周期函数
函数的周期性--经典例题
函数的周期性--经典例题函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。
周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。
函数周期的定义
函数周期的定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+t）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数t叫做这个函数的周期。
定义设f（x）就是定义在数集m上的函数，如果存有非零常数t具备性质：f（x+t）=f （x），则表示f（x）就是数集m上的周期函数，常数t称作f（x）的一个周期。
如果在所有正周期中存有一个最轻的，则表示它就是函数f（x）的最轻正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期t是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。
性质周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若t（≠0）就是f（x）的周期，则-t也就是f（x）的周期。
（2）若t（≠0）是f（x）的周期，则nt（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若t1与t2都就是f（x）的周期，则t1±t2也就是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期t*，那么f（x）的任何正周期t一定是t*的正整数倍。
（5）若t1、t2就是f（x）的两个周期，且t1/t2就是无理数，则f（x）不存有最轻正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域m必定是至少一方无界的集合。
认定定理周期函数定理，一共分以下几个类型。
定理1若f（x）是在数集m上以t*为最小正周期的周期函数，则k f（x）+c（k≠0）和1/ f（x）分别是集m和集{x/ f（x）≠0，x ∈m}上的以t*为最小正周期的周期函数。
证：∵t*是f（x）的周期，∴对有x±t* 且f（x+t*）= f（x），∴k f（x）+c=k f（x+t*）+c，∴k f（x）+c也就是m上用t*为周期的周期函数。
假设t* 不是kf（x）+c的最小正周期，则必存在t’（0\uct’\uct*）是k f（x）+c的周期，则对t’（0\uct’\uct*）是k f（x）+c的周期，有k f（x+t’）+c=k f（x）+c ，k[f（x+t’）- f（x）]=0，∵k≠0，∴f（x+t’）- f（x）=0，∴f（x+t’）= f （x），∴t’就是f（x）的周期，与t*就是f（x）的最轻正周期矛盾，∴t*也就是k f（x）+c的最轻正周期。
函数周期-
函数周期函数周期是指函数的图像在横坐标方向上的重复性表现。
在数学中，周期函数是具有周期性质的函数，即存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)成立。
这意味着函数在T的整数倍的位置具有相同的函数值，即函数图像在横坐标方向上以T为周期重复出现。
周期函数是数学中比较重要的一个概念，它在许多自然现象中都有广泛的应用。
比如，电路中的交流电压、振动系统的周期性运动、天体的运动周期等都可以用周期函数来描述。
在本文中，我们将讨论函数周期的相关概念以及其在实际应用中的意义和应用。
一、基本概念1.1 周期函数周期函数是指一类函数，它们在某个周期T上具有相同的函数值。
具体来说，如果函数f(x)具有周期T，则对于任意实数x和整数n，有 f(x+nT)=f(x) 成立。
其中，周期T是最小的正数，使得上述等式成立。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、正割函数等，它们分别具有不同的周期性质。
另外，任意两个周期相等的周期函数可以相互等价，即它们在周期T上产生相同的函数值。
1.2 周期性变换周期性变换是指由周期函数所产生的变换。
它可以通过平移函数图像来实现，使得函数图像在横坐标方向上以周期T重复出现。
具体来说，将函数f(x)在x轴正方向平移nT个单位，得到新函数f(x-nT)，即可实现函数图像的周期性变换。
另外，周期性变换还可以通过对函数进行反转实现。
具体来说，将函数f(x)关于x轴对称得到新函数-f(x)，再将-f(x)在x轴正方向平移nT个单位，即可得到新函数f(x-nT)。
1.3 周期函数的性质周期函数具有以下性质：（1）周期函数的图像在横坐标方向上具有重复性，且重复周期为T。
（2）周期函数在一个周期内有无数个零点。
（3）周期函数的奇偶性与其正负性有关。
（4）周期函数的平均值等于一个周期内函数值的平均值。
（5）周期函数的导数仍然是周期函数。
二、实际应用2.1 交流电压在电路中，交流电压是一种周期性的电信号，其周期和频率是固定的。
函数的周期性常用定理、结论
函数的周期性⑴ 概念：当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现。
1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T 是函数的一个周期.T 的整数倍也是函数的一个周期. ⑵抽象函数周期性结论：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；对数函数与指数函数图像_8 _6 _4 _2 _- 2 _- 4 _- 5 _5 _ 10 _b _ = _2 . 01 _a _ = _0 . 50_8_6_4_2_b_= _3.00_-5_5_10_a_= _0.33_-2_-4友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
周期函数
• 例． f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上 单调。求a的值。
• 解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 ∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴根据结论3得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6
• 方法二∵f(x)=-f(x+3)，f(x)是奇函数 ∴f(-x)=f(x+3) ∴f(x)关于x=3/2对称 又∵f(x)是奇 函数 ∴6是f(x)的一个周期，以下与方法一相同。
• 分析: • 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中 的x用x-a(或x-b)来替换. • 得f(x-a+a)=f(x-a+b)即 f(x)=f[x+(b-a)] 所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a 是其一个周期. 若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)] 所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期.
