捕食食饵模型
食饵-捕食者模型
x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.
用相轨线分析
P(d / b, r / a) 点稳定性
(t ) (r ay) x x x(r ay ) 消去dt dx (t ) (d bx) y y dy y (d bx)
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
有稳定平衡点
食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进
• 相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某 一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状. • 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的， 即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.
r/a10
5 0 0 20
P
d/b 40
60
80
100
120
捕食者数量与r成正比, 与a成反比
d 食饵 x 数量 b
d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力
食饵数量与d成正比, 与b成反比
模型 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降， 解释 但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？ 自然环境 P( x , y ) x d / b, y r / a
相互依存
x1 x2 1 (t1 ) r1 x1 x 1 N 1 N , 1 2
x1 x2 1 (t ) r1 x1 x 1 N 1 N , 1 2
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
g ( y) q g m
存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q
几类捕食-食饵模型周期解的存在性与稳定性问题的开题报告
几类捕食-食饵模型周期解的存在性与稳定性问题的开题报告一、选题背景及意义捕食-食饵模型是生态学领域最为经典的研究领域之一，其研究对象是生态系统中的食饵和食肉动物之间的关系。
这种模型的建立可以有效的分析和预测生态系统中的变化，评估人类活动对生态系统的影响。
捕食-食饵模型的研究中存在周期解的存在性和稳定性问题，对此问题的解决可以有效地预测生态系统的变化，制定科学的保护策略，有助于保护地球生态环境，实现可持续发展。
二、选题内容和研究目的本文将以Ricker模型和Lotka-Volterra模型为基础，探讨捕食-食饵模型周期解的存在性和稳定性问题。
具体研究目的包括：1、判断模型的周期解是否存在。
2、分析周期解的稳定性，包括周期解的局部稳定性和全局稳定性。
3、探讨影响周期解稳定性的因素，如参数的变化对周期解的影响。
三、研究方法与预期结果本论文将采用数学建模和分析的方法研究该问题，并通过分析得到如下预期结果：1、在Ricker模型和Lotka-Volterra模型中，周期解的存在性与参数之间的关系。
2、利用线性稳定性分析周期解的局部稳定性。
3、通过Lyapunov函数法或直接算法讨论周期解的全局稳定性。
4、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，以及如何通过人类活动控制环境变化来实现捕食-食饵模型的可持续发展。
四、论文的创新点本文将从周期解的存在性和稳定性角度出发，研究捕食-食饵模型的演化及其稳定性。
创新点主要体现在以下几个方面：1、基于周期解探讨捕食-食饵模型的演化情况。
2、针对周期解的局部和全局稳定性分别进行讨论，比较两种模型间的区别。
3、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，提出有针对性的保护措施。
五、论文的结构文章的结构设计如下：第一章：绪论1.1 选题背景和意义1.2 选题内容和研究目的1.3 研究方法和预期结果1.4 论文创新点1.5 论文结构第二章：相关理论介绍2.1 捕食-食饵模型基本概念2.2 Ricker模型及其分析2.3 Lotka-Volterra模型及其分析第三章：周期解的存在性分析3.1 Ricker模型的周期解3.2 Lotka-Volterra模型的周期解第四章：周期解的稳定性分析4.1 Ricker模型周期解的局部稳定性4.2 Lotka-Volterra模型周期解的局部稳定性4.3 Ricker模型周期解的全局稳定性4.4 Lotka-Volterra模型周期解的全局稳定性第五章：环境变化对周期解稳定性的影响5.1 环境变化的影响机制分析5.2 人类活动对周期解的影响5.3 指导对策第六章：结论6.1 研究成果回顾6.2 不足之处与改进方向6.3 后续研究建议参考文献。
具有空间异质和合作捕食的捕食-食饵模型的正解
具有空间异质和合作捕食的捕食-食饵模型的正解
捕食-食饵模型是生态学中一个重要的概念，被用来描述捕食者和捕食物之间的关系。
在
捕食者和捕食物之间存在着众多相互作用，即捕食者消耗捕食物，捕食物数量的减少会降低捕食者的生存能力。
最近的研究表明，捕食-食饵模型中具有空间异质和合作捕食的有
效性，因此，该模型的正确解也受到了许多关注。
首先，我们将考虑捕食-食饵模型中具有空间异质性的合作捕食。
这意味着，捕食者在一
定范围内是把捕食物分割成不同的区域和类别，从而更加有效地消耗它们。
解决方案必须考虑到地形，土壤和生物多样性等复杂因素，以有效分配捕食者的活动场所，支持有效的合作捕食。
另外，必须考虑捕食者的活动方式和范围，以获得更好的结果。
例如，对于捕食者来说，位置是非常重要的，他们需要将捕食活动尽可能集中到一起，以便更有效地捕食食物。
最后，要解决捕食-食饵模型，还需要考虑捕食者之间的竞争关系，以及捕食物的数量。
捕食的效率受到捕食者的数量的影响，因此，必须考虑捕食者数量的分布情况。
同时，捕食者之间的竞争也会影响捕食率，因此，需要考虑捕食者的行为模式和它们之间的互动关系。
总的来说，捕食-食饵模型的正解必须考虑到空间异质性和合作捕食，同时也要考虑捕食
者的活动范围，捕食者数量和它们之间的竞争关系等因素。
只有把这些因素综合起来考虑，我们才能正确解决捕食-食饵模型。
食饵—捕食者模型稳定性分析00
