椭圆微专题903-焦半径
椭圆的焦半径公式推导过程
椭圆的焦半径公式推导过程1. 椭圆的基本概念在我们生活的这个世界里，椭圆可谓是一个神奇的存在。
它看似普通，却在许多地方都能找到它的身影。
比如，你吃的蛋糕，光滑的乒乓球，甚至宇宙中的行星轨道，椭圆都悄然无声地发挥着作用。
说到椭圆，大家可能会想到它的两个焦点，哎，这两个小家伙可不简单，它们可是椭圆的灵魂所在！没错，焦点是椭圆的“心脏”，离它们越近，你的“焦半径”就越短。
那么，今天我们就来聊聊这个焦半径的公式，看看它是如何从椭圆的基本特性中推导出来的。
1.1 椭圆的标准方程首先，得给大家科普一下椭圆的标准方程。
一般来说，椭圆的方程是这样的：(frac{x^2{a^2 + frac{y^2{b^2 = 1)。
你可能会问，这两个字母是什么呢？简单来说，(a) 是长半轴的长度，(b) 是短半轴的长度。
记住，(a > b)哦！这样一来，椭圆的“体型”就出来了，长的像个西瓜，短的像个橙子，这真是个“瓜果类”好比喻。
1.2 焦点的位置椭圆有两个焦点，分别叫做 (F_1) 和 (F_2)。
它们的位置可不是随便的，咱们可以用一个公式来找到它们。
根据定义，焦点距离椭圆中心的距离 (c) 可以用公式 (c =sqrt{a^2 b^2) 来计算。
所以，焦点的坐标就是 ((c, 0)) 和 ((c, 0))。
这就好比你在玩迷藏，焦点们总是躲在中心点的旁边，离得不远，但又不容易被发现。
2. 焦半径的概念说到焦半径，听上去有点高大上的样子，但其实它就是从椭圆的一个点到两个焦点之间的距离。
想象一下，如果你在椭圆上跑步，焦半径就像你手边的两个小伙伴，随时可以“打招呼”。
对于任意椭圆上的一点 (P(x, y))，它到两个焦点的距离分别是 (PF_1) 和(PF_2)。
2.1 焦半径的公式推导接下来，我们要推导一下焦半径的公式。
哎，这个过程可能会稍微复杂一点，但别担心，我会尽量简单易懂。
根据距离公式，我们可以写出：PF_1 = sqrt{(x + c)^2 + y^2。
专题椭圆中焦半径与角度关系讲义-高三数学一轮复习(1)
专题 椭圆中焦半径与角度关系知识点梳理1.平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程222c b a += 离心率：221ab ac e -== 经典结论及其证明已知椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左右焦点分别为21,F F ，若θ=∠21F AF如图：则推论一：θcos 21⋅-=c a b AF ，θcos 21⋅+=c a b BF ，θ2222cos 2⋅-=c a ab AB 推论二：211211ba BF AF =+（大题中经常运用，可利用下面证明方法） 推论三：11111cos 2+-+=⇒+-=⋅λλλλθk e e ，其中)2(tan ,11πθθλ≠==k BF AF 证明过程如下：（大题中可利用如下过程）推论一：在21F AF ∆中，由余弦定理：即211221)2(cos 44AF a AF c c AF -=⋅-+θ 整理得：θcos 21⋅-=c a b AF 同理可得：θcos 21⋅+=c a b BF 则θ222211cos 2⋅-=+=c a ab BF AF AB 推论二：222112cos cos 11ba b c a b c a BF AF =⋅++⋅-=+θθ（利用推论一） 推论三： 因为)2(tan ,11πθθλ≠==k BF AF ，θcos 21⋅-=c a b AF ，θcos 21⋅+=c a b BF 则θλλθλλθθθλcos )1()1cos cos cos cos 11⋅⋅+-=-⇒⋅-=⋅+⇒⋅-⋅+==c a c a c a c a c a BF AF （ 即11cos +-=⋅λλθe ，两边同时平方222)11(cos +-=⋅λλθe 即2222222)11)(1()11)(tan 1()11(cos 1+-+=+-+=+-⋅=λλλλθλλθk e 所以1112+-+=λλk e 注意：以上θ钝角锐角都适用。
(完整版)椭圆焦半径公式及应用面面观
椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。
一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。
P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。
（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF 1|=22)(y c x ++ (1) 从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -= (2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x ac a +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a c a - (-a ≤x ≤a)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=a c ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】 依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac 2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x a c a r x a c a r 21 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=ca 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4． 设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。
