三角形的定比分点公式及应用

三角形的定比分点公式及应用

河南驻马店 郭新华

本文从有向面积的定义推导出三角形的定比分点公式及其推论，并揭示该公式和梅涅劳斯定理，塞瓦定理，凡·奥贝尔公式以及调和点列公式的内在关系，同时举例说明其应用。 1. 预备知识

定义 三角形的有向面积是指通常所知的面积大小加上正负号。当三个顶点逆时针排列时有向面积为正，反之为负，三点共线时为零。

为简化叙述，约定AB 表示有向线段AB 的数量，ABC ∆表示△ABC 的有向面积。

由定义，△ABC 的有向面积表达式有下列关系：

ABC ∆=BCA ∆=CAB ∆=BAC ∆-=ACB ∆-=CBA ∆-.

对于△ABC 所在平面上任意点P ，AP 的连线交边BC 所在直线于D ，如图1-1，图1-2所示，有

PCA PBC PAB ABC ∆+∆+∆=∆ .

及

AD

PD

ABC PBC =∆∆ 2. 三角形的定比分点公式

设点P 在△ABC 所在平面上，直线AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 所在直线于D ，E ，F ，如图2-1，图2-2所示，则

111

11113

21=+++++λλλ （1） 其中PD AP =1λ，PE BP

=2λ，PF

CP =3λ.

证明：因为

AD PD ABC PBC =∆∆PD AP PD +=1

11

λ+= 类似地 BCA PCA ∆∆211λ+=，CAB PAB ∆∆3

11

λ+=.

所以321111111λλλ+++++=ABC PBC ∆∆+BCA PCA ∆∆+CAB

PAB ∆∆=1 变形1

21113

32211=+++++λλλλ

λλ （2） 变形2 3213212λλλλλλ=+++ （3） 式（1）展开既得式（3）

3 三角形的定比分点公式的推论

如图2-1所示，当点P 在△ABC 内时，321λλλ，，均为正数， 记 321λλλ++=U ，

313221λλλλλλ++=V ， 321λλλ=W .

则有如下推论： 推论1 321λλλ++≥6. 证明：由3211111111λλλ+++++=

≥3

2139

λλλ+++ ⇒321λλλ++≥6. 记为 U ≥6

推论2 321λλλ≥8，记为W ≥8， 由式（3）和推论1可得 推论3

3

2

1

1

1

1

λλλ+

+

≥2

3

证明 由（332211111λλλλλλ+++++）（3

3

2211111λλλλλλ+++++）≥9 ⇒

3

211

11

λλλ++≥2

3

133221λλλλλλ++≥3212

3

λλλ 记为 V ≥2

3W

推论4 313221λλλλλλ++≥）（3212λλλ++

证明 对于任意的正数a ，b ，c ，由熟知的不等式 ）（a c b -+）（b a c -+）（c b a -+≤abc . 令a c b 1+=

λ，b a c 2+=λ，c

b

a 3+=λ， 则有 ）（1-1λ）（1-2λ）（1-3λ≤1

又 1λ，2λ，3λ满足式（1） 将上式展开即得推论4. 记为 U ≥2V

推论5 321λλλ）（321λλλ++≥4）（133221λλλλλλ++

证明 因为（

3

32211111λλλλ

λλ+++++）[）

（）（）（332211111λλλλλλ+++++] ≥2

321）（λλλ++

⇔）

（3212322212λλλλλλ+++++≥2

321）（λλλ++ ⇔）

（3213322212λλλλλλ+++++≥2）（313221λλλλλλ++ ⇔）（）（3212

3212λλλλλλ+++++≥4）（313221λλλλλλ++

⇔321λλλ）（321λλλ++≥2）（313221λλλλλλ++

记为 UW ≥4V 或V 2+2U ≥4V 推论6 1

33

22

11

1

1

λλλλλλ+

+

≤2

3

⑤

证明 令a c b 1+=

λ，b a c 2+=λ，c

b

a 3+=λ，a ，

b ，

c ＞0，则 a)

(c c b ab 1

2

1++=

）（λλ≤）（a c a

c b b 21+++ 类似的

3

21

λλ≤）

（

b

a b

a c c 21+++ 1

31

λλ≤）

（

c

b c

b a a 21+++ 以上三式相加即得推论6.

推论7 6321+++λλλ≥）（1332212λλλλλλ++ 证明 3

322111112λλλλ

λλ+++++=

≥3

212

3213λλλλλλ+++++）

（

⇒ 6321+++λλλ≥）（1332212λλλλλλ++ 推论8 21λλ≥

12

3

+λ，32λλ≥

12

1

+λ，13λλ≥

12

2

+λ.