概率论与数理统计学1至7章课后标准答案

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概率论与数理统计学1至7章课后答案

一、习题详解：3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35P X Y <≤<≤.解：因为 257(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤<==+--=----745672322220.02343.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)且 0)1,2(===Y X P ，6.053)2,2(452223=====C C C Y X P 4.052)1,3(451233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 81)21()3,0(3====Y X P ，83)21()21()1,1(2113====C Y X P 83)21()21()1,2(1223====C Y X P ，81)21()3,3(3====Y X P故(X ,Y )3.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,a x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 (1) 确定常数a ;(2) 求}{0.5, 1.5P X Y ≤≤(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdy y x a dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰--=+∞∞-+∞∞-102)6(),(dx x x a dx y x a ⎰⎰---=---=10221022])4()6[(2])6(21[a dx x a 9)5(210=-=⎰由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得9a =1，故a =1/9.(2) dxdy y x Y X P ⎰⎰--=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0( dx x dx y y x ⎰⎰--=--=5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91 125)687(5.00=-=⎰dx x (3) 1101{(,)}(,)(6)9xDP X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈==--⎰⎰⎰⎰278)1211(181]21)6([9110210102=--=--=⎰⎰-dx x x dx y y x x3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数(,)F x y ; (2) 求}{P Y X ≤解：(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>，(2)220(,)(,)22(1)(1)yxyxx yu v u v x y F x y f u v dudv e dudv e du e dv e e -+-----∞-∞====--⎰⎰⎰⎰⎰⎰其他情形，由于(,)f x y =0，显然有(,)F x y =0。

概率论与数理统计课后习题答案

第一章事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。

（4）A ，B ，C 都发生。

（5）A ，B ，C 都不发生。

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。

（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。

解（1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B B A B A =（2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若,（4）若A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ⊂，则Φ=BC解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

概率论与数理统计及其应用课后习题答案

第一章随机事件及其概率1、解：（1）{}67,5,4,3,2=S（2）{} ,4,3,2=S（3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P )])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂ 218185=-= 3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 25189********)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330” (1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；（2）4只中至少有2只红球；（3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338 （2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单” nkn k n M M C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

第一章思考题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

《概率论与数理统计教程》课后习题解答

第一章事件与概率1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2)C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1)n i iA 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i nij j ji A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为nji j i jiAA ≠=1,；1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解样本点总数为7828⨯=A 。

所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A “所得分数为既约分数”包含6322151323⨯⨯=⨯+A A A 个样本点。

于是14978632)(=⨯⨯⨯=A P 。

1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-⨯个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第二章作业题解:掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。

故 1-=e a甲、乙两人投篮时, 命中率分别为和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ，两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。

所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k ，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P设事件A 在每次试验中发生的概率均为 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第五章作业题解5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得)2100|7300(|)94005200(<-=<<X P X P982100700112222=-=-≥εσ.5.2 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 1{02}P X λλλ-<<≥. 解：因为)(~λP X ，所以λμ==)(X E 。

λσ==)(2X Var 故由切比雪夫不等式，得)|(|)20(λλλ<-=<<X P X P λλλλεσ111222-=-=-≥不等式得证.5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.解：设第i 袋大米的重量为X i ，(i =1,2,…,100)，则100袋大米的总重量为∑==1001i i X X 。

因为 10)(=i X E ，1.0)(=i X Var ，所以 100010100)(=⨯=X E ，101.0100)(=⨯=X Var 由中心极限定理知，101000-X 近似服从)1,0(N故 )10|1000(|)1010990(<-=<<X P X P1)10(2)10|101000(|-Φ≈<-=X P998.01999.021)16.3(2=-⨯=-Φ=5.4 一加法器同时收到20个噪声电压,(1,2,,20)i V i = ，设它们是相互独立的随机变量，并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。

记201k k V V ==∑，求(105)P V >的近似值。

概率论与数理统计（第三版）课后答案习题7

第七章参数估计1. 解 )1()(,)(),,(~p np X D np X E p n B X -==∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==22)1(,)()(B p np X np B X D X X E 即由解之，得n,p 的矩估计量为XB p B X X n 2221,-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∧∧注：“[ ]”表示取整。