焦半径公式 椭圆
焦半径公式椭圆
当抛物线方程为 y^2=2px(p\ue0) (开口向右) 时，焦半径r=x+p/2 (其中x为在抛物线上的横坐标，p为焦准距)，利用抛物线第二定义求。
至于抛物线开口方向为其他三个方向时，利用抛物线第二定义求同理可求。
如果焦点不在坐标轴上，只需要将x进行相应平移即可，p不变。
圆锥曲线上任意一点m与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。
焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。
过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。
有关结论
a（x1，y1），b（x2，y2），a，b在抛物线y1=2px上，则有：
② 焦点弦长：|ab| = x1+x2+p = 2p/[（sinθ）1]=（x1+x2）/2+p。
③ （1/|fa|）+（1/|fb|）= 2/p；（其中长的一条长度为p/（1-cosθ），短的一条长度为p/（1+cosθ））。
④若oa横向ob则ab过定点m（2p，0）。
椭圆和双曲线的焦半径公式
椭圆和双曲线的焦半径公式椭圆和双曲线的焦半径公式是数学中的重要公式，它们可以用来计算椭圆和双曲线的焦点到中心的距离。
下面我们来详细介绍这两个公式的推导过程。
一、椭圆的焦半径公式椭圆是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，长轴长度为2a，短轴长度为2b。
则椭圆的焦半径公式为：r = √(a^2 - b^2)其中，r表示椭圆的焦半径。
推导过程如下：1. 根据椭圆的定义，可以得到以下两个方程：PF1 + PF2 = 2aPF1PF2 = 4b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。
2. 将PF1和PF2表示成坐标形式，设点P的坐标为(x,y)，焦点F1的坐标为(-c,0)，焦点F2的坐标为(c,0)（其中，c为椭圆的离心率），则有：PF1 = √[(x + c)^2 + y^2]PF2 = √[(x - c)^2 + y^2]3. 将PF1和PF2代入第一个方程中，得到：√[(x + c)^2 + y^2] + √[(x - c)^2 + y^2] = 2a4. 对上式两边平方，化简得：x^2 + y^2 = a^2 - c^25. 将c表示成a和b的形式，即c = √(a^2 - b^2)，代入上式中，得到：x^2 + y^2 = b^2这是一个标准的椭圆方程，中心在原点，长轴为2b，短轴为2a。
6. 由于椭圆的焦半径r等于焦点到中心的距离，因此有：r = √(c^2 + b^2) = √(a^2 - b^2)这就是椭圆的焦半径公式。
二、双曲线的焦半径公式双曲线是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
设双曲线的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，焦距为2c。
则双曲线的焦半径公式为：r = √(c^2 + b^2)其中，b表示双曲线的半轴长度。
推导过程如下：1. 根据双曲线的定义，可以得到以下两个方程：PF1 - PF2 = 2aPF1PF2 = -b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。
【精选】椭圆焦半径公式的证明和应用
椭圆焦半径公式的证明及巧用2008年08月31日星期日 21:56命题：证明：说明：巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。
一、用于求离心率例分析：所以，所以。
二、用于求椭圆离心率的取值范围例分析：由得故，即，又。
所以。
三、用于求焦半径的取值范围例分析：所以。
四、用于求两焦半径之积例分析：由知，所以的最小值为，最大值为。
五、用于求三角形的面积例分析：。
由余弦定理得。
解得所以六、用于求点的坐标例分析：及得，解得所以。
七、用于证明定值问题例分析：化简得所以为定值。
八、用于求角的大小例分析：所以所以。
九、用于求线段的比。
例分析：由两式相减并化简得。
所以。
所以。
令，则，故所以，所以。
如图设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，，消去得，。
不妨设，由成等差数列得，即。
易知易知的最值不妨设为椭圆的左焦点，而，则。
故。
设的坐标为，则如图，连，则，由焦半径公式得，即。
若椭圆的焦点在轴上，则有。
我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。
如图1，椭圆的准线方程为和。
由椭圆的第二定义得，化简即得1如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。
2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。
3若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。
4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。
5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。
6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。
