理论力学 第2章 虚功原理
分析力学第二章虚功原理及应用
取 s=3N-k 个独立的广义坐标
来表示出任意质点位矢，即
r ri
r ri
(q1
,
q2
,L
, qs )
(i 1, 2, L , N)
变分得：
rri
s 1
rri q
q
W
N i 1
r Fi
rri
N i 1
r Fi
s
1
rri q
q
s
= =1
N i 1
r Fi
r ri
yC =-|OC|sin=-
R2
-
a2 4
sin
δyC
=-
R2- a2 cosδ=0
4
Q δ 0, cos 0 , 3 .
22
例4. 均匀杆OA，重P1 ，长为l1，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O转动，此 杆的A端用光滑铰链连接另一重为P2 ，长为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一
水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度及。
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
(1). 矢量形式
N
r Fi
r ri
0
i 1
(2). 广义坐标形式
假设N个质点组成的质点系，受到k个不可解、理想、稳定的约束，则可
x B
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
理论力学 第2章 虚功原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
讨论：虚位移与真正运动时发生的实位移不同：
实位移：一定的力作用下和给定的初条件下运动实际发生的 虚位移：在约束容许的条件下可能发生的
实位移：具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值虚 位移：微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向 实位移：在一定的时间内发生的
广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y,
z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。
在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
2.2 自由度和广义坐标
问题: 确定系统的自由度和广义坐标
例1：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
xA r cos , yA r sin xB r cos l 2 r 2 sin2 , yB 0
• 什么是虚位移 • 什么是虚功 • 什么是虚功原理的适用条件
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
一、实位移和虚位移
（ real displacement ）
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
（ virtual displacement ）
（ 补充）
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2、光滑铰链
WN N r 0
W N N r N 'r 0
FA'
Foy O
ArA FA
B rB
Fox
FN
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
理想约束的典型例子： 3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动
WN (N F )rC 0
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
虚功原理的内容及应用条件
虚功原理的内容及应用条件1. 虚功原理的概念虚功原理是力学中的基本原理之一，它根据体系处于平衡状态时的平衡条件，从而推导出力学中的一些重要定理。
根据虚功原理，一个约束系统在平衡位置上的任意虚位移所做的虚功等于零。
虚功原理是可以应用在各个领域的一个重要原理，包括物理学、工程学等。
2. 虚功原理的条件虚功原理适用于满足以下条件的体系： - 约束体系：虚功原理主要应用于约束体系，即约束在某些条件下运动的物体体系。
