2014高考数学小题限时训练19
2014高考数学小题限时训练12
2014高考数学（理科）小题限时训练1215小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.设全集U ＝R ，集合{|1}A x x =>-，{|2}B x x =>，则U A B = ð （ ） A ．{|12}x x -≤< B ．{|12}x x -<≤ C ．{|1}x x <- D ．{|2}x x >2.已知命题p ：(,0),23xxx ∃∈-∞<；命题q ：(0,),tan sin 2x x x π∀∈>，则下列命题为真命题的是 （ ）A. p ∧qB. p ∨(﹁q)C. (﹁p)∧qD. p ∧(﹁q) 3．函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡81,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,81 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41 Ｄ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,214．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x的是( ) A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =xe D ()ln(1)f x x =+ 5．若函数y =()f x 的图象过点()0,1，则函数y=()4f x -的图象必过点（ ） A ． ()3,0 B ．()1,4 C ． ()4,1 D ．()0,36.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 有()(2)f x f x =-成立，则(2010)f 的值为 （ ）A.0B. 1C.－1D. 2 7．函数在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ）8.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”.若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （ ）A. [1，4]B. [2，4]C. [3，4]D. [2，3] 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
2014年全国各地高考数学试题及解答分类大全(不等式)
2014年全国各地高考数学试题及解答分类大全（不等式）一、选择题：1（2014安徽理）y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或解析：数形结合求解。
考点：1.线性规划求参数的值.2.(2014福建文)要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）.80.120.160.240A B C D 元元元元3.(2014福建文)已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）.5.29.37.49A B C D 4.(2014北京理)若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】D 【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .5、(2014广东文)若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C .10 D.11答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10.选C.6.(2014广东理)若变量x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M和m ，则M m -=（）A.8B.7C.6D.5截距最大，此时z 取最大值M ，即()2213M =⨯+-=；()336M m -=--=，故选C.7．(2014湖北文)若变量x ，y＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是()A ．2B ．4C ．7D ．84．C[解析]＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，平移直线2x ＋y ＝0，易知在直线x ＋y ＝4与直线x －y ＝2的交点A (3，1)处，z ＝2x2=-+y x 02=+-y kx A=-x y＋y 取得最大值7.故选C.8．(2014湖北理)由不等式组x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.787．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.9.(2014江西理)（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=10.(2014全国大纲文)不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >11.(2014全国新课标Ⅰ文)设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5（B ）3（C ）-5或3（D ）5或-3【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域，如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z取得最大值，故舍去，答案为a = 3.选B.12.(2014全国新课标Ⅰ理)不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3P B .1p ，4p C.1p ，2p D .1p ，3P 【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.13.(2014全国新课标Ⅱ文)设x ，y 满足约束条件0103310x y x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥-⎩+，则z =2x +y 的最大值为()A．8B．7C．2D．1【答案解析】A．解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.14.(2014全国新课标Ⅱ理)设x ，y 满足约束条件03103507x y x x y y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥-⎩+，则z =2x -y 的最大值为()A.10B.8C.3D.2【答案解析】B.解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.15.(2014山东理)已知实数,x y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y>15.【答案】D【解析】y x a a a yx>∴<<<10, 但不能判断22y x >（如1,0-==y x ）∴排除A,B;x y sin = 是周期函数，∴排除C;3x y = 是单调递增函数，∴D 正确.16.(2014山东文)已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是(A)33x y>(B)sin sin x y >(C)22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++16.【答案】A【解析】由)10(<<<a a a yx得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D 排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。
2014高考数学全国卷模拟试题19
高考(文科）数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合U ={1,2，3，4，5，6，7},A ={1,2,4},B ={1,3,5}，则A ∩cUB =( )A. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {3,5}D. {2,4} 2. 直线1l :kx -y -3=0和2l :x +(2k +3)y -2=0互相垂直，则k = ( )A. -3B. -2C. -12或-1 D.12或13. 复数55i12i+的虚部是( )A. -1B. 1C. iD. -i4. 若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是( )A. a b +<B. 1122a b > C. ln a ＞ln b D. 0.30.3a b <5. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B 的值是( )A. 5B. 11C. 23D. 476. 已知α为锐角，cos α=55，则tan π24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=( )A. -3B. -17C. - 43D. -77. 若实数x ,y 满足条件 ，目标函数z =x +y ,则( )A. z max =0B. z max =52C. z min =52D. z max =38. 