三角形的定比分点公式及应用

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三角形的定比分点公式及应用

三角形的定比分点公式及应用设在三角形ABC的边AB上，有两个点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，其中m、n、p为正实数，且满足m+n+p=1、则称点D和点E是边AB上的定比分点。

应用：1.线段分点定比问题：已知两点A、B，找到两点之间的一个点P，使得AP:PB=m:n。

这个问题可以通过将线段AB看作三角形的一条边，然后应用定比分点公式来解答。

2.定比分点的证明：如果在三角形的边上有一个点是边的中点，则此点与边两端的点成1:1:1的定比分点。

证明如下：设在三角形ABC的边AB上有一点D是边AB的中点，即AD=BD，则AD:DE:EB=AD:AD:BD=1:1:1同理，三角形的另外两条边上也存在中点，可以利用定比分点公式得到其它的定比分点。

3.相似三角形的性质：如果在两个相似三角形的相应边上分别取定比分点，则这两个定比分点所确定的线段也是相似三角形的定比分点。

例如，在相似三角形ABC和DEF中，AB:DE=BC:EF=a，如果在边AB上取定比分点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，则有BC:EF=AD:DE:EB=m:n:p=a。

即在三角形DEF中，BC是EF的定比分点。

4.解决长度比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与长度比例有关的数学问题。

例如，在已知等腰直角三角形ABC中，如果AD是边AC上的定比分点，即AD:DC=m:n，则可以根据定比分点公式求出在边AC上的偏距AD和线段AB、BC的长度。

5.解决面积比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与面积比例有关的数学问题。

例如，已知三角形ABC中，面积为S，若点D是边AB 上的定比分点，即AD:DB=m:n，则可以根据定比分点公式求出三角形ABD 和三角形ACD的面积，并据此计算出三角形ABC的面积。

总结起来，三角形的定比分点公式是一个重要的几何定理，它可以在解决线段或面积比例问题中起到重要的作用，能够推导出一些三角形的性质和关系。

定比分点坐标公式在解题中的应用

定比分点坐标公式在解题中的应用河北陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用．一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1．证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。

请看下面的例子。

例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。

依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43．二、在代数问题中的应用（一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7．解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3．（二）、求函数的值域例8．求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)．（三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12．证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式．解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2．设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14．设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110．解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。

定比分点公式的三大应用

定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP u u u u r所成的比为λ，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x （λ≠－1）而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。

定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。

灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。

下面举例说明它在解题中的应用。

一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉。

证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P u u r是AB 的定比分点，则定比P ∴u u r是AB 的外分点，则 [,]x a b ∉。

二、用于解决不等式问题例1.已知1,1a b <<，求证：11a bab+<+。

证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点，P λu u r 分AB 的比是，则1,10,a b P λ<<∴>Q 是u u rAB 的内分点，1a bab+∴+在-1与1之间，即11a b ab +<+。

定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。

1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=λλ++121l l (λ≥0)。

初中数学知识归纳三角比的应用

初中数学知识归纳三角比的应用初中数学知识归纳：三角比的应用三角比是初中数学中重要且常见的知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。

本文将归纳总结三角比的应用场景，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、角度的测量在三角比的应用中，角度的测量是一个基础和必要的环节。

角度的测量方法有两种：度和弧度。

在初中数学中，通常使用度来测量角度。

比如，在平面几何中，我们经常需要计算两条直线之间的夹角，通过三角比，我们可以得到夹角的具体数值。

这样，我们可以运用三角比来解决许多几何问题，如计算三角形的边长、角度等。

二、直角三角形的应用直角三角形是指具有一个直角（90°）的三角形。

在三角比的应用中，直角三角形是最基础的情况。

直角三角形的三条边之间，有着特定的关系，即正弦、余弦和正切三角比。

通过记忆这些关系，我们可以在实际问题中迅速解决相关计算。

例如，我们在测量一座房子的高度时，可以利用直角三角形的概念，通过测量房子和测量仪的距离以及仪器的角度，利用正切比例关系计算出房子的高度。

这种方法可以避免我们直接爬上房顶进行测量，既简便又安全。

三、斜角三角形的应用在实际问题中，我们往往遇到的是斜角三角形，即没有直角的三角形。

处理斜角三角形问题时，我们可以利用已知条件，通过正弦、余弦和正切三角比的定义来求解。

例如，我们在测量一棵树的高度时，如果无法直接测量到树的高度和距离，但可以测量到与树底部水平的一段距离和观察到的与树顶部的角度，我们可以利用正弦定理得出树的高度，从而求解树的实际高度。