- 平衡位置：虚功原理适用于约束体系处于某个平衡位置的情况。
- 虚位移：虚功原理建立在虚位移的基础上，即物体在平衡位置上的任意虚位移。
3. 虚功原理的应用虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：3.1 静力学应用在静力学中，虚功原理可以应用于分析力的平衡和支持结构的设计等问题。
通过建立平衡方程和应用虚功原理，可以推导出约束体系的平衡条件和约束反力等。
3.2 动力学应用在动力学中，虚功原理可以用于分析非平衡状态下的物体运动。
通过应用虚功原理，可以推导出物体受力和加速度之间的关系，并得到物体的运动方程。
3.3 物体变形分析虚功原理还可以应用于物体的变形分析。
通过对物体进行虚位移，利用虚功原理和弹性力学理论，可以计算物体在受力作用下的变形情况。
3.4 热力学应用在热力学中，虚功原理可以应用于分析热力学平衡和传热等问题。
通过应用虚功原理，可以推导出热平衡条件和传热方程等。
3.5 其他应用领域除了上述应用领域外，虚功原理还可以应用于弹性体的弹性力学分析、流体力学中的动量守恒和能量守恒等问题。
4. 总结虚功原理是力学中的一个重要原理，它可以应用于各个领域的问题。
虚功原理适用于约束体系处于平衡位置的情况，并建立在虚位移的基础上。
通过应用虚功原理，可以推导出约束体系的平衡条件、力学关系和变形情况等。
虚功原理的应用广泛，包括静力学、动力学、热力学等领域。
了解虚功原理的内容及应用条件，对于深入理解力学和应用力学原理具有重要意义。
虚功原理
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
虚功原理
√
2. 虚功原理(10/13)
2.4 虚功原理的不定乘子法
广义坐标法的缺陷：不能求解约束力不定乘子法的目的
是第 b 个约束对第 a 个质点的约束力，fb(x,y,z)=0 是 曲面方程， 表示约束力沿曲面法线方向 线性组合约束方程和虚功原理
√
2. 虚功原理(11/13)
例：长分别为 l1 和 l2 轻绳(AC 和 BC， ACB=90)，悬挂重量为 W 的重物， 求张力 T1 和 T2 的大小 虚功原理 ，未知坐标和不定乘子
不稳定约束情况：摆长随时间变化的单摆 实位移 虚位移
实位移不是虚位移中的一种 虚位移通过约束曲面的切面上
√
2. 虚功原理(3/13)
例：非自由质点组的虚位移
求点 A,B,C 的虚位移
推广：n 个质点组，有 k 个约束 自由度：s = 3n - k 个参量 广义坐标：q1, q2, …, qs 独立变分：dq1, dq2, …, dqs
例：非自由质点的虚位移
稳定约束情况：质点 M 受到固定曲面的约束 实位移：在某时刻 t，约束许可下，经 过无限小时间 ，质点真实的无限 小位移 虚位移：在某时刻 t，约束许可下， 无须经历时间，质点的设想位移
√
2. 虚功原理(2/13)
d 是变分符号，变分运算与微分一致 实位移是虚位移中的一种 虚位移通过约束曲面的切面上
虚位移：在某时刻 t，约束许可下，无须经历时间，质 点组的任意一组设想位移 广义虚位移：广义坐标的独立变分dq1, dq2, …, dqs 虚位移是广义虚位移的线性组合
√
虚功原理资料
虚功原理
在物理学中，虚功原理是一个重要的概念，它在力学、电磁学等领域有着广泛的应用。
虚功原理是基于能量守恒和力学平衡的原理，通过考虑系统内部各部分之间的相互作用，从而得出系统达到平衡的条件。
1. 虚功原理的基本概念
在力学中，虚功原理可以简单地表述为：在一个平衡的力学系统中，作用在系统内所有部分的外力所作的虚功之和为零。
这意味着系统内各个部分之间的相互作用满足一个使得整个系统保持平衡的条件。
2. 虚功原理在力学中的应用
在力学中，虚功原理可以应用于弹簧系统、摩擦力系统等各种力学问题的分析中。
通过将系统分解为各个部分，并考虑各部分之间的相互作用，可以利用虚功原理来求解系统的平衡条件和运动规律。
3. 虚功原理在电磁学中的应用
在电磁学中，虚功原理同样具有重要的作用。
在电磁场中，电荷之间的相互作用可以通过虚功原理来描述，从而推导出麦克斯韦方程组等电磁学的基本规律。
4. 虚功原理的应用举例
以简单的弹簧振子系统为例，可以通过虚功原理来推导出系统的振动方程，并进一步分析系统的动力学行为。
类似地，可以将虚功原理应用于其他复杂系统的分析中，从而揭示系统的运动规律和平衡条件。
5. 结语
虚功原理作为力学和电磁学中的重要原理之一，对于系统的分析和理解具有重要意义。
通过应用虚功原理，可以更深入地理解自然界中的各种物理现象，为科学研究和工程应用提供有力的理论支持。