已知直线βα平面直线平面⊂⊥m ，l ，有下面四个命题：（1）ml ⊥⇒βα//；（2）ml //⇒⊥βα；（3）βα⊥⇒m l //；（4）βα//⇒⊥m l.其中正确的命题是( )A ．（1）与（2）B ．(1)与(3)C ．(2)与(4)D ．(3)与(4)9. 已知函数f (x )= ,若0x 是y =()f x 的 零点，且0＜t ＜0x ,则f(t) ( )A. 恒小于0B. 恒大于0C. 等于0D. 不大于0 10. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n (n ∈N *)，则a 100的值为( ) A ．5050 B ．5051 C ．4950 D ．495132x x -21log (0)3x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭（x ≤0）x +2y -5≤02x +y -4≤0 x ≥0y ≥111. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D.3 12. 曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 在△ABC 中，sin 2C A sin B +sin 2B ，a b ，则角C = 14. 在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ﹡),且a 6-a 4=24,a 3a 5=64,则{a n }的前6项和是 15. 过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平 分线上，则双曲线的离心率为 16. 观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ……照此规律，第n 个等式为 .三、 解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5=35，a 5和a 7的等差中项为13.(Ⅰ) 求a n 及S n ； (Ⅱ) 令241n nb a =-(n ∈N ﹡)，求数列{b n }的前n 项和T n .18. (本小题满分12分)已知向量m =(2co s ωx ，-1)，n =(si n ωx -co s ωx ，2)，函数f (x )= m ·n+3的周期为π. (Ⅰ) 求正数ω；(Ⅱ) 若函数f (x )的图像向左平移π8g (x )的图像，求函数g (x )的单调增区间.19. (本小题满分12分) 《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为 单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试 ，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段 的人数为2人. (Ⅰ) 请估计一下这组数据的平均数M ；(Ⅱ) 现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20， 则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.20. (本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC 的中点.且CC 1= .(Ⅰ) 求证：CN //平面 AMB 1； (Ⅱ) 求证：B 1M ⊥平面AMG .第19题图21. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．22. (本小题满分12分)已知中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且抛物线y2= 的焦点为F1.(Ⅰ) 求椭圆E的方程；(Ⅱ) 垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.2012年3月济南市高考模拟考试数学（文史类）参考答案一、 选择题1. D2. A3. B4. A5. C6. B7. D8. C9. B 10. A 11. A 12. D 二、 填空题 13.π614. 6315. 16. n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2三、 解答题17. 解：(Ⅰ) 设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 5=5a 3=35，a 5+a 7=26，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,…………………………………………………………………2分解得a 1=3,d =2，…………………………………………………………………4分 所以a n =3+2(n -1)=2n +1；S n =3n +(1)2n n -×2=n 2+2n.………………………6分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知a n =2n +1，所以b n =241n a -= 1(1)n n +…………………………8分= 111nn -+，……………………………………………………………… 10分所以T n = 11111111223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭….……12分 18. 解：（Ⅰ）f (x )=(2cos ωx ,-1)·(sin ωx -cos ωx ,2)+3……………………………………………1分=2cos ωx (sin ωx -cos ωx )+1………………………………………………………2分 =2sin ωx cos ωx -2cos 2ωx +1………………………………………………………3分 =sin2ωx -cos2ωx ……………………………………………………………… 4分=sin 24x πω⎛⎫-⎪⎝⎭………………………………………………………… 5分 ∵T =π,且ω>0，∴ω=1.……………………………………………………… 6分 （ Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f (x)=π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…………………………………… 7分g (x)=ππ284x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2sin2x …………………………………9分∴2k π-π2≤2x ≤2k π+π2，k ∈Z ；……………………………………………10分∴k π-π4≤x ≤k π+π4，k ∈Z ；…………………………………………… 11分∴函数g(x)的单调增区间为πππ,π+44k k⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k∈Z.……………………12分19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：50～60分的频率为0.1，60～70分的频率为0.25，70～80分的频率为0.45，80～90分的频率为0.15，90～100分的频率为0.05；……………………………………………………………………2分∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73（分）…………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05；∴参加测试的总人数为20.05=40人， (5)分∴50～60分数段的人数为40×0.1=4人，…………………………………6分设第一组50～60分数段的同学为A1,A2,A3,A4；第五组90～100分数段的同学为B1,B2……………………………………………………………………7分则从中选出两人的选法有：(A1，A2)，(A1，A3),(A1，A4),(A1，B1),(A1，B2),(A2，A3),(A2，A4),(A2，B1),(A2，B2),(A3，A4),(A3，B1),(A3，B2),(A4，B1),(A4，B2),(B1，B2)，共15种；………………………………………………………………………………………9分其中两人成绩差大于20的选法有：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8种………………………………………11分则选出的两人为“帮扶组”的概率为P=815………………………………12分20. 解：（Ⅰ）设AB1的中点为P，连结NP、MP……………… 1分∵CM 12AA1，NP12AA1，∴CM NP，…2分∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP……………3分∵CN⊄平面AMB1，MP⊂平面AMB1，∴CN∥平面AMB1……………………………………………4分（Ⅱ）∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1B1B⊥平面ABC，∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG.…………………………………………………………6分∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C，第20题图设：AC=2a,则CC1在Rt△MCA中，AM=……………………………8分同理，B1M a……………………………………………………………9分∵BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，∴AB 1==，∴AM 2+B 1M 2=21A B ，∴B 1M ⊥AM ，………………………………………10分 又AG ∩AM =A ，∴B 1M ⊥平面AMG ..