《对数函数》PPT课件
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高中数学《对数函数》课件(共14张PPT)
底数的取值范围：底数a必须为正实数，且不能等于1。 输入值的范围：对数函数的输入值必须大于0且小于a的实数。 对数的运算顺序：对于多个对数的运算，应先将对数函数的自变量化简到最简形式，再计算对 数值。
谢谢大家
人教版高中数学必修五
五、对数函数的应用
对数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用，用于处理指数运算、比例运算、数值比较等 问题。 对数函数可以用于实现数据压缩和扩展，例如在声音信号处理中，可以使用对数函数将声音信 号的动态范围进行调整，以提高声音的质量和清晰度。 对数函数还可以用于计算复利、估算自然对数的值、求解方程组等问题。 在使用对数函数时，需要注意以下几点：
a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在下方;
0<a<1:
当:x>1, 图像在y轴下方；
当 0<x<1, 图像在轴上方;
函数性质
定义域：x>0
值域： R 当x=1时，y=0。
增函数 减函数
a>1: 当x>1, 则 y>0， 当0<x<1, 则y<0; 0<a<1: 当:x>1, 则y<0 当0<x<1, 则y>0;
5. 函数值分布:a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在y轴下方;
函数性质 定义域：x>0 值域： R 当x=1时，y=0。
增函数
a>1: 当x>1, 则 y>0， 当0<x<1, 则y<0;
0 a 1 y loga x
x 1
图像的特征 1．图像位于y轴右侧； 2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴； 3. 过（1.0）点 4. 单调性: 0<a<1时,图像下降; 5. 函数值分布: 0<a<1: 当:x>1, 图像在y轴下方； 当 0<x<1, 图像在轴上方;
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五、对数函数的应用
对数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用，用于处理指数运算、比例运算、数值比较等 问题。 对数函数可以用于实现数据压缩和扩展，例如在声音信号处理中，可以使用对数函数将声音信 号的动态范围进行调整，以提高声音的质量和清晰度。 对数函数还可以用于计算复利、估算自然对数的值、求解方程组等问题。 在使用对数函数时，需要注意以下几点：
a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在下方;
0<a<1:
当:x>1, 图像在y轴下方；
当 0<x<1, 图像在轴上方;
函数性质
定义域：x>0
值域： R 当x=1时，y=0。
增函数 减函数
a>1: 当x>1, 则 y>0， 当0<x<1, 则y<0; 0<a<1: 当:x>1, 则y<0 当0<x<1, 则y>0;
5. 函数值分布:a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在y轴下方;
函数性质 定义域：x>0 值域： R 当x=1时，y=0。
增函数
a>1: 当x>1, 则 y>0， 当0<x<1, 则y<0;
0 a 1 y loga x
x 1
图像的特征 1．图像位于y轴右侧； 2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴； 3. 过（1.0）点 4. 单调性: 0<a<1时,图像下降; 5. 函数值分布: 0<a<1: 当:x>1, 图像在y轴下方； 当 0<x<1, 图像在轴上方;
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单调性
换底公式
当底数a>1时，对数函数是单调增函数；当 0<a<1时，对数函数是单调减函数。
log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中c可以 是任意正实数且c≠1。
对数函数与指数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数，即如果y=log_a(x)，那么x=a^y。
对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。
偶函数
当底数为正数时，对数函数为偶函数，满足f(-x)=f(x)。
03
CHAPTER
对数函数的应用
对数函数在数学领域的应用
求解对数方程
对数函数在数学中常用于 求解对数方程，如求解以 自然对数为底的指数方程。
数值计算
对数函数在数值计算中也 有广泛应用，例如在计算 复利、求解物理问题中的 对数问题等。
在热力学中，对数函数用于描述温 度和热量之间的关系，特别是在处 理热传导和热辐射等问题时。
对数函数在计算机科学中的应用
数据压缩
网络传输
在数据压缩领域，对数函数用于实现 数据压缩和解压缩，特别是在处理图 像和音频等大数据量信息时。
在网络传输中，对数函数用于描述网 络流量和拥塞控制，特别是在处理网 络延迟和丢包等问题时。
加密算法
对数函数在加密算法中用于实现加密 和解密操作，例如基于对数原理的公 钥加密算法。
04
CHAPTER
对数函数与其他函数的关系
对数函数与幂函数的关系
要点一
总结词
对数函数和幂函数在形式上具有密切的联系，可以通过换 底公式相互转化。
要点二
详细描述
