中考复习专题之三角函数与几何结合
三角函数在几何中的应用
三角函数在几何中的应用三角函数是数学中一个重要的分支，它在几何学中有着广泛的应用。
无论是在平面几何还是空间几何中，三角函数都扮演着重要的角色。
本文将介绍三角函数在几何中的应用，并以实际例子来说明其在几何问题解决中的作用。
作为一种数学工具，三角函数在几何中有着多种运用。
首先，我们来看在平面几何中的应用。
一、平面几何中的应用1. 直角三角形求解直角三角形是几何学中最基本的一类三角形。
通过三角函数，我们能够根据已知一边和一个角度，求解出其他未知边长和角度。
例如，已知一个直角三角形的一个锐角为30°，该直角三角形的斜边长为10个单位。
现在我们想要求解其余两条边的长度。
设其中一条边为a，另一条边为b。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下方程组：sin(30°) = a / 10cos(30°) = b / 10通过解方程组，我们可以得到a和b的值，从而求解出直角三角形的边长。
2. 三角形面积计算在平面几何中，三角形是最简单的多边形。
通过三角函数，我们能够根据已知三角形的两条边和夹角，计算出三角形的面积。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5个单位和8个单位，夹角为60°。
现在我们想要求解该三角形的面积。
根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(60°) = 高 / 5通过解方程，我们可以计算出高的值，进而求解出三角形的面积。
二、空间几何中的应用除了在平面几何中的应用，三角函数在空间几何中同样发挥着重要作用。
1. 锥体体积计算在空间几何中，锥体是一种常见的几何形体。
通过三角函数，我们可以根据已知锥体的高度和底面积，计算出锥体的体积。
例如，已知一个锥体的高度为10个单位，底面半径为5个单位。
现在我们想要求解该锥体的体积。
根据锥体的定义，我们可以使用三角函数得到该锥体的体积公式：体积 = (1/3) * 底面积 * 高度通过代入已知的数值，我们可以计算出该锥体的体积。
高中三角函数在几何中的应用解析
高中三角函数在几何中的应用解析三角函数是数学中重要的概念之一，它不仅在代数中有广泛的应用，也在几何中发挥着重要的作用。
本文将从几何的角度解析高中三角函数在几何中的应用，包括图形的旋转、角度的测量和直角三角形的性质等方面。
1. 图形的旋转与三角函数在几何中，我们经常需要讨论图形的旋转问题。
三角函数可以帮助我们描述旋转过程中图形的位置与形状的变化。
以单位圆为例，如果我们将单位圆绕原点逆时针旋转一个角度θ，那么圆上某一点P(x, y)在旋转后的位置可以通过三角函数来表示。
假设旋转后的点为P'(x', y')，则有以下关系：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ通过这些关系，我们可以利用三角函数来计算图形在旋转过程中的位置坐标，进而研究图形的旋转性质。
2. 角度的测量与三角函数在几何中，我们经常需要测量角度大小，而三角函数可以帮助我们进行角度的测量。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们可以利用这些函数来计算角度的值。
例如，在直角三角形中，角度的正弦值可以表示为对边与斜边的比值，余弦值可以表示为邻边与斜边的比值，而正切值可以表示为对边与邻边的比值。
通过三角函数的计算，我们可以准确地获得各种角度的大小，进而帮助我们解决几何中的问题。
3. 直角三角形的性质与三角函数直角三角形是几何中最基础的三角形，而三角函数恰好与直角三角形的性质相对应。
在直角三角形中，根据勾股定理可知，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
利用三角函数的关系，我们可以用三角函数的数值表达式来表示这一关系。
以正弦函数为例，根据定义，正弦函数的值可以表示为对边与斜边的比值，而根据勾股定理，这一比值可以表示为直角边与斜边的比值的平方。
通过这种关系，我们可以发现三角函数与直角三角形的性质之间存在着紧密的联系。
综上所述，高中三角函数在几何中的应用是广泛而重要的。
三角函数与立体几何
三角函数与立体几何三角函数是数学中重要的概念之一，它在立体几何中也有许多应用。
本文将从三角函数的基本概念出发，探讨它与立体几何的关系，并介绍一些相关的应用。
1. 三角函数的基本概念三角函数是以角度为自变量的函数，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之比，余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之比，正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之比。
2. 三角函数在立体几何中的应用2.1 三角函数在三角形中的应用在三角形中，三角函数可以用来求解各种未知量，如边长和角度。
以正弦函数为例，利用正弦定理可以求解三角形的边长。
正弦定理表明，对于一个三角形ABC，其三个边长分别为a、b、c，而对应的角分别为A、B、C，则有 sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2.2 三角函数在立体图形的体积和表面积计算中的应用三角函数在立体几何中还可以用来计算立体图形的体积和表面积。
以球体为例，球体的体积可以用公式V = (4/3)πr³表示，其中r为球体的半径。
而球体的表面积可以用公式S = 4πr²表示。
3. 三角函数与立体几何的实际应用3.1 三角函数在建筑设计中的应用在建筑设计中，三角函数可以用来计算楼体的高度和角度。
例如，在设计一个斜塔时，可以利用正切函数来计算塔在地面上的投影长度，从而确定塔的高度和倾斜角度。
3.2 三角函数在测量中的应用三角函数在测量中也有广泛的应用。
例如，利用正弦函数可以通过测量一条边和其对应的角来计算其他边的长度。
这在实际的测量工作中非常常见，如通过测量一座山的高度和一个观测点与山顶的夹角，可以利用正切函数计算出山的实际高度。
4. 结语通过对三角函数与立体几何的探讨，我们了解到三角函数在解决立体图形相关问题中的重要性。
无论是在科学研究中还是实际生活中，三角函数与立体几何始终密不可分，为我们提供了诸多的问题求解方法和实际应用。
三角函数在几何形中的应用
三角函数在几何形中的应用三角函数是数学中重要的概念之一，它们不仅在三角学和解析几何中起到关键的作用，还广泛应用于各种实际问题的解决中。
