高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教...(1).ppt
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教.
V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
定理2：如果V1 ，V2是线性空间V的两个子空
间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空间。
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证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合， 如果＝ 1＋ 2 ， ＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2， 因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ， 有 ＋ ＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 因此V1+V2 是V的子集. 有限个子空间的和
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推论2 : 和V1 V2为直和的充分必要条件是 V1 V2 0 证明 : 必要性 V1 V2 , 0 ( ) 0 0 因为V1 V2是直和, 零元素的表示法唯一, 从而 0 , V1 V2 {0} 充分性 任意1 ,V1 , 2 V2 , 如果1 2 0, 有
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例1 在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴 与y轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. 例2 在三位几何空间中,若V1表示过原点的 直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3.
例3 线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空 间,V2是Br×nx=0的解空间,
第八章 线性空间
§8.2 子空间及其交与和 子空间的直和
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子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
高等代数课件
(r ) a1r1 a2r2 arrr (r1) a1,r11 ar,r1r ar1,r1r1 an,r1n
(n ) a1n1 arnr ar1,nr1 annn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都 是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映 射.
(n ) a1n1 a2n2 annn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
《高等代数》PPT课件
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
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三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
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二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
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例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
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第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
高代PPT
第一章
多项式
定理2.4.2
F x 中任一个次数大于零的多项式
f x 可分解成不可约多项式的乘积：
f x p1 x p2 x pr x ,
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解 成不可约因式的乘积分解式是唯一的，即，若有两 个分解式：
三、典型（标准）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式， 并把相同的因式合并，于是， f x 的分解式就变成：
f x an p1k1 x p2k2 x pl kl x .
p1 x ,, pl x 为 F x 的首一不可约多项式，
当r=1时，结论显然成立。 假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立， 则当 f x 分解成r个因式时，有
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x .
故存在某个qi 使 p1 ( x) qi ( x) 由于 p1 x q1 ( x)q2 (x)qs (x) ， 为方便起见不妨设 qi ( x) 就是 q1 ( x) 。
f x a1 2a2 x nan xn1 （形式定义）
一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数， 记为
f x
第一章 多项式
f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为 f
x
…………
f x 的k阶导数记为f
若 d x cp x , 则 p x f x
第一章 多项式
性质3
若 p x 不可约且 p x f x g x
高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵
f
x2 1
x2 2
5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A
1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
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1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
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（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2
5 2
2 6
2 0
2 0 4
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解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此
5t
2
4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5
高等代数第一章ppt课件
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
.
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
.
一、 最小数原理
.
数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是*的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S都
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
.
B
.
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
.
设A是非空集合, jA : A A，x x, 称为A上的 恒
等映射。
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯 一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
高等代数课件PPT之第1章多项式
2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0
高等代数(绪论)讲解PPT课件
开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
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2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
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2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
2020年9月28日
高等代数
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任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
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2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
《高等代数课件》
4 1 1 1 0
例3
求矩阵A的特征值和特征向量
A
4
3
0 .
1 1 0
1 0 2
解 (i) 由EA 4 3 0 (2)(1)2
1 0 2
得 A 的 特 1 2 征 ， 2 值 3 1 ；
(ii) 当 1 2 时(2 ， E A )x 解 0 .
3 1 0 1 0 0
由2EA4 1 00 1 0
第4.1节 特征值与特征向量
• 特征值与特征向量概念 • 特征值与特征向量性质
返回
1.特征值与特征向量概念
(1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使
Ax = λx
则称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征
向量. 例如
A 0 3 1 1 ,1,x 1 2 ,有 A xx
1 0 0 0 0 0
0
例2与例3中,
得xx12 00,全
部
特
征k1向 0(k量 10为 );重特征值所
1
对应的线性
当 23 1 时(， E A )x 解 0 . 无关特征向
2 1 0 1 0 1 由EA4 2 00 1 2
量的个数是 不相同的.
1 0 1 0 0 0
1
得 xx212xx33,全
k1x1+k2x2+…+kmxm=0
(*)
用方阵A左乘上式两端,得
k1Ax1+k2Ax2+…+ks Axm=0
再利用 Axi=i xi ( i=1,2, …,m),得
k11x1+k22x2+…+kmmxm=0 (**)
(**)- λm(*),得
数学高等代数课件1-1
.这样一个数 a ∈ S, 对于任意 c ∈ S 都有 a ≤ c.