对数函数和幂函数之间的关系主要表现在它们的定义和性质 上。对数函数定义为“以某数为底，某数的指数为真数”， 而幂函数定义为“某数的指数为底，该数为真数”。通过换 底公式，我们可以将对数函数转化为幂函数的形式，反之亦 然。例如，以e为底的对数函数ln(x)可以转化为x的1/e次方 的幂函数形式。
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04 对数函数与其他函数的比 较
与指数函数的比较
指数函数和对数函数是互为反函数， 它们的图像关于直线y=x对称。
当a>1时，指数函数和对数函数都是 增函数，但它们的增长速度不同，对 数函数的增长速度更慢。
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图 像总是经过点(0,1)，而对数函数 y=log_a x（a>0且a≠1）的图像则 总是经过点(1,0)。
对数函数和三角函数的应用领域也不同。对数函数主要用于解决与对数运算相关的问题，如 对数的换底公式、对数的运算性质等；而三角函数则主要用于解决与三角形的边角关系、周 期性等问题相关的问题。
05 对数函数的学习方法与技 巧
学习方法
1 2 3
理解对数函数的定义
首先需要理解对数函数的基本定义，包括对数函 数的定义域、值域以及其变化规律。
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目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数的学习方法与技巧
01 对数函数的定义与性质
定义
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其中e是自然对数的底数，约等于 2.71828。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx。
当0<a<1时，指数函数和对数函数都 是减函数，但它们的下降速度也不同， 对数函数的下降速度更快。
与幂函数的比较
幂函数y=x^n（n为实数）的图像在 第一象限和第三象限都存在，而对数 函数y=log_a x（a>0且a≠1）的图像 只存在于第一象限。
幂函数的增长速度与指数和对数函数 不同，当n>0时，幂函数的增长速度 比对数函数更快；当n<0时，幂函数 的增长速度比对数函数更慢。
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习
2
2．作出下列函数的图像并判断它们在 (0,) 内的单调性．
(1) y log3 x ；
(2) y log1 x ．
3
智利的复活节岛上矗立着600多尊巨人石像，石像一般高7—10米， 重达30—90吨，都是由整块的暗红色火成岩雕凿而成的.美国科学家在 科考中使用的是“放射性碳年代鉴定法”进行考察与研究。
2
演示
1．函数图像都在 y 轴的 ，
2．函数图像都经过点
；
3．函数 y log2 x 的图像自左至右呈
函数 y log1 x 的图像自左至右呈
2
趋势； 趋势．
整体建构 理论升华
对数函数 y loga x a<0且a 1 具有下列性质：
1 函数的定义域是 (0, ) ．值域为, ；
2
函数图像经过点(1,0)；
. .
运用知识 强化练习
练习4.4.1
1．选择题
（1）若函数 y loga x 的图像经过点 2, 1 ，则底 a =( )．
练
A 2 B −2
C1 2
D 1 2
（2） 下列对数函数在区间(0,+ )内为减函数的是( )．
A y lg x B y log1 x C y ln x D y log2 x
设该物质最初的质量为 1，衰变 x 年后，该物质残留一半，则
0.84x 1 ， 2
于是
x
log
0.84
1 2
≈4（年）．
即该物质的半衰期为 4 年．
巩固知识 典型例题
例 碳-14的半衰期为5730年，古董市场有一幅达·芬奇的 绘画，测得其碳-14的含量为原来的94.1％，根据这个信息， 请你从时间上判断这幅画是不是赝品.
对数函数PPT课件
第4章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
对数函数的概念、图象及性质
第4章 指数函数与对数函数
1.了解对数函数的概念． 2.会画对数函数的图象，记 住对数函数的性质． 3．掌握对数函数图象和性质的应用．
第4章 指数函数与对数函数
1．对数函数的概念 一般地，函数 y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数 的定义域是___(0_，__＋__∞__)___，值域为___(_－__∞_，__＋__∞_)__．
a
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
定义 趋势
y＝logax(a>0 且 a≠1) a 值越大图象越靠近
a 值越小图象越靠近 x，y 轴 x，y 轴 x 趋于零，y 趋于－
x 趋于零，y 趋于＋∞；x 趋 ∞；x 趋于＋∞，y
于＋∞，y 趋于－∞ 趋于＋∞
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
3.y＝ax 称为 y＝logax 的反函数，反之，y＝logax 也称为 y＝ ax 的反函数，一般地，如果函数 y＝f(x)存在反函数，那么它 的反函数记作 y＝f－1(x)．
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
对数函数的图象和性质 (1)如图所示的曲线是对数函数 y＝ logax 的图象，已知 a 的取值可为35，110， 3， 43，则相应曲线 C1，C2，C3，C4 的底数 a 的值 依次为________． (2)若函数 y＝loga(x＋b)＋c(a>0，a≠1)的图象恒过定点(3，2)， 则实数 b，c 的值分别为________，________.
