数学物理方法配套教案(第四版)PPT课件
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数学物理方法第一章
存在，并且与 z 0 的方式无关，则称函数 w=f(z) 在 z 点可导(或单演)，此(有限的)极限称为函数 f(z) 在 z 的导数
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
数学物理方法(第四版)高等教育出版社第一章1
表示到点2i和到 两点距离相 表示到点 和到-2两点距离相 和到 等点的轨迹。 等点的轨迹。既过原点的直线
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
数学物理方法(第四版)(汪德新)PPT模板
12.1傅里 叶变换
1
12.2傅里 叶变换法
2
12.3拉普 拉斯变换
3
12.4拉普拉 斯变换法
4
第三篇数学物理方程
第13章格林函数法
03
＊13.3格林函数法
在波动问题中的应
用
02
＊13.2格林函数法 在输运问题中的应
用
01
＊13.1格林函数法 在稳定场问题中的
应用
第三篇数学物理方程
第14章保角变换法
02 第17章Z变换
＊17.1Z变换的定义及其性质 ＊17.2用Z变换求解差分方程
03 第18章小波变换
＊18.1从傅里叶变换，加博变换到小波 变换 ＊18.2连续小波变换的性质
第四篇数学物理 方法的若干新兴 分支
06 参考文献
参考文献
07 附录
附录
1. 附录A微分算符▽的若干常用公式 2. 附录B几种常用的常系数常微分方程的解 3. 附录C广义积分与积分主值 4. 附录D二阶线性齐次常微分方程w″（z）＋p（z）w′（z）＋q（z）w（z）
数学物理方法（第四版）(汪德新)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 前言
前言
02 第一篇复变函数导论
第一篇复变函数导 论
第1章复变函数与解析函数 第2章复变函数的积分 第3章解析函数的级数表示 第4章留数定理及其应用 第5章解析延拓多值函数及其黎曼面
第一篇复变 函数导论
第1章复变函数与解析函 数
6.3勒让德多项式的正交性与完备 性
6.2勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
6.4关联勒让德方程与关联勒让德 函数
第二篇特殊函数场论与狄拉克δ函数
数学物理方法 课件
数学物理方法课件一、引言数学物理方法是一种广泛应用于科学、工程和技术领域的工具，它涵盖了从最简单的线性代数到更复杂的微分方程和量子力学等广泛的主题。
本篇文章将概述数学物理方法在科学、工程和技术中的应用，并重点介绍一些常用的数学物理方法及其基本原理。
二、数学物理方法的应用数学物理方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、工程学和地球科学等。
例如，在物理学中，数学物理方法被用于描述和预测各种现象，如力学、电磁学、热力学和量子力学等。
在化学和生物学中，数学物理方法被用于研究化学反应和生物系统的动态行为。
在工程学和地球科学中，数学物理方法被用于解决实际问题和预测自然现象，如流体动力学、结构力学和气候变化等。
三、常用的数学物理方法1、线性代数：线性代数是数学物理方法的基础，它研究的是向量空间和线性变换的数学性质。
线性代数在物理学、工程学和化学中被广泛应用，用于描述和预测各种现象。
2、微积分：微积分是研究变化率和累积量的数学工具，它在物理学和工程学中被广泛使用，用于描述和预测各种动态行为。
3、微分方程：微分方程是描述动态系统变化的数学工具，它在物理学、工程学和生物学中被广泛应用。
微分方程可以用来描述物体的运动、化学反应的速度以及生物系统的动态行为等。
4、量子力学：量子力学是描述微观粒子行为的物理学分支，它使用数学物理方法来描述和预测微观粒子的状态和行为。
量子力学在物理学、化学和材料科学中被广泛应用。
四、结论数学物理方法是科学、工程和技术领域中不可或缺的工具，它为我们提供了描述和预测各种现象的强大工具。
通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
在我们的日常生活中，物理现象无处不在。
当我们打开电灯时，为什么会立刻看到光线？当我们在冷天洗热水澡时，为什么会感到身体变暖？这些都是物理现象的表现。
今天，我们将一起走进这个充满奇妙和神秘的物理世界。
让学生了解物理是什么，以及物理学科的特点和研究内容。
数学物理方法配套教案第四版 ppt课件
定义：绝对收敛与条件收敛
称级数
w
n
是绝对收敛的，如果 数学物理方法配套教案第四版
| w n | 是收敛的
n 1
n 1
称级数 w n 是条件收敛的， 如果 | w n | 是发散
n1
n 1
的， 而 w n 是收敛的
n 1
数学物理方法配套教案第四版
数学物理方法配套教案第四版
数学物理方法配套教案第四版
双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。
数学物理方法配套教案第四版
数学物理方法配套教案第四版
数学物理方法配套教案第四版
a0a1(zz0)a2(zz0)2an(zz0)n
an(zz0)n n
其中
an(z z0)n 被称为双边幂级数的正幂部分
n0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an(z z0)n 被称为双边幂级数的负幂部分
n1
数学物理方法配套教案第四版
正幂部分 an(z z0)n n0
R1
z0
|z-z0|<R1
负幂部分 an(z z0)n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
数学物理方法配套教案第四版
▪ 收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换 ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在|zz0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就在 环状域 R2<|z-z0|<R1 内收敛，所以 R2<|z-z0|<R1给 出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