四、角的平分线角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

在三角比的应用中，我们可以利用角的平分线来解决一些问题。

例如，在三角函数的证明中，我们经常需要将一个角分成两个相等的角，从而简化问题，利用三角比的性质进行进一步推导。

这种方法可以大大简化解题过程，提高计算准确性。

五、图形的相似性在几何图形的相似性比较中，我们可以应用三角比的概念来验证和计算两个图形的相似性。

中考知识点三角比的计算

中考知识点三角比的计算三角比是中考数学中的重要知识点之一，它涉及到角的度量、相似三角形以及三角函数的计算等内容。

熟练掌握三角比的计算方法对于解题起到至关重要的作用。

本文将介绍三角比的计算方法，并以实例进行详细说明。

一、角度与弧度的转换在进行三角比的计算过程中，常常需要将角度转化为弧度或将弧度转化为角度。

为了方便起见，我们一般以弧度为单位，进行计算。

当需要将角度转化为弧度时，可以使用如下公式：弧度 = 角度× π/180当需要将弧度转化为角度时，可以使用如下公式：角度 = 弧度× 180/π二、正弦、余弦、正切函数的计算1. 正弦函数（sin）的计算正弦函数是指任意角的正弦值与其对边与斜边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则正弦函数的计算公式为：sin(α) = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）的计算余弦函数是指任意角的余弦值与其邻边与斜边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则余弦函数的计算公式为：cos(α) = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）的计算正切函数是指任意角的正切值与其对边与邻边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则正切函数的计算公式为：tan(α) = 对边/邻边三、实例演示下面我们以一个实例来演示如何计算三角比。

例：已知直角三角形的直角边长分别为3cm和4cm，求其正弦、余弦和正切值。

解：根据给定的直角边长，可以计算出斜边的长度为5cm。

接下来进行计算：正弦值sin(α) = 对边/斜边= 3/5 ≈ 0.6余弦值cos(α) = 邻边/斜边 = 4/5 = 0.8正切值tan(α) = 对边/邻边 = 3/4 = 0.75四、总结通过以上的论述和实例演示，我们可以看出，三角比的计算方法是基于角度的正弦、余弦、正切函数的性质推导得出的。

对于中考数学中有关三角比的计算题目，我们需要熟练掌握角度与弧度的转换方法，并能灵活运用正弦、余弦、正切函数的计算公式。

定比分点公式的推导和应用教案

定比分点公式的推导和应用教案一、定比分点公式的推导1.准备工作设有一线段AB，要在这一线段上找到一个点P，使得AP:PB等于一个给定比m:n（即AP/PB=m/n）。

