平面向量的减法
平面向量初步向量的减法
立体几何
向量减法可以用来描述空间中点 与点之间的距离和方向，例如计 算两个向量之间的角度或长度。
解析几何
向量减法可以用来描述曲线和曲面 上的点与点之间的距离和方向，例 如计算两个向量之间的角度或长度 。
04 向量减法的实际应用案例
案例一：飞机降落时的修正风向
总结词
向量减法可用于计算飞机在降落时受到的风向影响，帮助飞行员进行精确的 修正。
向量减法的性质
向量减法是向量加 法的逆运算，它们 满足交换律和结合 律。
向量减法满足共线 定理，即当两个向 量共线时，它们的 差为零向量。
向量减法满足反向 性，即两个向量的 差与被减向量的方 向相反。
向量减法的定理及其证明
向量减法的定理
两个向量a和b的差c等于a的起点到b的终点的向量。
向量减法的证明
VS
详细描述
在地图上，两点之间的最短路径通常是通 过计算各个方向上的距离来实现的。通过 使用向量减法，可以将两个点在地图上的 坐标向量相减，得到两个点之间的距离向 量，进而计算出最短路径。这种方法在导 航系统和地图应用中被广泛应用，为人们 提供便捷的最优路线规划和导航服务。
05 向量减法的进一步研究建 议
根据向量的定义和几何意义，我们可以得出两个向量的差等 于以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的 向量。
03 向量减法在物理和几何中 的应用
在物理中的应用
运动学
向量减法可以用来描述物体的 相对速度和加速度，例如在汽 车追赶问题中，可以通过计算 两车速度的差值来预测两车之
间的距离变化。
力学
《平面向量初步向量的减法》
2023-10-27
目录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质和定理 • 向量减法在物理和几何中的应用 • 向量减法的实际应用案例 • 向量减法的进一步研究建议
高中数学-平面向量的减法
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
例3：如图平行四边形ABCD, AB a,
DA b,OC c, 证明：b c a OA
D
C
b
c
O
A
B
a
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BDCD
解:原式 CB BDCD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
知识小结
1、理解向量减法的定义 2、掌握向量减法的三角形法则并能加以运用
思想方法小结
D
b, 使它们起点相同，那么
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、减向量的终点指向被减向量的终点
平面向量的基本运算总结
平面向量的基本运算总结平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。
在数学和物理学中，平面向量的运算是十分重要的。
本文将对平面向量的基本运算进行总结，包括向量的加法、减法、数乘以及数量积等。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足以下几个性质：- 交换律：A + B = B + A- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)- 零向量：对于任意向量 A，有 A + 0 = A2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即 A - B = A + (-B)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
向量的数乘满足以下性质：- 结合律：k(A + B) = kA + kB- 分配律：(k + l)A = kA + lA- 分配律：k(lA) = (kl)A- 数乘零向量：0A = 04. 数量积数量积（也称为点积或内积）是向量的一种运算，结果为一个实数。
数量积可以通过向量的坐标表示为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模，θ 表示两个向量之间的夹角。
数量积满足以下性质：- 交换律：A·B = B·A- 分配律：A·(B + C) = A·B + A·C- 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)5. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
向量的模记作 |A|。
单位向量是指模为 1 的向量。
可以通过将向量除以其模来得到单位向量，即 u = A/|A|。
