高中数学试卷必修二基础100题

高中数学试卷必修二基础50题

一、单选题（共15题；共30分）

1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A. ①是棱台

B. ②是圆台

C. ③不是棱锥

D. ④是棱柱

2.直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为（）

A. y＝－2x＋1

B. y＝2x－1

C. y＝－2x－1

D. y＝－x－1

3.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )

A. B. C. D.

4.若点到直线的距离为1，则的值为（）

A. B. C. 或 D. 或

5.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）

A. 1：2,

B. 1：4,

C. 1：8,

D. 1：16。

6.已知直线，则直线l的倾斜角为（）

A. B. C. D.

7.如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b（）

A. 共面

B. 平行

C. 异面

D. 平行或异面

8.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）

A. 棱台

B. 棱锥

C. 棱柱

D. 都不对

9.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

10.已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，则tanθ=（）

A. B. 3 C. ﹣3 D.

11.已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积是（）

A. B. C. D.

12.椭圆x2+4y2=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为（）

A. x﹣2y=0

B. x+2y﹣8=0

C. 2x+3y﹣14=0

D. x+2y﹣4=0

13.在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，，下列判断正确的是（）

A. 若∥，∥，则∥

B. 若，，则∥

C. 若，∥，则

D. 若，，∥，则∥

14.在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）

A. 5

B. 8

C. 10

D. 6

15.若两直线，的斜率分别是，，倾角分别是，，且满足，则（）

A. B. C. D.

二、填空题（共20题；共24分）

16.曲线在点处的切线方程为________．

17.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的的值________．

18.圆台的两底面半径分别为和，母线长是，则它的轴截面面积为________．

19.已知点P是圆C: 上任意一点，点P关于直线的对称点也在圆C上，则实数a=________.

20.把边长为的正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积的大小等于________

21.已知直线与圆交于两点，若，则________.

22.若三点共线，则实数的值为________．

23.若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________.

24.空间坐标系中，给定两点A 、B ，满足条件|PA|=|PB|的动点P的轨迹方程是

________．（即P点的坐标x、y、z间的关系式）

25.若直线l1：（a+2）x+（a﹣1）y+8=0与直线l2：（a﹣3）x+（a+2）y﹣7=0垂直，那么a的值为________．

26.过点（1，2）且与直线平行的直线方程是________.

27.我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长________尺.（注：1丈等于10尺）

28.若经过点（3，a）、（﹣2，0）的直线与经过点（3，﹣4）且斜率为的直线垂直，则a的值为________

29.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，

，则球的表面积为________.

30.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是________ cm3，该几何体的表面积是________ cm2．

31.a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．

① ?a∥b；② ?a∥b；③ ?α∥β；

④ ?α∥β；⑤ ?a∥α；⑥ ?a∥α，

其中正确的命题是________．(填序号)

32.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAB垂直于底面ABC，△ABC与△PAB都是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为________.

33.若两直线ax+by+4=0与（a﹣1）x+y+b=0垂直相交于点（0，m），则a+b+m=________．

34.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．

35.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．

三、解答题（共15题；共135分）

36.如图，在三棱锥中，,平面平面分别为

中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

37.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．

（1）AD边所在直线的方程；

（2）矩形ABCD外接圆的方程．

38.已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积和体积.

39.如图，四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若，

，

（1）求证：；

（2）若，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

40.直线l过点P(2，－3)且与过点M(－1,2)，N(5,2)的直线垂直，求直线l的方程.

41.直角坐标系和极坐标系的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）。

（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求的面积；（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），求曲线C与直线的交点坐

标。

42.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．判断直线A1B与平面ADC1的关系．

43.已知△ABC的顶点为．

（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；

（2）求AB边上的高所在的直线方程．

44.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD ．求证：

（1）求证：PA∥平面BDE；

（2）求证：平面PAC⊥平面BDE.

45.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：

（1）E、C、D1、F、四点共面；

（2）CE、D1F、DA三线共点．

46.在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．

（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；

（2）若BD= D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．

47.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC, 点D是AB的中点.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；

（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；

（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1？

48.已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；

（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）求线段AB长度的最小值．

49.在所有棱长都为的三棱柱中，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的正切值.