由，，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。
，8 如图3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。
9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。
4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。
AB的垂直平行线方程为N的坐标为若椭圆的焦点为。
椭圆中焦半径
椭圆中焦半径1. 椭圆的定义和性质椭圆是平面上的一个几何图形，它是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的性质有很多，其中一个重要的性质是椭圆的焦点与椭圆中心之间的距离等于椭圆的长半轴的长度。
2. 椭圆的方程椭圆的方程可以表示为：其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
根据椭圆的性质，椭圆的焦点到椭圆中心的距离等于椭圆的长半轴的长度，即：其中，c是椭圆的焦半径。
3. 椭圆中焦半径的计算方法椭圆中焦半径的计算方法可以通过椭圆的方程来推导。
首先，根据椭圆的方程，我们可以得到：然后，我们可以将焦点的坐标表示为(-c, 0)和(c, 0)，其中c是椭圆的焦半径。
将焦点的坐标代入椭圆的方程中，可以得到：化简上式，可以得到：这正是椭圆的焦半径的计算公式。
4. 椭圆中焦半径的应用椭圆中焦半径的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用场景：4.1 天文学在天文学中，椭圆轨道是行星和其他天体运动的基本形式之一。
椭圆中焦半径的计算可以帮助天文学家确定行星轨道的形状和特征。
例如，根据椭圆中焦半径，我们可以计算出行星到太阳的平均距离，从而更好地了解行星的运动规律。
4.2 工程设计在工程设计中，椭圆常常被用于设计椭圆形的建筑物，如体育场馆和剧院。
椭圆形的设计能够提供更好的视觉效果和声学效果。
椭圆中焦半径的计算可以帮助工程师确定建筑物的尺寸和形状，从而实现预期的效果。
4.3 椭圆轨道的运动在物理学中，椭圆轨道是一个重要的概念。
例如，地球绕着太阳运动的轨道就是一个椭圆轨道。
椭圆中焦半径的计算可以帮助物理学家确定行星的轨道参数，从而更好地理解行星的运动规律和行星系统的演化过程。
5. 总结椭圆中焦半径是椭圆的一个重要性质，它可以通过椭圆的方程来计算。
椭圆中焦半径的计算方法可以应用于多个领域，如天文学、工程设计和物理学。
通过对椭圆中焦半径的研究和应用，我们可以更好地理解和利用椭圆的特性，推动科学和工程的发展。
高考数学公开课——焦半径
x2 y2
整理,得:
25
5
1
x2 y2 20
解得:
x
2
75 4
y
2
5 4
53 5
P( , )
2
2
Eg5:在椭圆上 x2 y2 1 求一点P,使得P
25 5
点与椭圆两焦点的连线互相垂直.
解法二:设P(x0,y0)为椭圆上符合题意 的点. | PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2
d1
5 2
(3)求P到直线x=5的距离;
d2 3
Eg2:设P点为椭圆上
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)任
意一点,F1为椭圆的左焦点.求|PF1|
的取值范围.
解:由焦半径公式,得: | PF1 | a ex0 x0 [a, a]
| PF1 |[a ea, a ea] [a c, a c]
2
y02
| PF1 | | PF2 |[a2 c2 , a2 ] [b2 , a2 ]
Eg4:在椭圆上 x2 y2 1求一点P,使得P点
25 9
到左焦点F1的距离是它到右焦点F2的
距离的2倍.
解法一: a 5,b 3 c 4, e 4
5
设P (x0 , y0 ) , 由焦半径公式,得:
b
0)
x2 y2 1(a b 0) b2 a2
顶点 范围 对称轴 对称中心 焦点坐标 焦距 离心率
准线
(± a,0);(0,±b) －a<x<a,－b<y<b 两个坐标轴 原点（0，0）
(± c,0)
2c
e c a
x a2 c
(± b,0);(0,±a) －a<y<a,－b<x<b 两个坐标轴 原点（0，0）
椭圆的焦半径公式推导
椭圆的焦半径公式推导
连接圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥
曲线焦半径。
双曲线上任意一点p与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
圆锥曲线上一点到焦点的距离不是定值。
焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦
点弦，过一个焦点的弦通径。
过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦。
双曲线的焦半径及其应用领域
1：定义：双曲线上任意一点p与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
总说道：│pf1│=|(ex+a)| ；│pf2│=|(ex-a)|（对任一x而言）
具体点p(x,y)在右支上，│pf1│=ex+a ；│pf2│=ex-a；点p(x,y)在左支上，
│pf1│=-(ex+a) ；│pf2│=-(ex-a)。
焦半径推导公式
焦半径推导公式1. 椭圆焦半径公式推导（以焦点在x轴上的椭圆为例）- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，F_1,F_2为椭圆的左右焦点，坐标分别为(-c,0)，(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。