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
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天津城建大学数学系
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预备知识
.
数 . 学归纳法原理
设有一个与正整数 n 有关的命题. 如果 (1) 当 n = 1 时, 命题成立; (2) 假设 n = k 时命题成立, 则 n = k + 1 时命题也成立; 那. 么这个命题对于一切正整数 n 都成立. .
20 世纪 30 年代, 范德瓦登写的《近世代数》, 给出了这门
课的一个基本框架. 代数主要研究代数系统 (带运算的集
合)—群、环、域.
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
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3 / 15
预备知识
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重 . 要性
需要学习两个学期, 数学三大基础课之一 — 数学分析、高等代 数. 、解析几何, 考研必考课. .
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i=1
1. ∑n ai = ∑n ak = ∑ ai, 其中 S = {1, 2, · · · , n}
i=1
k=1
i∈S
2. ∑n ai + ∑n bi = ∑n (ai + bi),
i=1
i=1
i=1
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
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天津城建大学数学系
5 / 15
预备知识
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求 . 和号
刘贵贤
一元多项式环-PPT文档资料
1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。
例1
2 3 是Q上多项式； f x 12 x 3 x 9 x
2 f x 3 2 x x 是R上多项式；
2 f x 3 i x 5 x 是C上多项式。
3 1 x 3 x 2 2 3 x , a x, x x 1
第七章 多项式环
§7.1 一元多项式环
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一、多项式的概念 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 法运算的整式）的代数和叫多项式。 例： 4a+3b，3x2 2x 1, 3 y 1 .
2 5
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
都不是多项式。
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定义2： f x, gx 是两个多项式， f x gx
最高次项， 亦称为首项。 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 n 方程 a 是一个条件等式而不是 a x a x 0 0 1 n 两个多项式相等。
下面证明多项式乘法满足结合律。
k f x a xg , x b xh , x c x 证：设 i j k i 3 i 0 j 0 k 0 n m l
n m fx g xc c x c x 01 n m
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b a b a b a b a b , k 0 k 1 k 1 k 1 1 k 0 i j 其中 ca
k 0 , 1 , ,n m .
高等代数经典课件
第一章 多项式§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i 是整数.例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.§2 一元多项式一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数，形式表达式0111a x a x a x a n n n n ,(1)其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.在多项式（1）中，i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f .系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果0 n a ，那么n n x a 称为多项式（1）的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f .二、多项式的运算设是数域P 上两个多项式，那么可以写成在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ，为了方便起见，在)(x g 中令011 m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是所以)(x f )(x g 可表成s mn s s j i j i x b a x g x f )()()(0 .显然，数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出)))(()),((max())()((x g x f x g x f .对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)( x g x f ，则0)()( x g x f ，并且 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f .2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f 且0)( x f ，则)()(x h x g .定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P ，P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)( x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使)()()()(x r x g x q x f (1)成立，其中))(())((x g x r 或者0)( x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式. 定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)( x g 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)( x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()( x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时，如0)( x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式0.3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f ,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( ，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常，)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的一个组合.由以上性质可以看出，)(x f 与它的任一个非零常数倍)0)(( c x cf 有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，)(x f 常常可以用)(x cf 来代替.最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g ，则例2 求l k ,，使1|32 kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g ，则)()(|)(x h x f x g .§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么)(x 就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f (1)成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d . (2)由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21 c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用（)(x f ，)(x g ）来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设求（)(x f ，)(x g ），并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d .注：定理2的逆不成立.例如令1)(,)( x x g x x f ,则122)1)(1()2(2 x x x x x x .但1222 x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立，而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使1)()()()( x g x v x f x u .定理4 如果1))(),(( x g x f ，且)()(|)(x h x g x f ,那么)(|)(x h x f .推论1 如果)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ，且1))(),((21 x f x f ,那么)(|)()(21x g x f x f .推论2 如果1))(),((1 x g x f ,1))(),((2 x g x f ,那么1))(),()((21 x g x f x f推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21 s x f x f x f s ，)(x d 称为)2)((,),(),(21 s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( ;2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( ，那么)(|)(x d x .