本文将探讨三角函数在几何形中的应用，以便更好地理解其在几何学中的重要性。
一、三角函数简介三角函数是以角为自变量的函数，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的关系如下：正弦函数（sin）：在直角三角形中，它表示对边与斜边之比；余弦函数（cos）：在直角三角形中，它表示邻边与斜边之比；正切函数（tan）：在直角三角形中，它表示对边与邻边之比。
二、三角函数在几何形中的应用1. 直角三角形直角三角形是最基本的几何形，也是三角函数应用最常见的领域之一。
根据三角函数的定义，我们可以通过已知直角三角形的边长关系来求解各个角的正弦、余弦和正切值。
例如，假设我们已知一个直角三角形的斜边长为10，邻边长为8，要求求解其对应角的正弦、余弦和正切值。
根据定义，我们可以得到如下结果：正弦值 = 对边 / 斜边 = 6 / 10 = 0.6余弦值 = 邻边 / 斜边 = 8 / 10 = 0.8正切值 = 对边 / 邻边 = 6 / 8 = 0.752. 米字形米字形由两个相交的直线段组成，类似于字母"M"的形状。
这种几何形在工程中经常出现，例如建筑物的结构设计和桥梁的承重分析等。
在处理这类问题时，三角函数被广泛应用于计算所需的角度和长度。
举个例子，假设我们需要计算米字形两条直线间的夹角。
已知米字形的三个顶点坐标为A（0，0）、B（2，4）、C（-2，4），我们可以利用向量运算和三角函数来求解。
通过向量法，我们可以求得两条直线的向量AB和向量AC。
根据向量的性质，我们可以通过向量的点积来计算它们的夹角，并通过反余弦函数得到最终结果。
3. 弧长和扇形面积三角函数在圆的几何形中也具有重要的应用。
例如，在计算圆的弧长和扇形面积时，我们常常需要使用到三角函数。
弧长是指圆周上连接两个点的弧的长度，它可以通过圆心角和半径进行计算。
中考数学重要知识总结三角函数与几何形的计算与性质
中考数学重要知识总结三角函数与几何形的计算与性质数学作为中考的一门重要科目，占据着很大的比重。
在数学中，三角函数与几何形的计算与性质是重要的知识点之一。
本文将对这两个知识点进行总结，包括其基本概念、计算方法以及相关的性质。
一、三角函数的基本概念与计算方法1. 正弦函数正弦函数是数学中最基本的三角函数之一，用sin表示。
对于任意角θ，其正弦值定义为对边与斜边之比，即sinθ = opposite/hypotenuse。
通过正弦函数的定义，可以计算三角形中的角度或边长。
例如，已知一个直角三角形的斜边长度为5，其中一个锐角的正弦值为0.6，我们可以通过sinθ = opposite/hypotenuse来计算出对边的长度。
2. 余弦函数余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的概念，用cos表示。
对于任意角θ，其余弦值定义为邻边与斜边之比，即cosθ =adjacent/hypotenuse。
与正弦函数类似，余弦函数的定义也可以用于计算三角形中的角度或边长。
例如，已知一个直角三角形的斜边长度为5，其中一个锐角的余弦值为0.8，我们可以通过cosθ = adjacent/hypotenuse来计算出邻边的长度。
3. 正切函数正切函数是三角函数中较为复杂的一个概念，用tan表示。
对于任意角θ，其正切值定义为对边与邻边之比，即tanθ = opposite/adjacent。
正切函数的计算方法与正弦函数和余弦函数有所不同，但同样可以用于求解三角形中的角度或边长。
例如，已知一个直角三角形的邻边长度为3，其中一个锐角的正切值为1.5，我们可以通过tanθ = opposite/adjacent来计算出对边的长度。
二、三角函数的性质1. 基本关系式在三角函数中，正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一些基本的关系式。
这些关系式可以用于简化计算，并且在解决实际问题时非常有用。
其中，最基本的关系式是正弦函数和余弦函数的平方和等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
中考重点三角函数及其应用
中考重点三角函数及其应用中考重点：三角函数及其应用一、三角函数的基本概念和关系三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在中考中，对于三角函数的认识和运用是重点考查的内容。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正弦值为sinθ，余弦值为cosθ。
在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和斜边的比值称为正弦，邻边和斜边的比值称为余弦。
在解决三角函数相关问题时，需要掌握基本的正弦函数和余弦函数的性质，以便进行计算和推导。
2. 正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个常用的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正切值为tanθ，余切值为cotθ。
在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和对边的比值称为正切，对边和邻边的比值称为余切。
与正弦函数和余弦函数类似，正切函数和余切函数也具有特定的性质，需要在解题过程中正确运用。
二、三角函数的应用三角函数在数学中的应用非常广泛，涉及代数、几何、物理等多个领域。
在中考中，三角函数的应用是一个重点考察的内容，下面我们来介绍几个常见的应用场景。
1. 三角形的计算三角函数在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
在计算三角形的边长、角度等问题时，可以通过运用正弦定理、余弦定理等方法来求解。
以计算三角形的面积为例，假设已知三角形的两边长分别为a和b，夹角为θ，则三角形的面积可以通过公式S=1/2ab*sinθ来计算得出。
这个公式利用了正弦函数的性质，很好地体现了三角函数在几何中的应用。
2. 直角三角形的求解直角三角形是最简单的三角形形式之一，它的特点是其中一个角为90度。
在解决直角三角形相关问题时，可以运用三角函数来求解未知变量。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为c，一个锐角为θ，则可以通过运用正弦函数和余弦函数的关系来计算出其他两条边的长度。
三、解决问题的思路和方法在中考中，对于三角函数的应用题目，解题的思路和方法往往是非常重要的。