2.推导过程根据题意，已知AP:PB=m:n，设AP=mx，PB=nx，其中x为线段AB的一个长度单位。

由于AP+PB=AB，所以mx+nx=AB，即x(m+n)=AB，由此得到x=AB/(m+n)。

所以AP=mx=ABm/(m+n)，PB=nx=ABn/(m+n)，因此点P的划分坐标为m/(m+n)和n/(m+n)。

3.定比分点公式根据上述推导过程得出：如果AP:PB=m:n，那么点P在线段AB上的划分坐标为m/(m+n)和n/(m+n)。

这就是定比分点公式。

二、定比分点公式的应用教案1.教学目标通过本教案的学习，学生能够掌握定比分点公式的推导过程，并能够灵活应用该公式解决实际问题。

2.教学过程（1）引入：教师出示一张图片，上面有一个线段AB和一个点P，问学生如何确定点P在线段AB上的位置，引导学生思考定比分点的概念。

（2）讲解：教师简要讲解定比分点公式的推导过程，并通过具体的数值例子来说明公式的应用。

（3）练习：教师出示几道具体的定比分点问题，供学生自主尝试解答，并在学生完成后进行讲解和讨论。

（4）拓展：教师提供更加复杂的定比分点问题，让学生运用定比分点公式进行解答，并逐步引导学生思考如何将定比分点应用到解决实际问题中。

（5）总结：教师与学生一起总结定比分点公式的推导过程和应用方法，并强调定比分点在工程、地理等领域的实际应用价值。

3.巩固练习让学生在课后完成一些相关的定比分点练习题，并在下节课开始前收集起来，以检查学生的学习情况。

4.课后作业布置一些与定比分点相关的作业题，要求学生运用定比分点公式进行解答，并在下节课上进行检查和讲解。

三、教学反思本教案通过引导学生思考和讲解推导过程，使学生能够理解并掌握定比分点公式的应用方法。

通过练习和拓展，学生逐渐培养了运用定比分点公式解决实际问题的能力。

高中数学专题复习提优点3 爪形结构与分角定理、张角定理

知识拓展
即t＋1－q＋t 1B→A＋nt＋＋11A→C＋mm－1C→B＝0. 注意到B→A＋A→C＋C→B＝0，且B→A，A→C，C→B两两方向不同，故有 t＋1－q＋t 1＝nt＋＋11＝mm－1. 由nt＋＋11＝mm－1可知 t＝m（mn－＋11）－1，将其代入 t＋1－q＋t 1＝mm－1，整理可得 qmn＝1，即||FABF||·||BDDC||·||ECAE||＝1.]
(2)延长 OP 与 AB 交于点 D，用 a、b 表示向量P→D.
由塞瓦定理得OMMA·ADDB·NBNO＝1，即21·ADDB·31＝1， ∴ADDB＝23，下面只要求出 P 分 OD 的比即可. △OAD 被直线 MPB 所截，由梅涅劳斯定理，得OMMA·BADB·DPOP＝1，即12×35·DPOP＝1，∴DPOP＝65. ∴P→D＝161O→D＝16135O→A＋25O→B＝1585O→A＋1525O→B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
训练1
(1)如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C
＝nA→N，则 m＋n 的值为___2_____.
因为 2A→O＝A→B＋A→C＝mA→M＋nA→N，由于 M，O，N 三点共线，所以 m＋n＝2.
知识拓展
则有A→E＝n＋1 1A→C，B→F＝q＋1 1B→A，B→D＝mm－1B→C，① 因为 D、E、F 三点共线，所以(t＋1)B→E＝tB→F＋B→D. 又因为B→E＝B→A＋A→E，从而(t＋1)B→A＋(t＋1)A→E＝tB→F＋B→D，② 当①代入②，可得(t＋1)B→A＋nt＋＋11A→C＝q＋t 1B→A＋mm－1B→C，

中考考点三角比的计算角度与边长的关系与应用

中考考点三角比的计算角度与边长的关系与应用三角比是中考数学中一个常见而重要的知识点，它涉及到三角形的角度和边长之间的关系及其应用。

了解和掌握三角比的计算方法，对于解决与三角形相关的问题至关重要。

本文将介绍三角比的概念，讨论如何计算角度与边长的关系，并举例说明其在实际问题中的应用。

一、三角比的概念在解释三角比之前，先给出三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，在几何学中占有重要地位。