6. 运算实例以下是一些平面向量运算的实例：- 已知向量 A = (3, 4)，B = (-2, 1)，求 A + B。
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法在平面向量的运算中，加法和减法是两个基本且重要的运算操作。
通过合适的方法进行向量相加或相减，可以获得新的向量，进而帮助我们解决实际问题和优化计算过程。
本文将重点探讨平面向量的加法和减法，并介绍它们的性质和运算规则。
一、向量的表示平面上的向量可以用有序数对表示，我们通常以大写字母加箭头（→）来表示向量，例如向量A可以表示为A→ = (x,y)。
其中，x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：对于任意向量A和B，有A + B = B + A。
2. 结合律：对于任意向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 零向量：零向量的表示为O→ = (0,0)，对于任意向量A，有A +O→ = A。
根据以上性质，我们可以通过向量的对应分量相加的方式来进行向量的加法运算。
例如，向量A→ = (x1,y1)和向量B→ = (x2,y2)，它们的和A→ + B→ = (x1+x2,y1+y2)。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法同样满足交换律和结合律，减法的规则可以通过相应的加法来表示。
对于向量A和向量B，向量的减法可以表示为A→ - B→ = A→ + (-B→)，其中-A→表示向量B→的反向量。
向量的反向量的表示为-A→ = (-x,-y)，即将向量的每个分量取反。
根据向量的加法运算规则，我们可以将向量的减法转化为相应的加法运算。
例如，向量A→ = (x1,y1)和向量B→ = (x2,y2)，它们的差A→ - B→ = A→ + (-B→) = (x1,y1) + (-x2,-y2) = (x1-x2,y1-y2)。
四、几何意义向量的加法和减法在平面几何中具有重要的几何意义。
对于向量的加法，可以将两个向量的起点放在同一个位置，然后将终点相连，所得的新向量即为其和向量。
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述两个方向和大小都有所限定的量。
平面向量有很多重要的基本公式，这些公式在数学和物理学中都有广泛的应用。
下面就来介绍一下平面向量的基本公式。
1、平面向量的模长公式平面向量的模长（也叫长度）是平面向量的重要特性之一，表示向量在平面上的长度。
平面向量的模长公式为：AB，=√(某2-某1)2+(y2-y1)2其中，A(某1,y1)和B(某2,y2)表示向量AB的起点和终点坐标。
2、平面向量的加法和减法公式平面向量的加法和减法公式是指两个向量相加或相减的规则。
其公式为：A+B=(A某+B某,Ay+By)A-B=(A某-B某,Ay-By)其中，A、B分别表示两个向量，A某、Ay、B某、By分别表示两个向量在某轴和y轴上的分量。
3、平面向量的数量积公式数量积是向量中另一个重要的特性，用于描述两个向量之间的夹角。
平面向量的数量积公式为：A·B=，A，B，cosθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
4、平面向量的叉积公式叉积也是向量中的一种运算，用于计算两个向量所在平面的法向量，常用于计算力矩和面积等。
平面向量的叉积公式为：A某B=，A，B，sinθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
5、平面向量的坐标表示对于向量AB，在平面直角坐标系中，可以用一个有序数组(某,y)表示其坐标。
例如A(1,2)和B(3,4)，则向量AB可以表示为(2,2)。
6、平面向量的方向角公式平面向量的方向角指向量与正方向某轴之间的夹角，其公式为：θ=tan-1(y/某)其中，某、y分别表示向量的某轴和y轴分量。
7、平面向量的正交公式两个向量如果互相垂直，则称它们是正交的。
平面向量的正交公式为：A·B=0其中，A、B分别表示两个向量，·表示数量积运算。
总之，平面向量的基本公式是理解和应用平面向量的关键。
第33课 平面向量的减法