50.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD= ，PB=

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】B

12.【答案】B

13.【答案】C

14.【答案】B

15.【答案】C

二、填空题

16.【答案】x-y+1=0

17.【答案】3

18.【答案】63

19.【答案】-10

20.【答案】

21.【答案】

22.【答案】

23.【答案】3

24.【答案】

25.【答案】±2

26.【答案】

27.【答案】37

28.【答案】﹣10

29.【答案】

30.【答案】6；

31.【答案】①④

32.【答案】

33.【答案】2或﹣1

34.【答案】3

35.【答案】三棱锥(四面体)

三、解答题

36.【答案】（1）证明：因为分别为中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）证明：因为为中点，

所以，

又平面平面，平面平面，平面，故平面，

因为平面，

所以．

因为，

因此．

因为平面，

所以平面，

又平面，

所以平面平面．

37.【答案】（1）解：AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，

∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，

∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），3x+y+2=0．

（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），

∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．

∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．

38.【答案】解：如图所示，

由等边三角形的面积计算公式可得：．

四面体的表面积为．

设为的中心，延长交于点，连接，，则底面，为的中点．

，，

．

39.【答案】（1）解：∵，，

∴

即，．

∵平面ABCD，平面ABCD

∴，又．

∴平面PAD

∵平面PAD，∴．

（2）解：过B作于H，连接PH

∵平面ABCD，平面ABCD

∴

又∵，

∴平面PCD

∴直线PB与平面PCD所成的角

易求，

又∵，，∴

易证：，∴

∴

∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

40.【答案】解:与过点M(－1,2)，N(5,2)的直线垂直，过M，N两点的直线斜率k＝0，故直线l的斜率不存在，故直线l的方程为x＝2。

过M，N两点的直线斜率k＝0，

∴直线l与直线MN垂直，

∴直线l的斜率不存在．

又直线l过点P(2，－3)，

∴直线l的方程为x＝2.

41.【答案】（1）解：曲线C在直角坐标系下的普通方程为＋＝1，将其化为极坐标方程为

分别代入θ＝和θ＝－，得|OA|2＝|OB|2＝，

因∠AOB＝，故△AOB的面积S＝|OA||OB|＝

（2）解：将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得(t－2 )2＝0，

∴t＝2 ，代入l的参数方程，得x＝2 ，y＝，

所以曲线C与直线l的交点坐标为(2 ，)

42.【答案】证明：如图，连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，连接FD，

因为D是BC的中点，所以DF∥A1B.

又平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1

43.【答案】（1）解：∵△ABC的顶点为．

BC边上的中线方程为.

（2）解：

∴AB边上的高所在的直线方程为：，即．44.【答案】（1）解：设AC BD＝O，连结OE，

因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，

又因为点E是PC的中点，

所以AP//OE，又因为OE?平面BDE，AP?平面BDE，

所以AP//平面BDE.

（2）解：因为平面PBC⊥平面ABCD，PC⊥BC，

平面PBC 平面ABCD＝BC，PC?平面PBC，

所以PC⊥平面ABCD

又BD?平面ABCD，所以PC⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又PC⊥BD，AC PC＝C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC

又BDì平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.

45.【答案】（1）解：如图，

连结EF，CD1，A1B．

∵E、F分别是AB、AA1的中点，

∴EF∥BA1．

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面

（2）解：∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE 平面ABCD，

得P∈平面ABCD．

同理P∈平面ADD1A1．

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA．∴CE，D1F，DA三线共点

46.【答案】（1）证明：因为AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，

所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，

于是A1B=A1D

设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD

又ABCD是菱形，所以AC⊥BD

而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC

而BD?平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC

（2）解：由A1B=A1D及，知A1B⊥A1D

又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°

于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD

得A1O⊥底面ABCD

如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），

，

设平面B1BD的一个法向量为，由得，

令x=1，得

平面A1BD的一个法向量为，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，

则

解得θ=45°，

故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．

47.【答案】（Ⅰ）证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1, ∵AC＝BC，点D是AB 的中点，∴CD⊥AB, 面ABC 面A1ABB1＝AB ∴CD⊥平面A1ABB1