定理4
• 设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数， T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则 它们的和差与积也是（（p· q)=1）设T=T1q=T2p则有：有 （x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M， 且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2 （x+T2p）= f1(X）±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X） 是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。 同理可证：f1(X) 、f2(X）是以T为周期的周 期函数。
周期函数的定义(老黄学高数第41讲)
第41讲 周期函数的定义
设f为定义在D上的函数。若存在T>0，使得 对一切x∈D有f(x±T)=f(x)，则称f为周期函数， T为f的一个周期。 在所有正周期中最小的周期，称为基本周期， 或最小正周期，简单称为周期。 常量函数没有基本周期。 三角函数是最常见的周期函数。
设f是定义在R上的以h为周期的函数，a为实数.
1、若周期函数在一个周期内有界，则在整个定义域 上也有界，而且确界也是一致的；
2、若周期函数在任一周期内有增减性，则在其它周 期内也会有相同的增减性，但在整个定义域内没有增 减性；
3、若周期函数在原点所在的周期内有奇偶性，则在 整个定义域内也有相同的奇偶性.
求下列函数的周期：
(1)cos2x；(2)tan3x；(3)cos(x/2)+2sin(x/3). 解：(1)cos2x= (1+cos2x)/2. ∵cos2x的周期为π，∴cos2x的周期为π. 若f(x)以T为周期，则f(ωx)以T/ω为周期(ω≠0). (2)∵tanx的周期为π ，∴tan3x的周期为π/3. (3)∵cos(x/2)的周期为4π，sin(x/3)的周期为6π， ∴cos(x/2)+2sin(x/3)的周期为12π.
证明：若f在[a,a+h]上有界，则f在R上有界. 证：∵f在[a,a+h]上有界， ∴对任意的x0∈[a,a+h]，存在M>0，使|f(x0)|≤M， 对任意的x∈R，一定存在整数k，使x=kh+x0， 于是|f(x)|=|f(kh+x0)|=|f(x0)|≤M， ∴f在R上有界.
周期函数在每个周期内的图象性状相同.
设周期函数f, f1, f2的周期分别为T, T1, T2, 若f=f1±f2，T是T1和T2的最小公倍数.
函数的周期
函数的周期
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。
并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
1，做变量替换令y=x+1，得到f（y）=-f(y+2)
2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)
3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4
关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。
而上面3个步骤就是往这个方向凑
扩展资料：
1.周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域D内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的一个周期.
2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期.
3.若函数f(x)具有周期性，且非零常数T是f(x)的一个周期，则kT （其中k是不等于零的任意整数）也是f(x)的周期.