一、模型假设1.假设捕食者离开食饵无法生存；2.假设大海中资源充足，食饵独立生存时以指数规律增长；3.成年鱼在鱼群中所占比例大致稳定4．无人为捕捞等外加环境干扰二、符号说明x(t) ——成年食饵在时刻t 的数量；y(t ) ——捕食者在时刻t的数量；k——成年鱼所占种群内的比例；N1——大海中能容纳的食饵的最大容量；N 2——大海中能容纳的捕食者的罪的容量;r1——食饵的相对增长率；r 2——捕食者的相对增长率；1——单位数量捕食者（相对于N 2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者 (相对于 N1 )消耗的供养甲实物量的 1 倍；2——单位数量食饵（相对于N1）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者 (相对于 N 2 )消耗的供养食饵实物量的 2 倍；d——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
三、模型建立食用鱼独立生存时按照指数形式增长，且食用鱼的相对增长率为r1，即x rx ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是x(t) 满足方程x (t) x(r ay) rx axy (1)系数 a 反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即y dy ，食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。
设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t ) 满足y (t) y( d bx)dy bxy(2)比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力。
方程 (1) 、(2) 是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，设这里有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。
考虑到种群自身的阻滞作用，在上两式中加入 Logistic 项，即建立以下数学模型：x1(t) r1x1 1 x11x2 N N2 1x2(t) r2x2 1 x1 x22 N N21(3)(4)下面对其平衡点进行稳定性分析：由微分方程 (3) 、 (4)f ( x 1 , x 2 )f ( x 1 , x 2 )r 1x 1 1 x 1 x 2N1 N21r 2 x 2 1 x 1 x 22 N N2 1得到如下平衡点 :P 1(N 1,0) , P 2 (N 1 (1 1) ,N 2(21) ) , P 3 (0,0)1 12 11 2因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时( x 1, x 2 0 ) 才有意义，所以，对 P 2 而言要求 2 >0。
捕食食饵模型的开题报告
捕食食饵模型的开题报告捕食食饵模型的开题报告一、引言捕食食饵模型是生态学中的一个重要概念，用于描述捕食者和食饵之间的相互作用关系。
通过研究捕食食饵模型，我们可以更好地理解物种之间的相互依赖和生态系统的稳定性。
本文将探讨捕食食饵模型的基本原理、应用领域以及未来的研究方向。
二、捕食食饵模型的基本原理捕食食饵模型是基于捕食者和食饵之间的相互作用而建立的数学模型。
其中最著名的模型是Lotka-Volterra模型，也被称为“捕食-食饵模型”。
该模型假设捕食者的数量仅受到食饵的影响，而食饵的数量则受到捕食者的控制。
通过建立捕食者和食饵的增长方程，可以推导出它们的数量随时间的变化规律。
三、捕食食饵模型的应用领域1. 生态系统稳定性研究：捕食食饵模型可以帮助我们了解生态系统中不同物种之间的相互关系，以及它们对生态系统稳定性的影响。
通过模拟捕食者和食饵的数量变化，我们可以预测生态系统的动态变化，从而采取相应的保护措施。
2. 捕食者控制害虫：许多农作物受到害虫的威胁，而捕食者可以帮助控制害虫的数量。
通过建立捕食食饵模型，我们可以研究捕食者和害虫之间的相互作用关系，找到最佳的捕食者引入策略，以降低害虫的数量和农作物损失。
3. 捕食者保护和保护区规划：许多捕食者物种正面临灭绝的威胁，而保护捕食者对于生态系统的平衡至关重要。
通过研究捕食食饵模型，我们可以了解捕食者与食饵之间的相互依赖关系，从而制定更有效的保护措施和保护区规划。
四、捕食食饵模型的未来研究方向1. 考虑环境因素：目前的捕食食饵模型主要关注捕食者和食饵之间的数量变化，而忽略了环境因素对它们的影响。
未来的研究可以将环境因素纳入模型，以更准确地预测物种数量的变化。
2. 多物种相互作用：现有的捕食食饵模型通常只考虑两个物种之间的相互作用，而实际生态系统中存在着多种物种的相互关系。
未来的研究可以将多物种相互作用纳入模型，以更全面地理解生态系统的复杂性。
3. 模型验证和实证研究：目前的捕食食饵模型主要基于理论推导和数学模拟，缺乏实证研究的支持。
几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析
几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析引言：生态学中的食饵-捕食者模型是研究食物链关系的重要工具。
这些模型可以帮助我们理解生态系统中的种群动态变化，而在这些模型中，流行病和饱和发生率是两个关键因素。
本文将展示几种具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型，并对其进行定性分析，以便更好地理解这些模型对于群落和生态系统的影响。
一、Lotka-Volterra模型：传统的Lotka-Volterra模型基于天敌所造成的损失是线性的假设。
在这个模型中，捕食者的数量与饵类的数量成比例，而饵类的数量则受到捕食压力的影响。
然而，这种线性假设没有考虑到生态系统中的流行病和饱和发生率。
二、Holling模型：为了更好地刻画食饵-捕食者之间的相互作用，Holling提出了一个更复杂的模型，该模型考虑了捕食者的饥饿程度和食饵的稀缺程度。
在这个模型中，当食饵数量较少时，捕食者的饥饿程度增加，于是它们会更加积极地捕食食饵，从而导致食饵数量的减少。
当食饵数量增加时，捕食者的饥饿程度减少，它们会减少捕食的频率。
三、Lotka-Volterra-Keeling模型：与传统的Lotka-Volterra模型相比，Lotka-Volterra-Keeling模型考虑了流行病对于食饵和捕食者的影响。
该模型认为，流行病可以减少食饵和捕食者的数量，并通过减少捕食者的机会和提高食饵的感染率来影响捕食者对于食饵的捕食活动。
