三阶幻方
三阶幻方
三阶幻方一般的，三阶幻方就是指把九个不同的数字填入3×3的九个方格中，使每行每列每条对角线上三个数的和都相等，这个相等的和就叫做幻和。
下面我们以1~9这九个数字为例，介绍三种填写三阶幻方的方法。
方法一：口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方。
注意：“一填首行正中央”，指的是，这九个数中按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中，“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方，在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中，“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占住了，那么，就填在前一个数字的正下方，对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方。
方法二：四角定位法九数从小排到大，中间数字中间填，四角填上偶数项，余下四数再补全。
注意：（1）四角上的偶数项，是指这九个数的第二、四、六、八个数，而不是指偶数；（2）四角上的偶数项，可以按“Z”字行排列，也可以按照“N”字行排列；（3）当四个角上的数都填好后，对角线上的三个数的和已经知道了，就可以根据这个和，求出其余的四个数。
方法三：“添耳朵”法九数斜排，上下对易，左右互换。
注意：“九数斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了。
小结：（1）事实上，大部分填写三阶幻方的九个不同的自然数，都是等差数列；（2）三阶幻方不止有一种填写方法，当我们将上面填写好的三阶幻方，经过顺时针或逆时针旋转的时候，就能得到新的填写形式；（3）以上介绍的三种填写三阶幻方的方法，其中后面两种，只适合三阶幻方，而第一种方法，适合三阶、五阶、七阶……等所有奇数阶幻方。
三年级奥数教程第12讲三阶幻方
三年级奥数教程第12讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．图12-1分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3．6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示．816357492图12-2说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．1511159137173图12-3随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?分析与解总和是1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3＝39．。
每一列、每一条对角线的和也是39．两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是(39×3—39 × 2)÷3＝13．随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．62815图12-4分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是15×3＝45．这样，就可以得出第三行第一个数是45—6—28＝11．第三行第三个数是45—6—15＝24．第三行第二个数是45—11—24＝10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．6201928152111024图12-5随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．15423图12-6例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．11263图12-7分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。
三阶幻方
17
4
12
6 11 16 10 18 5
三阶幻方的构造法
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出]
杨辉法
4 3
8
9 5
1
2 7
6
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
4
3 8
9
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7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4 3 8
9
2 7 6
5
1
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三 阶 幻 方
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1
6
练习1：
补 全 这 个 幻 方
知识背景
引入： 相传，大禹治水时，洛阳西洛 宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书 ”，献给大禹。大禹依此治水成功 ，遂划天下为九州。洛水中出现的 “神龟”背上的美妙的图案，史称 “洛书”即现在的三阶幻方.
洛书
神奇的幻方
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一 横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等 ，这 个和叫做“幻和”
三阶幻方
三阶幻方__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________能够根据三阶幻方的规律补充三阶幻方中的空格幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为洛书．宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图。
【例1】将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．分析：l+2+…+8+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(= 45÷3)．从l到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1, 8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3, 6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心，在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．【例2】.将1，3，5，7，…，1 7填入3×3的方格中，使它们成为一个三阶幻方．分析：将图9-2 中的1，2，3，…，9分别用l，3，5，…，17代替，得到下图．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．【例3】如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？分析：总和是1+4+7+…+25=(1+25)×9÷2=117由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3=39．