第四单元4.2.2《平面向量的减法》教案一、创设情境激发兴趣问题：我们知道，两个实数可以进行加减法运算.向量的加法已经学过了，那么两个向量的减法是怎么进行的呢?分析：我们把与向量a长度相等且方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作-a. 其中a和-a互为相反向量.则有：(1)-(-a )= a .(2)任一向量与其相反向量的和是零向量 , 即 a+(−a)=(−a)+a=0.(3)若a，b互为相反向量 , 那么a = -b，b = - a，a + b= 0.规定：零向量的相反向量还是零向量.a加上b的相反向量叫作a与b的差 ,即a+（-b）= a -b= 0.求两个向量差的运算，叫向量的减法.二、自主探究讲授新知如图 4-18，CB=b，根据相反向量的定义有：CB BC-== - b，则()AB CB AB BC AB CB-=+=+-.可见，在向量减法运算中类似结论依然成立.图 4-18由上述分析，可得结论：在向量运算中，减一个向量等于加上这个向量的相反向量.把求两个向量差的运算，叫作向量的减法，即a -b= a+（-b）.问题1：如何求两个非零向量的差向量呢？了解观看课件思考自我分析思考理解记忆类比实数的加减法运算，使学生自然理解知识点，激发学生学习兴趣带领学生分析引导式启发学生得出结果带领学生总结加深理解1.不共线的两个非零向量a 与b 的减法：作法：如图4-19，在平面上任取一点A ，依次作AB = a ，BC =-b ，因为 a -b= a +（-b ），对向量 a 与（-b ）使用向量加法的三角形法则，得 a -b= a +（-b ）=AB +BC =AC .2. 共线的两个非零向量的减法： 当非零向量a 与b 共线时 , 在平面上任取一点A ，首尾相接作AB = a ，BC =-b ，同样可得 a -b= a +(-b ) =AB +BC =AC .情形一：a 与 b 方向相同，如图 4-20：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b 情形二：a 与 b 方向相反，如图 4-21：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b .理解记忆 思考 辨析 思考 归纳引导启发 学生 思考 仔细 分析 关键 词语 “首尾 相接“ 进一步 理解 加深 记忆第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路三、典型例题巩固知识例 1如图4-22(1) , 已知向量a，b，求作向量a-b，并指出其几何意义.解：如图 4-22(2)所示，以平面上任一点A为起点，作AB= a，AD=b，BC=-b，由向量减法的定义可知 ,AC=a+(-b)=a-b .连接AC,则向量AC即为所求的差向量.又因为AD+DB=AB，即b+DB=a ，所以DB=a-b .因此，向量减法的几何意义是：a-b表示把a与b平移到同一起点后 , 向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.例2填空：（1）AB AD-=_____________ ；（2）BC BA-=_____________ ；（3）OD OA-=_____________ .解：根据向量减法的定义，减一个向量等于加上它观察思考主动求解小组讨论交流通过例题领会帮助学生更好理解掌握知识点通过例题进一步领会的相反向量，可知， （1）AB AD -=+AB AD -（）=+AB DA DA AB DB =+=；（2）BC BA -=+BC BA -（）=+BC AB AB BC AC =+=；（3）OD OA -=+OD OA -（）=+OD AO AO OD AD +==.思考：当向量a 与b 不共线时，把和向量a+b 与差向量 a -b 作在一个图上，可以得出什么结论?方法提炼：向量减法作图的两种常用方法： 1. 定义法.向量 a 与 b 的差，即是向量 a 加上向量 b 的相反向量，即 a -b = a +(-b ).此时向量a 与向量-b 依然遵循“首尾相接，由始至终”的向量加法口诀.作法如图4-23所示：2. 几何意义法.如图 4-24，把向量a 与向量b 平移到同一起点后，向量b 的终点指向向量a 的终点的向量就是 a -b .即“同一起点，减指被减”.(减向量指向被减向量)思考 归纳 理解 记忆观察 思考 主动 求解 归纳 领会 掌握观察 学生 是否 理解 知识 点 及时 了解 学生 知识 掌握 的情 况 强化 思想 及时 练习 巩固 所学 知识四、随堂练习 强化运用 1.填空.(1)AB AD -=_____________；(2)BA BC -=_____________； (3)BC BA -=_____________；(4)OA OB -=_____________； (5)OD OA -=_____________.2.已知下列各组向量a ，b ，求作 a +b 和 a -b .3.根据图形填空.(1)OA OB -=_____________； (2)OC OA -=_____________ . 五、 课堂小结 归纳提高1. 向量减法的定义及几何意义.2. 向量减法的运算法则：三角形法则.3. 向量减法作图的两种常用方法. 六、布置作业 拓展延伸1.分层作业：（必做）习题4.2.2水平一；（选做）水平二2.读书部分：教材观察 思考领会 掌握 主动 求解 归纳 总结记录检验 学生 学习 效果 关注 学生 练习 中的 错误 使得 学生 在总 结中 提高 分层次 要求教学反思根据教师上课实际情况，课后填写：学生知识、技能的掌握情况、情感态度、思维情况、学生合作交流的情况，及时总结反思。