当流行病流行较为严重时，食饵的数量会迅速下降，从而导致捕食者的饥饿程度增加。
四、捕食者-食饵-病原体模型：在这种模型中，病原体是另一个重要的因素。
捕食者与食饵的相互关系受病原体的传播和影响。
病原体可以通过感染捕食者和食饵来更改它们之间的关系。
例如，当病原体传播给食饵时，它们的数量可能会减少，从而减少了捕食者的食物来源。
同样地，当病原体传播给捕食者时，它们的数量可能会减少，从而减少了对食饵的捕食。
稳定性模型食饵捕食者模型课件
m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况， 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型，用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成， 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性，可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想 环境下，食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示 在没有环境限制的情况下，食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内， 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ，可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整，以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵 和捕食者的死亡率，使模型更符 合实际情况。
食饵为Smith增长的反应扩散捕食者-食饵模型动力学分析
食饵为Smith增长的反应扩散捕食者-食饵模型动力学分析食饵为Smith增长的反应扩散捕食者-食饵模型动力学分析动物世界中常常存在着食饵与捕食者之间的复杂关系。
其中，反应扩散方程是一种被广泛运用在捕食者-食饵模型中的数学模型，可以用来研究食饵种群和捕食者种群之间的相互作用。
本文将通过分析食饵为Smith增长的反应扩散捕食者-食饵模型的动力学特征，探讨这种模型在生物群落的演化中的作用。
反应扩散方程是描述捕食者和食饵之间关系的一种数学方程。
在本模型中，食饵被描述为一种按照Smith增长模型增长的种群，而捕食者被描述为一种以食饵为食物的另一种种群。
模型的基本形式如下：\[\frac{\partial u}{\partial t} = D_u \Delta u +ru(1 - \frac{u}{K}) - \alpha uv\]\[\frac{\partial v}{\partial t} = D_v \Delta v -\beta uv\]在上述方程中，u代表食饵的种群密度，v代表捕食者的种群密度，t代表时间，Du和Dv分别表示食饵和捕食者的扩散系数，r为食饵的增长率，K为食饵种群的承载能力，α表示食饵被捕食后被转化为捕食者的比例，β表示食饵被捕食后导致捕食者死亡的比例。
不同的参数值设置将导致不同的动力学特征。
当θ=0时，反应项便退化为线性项，此时方程变为标准的扩散方程，描述了食饵和捕食者之间的非反馈关系。
而当θ=1时，反应项退化为饱和项，此时方程描述了食饵和捕食者之间的直接相互作用。
当0<θ<1时，反应项同时包含线性项和饱和项，此时方程描述了食饵和捕食者之间的间接相互作用。
首先，我们来探讨当θ=0时，即线性项情况下，模型的动力学特征。
由于这种情况下没有反馈作用，食饵和捕食者之间的相互作用仅仅通过扩散项来传递，模型表现出的特征是扩散过程主导。
食饵和捕食者之间将在空间上形成明显的稳定界面，且界面的波动不会扩散到整个生物群落内。
两类食饵—捕食者模型的稳定性分析
两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。
食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。
在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。
本文将对该模型的稳定性进行分析。
一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。
我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。
模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。
二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。
我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。
三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。
1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。
计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。
具有恐惧效应的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支
具有恐惊效应的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：在生态学探究中，捕食者-食饵模型是一种常见的模型，用于探究捕食者和食饵之间的互相作用。
然而，有些状况下，食饵可能对捕食者具有恐惊效应，即食饵在觉察到捕食者的存在后会缩减其行动活动。
本文通过建立一个具有恐惊效应的捕食者-食饵模型，探讨了模型的稳定性和Hopf分支，以及恐惊效应对模型的影响。
关键词：恐惊效应，捕食者-食饵模型，稳定性，Hopf分支引言：在生态系统中，捕食者和食饵的互相作用对于维持生态平衡起着重要作用。
捕食者通过捕食食饵维持自身的生存，而食饵则通过防止或避开捕食者的攻击来提高自己的存活率。
然而，在一些状况下，食饵可能会遇到捕食者后丢失正常的行动活动，这种现象被称为恐惊效应。
恐惊效应的存在对于生态系统的稳定性以及捕食者-食饵模型的行为产生了重要的影响。