C
数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
数学物理方法的ppt
n (cos n i sin n ) 故： (cos i sin )n cos n i sin n
方根 n z n e i e 1/ n i / n
e 1/ n i ( 2 k ) / n
( k 0,1,2,3 ) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k2
kn
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x 2 y 2 为复数的模
arctg ( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
特权福利
特权说明
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y Argz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei
e 应用： 2 k i 1 1 e i
i e (2k / 2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 ( x1 y1i)( x2 y2i) ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1)
z1 z2 1e i1 2e i 2 e i (1 2 )
zE
w称为的z复变函数
z称为w的宗量
方根 n z n e i e 1/ n i / n
e 1/ n i ( 2 k ) / n
( k 0,1,2,3 ) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k2
kn
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x 2 y 2 为复数的模
arctg ( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
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y Argz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei
e 应用： 2 k i 1 1 e i
i e (2k / 2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 ( x1 y1i)( x2 y2i) ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1)
z1 z2 1e i1 2e i 2 e i (1 2 )
zE
w称为的z复变函数
z称为w的宗量
数学物理方法第十章
m m
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
数学物理方法课程教材PPT学习教案
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十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学
家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘 （Argand）以及德国的数学家高斯 （Gauss）等都对“虚数”(也称为“复 数”)给出了几何解释，并使复数得到了实 际应用. 特别地, 在十九世纪，有三位代表性人物， 即柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯 特拉斯（Weierstrass，1815－1897）、黎 曼（Rieman，1826－1866）.柯西和维尔 斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，
n
z1 z2 n
Cnk
znk 1
z2k
k 0
(n=1,2,….)
(1.1.5)
即为二项式定理. 其中：
Cnk
n!
k!n k !
(k=0,1,2,…,n)
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1.2 复数的表示
1.2.1 复 数 的 几 何 表 示
y
P y
r
x
o
图 1.1
x
第31页/共94页
定义 复数的几何表示 直角坐标表示
为指数形式
z rei
(1.2.14)
第37页/共94页
1.2.4 共轭复数
定义 1.2.7 共轭复数（复数的共轭）复数 z x iy 的共轭复 数定义为
z x iy
（1.2.15）
所谓共轭复数是指其实部不变，虚部反号. 共轭复数在复平 面内的几何意义表明：
点 z (x, y) 是点 z(x, y) 关于实轴的对称点.
若 a b, c 0 , 则 ac bc . 我们用复数 i 和 0 来说 明. 对于非零复数即 i 0 , 若 i 0 ，根据实数不等
式的性质，两边同乘以“大于零”的 i ，得 i i i 0 ， 即 1 0 ,矛盾. 若 i 0 ,同样两边同乘以“小于零” 的 i 可推得 1 0 ，也矛盾.
十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学
家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘 （Argand）以及德国的数学家高斯 （Gauss）等都对“虚数”(也称为“复 数”)给出了几何解释，并使复数得到了实 际应用. 特别地, 在十九世纪，有三位代表性人物， 即柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯 特拉斯（Weierstrass，1815－1897）、黎 曼（Rieman，1826－1866）.柯西和维尔 斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，
n
z1 z2 n
Cnk
znk 1
z2k
k 0
(n=1,2,….)