- 设P(x,y)为椭圆上一点。
- 根据两点间距离公式，| PF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}。
- 因为P(x,y)在椭圆上，所以y^2=b^2(1-frac{x^2}{a^2})。
- 将y^2=b^2(1-frac{x^2}{a^2})代入| PF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}中，得到：- | PF_1|=√((x + c)^2)+b^{2(1-frac{x^2}{a^2})}- 展开并化简：- | PF_1|=√(x^2)+2cx + c^{2+b^2-frac{b^2x^2}{a^2}}- 又因为b^2=a^2-c^2，将其代入上式得：- | PF_1|=√(x^2)+2cx + c^{2+a^2-c^2-frac{(a^2-c^2)x^2}{a^2}}- | PF_1|=√(x^2)(1-frac{a^{2-c^2}{a^2})+2cx + a^2}- 进一步化简1-frac{a^2-c^2}{a^2}=frac{c^2}{a^2}，则|PF_1|=√((c^2))/(a^{2)x^2+2cx + a^2}- 配方可得| PF_1|=√((frac{c){a}x + a)^2}- 因为- a≤slant x≤slant a，所以| PF_1|=a + ex（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。
- 同理，| PF_2|=√((x - c)^2)+y^{2}，按照上述步骤可推导出| PF_2|=a - ex。
2. 双曲线焦半径公式推导（以焦点在x轴上的双曲线为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，F_1,F_2为双曲线的左右焦点，坐标分别为(-c,0)，(c,0)（其中c^2=a^2+b^2）。
最新高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用专题辅导
高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用
玉宏图
在圆锥曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。
为此，本文以椭圆为例研究它的一种变式。
E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，
则（
、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。
P E、F是左、右焦点，PE与x
PF与x轴所成的角c是椭圆半焦距，则（1（2）
E、F是上、下焦点，PE与x
PF与x c是椭圆半焦距，则（34
Q90°时，在三角形PEQ中，有
1）得
1
中，有
以下与上述相同。
（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。
三、变式的应用
对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。
例1. （2005年全国高考题）P
E 、
F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。
133页复习参考题八B 组第3题）P 是椭圆
x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF
2）得
例3. （2003F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B
解：由题意及变式（2）得
例 4. （2005年全国高考题）设F
0。
求四边形PMQN面积的最大值和最小值。
PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而3）式得
PMQN面积。
椭圆的焦半径公式及其拓展
1椭圆的焦半径公式及其拓展1. 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。
2. 焦半径公式：（1）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，)0,(),0,(21c F c F -是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,ex a PF ex a PF -=+=.（2）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上一点，),0(),,0(21c F c F -是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,-ey a PF ey a PF +==.推导过程：（以x 型椭圆方程为例进行推导）方法一：利用椭圆的标准方程推导 由两点间距离公式，可知20201)(y c x PF ++=， 根据椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x ，解得)(22222x a ab y -= 故)(2022220x a a b y -= 将上式代入20201)(y c x PF ++= 可得：)(0001a x a ex a x ac a PF ≤≤-+=+= 同理可得：)(--0002a x a ex a x a c a PF ≤≤-== 方法二：利用椭圆的第二定义2椭圆的左准线方程为：ca x 2-=，设点),(00y x P 到左准线的距离为PD 由椭圆的第二定义：)(002011a x a ex a c a x e PD e PF e PD PF ≤≤-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⇒= 同理可得：)(-002a x a ex a PF ≤≤-=五、典型例题例1：在椭圆18422=+y x 上有一个点P ，满足P 到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3倍，则点P 的坐标为________.