模型表述：我们思量一个简化的捕食者-食饵模型，其中食饵种群的动态由以下方程描述：$\frac{dF}{dt} = rF(1-\frac{F}{K}) - \alpha\frac{F}{P+PL}P$其中，$F$表示食饵种群的数量，$r$为食饵增长率，$K$为食饵种群的环境承载力，$P$表示捕食者种群的数量，$\alpha$是捕食者对食饵的捕食率，$L$代表食饵感知到捕食者的程度。
当$L$为0时，表示食饵没有感知到捕食者的存在；而当$L$较大时，食饵感知到捕食者的存在，会缩减其行动活动。
捕食者种群的动态由以下方程描述：$\frac{dP}{dt} = \beta \frac{F}{P_c + F}P - \gamma P$ 其中，$P$表示捕食者种群的数量，$\beta$是食饵对捕食者的增长率，$P_c$表示捕食者的投放数量，$\gamma$为捕食者的死亡率。
模型分析：为了探究模型的稳定性和Hopf分支，我们起首将模型的动态转化为无量纲形式。
假设$F = Kx$，$P = P_c y$，$t =\frac{1}{r} \tau$，将模型方程进行无量纲化后，可以得到： $\frac{dx}{d\tau} = x(1-x) - \mu \frac{x}{p +pL}y$$\frac{dy}{d\tau} = \frac{x}{p + x}y - y$其中，$\mu = \frac{\alpha K}{r}$，$p =\frac{P_c}{K}$。
几类捕食-食饵模型的稳定性与Hopf分支分析
摘 要在自然界中，很多现象都可以用数学模型来描述,如用于研究种群增长的Logistic模型、描述捕食者与被捕食者生长情形的捕食-食饵模型、研究传染病传播规律的SIR模型等。
同时这些数学模型还可以探讨物理、化学、生物等各学科中的各种系统并取得了广泛应用，其研究的内容和方法是多种多样的。
借助数学模型这一工具，我们能够有效地刻画和描述现实世界中很多事物的发展规律，进而对生产和实践进行理论的指导，其研究结果具有重要的理论和实际意义。
本论文研究了几类具有实际背景的捕食-食饵模型的稳定性和Hopf分支。
首先考虑了一类具时滞的Holling III型的捕食-食饵模型，由特征根分析法来判别正平衡点的局部稳定性；借助Hopf分支定理、中心流形定理和规范型理论来判别Hopf 分支的性质；最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。
其次考察了一类带herd行为的捕食-食饵模型，通过选取适当的参数给出了正平衡点的稳定性；并分别以所选的参数和时滞作为分支参数，用Hopf分支定理，中心流形定理以及规范型理论来判别Hopf分支的性质；最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。
最后讨论了一类具有食饵捕获项的捕食-食饵模型，通过分析特征方程，分别得到了正平衡点的稳定性和分支周期解的存在性和稳定性；应用迭代技巧，得出了扩散模型的唯一正常数平衡态的全局渐近稳定性；最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。
关键词：捕食-食饵模型；Hopf分支；时滞；中心流形定理；规范型理论Stability and Hopf Bifurcation Analysis of SomePredator-Prey ModelsLi Sanyun (Mathematics)Directed by A.P. Zhi Hongyan and Li YanAbstractMany phenomena can be described by mathematical models in the natural sciences and social sciences, such as, the Logistic model for studying population growth, the predatory-prey model for describing the growth of predatory and prey fish, and the SIR model for studying the spread of infectious diseases. At the same time, these mathematical models can also study a variety of issues in physics, chemistry, biology and other disciplines, and the content and methods of their research are varied. By using the mathematical model of this tool, we can effectively describe the development of things in real life, and then can guide the practice of production through the research and application of mathematical models, the research results have important theoretical and practical significance. In this paper, we consider the stability and Hopf bifurcation of some reaction-diffusion predator-prey models.Firstly, a time-delay predator-prey model with Holling III is considered. By analyzing the corresponding characteristic equations, we judge the local stability of the positive equilibrium point. The properties of Hopf bifurcation are given by using Hopf bifurcation theorem, the center manifold theorem and normal form theory.Numerical simulations are carried out to illustrate our results.Next, we investigate a predator-prey model with herd behavior, the stability of the positive equilibrium point is given by choosing the appropriate parameters. The