每一列、每一条对角线的和也是39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是(39×3-39×2)÷3=13一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3．行（列）和等于中央的数乘以3．【例4】下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方性质填出其他的数．分析：由例3，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45 -6 –28=l1．第三行第三个数是45 -6 -15=24第三行第二个数是45 -11- 24 =10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图所示．【例5】已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．分析: 每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18，第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3 = 4．第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6 = 36．第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9．第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2于是，得出下图【例6】已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2 037．求画有“？”的格子填的数是多少．分析:根据例3，中央的那个数是2 037÷3 = 679．第一行第二个数是2 037 - 679 –894=464第一行第三个数是？=2 037 - 447 - 464=1126．所以要填的数是l1261.用0到8这几个数构造个三阶幻方．2.将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．3.如果2、6、10、11、15、19、20、21、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？4.下图是一个三阶幻方，请填出其他的数．5.已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．1．用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方.2．用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方3．在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．4．在空个格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．5．用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1．下图是一个三阶幻方．求“？”是多少．2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等．这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第7题的图4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7．带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36．如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10．7．完成下图，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．。
三阶幻方的最简单填法
三阶幻方的最简单填法1. 什么是幻方？幻方是一种由数字组成的方阵，在每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
幻方可以追溯到古代中国和印度的数学文化，是一种有趣且具有挑战性的数学问题。
2. 三阶幻方的定义三阶幻方是指由3行3列组成的方阵，总共有9个数字。
在一个合法的三阶幻方中，每个数字都不重复，且数字之和为一个常数。
3. 最简单的三阶幻方最简单的三阶幻方是指填充数字最为简单、易于理解的幻方。
下面，我们将介绍一种最简单的三阶幻方填法。
步骤1：确定常数首先，我们需要确定三阶幻方中每行、每列和对角线上数字之和的常数。
由于三阶幻方有3行3列，所以每行、每列和对角线上的数字之和都是3个数字的和。
因此，常数等于这3个数字之和的1/3。
步骤2：填充中心数字在最简单的三阶幻方中，我们可以选择将数字5放置在幻方的中心位置，即第2行第2列。
步骤3：填充角落数字接下来，我们将填充幻方的四个角落数字。
我们可以选择将数字1放置在左上角，数字3放置在右上角，数字7放置在左下角，数字9放置在右下角。
步骤4：填充边缘数字现在，我们需要填充幻方的边缘数字。
根据幻方的定义，每一行、每一列和对角线上的数字之和都应该等于常数。
因此，我们可以根据已填充的数字来确定边缘数字的填充方式。
•填充第1行和第3行的数字：由于第1行已经填充了数字1和5，而常数等于第1行的数字之和，所以第1行的第3个数字等于常数减去1和5的和。
•填充第1列和第3列的数字：同理，由于第1列已经填充了数字1和7，所以第1列的第3个数字等于常数减去1和7的和。
•填充对角线上的数字：由于对角线上的数字之和等于常数，所以第1行第1列和第3行第3列的数字之和等于常数减去已填充数字的和。
步骤5：验证幻方最后，我们需要验证已填充的数字是否构成了一个合法的三阶幻方。
我们可以检查每一行、每一列和对角线上的数字之和是否都等于常数。
如果所有的数字之和都相等，那么这个幻方就是合法的。
4. 示例下面是一个最简单的三阶幻方的示例：1 2 34 5 67 8 9在这个示例中，常数等于15。
小学奥数三阶幻方讲解归纳
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汇报日期
三阶幻方
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻方的定义是如何做到的？？
4
9
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3
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1
6
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。 （ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位 为“一对”，4,6 位为“一对”，） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
生活中的幻方
把9个数从小到大排列，找出中位数a,填在幻方中心
01
01
02
03
04
05
求出幻和3a
先选取“两对”数分别填写在对角线上
根据幻和填其它数
根据定义验证，如不符合，返回步骤③。
02
03
04
05
完成三阶幻方的步骤：
小结：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
大数学家杨辉的构造方法：
杨辉构造法
试一试
把2、3、4、5、6、7、8、9、10分别填入三阶方格中,每个数只用一次,使每一横行、竖列、对角线上三个数的和都相等.
