则PC＋PD的最小值为线段BD的长(由三角形三边的关系说明)．因为AC平分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．答案：例6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角．分析：要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论．从而否定原来的假设．如图所示，已知梯形AB CD，AD//BC．求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有三个角是钝角．证明：假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．∴梯形中不能有三个角是钝角．。
矩形菱形正方形性质与判断
第7题O DBC A 第9题 NM B DAC一、矩形的定义与性质1. 矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2。
2. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等 3. 如图，四边形ABCD 为矩形，∠ABD ＝60°，BD ＝10。
求AB 、AD 和面积。
4. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别为AC 、BD 中点。
求证：（1）MB ＝MD ；（2）MN ⊥BD 。
5. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8㎝，AD ＝10㎝。
折叠AD 边，使D 点落在BC 边上的F 点处，AE 为折痕。
求CE 的长。
6．矩形的两条对角线的夹角为60°，•一条对角线与短边的和为15，•对角线长是________，两边长分别等于________．7．已知矩形ABCD 中，O 是AC 、BD 的交点，OC=BC ，则∠CAB=_______． 8．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．9．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．10．如果E是矩形ABCD中AB的中点，那么△AED的面积：矩形ABCD的面积值为（）．A．12B．13C．14D．1511．已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．12．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20°B．40°C．80°D．100°13．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）A．26 B．13 C．30 D．6．514．如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．24（1）（2）（3）15．把一张长方形的纸片按如图2所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的读度为（）A．85°B．90°C．95°D．100°16．如图3，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对17．矩形ABCD 中，对角线AC=10cm ，AB ：BC=3：4，则它的周长是_______．18．矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，如果矩形的周长是34cm ，又△AOB•的周长比△ABC 的周长少7cm ，则AB=________cm ，BC=________cm ．19．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠AOB=110°，则∠OAB=______． 20．已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，对角线AC 、BD 相交于点O ，•且BE ：ED=1：3，AB=6cm ，求AC 的长．21. 已知在四边形ABCD 中，AB C D ，请添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形，加上的条件是.22. 如图19－2－3所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于点F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF. 求AE 的长.23. 如图19－2－4所示，在矩形ABCD 中，F 为BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG 于点E ，且DE ＝DC. 根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.24．如图所示，矩形ABCD的两条对角线的交点为O，若△ABO与△BCO的周长的差为2，而矩形ABCD的周长为20，则它的两边的长是________．25．(创新题)如图所示，矩形ABCD中，AB=6 cm，AD=8 cm，AB、CD分别被分成三等份，AD、BC被分成四等份，则图中四边形MNPQ的面积是多少?26．矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）．A．57.5°B．32.5°C．57.5°、33.5°D．57.5°、32.5°二、菱形的定义与性质1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．5．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分6．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm7．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF．（1）求证：△ABE≌△ADF．（2）过点C作CG∥EA，交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC•的度数．8. 如图，在菱形ABCD中，（1）如果OA=3，OD=4，那么AC=_________，BD=_________，菱形周长=_________。
矩形、菱形、正方形的性质与判定(7)
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（7）教学过程：一、引入新课矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？二、讲解新课 1、正方形的定义有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（正方形是在什么前提下定义的？包括哪两层意思？） 2、正方形的性质正方形是平行四边形、矩形、菱形这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质 正方形性质定理1：正方形的对边平行，四条边相等，四个角都是直角。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
三、例题教学例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
例2 已知：如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ；正方形A ’B ’C ’D ’的顶点A ’与点O 重合，A ’B ’交BC 于点E ， A ’D ’交CD 于点F ，E 是BC 的中点。
（1）求证：F 是CD 的中点（2）若正方形A ’B ’C ’D ’绕点O 旋转某个角度后，OE=OF 吗？ 分析：（1）方法一∵OB=OC,E 是BC 的中点∴OE ⊥BC,∠OEC=90° ∵∠EA ’F=∠ECF=90° ∴∠OFC=90° ∵OC=OD ∴F 是CD 的中点方法二 ∵∠EA ’F=90°,AC ⊥BD ∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°∴∠EOC=∠DOF 又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45° ∴△OCE ≌△ODF(ASA)∴DF=CE=21BC=21CD,即F 是CD 的中点。
（2）证明方法同前方法二。