………………………………………12分21. 解：（Ⅰ） 设点C 受A 污染源污染指数为ka x，点C 受B 污染源污染指数为36kb x-，其中k 为比例系数，且k ＞0. ………………………………………………2分 从而点C 处污染指数(036)36ka kb y x x x=+<<-………………………4分（Ⅱ） 因为a =1，所以，36k kb y xx=+-，……………………………………… 5分y ′=221(36)bk xx ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦，…………………………………………………7分 令y ′=0，得x =，……………………………………………………9分当x ∈⎛ ⎝时，函数单调递减；当x ∈⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，函数单调递增.∴当36x =时，函数取得最小值…………………………………… 11分又此时x =6，解得b =25，经验证符合题意.所以，污染源B 的污染强度b 的值为25…………………………………12分22. 解：（Ⅰ） 设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，…………………………… 1分则22441ab+=，①………………………………………………………… 2分∵抛物线2y =-的焦点为F 1∴c = ②………………………………………………………………3分又a 2=b 2+c 2 ③由①、②、③得a 2=12，b 2=6……………………………………………… 5分 所以椭圆E 的方程为221126xy+=………………………………………… 6分（Ⅱ） 依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y =-x +m ，………… 7分代入椭圆E 方程，得3x 2-4mx +2m 2-12=0. ………………………………… 8分由Δ=16m 2-12(2m 2-12)=8(18-m 2)，得m 2＜18. ………………………………9分HLLYBQ 整理 供“高中试卷网（ ）”·8·记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=43m ，x 1x 2=22123m -………………10分圆P 的圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，半径12||2r x x =-=1分当圆P 与y 轴相切时，122x x r +=，则2x 1x 2=212()4x x +，即222(212)439m m -=，m 2=9＜18，m =±3………………………………12分当m =3时，直线l 方程为y =-x +3，此时，x 1+x 2=4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x -2)2+(y -1)2=4；……………………………………………13分 同理，当m =-3时，直线l 方程为y =-x -3，圆P 的方程为(x +2)2+(y +1)2=4…………………………………………… 14 分。
2014高考数学(理科)小题限时训练33
2014高考数学（理科）小题限时训练3315小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题（8小题，每小题5分共40分）1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,4}A =，{4,5}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,2B ．{}3,5C ．{}4D ． {}5 2． 对任意实数，若不等式恒成则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3．用若干个棱长为1cm 的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm 3，则其侧视图为 （ ）4．若二项式6)1(xx a -的展开式中的常数项为320p -，则⎰=axdx 0sin （ ）A ．-2B ．0C ．1D ．25．在区间[—1，1]上随机取一个数k ，使直线y=k （x+2）与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C．3D．26．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y x b yx a 2，则|y ||x |+等于（ ）A ．32+B ．52+C ．53+D ．7 7．方程94321=+++x x x x 的正整数解的组数为（ ）A. 28B. 36C. 42D. 568．已知31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，则2(2)f x x a +=（2a >）的根的个数不可能为 ( ) A ．3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）（一）选做题（请在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．某品牌槟榔在制作时需添加某种香料，添加范围是[]90,10，为了找到最优效果，准备用分数法进行4次优选试验 ，则第二次试点可以是 _____ 10.在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛2,1πP 到曲线2234cos :=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρl 上的点的最短距离是_____ 11. .如图，半径为2的⊙O 中，90AOB ∠=︒，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为 （二）必做题（ 12-16题）12．若奇函数()y f x =的定义域为[4,4]-，其部分图像如右图所示， 则 不等式()ln(21)0xf x -<的解集是13. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1)1(5)1(232=-+-a a ，()()3201120111511aa -+-=-，则2012S =14. 在ABC ∆中，已知三角形的面积4222c b a S -+=，则角C=____________15. 已知点A （-2，0），B （2，0），动点P 满足∠APB=2θ，且2sin 2=∙∙θPB PA ．则动点P 的轨迹方程 为 ． 16．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*()n a n N ∈的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则200920102011a a a ++= .9． 10． 11． 12 13. 14 15 16答案：一．DBCA CBDA二．9. 40或60（只写出其中一个也正确） 10. 22 11. 12. (1,2 ) 13. 2012 14. 4π15. 222x y -= 16. 1005。
2014高考数学终极冲刺押题卷函数、导数、不等式的综合问题
2014高考数学终极冲刺押题卷：函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分)1．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )．A.13 B ．－13C.73D ．－13或532．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )．A ．1 B.12 C.52 D.223．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，324．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．0 D. 25．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )．A ．a ＞－3B ． a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13二、填空题(每小题5分，共15分)6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．7．函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________．8．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12x 2＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值．10．(12分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m ＜M )，使得对每一个t ∈[m ， M ]，直线y ＝t与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．11．(12分)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切的x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x.