根据三条线段的长度关系，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

三角比是指在一个特定的三角形中，三角形的一条边和另一边之间以及这两条边所夹角的比值关系。

常用的三角比包括正弦比、余弦比和正切比，它们的定义如下：1. 正弦比（简称正弦）：正弦是三角形的斜边长度与斜边所对应的角的正弦值的比值。

记作sin，计算公式为sinA = 直角边/斜边。

2. 余弦比（简称余弦）：余弦是三角形的两条直角边之一与斜边的比值。

记作cos，计算公式为cosA = 邻边/斜边。

3. 正切比（简称正切）：正切是三角形的两条直角边之一与另一条直角边的比值。

记作tan，计算公式为tanA = 邻边/直角边。

根据三角比的定义，我们可以轻松地计算角度与边长之间的关系，从而应用到各种实际问题中。

二、角度与边长的计算关系1. 已知两边长度，求夹角的计算方法假设在一个三角形ABC中，已知边AB的长度为a，边AC的长度为b，要求计算夹角C的大小。

可根据余弦定理进行计算。

余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。

通过整理上述方程，可得余弦C的值：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab。

然后，可利用反余弦函数求得C的大小：C = arccos((a^2 + b^2 - c^2) / 2ab)。

2. 已知夹角，求边长的计算方法假设在一个三角形ABC中，已知夹角C的大小为C°，要求计算边AB的长度。

三角形的全部定理

三角形的全部定理三角形是几何学中最基本和常见的形状之一。

对于一个三角形，有许多重要的定理和性质，这些定理可以帮助我们理解和解决与三角形相关的问题。

1. 三角形的内角和定理：一个三角形的三个内角的和总是等于180度。

这个定理可以用来计算未知角度的大小，或者验证一个三角形是否是一个有效的三角形。

2. 直角三角形的勾股定理：对于一个直角三角形，它的两边的平方和等于斜边的平方。

这个定理是解决直角三角形问题的基础，也是勾股定理的一种形式。

3. 三角形的边长比例定理：对于一个三角形ABC，如果有一条直线DE平行于边BC，与边AB和AC相交于点D和E，那么AD/DB=AE/EC。

这个定理可以用来解决与边长比例相关的问题，例如在相似三角形中找到未知边长的比例。

4. 三角形的相似性定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

这个定理可以用来解决相似三角形的性质和问题，例如寻找相似三角形的未知边长或角度。

5. 三角形的中线定理：三角形的三条中线（从一个顶点到对边中点的线段）交于一个共同点，且这个点距离三个顶点的距离相等。

这个定理可以用来证明三角形的一些性质，例如中线的长度、重心的位置等。

6. 三角形的海伦公式：对于任意三角形，其面积可以通过三条边的长度来计算。

海伦公式给出了这个计算公式：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中S是三角形的面积，a、b、c是三条边的长度，p是半周长。

7. 三角形的高度定理：对于一个三角形，其高是从一个顶点到对边的垂直线段。

根据高度定理，三角形的面积可以通过底边和高的乘积的一半来计算。

这些定理和性质只是三角形中的一部分，它们为我们研究和解决与三角形相关的问题提供了基础。

通过理解和应用这些定理，我们可以更好地理解三角形的性质和特点，从而更有效地解决与三角形相关的问题。

三角比的各个知识点和公式

三角比的各个知识点和公式三角比是数学中的一个重要分支，研究角和角的各种性质以及角的三边比。

掌握三角比的知识可以帮助我们解决数学中的一些几何问题。

下面将介绍三角比的各个知识点和公式。

1. 正弦定理（Sine Rule）正弦定理是用来求解三角形的边长与角度之间的关系的公式。

对于一个三角形ABC，其三边分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C，那么有以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中R为三角形外接圆的半径。

2. 余弦定理（Cosine Rule）余弦定理是用来求解三角形的一个边与其他两边和夹角之间的关系的公式。

对于三角形ABC，其三边为a，b，c，对应的角为A，B，C，那么有以下公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，b^2 = a^2 + c^2 - 2accosB，a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA。

3. 正切公式（Tangent Formula）正切公式是用来求解三角形的一些角度的正切值的公式。

对于三角形ABC，其三边为a，b，c，对应的角为A，B，C，那么有以下公式：tanA = a/b，tanB = b/a，tanC = c/a。

4.三角函数基本关系式三角函数有正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）六种。

它们之间存在一些基本关系式：sin^2A + cos^2A = 1，tanA = sinA/cosA，cotA = 1/tanA，secA = 1/cosA，cscA = 1/sinA。