在今后的研究和应用中，虚功原理必将继续发挥重要作用，推动科学技术的发展和进步。
力学中的虚功原理
力学中的虚功原理在力学的广袤天地里，虚功原理宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒。
它不仅是解决力学问题的有力工具，更是深入理解物体运动和受力关系的关键钥匙。
要弄清楚虚功原理，首先得明白什么是“功”。
简单来说，功就是力在位移上的积累。
当一个力作用在物体上，并且物体在这个力的方向上发生了位移，我们就说这个力做了功。
比如，你推一个箱子，使它在水平方向移动了一段距离，你施加的推力就做了功。
那么，虚功又是什么呢？这可得好好说道说道。
虚功并不是真正意义上的功，它是在一个假设的、满足约束条件的微小位移下，力所做的功。
这个微小位移是想象出来的，并非实际发生的。
虚功原理的核心思想是：对于一个处于平衡状态的系统，所有主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。
这听起来可能有点抽象，咱们来举个例子。
想象一个简单的杠杆，支点在中间，两端分别挂着不同重量的物体。
当杠杆处于平衡状态时，如果我们给它一个微小的虚拟位移，那么两端重物的重力所做的虚功之和就是零。
为什么虚功原理这么重要呢？这是因为它为我们解决力学问题提供了一种简洁而有效的方法。
在很多实际情况中，直接分析力和位移的关系可能会非常复杂，但通过虚功原理，我们可以巧妙地避开这些困难。
比如说，在求解复杂的静定结构问题时，传统的方法可能需要我们详细分析每一个杆件的受力和变形，但利用虚功原理，我们可以把注意力集中在系统的整体平衡上，通过设定合适的虚位移，快速得出结果。
再比如，在分析机械系统的运动时，虚功原理可以帮助我们确定各个部件之间的力和能量关系，从而优化系统的设计和性能。
虚功原理还与其他力学原理有着密切的联系。
比如，它和达朗贝尔原理就有着深刻的内在一致性。
达朗贝尔原理通过引入惯性力，将动力学问题转化为静力学问题，而虚功原理则在这个转化过程中发挥了重要作用。
在实际应用中，我们需要注意一些问题。
首先，要正确地确定系统的约束条件，只有这样才能合理地设定虚位移。
其次，对于不同类型的力，如保守力和非保守力，在运用虚功原理时也有不同的处理方法。
虚功原理概念
虚功原理概念
虚功原理是力学中的重要概念，主要运用于静力学和弹性力学的问题中。
该原理是通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力之间的差异，来推导出力学问题的解析解。
虚功原理的基本思想是，如果一个力系统处于平衡状态，则在任意虚位移下，系统所受到的合力必然为零。
这意味着在虚位移下，系统没有做任何实际的功。
因此，可以根据虚功原理来解决平衡问题。
虚功原理的应用主要涉及到两个方面：平衡条件和变形计算。
在平衡条件中，通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力，可以得出力的平衡条件。
在变形计算中，可以通过比较系统在实际变形和虚位移情况下的变形能量，来计算系统的位移和应变。
虚功原理的使用需要考虑以下几个要点：
1. 虚位移应满足几何约束条件，即虚位移必须满足系统的边界条件和约束条件。
2. 虚功原理可以应用于单个物体或整个力系统，这取决于具体的力学问题。
3. 虚功原理可以推广到三维空间中的力学问题，并且可以应用于弹性体和非弹性体。
4. 虚功原理还可以推广到动力学问题，即考虑物体的运动和加速度。
总之，虚功原理是力学中非常重要的概念，可以用于平衡条件
和变形计算。
通过应用虚功原理，可以简化力学问题的分析，得到解析解。
力学系统的虚功原理与最小能量原理
力学系统的虚功原理与最小能量原理力学是研究物体运动和力的学科，虚功原理和最小能量原理是力学中的两个重要概念。
虚功原理是指在平衡状态下，外力对于系统所做的虚功为零；最小能量原理则是指在运动过程中，系统的能量达到最小值。
本文将介绍力学系统的虚功原理与最小能量原理，并探讨其在实际问题中的应用。
一、虚功原理虚功原理是力学中的一个重要原理，它描述了力学系统在平衡状态下外力对系统所做的虚功为零。
虚功原理的基本思想是，当系统处于平衡状态时，任何微小的虚位移所做的功都是虚功，而这些虚功的总和为零。
虚功原理的应用十分广泛。
例如，在静力学中，我们可以利用虚功原理来求解物体的平衡条件。
在弹性力学中，虚功原理可以用来推导物体的弹性形变和应力分布。
在动力学中，虚功原理可以用来推导物体的运动方程。
二、最小能量原理最小能量原理是力学中的另一个重要原理，它描述了力学系统在运动过程中系统的能量达到最小值。
