高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案

抛物线及其标准方程导学案

【学习要求】

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.

2．会求简单的抛物线的方程.

【学法指导】

通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

【知识要点】

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的

2．抛物线标准方程的几种形式

图形标准方程焦点坐标准线方程

探究点一抛物线定义

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，

在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.

问题1画出的曲线是什么形状？

问题2|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

问题3点D在移动过程中，满足什么条件？

问题 4在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？

例1方程[]2

2)1

(

)3

(2-

+

+y

x＝|x－y＋3|表示的曲线是()

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

跟踪训练1（1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线

（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是()

A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线

探究点二抛物线的标准方程

问题 1结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？

问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？

问题3根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？

例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.

（1）y2＝－6x；（2）3x2＋5y＝0；

（3）y＝4x2；（4）y2＝a2x (a≠0).

跟踪训练2（1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为()

A．⎝⎛⎭⎫

7

16，0B．⎝

⎛

⎭

⎫

－

7

4，0C．⎝

⎛

⎭

⎫

－

7

16，0D．⎝

⎛

⎭

⎫

0，－

7

4

（2）抛物线y＝－

1

4x

2的准线方程是()

A．x＝

1

16B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2

例3分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

（1）准线方程为2y＋4＝0；

（2）过点(3，－4)；

（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.

跟踪训练3（1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()

A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8y

C．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x

（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、

抛物线方程及其准线方程.

探究点三 抛物线定义的应用

例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12

. （1）求点M 的轨迹方程；

（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716

B ．1516

C ．78

D ．0

（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．

172

B ．3

C ． 5

D ．92

【当堂检测】

1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y

2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p

2)，则点M 的横坐标是 ( )

A ．a ＋p

2

B ．a －p

2

C ．a ＋p

D ．a －p

3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2

B ．3

C ．115

D ．3716

4．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________

【课堂小结】

1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.

2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).

【拓展提高】

1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =

2．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，

那么AB =（ ）

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )

A ．y 2＝9x

B ．y 2＝6x

C ．y 2＝3x

D ．y 2＝3x

4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为

【课后作业】

一、基础过关

1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是

( )

A ．(2,0)

B ．(－2,0)

C ．(4,0)

D ．(－4,0)

2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 2

2＝1上，则抛物线方程为 ( )

A ．y 2＝8x

B ．y 2＝4x

C ．y 2＝2x

D ．y 2＝±8x

3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为

( )

A ．12

B ．1

C ．2

D ．4

4．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为

( )

A ．圆

B ．抛物线和一条射线

C ．椭圆

D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 2

9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.

6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________.

7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升

8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )

A ．12

B ．1

C ．32

D ．2

9．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是

( )

A ．(0,2)

B ．[0,2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－

3，那么|PF |＝________.

11．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程.