我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时， 就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式s i x u i ,,2,1),( ,使如果1))(,),(),((21 x f x f x f s ，那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1 x x x ,但22)1(|1x x ,且22)1(|1 x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2 x x g ,1)(1 x x f ,)1)(1()(2 x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2( s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式是互素的,但2))(),((21 x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d .即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i 互素，则)1)((|)(s i x f x h i .2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则1))(),()()((21 x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224 . 定义8 数域P 上次数1 的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义，一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然，不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)(( c x cp 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1 的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式)(x p 与任一多项式)(x f 之间只可能有两种关系，或者)(|)(x f x p 或者1))(),(( x f x p .定理5 如果)(x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式)(),(x g x f ，由)()(|)(x g x f x p 一定推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p .推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1 的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ,那么必有t s ，并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( .其中),,2,1(s i c i 是一些非零常数.应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r ,其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23 x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k .如果0 k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1 k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1 k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆. 显然，如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r ,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1 i r 的那些不可约因式是单因式；指数1 i r 的那些不可约因式是重因式.不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的k 重因式的充要条件是存在多项式)(x g ,使得)()()(x g x p x f k ,且)(|)(x g x p .二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ,规定它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式: 同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f 称为)(x f 的一阶微商；)(x f 的微商)(x f 称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1( n n 次多项式的微商是一个1 n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1 n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1( k k 重因式,那么)(x p是微商)(x f 的1 k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f 的1 k 重因式,须证)(|)(1x f x p k ,但)(|)(x f x p k. 注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23 x x x x f , 22)1(3363)( x x x x f ,1 x 是)(x f 的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1( k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ,…,)()1(x f k 的因式,但不是)()(x f k 的因式.推论2 不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的重因式的充要条件是)(x p 是)(x f 与)(x f 的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),(( x f x f这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 .那么由定理5此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i 整除.于是用)(x d 去除)(x f 所得的商为这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n (1)是][x P 中的多项式， 是P 中的数，在(1)中用 代x 所得的数称为)(x f 当 x 时的值,记为)( f .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果那么定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)( f .如果)(x f 在 x 时函数值0)( f ，那么 就称为)(x f 的一个根或零点.由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x .由这个关系，可以定义重根的概念. 称为)(x f 的k 重根，如果)( x 是)(x f 的k 重因式.当1 k 时， 称为单根；当1 k 时， 称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0( n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有)()(x g x f ,而对于P 中所有的数 都有)()( g f ?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f ,1,,2,1 n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x 时的值,只需用带余除法求出用c x 除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设并且设r x q c x x f )()()(. (2)其中比较等式(2)中两端同次项的系数.得到这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1 k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例1 用3 x 除94)(24 x x x x f .例2 求k 使355)(234 kx x x x x f 能被3 x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n 的多项式)(x f 在)1,,2,1( n i c x i 的值)1,,,2,1()( n i b c f i i .设 依次令c x 代入)(x f ,得这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1( f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式 x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成 x 的方幂和，就是把)(x f 表示成的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n ，把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n ,就可看出0b 就是)(x f 被 x 除所得的余数，而就是)(x f 被 x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n .又可看出1b 是商式)(1x q 被 x 除所得的余式，而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n .就是)(1x q 被 x 除所得商式.这样逐次用 x 除所得的商式，那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110 .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234 x x x x x f 展开成x 的多项式.解 令2 x y ，则2 y x .于是532)2(234 y y y y y f .