三角函数在几何形中的应用
三角函数在几何形中的应用三角函数是数学中重要的一部分，它不仅在三角学中有广泛应用，还在几何形中起到重要作用。
本文将探讨三角函数在几何形中的应用，并介绍其中的一些例子。
1. 直角三角形中的应用直角三角形是最基本的三角形之一，其中的三角函数被广泛应用。
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数可以帮助我们求解角度和边长之间的关系。
例如，已知直角三角形的两个边长a和b，我们可以通过正弦函数求解其中的一个角度θ。
正弦函数定义为sin(θ) = a / c，其中c为斜边的长度。
通过这个公式，我们可以计算出θ的值。
另外，余弦函数和正切函数也有类似的应用。
余弦函数定义为cos(θ) = b / c，正切函数定义为tan(θ) = a / b。
通过这些函数，我们可以从已知的边长求解出角度。
2. 三角形面积的计算三角形的面积计算是几何学中一个重要的问题。
三角函数可以帮助我们快速计算三角形的面积。
已知三角形的两个边长a和b以及它们之间的夹角θ，我们可以使用正弦函数求解三角形的面积。
三角形的面积公式为A = 0.5 * a * b * sin(θ)。
通过这个公式，我们可以得到三角形的面积。
3. 相似三角形的判定在几何学中，相似三角形是一种重要的特殊三角形。
通过研究相似三角形，我们可以得到许多有用的结论。
使用三角函数，我们可以判断两个三角形是否相似。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
利用正弦函数可以快速判断两个三角形是否相似。
4. 弧度制和角度制的转换在几何学中，我们常常使用弧度制和角度制来度量角度。
三角函数可以帮助我们在这两种制度之间进行转换。
弧度制中，一个完整的圆周对应的弧度数为2π。
使用三角函数的定义，我们可以将角度制转化为弧度制，或将弧度制转化为角度制。
总结：三角函数在几何形中发挥着重要的作用。
通过它们，我们能够求解直角三角形的角度和边长关系，计算三角形的面积，判断相似三角形，以及在弧度制和角度制之间进行转换。
中考数学基础强化6：锐角三角函数在几何图形中的应用
中考数学基础强化6：锐角三角函数在几何图形中的应用
锐角三角函数是初中“图形与几何”的重点内容之一，也是中考数学的重要考查内容。
下面让我们以中考真题为例，探究锐角三角函数在几何图形中的实际应用。
点评本题考查三角形的内角和与三角函数的应用，对于常见的30、45、60这类特殊角的三角函数我们要熟记于心。
解题的关键是明确题意，找出关键直角三角形，通过锐角三角函数的定义解决问题。
点评本题考查菱形的性质（对角线互相垂直），三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形。
本题属于中考常考题型。
总之，对于锐角三角函数在几何图形中的应用，除了运用数形结合法快速进行解题，也需要我们练就扎实的基本功，比如熟知常见的30、45、60度角的三角函数值。
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如何应用三角函数解决初中几何问题
如何应用三角函数解决初中几何问题在初中数学的学习过程中，几何问题是一个重要的知识点。
而三角函数作为几何学的重要工具，可以帮助我们解决很多初中几何问题。
本文将介绍如何应用三角函数来解决初中几何问题，并以具体案例进行说明。
一、利用正弦定理解决三角形问题正弦定理是应用三角函数解决三角形问题的重要工具之一。
当我们遇到三角形的边长和角度的关系问题时，可以利用正弦定理来求解。
正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别是三角形的边长，A、B、C分别是三角形对应的角度。
例如，已知三角形ABC，已知角A的度数为40°，边AC的长度为10 cm，边BC的长度为8 cm，我们可以利用正弦定理来求解角B的度数。
根据正弦定理可得：10/sin40° = 8/sinB通过求解这个方程，可以得到sinB的值，再通过逆正弦函数求解出角B的大小。
二、利用余弦定理解决三角形问题余弦定理也是应用三角函数解决三角形问题的重要方法之一。
当我们已知三角形的两边和夹角的关系时，可以利用余弦定理求解未知角度或边长。
余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c分别是三角形的边长，C为两边夹角的大小。
例如，已知三角形ABC，已知边AB的长度为4 cm，边AC的长度为5 cm，角B的度数为60°，我们可以利用余弦定理来求解边BC的长度。
根据余弦定理可得：BC² = 4² + 5² - 2*4*5*cos60°通过求解这个方程，可以得到BC的长度。
三、利用正弦函数解决高度问题在解决一些高度与角度的关系问题时，可以利用正弦函数来求解。
例如，已知一个三角形ABC，已知角A的度数为30°，边AB的长度为10 m，需要求解边BC的垂直高度CD。
根据正弦函数我们可以得到 sin30° = CD / 10通过求解这个方程，可以得到CD的长度。
中考复习资料数学三角函数
中考复习资料数学三角函数中考复习资料：数学三角函数数学是中考中最重要的科目之一，而三角函数是数学中的一个重要概念。
掌握好三角函数的相关知识，对于解题和理解几何形状有着重要的帮助。
本文将为大家介绍一些中考复习资料，帮助大家更好地掌握三角函数。
1. 三角函数的定义三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
其中，正弦函数（sin）定义为对边与斜边之比，余弦函数（cos）定义为邻边与斜边之比，正切函数（tan）定义为对边与邻边之比。
2. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。
（1）周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，正切函数的周期为π。
（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数则既不是奇函数也不是偶函数。
（3）范围：正弦函数和余弦函数的值域在[-1, 1]之间，而正切函数的值域为整个实数集。
（4）互补关系：正弦函数和余弦函数的互补关系是sin(x) = cos(π/2 - x)，即一个角的正弦值等于其余弦补角的值。
3. 三角函数的应用三角函数在几何形状的计算和问题解决中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：（1）角度计算：通过已知的边长关系，可以利用三角函数来计算角度的大小。