properties ofs and the delay as bifuacation parameter. Hopf bifurcation are obtained by choosingNumerical simulations are carried out to illustrate our results.Finally, we discuss a predator-prey model with prey harvesting. The stability of the positive constant and the existence, stability and bifurcation direction of the periodic solution are obtained respectively by analyzing the corresponding characteristic equations, the global asymptotical stability of positive constant equilibrium of the diffusive model is obtained byiterative technique. Numerical simulations are carried out to illustrate our results. Keywords: predator-prey model; Hopf bifurcation; delay; the center manifold theorem; normal form theory目 录第一章绪论 (1)1.1 课题研究背景和发展状况 (1)1.2 本文的主要工作 (4)第二章具时滞Holling III型的捕食-食饵模型的Hopf分支 (5)2.2 ODE的Hopf分支分析 (6)2.3 PDE的Hopf分支分析 (9)2.4 数值模拟 (12)第三章带Herd行为的捕食-食饵模型的动力学行为 (15)3.1 模型背景 (15)3.2 ODE的Hopf分支分析 (17)3.3 时滞微分方程的分析 (21)3.4 PDE的Hopf分支分析 (23)3.5 时滞PDE的Hopf分支分析 (26)3.6 数值模拟 (29)第四章具食饵捕获项的反应扩散捕食-食饵模型 (34)4.1 模型背景 (34)4.2 ODE的Hopf分支分析 (35)4.3 PDE的Hopf分支分析 (37)4.4 正平衡点的全局渐近稳定性 (42)第五章结论与展望 (48)5.1 主要结论 (48)5.2 展望 (48)参考文献 (49)攻读硕士学位期间取得的学术成果 (52)致谢 (53)iv中国石油大学（华东）硕士学位论文第一章 绪论1.1 课题研究背景和发展状况自然界中的捕食-食饵模型是一类特别重要的种群模型，也是生物数学研究的热门模型之一。
食饵—捕食者模型进一步研究
结果分析与不足：
生物界中经常都会遇到食饵—捕食者模型这种现象，但是很多人在讨论的时候会忽视了自身阻滞作用，尽管Volterra模型可以解释一些现象，但是它作为近似反映现实对象的一个数学模型，比如存在不少局限性，所以我们就考虑了自身阻滞作用的食饵—捕食者模型，就是在Volterra模型中加入考虑自身阻滞作用的Logistic项，虽然这种比Volterra模型好些，但是还是存在些缺点，比如外界对生物的影响等，食饵，鲨鱼初始值的变化使得鲨鱼所占比例在战争中与战争后的变化曲线的周期发生了显著变化。也使得鱼饵与鲨鱼达到最大环境容量的时间及数量放生了显著变化，这符合自然界相互竞争的两种群之间的相互关系，但由于水平所限，没能很好的分析相轨线及参数的影响。
五、问题分析：
该问题的焦点在于；在研究的15年期限内，鲨鱼在鱼的捕获量中所占的比例明显上升而被捕食者（食用鱼）所占比例却呈下降趋势，显然战争使捕鱼量下降，生态系统中总的鱼量增加，食用鱼增加，鲨鱼等也增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加而食用鱼的比例却下降那？据此分析外界的有利因素更有利于强者生存的条件。
六、模型求解：
[t1,x]=ode45('shier1',[0 15],[5 11]);
[t2,y]=ode45('shier2',[0 15],[5 11]);
x1=x(:,1);x2=x(:,2);
x3=x2./(x1+x2);
y1=y(:,1);y2=y(:,2);
y3=y2./(y1+y2);
figure(3)
（5）Matlab运行结果:
若不考虑战争的情况下 ， 随时间的变化
若考虑战争的情况下 ， 随时间的变化
两类带状态依赖脉冲效应的捕食—食饵模型的动力学分析的开题报告
两类带状态依赖脉冲效应的捕食—食饵模型的动力学分析的开题报告一、研究背景捕食—食饵模型是生态系统中常见的模型之一，研究其稳定性和动力学性质有助于我们理解物种之间的相互关系以及生态系统的演化。
在捕食—食饵模型中，食饵数量的变化会影响捕食者的数量，而捕食者的数量又反过来影响食饵的数量。
因此，这种模型存在着带有状态依赖的脉冲效应，即在一定条件下生物种群数量会周期性地增强或减弱，进而对生态系统的稳定性产生影响。
因此，研究带状态依赖脉冲效应的捕食—食饵模型的动力学分析具有极其重要的理论价值和实际应用意义。
二、研究内容本文旨在研究两类带状态依赖脉冲效应的捕食—食饵模型，具体内容包括以下两部分：1.模型建立本文将分别建立两类带状态依赖脉冲效应的捕食—食饵模型，这两种模型分别包括捕食者和食饵种群。
考虑到生态系统的非线性特性以及生物种群之间的相互作用，我们将采用微分方程和差分方程的组合形式来描述模型。
在模型建立过程中我们将引入状态依赖的脉冲函数，模拟捕食—食饵模型中生物种群数量的变化。
2.模型分析在建立模型之后，我们将对其进行动力学分析。
主要包括模型的解的存在性、一致性和稳定性的证明。
其中，通过应用一系列动力学分析方法，比如Lyapunov指数理论、周期解的存在性判据等方法，我们将对模型的定性行为进行分析以及对比两种不同模型的稳定性和动力学特性的差异。
三、研究意义本文研究带状态依赖脉冲效应的捕食—食饵模型，旨在探究生态系统的稳定性和演化机理。
结果具有以下几个方面的意义：1.对生态系统的理解：本文所研究的捕食—食饵模型是典型的生态系统模型，通过对其稳定性和动力学特性的分析，我们可以更加深入地理解生态系统的演化机理；2.对生物保护的管理：生态系统是一类极其复杂的系统，了解生物种群的数量变化规律和调节方式，对制定生态系统保护政策具有重要意义；3.为其他相关研究提供参考数据：本文研究所使用的模型在其他相关研究中也被广泛采用。
洛必达法则的一些应用