平面向量的加法和减法运算
交换律：向量加法满足交换律，即a+b=b+a
向量加法的几何意义：表示平行四边形的对角线
向量加法的代数表示：表示两个向量的坐标之和
结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)
02
平面向量的减法运算
向量减法的定义
向量减法满足三角形法则，即任意两个向量的差等于第三个向量加上与第三个向量共线的向量
在物理中的应用
力的合成与分解
电磁学中的洛伦兹力
速度与加速度的合成与分解
力的平衡与扭矩
在解析几何中的应用
平面向量加法和减法在解析几何中用于表示点的移动和变化
平面向量加法和减法可以用于表示和解决一些几何变换问题，如平移、旋转等
平面向量加法和减法可以用于解决解析几何中的一些问题，如求交点、求轨迹等
平面向量加法和减法可以用于计算两点之间的距离和方向
在日常生活中的应用
物理中的向量加法和减法：解释力和运动的合成与分解
经济学中的成本和收益分析：通过向量加法和减法进行优化
地理学中的风向和风速测量：利用向量加法和减法计算风向角和风速大小
生物学中的遗传和变异研究：通过向量加法和减法分析基因型和表现型之间的关系
汇报人：XX
感谢观看
向量减法可以表示为连接起点和终点的有向线段
向量减法的结果与减数的方向有关
向量减法的运算律
பைடு நூலகம்
向量减法满足结合律：a-b-c=a-(b+c)
向量减法满足数乘分配律：λ(a-b)=λa-λb
向量减法满足向量的模运算律：|a-b|≤|a|+|b|
向量减法满足交换律：a-b=-b+a
03
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法平面向量是数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域中广泛应用。
在平面上，向量的加法和减法是基本操作，通过它们可以计算出两个或多个向量的合成向量或差向量。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法。
一、向量的表示和基本概念在平面几何中，向量通常用带箭头的有向线段表示。
向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对(x, y)来表示，其中x和y分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为a = (a₁, a₂)，其中a₁为x轴分量，a₂为y轴分量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加得到一个新的向量。
对于平面上的向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，它们的加法可以表示为：a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
根据加法的定义，我们可以得出以下结论：1. 加法满足交换律，即a + b = b + a。
2. 加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 存在零向量，它与任何向量相加都不改变该向量的值，即a + 0 = a。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
对于平面上的向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，它们的减法可以表示为：a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
根据减法的定义，我们可以得出以下结论：1. 减法不满足交换律，即a - b ≠ b - a。
2. 减法满足结合律，即(a - b) - c = a - (b + c)。
3. 任何向量减去自身等于零向量，即a - a = 0。
四、向量的几何意义向量的加法和减法可以通过向量的几何意义来理解。
具体而言，向量的加法可以解释为将一个向量沿着另一个向量的方向进行平移得到一个新的向量。
而向量的减法可以解释为从一个向量指向另一个向量的位置，得到一个连接两个位置的向量。
五、向量的图形运算法则在进行向量的加法和减法计算时，我们可以借助平移和三角形等图形运算法则来简化计算过程。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则
平面向量是代表平面上的位移或者力的理论对象，是数学中的一个基本概念。