定义 共点性
函数值
对称性
y＝logax(a>0 且 a≠1) 图象过点__(1_，___0_)_，即 loga1＝0
4.4 对数函数
对数函数的概念、图象及性质
第4章 指数函数与对数函数
1.了解对数函数的概念． 2.会画对数函数的图象，记 住对数函数的性质． 3．掌握对数函数图象和性质的应用．
第4章 指数函数与对数函数
1．对数函数的概念 一般地，函数 y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数 的定义域是___(0_，__＋__∞__)___，值域为___(_－__∞_，__＋__∞_)__．
a
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
定义 趋势
y＝logax(a>0 且 a≠1) a 值越大图象越靠近
a 值越小图象越靠近 x，y 轴 x，y 轴 x 趋于零，y 趋于－
x 趋于零，y 趋于＋∞；x 趋 ∞；x 趋于＋∞，y
于＋∞，y 趋于－∞ 趋于＋∞
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
3.y＝ax 称为 y＝logax 的反函数，反之，y＝logax 也称为 y＝ ax 的反函数，一般地，如果函数 y＝f(x)存在反函数，那么它 的反函数记作 y＝f－1(x)．
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
对数函数的图象和性质 (1)如图所示的曲线是对数函数 y＝ logax 的图象，已知 a 的取值可为35，110， 3， 43，则相应曲线 C1，C2，C3，C4 的底数 a 的值 依次为________． (2)若函数 y＝loga(x＋b)＋c(a>0，a≠1)的图象恒过定点(3，2)， 则实数 b，c 的值分别为________，________.
定义 共点性
函数值
对称性
y＝logax(a>0 且 a≠1) 图象过点__(1_，___0_)_，即 loga1＝0
第6讲 对数与对数函数 课件(共82张PPT)
解析 由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19，故选 B．
解析 答案
2．已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 若 a>1，则 y＝ax 是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若 0<a<1， 则 y＝ax 是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选 B．
且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 10 ___y_＝__x___对称．
1．对数的性质(a＞0 且 a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝llooggccba(a，c 均大于 0 且不等于 1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即 logab＝log1ba(a，b 均大于 0 且不等于 1)； (3)logambn＝mn logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad.
增区间．
∵当 x∈(4，＋∞)时，函数 t＝x2－2x－8 为增函数，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选 D．
解析 答案
6．计算：log23×log34＋( 3)log34＝________. 答案 4 解析 log23×log34＋( 3)log34 ＝llgg 32×2llgg32＋3 log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.
8 5
＜lg152·lg
3＋lg 2
82＝
lg
3＋lg 2lg 5
82＝llgg
22452＜1，∴a＜b.由
b＝log85，得
8b＝5，由
55＜84，得
85b
＜84，∴5b＜4，可得 b＜45.由 c＝log138，得 13c＝8，由 134＜85，得 134＜135c，
对数课件(共18张PPT)
数学
基础模块（上册）
第四章 指数函数 与对数函数
4.2.1 对数
人民教育出版社
第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 对数
学习目标
知识目标 能力目标
理解对数的概念，熟练进行指数式与对数式的互化，掌握对数的性质与运算 法则，能够使用计算器求解对数值
学生运用分组探讨、合作学习，掌握对数与对数函数图象和性质，学会利用 计算器求对数的值，提高学生的数学运算能力
设经过b次分裂，可以列出等式： 2b=4096.
这是个已知底数和幂的值求指数的问题. 一般地，若ab＝N(a＞0，且a≠1,N＞0)，则称幂指
数b是以a为底N的对数．例如： 因为42＝16，所以2是以4为底16的对数； 因为43＝64，所以3是以4为底64的对数；
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
实质上，上述对数式，不过是指数式的另一种表达 形式而已.