洛必达法则的一些应用洛必达法则（Lotka-Volterra equations），也称为捕食-食饵模型，是对生态系统中捕食者和食饵之间相互作用关系的数学描述。
它由阿尔弗雷德·洛特卡（Alfred J. Lotka）和瓦尔特·福尔泰拉（Vito Volterra）于1920年代提出，成为生态学的重要理论基础之一、洛必达法则主要用于揭示生态系统中捕食者和食饵之间相互依赖和相互制约的关系，对生物多样性和生态平衡研究有着重要意义。
dx/dt = αx - βxydy/dt = δxy - γy其中，x表示食饵的种群数量，y表示捕食者的种群数量，t表示时间。
α、β、δ和γ分别表示捕食者对食饵的增长率、食饵被捕食的速率、捕食者的死亡率和食饵的自然增长率。
这个模型假设捕食者和食饵之间不存在其他相互作用。
1.解释捕食者-食饵动态：洛必达法则可以用来解释捕食者和食饵之间的种群动态变化。
当食饵的数量增多时，捕食者的数量也会相应增多；而当捕食者的数量增多时，食饵的数量会减少。
这种反馈机制使得捕食者和食饵之间能够达到一种相对平衡的状态。
2.研究生物多样性：洛必达法则可以用来研究生态系统中不同物种之间的相互作用和竞争关系。
通过观察捕食者和食饵的数量变化，可以了解不同物种对资源的利用和竞争情况，从而揭示生态系统的物种组成和多样性。
3.预测和控制生态系统变化：洛必达法则可以通过数学模拟来预测生态系统的变化趋势。
通过改变模型中的参数值，可以模拟不同环境条件下捕食者和食饵之间的相互作用，进而预测生态系统的稳定性和可持续性。
4.生物害虫防治：洛必达法则在农业害虫防治中有重要应用。
通过研究害虫与天敌（捕食者）之间的相互关系，可以选择合适的天敌进行生物防治，控制害虫数量从而减少农药使用。
5.环境保护和生态恢复：洛必达法则可以用来评估生态系统遭受破坏后的恢复能力。
通过研究捕食者和食饵之间的动态变化，可以了解恢复过程中物种之间的相互关系和依赖程度，从而指导生态恢复工作。
食饵捕食者模型
摘要
自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式： 种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲 为食饵 (Pr ey ) ，种群乙为捕食者 (Pr edator ) ，二者共处组成食饵——捕食者系统 （简称 P P 系统） 。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食 饵——捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻 滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。
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(t ) rx(1 x
其中因子 (1 用，
x ) N
x ) 反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作 N
x 可解释为相对于 N 而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量（设食物 N 总量为 1） 。 当两个种群在同一自然环境中生存时， 考察由于乙消耗同一种有限资源对甲 x 的增长产生的影响，可以合理的在因子 (1 ) 中再减去一项，该项与种群乙的 N
MATLAB 代码为： function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1; xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear; >> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2]; >> [t,x]=ode45('shier',ts,x0); >> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause, >> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性
具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性自然界中的食物链与生态系统中存在着各种捕食者和食物相互作用，其中捕食者-食物模型是研究这种相互作用的重要工具。
在生态学领域，研究者们提出了许多不同类型的模型来描述捕食者与食物之间的关系，其中包括具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型。
在此模型中，B-D功能反应项用于描述捕食者对食物的消耗。
B-D变量代表食物消耗的速率，其中B项表示食物的增长速率，D项表示捕食者对食物的消耗速率。
这个模型的基本形式可以表示为dF/dt = F (B - D), dP/dt = P (D - aB)，其中F和P分别代表食物和捕食者的数量，a则是捕食者对食物的摄食率。
研究者们对这个模型的稳定性提出了广泛的兴趣。
稳定性研究的目的是了解捕食者和食物在系统中长期共存的可能性。
通过研究模型的稳定性，我们可以预测和评估生态系统的稳定性，并提出保护和管理相关物种的建议。
在具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型中，稳定状态可以通过研究系统方程的平衡点来确定。
平衡点是捕食者和食物数量不再变化的点，它是模型的稳定状态。
通过分析平衡点的性质，我们可以了解捕食者和食物种群的长期变化趋势。
在这个模型中，平衡点的稳定性可以通过线性稳定性分析来研究。
线性稳定性分析是通过线性化系统方程来评估平衡点的稳定性。
通过计算平衡点的雅可比矩阵，并求解其特征值，我们可以判断平衡点是稳定的、不稳定的，或者是其他类型的稳定性，例如极限环或者周期解。
具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型的稳定性分析可以分成两种情况：捕食者为自然死亡型或倍增型。
对于自然死亡型的捕食者模型，其稳定性更易判断，因为自然死亡项对稳定性的影响较小。
然而在倍增型捕食者模型中，自然死亡项对稳定性的评估十分重要。
具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型的稳定性对于生态系统的保护和管理具有重要意义。
通过研究模型的稳定性，我们可以预测和评估不同生态系统中的捕食者和食物物种的长期共存潜力。
食饵捕食模型