例如，已知一个直角三角形的两条边长，可以通过正弦函数或余弦函数来计算出角度的大小。
（2）高度计算：在一些实际问题中，我们需要计算无法直接测量的高度。
通过利用三角函数，我们可以通过已知的边长和角度来计算出所需的高度。
（3）航海导航：在航海中，船只需要根据已知的航向和速度来计算出预计到达目的地的时间和位置。
三角函数可以帮助船只计算出所需的航向和速度。
（4）建筑设计：在建筑设计中，三角函数可以帮助我们计算出建筑物的高度、角度和距离等参数，以便进行合理的设计和施工。
4. 解题技巧在中考中，三角函数常常出现在各种数学题目中。
数学中的三角函数与几何图形
数学中的三角函数与几何图形在数学领域中，三角函数是一类重要而广泛应用于各个领域的函数。
它们与几何图形之间有着密切的联系，通过研究三角函数与几何图形的关系，我们可以更深入地理解数学的本质。
一、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数的定义是基于单位圆上的点的坐标，从而与几何图形产生了联系。
例如，正弦函数可以定义为一个角的对边与斜边的比值，这个比值可以表示为sinθ，其中θ代表一个角的度数或弧度。
三角函数具有许多重要的性质。
例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，其周期为2π或360度。
这意味着它们的图像在每个周期内重复出现。
此外，三角函数还具有奇偶性质，即sin(-θ)=-sinθ和cos(-θ)=cosθ。
这些性质对于解决问题和简化计算过程非常有用。
二、三角函数与几何图形的关系1. 正弦函数与几何图形的关系正弦函数与几何图形之间的关系可以通过单位圆来解释。
单位圆是以原点为中心，半径为1的圆。
对于一个角θ，我们可以将单位圆上的点与角度联系起来。
例如，当θ=0度或0弧度时，对应的点位于单位圆的x轴上。
通过单位圆，我们可以将正弦函数与几何图形联系起来。
正弦函数的图像是一个连续的波动曲线，其振幅为1，周期为2π或360度。
正弦函数的值在0到1之间变化，当θ=90度或π/2弧度时，正弦函数的值达到最大值1。
2. 余弦函数与几何图形的关系余弦函数也可以通过单位圆来解释。
与正弦函数类似，余弦函数的图像也是一个连续的波动曲线，其振幅为1，周期为2π或360度。
不同的是，余弦函数在θ=0度或0弧度时取最大值1，而在θ=90度或π/2弧度时取最小值0。
通过观察正弦函数和余弦函数的图像，我们可以发现它们是相互关联的。
正弦函数的图像在x轴上方和下方波动，而余弦函数的图像则在x轴上方和下方之间波动。
这种关系反映了三角函数之间的互补性。
3. 正切函数与几何图形的关系正切函数是另一个重要的三角函数。
中考复习专题之三角函数与几何结合
（ 3）若 AD=1 ，
，求 BC 的长．
分析：（ 1）若⊙ O 与 EC 相切，且切点为 D ，可过 D 作 EC 的垂线，此垂线与 AC 的 交点即为所求的 O 点． （ 2）由（ 1）知 OD⊥ EC，则∠ ODA 、∠E 同为∠ ADE 的余角，因此∠ E= ∠ ODA= ∠OAD ， 而 AD ∥ BC ，可得∠ OAD= ∠ ACB ，等量代换后即可证得∠ E=∠ ACB ．
于点 D ，∠ BOE=60 °，cosC= ， BC=2 ．
（ 1）求∠ A 的度数； （ 2）求证： BC 是⊙ O 的切线； （ 3）求 MD 的长度．
分析：（ 1）根据三角函数的知识即可得出∠ A 的度数．
（ 2）要证 BC 是⊙ O 的切线，只要证明 AB ⊥ BC 即可．
（ 3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出
MD 的长度．
解答：（ 1）解：∵∠ BOE=60 °，∴∠ A= ∠ BOE=30 °．
（ 2）证明：在 △ ABC 中，∵ cosC= ，∴∠ C=60 °．
又∵∠ A=30 °，∴∠ ABC=90 °，∴ AB ⊥ BC．∴ BC 是⊙ O 的切线．
（ 3）解：∵点 M 是 的中点，∴ OM ⊥ AE ．
在 Rt△ ABC 中，∵ BC=2 ，∴ AB=BC ?tan60°=2 ∴ OA= =3，∴ OD= OA= ，∴ MD= ．
× =6．
点评： 本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此 线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可．
4、如图，已知 Rt△ ABC 和 Rt△EBC ，∠ B=90 °．以边 AC 上的点 O 为圆心、 OA 为 半径的⊙ O 与 EC 相切， D 为切点， AD ∥ BC ． （ 1）用尺规确定并标出圆心 O；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （ 2）求证：∠ E=∠ACB ；
三角函数和平面几何的应用
三角函数和平面几何的应用一、三角函数1.1 三角函数的定义：三角函数是用来描述直角三角形中角度与边长之间关系的函数。
1.2 基本三角函数：主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
1.3 三角函数的性质：了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性等基本性质。
1.4 三角函数的图像：掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点。
1.5 三角函数的应用：求解直角三角形中的边长、角度等问题。
二、平面几何2.1 平面几何的基本概念：点、线、面、角、三角形、四边形、圆等基本元素。
2.2 平面几何的基本性质：了解平行线、垂直、相交、对称、圆的性质等。
2.3 平面几何的基本定理：如勾股定理、平行线定理、三角形内角和定理等。
2.4 平面几何的证明方法：了解几何证明的基本方法，如构造辅助线、使用定理、性质等。
2.5 平面几何的应用：解决实际问题，如计算面积、周长、角度等。
三、三角函数与平面几何的应用3.1 利用三角函数解决几何问题：如求解直角三角形中的边长、角度等。
3.2 利用平面几何知识解决三角函数问题：如证明三角函数的性质、求解三角形的面积等。
3.3 三角函数和平面几何在实际问题中的应用：如测量问题、建筑设计、物理问题等。
3.4 数学建模：利用三角函数和平面几何知识建立数学模型，解决实际问题。