例如：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
34=81 与4=log381 这两个式子表达的是同一关系.
拓展延伸 对数恒等式
我们来推导对数恒等式。 因为ab=N，根据对数的定义得b=logaN，于是得到 下面的对数恒等式:
aloga N N . 例如，2log2 32 32，10log10100 100 .
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
基础模块（上册）
第四章 指数函数 与对数函数
4.2.1 对数
人民教育出版社
第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 对数
学习目标
知识目标 能力目标
理解对数的概念，熟练进行指数式与对数式的互化，掌握对数的性质与运算 法则，能够使用计算器求解对数值
学生运用分组探讨、合作学习，掌握对数与对数函数图象和性质，学会利用 计算器求对数的值，提高学生的数学运算能力
设经过b次分裂，可以列出等式： 2b=4096.
这是个已知底数和幂的值求指数的问题. 一般地，若ab＝N(a＞0，且a≠1,N＞0)，则称幂指
数b是以a为底N的对数．例如： 因为42＝16，所以2是以4为底16的对数； 因为43＝64，所以3是以4为底64的对数；
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
实质上，上述对数式，不过是指数式的另一种表达 形式而已.
例如：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
34=81 与4=log381 这两个式子表达的是同一关系.
拓展延伸 对数恒等式
我们来推导对数恒等式。 因为ab=N，根据对数的定义得b=logaN，于是得到 下面的对数恒等式:
aloga N N . 例如，2log2 32 32，10log10100 100 .
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
对数函数课件(共19张PPT)
即约经过4年，该放射性物质的剩留量是原来的一 半.
在②式中，对应任意一个“剩留量y”，都可求出 唯一的“经过的年数x"，如果以“剩留量”作为自变量， 则依函数的定义，“经过的年数”与“剩留量”之间具 有函数关系.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
情感目标 通过本节课学习，使学生，提升学生数学的直观想象、数学抽象、数学运算、 数学建模的核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
通常我们用x表示自变量，用y表示因变量，于是上 述的函数关系，可表示为
x=log0.84y· 一般地，函数
y=logax(a＞0，且a≠1，x＞0). 称为对数函数.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
一般地，对数函数 y=logax(a＞0，且a≠1)
具有下列性质： (1)定义域是（0,+∞)，值域是R； (2)当x=1时，y=0，即函数的图象都经过点(1,0)； (3)在其定义域内，当a＞1时这个函数是增函数，
数学
基础模块（上册）
第四章 指数函数 与对数函数
4.2.4 对数函数
人民教育出版社
第四章 指数函数与对数函数 4.2.4 对数函数
在②式中，对应任意一个“剩留量y”，都可求出 唯一的“经过的年数x"，如果以“剩留量”作为自变量， 则依函数的定义，“经过的年数”与“剩留量”之间具 有函数关系.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
情感目标 通过本节课学习，使学生，提升学生数学的直观想象、数学抽象、数学运算、 数学建模的核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
通常我们用x表示自变量，用y表示因变量，于是上 述的函数关系，可表示为
x=log0.84y· 一般地，函数
y=logax(a＞0，且a≠1，x＞0). 称为对数函数.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
一般地，对数函数 y=logax(a＞0，且a≠1)
具有下列性质： (1)定义域是（0,+∞)，值域是R； (2)当x=1时，y=0，即函数的图象都经过点(1,0)； (3)在其定义域内，当a＞1时这个函数是增函数，
数学
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第四章 指数函数 与对数函数
4.2.4 对数函数
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第四章 指数函数与对数函数 4.2.4 对数函数
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解：原式＝log2 478＋log212－log2 42－log22 ＝log2 48×7×4122×2＝log2212＝log22－32＝－23.
考点二 对数函数的图象
【案例2】 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成 立，则a的取值范围是( )
A．பைடு நூலகம்0,1)
B．(1,2)
C．(1,2]
考点一 对数式的运算
【案例1】 计算：
(1)log535－2log573＋log57－log51.8；
(2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log14 32.
2
关键提示：利用对数运算性质进行计算．
解：(1)log535－2log573＋log57－log51.8 ＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2.
(2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log214 32 ＝12log23＋13log23log32＋12log32＋log2254 ＝56log23×32log32＋54 ＝56×32×llgg 32×llgg 23＋54 ＝54＋54＝52.
【即时巩固 1】 计算： log2 478＋log212－21log242－1.