最小能量原理的基本思想是，系统在运动过程中，会通过各种力的作用进行能量的转化，而系统的能量会趋向于最小。
最小能量原理的应用也非常广泛。
例如，在弹性力学中，我们可以利用最小能量原理来求解物体的弹性形变和应力分布。
在动力学中，最小能量原理可以用来推导物体的运动方程。
此外，在流体力学中，最小能量原理可以用来推导流体的运动方程和流速分布。
三、虚功原理与最小能量原理的联系虚功原理和最小能量原理在某种程度上是相互关联的。
虚功原理描述了系统在平衡状态下外力对系统所做的虚功为零，而最小能量原理描述了系统在运动过程中系统的能量达到最小值。
虚功原理可以看作是最小能量原理的一种特殊情况，即在平衡状态下系统的能量已经达到最小值。
虚功原理和最小能量原理的联系在实际问题中具有重要意义。
通过应用虚功原理和最小能量原理，我们可以求解物体的平衡条件、弹性形变、应力分布、运动方程等问题。
这些原理为我们研究力学系统提供了重要的理论工具。
总结起来，虚功原理和最小能量原理是力学中的两个重要概念。
虚功原理
1）刚体与弹性体的关系。
刚体是受力后没有变形的物体。
弹性体是指受力与变形成弹性关系的物体。
两者有本质的区别。
刚体没有变形能。
弹性体有弹性变形能。
（2）虚功与实功的关系。
如楼上的兄弟所说，虚功是使处于平衡状态下的物体发生“虚拟的”位移所需要的能量。
这与实功不同。
但是，我认为虚功和实功没有重大的差别。
也就是说，如果我们物体“真的”发生了这个位移，那么就所作的实功与虚功并无区别。
（3）我认为虚功原理最关键的部分并非“力的平衡”，而是能量的守恒。
这点实际上就是虚功原理的来源。
虚功的定义
体系上作用任意的平衡力系，又当体系发生符合约束条件无限小刚体体系的位移，则主动力在刚体上的需工为0，线弹变形体无非是刚体的叠加
而虚功真正的原理是体现在力的平衡上，而虚位移无非是在不违背平衡力下的位移。
而合功无任何关系，仅仅是量纲上一样。
同理可推出非线弹性体的虚功公式，就是根据截面平衡条件推出弹塑下截面的转角，然后代入弹性变形体的虚功公式即可，如矩形截面转角为应力/E*Y0。
虚功原理(虚位移原理)
§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。
Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。
见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。
虚功原理 有限元
虚功原理有限元虚功原理是力学中的一个基本原理，它是运用能量守恒原理和虚位移原理进行问题求解的一种方法。
虚功原理的应用十分广泛，特别是在有限元方法中，它是解答复杂结构力学问题的一种常用手段。
虚功原理的基本原理是：在刚体或弹性体的力学问题中，力系对于结构的作用机理可以使用能量方法来描述，即外力对物体所做的功等于内力弹性势能的变化。
在有限元方法中，虚功原理的应用可以被概括为以下几个步骤：1. 确定系统的弹性势能表达式：根据材料力学性质和结构几何形状，建立并表达出结构的弹性势能。
2. 设定虚位移场：在结构的静力平衡方程中，引入一组满足边界条件的虚位移场，并将结构的位移表示为真实位移与虚位移的叠加。
虚位移场是一个理想化的假设，它用于引导计算的进行。
3. 计算虚功：将虚位移场代入弹性势能表达式中，得到每个单元的虚功。
4. 构造系统的刚度方程：根据虚功原理，对每一个虚位移方向进行变分，得到相应的虚功。
将这些虚功累加起来，并考虑结构边界条件和约束条件，得到整个系统的刚度方程。
5. 解刚度方程：使用适当的数值方法（如矩阵求解方法）求解刚度方程组，得到结构的位移响应。
6. 计算应力和应变分布：利用位移响应，通过一定的插值方法，计算出结构各点的应力和应变分布。
有限元方法利用虚功原理的优点在于，它可以解决复杂结构的力学问题，并且可以处理非线性材料、大变形和大变位等情况。
虚功原理的运用使得有限元方法成为求解工程结构问题的一种强大工具。
需要注意的是，在使用虚功原理时，应注意选择合适的虚位移场，并保证其满足结构的边界条件和约束条件；同时，还需要进行适当的数值技巧处理，如选择合适的数值积分方法和数值求解方法，以提高计算的精确性和效率。
总结来说，虚功原理是有限元方法求解问题的基础，它通过能量守恒原理和虚位移原理，将原问题转化为求解刚度方程的问题，从而得到结构的位移响应和应力应变分布。
虚功原理在结构力学中的应用是十分重要和广泛的，它为工程问题的解答提供了有效的途径。
虚功原理