5.三角函数的周期性sin和cos的周期是2π，即sin(A+2π) = sinA，cos(A+2π) = cosA。

tan的周期是π，cot的周期也是π，sec和csc的周期都是2π。

6.三角函数的增减性sin和cot在0到π之间是增函数，cos在0到π之间是减函数；在π到2π之间，sin和cot是减函数，cos是增函数。

定比分点的定义及求解方法

定比分点的定义及求解方法在几何学中，比分点是指将一条线段分成两个比例相等的部分的点。

而定比分点则是指已知线段两端点和比例，求这个比例所对应的点的位置。

定比分点的定义定义一：已知线段AB，C是线段AB的任意一点，比例为m:n，则点D就是线段AB的定比分点，当且仅当AD:BD=m:n。

其中，当m=n=1时，点D是线段AB的中点。

定义二：在平面几何中，如果已知线段AB的长度为d，而且已知点D在线段上，线段在D点分割的比例为m:n，则当且仅当AD:BD=m:n时，D称为线段AB的定比分点。

定比分点的求解方法1.按照比分点的定义直接求解我们可以直接根据定比分点的定义来求解，通过构建等式来解出指定的比例段长度，最终确定定比分点的位置。

比如在定义一中，我们有AD:BD=m:n，因此可以得到AD=m/(m+n)×AB,BD=n/(m+n)×AB。

通过这个公式，我们可以根据已知的数据计算出定比分点的位置。

2.使用向量法求解向量法可以被用来求解定比分点的位置。

首先将线段AB表示为向量a和向量b，那么使向量BD=θa，则向量AD=(1-θ)b。

因此，我们有AD/AB=(1-θ)，BD/AB=θ。

同时由于AD/BD=m/n，我们可以得到m/(m+n)=(1-θ)/θ，解出θ=(n/ (n+m))，从而求出点D的位置。

3.使用相似三角形法求解在图形中，我们可以将三角形ADB与三角形CDF进行相似处理。

因此，我们有AD/AB=DF/CF=m/n，由此得到DF=CF×m/n，那么点D就可以表示为点C向量加上DF×向量AB的一部分。

总结以上就是定比分点的定义及求解方法，当然还有其他的方法可以求解定比分点的位置，比如重心法和割分线法等，根据不同的问题，我们可以使用不同的方法来求解定比分点。

无论是哪一种方法，都需要运用相应的数学知识和技巧，才能确保求解结果的准确性。

定比分点公式的向量形式及应用

定比分点公式的向量形式及应用马洪炎　吴文尧(宁波市北仑中学,浙江　315800) 众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1　定理及其推论定理　(定比分点公式的向量形式)设点P 分P 1P 2的比为λ(即P 1P =λPP 2,λ≠-1),Q 为平面上的任意一点,则QP =11+λQP 1+λ1+λQP 2.证明　∵P 1P =λP P 2,∴QP -QP 1=λ(QP 2-QP ),即(1+λ)QP =QP 1+λQP 2,即QP =11+λQP 1+λ1+λQP 2.推论1　设点P 为■O AB 的边AB 上的点,且AP =m ,P B =n ,则OP =n m +n OA +mm +nOB .推论2　设点P 为■O AB 的边AB 的中点,则OP =12(OA +OB ).推论3　■OAB 中,点P 在直线AB 上的充要条件是:存在实数t ,使OP =t OA +(1-t )OB 成立.推论4　(定比分点公式)在直角坐标平面中,设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P (x ,y ),且点P 分P 1P 2的比为λ(其中λ≠-1),则x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ.2　应用举例2.1证明比例线段关系例1　如图1,在■ABC 中,D ,E 是BC 边的三等分点,D 在B 和E 之间,F 是AC的中点,G 是AB 的中点,设H 是线段D F与EG 的交点,求比值E H ∶HG .分析　要求比值E H ∶HG 的大小,只须得到向量E H 与向量EG 之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底使向量E H 、向量EG 都可用这组基底的线性组合表示,一旦表示成功,则结论也唾手可得了.图1　例1图解　设CB =a ,CA =b ,连结CG ,EF ,由于BE =2EC ,由推论1可知:GE =23GC +13GB=23GC +13(CB -CG )=13CB -CG =13CB -12(CB +CA )=-16a -12b ,即EG =16a +12b ;∵D ,H ,F 三点共线,∴E H =t ED +(1-t )EF=t ED +(1-t )(CF -CE )=t 3a +(1-t )(12b -13a )=2t -13a +1-t 2b .∵EG 与E H 是共线向量,∴16·1-t 2-12·2t -13=0,即t =35,40数学通讯 2007年第24期故E H =25(16a +12b )=25E G ,∴E H ∶H G =2∶3.评注　①由于本题的相关点均“生长”在■ABC 的三边上,所以选择以向量CB =a ,CA =b 作为基底比较合理.②在向量运算过程中,通过合理的运用上述定理的推论,可简化运算过程,甚至可直奔结论.例2　(第23届IMO 试题)已知AC ,CE 是正六边形ABCD EF 的两条对角线,点M ,N 分别内分AC ,CE ,使得AM ∶AC =CN ∶CE =r ,如果B ,M ,N 三点共线,求r 的值.分析　①要求出r 的值,只须得到关于r 的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“B ,M ,N 三点共线”翻译成关于r 的一个方程.②由于B ,M ,N 三点所在直线过顶点B ,因此选择向量B A 、BC 作为基底比较合理,再把向量B M ,B N 用基底表示之,则不难得到关于r 的方程.