4.若数列{an}满足：对于任意的正整数n,都有
则称数列{an}是以K为周期的周期数列。
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则
kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。
函数周期性
函数周期性一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
周期函数怎么证明
周期函数怎么证明周期函数是指在一定区间或整个数轴上具有重复性质的函数。
当函数满足一定条件时，可以通过证明其具有周期性来得出其为周期函数。
证明一个函数为周期函数的方法有多种，下面我将介绍其中两种主要方法：方法一：通过函数表达式证明周期性首先，对于周期函数f(x)，我们需要找到一个正数T，使得对于任意实数x，都有f(x)=f(x+T)。
1.针对具体的函数表达式f(x)，我们可以通过观察函数的特征来推测周期。
2.对函数f(x)进行变形，使得函数表达式能够符合周期函数的形式，即存在一个正数T，满足f(x)=f(x+T)。
3.求解方程f(x)=f(x+T)，得到周期T的具体值。
这里需要注意，周期可以是任意正数，也可能是一个最小正数。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，我们需要证明其为周期函数。
1. 观察函数的特征，sin(x) 的函数图像在 x 轴正半轴和负半轴上都具有对称性。
2. 通过变形，我们可以得到f(x) = sin(x + 2π)。
3. 求解方程sin(x) = sin(x + 2π)，得到周期T = 2π。
方法二：利用数学定理证明周期性根据数学定理，如果一个函数f(x)在一些整数n处具有周期T，那么对于任意整数k，f(x)在n+kT处也具有相同的函数值。
1.假设函数f(x)在一些整数n处具有周期T。
2.对于任意整数k，证明f(x)在n+kT处具有相同的函数值。
-记作f(n)=f(n+kT)。
-利用函数的性质和数学定理进行推导，得出f(n)=f(n+kT)成立。
3.根据任意整数k，得出f(x)的周期为T。
举个例子，我们证明函数 f(x) = cos(5x) 为周期函数。
1. 变形后的函数表达式为f(x) = cos(5(x + 2π/5))。
2. 假设整数 n = 0，考虑整数 k，我们证明 cos(5 * 0) = cos(5 * (0 + k * 2π/5))。
3. 应用余弦函数的周期性质，得出cos(0) = cos(5 * k * 2π/5)，即 1 = 14. 根据数学定理，我们得出结论：函数 f(x) = cos(5x) 的周期为2π/5综上所述，通过函数表达式或数学定理，可以证明一个给定函数具有周期性。
函数的周期性
函数的周期性基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为.A 1- .B 0 .C 1 .D 22．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
函数的周期性
函数的周期性
1．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）=
1
f(x−2)的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）=
1
f(x)
=f（x﹣2）⇒T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
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第八讲 函数的周期性与图象
一、知识点梳理： 导学一 函数的周期性对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．导学二 函数周期性表达形式周期函数f (x )满足的条件周期 f (x ＋a )＝f (x －a ) 2a f (x ＋a )＝－f (x ) 2a f (x ＋a )＝－1f (x )2a f (x ＋a )＝1f (x )2a 关于直线x ＝a 与x ＝b 对称 2|b －a | 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b －a | 关于直线x ＝a 与点(b,0)对称 4|b －a | 偶函数，关于直线x ＝a 对称 2a 奇函数，关于直线x ＝a 对称4a第九讲函数的周期性与图象(1)平移变换y ＝f (x )―――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换y ＝f (ωx )；y ＝f (x )―――――――――――――――――――――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝Af (x )．(3)对称变换y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )―――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换y ＝f (x )―――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――――――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝|f (x )|. 二、自主学习：周期性1．判断题(1)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋π)＝－f (x )，则f (x )是周期为2π的周期函数．( )(2)函数f (x )在定义域上满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a >0)且为偶函数，则f (x )为周期函数，其中一个周期为2a .( )(3)函数f (x )在定义域上关于两相邻对称轴x ＝a ，x ＝b 对称，则f (x )是周期函数．( ) (4)周期函数一定存在最小正周期．( ) 2．填空题(1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的函数，并且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 019)＝________. (3)(2018·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 017)＝________.函数图象画法1．判断题(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( ) (3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 2．