而对于平面向量的运算法则，我们通常会涉及到加法、减法、数乘、数量积、向量积等内容。
下面将详细介绍平面向量的运算法则。
1. 向量的加法
两个向量相加的结果是一个新的向量，其方法是将两个向量的起点相同，然后将两个向量的箭头相连，新向量的箭头指向这两个箭头的相连处。
若将两个向量分别表示为a和b，则它们的和向量c=a+b。
2. 向量的减法
两个向量相减的结果是一个新的向量，其方法是将两个向量的起点相同，然后将被减向量的箭头逆向，再将两个向量的箭头相连，新向量的箭头指向这两个箭头的相连处。
若将两个向量分别表示为a和b，则它们的差向量c=a-b。
3. 向量的数乘
数k与向量a的乘积，记作ka，表示将向量a的长度乘以k倍，方向不变。
若k>0，则ka与a同向；若k<0，则ka与a反向。
4. 向量的数量积
向量a与向量b的数量积，记作a·b或者ab，是一个标量，表示a 与b的长度之积再乘以它们夹角的余弦值。
如果a=(x₁, y₁)、b=(x₂, y₂)，则a·b = x₁x₂ + y₁y₂。
5. 向量的向量积
向量a与向量b的向量积，记作a×b，是一个向量，其大小是a与b 围成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b构成的平面，方向满足右手螺旋定则。
以上就是关于平面向量的运算法则的介绍，这些运算法则在解决平面向量相关问题时非常重要，希望可以对你有所帮助。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，可以进行各种线性运算，包括加法、减法、数乘、内积和外积。
本文将详细介绍平面向量的线性运算。
一、平面向量的定义平面向量是平面上具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示，例如，向量AB用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
平面向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
二、平面向量的加法设有平面向量→AB和→CD，它们的和向量为→AD=→AB+→CD。
向量的加法满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。
加法运算的几何解释是将向量→CD以→AB为起点进行平移，得到以A为起点，D为终点的向量→AD。
三、平面向量的减法设有平面向量→AB和→CD，它们的差向量为→AC=→AB-→CD。
向量的减法满足非交换律，即→AB-→CD≠→CD-→AB。
减法运算的几何解释是将向量→CD以→AB的起点为终点进行平移，得到以A为起点，C为终点的向量→AC。
四、平面向量的数乘对于平面向量→AB，实数k，k×→AB为平面向量的数乘。
数乘的结果是一个新的平面向量，它的长度为原向量的长度乘以数乘系数k，方向与原向量相同（当k>0时），或相反（当k<0时）。
五、平面向量的内积两个向量→AB和→CD的内积记作→AB·→CD，它等于向量→AB在→CD上的投影长度与→CD的模长之积，即|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD的夹角。
内积运算满足交换律，即→AB·→CD=→CD·→AB；和分配律，即(→AB+→CD)·→EF=→AB·→EF+→CD·→EF。
内积运算可以用来判断两个向量是否垂直，当且仅当向量的内积为0时，它们垂直。
六、平面向量的外积两个向量→AB和→CD的外积记作→AB×→CD，它是一个新的向量，它的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成平行四边形的平面，并按右手法则确定。
22.9平面向量的减法1
E
两个个向量相加， ①将这两个向量顺次首尾相接 ②和向量是以第一个向量的起点为起 点; 最后一个向量的终点为终点的向量 G EF + FG =EG E F
例1 已知AD是△ABC的中线，试用 向量AB、AC、AD表示向量BD和DC
A
B
D
C
b，c ，求作： 例2 如图，已知向量 a， （1）a – b + c （2） a – b –c
类比得知新
减法是已知两个数的和,及其中一个数，求另一 个数的运算
减法是加法的逆运算 向量的减法是已知两个向量的和,及其中一个 向量，求另一个向量的运算
向量的减法是向量的加法的逆运算
概念：
如果 a – b = x 那么x叫做 a、b的差向量， 其中，a叫做被减向量， b叫做减向量
Question
如何求 x (差向量)呢？
a b
c
一艘轮船从A点出发,以 2 千米每小时的 3 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水速 度为2千米每小时,求船实际航行的速度?