返回
三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左右、对角两个数字的和=中间数×2
4
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1
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三阶幻方
三阶幻方的概念
三阶幻方的概念
1.三阶幻方是一个3x3的方阵，其中每个格子内填入不重复的1到9的数字，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
2.这个定义是因为幻方是一种特殊的方阵，它具有一些特殊的数学性质和规律。
三阶幻方是最小的幻方之一，它的规模较小，更容易理解和构造。
3.除了三阶幻方，还存在其他阶数的幻方，如四阶、五阶等。
幻方在数学和游戏领域有着广泛的应用，研究幻方的规律和构造方法可以帮助我们更好地理解数学和培养逻辑思维能力。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
三阶幻方
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
a bc def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e 36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
综合与实践-三阶幻方
规律学Leabharlann 目标下一页探寻三阶幻方的变换
294 753 618
294 276 7 5 3①9 5 1② 618 438
672 618 1 5 9③7 5 3④ 834 294
816 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 672
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
返回
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
8
探寻三阶幻方的变换
请你观察下列3个方格，它们各自与初始三阶幻方 对应位置上的数有什么关系？它们是三阶幻方吗？
初始的幻方
-1 4 -3 -2 0 2 3 -4 1
492 357 816
8 18 4 6 10 14 16 2 12
作业：
思考题：怎样的九个数才能满足三阶幻数。 书面作业：
1、完成下列三阶幻方。
18 3
（选做题） 2、自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得幻 和为90。
11 21 7 9 13 17 19 5 15
归纳升华
三阶幻方新发现
（1）幻方中每一个数加、减同一个数字，所得方 格仍是幻方.
（2）幻方中每一个数同时扩大或缩小相同的倍数， 所得方格仍是幻方.
（3）幻方中每一个数先扩大相同的倍数，再同时 增加另一个数所得方格仍是幻方.
小说中的九宫格构造法：
九宫之义，法以灵龟， 二四为肩，六八为足， 左三右七，戴九履一， 五居中央
我们把3 3的幻方称为“三阶幻方”
学习目标：
三阶幻方的N种构造方法
三阶幻方的N种构造方法说起幻方，许多人见惯不怪了。
最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3×3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。
三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。
第一种：变形法将1~9数依顺序填入下框；2和6对调，4和6对调；将2、4、6、8向四个角外移。
这样就快速完成3阶幻方了。
第二种：楼梯法在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3，依次类推。
当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。
由于3的右上角已经有数了，所以4要填在3的下一个格。
再填5在4的右上角，就这样以此类推。
就这样就完成了。
还有，这种方法适用于所有的奇数幻方。
第三种：推理法①1～9个数填入九宫图，容易推出幻和为15，而用1～9个数有以下的算式组合。
1+5+9=152+5+8=153+5+7=154+5+6=152+6+7=152+5+8=152+4+9=154+3+8=158+1+6=15观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。
再回来想想九宫格的位置特性，中间的格一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。
（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15，可以推算出。
）同理，1、3、7、9应该填在前行前列的中间。
这样的话，就很容易构造出3阶幻方。
所以得出的3阶幻方如下：第四种：推理法②前提条件：已知幻和=15，中间是5。
分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。
三阶幻方
3 17 7
13 11 9 1
5 15
◆例4 在下图的每个方格里填上不大于11且互 不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对 角线上的三个数的和都等于21。 中间数=21÷3=7 21-7=14 11+3 10+4 9+5 3 10
9
4
7
11
5
6
3
中间数=21÷3=7 9 4 7 11
10
5 6
◆例3 用2~10九个数填入下图的九个方格里， 使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都 相等。 4 阶 添 3 7 梯 耳 法 朵 2 6 10 或 法 楼 5 9 梯 法 8
将1、3、5、7、9、11、13、15、17九个 数填入下图的九个方格里，使每行、每列、 每条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方又叫九宫格，中国古代九宫格的 填法口诀有：
五居中央， 戴九履一， 二四为肩， 六八为足， 左七右三。 （一） 九子斜排， 上下对易， 左右相更， 四维挺出。 （二）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
◆例1 将1~9九个自然数填入下图的九个方 格里，使每行、每列、每条对角线上的三 个数的和都相等。
在下图的每个方格里填上适当的数，使每 行、每列、每条对角线上的三个数的和都 相等。 （3+7）÷2=5 11 6 幻和=8×3=24 24-8-3=13 24-8-7=9 24-9-5=10 24-10-8=6 10 9 13 5
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重 复又不遗漏地填上3×3个连续的自然数，使每一 行、每一列、每条对角线上的三个数的和均相等。 这个相等的数叫幻和。通常这样的图形叫做三阶 幻方。
九个连续的自然数 中，第五个数是中 心数，第二、四、 六、八个数是 四角上的数。
第五讲 三阶幻方
6
3
例题2在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
19
14
10
18
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
8
例题3在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
12
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角线上的三个数之和都等于27。
例题4将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
介绍杨辉法：介绍公式法：
口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：
第一种：
8
1
6
3
5
7
4
9
2
第二种：
6
1
8
7
5
3
2
9
4
第三种：
4
9
2
3
5
7
8
1
6
第四种：
2
9
4
7
5
3
6
1
8
第五种：
第五讲、三阶幻方
幻方起源于中国.传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图.人们称之为洛书.