由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形A ’B ’C ’D ’绕点O 旋转并与正方形ABCD 分FEO (A')ABCDB'D'C'F EO (A')ABCDB'D'C'别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）四、练习P19 练习五、小结本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。
矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理-知识梳理总结
模块一矩形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．90ABCD ABCDB ⎫⇒⎬∠=︒⎭平行四边形矩形性质示例剖析矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等；④是中心对称图形、轴对称图形．除平行四边形性质外：①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=90°；②AC=BD ．重要结论示例剖析①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．②在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半．①O 是AC 的中点，则12BO AC =．②在直角三角形中，30B ∠=︒，则12AC AB =．判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．模块二菱形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．ABCD ABCDAB BC ⎫⇒⎬=⎭平行四边形菱形性质示例剖析菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等；③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；④是中心对称图形、轴对称图形．除拥有平行四边形性质外：①AB=BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．①菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）①12ABCD S AC BD =⋅菱形②12ABCD S AC BD =⋅四边形判定1一组邻边相等的平行四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．③四边相等的四边形是菱形．模块三正方形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．90ABCD AB BC ABCDB ⎫⎪=⇒⎬⎪∠=︒⎭平行四边形正方形性质示例剖析正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且四边都相等；②四个角都是直角；③两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；④是中心对称图形、轴对称图形．除平行四边形性质外：①AB=BC=CD =AD ；②ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=90°；③AC=BD ，AC ⊥BD ，AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．正方形轴对称性质（用时需证明）．正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上任一点．结论：①AP =CP②△ADP ≌△CDP ③△ABP ≌△CBP判定①有一组邻边相等的矩形是正方形．②有一个角是直角的菱形是正方形．。
初中平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定及性质
一、平行四边形的判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;6.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。
二、平行四边形的性质:1. 平行四边形对边平行且相等;2. 平行四边形两条对角线互相平分;3. 平行四边形的对角相等,邻角互补;4. 平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点;5. 过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形;6. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四个全等三角形;7. 平行四边形的面积等于底乘高或对角线积的一半。
三、菱形的判定:1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形;2. 四条边都相等的四边形是菱形;3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四、菱形的性质:1. 菱形具备平行四边形的一切性质;2. 对角线互相垂直且平分;3. 四条边都相等;4. 每条对角线平分一组对角;5. 菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线。
五、矩形的判定:1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形;2. 有三个角是直角的四边形是矩形;3. 四个角相等的四边形是矩形4. 对角线相等的平行四边形是矩形;5. 一组对角互补的平行四边形是矩形;6. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。
六、矩形的性质:1. 矩形具备平行四边形的一切性质;2. 矩形对角线相等;3. 矩形的四个内角都是90°;4. 矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。
七、正方形的判定:1. 有一个角是直角的菱形是正方形;2. 对角线相等的菱形是正方形;3. 有一组邻边相等的矩形是正方形;4. 对角线互相垂直的矩形是正方形;5. 四边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形;6. 一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形。
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矩形、菱形、正方形及其性质、判定第1题. （贵州省贵阳市，10分）如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．（5分）（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）答案：（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CBA C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AED CFB ∴△≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形．证明：AD BD ⊥ ，ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边（或90ADB ∠= ）E 是AB 的中点， 12D E A B B E ∴==． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =， ∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴四边形BFDE 是菱形．第2题. (湖北省黄冈市,7分)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =． 答案：证明：四边形ABCD 是正方形，AD CD = ，A DCF ∠=∠=90ADC ∠= ， DF DE ⊥ ，90EDF ∴∠= ．ADC EDF ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠．12∴∠=∠．在ADE △与CDF △中12AD CD A DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， A D E C D F ∴△≌△．DE DF ∴=．AB CDEF AEBCFD 1 23第3题. （湖北省咸宁市，8分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．