1、向量减法法的概念。
2、向量减法的三角形法则。
C a A
x B
b
= a
b + x x
= a - b
C a
A
B c A c - d = CB d C
x
B
b
a - b = x
①被减向量和减向量有公共起点 ②差向量是以减向量的终点为起点， 被减向量的终点为终点的向量
①两个向量有公共起点.
②差向量是以减向量的终点为起点， 被减向量的终点为终点的向量
平面向量的加法和减法运算
平面向量的加法和减法运算在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
平面向量具有加法和减法运算，可以进行向量之间的加减操作。
本文将介绍平面向量的加法和减法运算，包括定义、性质和实际应用等方面的内容。
一、平面向量的定义平面向量通常用有序数对表示，即(a, b)，其中a和b分别表示向量在坐标轴上的投影。
向量也可以用有向线段表示，起始点和终点分别表示向量的起点和终点。
在平面向量中，起点和终点是没有重要意义的，因为向量的性质只与大小和方向有关。
二、平面向量的加法运算平面向量的加法定义为：对于向量A(a, b)和向量B(c, d)，它们的加法运算为A + B = (a + c, b + d)。
即将两个向量在相应轴上的分量分别相加得到新的向量。
这个过程可以用平行四边形法则进行可视化理解，即将两个向量的起点放在同一点，然后将它们的终点相连，形成一个平行四边形，新的向量即为对角线向量。
三、平面向量的减法运算平面向量的减法定义为：对于向量A(a, b)和向量B(c, d)，它们的减法运算为A - B = (a - c, b - d)。
即将B的每个分量取相反数，然后与A的分量进行相加。
减法运算也可以用平行四边形法则进行可视化理解，即将向量B取相反向量，然后按照向量加法的方式进行操作。
四、平面向量运算的性质平面向量的加法和减法运算满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B - C)3. 加法单位元：对于任意向量A，存在零向量O(0, 0)，使得A + O = A4. 加法逆元：对于任意向量A，存在相反向量-B，使得A + (-B) =O5. 数乘结合律：k(A + B) = kA + kB，(k + n)A = kA + nA6. 数乘分配律：k(A - B) = kA - kB五、平面向量运算的实际应用平面向量的加法和减法运算在各个领域有着广泛的应用，例如：1. 物理学：平面向量用于描述物体的位移、速度和加速度等物理量，通过向量的加减法运算可以得到合成位移、合成速度等。
平面向量及其运算
平面向量及其运算平面向量是指在平面上用箭头表示的量，具有大小和方向。
在数学中，平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
一、向量的表示平面向量通常用有箭头的字母表示，例如a、b等。
向量的起点为初始点，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小可以用线段的长度来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量首尾相接，然后连接起点和终点的线段就是它们的和向量。
加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
三、向量的减法向量的减法是指将被减向量反向后与减向量相加。
减法可以转化为加法的形式，即a - b = a + (-b)。
四、数量乘法向量与一个实数相乘，称为数量乘法。
数量乘法改变向量的大小和方向。
当实数为正数时，向量与实数的乘积与向量的方向相同；当实数为负数时，向量与实数的乘积与向量的方向相反。
五、向量的点积向量的点积是指相互垂直的两个非零向量的数量积。
点积的结果是一个实数。
设a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则a·b = a1 * b1 + a2 * b2。
六、向量的运算性质1. 向量加法满足交换律和结合律。
2. 数量乘法满足结合律和分配律。
3. a·b = b·a，a·(kb) = k(a·b)，(a + b)·c = a·c + b·c。
七、平面向量的应用平面向量在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 平面向量可以用来描述物体在平面上的位移和速度。
2. 平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而研究物体在平面上的受力情况。