如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.
观察，你发现了什么
观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15.像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方.三阶幻方是一种特殊的数阵图.
上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数.
三阶幻方的规律和方法
三阶幻方的规律和方法
三阶幻方是一种方阵，也又称魔方阵，主要由0-8九个数组成，要求其行、列、对角线相加的和都是15，又称为等式的结果。
三阶幻方的具体建立方法可以有很多，以下就介绍三种比较常见的建立方法：
一、将0-8九个数按图案填到幻方格子中，幻方的中心位置用5来填充。
先从左上角开始，在上行中填入3，8，4。
然后从左上角的第二行开始，在上行中填入6，1，7。
最后要填入的正中间位置是5，这样先把上面的三行填满，下面的三行也就推出了。
一共是九个数，填满就可以形成一个三阶幻方。
二、把一个三阶幻方拆分成九小格，用九个0-8数字重新排列，分四等分，把这九个数字依次从1-9进行排序，形成一个完整的三阶幻方阵。
三、另一种方法就是以空格的方式填写，把上面的三个数字放到每个格子里，再把中间的0放到空格的中间。
根据宫格的大小，一共只能填入八个数，最后一个数就会在格子的旁边。
最后将8个数进行重新排列，便可得到一个三阶幻方。
以上三种方法都可以用来制作三阶幻方，只要掌握了规律，就可以轻松完成。
首先，三阶幻方的规律是，行列对角线相加的和都是15。
其次，三种不同的建立方法可以帮助我们更好地掌握规律，并可以轻松的制作三阶幻方。
然而，解决三阶幻方的规律并不容易，因为其解答是有限的，在解决过程中，需要经过反复的尝试和思考，才能正确的得到答案。
总之，一切取决于你如何思考及如何改变观点，掌握规律，在不断的尝试中，你将会慢慢把三阶幻方解决！。
小学奥数三阶幻方
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
三阶幻方
什么是幻方？
把 n 个自然数填在 n 行 n 列 的方阵中，使每行每列及两条对角 线上 n 个数的和都相等,这样的方阵 就叫做 n 阶幻方。相等的和叫做幻 和。
2
这是人教版小学数学教材一年级上册 第120页第10题。这是一个三阶幻方。
这是人教版小学数学教材二年级上册 第30页第9题。这是一个三阶幻方。
更好些？
这是人教版小学数学教材一年级下册 第77页思考题。这是一个三阶幻方问题。
北师大版小学数学教材二年级上册第 9 页 第 8 题
三阶幻方九宫数： 一行中间最小数, 二行中央中位数， 三行最右二小数， 幻和中位三倍数， 由此推出空格数。
根据数的大小位置快速4、6、7、9、11、12、14、17 制作一个三阶幻方。
对 1、4、6、7、9、11、12、14、17 来说，9 是中位数， 1 是最小数，4 是二小数。幻和为 9×3=27。 1 9 4 14 7 6 1 12 9 11 17 4
三阶幻方的应用
有1吨、2吨、3吨、 4吨、5吨、6吨、 7吨、8吨、9吨的物品要装到船上去，从青
岛运往上海，为保障船的平稳，如何装船
三阶幻方
Merzirac法生成奇阶幻方Merzirac法的口诀：1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。
用Merziral法生成的任何阶的奇幻方。
下面（如图）是用Merziral法生成1-9的3阶幻方（即九宫格）：8 1 63 5 74 9 23阶幻方不止这一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。
3阶幻方的填法如下8种：【其实就是上面的幻方转一圈的4个方向，加上翻一面以后转一圈的4个方向】第一种：8 1 63 5 74 9 2第二种：6 1 87 5 32 9 4第三种：4 9 23 5 78 1 6第四种：2 9 47 5 36 1 8第五种：6 7 21 5 98 3 4第六种：8 3 41 5 96 7 2第七种：2 7 69 5 14 3 8第八种：4 3 89 5 12 7 63阶幻方的性质：下面是用1-9构成的3阶幻方：8 1 63 5 74 9 2幻和值=15。