2. 解因为：220)(22)(1)1()(1)()(λλθλλθλθλθλ++=⋅=+=⋅==⎰⎰⎰∞+--∞+--∞+∞-dx e x x E dx e x dx x xf x E x x所以，由矩估计法得方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧++=+=2221)1(1λλθλθA X 解得λθ,的矩估计量为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∧∧221B B X λθ3. 解 (1) 由于 222)]([)()(X E X E X D -==σ令 ∑===n i iX n A X E 12221)( 又已知 μ=)(X E故 2σ的矩估计值为 ∑∑==∧-=-=-=n i i n i i X n X n A 12122222)(11μμμσ(2) μ已知时，似然函数为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅=∑=-ni in x L 122222)(21exp )2()(μσπσσ因此∑=---=ni ixn L 12222)(21)2ln(2)(ln μσπσσ令 0)(2112)(ln 124222=-+-=∑=ni ixn L d dμσσσσ解得2σ的极大似然估计为: ∑=∧-=n i i X n 122)(1μσ4. 解矩估计：λλ=∴=)()(X E X E 令X X E =)(故X =∧λ为所求矩估计量。

注意到 λ=)(X D 若令 2)(B X D =, 可得: 2B =∧λ似然估计：因为λλ-==e k k X P k!)(所以，λ的似然函数为∏=-=ni i xe x L i1!)(λλλ取对数λλλn x x L ni i ni i --=∑∑==11)!ln(ln )(ln令ln 1=-=∑=n xd d ni iλλλ, 解得∑=∧=ni ix n 11λ故,λ极大似然估计量为 X =∧λ5. 解矩估计：21)1()()(11++=+==⎰⎰+∞+∞-θθθθdx x dx x xf X E令 X X E =)(, 即 X=++21θθ; 解之X X --=∧112θ 似然估计: 似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=⎪⎩⎪⎨⎧<<+=∏∏==其它其它,010,)()1(,010,)1()(11i ni i ni n i i x x x x L θθθθθ 只需求10,)()1()(11<<+=∏=i ni i nx x L θθθ的驻点即可.又∑=++=ni ix n L 11ln )1ln()(ln θθθ令∑=++=ni ix n L d d 11ln 1)(ln θθθ; 解之∑=∧--=ni ixn1ln 1θ6. 解：似然函数为∑===---=-=---∏∏ni i i xn i i n ni x i ex ex L 12222)(l n 21112212)(l n 12)()2(21),(μσσμπσσπσμ取对数得 ∑----===∏n i ini i x x n L 122122)(l n 21)l n ()2l n (2),(ln μσπσσμ由 0)(l n 2112),(ln 0)1()(ln 221),(ln 124222122=∑-+⋅-=∂∂=∑-⋅--=∂∂==n i i n i i x n L x L μσσσμσμσσμμ联立解之，2,σμ的极大似然估计值为 ∑∑-=∑===∧=∧n i n i i in i i x n x n x n 12121)ln 1(ln 1,ln 1σμ7. 解：似然函数为 n i x x e ax L i i n i x a i ai ,,2,1;0,00,)(11 =⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∏=--λλλ只需求∑⋅===--==--∏∏ni ai ai x a n i n n ni x a i ex a eax L 111111)()(λλλλλ的最值点。

概率论与数理统计第二版课后习题答案

概率论与数理统计第二版课后习题答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。

而课后习题是学习这门学科的重要环节，通过解答习题可以巩固所学知识，提高问题解决能力。

本文将为大家提供《概率论与数理统计第二版》课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

第一章：概率论的基本概念1. 事件A、B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A∪B)。

解答：由于A、B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.3×0.4=0.12。

根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.4-0.12=0.58。

2. 设A、B为两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，若P(A∩B)=0.3，求事件“既不发生A也不发生B”的概率。

解答：事件“既不发生A也不发生B”可以表示为A和B的补集的交集，即A'∩B'。

根据概率的补集公式，P(A')=1-P(A)=0.4，P(B')=1-P(B)=0.3。

由于A、B相互独立，所以P(A'∩B')=P(A')×P(B')=0.4×0.3=0.12。

第二章：离散型随机变量及其分布律1. 设随机变量X的分布律为：P(X=k)=C(10,k)×(0.3)^k×(0.7)^(10-k)，其中C(10,k)表示10中取k的组合数。

求P(X≥6)。

解答：P(X≥6)=1-P(X<6)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=1-[C(10,0)×(0.3)^0×(0.7)^10+C(10,1)×(0.3)^1×(0.7)^9+C(10,2)×(0.3)^2×(0.7)^8+ C(10,3)×(0.3)^3×(0.7)^7+C(10,4)×(0.3)^4×(0.7)^6+C(10,5)×(0.3)^5×(0.7)^5]=1 -[1×1×(0.7)^10+10×0.3×(0.7)^9+45×0.09×(0.7)^8+120×0.027×(0.7)^7+210×0. 0081×(0.7)^6+252×0.00243×(0.7)^5]=1-0.0282≈0.9718。