3.5 数学思想方法：在解决三角函数和平面几何问题的过程中，培养学生的数学思维、逻辑推理能力等。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形的两个直角边分别为6cm和8cm，求该三角形的面积。
方法：利用三角函数求解斜边，再利用三角形面积公式计算面积。
解答：sin A = 6/8，cos A = 8/10，tan A = 6/8。
设斜边为c，则 c = 10cm。
三角形面积 S = 1/2 * 6cm * 8cm = 24cm²。
2.习题：已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求该三角形的周长。
初中数学知识归纳三角函数的应用与解析几何
初中数学知识归纳三角函数的应用与解析几何三角函数作为初中数学的重要概念之一，不仅具有理论性质，还具备广泛的应用。
在解析几何中，三角函数的运用更是不可或缺。
本文将对初中数学知识中三角函数的应用与解析几何进行归纳总结，以便帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、三角函数的定义与性质在初中数学中，我们了解到正弦函数、余弦函数和正切函数是三角函数的三个基本函数。
它们的定义如下：1. 正弦函数：对于任意实数x，如果存在一个角α（α的弧度制表示），使得sinα=x，则称x为角α的正弦值，记作sinα=x。
2. 余弦函数：对于任意实数x，如果存在一个角β（β的弧度制表示），使得cosβ=x，则称x为角β的余弦值，记作cosβ=x。
3. 正切函数：对于任意实数x，如果存在一个角γ（γ的弧度制表示），使得tanγ=x，则称x为角γ的正切值，记作tanγ=x。
这些函数具有一系列的性质，如周期性、奇偶性、函数值的范围等，这些性质对于理解和应用三角函数至关重要。
二、三角函数在平面几何中的应用1. 直角三角形的应用直角三角形是最简单的三角形，三角函数的定义可以很好地应用于解决直角三角形的问题。
例如，已知一个直角三角形的一边长度和一个角度，我们可以利用三角函数求解其他边的长度。
这在实际问题中非常有用，比如测量一座高楼的高度等。
2. 角的应用利用三角函数可以求解角的性质，比如角的大小、角平分线等。
这在解析几何中经常用到。
例如，已知一个三角形的两个边长和夹角，我们可以通过余弦定理求解第三边的长度；已知一个四边形的对角线长度和夹角，我们可以通过正切函数求解该四边形的对边长度。
3. 三角函数方程的应用三角函数方程是含有三角函数的方程，解这类方程也是三角函数应用的重要方面。
例如，对于方程sin(x)=1/2，我们可以通过求解角度的方法得到方程的解；对于方程sin(x)=sin(2x)，我们可以通过化简和利用三角函数的性质求解。
三、解析几何中三角函数的运用解析几何是数学中研究平面与空间中点、直线、圆、曲线等几何对象的分支学科。
2024年中考重点之几何与三角函数的综合应用
2024年中考重点之几何与三角函数的综合应用在2024年中考中，几何与三角函数的综合应用是一个非常重要的考点。
几何与三角函数是数学中的重要分支，对于学生的数学素养和应用能力的培养具有重要意义。
下面将介绍2024年中考中几何与三角函数的综合应用的相关知识点和解题方法。
一、平面几何与三角函数的基本概念在了解几何与三角函数的综合应用之前，我们先来回顾一下平面几何与三角函数的基本概念。
1. 平面几何的基本概念平面几何是研究平面上的图形以及它们之间的关系和性质的数学分支。
在平面几何中，我们会学习到点、线、角、三角形、四边形等概念，以及它们的性质和推导方法。
2. 三角函数的基本概念三角函数是研究角度与边长之间关系的数学工具。
在三角函数中，我们会学习到正弦、余弦、正切等基本三角函数，以及它们的定义、性质和应用方法。
三角函数在几何问题中的应用非常广泛。
二、几何与三角函数的综合应用题解析几何与三角函数的综合应用题是一类将几何和三角函数知识综合运用的问题。
这类问题通常涉及到角度、边长、面积等概念，需要学生综合运用几何和三角函数知识进行分析和求解。
在解答几何与三角函数的综合应用题时，我们可以采用以下的解题思路：1. 了解题目要求首先，我们要仔细阅读题目，并明确题目要求。
弄清楚题目中给出的已知条件和待求解的目标是什么。
2. 绘制图形根据题目给出的条件，我们可以利用尺规作图法或者其他几何方法绘制出相关的图形。
图形能够直观地表示问题，有利于我们进行分析和推导。
3. 运用几何和三角函数知识分析问题在得到图形之后，我们可以利用几何知识对图形进行分析，并结合三角函数的概念和性质，找到相关的角度和边长之间的关系。
4. 进行方程或者比例的建立和求解根据题目要求，我们可以建立相应的方程或者比例关系，并通过求解方程或者比例等方法，确定未知量的数值。
5. 检查和整理答案在完成计算之后，我们要对结果进行检查，确保计算过程的准确性。
同时，我们还要整理答案，明确表述计算结果，并给出合理的解释。
2024年中考重点之三角函数与解析几何的关系
2024年中考重点之三角函数与解析几何的关系三角函数和解析几何是数学中的两个重要概念，在2024年的中考中，这两个知识点也被认为是重点考查的内容。
本文将探讨三角函数与解析几何之间的关系，为中考复习提供一些指导。
一、三角函数的定义与性质三角函数是用来描述角和与角相关的数值关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
下面我们来简单介绍一下这些函数的定义和性质。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦是指对边与斜边的比值。
我们可以用一个周期为2π的函数来描述正弦函数的变化规律。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦是指邻边与斜边的比值。
余弦函数也是一个周期为2π的函数。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切是指对边与邻边的比值。
正切函数在某些特殊的角度处为无限大或无定义。
这些三角函数都具有很多重要的数学性质，如周期性、奇偶性和函数值的范围等。
通过熟练掌握这些性质，我们可以更好地理解和运用三角函数。
二、三角函数在解析几何中的应用解析几何是研究几何问题的一种方法，它使用代数方法来解决几何问题。
而三角函数在解析几何中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情况。
1. 坐标系与三角函数：在平面直角坐标系中，我们可以用三角函数来表示点的坐标。