性质一：幻和值=3×5（3×中心格数）；性质二：2×8=9+7，2×4=1+7，2×6=3+9，2×2=1+3；即：2×角格的数=非相邻的2个边格数之和。
性质三：以中心对称的2个数相加的和相等，这2个数的和值=2×中心格数。
性质四：幻方的每个数乘以X，再加Y，幻方亦成立。
例如把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：27 6 2112 18 2415 30 9幻和值=54性质五：3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。
例如以下3组9个数：【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】构成幻方，26 2 176 15 2413 28 4幻和值=45。
三阶幻方相等关系
三阶幻方相等关系三阶幻方相等关系简述在数学中，幻方是一个方阵，其中的元素满足以下条件：每一行、每一列以及对角线上的所有元素之和均相等。
而对于三阶幻方，它是一个3×3的方阵，共有9个元素。
三阶幻方的特点三阶幻方有以下特点： 1. 由1至9的数字组成，每个数字只能使用一次； 2. 每一行、每一列以及两个对角线上的元素之和均相等，该和被称为幻方的”魔数”； 3. 任意两个三阶幻方通过旋转、镜像等变换得到的方阵均相等。
幻方的相等关系尽管三阶幻方是由一组不同的数字组成的，但是它们之间存在一种特殊的相等关系，即任意两个三阶幻方通过旋转、镜像等变换得到的方阵都是相等的。
旋转变换在三阶幻方中，可以通过顺时针旋转90°、180°和270°来得到新的幻方。
例如，对于原始幻方：8 1 63 5 74 9 2进行顺时针旋转90°后，得到新的幻方：4 3 89 5 12 7 6通过旋转变换后，两个幻方的元素顺序不同，但它们的和都相等。
镜像变换除了旋转变换外，三阶幻方还可以通过水平或垂直镜像得到新的幻方。
例如，对于原始幻方：8 1 63 5 74 9 2进行水平镜像后，得到新的幻方：6 1 87 5 32 9 4通过镜像变换后，两个幻方的元素顺序不同，但它们的和都相等。
结论三阶幻方具有特殊的相等关系，即通过旋转、镜像等变换得到的幻方是相等的。
这个规律使得数学家们在研究、解决幻方问题时可以更加灵活地运用变换性质，简化推理过程。
同时，这种相等关系也增添了三阶幻方的研究乐趣和挑战性。
三阶幻方相等关系的意义三阶幻方相等关系的存在对于数学研究和应用具有重要意义：1.研究工具：三阶幻方相等关系为数学家们研究幻方问题提供了重要的工具和方法。
通过变换性质，可以将一个幻方的性质与其他等价的幻方联系起来，从而简化问题的推理过程。
2.解题技巧：三阶幻方相等关系使得解决幻方问题变得更加灵活。
通过找到一个幻方的解，可以通过变换得到其他等价的幻方的解。
三阶幻方原理
三阶幻方原理幻方，是一种特殊的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
三阶幻方，即由3个行、3个列和两个对角线组成的方阵。
在这篇文章中，我将探讨三阶幻方的原理及其特点。
三阶幻方是最简单的幻方类型，也是最早被人们研究的。
它由3个行、3个列和两个对角线组成，共有9个格子。
每个格子都填充一个不同的数字，从1到9，使得每行、每列和两个对角线上的数字之和都相等。
在构建三阶幻方时，有一些基本原则需要遵循。
首先，中间格子必须填充数字5，这是因为5是9个数字的中间值，同时也是每行、每列和对角线之和的目标值。
其次，角落格子的数字应该是连续的，即1和9、3和7应该成对出现。
最后，边缘格子的数字应该是交替的，即2、4、6和8。
在满足这些基本原则的前提下，我们可以通过不同的排列方式构建不同的三阶幻方。
根据排列的不同，三阶幻方可以分为多种类型。
其中，最基本的类型是顺时针和逆时针旋转的幻方，它们的构建方式相似，只是数字的排列顺序不同。
顺时针旋转的幻方的构建方式如下：1 9 72 5 63 4 8逆时针旋转的幻方的构建方式如下：3 7 92 5 61 8 4除了旋转幻方外，还有其他类型的三阶幻方。
例如，水平翻转幻方的构建方式如下：7 9 16 5 28 4 3垂直翻转幻方的构建方式如下：3 4 82 5 61 9 7对角线翻转幻方的构建方式如下：9 7 14 5 63 2 8除了这些基本的幻方类型外，还可以通过改变数字的排列顺序或者使用其他数学方法来构建新的幻方。
例如，可以使用数学公式或者算法来生成幻方。
然而，在本文中，我们不会涉及这些复杂的构建方法。
三阶幻方的原理并不难理解，但是构建一个满足条件的幻方并不容易。
