中考复习专题之三角函数与几何结合

与三角函数有关的几何题

例1、如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线

OB 于E D ，，连接EC CD ，．

（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；

（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1

tan 2

CED ∠=

，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 析解：（1）证明：如图6，连接OC ．

OA OB = ，CA CB =，OC AB ∴⊥．

AB ∴是⊙O 的切线．

（2）BC 2=BD ×BE ．

ED 是直径，90ECD ∴∠= ．

90E EDC ∴∠+∠= ．

又90BCD OCD ∠+∠=

，OCD ODC ∠=∠，

BCD E ∴∠=∠．

又CBD EBC ∠=∠ ，BCD BEC ∴△∽△．

BC BD

BE BC

∴

=．∴BC 2=BD ×BE . （3）1tan 2CED ∠= ，1

2

CD EC ∴

=． BCD BEC △∽△，1

2BD CD BC EC ∴==．

设BD x =，则2BC x =． 又BC 2=BD ×BE ，∴（2x ）2=x (x +6)

解之，得10x =，22x =．0BD x => ，2BD ∴=．

325OA OB BD OD ∴==+=+=．

2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥，，垂足

为D ，

AD 交⊙O 于点E ． （1）求证：BC EC =;

（2）若4

cos 5

BEC ∠=, 求DC 的长．

3、如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是的中点，

OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，cosC=，BC=2

．

（1）求∠A 的度数； （2）求证：BC 是⊙O 的切线； （3）求MD 的长度．

分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A 的度数． （2）要证BC 是⊙O 的切线，只要证明AB ⊥BC 即可．

（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD 的长度． 解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°． （2）证明：在△ABC 中，∵cosC=，∴∠C=60°．

又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线． （3）解：∵点M 是

的中点，∴OM ⊥AE ．

在Rt △ABC 中，∵BC=2，∴AB=BC •tan60°=2

×

=6．

∴OA=

=3，∴OD=OA=，∴MD=．

点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

4、如图，已知Rt △ABC 和Rt △EBC ，∠B=90°．以边AC 上的点O 为圆心、OA 为半径的⊙O 与EC 相切，D 为切点，AD ∥BC ． （1）用尺规确定并标出圆心O ；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）求证：∠E=∠ACB ； （3）若AD=1，

，求BC 的长．

B

分析：（1）若⊙O与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点．

（2）由（1）知OD⊥EC，则∠ODA、∠E同为∠ADE的余角，因此∠E=∠ODA=∠OAD，而AD∥BC，可得∠OAD=∠ACB，等量代换后即可证得∠E=∠ACB．

（3）由（2）证得∠E=∠ACB，即tan∠E=tan∠DAC=，那么BC=AB；由于AD∥BC，

易证得△EAD∽△EBC，可用AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB的长，进而可得到BC的值．

解答：（1）解：（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC 的交点等）．

（2）证明：连接OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．

∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°﹣∠EDA．

又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．

∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°﹣∠EDA．

∴∠E=∠ODA；

又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．）

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．

（3）解：Rt△DEA中，tan∠E=，又

tan∠E=tan∠DAC=，

∵AD=1，∴EA=．Rt△ABC中，tan∠ACB=，

又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．

∴=，∴可设AB=，BC=2x，

∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．

∴=，即．

∴x=1，

∴BC=2x=2．

点评：此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出O点的位置，是解答此题的关键．

5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂

足为E．

（1）求证：点D是BC的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．

分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；

（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；

（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的长．

解答：（1）证明：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．∵AB=AC，

∴D是BC的中点；

（2）DE是⊙O的切线．

证明：连接OD．∵BD=DC，OB=OA，

∴OD∥AC．∵AC⊥DE，∴OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切线．

（3）解：∵AB=9，cosB=，

∴BD=3．∴CD=3．∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∴cosC=．∴在△CDE中，CE=1，DE==．

点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大．

6、如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．

分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．

（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．

解答：（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，