答案：解（1）证明： ∵CE 平分BAC ∠， ∴12∠=∠，又∵MN ∥BC ， ∴13∠=∠， ∴32∠=∠，∴EO CO =．同理，FO CO =． ∴ EO FO =． （2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵EO FO =，点O 是AC 的中点． ∴四边形AECF 是平行四边形．又∵12∠=∠，45∠=∠． ∴124180902∠+∠=⨯︒=︒，即90ECF ∠=︒．∴四边形AECF 是矩形．第4题. （江苏省南京市，6分）如图，在ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ； （2）四边形ABCD 是矩形． 答案：证明：（1）∵BE ＝CF ， BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ， ∴ BF ＝CE ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ．在△ABF 和△DCE 中， ∵AB ＝DC ， BF ＝CE ，AF ＝DE ， ∴△ABF ≌△DCE ．（2）证明：∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠B ＝∠C ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ． ∴∠B ＋∠C ＝180°． ∴∠B ＝∠C ＝90°． ∴四边形ABCD 是矩形．第5题. （湖南省湘潭市，6分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F .（1）猜想：AD 与CF 的大小关系； （2）请证明上面的结论.A BC E F M N O (第19题图）ABCEF M N O (第19题图）12345AB DCE F BACDEF答案：解：（1）AD CF =.（2） 四边形ABCD 是矩形，,AED FDC DE AB CD ∴∠=∠∴==又,90,CF DE CFD A ⊥∴∠=∠=︒ADE FCD ∴≅∆ AD CF ∴=第6题. （江西省南昌市，4分）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD上的点B '处，点A 落在点A '处； （1）求证：B E BF '=；（2）设AE a AB b BF c ===，，，试猜想a b c ，，之间的一种关系，并给予证明． 答案：（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠， 在矩形ABCD 中，AD BC ∥， B EF BFE '∴∠=∠， B FE B EF ''∴∠=∠． B F B E ''∴=． B E BF '∴=．（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=．AE a = ，AB b =，222a b c ∴+=．（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>． 证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=． 在ABE △中，AE AB BE +>， a b c ∴+>．第7题. （内蒙古自治区赤峰市，10分）如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．答案：答：四边形ABCD 是菱形．证明：由AD BC ∥，AB CD ∥得四边形ABCD 是平行四边形过A C ，两点分别作AE BC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ．ABCD FA 'B 'EA B C D90CFB AEB ∴∠=∠= ．AE CF = （纸带的宽度相等）ABE CBF ∠=∠， Rt Rt ABE CBF ∴△≌△ AB BC ∴=∴四边形ABCD 是菱形第8题. （青海省，8分）如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =，连接CF ． （1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论． 答案：（1）证明：AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠．E 是AD 的中点， AE DE ∴=．又AEF DEB ∠=∠ ， AEF DEB ∴△≌△． AF DB ∴=． AF DC = ，DB DC ∴=．即D 是BC 的中点． （2）解：四边形ADCF 是矩形，证明：AF DC ∥，AF DC =， ∴四边形ADCF 是平行四边形．AB AC = ，D 是BC 的中点， AD BC ∴⊥． 即90ADC ∠= ．∴四边形ADCF 是矩形．第9题. （山东省聊城市，8分）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，． （1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．答案：（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，OB OD ∴= A E C F ∥E F ∴∠=∠，OBE ODF ∠=∠． BOE DOF ∴△≌△（2）当EF AC ⊥时，四边形AECF 是菱形．证明： 四边形ABCD 是矩形， OA OC ∴=又由（1）BOE DOF △≌△得， OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形又EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形BA DCF EαBA FCEDF DOC B E AF DOCB EA第10题. （山东省青岛市，8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′ ，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由． 答案：证明：（1） ∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠BCD=90°．∵∠BCD +∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°． 又∵CG=CE ，∴△BCG ≌△DCE ． （2）∵△DCE 绕D 顺时针旋转90︒得到△DAE ′，∴CE=AE ′．∵CE=CG ， ∴CG=AE ′．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BE ′∥DG ，AB=CD ． ∴AB －AE ′ =CD －CG ，即BE ′ =DG ．∴四边形DE ′ BG 是平行四边形． 第11题. （四川省宜宾市，8分）已知：如图，菱形ABCD 中，E F ，分别是CB CD，上的点，且BE DF =．（1）求证：AE AF =．（2）若60B ∠=，点E F ，分别为BC 和CD 的中点．求证：AEF △为等边三角形．答案：证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =AD ，B D ∠=∠，又∵BE =D F ∴ABE △≌ADF △ ∴AE =AF (2)连接AC∵AB =BC ，60B ∠=︒ ∴ABC ∆是等边三角形， E 是BC 的中点∴AE ⊥BC ， ∴906030BAE ︒∠=︒-=︒，同理 30DAF ∠=︒∵120BAD ∠=︒ ∴60EAF BAD BAE DAF ∠=∠-∠-∠=︒ 又∵AE =AF∴AEF △是等边三角形．ADBEFCGE ′EF ABDC第12题. （新疆乌鲁木齐市，12分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点． （1）证明四边形EGFH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且12EF BC =，证明平行四边形EGFH 是正方形． 答案：证明：（1）在BEC △中， G F ，分别是BE BC ，的中点GF EC ∴∥且12GF EC =又H 是EC 的中点，12EH EC =， GF EH ∴∥且GF EH = ∴四边形EGFH 是平行四边形（2）证明：G H ，分别是BE EC ，的中点GH BC ∴∥且12GH BC =又EF BC ⊥ ，且12EF BC =，EF GH ∴⊥，且EF GH =∴平行四边形EGFH 是正方形．BGA EFH DC。