事实上，三阶幻方的总数只有8种，其中4种是旋转幻方，另外4种是翻转幻方。
这是因为，对于一个满足条件的幻方，通过旋转或翻转可以得到其他的幻方。
因此，三阶幻方的种类是有限的。
三阶幻方在数学和游戏中都有广泛的应用。
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12
6
3
分析与解：
每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12
第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18
第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3=4
第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6=36
第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9
第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2
练习5：已知如图，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等。请填出其他的数
4
10
25
2
例题6：已知如图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2037，求画有？的格子填的数是多少？
447
？
894
分析与解：
根据例题3：中央的那个数是2037÷3=679
第一行第二个数是：2037-679-894=464
第一行第三个数是2037-447-464=1126
所以要填的数是1126
例题1：将1-----9折九个数填入图中，使它成为一个三阶幻方
练习1：用0到8这9个数构造一个三阶幻方
例题2：将1,3,5,7，...，17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方
练习2：将2,4,6,8，...，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方
例题3：如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？
练习6：请写出例题6其他格子中的数
伽音琴行学科教师辅导讲义
学员姓名：年级：三年级课时数：
辅导科目：奥数思维训练辅导老师：唐老师
课题：三阶幻方
授课时间：2017/பைடு நூலகம்2
教学目标：1、了解什么是三阶幻方
2、能利用数阵图的知识解决幻方问题
教学重、难点：能求出中间的数，并能根据中间数求其他的数
教学内容
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。三阶幻方是一种特殊的数阵图。
练习3：如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？
例题4：如图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数
6
18
15
分析与解：
由例题3可知，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍。因此，现在每一行的和是15×3=45.
这样，就可以得出第三行的第一个数是45-6-28=11
第三行第三个数是45-6-15=24
第三行第二个数是45-11-24=10
同样，可得其他的数，最后得出三阶幻方
6
20
19
28
15
2
11
10
24
练习4：如图是一个三阶幻方，请填出其他的数
15
4
23
例题5：如图，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其他的数
分析与解：总和是1+4+7+...+25=（1+25）×9÷2=117
由于三行的和相等，所以每一行的和是
117÷3=39
每一列、每一条对角线的和也是39。两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是（39×3-39×2）÷3=13
一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3.行（列）和等于中央的数乘以3.