(1.1.5)
即为二项式定理. 其中：
Cnk
n!
k!n k !
(k=0,1,2,…,n)
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1.2 复数的表示
1.2.1 复 数 的 几 何 表 示
y
P y
r
x
o
图 1.1
x
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定义 复数的几何表示 直角坐标表示
为指数形式
z rei
(1.2.14)
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1.2.4 共轭复数
定义 1.2.7 共轭复数（复数的共轭）复数 z x iy 的共轭复 数定义为
z x iy
（1.2.15）
所谓共轭复数是指其实部不变，虚部反号. 共轭复数在复平 面内的几何意义表明：
点 z (x, y) 是点 z(x, y) 关于实轴的对称点.
若 a b, c 0 , 则 ac bc . 我们用复数 i 和 0 来说 明. 对于非零复数即 i 0 , 若 i 0 ，根据实数不等
式的性质，两边同乘以“大于零”的 i ，得 i i i 0 ， 即 1 0 ,矛盾. 若 i 0 ,同样两边同乘以“小于零” 的 i 可推得 1 0 ，也矛盾.
数学物理方法课件(北师大版)4
cc??????????????bosonzfifermionzfizfzfsidzzfzfnnnnzcn22re2??????????的极点re2zfcczfzfsidzzfzf?由于0??cdzzfzf于是有??????????的极点的极点rerezfbzffnnbosonzfzfsfermionzfzfszf????2?
y=sinφ π/2
讨论：对于m为负数，约旦引理是否成立？如何处理？
例1. 计算积分：0
fz e
x sin mx dx 2 1 x
y z=i
imz
z imz e 1 z2
O z=-i x
x sin mx 1 x sin mx 1 xe imx 0 1 x 2 dx 2 1 x 2 dx 2i 1 x 2 dx Re s[ f ( z )eimz ]
n n a z z n 0 .
• 由积分公式：
0, 1 n z z0 dz I 2i 1, (n 1) (n 1)
为什么a-1特殊？
fzdz
n
n a z z n 0 dz 2i a -1
(0 1)
p65
思考：当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如 何处理？
1 dx 例3. cosh x
1 C cosh z dz R R 1 1 dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
2
z 2i 的极点，并求 f (z) 在 5 3 z 4z
y=sinφ π/2
讨论：对于m为负数，约旦引理是否成立？如何处理？
例1. 计算积分：0
fz e
x sin mx dx 2 1 x
y z=i
imz
z imz e 1 z2
O z=-i x
x sin mx 1 x sin mx 1 xe imx 0 1 x 2 dx 2 1 x 2 dx 2i 1 x 2 dx Re s[ f ( z )eimz ]
n n a z z n 0 .
• 由积分公式：
0, 1 n z z0 dz I 2i 1, (n 1) (n 1)
为什么a-1特殊？
fzdz
n
n a z z n 0 dz 2i a -1
(0 1)
p65
思考：当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如 何处理？
1 dx 例3. cosh x
1 C cosh z dz R R 1 1 dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
2
z 2i 的极点，并求 f (z) 在 5 3 z 4z
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方法(第四版)高等教育出版社第一章2
2 2
③等温网为： 等温网为：
u( x, y) = x − y = c1 v( x, y) = 2 xy = c2
2 2
u是电场线，v电势线的话，表示两块无限大均匀带电平面 电场线， 电势线的话 电势线的话， 所产生的静电场。两板的截口位于Ox轴和 轴和Oy轴 所产生的静电场。两板的截口位于 轴和 轴。
2 2 2
二 维 拉 普 拉 斯 （Laplace）方程 ）
则称H 为在区域B上的调和函数 则称 （x，y）为在区域 上的调和函数 u、v为调和函数 、 为调和函数
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2v + 2 =0 + 2 =0 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
证明： 证明：
∂u ∂v Q = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
∂v ⇒ = 2y ∂x