填空题(1)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝________. (2)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．(3)如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝________.三、精讲精练： 【考点一】周期性[例1] (2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________．[例2] ．(2018·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12[变式1]．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. [变式2]．已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为________．【考点二】周期性奇偶性单调性综合[例3] (2018·安徽池州联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a[变式训练3]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11)【考点三】函数图象考法(一) 函数图象画法[例4] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2.考法(二) 函数图象识别[例5] (1)(2018·湖北四地七校联考)函数y ＝ln |x |－x 2的图象大致为( )(2)如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )利用图象研究函数性质[例6] 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则下列说法：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确说法的序号是________．四、能力展示1．函数f (x )的周期为4，且x ∈(－2,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________． 2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝________.3．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (0)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±24．已知函数f (x )是奇函数，且满足f (2－x )＝f (x )(x ∈R )，当0<x ≤1时，f (x )＝ln x ＋2，则函数y ＝f (x )在区间(－2,4]上的零点个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 6. 函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )7.作下列函数的图象： (1)y ＝1x －1＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋2，x ∈(－1,2]； (3)y ＝|x －1|，x ∈R.。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。
证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。
公式及推导f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
所以得到这三个结论。
函数的周期性设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。
二、周期函数的运算性质:①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。
②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。
③若f(x),g(x)分别是以T1,T2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数。
周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。
tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。
secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。
函数周期性
函数周期性定义及推论1． 函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
--------引申：证明函数为周期函数(1) 12log cos2y x = 证明：函数定义域为{|,},44D x k x k k ππππ=-<<+∈Z 若取T π=,那么对每一个,x D ∈,x T D +∈且有 1122log cos2()log cos2,x x x D π+=∈所以, y 是周期函数.(2) tan(sin )y x =证明：函数定义域为R , 若取2Tπ=, 那么有 t a n (s i n (2))t a n (s i n ),x x x π+=∈R 所以, y 是周期函数.(3) 22cos tan cot 10x y x x =+ 证明：函数定义域为{|,},2k D x x k π=≠∈Z 若取10T π=, 那么对每一个,x D ∈,x T D +∈且有 2102cos tan cot cos()2cos()2,1055x x x x x x D π++=+=+∈ 所以, y 是周期函数.(4) 21cos 4(sin cos )22sin 2x y x x x-=-++ 证明：函数定义域为{|,},2k D x x k π=≠∈Z 那么对每一个,x D ∈,x T D +∈有 s i n 21s i n 221,y x x x D =--+=∈.所以, y是周期函数,周期为任意x D2．最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。
所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。
周期函数怎么判断？
周期函数怎么判断？三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。
推知周期，常见的周期情况有f(x T)=f(x)，周期为T，f(x a)=-f(x)，周期为2a。
扩展资料周期函数的判定方法1、根据定义讨论函数的.周期性可知非零实数T在关系式f(X T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。