参考答案1．D [∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，若图象不过原点，则a ＝0时，f (－1)＝53，若图象过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.] 2．D [|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22.] 3．A [因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.]4．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1, 2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]5．B [令f (x )＝e ax＋3x ，可求得f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当f ′(x )＝3＋a e ax＝0成立时，显然有a ＜0，此时x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .由x ＞0，解得a ＜－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3)．]6．解析 由题得f ′ (x )＝12x 2－2ax －2b ＝0，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.∴a ＋b ≥2ab ，∴6≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取到最大值． 答案 97．解析 ∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴ f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或f ′(－1)＝3＋a ≤0且f ′(2)＝a ≤0，∴a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)． 答案 (－3,1)8．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝0，x 2＝2，当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)9．解 由已知，得f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋b .由f ′(0)＝0，得b ＝0，f ′(x )＝x (x －a －1)．(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－x 2＋1，f ′(x )＝x (x －2)，f (3)＝1，f ′(3)＝3.所以函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程为y －1＝3(x －3)， 即3x －y －8＝0.(2)存在x ＜0，使得f ′(x )＝x (x －a －1)＝－9， －a －1＝－x －9x＝(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ≥2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ＝6，a ≤－7，当且仅当x ＝－3时，a ＝－7.所以a 的最大值为－7. 10．解 (1)由f (e)＝2，得b ＝2.(2)由 (1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x . 从而f ′(x )＝a ln x . 因为a ≠0，故①当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞1，由f ′(x )＜0得， 0＜x ＜1； ②当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得，x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .由(2)可得，当x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又2－e＜2，所以函数f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点；并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点． 11．(1)解 f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 则①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，t 无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，[f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增．所以[f (x )]min ＝f (t )＝t ln t .所以[f (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t ＜1e ，t ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥1e .(2)解 2f (x )≥g (x )，即2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，h ′(x )＝x ＋x －x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以[h (x )]min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤[h (x )] min ＝4.故实数a 的取值范围是(－∞，4]．(3)证明 问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e，x ∈(0，＋∞)．由(1)可知f (x )＝x ln x ，x ∈(0，＋∞)的最小值为－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m (x )＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m ′(x )＝1－xex ，易得[m (x )]max ＝m (1)＝－1e.从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x 成立．。
江苏2014最新高考数学小练及参考答案19
Q班级 学号 姓名1．已知2z mi =+,m R ∈,若11zi-+对应点在第二象限,则m 的取值范围为 ． 2．已知集合A ={2k x |x sin,k Z π=∈}，B ={11x ||x |-≤}，则A B = ．3．若17sin(,cos(12312ππαα+=+则的值为 . 4．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 ．5．已知点O 是边长为1的等边△ABC 的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+等于 ．6．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()2'1ln f x xf x =+，则()f x 在点()(1,1)M f 处的切线方程为 ． 7．底面半径为1R ，内接圆柱的体积最大时R 值为 ．8．已知椭圆的标准方程为()221632n x y n N n *+=∈-，若椭圆的焦距为n 的取值集合为 .9．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 10．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t ---≤，则当14s ≤≤时，ts的取值范围是- ．11．如图，正△ABC 的边长为15，1235AP AB AC =+，1255BQ AB AC =+． （1）求证：四边形APQB 为梯形； （2）求梯形APQB 的面积．12．已知数列{a n }中，a 1 =1，S n 为其前n 项的和，且13(23)3(0)n n tS t S t t --+=>． （1）求证：{a n }为等比数列；（2）设{a n }的公比为()f t ，数列{b n }中，b 1 =1，11()(2)n n b f n b -=≥，求b n ； （3）求12233445212221n n n n bb b b b b b b b b b b -+-+-++-．（21）1．(1,1)-；2．{0，1}； 3．13-； 4．160 5．；6．10x y ++=；7．； 8．{2，4，5}； 9．-10； 10．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 11．解 （1）因PQ PA AB BQ =++=1235AB AC --1255AB AB AC +++=1315AB ，故PQ ∥AB ，且|PQ |=13，|AB |=15，|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．（2）设直线PQ 交AC 于点M ，则25AM AC =，故梯形APQB 的高h 为正△ABC 的AB 边上高的25，即2155h == 从而，梯形APQB的面积为1(1315)2+⨯=12．解 （1）∵13(23)3n n tS t S t --+=，∴123(23)3n n tS t S t ---+=，两式相减得13(23)0nn ta t a --+=．又∵0t >，∴1233n n a t a t-+=，∴{A N }是以1为首项，233t t +为公比的等比数列．（2）由（1）得()f t 232133t tt+==+，∴1112()3n n n b f b b --==+， ∴{BN }是以1为首项，23为公差的等差数列，∴2211(1)333n b n n =+-=+．（3））由（2）得2462,,,,n b b b b 是以53为首项，43为公差的等差数列，∴12233445212221n n n n bb b b b b b b b b b b -+-+-++-21343522121()()()n n n b b b b b b b b b -+=-+-++-242225142()2[(1)]33323n b b b n n n =-⨯+++=-⨯⨯⨯+⨯-⨯22193n n =--．。