问题变为把多项式532234 y y y y 表成2 y （即x ）的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14------------------------------------------------------- -2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2------------------------------------------------------ -2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8----------------------------------------------- -2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234 x x x x x f .注意：将)(x f 表成 x 的方幂和，把 写在综合除法的左边，将 x 的方幂和展开成x 的多项式，那么相当于将)(x f 表成c c x )(的方幂和，要把c 写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1 的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1 的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理 每个次数1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中s ,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果 是实系数多项式)(x f 的复根，那么 的共轭数 也是)(x f 的根,并且 与 有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数，s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数，并且),,2,1(2r i q x p x i i 是不可约的，也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 ..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第),,2,1(n k k 个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1( .若多项式的首项系数,10 a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1 n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ，总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf ,也就是其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n 的系数01,,,b b b n n 没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f .可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果)()()(11x g r x rg x f ,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式，那么必有因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ，)(x g 是整系数多项式，且)(x g 是本原多项式，如果)()()(x h x g x f ，其中)(x h 是有理系数多项式，那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法.定理12 设是一个整系数多项式.而sr 是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么 (1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1 n a ，那么)(x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. (2) ),()()(x q sr x x f 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数j i v u 用综合除法来进行试验. 当有理数ji v u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数j i v u 中出现,而计算)1(f 与)1( f 并不困难.另一方面,若有理数)1( a 是)(x f 的根,那么由定理12,而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f 1)1(1)1(与都是整数的ji v u 来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1( f 都不等于零.否则可以用1 x 或1 x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式的有理根.例2 证明在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |; 2. 021,,,|a a a p n n ;3. 02|a p. 则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)( n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明：令1 y x ，则由于1)()1( p x x f x ,y C y C y y y yf p p p p p p 1111)1()1( ,令)1()( y f y g ，于是1211)( p p p p p C yC y y g , 由艾森斯坦判断法，)(y g 在有理数域上不可约，)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(2) )).(())(())()(())),(()),((max())()((000000x g x f x g x f x g x f x g x f(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),( x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除，. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素.(1) 最大公因式,互素的概念.。
重因式
27q 2 只需 p 2 0, 即 4 p3 27q2 0, 4p 2 2 p 重因式是 x q 3
3
例3 用分离因式法（单因式化法）求多项式
f x x5 3x4 x3 5x2 6x 2
在Q上的标准分解式。
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如果 f x 的标准分解式为：
k2 f x an p1k1 x p2 x
psks x ,
则 p1 x , , ps x 分别是 f x 的因式，且分别为
k1 ,
, ks 重。
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要求 f x 的重因式，只要把 f x 的标准分解
1、
(k )
x
多项式的求导法则：
f x g x f x g x ;
f x g x f x g x f x g x ;
2、 cf x cf x ; 3、
解：
f ' x 5x4 12x3 3x2 10x 6,
' 2
利用辗转相除法求得：
f x , f x x把 f Fra bibliotekx 单因式化，得
2 x 1 x 1
2
f x x3 x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 f x , f x
2
x 3
2
3 f x px q 有重因式的条件。 例2 求多项式 9q 1 2 3 3x p x x px q p 0 3x 3 2p 9q p 2 3 3x x x x 2p 3
高等代数课件ppt3-1
２° d r 1
此时去掉 “０＝０” 的方程． 分两种情况：
i)
若r
n ．这时阶梯形方程组为
c11 x 1 c12 x 2 c1 n x n d 1 c 22 x 2 c 2 n x n d 2 c nn x n d n
设 ( c 1 , c 2 , , c n ) 是方程组（1）的任一解，则
§3.1 消元法
a 1 1 c 1 a 1 2 c 2 a 1 n c n b1 a 21c1 a 22 c 2 a 2 n c n b2 a s 1 c1 a s 2 c 2 a sn c n b s
解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得
x1 x 2 x 3 2 2 x1 x 2 3 x 3 1 3 x1 2 x 2 5 x 3 0
第二个方程减去第一个方程的2倍， 第三个方程减去第一个方程的3倍，得
§3.1 消元法
x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍，得
x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 3 x3 9
第三个方程乘以
1
，得
3 x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 x3 3
设 k 1 , k 2 , , k n 是 n 个数，如果 x 1 , x 2 , , x n 分别用
k 1 , k 2 , , k n
代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,
( k 1 , k 2 , , k n ) 是（1）的一个解.
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0
1
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1 2
1
0 1 0
0 0
0 1
A 1
0 1 0
1 2003 1 0
1 2
1
0 0 0
0
1 1 0 0
1 0
0
200数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
Ek1 J1
E J
Ek2 J 2
与
E k s
J
s
1
(
) i1i i1
等
1
( ks ) ks
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因此, J的全部初等因子是: ( 1 ) k1 , ( 2 ) k2 ,, ( s ) ks
定理 : 每个n级的复数矩阵A都与一 个若当形矩阵相似, 这个若当形矩阵 除去若当块的次序外是被矩阵A唯 一确定, 称为矩阵A的若当标准形.