《概率论与数理统计》课后习题答案

第一章： 10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解3813107()15C P A C ==.333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=，或182231014()1()115C P A P A C =-=-=，2833107()30C P A C ==.16．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P A B解()1()1()()0.3P AB P AB P A P B =-=--=因为,A B 不相容，所以A B ⊃，于是 ()()0.6P A B P A ==20．设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=，求()P AB 与()P AB . 解0.3()()()0.7()P A B P A P AB P AB =-=-=-，所以()0.4P AB =，故()0.6P AB =；0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-.所以 ()0.6P B =()1()1()()()0.1P AB P A B P A P B P AB =-=--+= 22．设AB C ⊂，试证明()()()1P A P B P C +-≤[证] 因为AB C ⊂，所以()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-故()()()1P A P B P C +-≤. 证毕.19．设,,A B C 是三个事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====，1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率。

解()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 因为0()()0P ABC P AB ≤≤=，所以()0P ABC =，于是315()488P A B C =-= 22．随机地取两个正数x 和y ，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.解，不等式确定平面域S .A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不等式确定了S 的子域A ，故0.90.10.9()(1)A P A x dx x==--⎰的面积S 的面积0.40.18ln 30.2=-=第二章4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =，则345A B B B =++，所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解()()()() 1.1()(|) 1.10.40.7P A B P A P B P AB P A P B A =+-=-=-=()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

概率论与数理统计第一章课后答案

习题1.11．试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果．解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果．（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球．（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x 表示，则有(,)x m m εε∈-+，其中m 为小包白糖的重量，ε为称量结果的误差限．易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生．2．写出下列试验的样本空间．（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 [0 ，t ] 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标．解（1）Ω={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}；（2）Ω={0，1，2，3，……}；（3）Ω={（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1), (1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x ，y ）,则x ，y 应满足条件22 1.x y +≤故此试验的样本空间为{}22(,)| 1.x y x y Ω=+≤3．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同” ，B =“点数之和为10” ，C =“最小点数为4” ．试分别指出事件A 、B 、C 以及A B 、ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点．解A ={(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6)} ;B ={(4,6) ，(5,5) ，(6,4)};C ={(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4)};{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}A B =;ABC =∅AC ={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6)};C A -={(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)};{(5,5)}.BC =4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件k A（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k ” ，试用k A 间的运算表示下列事件：（1）呼唤次数大于2 ；（2）呼唤次数在5到10次范围内；（3）呼唤次数与8的偏差大于2 ．解 (1) 3A ；(2) 115A A -；(3) 611A A .5．试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件：（1）A 发生而B 不发生；（2）A 不发生但B 、C 至少有一个发生；（3）A 、B 、C 中只有一个发生；（4） A 、B 、C 中至多有一个发生；（5）A 、B 、C 中至少有两个发生；（6）A 、B 、C 不同时发生．解 (1)AB ；(2)()A B C ；(3) ABC ABC A BC ； (4) AB A C BC ； (5)AB BC AC ； (6) ABC6．在某大学金融学院的学生中任选一名学生．若事件A 表示被选学生是女生，事件B 表示该生是大学二年级学生，事件C 表示该生是运动员．（１）叙述ABC 的意义．（2）在什么条件下ABC C =成立？（3）在什么条件下A B ⊂成立？解（1）该生是二年级女生，但非运动员．（2）全学院运动员都是二年级女生．（3）全系男生都在二年级7．化简下列各事件：（1） ()A B A -；（2）()A B B -；（3）()A B A - ；（4）()A B B -（5）()()()A B A B A A ．.解．(1) ()A B A A -=； (2) ()A B B A B -= ； (3) ()A B A A B -=- ；(4) ()A B B -=Φ； (5) ()()()()A B A B A B A A B AB ==.习题1.2 1．已知事件A 、B 、AB 的概率分别为0.4，0.3，0.6．求()P A B 解由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-及题设条件得()0.40.30.60.1P AB =+-=又 ()()()()0.40.10.3P AB P A B P A P AB =-=-=-=2．设1()()()4P A P B P C ===，()0P AB =，1()()16P AC P BC ==，求（1）A 、B 、C 中至少有一个发生的概率；（2）A 、B 、C 都不发生的概率。