(完整word版)2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编：D单元数列,推荐文档
数学D单元数列D1数列的概念与简单表示法17. 、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列｛a n｝, ｛b n｝(b n M 0, n€ N*)满足a n b n+1 一a n+ 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.(1) 令C n= ”，求数列｛C n｝的通项公式；b n⑵若b n= 3厂，求数列｛a n｝的前n项和S n.* a n+1 a n17 .解：(1)因为a n b n+ 1 —a n+ 1b n+ 2b n + 1b n = 0, b n M 0( n€ N )，所以 b + 1 —b = 2, 即卩C n一C n = 2 ,+ 1所以数列｛ C n｝是以C1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故C n= 2n— 1.(2) 由b n= 3n—1，知a n = (2n—1)3n—1，于是数列｛a n｝的前n 项和S n= 1 x 30+ 3X 31+ 5X 32 + •••+ (2n—1)x 3n —1, 35= 1 x 31+ 3x 32+ •••+ (2n—3)x 3n—1+ (2n —1)x 3n,将两式相减得—2S n= 1 + 2x (31+ 32+…+ 3n—1) —(2n—1) x 3n=—2 —(2n —2) x 3n,所以S n= (n—1)3n+ 1.17. ［2014新课标全国卷I ］已知数列｛a n｝的前n项和为S n, a1= 1, a n^ 0, a n a n+1=入n —1，其中入为常数.(1) 证明：a n+2—a n=入⑵是否存在入使得｛a n｝为等差数列？并说明理由.17. 解：(1)证明：由题设，a n a n+1 =入n —1, a n+1a n+2 =入S1 —1,两式相减得a n + 1(a n+2 —a n)=入a 1.因为a n+ 1工0，所以a n + 2 —a n=入(2) 由题设，a1 = 1, a1a2=入1—1，可得a2= 一1,由(1)知，a3= + 1.若｛a n｝为等差数列，则2a2= a1 + a3,解得=4，故a n+ 2—a n= 4.由此可得｛a2n-1｝是首项为1，公差为4的等差数列，a2n—1= 4n—3;｛a2n｝是首项为3,公差为4的等差数列，a2n= 4n — 1.所以a n= 2n—1, a n+1 —a n= 2.因此存在入=4，使得数列｛a n｝为等差数列.17. 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n｝满足a1= 1, a n+1 = 3a n+ 1.1(1) 证明a n + 2是等比数列，并求｛a n｝的通项公式；1 1 1 3(2) 证明匸+丁+…+.a1 a2 a n 21 117.解：(1)由a n+1= 3a n + 1 得a n+1 + ? = 3 a n + -.又a1 +1 = 3,所以a n+ 2是首项为§公比为3的等比数列，所以a n+1 f，因此数n— 13列｛ a n｝的通项公式为a n= ~2~ .1 2(2)证明：由⑴知丛=3n—1.因为当n > 1 时，3n— 1 > 2 x 3n —1,1 1 12 1 所以3^ w 2x 3n_1，即a n=3nT i w 厂. 于是丄+丄+…十丄w 1+3+-+ =31 -3 <2.a1 a2 a n 3 3 2 3 21 , 1 3所以—I ------- --- ----- v二a1 a2 a n 2'22., , ［2014 重庆卷］设a1 = 1, a n+1=<a§—2a n+ 2 + b(n € N*).(1)若b = 1，求a2, a3及数列｛a n｝的通项公式.⑵若b =—1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n€ N*成立？证明你的结论.22.解：(1)方法一：a2= 2, a3= ,2+ 1.再由题设条件知(a n+ 1—1)2= (a n—1)2+ 1.从而｛(a n —1)2｝是首项为0,公差为1的等差数列，故(a n—1)2= n—1,即卩a n= n— 1 + 1(n€ N*).方法二：a2= 2, a3= 2 + 1.可写为a1= 1—1 + 1, a2= 2— 1 + 1, a3= 3—1 + 1•因此猜想a n= n—1 + 1.下面用数学归纳法证明上式.当n = 1时，结论显然成立.假设n= k时结论成立，即a k= ''k—1+ 1,贝Va k+1= , (a k —1) 2+1 + + 1,这就是说，当n= k+ 1时结论成立.所以a n=甘n — 1 + 1(n € N ).⑵方法一：设f(x) = . (x—1) 2+1 —1，贝y a n+1= f(a n).令 c = f(c), 即卩c= ( c—1) 2+ 1 —1,解得c=下面用数学归纳法证明命题a2n<c<a2n +1<1.1当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(0) = 2 —1，所以a2<4<a3<1，结论成立.假设n= k时结论成立，即a2k<c<a2k +1<1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而c= f(c)> f(a2k +1)>f(1) = a2, 即卩1>C>a2k + 2> a2.再由f(x)在(—m, 1］上为减函数，得c= f(c)<f(a2k+2)<f(a2)= a3<1,故c<a2k+ 3<1，因此a2(k+ 1)<c<a2(k +1)+1<1,这就是说，当n = k+ 1时结论成立.1综上，存在c=;使a2n<C<a2a +1对所有n€ N*成立.4方法二：设f(x) =g ( X — 1 ) 2+ 1 —1，则a n+ 1= f(a n).先证：0w a n w 1(n€ N*). ①当n = 1时，结论明显成立.假设n= k时结论成立，即0 w a k w 1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而0= f(1)w f(ak)w f(0) = ■,2—1<1.即0 w a k+1 w 1.这就是说，当n= k+ 1时结论成立.故①成立.再证：a2n<a2n +1(n€ N*). ②当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(a2) = f(0)= . 2 —1，所以a2<a3，即n= 1 时②成立. 假设n= k时，结论成立，即a2k<a2k+1.由①及f(x)在( —g, 1］上为减函数，得a2k +1 = f(a2k)>f(a2k+ 1)= a2k+2,a2(k+ 1)= f(a2k+ 1)<f(a2k+2)= a2(k + 1) + 1.这就是说，当n= k+ 1时②成立•所以②对一切n€ N*成立.由②得a2n< a2n —2a2n+ 2— 1 , 即(a2n+ 1)2<a2n —2a2n+ 2,1因此a2n<4*③又由①②及f(x)在(一8, 1］上为减函数，得f(a2n)> f(a2n+ 1),即a2n + 1>a2n+2. 所以a2n + 1> a2n+ 1 —2a2n + 1+ 2—1，解得a2n+ 1>4・④1综上，由②③④知存在c=4使a2n<c<a2n+1对一切n € N*成立.D2等差数列及等差数列前n项和12. _____________ 、［2014安徽卷］数列｛ a n｝是等差数列，若a1 + 1, a3+ 3, a5+ 5构成公比为q的等比数列，贝U q = .12. 1 ［解析］因为数列｛a n｝是等差数列，所以a1+ 1, a3 + 3, a5 + 5也成等差数列•又a1+ 1,a3+ 3, a5+ 5构为公比为q的等比数列，所以a1 +1, a3+ 3, a5 + 5为常数列，故q =1.12. ［2014北京卷］若等差数列｛a n｝满足a7+ a8+ a9>0, a7 + a10<0,则当n = ___________ 时，｛a n｝的前n项和最大.12. 8 ［解析］■/ a7+ a8 + a9= 3a8>0, a7 + a10= a8+ a9<0,，. a8>0, a9<0,「. n= 8 时，数列｛a n｝的前n项和最大.3. ［2014福建卷］等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1 = 2, S3= 12,则a6等于()A. 8B. 10C. 12D. 143. C ［解析］设等差数列｛a n｝的公差为d,由等差数列的前n项和公式，得S3= 3X 23 X 2+ 〒d= 12,解得 d = 2,贝V a6= a1+ (6 —1)d = 2 + 5X 2= 12.18. 