∂u ∂v = − = −2 y ∂y ∂x
∂v = 2x ∂y
全微分方程： 1）全微分方程：
(用该方法时尽力凑 出全微分形式) 出全微分形式)
2）不定积分方法： 不定积分方法：
∂v = 2 y 对x积分，将y视为 积分， 视为 将 积分 ∂x 常数， 常数，则
（此方法 f ' ( y)易求解） 易求解）
= d (2 xy )
v( x, y ) = ∫ dv = ∫ d (2 xy )
= 2xy + C
∂v = 2 x + f '( y ) = 2 x f ' ( y ) = 0 ∂y
f ( y ) = C v( x, y ) = 2 xy + C
3) 曲线积分法： 曲线积分法： 方程知。 ①由Cauchy—Riemann方程知。 方程知
③等温网为： 等温网为：
u( x, y) = x − y = c1 v( x, y) = 2 xy = c2
2 2
u是电场线，v电势线的话，表示两块无限大均匀带电平面 电场线， 电势线的话 电势线的话， 所产生的静电场。两板的截口位于Ox轴和 轴和Oy轴 所产生的静电场。两板的截口位于 轴和 轴。
2 2 2
二 维 拉 普 拉 斯 （Laplace）方程 ）
则称H 为在区域B上的调和函数 则称 （x，y）为在区域 上的调和函数 u、v为调和函数 、 为调和函数
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2v + 2 =0 + 2 =0 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
证明： 证明：
∂u ∂v Q = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
∂v ⇒ = 2y ∂x
∂u ∂v = − = −2 y ∂y ∂x
∂v = 2x ∂y
全微分方程： 1）全微分方程：
(用该方法时尽力凑 出全微分形式) 出全微分形式)
2）不定积分方法： 不定积分方法：
∂v = 2 y 对x积分，将y视为 积分， 视为 将 积分 ∂x 常数， 常数，则
（此方法 f ' ( y)易求解） 易求解）
= d (2 xy )
v( x, y ) = ∫ dv = ∫ d (2 xy )
= 2xy + C
∂v = 2 x + f '( y ) = 2 x f ' ( y ) = 0 ∂y
f ( y ) = C v( x, y ) = 2 xy + C
3) 曲线积分法： 曲线积分法： 方程知。 ①由Cauchy—Riemann方程知。 方程知
数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结ppt
f ( z) 2i ( n ) dz f ( ) (2) 利用柯西公式 l n 1 n! (z )
来计算积分.
19
例1.
c
sin(
z) 4 dz, 其中c : ( x 1) 2 y 2 1 z2 1
y
sin( z ) 4 dz I z 1 z 1 c
v 2 x ( y ) y
( y) y
1 2 y C 2 1 v 2 xy ( y 2 x 2 ) C 2 1 f ( z ) u iv x 2 y 2 xy i[2 xy ( y 2 x 2 )] iC 2 1 ( x iy ) 2 i ( x iy ) 2 iC 2 1 z 2 i z 2 iC 2 ( y )
0 (l不包围 ) 1 l z dz 2 i (l包围 )
z
1 1 1 1 dz ( dz 2 z z 1 z z 1 dz ) z 1 2 1 (2 i 2 i ) 2 0
21
第三章
一、收敛半径
或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或
实部，从而写出这个解析函数。
① 算偏导
② u或v 的全微分
③ 求积分
④ 表成 f ( z )
10
例 3：已知解析函数 f (z ) 的实部u( x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
解：
u u 2 x y, x 2 y x y
17
4、柯西公式
f ( z) l z dz 2 if ( )
高阶导数的柯西公式
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C
C
C
2. 参数方程的表达形式C: z=z(t) t
f(z)dzf[z(t)z](t)dt
C
.
13
举例
Re zdz
C
其中：(1) C为由原点到(1,0)再到(1,1)的折线； (2) C为由原点到 (1,1)的直线
.
14
.
15
.
16
.
17
.
18
.
19
.
20
.
21
.
22.23源自 ..34.
35
性质 连续性 可积性
解析性
级数 w n ( z ) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 w n ( z ) 在C上一致收敛，且wn(z)
n 1
在C上连续，则
wn(z)dzwn(z)dz
Cn1
n1C
级数 w n ( z )在B内一致收敛于f(z)，且
数学物理方法
南昌大学物理系 杨小松
2014年2月
.