食饵- 捕食者模型1.模型建立食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量分别记作x ( t), y( t),因为大海中资源丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增长,(相对)增长率为r,即 x = rx,而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小的程度与捕食者数量成正比,于是x( t)满足方程x( t) = x( r - ay) = rx - axy (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力.捕食者离开食饵无法生存,设它独自存在时死亡率为d,即 y = - dy,而食饵的存在为捕食者提供了食物,相当于使捕食者的死亡率降低,且促使其增长.设这种作用与食饵数量成正比,于是y( t)满足y( t) = y( - d + bx) = - dy + bxy (2)比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力.2.模型分析方程(1),(2)没有解析解,我们分两步对这个模型所描述的现象进行分析.首先,利用数学软件求微分方程的数值解,通过对数值结果和图形的观察,猜测它的解析解的构造;然后,从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测.3.模型求解1. 数值解记食饵和捕食者的初始数量分别为x(0) = x0 , y(0) = y0 (3)为求微分方程(1),(2)及初始条件(3)的数值解x( t), y( t) (并作图)及相轨线y( x),设r = 1, d = 0. 5, a = 0. 1, b = 0. 02, x0 = 25, y0 = 2,用M A T L A B 软件求解如下：M文件function xdot=sheir(t,x)r=1;d=;a=;b=;xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; >> ts=0::15>> x0=[25,2]>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]>>plot (t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,4.结果分析x( t), y( t)是周期函数,与此相应地, 相轨线y( x)是封闭曲线,从数值解近似地定出周期为10. 7, x 的最大、最小值分别为99. 3 和2. 0, y 的最大最小值分别为28. 4 和2. 0,并且用数值积分容易算出x( t), y( t)在一个周期的平均值为x = 25, y =10。
捕食食饵模型
生物模型:设生物群体的数量N 是时间t 连续函数. 物种捕食模型: 捕食者P 的存在依赖于被捕食者的存在, 增长率由于被捕食者N 的存在而增大, 没有被捕食者时将自然趋向死亡. 被捕食者N 的增长率由于捕食者P 的存在而减少, 模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=P N c r tN P c r t N p n )(d dP )(d d 21 (12) 其中 21,,,c c r r p n >0是常数. 相空间为N ≥0, P ≥0, 奇点有两个, (0, 0) 和 (N *, P *) = )/,/(12c r c r n p , 当N , P 不等于零时, 轨道方程可由方程的两式消去d t 而得变量分离方程;0d d d d 12=-+-PP r P c N N r N c n p (13) 从点(N *, P *)积分到点(N , P )得C P P P P r N N N N r P N H n p =--+--=]*ln )1*[(]*ln )1*[(:),( (14) 由不等式 0ln 1:)(≥--=x x x f , 对任意x >0恒成立, 且当x 1≠ 时, 0)(>x f , )(x f 在),1[∞上从零严格单调增加到无穷大. )(x f 在]1,0(上从无穷大严格单调减少到零. 因此, ),(P N H 关于(N *,P *)点是定正函数, 且在从(N *,P *)点出发的任一射线上随着与(N *,P *)点的距离增加而从零严格单调增加至无穷大. 因此对于任一 C > 0, 轨道方程(14)表示一条闭轨, 对应于方程的周期解. 设其周期为T =T (C ), 我们可以证明在闭轨上N , P 的平均值分别为N *, P *.证: ⎰⎰⎰==--=-0d 1)(d *)(d )*(220PP c P r N c P N N t N N p T, 同理可证另一个关系式.MATLAB 中解常微分方程(组)的程序ode45的用法:[T,Y] = ODE45(@Fun,TSPAN,Y0)% TSPAN = [T0 TFINAL] 解的定义区间(行向量)% Y0 初始条件Y(0)=Y0, Y0是行向量% Fun 是一个函数名, 其函数值是(列)向量场, 即微分方程dY/dt=F(t,Y) 的右边.% 输出T 是一个列向量, 其分量T(k)为自变量的值, Y是矩阵Y(:,k) 是解的第k个分量在T的值，% 若取TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL] . 则将得到解在指定的时刻T0, T1, ..., TFINAL 的值例: 要求解(12) ,可编程序如下:设方程中各常数都等于1, 初始条件为N(0)=1, P(0)=2; 解的定义区间为[0,8], 则微分方程函数子程序为function dydt=bushi(t,y) % 不显含t时，也要加上tdydt=zeros(2,1); dydt(1)=(1-y(2))*y(1); dydt(2)=(-1+y(1))*y(2);主程序为y0=[1 2]; tspan=[0 6.7];[T,y]=ode45(@bushi, tspan, y0);plot(y(:,1), y(:,2));上图是运行程序后的轨道图。
捕食模型(生物数学)
捕食模型（食饵捕食模型，生物数学重要模型）假设及建立模型：假设一个生态系统，其中含有两种生物 A 生物和B 生物，其中A 生物是捕食者，B 生物是被捕食者。
建立捕食数学模型1) 在观测数据（DATA1）无误差的情况下，确定模型中的参数，并分析误差。
2) 在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2和DATA3，确定参数在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。