【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题.解法一：根据椭圆方程：18422=+y x 可知，椭圆焦点为)2,0()2,0(-和 设),(n m P ，则有18422=+n m 且2222)2(3)2(n m n m ++=+-或2222)2-(3)2(n m n m +=++ 解两次二次方程可得：)2,2()2,2(±-±P P 或解法二：设椭圆度上下焦点分别为21,F F ，点),(n m P 由椭圆方程可知：22,2,22===e c a3利用焦半径公式：,2222,22-2221n PF n PF +== 由题意可得：212133PF PF PF PF ==或解一元一次方程可得：2±=n 所以)2,2()2,2(±-±P P 或【思路点拨】1.椭圆上的点到焦点的距离即是焦半径的概念，很直接联系到焦半径公式；2.本题明确到P 上、下焦点的距离哪个大，故要分类讨论，或者根据椭圆的对称性直接得到结果，需要考虑全面，否则容易漏解，这是本题的易错点.【点评】本题的两种解法对比可以看出，对比利用距离公式，利用焦半径达到了降次的作用，大大化简了计算过程，可以让学生简洁高效地求解。
椭圆的焦半径公式(已修好)
2006.12.10
• 教学目标 • 1)能推导并掌握椭圆焦半径公式,能应用焦半
径公式解决有关与焦点距离有关的问题 2)能应用椭圆的焦半径有关知识解决实际应用问 题 3)能综合应用椭圆的有关知识解决最值问题及参 数取植范围问题
x y + =1 （a＞b＞0） P（x0，y0）是椭圆 a b （ ＞ ＞ ） 上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1， 上的一点， 是左、右焦点， PF2叫焦半径，求证∣PF左∣＝a+ex0 叫焦半径，求证∣ ∣PF右∣＝a-ex0， a a -x 证明:由题意得d 证明:由题意得d1=x0+ 0 d2 = c (法一) c d2 d1 y 又: PF c PF P(x ,y ) = =e = a
x0
119 x y2 25 ± =1 得:y0=± 代入 + ∴ X0= 4 25 9 12 25 119 所以 P( 12 ,± 4 )
• 例3:椭圆
x2 y2 + 2 =1 2 a b
横坐标分别X X 横坐标分别 A、 B XC 成等差数列, 求证: X X 、CF 成等差数列 求证 XA 、 B 、 C 成等差 数列. 数列 证明:当 是左焦点时 证明 当F是左焦点时 有 AF =a+exA BF =a+ex CF =a+exc 又 2 BF = AF + CF B ∴ 2 ( +exB) = (a+exA) +(a+exc) a 即: 2XB=XA+XC 所以 XA 、XB、XC 成等差数列
2
又
-2≦X0 <0 ≦
∴ 不存在X0即不存在点M(X0 , Y0) 满足已知条件
应用： 应用： 1、已知P为椭圆 、已知 为椭圆 上的点， 上的点，且P 与两焦点的连线互相垂直，求点P的坐标 的坐标。 与两焦点的连线互相垂直，求点 的坐标。
焦半径公式推导过程椭圆
焦半径公式推导过程椭圆1. 椭圆的标准方程及焦点坐标。
- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其焦点在x轴上，焦点坐标为F_1(-c,0)，F_2(c,0)，其中c^2=a^2-b^2。
2. 设点P(x_0,y_0)在椭圆上。
- 根据椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）的距离和它到一条定直线（准线）的距离之比为常数e(0 < e < 1)的点的轨迹是椭圆。
- 对于焦点F_1(-c,0)，椭圆的左准线方程为x =-frac{a^2}{c}。
- 设点P(x_0,y_0)到左准线的距离为d_1，则d_1=| x_0+frac{a^2}{c}|。
- 由椭圆的第二定义(| PF_1|)/(d_1)=e，又e=(c)/(a)。
- 所以| PF_1| = e· d_1=(c)/(a)| x_0+frac{a^2}{c}|=(c)/(a)(x_0+frac{a^2}{c}) = a + ex_0（因为x_0≥slant - a）。
- 对于焦点F_2(c,0)，椭圆的右准线方程为x=frac{a^2}{c}。
- 设点P(x_0,y_0)到右准线的距离为d_2，则d_2=| x_0-frac{a^2}{c}|。
- 由椭圆的第二定义(| PF_2|)/(d_2)=e，又e = (c)/(a)。
- 所以| PF_2|=e· d_2=(c)/(a)| x_0-frac{a^2}{c}|=(c)/(a)(frac{a^2}{c}-x_0)=a -ex_0（因为x_0≤slant a）。
当椭圆方程为frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2} = 1(a>b>0)（焦点在y轴上）时，焦点坐标为F_1(0,-c)，F_2(0,c)，其中c^2=a^2-b^2。
1. 设点P(x_0,y_0)在椭圆上。
椭圆焦半径的推导过程
椭圆焦半径的推导过程1. 椭圆的基本概念椭圆这个词，听起来是不是有点高大上？其实，它就是一个被拉长的圆，像是被一只大手握住了两头，变得扁扁的。
想象一下，像个气球被人捏了一下，咱们的圆就变成了椭圆。