例如，任意一点P(x, y)到原点O(0,0)的距离可以用勾股定理表示为d = √(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示点P的坐标。
2. 直线与三角函数：直线的斜率可以用三角函数来表示。
对于一条直线L，其斜率m可以表示为tanθ，其中θ是直线与x轴的夹角。
这使得我们可以通过斜率来研究直线的倾斜方向和变化趋势。
3. 曲线与三角函数：很多曲线的方程涉及到三角函数。
例如，经典的单位圆在直角坐标系中的方程为x^2 + y^2 = 1，它描述了一个以原点为圆心、半径为1的圆。
通过三角函数的运用，我们可以对图形进行定性和定量分析，更深入地理解几何形体的性质和变化规律。
三角函数在几何形中的应用解析
三角函数在几何形中的应用解析三角函数是数学中重要的一种函数，广泛应用于几何形的研究和计算中。
本文将探讨三角函数在几何形中的应用，并进一步分析其解析过程。
一、正弦函数在几何形中的应用解析正弦函数是三角函数中的一种，通常用sin(x)表示。
在几何形中，正弦函数常常被用来描述直角三角形中的关系。
以一个直角三角形为例，假设角度A为该直角三角形的一个内角，并且与直角边a的夹角为A。
根据正弦函数的定义，sin(A) = a / 斜边c。
通过正弦函数，我们可以计算出直角三角形中的各边长关系。
假设我们已知一条直角边的长度为3，另一条直角边与直角边a的夹角为30度，则可以通过sin(30°) = 0.5计算出斜边c的长度为6。
这样，我们就可以通过正弦函数在几何形中解析地计算出各边长的关系。
二、余弦函数在几何形中的应用解析余弦函数是三角函数中的另一种，通常用cos(x)表示。
在几何形中，余弦函数同样被广泛应用于直角三角形的研究和计算中。
以一个直角三角形为例，假设角度A为该直角三角形的一个内角，并且与直角边a的夹角为A。
根据余弦函数的定义，cos(A) = b / 斜边c。
通过余弦函数，我们也可以计算出直角三角形中的各边长关系。
假设我们已知一条直角边的长度为3，另一条直角边与直角边a的夹角为30度，则可以通过cos(30°) ≈ 0.866计算出斜边c的长度为6。
这样，我们同样可以通过余弦函数在几何形中解析地计算出各边长的关系。
三、正切函数在几何形中的应用解析正切函数是三角函数中的另一种，通常用tan(x)表示。
同样以一个直角三角形为例，假设角度A为该直角三角形的一个内角，并且与直角边a的夹角为A。
根据正切函数的定义，tan(A) = a / b。
通过正切函数，我们可以计算出直角三角形中两条直角边的比值关系。
假设我们已知一条直角边的长度为3，另一条直角边与直角边a的夹角为30度，则可以通过tan(30°) ≈ 0.577计算出两条直角边的比值为0.577。
2024年中考重点之几何与三角函数的应用能力
2024年中考重点之几何与三角函数的应用能力2024年中考即将到来，作为数学科目的考试重点之一，几何与三角函数的应用能力成为考生们关注的焦点。
在本文中，我们将探讨几何与三角函数的应用能力的重要性以及提高这方面能力的方法。
一、几何与三角函数的应用能力的重要性几何与三角函数是数学中重要的基础概念和工具，广泛应用于实际生活和其他学科中。
具备几何与三角函数的应用能力可以让我们更好地理解和解决实际问题，提高数学思维和推理能力。
几何与三角函数的应用能力在日常生活中也有很多应用，如使用三角函数计算角度、距离和高度等。
在中考中，几何与三角函数的应用能力占据了较大比重，涵盖了建模、推理和解决问题等多个方面。
考生通过灵活运用几何与三角函数的知识，可以解决与图形、平面和空间相关的问题。
掌握几何与三角函数的应用能力，对于中考数学成绩的提高至关重要。
二、提高几何与三角函数的应用能力的方法1. 学习基本概念和定理：几何与三角函数的应用能力的基础是对基本概念和定理的掌握。
学生需要通过认真学习教材，理解几何与三角函数的概念和定理，并能够熟练运用到实际问题中。
2. 运用几何与三角函数解决实际问题：几何与三角函数的应用能力需要通过实际问题的解决来提高。
学生可以选择一些与生活相关的问题，如测量高楼的高度、计算炮弹的射程等，通过运用几何与三角函数的知识进行求解，培养实际问题的解决能力。
3. 多做几何与三角函数的应用题：通过多做一些几何与三角函数的应用题，可以提高对知识的理解和掌握，并了解不同类型的问题求解方法。
同时，可以通过刷题来提升解题速度和应对考试的能力。
4. 考前复习和总结：在考前，学生需要进行系统的复习，并对几何与三角函数的应用能力进行总结。
可以通过查漏补缺，强化重点知识和难点理论，做重点题目，提高解题技巧和应试能力。
三、结语几何与三角函数的应用能力是2024年中考数学科目的重要考点，掌握这方面的知识与能力对于提高数学成绩至关重要。
初三三角函数、几何证明
初三期中复习(一)考点归纳：一、三角函数1、运用特殊三角函数值进行计算和化简2、锐角三角函数间的转化3、三角函数的实际应用（一）锐角三角函数之间的几种关系1.平方和关系：2.倒数关系：;3.商的关系：;4.互余关系：(二)锐角三角函数值的特殊性质1.有界性：2.增减性：若反之亦然.(三)坡度（坡比）、坡角、仰角、俯角、方位角等基本概念视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡度（或坡比）设坡角为α，坡度为i，则i=h:l 坡度一般写成1∶m的形式坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡a,及其夹角 ，拓展：任意三角形的面积公式：对于△ABC，已知两边b那么有θsin 21⋅=∆ab S ABC 二、几何证明及计算。
1、线段、角度之间的关系2、周长及面积的计算例题解析：考点一、三角函数的计算 1、318330tan )60(sin )2010(+-︒-︒+--π2、12009|3.14π| 3.1412cos 451)(1)2-⎛⎫-+÷+-++- ⎪ ⎪⎝⎭°3、4、已知0°＜α＜45°，sin cos 16αα⋅=，则=αsin︒-︒︒+︒60tan 45cot 30cot 45tan5.已知的值.6.计算：2sin 48°+2sin 42°—tan 44°·tan 45°·tan 46°7、2sin 1°＋2sin 2°＋···＋2sin 88°＋2sin 89°。