图2　例2图解　∵AM ∶AC =CN ∶CE =r ,∴AM ∶MC =CN ∶N E =r ∶(1-r ).由推论1可知BM =r BC +(1-r )B A ,B N =r BE +(1-r )BC .∵ABCDEF 是正六边形,∴B E =2(B A +BC ),∴B N =2r (B A +B C )+(1-r )BC=(1+r )B C +2r B A .∵B ,M ,N 共线,∴r ·2r -(1-r )(1+r )=0,解得r =33.评注　由于本题的“情景”与推论1的使用条件非常吻合,因此上述解法通过推论1的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩短了解题的长度.2.2　证明三角形的面积关系例3　如图3所示,已知■AB C 的面积为14cm 2,D ,E 分别是边AB ,BC 上的点,且AD ∶DB =B E ∶EC =2∶1,求■P AC 的面积.分析　由于已知■AB C 的面积,因此要计算■P AC 的面积,只须求这两个三角形的面积比,注意到■ABC 与■P AC 是同底三角形,设直线BP 与AC 交于点Q ,则只须求出点P 分BQ 的比,若选择以向量B A =a ,BC =c 为基底,再把向量BQ ,B P 用基底表示之,则就大功告成了.图3　例3图解　连结BP 并延长交AC 于Q ,设B A=a ,BC =c .∵C ,P ,D 三点共线,∴B P =t BD +(1-t )BC ,又∵BD =13B A =13a ,∴B P =t 3a +(1-t )c .∵A ,P ,E 三点共线,∴B P =λB A +(1-λ)B E ,即B P =λa +2(1-λ)3c .由平面向量基本定理可知t3=λ且1-t =2(1-λ)3,解得λ=17,∴B P =17a +47c .设BQ =μBP =μ7a +4μ7c ,因为A ,Q ,C三点共线,所以μ7+4μ7=1,即μ=75,∴B P =57BQ ,PQ =27BQ ,S ■PAC =27S ■BAC =4cm 2.评注　在用向量方法解决平面几何问题时,除注意基底的合理选择外,还需注意方程412007年第24期数学通讯思想的应用,虽然上述解法操作过程有一定的技巧性,但若在操作过程中始终以方程思想为指导,则思路还是比较自然.2.3证明三点共线问题例4　(2004年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)设O,P是平面上的两个不同的点,四边形AB CD是平行四边形,两条对角线相交于点O,点P不在直线AB关于直线CD 对称的图形上,M,N分别是线段P A,PB的中点,Q是直线MC与直线ND的交点.证明:P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD的选择无关.分析　要证明P,Q,O三点共线,只须证明PO=λPQ,注意到O是AC的中点,即有PO=12(P A+P C)成立,故可选择向量P A,PC为基底,再设法把向量PQ也用基底表示之即可.图4　例4图证明　∵M,N分别是线段PA,PB的中点,∴MN瓛12AB.∵ABCD是平行四边形,∴AB瓛C D,即MN瓛12CD,∴Q C=2MQ,由推论1可知PQ=23PM+13PC=13P A+13P C.又因为O是线段AC的中点,由推论2可知PO=12(P A+PC),所以PQ=23PO,即PQ,PO共线,且PQ=23PO,即P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD 的选择无关.评注　证明三点共线是平面几何中的难点之一,利用平面向量方法证明之的思路自然且易于操作.2.4证明平面几何中的定值问题例5　已知G是■ABC的重心,过点G 任作一条直线l,分别交边AB,AC于点D, E,若AD=x AB,AE=y AC.求证:1x+1y为定值.分析　当点D与点B重合,即x=1时,且E为AC之中点,即y=12,此时1x+1y=3,因此只须证明1x+1y=3即可.所以只须得到关于x,y应满足的方程即可,注意到D,G,E三点共线及G是■ABC的重心,因此可选择以向量AB,AC为基底,由向量AG 的两种不同的表示方法得到此方程.图5　例5图证明　∵D,G,E三点共线,∴AG=λAD+(1-λ)AE=λx AB+(1-λ)y AC,又∵G是■ABC的重心,所以AG=23AF=13AB+13AC,由平面向量基本定理可知λx=13,且(1-λ)y=13,∴1x+1y=3λ+3(1-λ)=3(定值).通过以上各例的解法不难发现,用定比分点公式的向量形式及其推论解决平面几何问题的解题程序如下:1)把平面几何问题转化为平面向量问题;2)合理选择一组基底;3)把问题涉及的向量用基底表示之;4)得到需要的结论并回归到平面几何问题.(收稿日期:2007-09-04)42数学通讯 2007年第24期。

三角函数之三角比总结(全)

二、典型例题【例1】角α的终边与6π的终边关于直线y=x 对称，则α=___________。

（答：Z k k ∈+,23ππ）【例2】若角α是第二象限角，则2α是第_______象限角。

（答：一、三）【例3】已知扇形AOB 的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：2）【例4】已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为______。

（答：137-）【例5】角α是第三、四象限角，m m --=432sin α，则m 的取值范围是____________。

（答：（－1，23））【例6】若0cos cos sin sin =+αααα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号（答：负）【例7】若08<<-θπ，则θθθtan ,cos ,sin 的大小关系为_______________________。

