理论力学 第2章 虚功原理

5、约束对运动的影响
2.1 约束
2.2 自由度和广义坐标
问题： 1.用什么量描述质点(系)在 空间的位置？ 2.描述其在空间位置的量有 多少个？
13
2.2 自由度和广义坐标
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z )
3个
一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2…,n) 3n个 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐
,,
rk
;
r1
,
r2
,,
rk
;
t
)
0
R
o
纯滚动
y
x y
v
y x
xo
约束方程:
xo y
R
o 0
xo y
o
R
R
o
x
tan
y x
运动约束 几何约束
2.1 约束
•完整约束(holonomic constraint)： 约束方程中不含速度项或含有速度项(可积)的约束
•非完整约束(nonholonomic constraint)： 约束方程中含有速度项(不可积)的约束
2.2 自由度和广义坐标
•双侧约束（不可解约束） ： 约束方程为等式的约束 •单侧约束（可解约束）：约束方程为不等式的约束 •定常约束（稳定约束）：约束方程中不显含时间t 的约束 •非定常约束（不稳定约束） ： 约束方程中显含时间t 的约束 •几何约束（完整约束）：约束方程中不含速度项的约束 •运动约束（微分约束）：约束方程中含速度项的约束
-----取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin Baidu Nhomakorabeasin , y2 acos bcos
例3：
2.2 自由度和广义坐标
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
虚功原理
由 伯努利 （Bornoulli，1717)提出 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善
虚功原理是静力学的普遍原理，它给 出了质点系平衡的充分和必要条件。
2、光滑铰链
WN N r 0
W N N r N 'r 0
FA'
Foy O
ArA FA
B rB
Fox
FN
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
理想约束的典型例子： 3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动
WN (N F )rC 0
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； （2）：无摩擦。
W
N
( Fi
Ri
)
ri
i=1
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
三、理想约束
• 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力
在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。
n
Ri
ri
0
i 1
讨论： 哪些约束是理想约束?
理想约束的典型例子： 1、光滑支承面
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
标。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数
目，称为该质点系的自由度数（degree of freedom) ，简称为
确定系统位置的参数数目：N
自由度。 独立的约束方程数：s
k N s
自由度：k
2.2 自由度和广义坐标
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。
由n个质点组成的质点系，受到s个完整约束，其n个位 矢并不独立，具有k=3n-s个自由度。取k个独立变量q1、 q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径 可表为广义坐标的函数。
• 什么是虚位移 • 什么是虚功 • 什么是虚功原理的适用条件
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
一、实位移和虚位移
（ real displacement ）
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
（ virtual displacement ）
（ 补充）
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
则该系统是否是理想约束
r1
FNB
B
r2 A FS'A
FSB
FN' A
（1）：有摩擦 是非理想约束
FN1 地面光滑
(FNB FSB ) (r1 r2 ) (FN' A FS'A ) r2 FN1 r2
(FNB FSB ) r1 (FNB FSB ) r2
(
F
' NA
FS'A ) r2
x
lM
y
x
l
M
y
x2 y2 l2
x2 y2 l2
•双侧约束(bilateral f (r1,
rc2o,nst,rrak i;nr1t,)r：2,约,束rk ;方t) 程 0为等式的约束
•单侧约束(unilateral f (r1, r2
c,on,srtkr;ar1in, rt2),：约, rk束;t方) 程0为不等式的约束
•几何约束（完整约束） •运动约束（微分约束） •定常约束（稳定约束） •非定常约束（不稳定约束）
•双侧约束（不可解约束） •单侧约束（可解约束）
2.1 约束
2、几何约束与运动约束（限制系统位形变化？）
•几何约束(geometric constraint)：
限制质点或质点系在空间几何位置的约束，方程中
( Fi Ri ) ri N i ri 0
对质点系： ( Fi Ri ) ri 0 (理想约束下， Ri ri 0 )
Fi ri 0 与前题条件矛盾 故 Fi ri 0时质点系必处于平衡。
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
例4：已知 OA=L， 求系统在图示位置平 衡时，力偶矩M与力 F的关系（不计摩
广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y,
z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。
在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
2.2 自由度和广义坐标
问题: 确定系统的自由度和广义坐标
例1：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
xA r cos , yA r sin xB r cos l 2 r 2 sin2 , yB 0
xi xi (q1, q2,, qk ;t) yi yi (q1, q2,, qk ;t) zi zi (q1, q2,, qk ;t) ri ri (q1, q2,, qk ;t)
(i 1,2,, n)
2.2 自由度和广义坐标