3．log 3a＝－2log37，则 a＝________.
解析：由 log 3a＝－2log37，得 log3a2＝log37－2，
所以a2＝712， a＞0，
得 a＝17.
答案：71
4．函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间是________． 解析：f(x)的定义域为(－2,2)，
A. 3，43，35，110 B. 3，43，110，53 C.34， 3，35，110 D.43， 3，110，35
解析：作直线y＝1与图象相交，则4个交点所对应的图象的底数从左向右依次增 大，故C4，C3，C2，C1的底数依次变大．
答案：A
考点三 对数函数的性质及应用 【案例 3】 求函数 y＝ loga－x2－x(0＜a＜1)的定义 域和值域．
在f2(x)＝logax在(1,2)上的图象下方． 当0<a<1时，显然不成立．
当a>1时，如图．要使在(1,2)上，
f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－ 1)2≤loga2，所以loga2≥1，所以1<a≤2，故选C.
答案：C
【即时巩固 2】 如图所示的曲线是 y＝logax 的图象．已 知 a 取 3，34，53，110，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 的值 依次为( )
nlog.aM
3．对数的换底公式及对数的恒等式：
(1)alogaN＝ (2)logaan＝
(对数恒等式)． .N
n
(3)logaN＝llooggbbNa (换底公式)． (4)logab＝log1ba. (5)logaN＝loganNn.
4．对数函数的图象与性质：
对数函数
图 象
x＞0，y∈R
增当x＝1时，y＝0
令y＝log2u，u＝4－x2. 由复合函数的单调性可知f(x)在(－2,0]上单调递增．
答案：(－2,0]
1．比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同，可 运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与1比较．
2．把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值， 这是求指数、对数函数的常见题型．在给定条件下，求字母的取值范围也是 常见题型，尤其与指数、对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜．
减
性 在定义域内(是0，＋∞) 函
质
数 (－∞，0)
在定义域内(－是∞，0) 函数 (0，＋∞)
当x＞1时，y∈
当x＞1时，y∈
答案：A
2．函数f(x)＝lg 1－x2的定义域为( )
A．[0,1]
B．(－1,1)
C．[－1,1]
解析：由1－x2＞0，得－1＜x＜1.
答案：DB ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
1．如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么幂指数b叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做底数，N叫做 ．
2．积、商、幂、方根的对lo数gaN(M、N都是正数，a＞0，且a≠1，n≠0真)．数
(1)loga(M·N)＝
＝
.
M (2)loga N
logaM＋logaN. logaM－logaN
(3)logaMn＝
D.0，12
关键提示：研究函数 y＝(x－1)2 与 y＝logax 的图象．
解析：此不等式无法直接求解，可数形结合画出y＝logax和y＝(x－1)2在(1,2)上 的图象．设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使x∈(1,2)时，不等式(x－ 1)2<logax恒成立，只需要f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象处
值域是yy≥
1 loga4 .
【即时巩固3】 已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性． 解：(1)由条件知ax－1＞0，所以ax＞1. 当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0. 所以当a＞1时，定义域为(0，＋∞)； 当0＜a＜1时，定义域为(－∞，0)．
关键提示：运用对数函数的性质进行分析求解．
解：由函数 y＝ loga－x2－x得不等式组
－x2－x>0，
①
loga－x2－x≥0. ②
由①得 x(x＋1)<0，则－1<x<0.
因为 0<a<1，由②得 loga(－x2－x)≥loga1， 所以－x2－x≤1，即 x2＋x＋1≥0，解得 x∈R.
因为－x2－x＝－(x2＋x)＝－x＋212＋41， 所以函数的值域为 loga14，＋∞. 因此，函数的定义域为{x|－1<x<0}，
(2)当a＞1时，g(x)＝ax－1为增函数．
而y＝logax也为增函数，所以f(x)为增函数． 当0＜a＜1时，g(x)＝ax－1为减函数．
而y＝logax也为减函数，所以f(x)为增函数． 综上可知函数f(x)一定为增函数．
感谢下 载
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考点二 对数函数的图象
【案例2】 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成 立，则a的取值范围是( )
A．பைடு நூலகம்0,1)
B．(1,2)
C．(1,2]
考点一 对数式的运算
【案例1】 计算：
(1)log535－2log573＋log57－log51.8；
(2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log14 32.