概率论和数理统计学1至7章课后答案解析

一、第六章习题详解6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式.证明： (1) ∑∑∑===+=+==ni i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 111)(1)(11b X a b X n a ni i +=+=∑=1)1((2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Yb X a b aX n Y Y n S 12122)]()[(1)(11 2212212)(1)]([1X ni i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑==6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。

证明与2(),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =1212111[()]()()n n E X X X E X X X n nn n μμ++=++==()Var X =22121222111[()]()()n n Var X X X E X X X n nnn nσσ++=++==6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2σ的总体的样本,2211()1ni i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2S =)(11212X n X n ni i --=∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 122122)2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑=)(11212X n X n ni i --=∑= (2) )(11)(2122X n X E n S E n i i --=∑=)]()([11212X nE X E n ni i --=∑= ]})()([])()([{11212X E X Var n EX X Var n ni i i +-+-=∑= )}()({1122122μσμσ+-+-=∑=nn n ni )]()([112222μσμσn n n +-+-=222)(11σσσ=--=n n6.4 在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少？解：因为1)3.0(2)/3.0|/(|)3.0|(|-Φ≈<-=<-n nnX P X P σσμμ依题意有，95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值 μ=200 欧姆, 标准差σ=10 欧姆的分布,在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.(1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; (2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率.解：由抽样分布定理，知nX /σμ-近似服从标准正态分布N (0,1)，因此(1) )25/10200199()25/10200202()202199(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=5328.06915.018413.0=+-= (2) )204()255100()5100(≤=≤=≤X P X P X n P9772.0)2()25/10200204(=Φ=-Φ≈6.6 假设某种设备每天停机时间服从均值μ=4 小时、标准差σ=0.8小时的分布. (1) 求一个月(30天) 中, 每天平均停机时间在1到5小时之间的概率; (2) 求一个月(30天) 中, 总的停机时间不超过115 小时的概率. 解：(1))30/8.041()30/8.045()/1()/5()51(-Φ--Φ=-Φ--Φ≈≤≤nnX P σμσμ1)54.20()85.6(≈-Φ-Φ=(2) )30115()11530(≤=≤X P X P 1271.08729.01)14.1(1)30/8.0430/115(=-=Φ-=-Φ≈6.7 设~n T t ，证明()0,2,3,.E T n ==证：)(n t 分布的概率密度为: +∞<<-∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛+Γ+Γ=+-t n x n n n x f n ,1)2/(]2/)1[()(212π，()()E T xf x dx +∞-∞==⎰=112222212211(1)10n n nx x x dx d n n nx n ++--+∞+∞-∞-∞-+∞-∞⎫⎫+=++⎪⎪⎭⎭⎫=+=⎪⎭⎰⎰6.8 设总体X ~N(150，252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {140147.5}P X ≤≤. 解：已知150=μ，25=σ，25=n ，)25/25150140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ=2857.09615.09772.0=-=6.9 设某大城市市民的年收入服从均值μ=1.5万元、标准差σ=0.5万元的正态分布. 现随机调查了100 个人, 求他们的平均年收入落在下列围的概率: (1) 大于1.6万元; (2) 小于1.3万元; (3) 落在区间[1.2，1.6] .解：设X 为人均年收入，则)5.0,5.1(~2N X ，则)1005.0,5.1(~2N X ，得 (1) )100/5.05.16.1(1)6.1(1)6.1(-Φ-≈≤-=>X P X P0228.09772.01)2(1=-=Φ-=(2) 011)4(1)4()100/5.05.13.1()3.1(=-≈Φ-=-Φ=-Φ≈<X P(3) )100/5.05.12.1()100/5.05.16.1()6.12.1(-Φ--Φ≈<<X P9772.0)6()2(=-Φ-Φ=6.10 假设总体分布为N(12，22), 今从中抽取样本125,,,X X X . 求(1) 样本均值X 大于13的概率; (2) 样本的最小值小于10的概率; (3) 样本的最大值大于15的概率.解：因为 )2,12(~2N X ，所以22~(12,)5X N ，得(1) )5/21213(1)13(1)13(-Φ-≈≤-=>X P X P1314.08686.01)12.1(1=-=Φ-=(2) 设样本的最小值为Y ，则),,,(521X X X Min Y =，于是)10(1)10(≥-=<Y P Y P)10()10()10(1521≥≥≥-=X P X P X P)]21210(1[1)]10(1[15151-Φ-∏-=<-∏-===i i i X P5785.0)8413.0(1)1(1)]1(1[155151=-=Φ∏-=-Φ-∏-===i i(3) 设样本的最大值为Z ，则),,,(521X X X Max Z =，于是)15(1)15(≤-=>Z P Z P)15()15()15(1521≤≤≤-=X P X P X P)21215(151-Φ∏-==i 2923.0)9332.0(1)5.1(1551=-=Φ∏-==i6.11设总体),(~2σμN X ，从中抽取容量样本1216,,,X X X , 2S 为样本方差. 计算22 2.04S P σ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.解因为),,(~2σμN X 由定理2, 得),1(~)1(21222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑=n X X S n ni i χσσ 所以,1)1(22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n S n E σ),1(2)1(22-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n S n D σ于是,)(22σ=S E ).1/(2)(42-=n S D σ 当16=n 时, ,15/2)(42σ=S D 且2222{/ 2.04}{15/30.615}P S P S σσ≤=≤}615.30/15{122>-=σS P99.001.01=-=).578.30)15((201.0=χ第六章《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：。