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m，长度为的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B端上受一水平向左的外力，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B端上的力有多大求=解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个有两个。
一个是水平作用力，还有一个是重力m作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A、B处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵的方向与其作用点的坐标X的正方向相反，∴F取取正，∴此力的虚功为负的，即：……①，由于虚功方程中的两个虚位移负而δXB不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
虚 功 原 理
设质点组在主动力和约束反力的作用下 处于平衡状态，第i个质点在平衡的条件是：
Fi + Ni = 0
(i=1,2,...,n)
Fi · ri + Ni · ri = 0 (i=1,2,...,n) ∑Fi · ri + ∑Ni · ri = 0
m1 Fi mi Ni
m2 ri
Fi —主动力 Ni—约束反力 ri—虚位移
一组，而不能是可能位移之外的其他位移。
（3）虚位移
质点或质点系任意两个可能位移之差定义为虚位移. 它是在给定瞬时，
为约束所允许的无限小位移.记为
ri
(i 1, 2,
n)
虚功原理
虚位移的特征：
y
A
1）虚位移是假定约束
M
不改变而设想的位移；
2）虚位移不是任何随
便的位移，它是约束所允 O
许的位移；
3）虚位移是一个假想
虚功原理
这些主动力 Fi 可以用势能对坐标的偏导数表 示，即
Fi
(V xi
i V yi
j V zi
k)
(i 1, 2,
, n)
（2）用势能表示的虚功原理
将上式代入虚功yi
V zi
zi )
虚功原理
WF
( V xi
xi
V yi
yi
V zi
zi
)
b
FA
B(x2, y2)
F
FB
虚功原理
因为 1 和 2 是线性独立的，所以
解得
虚功原理
解法二：计算广义力
确定系统的自由度：S=2。
选取直角坐标系如右图所示，
选取广义坐标为：1 、 2
力学中的虚功原理
力学中的虚功原理力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
在力学的研究中，虚功原理是一个基本概念，它在解决力学问题时起着重要的作用。
本文将介绍力学中的虚功原理，并探讨其应用。
1. 虚功的概念和定义虚功是力学中的一个重要概念，它用于描述一个力对物体的作用所做的功，但物体实际上并未发生位移。
虚功可以通过以下公式计算：虚功 = 力 ×虚位移其中，力是作用在物体上的力，虚位移是物体在力的作用下所产生的虚拟位移。
虚位移是一个想象出来的位移，用于计算力对物体的作用所做的功。
虚功是一个标量，它的单位是焦耳（J）。
2. 虚功原理的表述虚功原理是力学中的一个基本原理，它描述了一个力对物体的作用所做的虚功等于零。
换句话说，当物体处于平衡状态时，力对物体的作用所做的虚功总和等于零。
虚功原理可以通过以下公式表述：Σ虚功 = 0其中，Σ虚功表示所有力对物体的作用所做的虚功的总和。
根据虚功原理，当物体处于平衡状态时，所有作用在物体上的力对物体所做的虚功总和为零。
3. 虚功原理的应用虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：3.1 弹簧的伸缩虚功原理可以用于分析弹簧的伸缩问题。
当一个物体施加一个力使弹簧伸长或缩短时，虚功原理可以帮助我们计算弹簧对物体所做的虚功。
根据虚功原理，弹簧对物体所做的虚功等于零，即力与虚位移的乘积为零。
通过这个原理，我们可以求解弹簧的伸长或缩短距离。
3.2 斜面上的物体虚功原理还可以应用于斜面上的物体。
当一个物体沿着斜面上升或下降时，虚功原理可以帮助我们计算斜面对物体所做的虚功。
根据虚功原理，斜面对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在斜面上的运动状态。
3.3 摩擦力的分析虚功原理还可以用于分析摩擦力的作用。
当一个物体在受到摩擦力的作用下运动时，虚功原理可以帮助我们计算摩擦力对物体所做的虚功。