个特征向量为（1，6，0）
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1 x1 x4
则令 P 6 x2 x5 ，由有AP＝PA
0
x3
x6
解出
x1 x3 x4 x6 1, x2 2, x5 3
1 1 1 P 6 2 3
1 1 1
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例4
设
J
1 0
0 1
0 0
解
0 1 计算A2003 1
1 1 (E A) 0
0 －1
0 1
1 0
0
由于A的初等因子为 ＋1，（－1）2
0
0
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a1n xn 0 a2n xn 0
arn xn 0
（ 2）
是同解的。由于方程组（ 1）中方程的个数小于未知量的个 数，故（ 2）从而（ 1）有非零解。
定理 1: 矩阵的行秩与列秩相等。
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a11 a12
证明：设所讨论的矩阵为
A
a21
第三章 线性方程组的进一步理论
§3.5 矩阵的秩
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上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成 一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把 矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向 量组成的。
定义1: 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的 向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。
此即齐次线性方程组 a12x1 a22x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0
ar2xr 0 只有零解。
arn xr 0
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由引理知，这个方程组的系数矩阵
a11 a21
a12
a22
a1n
a2n
ar1
ar
2
的行秩
下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。
定理 2:
a11 a12
nn
矩阵
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
的行列式为零的
ann
充要条件是A的秩小于n。
证：充分性显然：
设A的秩=r<n。用1,2, ,n 表示A的列向量组。不妨设 1, a2, ,r 是列向量组的极大无关组。
故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设 1, ,r 是它的
一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于 向量组 1, ,r ,r1, ,m与 1, ,r 是等价的，故原方程组与
以下方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 ar1x1 ar2 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
（ 1）
a11 a12的系数矩阵 NhomakorabeaA
a21
a22
am1
am2
a1n
a2
n
的行秩r<n，那么它有非零解。
amn
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证明：用 1,2, ,m 表示矩阵A的行向量。由于其秩为r，
a2 n 0
ann
由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关， 从而向量组
2
a12 a11
1,
,n
a1n a11
1
即存在不全为零的数k2, , kn ，使
也线性相关，
k2
2
a12 a11
1
kn
n
a1n a11
1
0
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整理得
a12 a11
k2
r
arn
因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量，不妨设向量组
a11, a21, , ar1 ,
a12, a22, , ar2 ,
a1r , a2r , , arr 线性无关。
由上一节的性质5知，其延长向量组：
a11, a21, , ar1, ar1,1, am1 ,
a12 , a22 , , ar2, ar1,2, , am2 ,
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a1r , a2r , , arr , ar1,r , , amr
也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 无关，故知A的列秩s r ,
同理可证：s r ，因此有r=s。 由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。
1 1,0,0,0, 2 2,2,0,0, 3 1,3,2,1, 4 2,2,4,2,
则列向量组的极大线性无关组为 1, 2, 3, 故A的列秩也是3。
问：矩阵A的行秩是否等于列秩？ 为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组 的解联系起来。 引理：如果齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a1n a11
kn
1
k22
knn 0
因此 1,2 , ,n 线性相关，它的秩小于n。
a22
am1
am2
a1n
a2n
而A的行
amn
秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证 r s ，再证 r s ）。
用 1,2, ,m 表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设 1, ,r 是它的一个极大线性无关组。因为 1, ,r 线性无关，
故方程组 x11 xrr 0 只有零解。
a11x1 a21x2
假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用
1,2, ,n 表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全
为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这
n个元素有一个不为0，不妨设 a11 0 ，则从第二列直到n列
分别加上第一列的倍数
a12 a11
,
,
a1n a11
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设 n k11 k22 krr
a11 a12
考虑A的行列式 A a21 a22
a1n a11 a12 a2n a21 a22
0 0
0
an1 an2
ann an1 an2
0
必要性：
若 A 0 ，我们对n用归纳法证明。
当n=1时，由 A 0 知A仅有一个元素就是0，故A的秩为0<1。
这样，在把 a12, , a1n 消为零的过程中，行列式 A 化为
其中 由于
a11 0 A a21 a22
0 a2 n
a22 a11
0, a2i ,
an1 an2
ann
, ani
i
a1i a11
1,
an 2
i 2,3,
a22
A 0, a11 0 ，故n-1阶矩阵
an 2
a2 n
ann
,n
例1 求矩阵
1 2 1 2
A
0
2
3
2
的行秩和列秩。
0 0 2 4
0
0
1
2
解：A的行向量组是：
1 1,2,1,2,2 0,2,3,2,3 0,0,2,3,4 0,0,0,1
其极大线性无关组是：1,2,3, 故A的行秩为3。
又A的列向量为
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