、［2014湖北卷］已知等差数列｛a n｝满足：a1 = 2，且a1, a2, a5成等比数列.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.⑵记S n为数列｛a n｝的前n项和，是否存在正整数n,使得S n>60n+ 800?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n｝的公差为d,依题意得，2, 2+ d, 2 + 4d成等比数列，故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d2—4d = 0,解得d = 0或d = 4.当 d = 0 时，a n= 2;当 d = 4 时，a n= 2 + (n—1) 4= 4n — 2.从而得数列｛a n｝的通项公式为a n = 2或a n= 4n — 2.(2) 当a n= 2 时，S n = 2n,显然2n<60n+ 800,此时不存在正整数n,使得S n>60n + 800成立.当a n= 4n— 2 时，S = ? = 2n .令2n2>60n+ 800,即n2—30n—400>0,解得n>40或n<—10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n + 800成立，n的最小值为41.综上，当a n= 2时，不存在满足题意的正整数n;当a n= 4n—2时，存在满足题意的正整数n,其最小值为41.20.、［2014 湖南卷］已知数列｛a n｝满足a1= 1, |a n+1—a n|= p n, n€ N*.Kru-n-HIP —fea 2 = p + 1, a 3= p 2+ p + 1 •又 a 1, 2a 2, 3a 3 成等差数列，所以1 解得p = 3或p = 0. 31当p = 0时，a n +1 = a n ,这与｛a n ｝是递增数列矛盾，故 p = 3.1 1 、尹<尹刊，所以 |a 2n + 1— a 2n |<|a 2n — a 2n -1|.②1 1 ,,a n = a 1 + (a 2 — a 1) + (a 3 — a 2) +•••+ (a n — a n — 1) = 1 + ~ —歹 +…+［2014 •宁卷］设等差数列｛a n ｝的公差为d.若数列｛2 a 1 a n ｝为递减数列,—a n ) = 2a 1d<1，所得 a 1d<0.18. 、［2014全国卷］等差数列｛a n ｝的前n 项和为3•已知a 1= 10, a 2为整数，且（1）求｛a n ｝的通项公式;18. 解：（1）由a 1= 10, a 2为整数知，等差数列｛a n ｝的公差d 为整数. 又 S n w S 4，故 a 4》0, a 5 w 0,10+ 3d > 0, 10 + 4d w 0, 解得—d w — 5,3 2 因此d =— 3.故数列｛a n ｝的通项公式为a n = 13 — 3n. —1，其中入为常数.（1）若｛a n ｝是递增数列，且a i . 2a 2, 3a 3成等差数列，求p 的值; ⑵若p = 2，且｛a 2n -1｝是递增数列, ｛a 2n ｝是递减数列，求数列｛a n ｝的通项公式.20.解：（1）因为｛a n ｝是递增数列，所以 a n + 1 一 a n = |a n +1 — a n | = p n .而 a i = 1，因此 4a 2= a 1 + 3a 3，因而 3p 2 — p = 0, ⑵由于｛a 2n - 1｝是递增数列，因而 a 2n + 1 —a 2n —1>0，于是 (a 2n + 1 — a 2n ) + (a 2n — a 2n -1)>0. 因为2n — 1 由①②知, a2n — a 2n —1>0，因此 a 2n — (—1) 2n a 2n — 1 = 22n -12n 因为｛a 2n ｝是递减数列，同理可得,a 2n + 1 —a 2n <0，故 a 2n +(—1)2n + 1由③④可知, a n +1— a n = (—1) n +2n1 — a 2n = —?2n =4+3- (—1) 2门-1故数列｛a n ｝的通项公式为(—1) 2n(—1) 2门-1 d<0 B . d>0 C . a 1d<0 D . a 1d>0C ［解析］令b n = 2a 1a n ，因为数列｛2 a 1 a n ｝为递减数列，所以b n +1 2a 1a n +1b n 2a 1a n2a 1(a n +1S n W S .⑵设b n =a n a n +1，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .⑵b n = (13 — 3n )(10— 3n )10 — 3n 13— 3n1.于是 T n = b 1 + b 2 + …+ b n =-17.、 10— 3n13— 3n 3 10— 3n 10 10 (10—3n )- ［2014新课标全国卷I ］ 已知数列｛a n ｝的前n 项和为 S n , a 1= 1, a n ^ 0, a n a n +1=入n⑴证明：a n + 2— a n =入⑵是否存在 入使得｛a n ｝为等差数列？并说明理由. 17. 解：⑴证明：由题设， a n a n + 1 =入 6— 1 , a n +i a n +2=入 S 1 — 1,两式相减得 a n + 1(a n +2 — a n )=入a 1. 因为a n + 1工0，所以a n + 2 — a n =入(2)由题设，a 1 = 1, a 1a 2=入 1— 1，可得 a 2= — 1, 由(1)知，a 3= + 1. 若｛a n ｝为等差数列，则 2a 2= a 1 + a 3,解得 =4，故a n + 2— a n = 4. 由此可得｛a 2n -1｝是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n—1= 4n — 3;｛a 2n ｝是首项为3,公差为4的等差数列，a 2n = 4n — 1. 所以 a n = 2n — 1, a n +1 — a n = 2.因此存在 入=4，使得数列｛ a n ｝为等差数列.19., , [2014山东卷]已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为3,且S, 比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；—4n ⑵令b n = ( — 1)n 1 ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .a n a n +12X 119. 解：(1)因为 Si = a 1, S 2= 2a 1 + ~2~ x 2= 2a 1 + 2,4 x 3®= 4a 1+x 2= 4a 1+ 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1, 所以 a n = 2n — 1.⑵由题意可知，(—1)n —14n_')(2n — 1)( 2n + 1)=2n 2n + 1.当n 为奇数时, 1+ 1 +•••—亠+亠+ 亠+亠 3 5 2n — 3 2n — 1 2n — 1 2n + 11 2n + 1=(—1)n —112n — 1 12n + 1当n 为偶数时，1V 11 1T n = 1 +1 —3+ 5 十…十 2n — 3+2n — 1 =1- 12n + 11 2n — 11 +2n + 1 S 2, S 4成等 b n = (— 1)n — 14n a n a n + 11Tn= 1 + 316.,[2014陕西卷]△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.(1) 若 a , b , c 成等差数列，证明： sin A + sin C = 2sin(A + C); ⑵若a ， b ，c 成等比数列，求 cos B 的最小值. 16. 解：⑴■/a , b , c 成等差数列，••• a + c = 2b. 由正弦定理得 sin A + sin C = 2si n B.■/ sin B= sin[ n — (A + C)] = sin(A + C),• sin A + sin C = 2sin(A + C).(2) •/ a , b , c 成等比数列，• b 2= ac. 由余弦定理得a 2+ c 2—b 2 a 2+c 2— ac 2ac — ac 1cos B- 2ac 2ac " 2ac 2，当且仅当a = c 时等号成立， 1• cos B 的最小值为》 11.[2014天津卷]设｛ a n ｝是首项为a 1，公差为—1的等差数列，S n 为其前n 项和.若 S 1, S 2,S 4成等比数列，则a 1的值为 ___________________ .1” - 4 X 311. —[解析]T S 2= 2a 1 — 1, S 4= 4a 1+ — X (— 1) = 4a 「6, S 1, S 2, S 4成等比数列，1•- (2a 1 — 1尸=a 1(4a 1 — 6)，解得 a 1 = —》22. , [2014 重庆卷]设 a 1 = 1, a n +1=p a §— 2a n + 2 + b(n € N *). (1)若b = 1，求a 2, a 3及数列｛a n ｝的通项公式.⑵若b =— 1，问：是否存在实数 c 使得a 2n <c<a 2n +1对所有n € N *成立？证明你的结论. 22.解：(1)方法一：a 2= 2, a 3=, 2+ 1. 再由题设条件知(a n + 1— 1)2= (a n — 1)2+ 1.从而｛(a n — 1)2｝是首项为0,公差为1的等差数列， 故(a n — 1)2= n — 1，即 a n = ^j n — 1 + 1(n € N ). 方法二：a 2= 2, a 3= 2 + 1.