根据虚功原理，摩擦力对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在摩擦力作用下的运动状态。
理论力学2虚位移原理ppt课件
xE xD 2bsin (Fl Fsb)2 cos 0
0
2bcos
cos 0; or (Fl Fsb) 0
xC 2l sin xC 2l cos
90
or
Fs
Fl b
xC1 2l
Fs
/
k
Fl bk
i 1
平衡
主动力的虚功之和为 零则系统平衡
假设等式成立但质点系不平衡
运动质点Mi有合力 FRi ( Fi FNi )
dri 也为虚位移 ri
产生同方向的
微小实位移 dri
完整、双面、定常约束
质点开始运动
FRi ri 0
Fi ri FNi ri 0
因
研究 该平衡问题
图示杠杆平衡，求F1与F2关系
平衡条件：
MC(F) 0
F1a F2b 0 （a）
能否研究诸力做功，而得到平衡条件？
动力学分析方法
构造“功”：假定系统运动了微小角度
则： s1 a tan
s2 b tan
1
F1a F2b 0 （a）
s1 a tan s2 b tan
r xi yj zk
理想约束
n
FNi ri 0
i 1
• 理想约束(ideal constraint)： 约束力在任何虚位移上
所作虚功之和为零的约束。
10
二、虚位移原理 (virtual work principle)
问题：具有理想约束的质点系， 在给定位置保持平衡，则所 有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少？
虚功原理概述
A
B
M d (M dM ) d
2
2
dx l
M
FS+dFS M
M+dM
d
d
FS
2
2
dx M+dM
dx
（受拉） 4
FRA
F1 F2 F3 F4 FRB
剪力虚功
A
FS
dλ 2
(FS
dFS
)
dλ 2
M
dx
l
d
FS+dFS 2
FS
d
dx M+dM 2
B
d 2dBiblioteka dx25（1） 该微段的外力虚功
M d (M dM ) d
给梁任一虚位移,荷载作用 A 点沿其作用方向的相应虚位移 （支座处没有虚位移）为
1, 2, 3, 4
F1 F2 F3 F4 FRB
B
1 2
3 4
l
外力虚功为
4
4
We Fiδi RA 0 RB 0 Fiδi
i 1
i 1
3
（2） 梁的内力虚功
FRA
F1 F2 F3 F4 FRB
弯矩虚功
Wi ldWi l(M dθ FS dλ)
梁的虚位移原理为
4
Fiδi
(
l
M
dθ
FS
dλ)
0
i 1
7
若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力FS, 还有轴力FN和扭矩T,则 杆的虚位移原理为
4
Fiδi l(M dθ FS dλ FNdδ Td )
i 1
（a）i 为 Fi 力作用点沿Fi方向的相应虚位移,d,d,d,d
1
什么是理论力学中的虚功原理？
什么是理论力学中的虚功原理？在理论力学的广袤天地中，虚功原理犹如一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒。
它是解决力学问题的重要工具，为我们理解物体的运动和受力情况提供了独特的视角。
那么，究竟什么是理论力学中的虚功原理呢？让我们一同踏上探索之旅。
要理解虚功原理，首先得明白“功”这个概念。
在物理学中，功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积。
当一个力作用在物体上，并且物体在这个力的方向上发生了位移，我们就说这个力做了功。
而虚功原理所涉及的“虚功”，并非我们通常意义上实实在在的功。
它是一种假想的、假设的功。
想象一下，在一个力学系统中，我们假设物体发生了一个微小的、符合约束条件的位移，而在这个假设的位移过程中，所有的力所做的功之和就是虚功。
虚功原理的核心表述是：在一个处于平衡状态的理想完整约束系统中，所有主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。
为了更深入地理解这个原理，我们来举个简单的例子。
假设有一个静止在水平面上的滑块，受到水平方向的力F 和竖直方向的支持力N 。
滑块被限制在水平方向上移动，这就是一种约束条件。
现在假设滑块发生了一个微小的水平位移δx ，在这个虚位移中，支持力 N 因为垂直于位移方向，所以做功为零。
而主动力 F 所做的虚功为F·δx 。
由于滑块处于平衡状态，根据虚功原理，F·δx ＝0 ，这也就意味着力F 为零。
再来看一个稍微复杂点的例子——一个简单的杠杆系统。