3) 假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。
通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。
观测数据的格式依次为：观测时刻jt 、A 生物数目)(j t x 、B 生物数目)(j t y对于生态系统中的两种生物A 和B ，A 生物为捕食者，B 生物为被捕食者。
在某一段时期内，A 生物的数量与B 生物的数量之间存在一定的关系。
根据已知条件，可将（15）式改写为如下形式：12()dxx y dtαα=+ （1）34()dyy x dtαα=+ （2）0506()()x t y t αα=⎧⎨=⎩其中()16k k α≤≤为模型的待定参数。
进行变换可得：3412()()y x dy dx x y αααα+=+ （3）3412()()dx x dy y y xαααα++=即 （4）积分得：10203040ln ln )()(ln ln )()0y y y y x x x x αααα-+-+-+-=（可将上述表达式改写成n 元齐次线性方程组的形式，如下所示：m n A 0α⨯= （5）上述n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n 。
我们首先用DATA1中的3组数据确定，，，，4321a a a a 程序 clearA=zeros(3,4);A(1,1)=log(0.1374480266382216 /60); A(1,2)= 60-0.1374480266382216; A(1,3)=-log(11.750840650304518 /10); A(1,4)=10-11.750840650304518 ; A(2,1)=log(7.108705996120129/60);A(2,2)= 7.108705996120129-60; A(2,3)=-log(3.4133367257849176 /10); A(2,4)=10-3.4133367257849176; A(3,1)=log(0.4251595082899424/60); A(3,2)= 0.4251595082899424-60; A(3,3)=-log(20.80921881438798/10); A(3,4)=10-20.80921881438798 ;r=rank(A); % rank(A)=r<n 时,该方程有无穷多个解,求它的一个基本解 y=null(A, r )表1 )41(a '≤≤k k 的值'1a '2a'3a '4a-0.0478 -0.0042-0.99250.11253314140000222222(ln ln )ln ln y y y x x y x x αααααααααααα=+---++ （28）如设：31400000222(ln ln )y y x x αααβααα=+--，112αβα=-，422αβα=，332αβα=，1x =ln y ，2x =x ，3ln x x =，则（28）式可以写为如下形式；0112233y x x x ββββ=+++（29）对于（29）式中因变量y 是自变量{}123x x x x =的线性函数。
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生物模型:设生物群体的数量N 是时间t 连续函数. 物种捕食模型: 捕食者P 的存在依赖于被捕食者的存在, 增长率由于被捕食者N 的存在而增大, 没有被捕食者时将自然趋向死亡. 被捕食者N 的增长率由于捕食者P 的存在而减少, 模型为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=P N c r t
N P c r t N p n )(d dP )(d d 21 (12) 其中 21,,,c c r r p n >0是常数. 相空间为N ≥0, P ≥0, 奇点有两个, (0, 0) 和 (N *, P *) = )/,/(12c r c r n p , 当N , P 不等于零时, 轨道方程可由方程的两式消去d t 而得变量分离方程;
0d d d d 12=-+-P
P r P c N N r N c n p (13) 从点(N *, P *)积分到点(N , P )得
C P P P P r N N N N r P N H n p =--+--=]*
ln )1*[(]*ln )1*[(:),( (14) 由不等式 0ln 1:)(≥--=x x x f , 对任意x >0恒成立, 且当x 1≠ 时, 0)(>x f , )(x f 在),1[∞上从零严格单调增加到无穷大. )(x f 在]1,0(上从无穷大严格单调减少到零. 因此, ),(P N H 关于(N *,P *)点是定正函数, 且在从(N *,P *)点出发的任一射线上随着与(N *,P *)点的距离增加而从零严格单调增加至无穷大. 因此对于任一 C > 0, 轨道方程(14)表示一条闭轨, 对应于方程的周期解. 设其周期为T =T (C ), 我们可以证明在闭轨上N , P 的平均值分别为N *, P *.
证: ⎰⎰⎰==--=-0d 1)(d *)
(d )*(220P
P c P r N c P N N t N N p T
, 同理可证另一个关系式.
MATLAB 中解常微分方程(组)的程序ode45的用法:
[T,Y] = ODE45(@Fun,TSPAN,Y0)
% TSPAN = [T0 TFINAL] 解的定义区间(行向量)
% Y0 初始条件Y(0)=Y0, Y0是行向量
% Fun 是一个函数名, 其函数值是(列)向量场, 即微分方程dY/dt=F(t,Y) 的右边.
% 输出T 是一个列向量, 其分量T(k)为自变量的值, Y是矩阵Y(:,k) 是解的第k个分量在T的值，
% 若取TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL] . 则将得到解在指定的时刻T0, T1, ..., TFINAL 的值
例: 要求解(12) ,可编程序如下:
设方程中各常数都等于1, 初始条件为N(0)=1, P(0)=2; 解的定义区间为[0,8], 则微分方程函数子程序为
function dydt=bushi(t,y) % 不显含t时，也要加上t
dydt=zeros(2,1); dydt(1)=(1-y(2))*y(1); dydt(2)=(-1+y(1))*y(2);
主程序为
y0=[1 2]; tspan=[0 6.7];
[T,y]=ode45(@bushi, tspan, y0);
plot(y(:,1), y(:,2));
上图是运行程序后的轨道图。