考点二：锐角三角函数性质的应用 1.在下列不等式中，错误的是（ ）A ．sin45○＞sin30○B ．cos60○＜cos30○C ．tan45○＞tan30○D ．cos30○＜cos60○2.已知，则锐角A 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．3.若∠A 为锐角，且23cos <A ，则∠A 的取值范围是（ ）（A ） 小于300 （B ）大于300 （C ）大于450且小于600 （D ）大于6004.若0°＜α＜90°，则αααα22sin 1cos sin cos 1-+-的值为__________30°30°H M GDE F CB A考点三、三角函数的实际应用6.如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC ）为30°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据）.⑴若修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,则平台DE 的长最多为 米；⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？7． (2013四川内江，20,10分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D 的仰角为60°.已知A 点的高度AB 为3米.台阶AC 坡度为1（即AB ：BC =1），且B 、C 、E 三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE 的高度（测倾器的高度忽略不计）.考点四、几何证明及计算CBA【例1】 在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，点P 是三角形内的任意一点，PD ⊥BC于D,PE ⊥AC 于E ， PF ⊥AB 于F ，AB=a ，(1)求证：PD+PE+PF 为定值.(2)求出这个定值。
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与三角函数有关的几何题例1、如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 析解：（1）证明：如图6，连接OC ．OA OB = ，CA CB =，OC AB ∴⊥．AB ∴是⊙O 的切线．（2）BC 2=BD ×BE ．ED 是直径，90ECD ∴∠= ．90E EDC ∴∠+∠= ．又90BCD OCD ∠+∠=，OCD ODC ∠=∠，BCD E ∴∠=∠．又CBD EBC ∠=∠ ，BCD BEC ∴△∽△．BC BDBE BC∴=．∴BC 2=BD ×BE . （3）1tan 2CED ∠= ，12CD EC ∴=． BCD BEC △∽△，12BD CD BC EC ∴==．设BD x =，则2BC x =． 又BC 2=BD ×BE ，∴（2x ）2=x (x +6)解之，得10x =，22x =．0BD x => ，2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=．2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥，，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ． （1）求证：BC EC =;（2）若4cos 5BEC ∠=, 求DC 的长．3、如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是的中点，OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A 的度数； （2）求证：BC 是⊙O 的切线； （3）求MD 的长度．分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A 的度数． （2）要证BC 是⊙O 的切线，只要证明AB ⊥BC 即可．（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD 的长度． 解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°． （2）证明：在△ABC 中，∵cosC=，∴∠C=60°．又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线． （3）解：∵点M 是的中点，∴OM ⊥AE ．在Rt △ABC 中，∵BC=2，∴AB=BC •tan60°=2×=6．∴OA==3，∴OD=OA=，∴MD=．点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．4、如图，已知Rt △ABC 和Rt △EBC ，∠B=90°．以边AC 上的点O 为圆心、OA 为半径的⊙O 与EC 相切，D 为切点，AD ∥BC ． （1）用尺规确定并标出圆心O ；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）求证：∠E=∠ACB ； （3）若AD=1，，求BC 的长．B分析：（1）若⊙O与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点．（2）由（1）知OD⊥EC，则∠ODA、∠E同为∠ADE的余角，因此∠E=∠ODA=∠OAD，而AD∥BC，可得∠OAD=∠ACB，等量代换后即可证得∠E=∠ACB．（3）由（2）证得∠E=∠ACB，即tan∠E=tan∠DAC=，那么BC=AB；由于AD∥BC，易证得△EAD∽△EBC，可用AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB的长，进而可得到BC的值．解答：（1）解：（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC 的交点等）．（2）证明：连接OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°﹣∠EDA．又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°﹣∠EDA．∴∠E=∠ODA；又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．（3）解：Rt△DEA中，tan∠E=，又tan∠E=tan∠DAC=，∵AD=1，∴EA=．Rt△ABC中，tan∠ACB=，又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．∴=，∴可设AB=，BC=2x，∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．