杠杆的一端施加一个力F1 ，另一端施加一个力F2 ，杠杆围绕一个固定点转动。
假设杠杆发生了一个微小的转动角度δθ ，在这个虚位移中，力 F1 和F2 所做的虚功分别为F1·r1·δθ 和F2·r2·δθ （其中 r1 和 r2 分别是力 F1和F2 作用点到支点的距离）。
因为杠杆处于平衡状态，根据虚功原理，F1·r1·δθ F2·r2·δθ ＝ 0 ，从而可以得出我们熟悉的杠杆平衡条件 F1·r1＝ F2·r2 。
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x
lM
y
x
l
M
y
x2 y2 l2
x2 y2 l2
•双侧约束(bilateral f (r1,
rc2o,nst,rrak i;nr1t,)r：2,约,束rk ;方t) 程 0为等式的约束
•单侧约束(unilateral f (r1, r2
c,on,srtkr;ar1in, rt2),：约, rk束;t方) 程0为不等式的约束
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xo r 0 是微分方程，
但经过积分可得到 xo r 0 ，该约束仍为完整约束。
2.1 约束
3、定常约束与非定常约束（约束是否与时间有
关？）
x
xA A xA sint
不含速度项
f
(r1,
r2
,,
rk
;
t)
0
z
z
R o
y
x
x2 y2 R2
z0
R
o
y
x
x2 y2 2 pz
2.1 约束
2、几何约束与运动约束
•运动约束(kinetic & differential constraint)：
对质点或质点系的运动情况进行限制，约束方程中
含有速度项的约束 f (r1, r2
x
lM
y
y
M
x2 y2 l2
(x sint)2 y2 l2
•定常约束(steady constraint 稳定约束)：约束方程中不显含时 间t 的约束 •非定常约束(unsteady constraint不稳定约束)： 约束方程中显 含时间t 的约束
2.1 约束
4、双侧约束与单侧约束（约束的确定性？）
2.2 自由度和广义坐标
•双侧约束（不可解约束） ： 约束方程为等式的约束 •单侧约束（可解约束）：约束方程为不等式的约束 •定常约束（稳定约束）：约束方程中不显含时间t 的约束 •非定常约束（不稳定约束） ： 约束方程中显含时间t 的约束 •几何约束（完整约束）：约束方程中不含速度项的约束 •运动约束（微分约束）：约束方程中含速度项的约束
xi xi (q1, q2,, qk ;t) yi yi (q1, q2,, qk ;t) zi zi (q1, q2,, qk ;t) ri ri (q1, q2,, qk ;t)
(i 1,2,, n)
2.2 自由度和广义坐标
通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适 当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s 个约束方程方便得多。
及任何力的限制关系
质点i的非自由运动微分方程
mi
d
2
ri
dt 2
F (e)
i
F (i) i
+Ri
约束力
注意：约束力不能事先就给出确切表达式，而是与质点运动状态有关
一、约束与约束方程
2.1 约束
•约 束(constraint)：限制物体运动的条件 •约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式
4、虚位移不只有一个或一组 {rA , rB } {rA,rB}
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
二、虚功
• 虚功（virtual work)： W
F
r
作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的假想
功。
质点
F Fx
r
i xi
Fy
j
yj
Fzk
zk
W Fxx Fyy Fzz
质点系
W
N
( Fi
Ri
)
ri
i=1
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
三、理想约束
• 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力
在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。
n
Ri
ri
0
i 1
讨论： 哪些约束是理想约束?