(答：θθθcos sin tan <<)【例8】若α为锐角，则αααtan ,sin ,的大小关系为_______________________。

（答：αααtan sin <<）单位圆：三角形的面积<扇形的面积<直角三角形的面积【例9】函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______________。

（答：)](322,32(Z k k k ∈+-ππππ）三角恒等式一、知识点梳理：§同角三角比的关系和诱导公式1. 同角三角比的关系：倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα商数关系：)0(cos cos sin tan ≠=αααα，)0(sin sin cos cot ≠=αααα 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+解题思想：（1）平方关系一般为隐含条件，直接运用。

定比分点与相似三角形的应用教案

定比分点与相似三角形的应用教案定比分点与相似三角形是中学数学中重要的概念和技巧，其应用广泛，有助于解决与几何图形相关的问题。

本教案旨在帮助学生理解和掌握定比分点与相似三角形的概念，并通过实际问题的应用来加深对这些概念的理解。

教案内容：一、定比分点的概念和性质定比分点是指在一条线段上，根据已知的比例关系将线段分成若干小线段，其中的点就是定比分点。

定比分点具有以下性质：1. 内分点的性质：在一条线段的内部，如果一个点把线段分成了两个部分，其比是给定的比例，那么这个点就是定比分点。

2. 外分点的性质：在一条线段的外部，如果一个点把线段与另一条延长线相交，并且分割出的线段与原线段的比是给定的比例，那么这个点就是定比分点。

二、相似三角形的概念和性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质：两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。

2. 对应边成比例性质：两个相似三角形的对应边的长度之比相等。

3. 高度成比例性质：两个相似三角形的对应高度的长度之比相等。

三、定比分点与相似三角形的应用1. 求解线段分割问题：通过应用定比分点的概念，可以解决线段分割问题，即已知线段的两个端点和分割比例，求解分割点的坐标。

2. 求解相似三角形的边长比例问题：通过应用相似三角形的性质，可以解决已知两个相似三角形的一个边长和对应边长比例，求解另一个三角形的边长问题。

3. 求解相似三角形的高度比例问题：通过应用相似三角形的性质，可以解决已知两个相似三角形的一个边长和对应高度比例，求解另一个三角形的高度问题。

四、实例演练1. 通过实例演练，让学生巩固定比分点和相似三角形的概念和性质，提高解决问题的能力。

2. 给出一些实际问题，引导学生应用定比分点和相似三角形的知识来解答。

3. 使用教学工具或技术，如幻灯片、白板等，来辅助演练过程，使学生更直观地理解和掌握这些概念和技巧。

五、总结与扩展1. 对本节课的内容进行总结，强调定比分点和相似三角形的重要性和应用范围。

三角形中的中点定理与比例定理

三角形中的中点定理与比例定理中点定理和比例定理是三角形中的两个重要定理，它们可以帮助我们研究三角形的性质和特点。

在本文中，我将详细解释这两个定理的含义和应用，并且给出相应的证明。

一、中点定理中点定理的表述如下：连接一个三角形两边的中点，得到的线段平行于第三边且长度为第三边的一半。

具体而言，设三角形ABC的边AB、AC的中点分别为D、E，连接DE，则有DE∥BC，并且DE的长度为BC的一半。

我们来证明这个定理。

首先，连接BD和CE，我们可以得到两个平行四边形ABDC和AECD。

根据平行四边形的性质，我们知道BD和EC的长度分别为AB和AC的一半。

又因为平行四边形的对角线互相平分，所以DE也等于BD和EC的长度，即DE=BD=EC。

综上所述，我们得到了DE∥BC，并且DE的长度为BC的一半，从而证明了中点定理。

中点定理的一个重要应用是在解决三角形相似问题中。

根据中点定理，我们可以知道，如果连接一个三角形两边的中点，并将这两个中点连接起来，得到的线段平行于第三边且长度为第三边的一半。

利用这个性质，我们可以推导出相似三角形的比例关系。

二、比例定理比例定理也被称为三角形内部线段分线定理。

比例定理的表述如下：如果在一个三角形的两边上分别取一点，连接这两个点并延长到第三边上，那么这两个线段的比等于它们对应的两个边的比。

具体而言，设在三角形ABC的边AB和AC上分别取一点D和E，连接DE并延长到BC上交于F，那么有AF/CF=BD/DC。

我们来证明这个定理。

利用梅涅劳斯定理，我们可以得到以下两个比例关系：在三角形ABF中，应用梅涅劳斯定理得到AF/FC=BD/DC；在三角形AEF中，应用梅涅劳斯定理得到AE/EC=BD/DC。