∴=，即．∴x=1，∴BC=2x=2．点评：此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出O点的位置，是解答此题的关键．5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：点D是BC的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的长．解答：（1）证明：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴D是BC的中点；（2）DE是⊙O的切线．证明：连接OD．∵BD=DC，OB=OA，∴OD∥AC．∵AC⊥DE，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（3）解：∵AB=9，cosB=，∴BD=3．∴CD=3．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴cosC=．∴在△CDE中，CE=1，DE==．点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大．6、如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．解答：（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥OD．∴DE⊥AC．（2）解：过O作OF⊥BD，则BF=FD．在Rt△BFO中，∠B=30°，∴OF=OB，BF=OB．∵BD=DC，BF=FD，∴FC=3BF=OB．在Rt△OFC中，tan∠BCO====．点评：本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性．7、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．（1）求证：OE∥AB；（2）求证：EH=AB；（3）若，求的值．分析：（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB；（2）连接OF，求出EH=OF=DC=AB．（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．解答：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C，∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC，∴OE∥AB．（2）证明：连接OF．∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB，∵EH⊥AB，∴OF∥EH，又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形，∴EH=OF，∵OF=CD=AB，∴EH=AB．（3）解：连接DE．∵CD是直径，∴∠DEC=90°，则∠DEC=∠EHB，又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC，∴=，∵=，设BH=k，则BE=4k，EH==k，∴CD=2EH=2k，∴===．点评：本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题．8、如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．分析：（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；（2）根据∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．解答：（1）证明：方法1：连接OD、CD．∵BC是直径，∴CD⊥AB．∴AC=BC．∴D是AB的中点．∵O为CB的中点，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴OD⊥EF．∴EF是O的切线．方法2：因为AC=BC，所以∠A=∠ABC，因为∠ADF=∠EDB（对顶角），OB=OD，所以∠DBO=∠BDO，所以∠A+∠ADF=∠EDB+∠BDO=90°．∴EF是O的切线．（2）解：连BG．∵BC是直径，∴∠BGC=90°．∴CD==8．∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，∴BG=．∴CG=．∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．∴∠E=∠CBG，∴sin∠E=sin∠CBG=．点评：考查切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点，再证垂直即可．9、如图9，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=21. （1） 求B 点的坐标和k 的值； （2） 若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A 运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；（3） 探索：①当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是41； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图9【答案】解：（1）∵y= kx-1与y 轴相交于点C ， ∴OC=1∵tan ∠OCB=OC OB =21 ∴OB=21∴B 点坐标为：⎪⎭⎫ ⎝⎛021，把B 点坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛021，代入y= kx-1得 k=2（2）∵S =y 21⨯⨯OB ∵y=kx-1 ∴S =()1-x 22121⨯∴S =4121-x（3）①当S =41时，4121-x =41∴x=1，y=2x-1=11∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为4②存在.满足条件的所有P点坐标为：,0). ……………………………12分P1(1,0), P2(2,0), P3(2,0), P4(2。