《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节

第二章随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计学1至7章课后答案解析

第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{Λ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ，两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。

所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{Λ===k k X P k，求 };6,4,2{)1(Λ=X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++==ΛΛΛX P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计 (齐民友著) 高等教育出版社课后答案

k 格品，另一件是不合格品有
C
1 M
−m
C
1 m
种取法，故所求概率为
C
1 M
−
m
C
1 m
= 2m
.C
2 M
−m
+
C
1 m
C
1 M
−m
M + m −1
注：这里采用的是在缩减的样本空间中计算条件概率的方法，且题中“有一件”其意应在
“至少有一件”而不能理解为“只有一件”，这是因为对另一件是否是不合格还不知道。
. 是一个古典概型问题，而第二次抽出次品抽取法有11× 2 种，故所求事件概率为 11× 2 = 1 12 ×11 6 11、这可看成是条件概率问题 w方法一设 A 表示第一次取到不合格品，B 表示第二次取到不合格品，所求概率是 P ( AB | A ∪ B ) ，按条件概率的定义有
wP
(
AB
|
A∪
h 所以 P {( A ∪ B )( A ∪ B )( A∪ B )( A∪ B )} = P ( φ ) = 0
9、七个字母任意排有 7！种排法，且每一排法的可能性相同，这是一个古典概型问题，
k 而排成 SCIENCE 有1× 2×1× 2×1×1×1 = 4 种排法，故所求概率为 4 = 1 7 ! 1260 10、12 件产品按不放回方式抽两次时有12×11 种抽取法，且每一种取法的概率相等，这
角形，即三角形 ABC 为锐角三角形的事件 A 为
d A = {(x, y) | 0 < x < 2π ,0 < y < π ,0 < 2π − (x + y) < π ,(x, y) ∈ Ω}

概率论与数理统计第一章习题参考答案

1第一章随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482）455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解：用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球，只白球，11只红球，只红球，11只黑球”，用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”，用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” （1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===CC C P6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解：用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” （1）3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P（2）31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解：用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解：、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解：用、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解：用、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ，则9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ，由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解：用、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”， C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ； 01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解：用、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解：用、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”， C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解：用、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”， C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得由已知得5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P （1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解：用、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立）相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解：设、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解：令、解：令A ：“产品真含杂质”，A ：“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ，6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15（1）{}2501.08.02.03123315=´==C X P（2）{}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P（3）{}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P（4）{}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大，P 很小，所以利用)8(p 近似地～X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k（2）{}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P（3）64764181321412141321412=-===þýüîíì££òxdx x X P（4）271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ，则，则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解：、解：（1）{}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P（2）Y~b(10，275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10（3）{}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12（1）由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解：{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ，¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时，（X ，Y ）联合分布律为）联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ，}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x 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=×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq（2）{}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD ：1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|，当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时，1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时，当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、（1）X Y =，当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时，当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为（2）)21(+=X Y ，当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时，1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时，当时，当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y（3）2X Y =，当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时，当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîíì££-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîíì££-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立，且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知，22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时，当时，当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时，当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X ， íì<<=其他,010,1)(y y f Y ，ïïîïïíì££-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解（1）()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïíì££=ïîïíì££==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY（2）()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z（3）()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、（1）ïîïíì<<=其他率密度为）上服从均匀分布，概，在（,00,1)(10l x lx f X X（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、（1）U 的可能取值是0，1，2，31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0，1，2，3，4，5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，为取到的电视机中包含的次品数， 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则，则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ，故6)(==l X E（2）由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛，则)(X E 不存在。

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