通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适 当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s 个约束方程方便得多。
问题：若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示
为：
xi yi
xi (q1,, qk ) yi (q1,, qk )
zi zi (q1,, qk )
xi 如何求 yi
zi
例如：
O
l1
xi
k j 1
xi q j
q
j
yi
k j 1
yi q j
q
j
zi
k j 1
zi q j
q
j
x x l sin
广义坐标选定后，质点 系中每一质点的直角坐 标都可表示为广义坐标 的函数。
2.2 自由度和广义坐标
例2：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b 2
（稳定 不可解 几何约束）
两个自由度
x
lM
y
y
M
x2 y2 l2
(x sint)2 y2 l2
•定常约束(steady constraint 稳定约束)：约束方程中不显含时 间t 的约束 •非定常约束(unsteady constraint不稳定约束)： 约束方程中显 含时间t 的约束
2.1 约束
4、双侧约束与单侧约束（约束的确定性？）
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
讨论：虚位移与真正运动时发生的实位移不同：
实位移：一定的力作用下和给定的初条件下运动实际发生的 虚位移：在约束容许的条件下可能发生的
实位移：具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值虚 位移：微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向 实位移：在一定的时间内发生的
1
1
x l cos
1
1
x l sin l sin
2
1
2
x l cos l cos
2
1
2
l2
y l cos
1
1
y l sin
1
1
y l cos l cos
2
1
2
y l sin l sin
2
1
2
y m1g
F m2 g
、 是独立的
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
3.实位移与虚位移的关系
不含速度项
f
(r1,
r2
,,
rk
;
t)
0
z
z
R o
y
x
x2 y2 R2
z0
R
o
y
x
x2 y2 2 pz
2.1 约束
2、几何约束与运动约束
•运动约束(kinetic & differential constraint)：
对质点或质点系的运动情况进行限制，约束方程中
含有速度项的约束 f (r1, r2
4、虚位移不只有一个或一组 {rA , rB } {rA,rB}
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
二、虚功
• 虚功（virtual work)： W
F
r
作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的假想
功。
质点
F Fx
r
i xi
Fy
j
yj
Fzk
zk
W Fxx Fyy Fzz
质点系
f x, y, z,t 0
可解约束
实位移 dr
虚位移
r
虚功
W
F
r
理想约束
n
Ri
r
0
i 1
要点
（ 几完 何整 约约 束束
） 非 完 整 约 束
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
四、虚功原理(virtual work principle)
具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的质点系， 在 给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在 系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。
A
900
C2
C1 m1g
M
m2 g
O
BF
擦）
m3 g
基本步骤：
1. 确定系统是否满足原理的应用条件
2. 分析主动力作用点的虚位移
Fi ri 0
及任何力的限制关系
质点i的非自由运动微分方程
mi
d
2
ri
dt 2
F (e)
i
F (i) i
+Ri
约束力
注意：约束力不能事先就给出确切表达式，而是与质点运动状态有关
一、约束与约束方程
2.1 约束
•约 束(constraint)：限制物体运动的条件 •约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xo r 0 是微分方程，
但经过积分可得到 xo r 0 ，该约束仍为完整约束。
2.1 约束
3、定常约束与非定常约束（约束是否与时间有
关？）
x
xA A xA sint
第二章 达朗贝尔原理
§2.1 约束 §2.2 自由度和广义坐标 §2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.1 约束
机械运动的分类
•自由运动质：点坐i的标自与由速运动度微完分全方取程决于m有i dd明2tr2i确 形Fi(式e) 的F力i(i) 和主初动始力条件
•非自由运动（有约束运动）：坐标与速度存在一些形式上不涉
n
Fi
ri
0
i 1
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
证明：(1) 必要性：质点系处于平衡
Fi ri 0
∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点i也平衡。
Fi Ri 0
对质点i的任一虚位移 ri ，有 ( Fi Ri ) ri 0
对整个质点系：
( Fi Ri ) ri 0 F i ri Ri ri 0
FN1
r2
(FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
n
Ri
ri
0
i 1
约束 稳定约束 不稳定约束
f x, y, z 0
f x, y, z,t 0
不可解约束
运动约束 （微分约束）
f x, y, z; x, y, z;t 0 可积
不可积
f x, y, z 0
ri
Fi
由于是理想约束
Ri ri 0
i
所以
Fi ri 0
Ri
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
(2) 充分性：质点系满足 Fi ri 0
质点系一定平衡。
若 Fi ri 0 ，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平 衡。
Fi Ri Ni 0 在 Ni 方向上产生实位移 dri ，取 ri d ri ，则
虚位移：只是纯几何的概念，完全与时间无关
4.虚位移的方向
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
讨论：虚位移的特点
rA A r A
O
900
rB
B
rB
rA
O
A r A
rB B rB
1、不同瞬时或位置，虚位移不同
2、必须满足约束条件 [rA ]AB [rB ]AB
3、是无限小的，不是有限位移