由于三角形ABC的两侧是公共的，我们通过对等式两边都乘以相应的因子，并利用等式的传递性，可以得到AF/CF=BD/DC。

比例定理的一个重要应用是在解决三角形面积问题中。

根据比例定理，我们可以得到在一个三角形内，通过连接两个边上的点并延长到第三边上，可以将三角形分成三个相似的三角形。

巧用面积原理解决三角形中的一类定比分点问题

=
,由 6
1
2
2
CE 1 PD
结论 4 得 t1
=
9 , t2
=
9 , t3
=
. 3
所以
EA
=
, 6 AD
=
1 PE 2 PF 2
, =, =.
9 BE 9 CF 3
例 2 如图 1, P 为 △ABC 内任意一点, 直线
AF
AP, BP, CP 分别交边 BC, CA, AB 于点 D, E, F , 若 =
广东省英德中学 (513000) 陈国宗
一、概述
立体几何是高中数学的重点内容, 也是高考的必考考点之一, 问题的考查形式分为位置关系的证明与相关量的计算, 其中位置关系的证明会直接或间接地影响相关量的计算, 尤其是面面垂直的证明, 然而笔者发现学生对面面垂直的证明得分率偏低, 原因在于学生对面面垂直的证明理解不够深刻, 知其然而不知其所以然, 缺乏具体的证明策略. 为此, 笔者对面面垂直的证明题型进行归纳分类, 结合具体实例揭示出证明面面垂直的本质与细节, 培养学生直观想象与逻辑推理的数学核心素养.
2019 年第 10 期 (上)
中学数学研究
43
巧用面积原理解决三角形中的一类定比分点问题
广东省中山纪念中学 (528454) 邓启龙
三角形中, 有一类常见的定比分点问题.
题目 1 如图 1, P 为 △ABC 内任意一点, 直线
AP, BP, CP 分别交边 BC, CA, AB 于点 D, E, F , 若
AF
BD = 2,
= 3, 则
CE PD PE PF ,,,
分别为多少?

三角形三等分点定理

三角形三等分点定理三角形三等分点定理是几何学中的一个重要定理，它指出：如果在一个三角形的一边上取两个等分点，连接这两个等分点和三角形的另外两个顶点，那么这两条连接线段的交点将把原来的三角形等分为三个面积相等的小三角形。

下面我将用我自己的话来描述这个定理的证明过程。

假设我们有一个三角形ABC，其中AB为底边，C为顶点。

我们在边AB上取两个等分点D和E。

我们分别将点D和E与顶点C连接起来，得到线段CD和CE。

我们要证明的是，线段CD和CE的交点F将把三角形ABC等分为三个面积相等的小三角形。

我们来证明三角形ACD和三角形BCE的面积相等。

根据等分点定理，我们知道AD/DB = AE/EC = 1/2。

根据面积比定理，我们知道三角形ACD的面积与三角形BCE的面积的比值等于AD/DB的平方。

因此，三角形ACD的面积与三角形BCE的面积的比值为(1/2)^2 = 1/4。

由于AD/DB = AE/EC = 1/2，所以三角形ACD和三角形BCE 的面积相等。

接下来，我们来证明三角形ACF和三角形BCF的面积相等。

根据等分点定理，我们知道AD/DB = AE/EC = 1/2。

根据面积比定理，我们知道三角形ACF的面积与三角形BCF的面积的比值等于AD/DB 的平方。

因此，三角形ACF的面积与三角形BCF的面积的比值为(1/2)^2 = 1/4。

由于AD/DB = AE/EC = 1/2，所以三角形ACF和三角形BCF的面积相等。

我们来证明三角形ABF和三角形ACF的面积相等。

根据等分点定理，我们知道AD/DB = AE/EC = 1/2。

根据面积比定理，我们知道三角形ABF的面积与三角形ACF的面积的比值等于AD/DB的平方。

因此，三角形ABF的面积与三角形ACF的面积的比值为(1/2)^2 = 1/4。

由于AD/DB = AE/EC = 1/2，所以三角形ABF和三角形ACF的面积相等。

根据等分点定理，我们可以得出结论：线段CD和CE的交点F将把三角形ABC等分为三个面积相等的小三角形。

三角形的定比分点公式及应用