1
第五节 平面标量场
▪ 用复变函数表示平面标量场
在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声 场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关， 则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究 的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该 方向的平面上的场，这样的场称为平面场。
双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。
.
46
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47
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49
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52
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54
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55
孤立奇点
▪ 概念 若函数 f(z) 在某点z0在不可导，而在z0的任意
邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇 点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0 以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
函数 f(x) 的Fourier展开式
fxa 0n 1 a nco n ls xb nsin ln x
2
2
其z中 rei, k0,1, 是主幅
记
0
rcosisin
2 2
i
re2
1r c o 2 s isi 2 n rei 2
.
6
支点 n-1阶支点 一阶支点
值域的幅角范 围为[0,π)
w0
w1
值域的幅角范围 为[π,2 π)
.
7
.
8
黎曼面
Riemann面
.
9
C
C
f (z)dz f (z) dz
C
C
f(z)dzM,其 l M 中 ma| fx(z)|,l为 C的长度
C
.
12
▪ 路积分的计算方法
1. 归为二元函数的积分来计算，计算公式为
f( z ) d z u ( x ,y ) d v x ( x ,y ) d iy v ( x ,y ) d u x ( x ,y ) d
取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来
表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为
A A (z) A x(x ,y ) iA y(x ,y )
.
2
.
3
.
4
▪ 理想流体定常流 ▪ 平面温度场 例题：P18 例1、例2
.
5
第六节 多值函数
根式函数
zr co s2kisin2k
n 1
wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且
f (k)(z) wn(k)(z)
.
n1
36
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37
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40
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41
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42
第5节 洛朗级数展开
▪ 问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理 告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。
问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
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83
第五章 Fourier变换
5.1 傅立叶级数 5.2 傅里叶积分和傅里叶变换 5.3 函数
.
84
▪ Fourier展开
基本函数族
1,conslx,sinnlx n1
24
.
25
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26
.
27
.
28
计算积分： |zi|1
(z2
1 1)2
dz
计算积分： |z2i|3
(z2
1 9)2
dz
.
29
.
30
定理二：收敛的充分必要条件
设充分w 必n 要u条n 件iv是n(n1 u,n2,和 )，v则n 都级收数敛n，1 w其n 中收u敛n和的
n 1
n 1
vn皆为实数。
.
43
▪ 双边幂级数
an(zz0)na2(zz0)2a1(zz0)1
a0a1(zz0)a2(zz0)2an(zz0)n
an(zz0)n n
其中
an(z z0)n 被称为双边幂级数的正幂部分
n0
an(z z0)n 被称为双边幂级数的负幂部分
n1
.
44
正幂部分 an(z z0)n n0
R1
定理三：收敛的必要条件
级数 w n 收敛的必要条件是 lnimwn 0 n 1
定义：绝对收敛与条件收敛
称级数
w
n
是绝对收敛的，如果 .
|
wn
| 是收敛的 31
n 1
n 1
称级数 w n 是条件收敛的， 如果 | w n | 是发散
n1
n 1
的， 而 w n 是收敛的
n 1
.
32
.
33
z0
|z-z0|<R1
负幂部分 an(z z0)n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
.
收敛环 R2<|z-z0|<R1
45
▪ 收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换 ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在|zz0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就在 环状域 R2<|z-z0|<R1 内收敛，所以 R2<|z-z0|<R1给 出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数的积分 2.2 科西定理 2.3 不定积分 2.4 科西公式
.
10
.
11
▪ 性质
[A(z) f B(z) g d ] z A f(z)d z B g (z)d z
C
C
C
f(z)d zf(z)d zf(z)dz
C 1C2
C 1
C2
f(z)d zf(z)d,z其C 中 是 C 的逆向
举例
孤立奇点的例子
1, e1/z, z
1 1z2
1 非孤立奇点的例子 sin( 1 / z )
.
1,21 ,,0,,21 ,
1
56
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59
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60
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62
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63
第四章 留数定理及其应用
4.1 留数定理 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 *4.3 计算定积分的补充例题