理想约束的典型例子： 1、光滑支承面
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
A
900
C2
C1 m1g
M
m2 g
O
BF
擦）
m3 g
基本步骤：
1. 确定系统是否满足原理的应用条件
2. 分析主动力作用点的虚位移
Fi ri 0
f x, y, z,t 0
可解约束
实位移 dr
虚位移
r
虚功
W
F
r
理想约束
n
Ri
r
0
i 1
要点
（ 几完 何整 约约 束束
） 非 完 整 约 束
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
四、虚功原理(virtual work principle)
具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的质点系， 在 给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在 系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。
FN1
r2
(FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
n
Ri
ri
0
i 1
约束 稳定约束 不稳定约束
f x, y, z 0
f x, y, z,t 0
不可解约束
运动约束 （微分约束）
f x, y, z; x, y, z;t 0 可积
不可积
f x, y, z 0
则该系统是否是理想约束
r1
FNB
B
r2 A FS'A
FSB
FN' A
（1）：有摩擦 是非理想约束
FN1 地面光滑
(FNB FSB ) (r1 r2 ) (FN' A FS'A ) r2 FN1 r2
(FNB FSB ) r1 (FNB FSB ) r2
(
F
' NA
FS'A ) r2
问题：若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示
为：
xi yi
xi (q1,, qk ) yi (q1,, qk )
zi zi (q1,, qk )
xi 如何求 yi
zi
例如：
O
l1
xi
k j 1
xi q j
q
j
yi
k j 1
yi q j
q
j
zi
k j 1
zi q j
q
j
x x l sin
2、光滑铰链
WN N r 0
W N N r N 'r 0
FA'
Foy O
ArA FA
B rB
Fox
FN
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
理想约束的典型例子： 3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动
WN (N F )rC 0
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； （2）：无摩擦。
虚位移：只是纯几何的概念，完全与时间无关
4.虚位移的方向
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
讨论：虚位移的特点
rA A r A
O
900
rB
B
rB
rA
O
A r A
rB ห้องสมุดไป่ตู้ rB
1、不同瞬时或位置，虚位移不同
2、必须满足约束条件 [rA ]AB [rB ]AB
3、是无限小的，不是有限位移
( Fi Ri ) ri N i ri 0
对质点系： ( Fi Ri ) ri 0 (理想约束下， Ri ri 0 )
Fi ri 0 与前题条件矛盾 故 Fi ri 0时质点系必处于平衡。
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
例4：已知 OA=L， 求系统在图示位置平 衡时，力偶矩M与力 F的关系（不计摩
n
Fi
ri
0
i 1
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
证明：(1) 必要性：质点系处于平衡
Fi ri 0
∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点i也平衡。
Fi Ri 0
对质点i的任一虚位移 ri ，有 ( Fi Ri ) ri 0
对整个质点系：
( Fi Ri ) ri 0 F i ri Ri ri 0
-----取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
例3：
2.2 自由度和广义坐标
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
虚功原理
由 伯努利 （Bornoulli，1717)提出 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善
虚功原理是静力学的普遍原理，它给 出了质点系平衡的充分和必要条件。
标。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数
目，称为该质点系的自由度数（degree of freedom) ，简称为
确定系统位置的参数数目：N
自由度。 独立的约束方程数：s
k N s
自由度：k
2.2 自由度和广义坐标
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。
由n个质点组成的质点系，受到s个完整约束，其n个位 矢并不独立，具有k=3n-s个自由度。取k个独立变量q1、 q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径 可表为广义坐标的函数。
•几何约束（完整约束） •运动约束（微分约束） •定常约束（稳定约束） •非定常约束（不稳定约束）
•双侧约束（不可解约束） •单侧约束（可解约束）
2.1 约束