例：f(X)=cosx 是非周期函数。
2、一般用反证法证明。
(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。
例：证f(X)=ax b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x T) b=ax b ax aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对，有(x T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x T≠0，∴f(x T)=1，∴f(x T) ≠f(X)与f(x T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin(T T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴( 1)2T2=Lπ(L∈Z )，∴与3 2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
周期函数的性质
周期函数的性质
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f （x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。
并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
目录
1 定义
2 性质
定义
设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。
性质
周期函数的性质[2] 共分以下几个类型：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
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2
六、f(x)=Asin(ωx+φ)+k,f(x)=Acos(ωx+φ)+k的周
期公式
②例y4=解s求i：n2下①x,列∵x∈函y=R数co的③sx周,yx=∈期2sR：in的(①12周yx=－期36是c)os2xπx,∴x∈∈当RR自变量x
只要且至少要增加到x+2π，函数值才能重复出 现。故y=3cosx,x∈R的周期是2π。
主讲老师：田鲜丽 上蔡县第一高级中学
复习提问
1、正弦曲线、余弦曲线
y
o
2、P7练习题2
x Y=sinx
3、已知f(x),求f(x+T)
新知感悟
• 一、定义：对于函数f(x)，存在一个非零常 数T，使对定义域中的任何值x都有 f(x+T)=f(x),(即对于任何x∈A(A是f(x)的定 义域)，都有f(x+T)=f(x)),则称f(x)是周期函 数。其中T是f(x)的一个周期。
复出现。故y=2sin(
x12－
)的周期是4π。
6
由此我们得到
f(x)=Asin(ωx+φ)+k,f(x)=Aco s(ωx+φ)+k的周期公式是
T= 2
小结
本节主要学习的内容如下
1、周期函数概念，并学习了如
何证明T是f(x)的周期；
2、最小正周期概念；
3、函数
y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k的
,2
K∈Z的周期是 2 。
下节课预备知识
1、诱导公式（三）， 2、正弦曲线，余弦曲线， 3、正弦曲线，余弦曲线是
对称图形么？点对称图形 还是轴对称图形？
作业 布置
1、巩固新知。 2、课堂练习：P27 1、2、3 3、课后作业：P29 11、12、13
例2 求证 :π是函数f(x)=|sinx|的周期
二、定义理解：从四个方面理解
1、T是一个非零常数。
2、f(x+T)=f(x)有两层含义：
①x ∈ A时，x+T∈A，即f(x)的定义域是无界的。 如：f(x)=cosx x∈[0,+∞),
f(x)=sinx x∈[0,+∞),f(x)=sinx x∈（－∞,+∞)都是周期 函数，但f(x)=sinx x∈[-100π,100π]不是周期函数。
②f(x)是周期函数，必须且只需对定义域中的任何x 都有f(x+T)=f(x)。据此可解决如下问题：（Ⅰ）证明 或判断常数T不是f(x)的周期；（Ⅱ）证明或判断某常 数T是f(x)的周期。
3、若T是f(x)的周期，则nT(n∈N+)也是f(x)的周期。
4、式子f(x+T)=f(x)中，T是加到x上，不是加到ωx上， 如由f(2x+T)=f(2x)可以推出f[2(x+T/2)]=f(2x),推出T/2
②∵y=sinx,x∈R的周期是
2π,∴sin(2x+2π)=sin[2(x+π)]=sin2x,即当自变量
x只要且至少增加到x+π,函数值才能重复出现。
故y=sin2x的周期是π。
③+变∵2量yπ=)=xsi只2nsxi要n,x[且∈12(至Rx+的少4π周要) 期－增是加]2=到6π2,xs∴i+n42(πsi,nx12函－( 数12x值－)6,即才6当能自重
周期公式是T=
2
4、判断周期函数有两种方法
（一）定义法（二）图象法
课后练习与思考
一、练习：
二、思考：
1、求证：y=|sinx|+|cosx| 如何证明一个函数不
的周期是 。
是周期函数？
2
2、y=sin2x－coБайду номын сангаас2x的周期 答：用反证法。
是
。
3、y=sinxcosx的周期是 。
4、y=sinx,x≠4kπ－
注意：①一个函数是周期函数，但不一 定有最小正周期。如y=cosx x ∈(－∞,0]; 常数函数等。
②高中阶段对最小正周期不要求证明最 小。
③约定：以后提到周期，如不作特别说 明，都是指最小正周期。
五、两个结论
①f(x)=sinx x∈R的周期是2π。 ②f(x)=cosx x∈ R的周期是2π。
是f(x)的一个周期，仿此可推出f(x)=sin2x的周期是 π。
例3 定义在R上的函数f(x),对x∈R有 f(x+3)=－f(x) ①求证：f(x)是周期为6的函数； ②若f(5)=sin1,则f(2003)的值为多少？
①证明：∵f(x+6)=f[(x+3)+3]=－f(x+3)=－ [－f(x)]=f(x)
∴f(x)是周期为6的函数
②解：由①知 f(2003)=f(6×333+5)=f(5)=sin1
三、几个特殊的函数
1、常数函数是周期为任意非零 实数的周期函数。
2、f(x)=sin|x|不是周期函数。
四、最小正周期
定义：对于周期函数f(x),如果在它的所有 周期中存在一个最小的正数T，那么这个 T就叫做函数f(x)的最小正周期。
证明：∵f(x+π)=|sin(x+π)|=|－sinx| =|sinx|=f(x)
∴π是函数f(x)的周期。
定义的 应 用
例1 求证：π不是f(x)=sinx的周期
证明：假设π是f(x)的周期，则 f(x+π)=f(x)对x∈R都成立。取x=
2
,∴但πs不in(是2f(x+)π的)=周－期1≠。1=sin