3. 平面向量可以用来解决几何问题，如判断线段是否平行、垂直等。
总结：平面向量是具有大小和方向的量，在数学中有着广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
通过理解和掌握向量的运算法则，我们可以更好地应用平面向量解决问题，在几何、物理等领域中有着重要的作用。
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量是指在特定的二维空间中，包含一个方向和大小的矢量。
它们可以用来描述物体在空间中的位置，也可以用来表示一个方向。
平面向量还可以用来表示力，热量和速度等物理量。
平面向量可以用不同的方式表示。
一种常见的表示方式是用“箭头法”，即在任意两点之间画出一条箭头，由起点指向终点，来表示方向和大小。
也可以用一个由两个向量表示的矢量来表示一个平面向量，这一种表示方式称为“极坐标系表示法”。
二、平面向量的四则运算平面向量可以进行四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
（1）平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个平面向量的终点相加得到的向量。
如果平面向量的表示方式是极坐标系表示法，只需要将两个向量的模和方向加起来即可。
（2）平面向量的减法减法的运算方式跟加法一样，只需要将被减数的终点减去减数的终点，即可得到减法结果。
（3）平面向量的乘法乘法是指将平面向量与一个标量相乘得到新的平面向量，新的平面向量方向和原向量一致，但是大小不同。
（4）平面向量的除法除法是指将平面向量与一个标量相除得到的新的平面向量，新的平面向量的方向与原向量相反，但是大小不同。
三、平面向量的应用1、研究角度平面向量可以用来研究各种物理现象，如抛物运动及其分析，曲率等。
2、工程中的应用平面向量在工程中有着重要的应用，如在航空、船舶、汽车等工程中，都可以应用平面向量来研究物体的运动轨迹。
3、社会经济中的应用平面向量可以应用于社会经济学中，如解决资源分配问题、多人博弈中的最优策略等。
总结本文主要讨论了平面向量的概念、四则运算以及其应用。
平面向量可以用箭头法或极坐标系表示法来表示，它们可以进行加减乘除四则运算，在物理、工程和社会经济中都有重要的应用。
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法平面向量是研究平面上几何问题的重要工具之一，它可以描述平面上的位移、力量以及速度等物理量。
平面向量有两种基本运算，即加法和减法。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算规则以及应用。
一、平面向量的表示平面向量通常用有向线段表示，其中有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
一般用大写字母加箭头表示向量，例如向量AB用记作⃗AB。
二、平面向量的加法若有向线段AB和有向线段BC，它们的起点和终点相连，得到一个有向线段AC，即线段AC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定，则称向量AC为向量AB与向量BC的和，记作⃗AC = ⃗AB+ ⃗BC。
计算平面向量的加法非常简单，只需将两个向量的起点和终点连在一起即可得到它们的和向量。
例如，向量⃗AB = (3, 2)和向量⃗BC = (-1, 4)，根据加法运算规则，我们可以得到向量⃗AC = ⃗AB + ⃗BC = (3 + (-1), 2 + 4) = (2, 6)。
三、平面向量的减法若有向线段AC和有向线段AB，它们的起点和终点相连，得到一个有向线段BC，即线段BC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定，则称向量BC为向量AC减去向量AB，记作⃗BC = ⃗AC -⃗AB。
平面向量减法的计算方法与加法类似，只需将减去的向量的起点和终点与被减向量的起点和终点连在一起即可得到减法的结果向量。
例如，向量⃗AC = (2, 6)和向量⃗AB = (3, 2)，根据减法运算规则，我们可以得到向量⃗BC = ⃗AC - ⃗AB = (2 - 3, 6 - 2) = (-1, 4)。
四、平面向量的性质1. 交换律：两个向量的加法满足交换律，即⃗AB + ⃗BC = ⃗BC+ ⃗AB。