2
关键提示：利用对数运算性质进行计算．
解：(1)log535－2log573＋log57－log51.8 ＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2.
(2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log214 32 ＝12log23＋13log23log32＋12log32＋log2254 ＝56log23×32log32＋54 ＝56×32×llgg 32×llgg 23＋54 ＝54＋54＝52.
【即时巩固 1】 计算： log2 478＋log212－21log242－1.
3．log 3a＝－2log37，则 a＝________.
解析：由 log 3a＝－2log37，得 log3a2＝log37－2，
所以a2＝712， a＞0，
得 a＝17.
答案：71
4．函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间是________． 解析：f(x)的定义域为(－2,2)，
A. 3，43，35，110 B. 3，43，110，53 C.34， 3，35，110 D.43， 3，110，35
解析：作直线y＝1与图象相交，则4个交点所对应的图象的底数从左向右依次增 大，故C4，C3，C2，C1的底数依次变大．
答案：A
考点三 对数函数的性质及应用 【案例 3】 求函数 y＝ loga－x2－x(0＜a＜1)的定义 域和值域．
在f2(x)＝logax在(1,2)上的图象下方． 当0<a<1时，显然不成立．
当a>1时，如图．要使在(1,2)上，
f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－ 1)2≤loga2，所以loga2≥1，所以1<a≤2，故选C.
答案：C
【即时巩固 2】 如图所示的曲线是 y＝logax 的图象．已 知 a 取 3，34，53，110，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 的值 依次为( )
nlog.aM
3．对数的换底公式及对数的恒等式：
(1)alogaN＝ (2)logaan＝
(对数恒等式)． .N
n
(3)logaN＝llooggbbNa (换底公式)． (4)logab＝log1ba. (5)logaN＝loganNn.
4．对数函数的图象与性质：
对数函数
图 象
x＞0，y∈R
增当x＝1时，y＝0
令y＝log2u，u＝4－x2. 由复合函数的单调性可知f(x)在(－2,0]上单调递增．
答案：(－2,0]
1．比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同，可 运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与1比较．
2．把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值， 这是求指数、对数函数的常见题型．在给定条件下，求字母的取值范围也是 常见题型，尤其与指数、对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜．
减
性 在定义域内(是0，＋∞) 函
质
数 (－∞，0)
在定义域内(－是∞，0) 函数 (0，＋∞)
当x＞1时，y∈
当x＞1时，y∈
答案：A
2．函数f(x)＝lg 1－x2的定义域为( )
A．[0,1]
B．(－1,1)
C．[－1,1]
解析：由1－x2＞0，得－1＜x＜1.
答案：DB ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
1．如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么幂指数b叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做底数，N叫做 ．
2．积、商、幂、方根的对lo数gaN(M、N都是正数，a＞0，且a≠1，n≠0真)．数
(1)loga(M·N)＝
＝
.
M (2)loga N
logaM＋logaN. logaM－logaN
(3)logaMn＝
D.0，12
关键提示：研究函数 y＝(x－1)2 与 y＝logax 的图象．
解析：此不等式无法直接求解，可数形结合画出y＝logax和y＝(x－1)2在(1,2)上 的图象．设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使x∈(1,2)时，不等式(x－ 1)2<logax恒成立，只需要f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象处
值域是yy≥
1 loga4 .
【即时巩固3】 已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性． 解：(1)由条件知ax－1＞0，所以ax＞1. 当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0. 所以当a＞1时，定义域为(0，＋∞)； 当0＜a＜1时，定义域为(－∞，0)．
关键提示：运用对数函数的性质进行分析求解．
解：由函数 y＝ loga－x2－x得不等式组
－x2－x>0，
①
loga－x2－x≥0. ②
由①得 x(x＋1)<0，则－1<x<0.
因为 0<a<1，由②得 loga(－x2－x)≥loga1， 所以－x2－x≤1，即 x2＋x＋1≥0，解得 x∈R.
因为－x2－x＝－(x2＋x)＝－x＋212＋41， 所以函数的值域为 loga14，＋∞. 因此，函数的定义域为{x|－1<x<0}，
(2)当a＞1时，g(x)＝ax－1为增函数．
而y＝logax也为增函数，所以f(x)为增函数． 当0＜a＜1时，g(x)＝ax－1为减函数．
而y＝logax也为减函数，所以f(x)为增函数． 综上可知函数f(x)一定为增函数．
感谢下 载
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