这个椭圆有两个特别重要的点，叫做焦点，咱们也称它们为“焦点儿”。
这两个小家伙，离椭圆的中心有一定的距离，嘿，真的是“近水楼台”的好处呢！1.1 焦点的意义那么，焦点到底有什么特别的呢？简单来说，椭圆上任意一点到这两个焦点的距离之和，是个固定的数值。
听起来有点抽象？别急，咱们举个例子！想象一下，你和你的朋友在操场上玩跑步，你们的起点是操场的一端，终点是另一端。
你们两个都要朝着对方跑，最终你们的距离是固定的，这就是焦点的“意思”。
这可是椭圆的一个神奇性质哦！1.2 椭圆的标准方程椭圆还有个标准方程，一般我们用这种形式来表示：(frac{x^2{a^2 + frac{y^2{b^2 = 1)。
其中，(a)和(b)分别是椭圆的长轴和短轴的一半。
想象一下，这就像是椭圆的“身份证”，告诉我们它的基本信息。
而椭圆的焦点位置，就是通过这个方程来计算的。
2. 焦半径的推导说到焦半径，我们就不得不提到“这个焦点到底在哪里”的问题了。
这里的焦半径，指的就是椭圆上某一点到焦点的距离。
为了找出这个神秘的距离，我们得先做点数学运算。
2.1 计算焦半径首先，我们得从标准方程出发，把它稍微变形一下。
其实，椭圆的焦点位置可以通过以下公式得到：(c = sqrt{a^2 b^2)。
这个(c)就是焦点到中心的距离。
明白这个道理后，我们就可以找到焦点的位置了。
注意哦，(c)可不是随便的数字，它和椭圆的形状密切相关！2.2 距离计算接下来，咱们来算算从椭圆上一点到焦点的距离，假设这点的坐标是((x, y))。
根据距离公式，我们可以计算出：焦点到这点的距离为(sqrt{(x c)^2 + y^2)。
乍一看，是不是觉得有点复杂？其实，只要慢慢来，分步解决，就会发现其实不难。
高中数学：椭圆焦半径的几种求解方法
高中数学：椭圆焦半径的几种求解方法
设是椭圆上一点，和分别是点M与点的距离。
求证
，其中e是离心率。
椭圆上任一点M与焦点F1或F2的距离，叫做椭圆的焦半径，也称为左焦半径，为右焦半径。
解法1：由椭圆的定义有：
故只要设法用等表示出（或），问题就可迎刃而解。
由题意知，
两式相减得
联立<1>、<2>解得：
解法2：设焦点
则，即
另有
<2>÷<1>得：
<1>、<3>联立解得：
解法3：推敲的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中理应代换。
由点M在椭圆上，易知
则
由，知
故
同理
解法4：椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。
如图，作椭圆的左准线，作MH⊥于H点
则
即
同理可求得：
例1、在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。
解析：设所求点
由得：
又
即
解得：
代入椭圆方程得：
故所求点M为（3，4），或（3，-4），或（-3，4），或（-3，-4）。
例2、点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，又点P在x轴上方，为椭圆的右焦点，直线的斜率为，求的面积。
解析：设点P的横坐标为x，
由条件，得：
依题意得：
所以
由得：
故
▍ ▍
▍。
椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：。
因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。
∴，。
二、公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。
例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。
已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。
由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。
由焦半径公式，得，。
（1）若∠为直角，则，即，解得，故。
（2）若∠为直角，则，即=，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。
例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。
若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得，或。
因此，点M不存在。
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简。
椭圆中焦半径
椭圆中焦半径
椭圆：在数学上，椭圆被定义为平面内与两定点F1、F2距离的和等于常数2a （F1F2a 2>）的动点P 的轨迹叫做椭圆。
这个常数就是椭圆的半长轴长，而两个定点就是椭圆的焦点。
即a 221=+PF PF 。
椭圆的标准式为：
122
22=+b
y a x 其中a 是椭圆的长半轴长，b
是椭圆的短半轴长。
已知点P （x
，y ）是椭圆，任意一点，
F1（-c ，0）和F2(c ，0)是椭圆的两个焦点。
由两点间距离公式，可知：
()221y c x PF ++= (1)
从椭圆方程12222=+b y a x ，得到：()22222x a b a y -= (2)
将（2）式代入（1）式，并化简有：
a x a x a
c a PF ≤≤-+= 1同理得到：a x a x a
c a PF ≤≤--= 2其中：a c e =，e 为椭圆的离心率，e 的取值范围：0<e<1。
(X,Y ）
所以椭圆的焦半径为：
ex a x a
c a PF r +=+==11ex a x a
c a PF r -=-==22式中：a 为椭圆的长半轴，b 为椭圆的短半轴，c 为椭圆焦点到原点的距离，e 为椭圆的离心率。