2. 结合律：三个向量的加法满足结合律，即(⃗AB + ⃗BC) + ⃗CD= ⃗AB + (⃗BC + ⃗CD)。
3. 零向量：定义了一个特殊的向量，它的坐标为(0, 0)，任何向量与零向量相加都得到其本身，即⃗AB + ⃗0 = ⃗AB。
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CB a b
练习：1. 计算： 解：11AABBAADDBBDD
（1）AB AD BD
ADBBDBAD BD
（2）NQ QP MN MP A0B BD DA
（3）AB BC AD CE 0
（4）AB EC EB AD
22.9(1) 平面向量的减法
复习
几个向量相加的多边形法则
①将这几个向量顺次首尾相接
②和向量是以第一个向量的起点为起点; 最后一个向量的终点为终点的向量
首尾相接首尾连
F AB + BC+ CD+ DE+ EF = AF
E D C
A
B
新授 平面向量的减法
b x a
b
C x
x a b
A
解：（3）错
AB EA BE AB AE BE AB BE AE
AE AE 2AE
练习：已知a，b，c，求作：
（1）(a+b)−c
a
（2）a−(b−c)
有括号先去括号， 减法转化为加法
b c
册57/5
解：（1）OR、PK即为所求作的向量； （2）OP OQ QP，QP即为所求作的OP OQ； （3）OQ OK KQ，KQ即为所求作的OQ OK.
−b
A
C
a
a
ObB
例1 已知AD是△ABC的中线，试用 向量AB、AC、AD表示向量BD和DC
A
方法一二
从向量减加法的角度考虑
B
DC
解解：BDBD的B起A点 A和D终点分AB别是AADB与AD的终点， DC而ADB与AADA共C起点，AD AC
BD AD AB 同理可得DC AC AD
先计算再作图!!!
R K
类比得知新
减法是已知两个数的和，及其中一个数， 求另一个数的运算 减法是加法的逆运算
已知两个向量的和，及其中一个向量，求另一 个向量的运算叫做向量的减法
向量的减法是向量的加法的逆运算
解：3432AAANBBBQBBECCCQPAAEDDBM CCANEED MP AAANNBBBBQQBEAACCQDQDPPDBABECM CM CDNCEAENEBPM P
DDDNABABPQBABAEPBCQBNPBBCEPM CEEC MN
a
定义：如果 b x a ，那么 x 叫做向量 a 与向量b 的差向量， 这时 a 是被减向量，
b 是减向量 。
如图，写出一个向量的加法算式 C aB
bc
b
Oa A
A
注意：差向量将两
a
个相减的向量终点
O
b
B
联结，方向指向被 减的向量
①在平两面个内向任量取有一公点共，以起这点点. 为公共点分别作出与 ②已以知减差向 向向量 量量相 的是等 终以的 点减两为向个起向点量量，的，被终那减点么向为它量起们的点的终差 点，向 为被量 终减是 点向 量的向的量终。点为终点的向量
AO 1 AC 1 (a b)
2
2
BO 1 BD 1 (a b)
2
2
例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作： （1）a – b + c （2）a – b – c Ac C
a
O
bB
例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作： （1）a – b + c （2）a – b – c
例2 如图，已知平行四边形ABCD的对角线 AC 与BD相交于点O，设 AB a, AD b ，用 a 、b
表示下列向量：BD, AC, AO,BO 。
解：BD BA AD
D
C
b
AB AD a b
O
Aa
B
AC AB BC AB பைடு நூலகம் AD a b
DDD0EEC
练习：2. 判断下列等式是否正确？如果错误，
请改正：
解：（1）错
（1）AB CB CA AB CB AB BC AC
（2）AB BC EC AE
（3）AB EA BE 0
解：（2）对
AB BC EC AB BC CE AE
D cE -b A a
O
例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作： （1）a – b + c （2）a – b – c
C -c B -b A a
O
向量的减法
•特殊情况
两个向量平行
注意：差向量将两 个相减的向量终点 联结，方向指向被 减的向量
1. 同向
a
b
2. 反向
a
b
ab
AC
B
ab
B
AC
CB a b