可写为 a 1= 1 — 1 + 1, a 2= 2— 1 + 1, a 3=、』3— 1 + 1.因此猜想 a n = n — 1+ 1. 下面用数学归纳法证明上式.当n = 1时，结论显然成立.假设n = k 时结论成立，即a k = .''k — 1+ 1,贝ya k +1 = \' (a k — 1) 2 +1 + 1 =百(k — 1) + 1 +1 = ：：/ ( k + 1) — 1 + 1, 这就是说，当n = k + 1时结论成立.所以 a n =雪n — 1 + 1(n € N ).⑵方法一：设 f(x) = . (x — 1) 2 +1 — 1，则 a n +1= f(a n ). 令 c = f(c),即 c =( c — 1) 2+ 1 — 1,解得 c = 7.4下面用数学归纳法证明命题 2n + 2 2n + 1.所以T n =, n 为奇数,2n + 1 2n冇，n 为偶数.或 “ 2n + 蔦(—;)n—12n + 1a2n<C<a2n + 1<1.1当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(0) = 2 —1，所以a2<4<a3<1，结论成立.假设n= k时结论成立，即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而c= f(c)> f(a2k +1)>f(1) = a2,即卩1>C>a2k + 2> a2.再由f(x)在(—m, 1］上为减函数，得c= f(c)<f(a2k+2)<f(a2)= a3<1,故c<a2k+ 3<1，因此a2(k+ 1)<c<a2(k +1)+1<1,这就是说，当n = k+ 1时结论成立.1综上，存在c= 4使a2n<C<a2a+1对所有n€ N*成立.方法—：设f(x) = '...；( X —1) 2+ 1 —1，贝U an+ 1 = f(an).先证：0w a n W 1(n€ N*). ①当n = 1时，结论明显成立.假设n= k时结论成立，即0 w a k< 1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而0= f(1) w f(a k) w f(0) = 2—1<1.即0 w a k+1 w 1•这就是说，当n= k+ 1时结论成立.故①成立.再证：a2n<a2n+ 1(n€ N ). ②当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(a2) = f(0) =, 2 —1，所以a2<a3，即n= 1 时②成立. 假设n= k 时，结论成立，即a2k<a2k+1.由①及f(x)在( —g, 1］上为减函数，得a2k +1 = f(a2k)>f(a2k+ 1)= a2k+2,a2(k+ 1)= f(a2k+ 1)<f(a2k+2)= a2(k + 1)+1.这就是说，当n= k+ 1时②成立.所以②对一切n€ N*成立.由②得a2n<:-Ja2n —2a2n+ 2—1 ,即(a2n+ 1)2<a2n —2a2n+ 2 ,因此a2n<：③4又由①②及f(x)在(—g, 1］上为减函数，得f(a2n)> f(a2n +1), 即卩a2n + 1>a2n+2., _____________ 1所以a2n + 1> , a2n+1 —2a2n + 1+ 2—1，解得a2n+ 1>［. ④综上，由②③④知存在c=1使a2n<c<a2n+1对一切n € N*成立.4D3等比数列及等比数列前n项和2. ［2014重庆卷］对任意等比数列｛a n｝，下列说法一定正确的是()A. a1, a3, a9成等比数列B. a2, a3, a6成等比数列C. a2, a4, a8成等比数列D. a3, a6, a9,成等比数列2. D ［解析］因为在等比数列中a n, a2n, a3n,…也成等比数列，所以a3, a6, a9成等比数列.12. 、［2014安徽卷］数列｛a n｝是等差数列，若a1+ 1, a3+ 3, a5+ 5构成公比为q的等比数列，贝U q = ______ .12. 1 ［解析］因为数列｛a n｝是等差数列，所以a1+ 1, a3 + 3, a5 + 5也成等差数列.又a1+ 1, a3+ 3, a5+ 5构为公比为q的等比数列，所以a1 +1, a3+ 3, a5 + 5为常数列，故q =1.13. 、［2014广东卷］若等比数列｛a n｝的各项均为正数，且a10an+ a9a12 = 2e5，贝V In a1-3. 12+ In a 2 + …+ In a 20=13.50 ［解析］本题考查了等比数列以及对数的运算性质. + a 9a i2 = 2e 5,cc二 a io a ii + a 9a i2 = 2a io a ii = 2e ,「• a io a ii = e , --|n a i + In a 2+…+ In a 2o = In(a i a 2…a 2o ) = In (a io a ii )io = In (e 5)i0= In e 50= 50.i0. ［20i4全国卷］等比数列｛a n ｝中，a 4= 2, a 5= 5,则数列｛Ig a n ｝的前8项和等于(C . 4的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n ｝的公差为d , 依题意得，2, 2+ d , 2 + 4d 成等比数列,故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d 2— 4d = 0,解得d = 0或d = 4.又a i + j j 所以a n + 是首项为2■，公比为3的等比数列，所以■/ ｛a ｝10. C ［解析］设数列｛a n ｝的首项为a 1, 公比为q ，根据a i q 3= 2,a i q 4= 5,解得16 a i = 125'所以 a n = a i q n 1=16n—4125，所以 Ig a n = Ig 2 + (n —4)Ig|,所以前8项的和为5 5 58Ig 2 + (— 3 — 2— 1 + 0 + 1+ 2+ 3 + 4)Ig- = 8Ig 2+ 4lg?= 4Ig 4X- = 4.18.、 ［2014湖北卷］已知等差数列｛ a n ｝满足：a i = 2，且a i , a 2, a 5成等比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式.⑵记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，是否存在正整数n,使得S n >60n + 800?若存在，求 当d = 0时, a n = 2;当d = 4时, a n = 2 + (n — 1) 4 = 4n — 2.-3.12⑵当 a n = 2 时，S n = 2n ,显然 2n<60n + 800, 解得n>40或n<— 10(舍去),1 117. 解：(1)由 a n +1 = 3a n + 1 得 a n +1 + ? = 3 a n + —.此时存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立, n 的最小值为41.综上，当a n = 2时，不存在满足题意的正整数 n; 当a n = 4n — 2时，存在满足题意的正整数 其最小值为41.17.、 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n ｝满足 a i = 1, a n + 1= 3a n + 1. (1)证明 a n + 2疋等比数列，并求｛a n ｝的通项公式;1 1⑵证明二+ £+…+a n从而得数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 2 或 a n = 4n — 2. 此时不存在正整数 n ,使得 S n >60n + 800 成立.当 a n = 4n — 2 时, S n =n[2 +( 4n — 2)] =2n 2 令 2n 2>60n + 800, 即 n 2— 30n — 400>0,an + 2 = ，因此数1 2⑵证明：由⑴知a n =3n —i.因为当 n > 1 时，3n — 1 > 2 X 3n —1所以2+1+…+丄＜3a 1 a 2 a n 219., , [2014 •东卷]已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为S n ,且S 1, S 2, 比数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵令b n = ( — 1)n—1—，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . a n a n +119. 解：(1)因为 S 1 = a 1, S 2= 2a 1 +X 2=2a 1+ 2,4 X 3 小S 4= 4a 1 + ~2~X 3= 4a 1 + 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1, 所以 a n = 2n — 1.⑵由题意可知，2 2n + 1 2n + 2 2n + 1.列｛a n ｝的通项公式为3n — 1 a n = 21 a 21 2X 3n —1 即a n =右3 132 1 ― 3n <2.S 4成等 b n = (— 1)n — 14na n a n + 1=(—1)n4n(2n — 1)~( 2n + 1) =(—1)n —11_ + _J_2n — 1 2n + 1当n 为偶数时， 1 V 1 1 丄 1T n = 1 + 3 — 3+ 5 +…+ 廿+乔1 2n — 11 2n + 11 2n + 1=2n 2n + 1. 当n 为奇数时,1Tn= 1 +31 1一 + 一+…— 1 + 1 _L + 1 2n — 3+ 2n — 1 + 2n —1+2n + 1所以a1Kru-n-HIP—fe⑵若a , b , c 成等比数列，求 cos B 的最小值. 16.