高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教...(1).ppt

a1n a11
kn
1
k22
knn 0
因此 1,2 , ,n 线性相关，它的秩小于n。
a1n xn 0 a2n xn 0
arn xn 0
（ 2）
是同解的。由于方程组（ 1）中方程的个数小于未知量的个 数，故（ 2）从而（ 1）有非零解。
定理 1: 矩阵的行秩与列秩相等。
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a11 a12
证明：设所讨论的矩阵为
A
a21
1 1,0,0,0, 2 2,2,0,0, 3 1,3,2,1, 4 2,2,4,2,
则列向量组的极大线性无关组为 1, 2, 3, 故A的列秩也是3。
问：矩阵A的行秩是否等于列秩？ 为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组 的解联系起来。 引理：如果齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。
定理 2:
a11 a12
nn
矩阵
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
的行列式为零的
ann
充要条件是A的秩小于n。
证：充分性显然：
设A的秩=r<n。用1,2, ,n 表示A的列向量组。不妨设 1, a2, ,r 是列向量组的极大无关组。
假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用
1,2, ,n 表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全
为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这
n个元素有一个不为0，不妨设 a11 0 ，则从第二列直到n列
分别加上第一列的倍数
a12 a11
,
,
a1n a11
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r
arn
因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量，不妨设向量组
a11, a21, , ar1 ,
a12, a22, , ar2 ,
a1r , a2r , , arr 线性无关。
由上一节的性质5知，其延长向量组：
a11, a21, , ar1, ar1,1, am1 ,
a12 , a22 , , ar2, ar1,2, , am2 ,
例1 求矩阵
1 2 1 2
A
0
2
3
2
的行秩和列秩。
0 0 2 4
0
0
1
2
解：A的行向量组是：
1 1,2,1,2,2 0,2,3,2,3 0,0,2,3,4 0,0,0,1
其极大线性无关组是：1,2,3, 故A的行秩为3。
又A的列向量为
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a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
（ 1）
a11 a12
的系数矩阵
A
a21
a22
am1
am2
a1n
பைடு நூலகம்
a2
n
的行秩r<n，那么它有非零解。
amn
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证明：用 1,2, ,m 表示矩阵A的行向量。由于其秩为r，
第三章 线性方程组的进一步理论
§3.5 矩阵的秩
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上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成 一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把 矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向 量组成的。
定义1: 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的 向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。
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设 n k11 k22 krr
a11 a12
考虑A的行列式 A a21 a22
a1n a11 a12 a2n a21 a22
0 0
0
an1 an2
ann an1 an2
0
必要性：
若 A 0 ，我们对n用归纳法证明。
当n=1时，由 A 0 知A仅有一个元素就是0，故A的秩为0<1。
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a1r , a2r , , arr , ar1,r , , amr
也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 无关，故知A的列秩s r ,
同理可证：s r ，因此有r=s。 由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。
a22
am1
am2
a1n
a2n
而A的行
amn
秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证 r s ，再证 r s ）。
用 1,2, ,m 表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设 1, ,r 是它的一个极大线性无关组。因为 1, ,r 线性无关，
故方程组 x11 xrr 0 只有零解。
a11x1 a21x2
故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设 1, ,r 是它的
一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于 向量组 1, ,r ,r1, ,m与 1, ,r 是等价的，故原方程组与
以下方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 ar1x1 ar2 x2
此即齐次线性方程组 a12x1 a22x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0
ar2xr 0 只有零解。
arn xr 0
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由引理知，这个方程组的系数矩阵
a11 a21
a12
a22
a1n
a2n
ar1
ar
2
的行秩
a2 n 0
ann
由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关， 从而向量组
2
a12 a11
1,
,n
a1n a11
1
即存在不全为零的数k2, , kn ，使
也线性相关，
k2
2
a12 a11
1
kn
n
a1n a11
1
0
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整理得
a12 a11
k2
这样，在把 a12, , a1n 消为零的过程中，行列式 A 化为
其中 由于
a11 0 A a21 a22
0 a2 n
a22 a11
0, a2i ,
an1 an2
ann
, ani
i
a1i a11
1,
an 2
i 2,3,
a22
A 0, a11 0 ，故n-1阶矩阵
an 2
a2 n
ann
,n