（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE∥AC1

∵DE 平面CDB 1 , AC1平面CDB1, ∴AC1∥平面CDB1

（Ⅲ）存在点M为B. 由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB，又A1B 平面A1ABB，∴CD⊥A1B

∵AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．

∴A 1A : AB＝BD : BB1＝1: , ∴A1B⊥B1D, 又CD B1D＝D, ∴A1B⊥平面CDB1

48.【答案】（1）解：由题可知，圆M的半径，设，

因为PA是圆M的一条切线，所以，

所以，

解得或，

所以点P的坐标为或

（2）解：设，因为，

所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，

其方程为，

即，

由，

解得或，

所以圆过定点，

（3）解：因为圆N方程为，

即①

又圆②

①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为

．

点到直线AB的距离，

所以相交弦长

，

所以当时，AB有最小值

49.【答案】（1）证明：取BC中点D，由题设得均为等边三角形，

，

（2）解：又所以三角形为等边三角形. 取中点，得

又，，作连可得

为二面角的平面角，

50.【答案】解：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OB，∵PAD是边长为2的正三角形，∴

，

∵，

∴OB2+OP2=PB2，则OP⊥OB，

∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，

又OP?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）解：连接AC交BD于E，连接QE，

∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QE，

又E为AC的中点，∴Q为PC的中点．

以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（0，2，0），D（﹣1，0，0），Q（﹣1，1，）．

．

设平面BDQ的一个法向量为．

由，得，取z=2 ，得．

由图可知，平面ABD的一个法向量．

∴cos＜＞= = ．

∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为．

高中数学试卷必修二基础50题

一、单选题（共15题；共30分）

1.用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）.

A. 8

B.

C.

D.

2.直线关于y轴对称的直线方程为( )

A. B. C. D.

3.双曲线的渐近线的斜率是( )

A. B. C. D.

4.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( )

A. B. C. 或 D. 或

5.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，

，则球的体积与三棱锥体积之比是（）

A. B. C. D.

6.函数在点处切线的斜率为（）

A. B. C. D.

7.关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（）

A. m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

B. m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

C. m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n

D. m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

8.某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为( )

A. B. C. D. 1

9.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）

A. 只有一个

B. 至少有一个

C. 可能没有

D. 有无数个

10.已知直线l1:(m-1)x+2y-1=0,l2:mx-y+3=0 若，则m的值为（）

A. 2.

B. -1

C. 2或-1

D.

11.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（）

A. B. C. D.

12.已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（）

A. B. C. D.

13.设l、m是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题：

①l//m,m a,则l//a ；② l//a,m//a 则l//m；③a丄β，l a，则l丄β；④l丄a，m丄a,则l//m. 其中正确的命题的个数是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

14.有垂直于同一平面的两条直线（）

A. 平行

B. 垂直

C. 相交

D. 异面

15.已知直线的方程为()，则直线的倾斜角为（）

A. B. C. D. 与b有关

二、填空题（共20题；共24分）

16.若函数在点处的切线与直线垂直，则实数________.

17.一个个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．

18.底面半径为2 ，母线长为4的圆锥的体积为________．

19.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________

20.两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．

21.已知圆的方程为，则圆上的点到直线的距离的最小值为________．

22.直线的斜率为________；倾斜角为________.

23.如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形，若AB=4，则四面体ABCD 外接球的表面积为________．

24.若A（1，3，-2）、B（-2，3，2），则A、B两点间的距离为________．

25.已知直线l1：x+my﹣2=0，l2：mx+y+1=0，若l1⊥l2，则m=________．

26.已知直线l经过点和点，若点（）在直线l上移动且在第一象限内，则的最大值为________

27.正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为________.

28.过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为________．

29.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．

30.已知一个三棱锥的体积和表面积分别为V，S，若V=2，S=3，则该三棱锥内切球的表面积是________．

31.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为________，表面积为________.