解：(1) •/a , b , c 成等差数列，••• 由正弦定理得 sin A + sin C = 2si n B. • sin A + sin C = 2sin(A + C). (2) •/ a , b , c 成等比数列，• b 4= ac. 由余弦定理得4 3}，可得 A = {0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}.2n + 2 所以T n =2n + 1 ,n 为奇数, 2n + 1+(— 1)2n 2n + 1,n 为偶数.2n + 116.,, ［2014陕西卷］△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ，b , c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明: sin A + sin C = 2si n(A + C); a + c = 2b.■/ sin B = sin[ 7t —(A + C)] = sin (A + C),cos B =0^^ = a^2—^ , 2ac —ac2ac 2ac2ac2'当且仅当a = c 时等号成立,1• cos B 的最小值为111. ［2014天津卷］设｛ a n ｝是首项为a 1，公差为—1的等差数列, S 1, S 2, S 4成等比数列，贝y a 1的值为2,…，n 证明：若 a n <b n ，贝U s<t.=—1<0, 所以s<t.D4数列求和—a n + 1b n + 2b n +1b n = 0.(2)证明：由 s , t € A , s = a 1 + a 2q +…+ a n q n,t = b 1+ b 2q + •••+ b n q n ai ,b i € M , i=1, 2，…，n 及 a n <b n ，可得 s —1= (a 1 — b 1) + (a 2— b 2)q + …+ (a n -1 —b n -1)q n 2+ (a n — b n )q n 1 w (q — 1) + (q — 1)q + …+ (q — 1)q n —2— qn—1(q — 1)( 1 — q n —9—q n S n 为其前n 项和.若11.[解析]T S 2= 2a 1 — 1, S 4= 4a 1 +X (— 1) = 4a 1 — 6, S 1, S 2, S 4成等比数列,•- (2a 1 — 1)2= a 1(4a 1 — 6)，解得 a 1 =—2'19.、［2014天津卷］已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M = ｛0,1 ,2,…, q — 1},集合 A = {x|x =X 1 + x 2q +•••+ x n q n —1 ,X i € M , i = 1, 2，…，n}.(1)当q = 2, n = 3时，用列举法表示集合 A.(2)设 s , t € A , s = a 1+ a 2q +…+ a n q n 1 t = b 1 + b 2q + …+ b n q n 1 ,其中a i , b i € M , i = 1,19.解：(1)当 q = 2, n = 3 时，M = {0 , 1}, A = {x|x = X 1+ X 2 - 2 + X 3 - 22, X i €M , i = 1, 17.、 、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列 { a n } , {b n }(b n M 0, n € N *)满足 a n b n + 11b n = (— 1)n —14na n a n + 1 =(—1)n4n(2n — 1)( 2n + 1)=(—1)n2n — 1 + 2n + 1 'n(1)令C n =—，求数列｛ C n ｝的通项公式;(2)若 b n = 3n —1，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .17.解：(1)因为 a n b n +1 — a n + l b n + 2b n +l b n = 0, b n 工 0(n € N )，所以a n + 1b n + 1an= 2,即 C n + 1b n所以数列｛ C n ｝是以C 1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故 c n = 2n — 1.(2) 由 b n = 3n ,知 a n = (2 n — 1)3n ，于是数列｛a n ｝的前n 项和S n = 1 x 3°+ 3X 31 + 5X 32 + …+ (2n — 1)x 3n —1, 3S n = 1 x 31 + 3x 32 + …+ (2n — 3)x 3n —1+ (2n — 1)x 3n ,将两式相减得 —2S n = 1 + 2X (31+ 32+…+ 3n —1) — (2n — 1) x 3n =— 2 — (2n — 2) x 3n ,所以 S n = (n — 1)3n + 1. 18. 、［2014且 S n W S t .(1)求｛a n ｝的通项公式;⑵设b n =a n a n +1，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .18.解：(1)由a 1= 10, a 2为整数知，等差数列 ｛a n ｝的公差又 S n W S 4,故 a 4> 0, a 5< 0,10+ 3d > 0, 10 + 4d w 0, 10 5解得一d W — 5, 3 2 因此d =— 3.故数列｛a n ｝的通项公式为a n = 13 — 3n. (2) b n = (13 — 3n )(10— 3n )10 — 3n 13— 3n.于是 T n = b 1 + b 2 +7- 110 +10— 3n 13— 3n 3 10— 3n 1010 (10—3n )'19., ［2014 •东卷］已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为3,且S,S 2, S 4成等比数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式;⑵令 b n = ( — 1)n 4n a n a n +1 ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .19.解：(1)因为 Si = a 1, S 2= 2a 1 +2X 1x 2= 2a 1+ 2,S 4= 4a 1 +x 2= 4a 1+ 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1,所以 a n = 2n — 1. (2)由题意可知,=1 +1 —2 4+ 3当n 为偶数时,2n当n 为奇数时,2n + 1 2n + 22n + 120. 、［2014 湖南卷］已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, |a n +1— a n |= p n , n € N .因为2n — 1 由①②知, a 2n —a 2n —1>0，因此 a 2n — a 2n —1 = (—1) 2n因为｛a 2n ｝是递减数列，同理可得, a 2n + 1 由③④可知,a n +1— a n =(—1)n +2n22 n —1—a 2n <0，故 a 2n + a 2n =— 2n(—1)?2n2n + 1T n = 1 + 1 1 3+ 52n — 3+ 2n - 12n — 1 + 2n + 1=1-2n + 1 T n = 1 + § ―1+ 12n — 3 + 2n — 12n — 12n + 12n + 2 所以T n =2n + 1‘ n 为奇数, 2n + 1 +(—1) 2n 2n + 1'n 为偶数.2n + 1D5单元综合 (1)若｛a n ｝是递增数列，且 a 1, 2a 2, 3a 3成等差数列，求p 的值; ⑵若p = 2，且｛a 2n -1｝是递增数列, ｛a 2n ｝是递减数列，求数列｛a n ｝的通项公式. 20、解：(1)因为｛a n ｝是递增数列，所以a n + 1 — a n = |a n +1 — a n | = p n .而 a 1 = 1，因此a 2 = p + 1, a 3= p 2+ p + 1 •又 a 1, 2a 2, 3a 3 成等差数列，所以 4a 2= a 1 + 3a 3，因而 3p 2 — p = 0,1解得p = 3或p = 0.3当p = 0时, a n +1 =a n ,1这与｛a n ｝是递增数列矛盾，故 p = 3.⑵由于｛a 2n - 1｝是递增数列，因而 a 2n + 1— a 2n —1>0，于疋 (a 2n +1 — a 2n )+ (a 2n — a 2n —1)>0.①(—1) 2“-1=1 +1 —24+31 亠a n = a 1 + (a 2 — a 1) + (a 3 — a 2) +•••+ (a n — a n T ) = 1 + ? — ?2 + …+(—1)故数列｛a n ｝的通项公式为 a n = (—1)2*-121. 、［2014安徽卷］设实数c >0,整数p > 1, n € N *.⑴证明：当 x >— 1 且 X M 0 时，(1 + x)p> 1 + px ;21.证明：(1)用数学归纳法证明如下.①当p = 2时，(1 + x)2= 1 + 2x + x 2>1 + 2x ，原不等式成立. ②假设p = k(k > 2, k € N *)时，不等式(1 + x)k >1 + kx 成立. =(1 + x)(1 + x)k >(1 + x)(1 + kx)= 1 + (k + 1)x + kx 2>1 + (k + 1)x.所以当p = k + 1时，原不等式也成立.综合①②可得，当x>— 1, X M 0时，对一切整数1 c .1 +"a p— 5.5由此可得，f(x)在［c-,+8 )上单调递增,p1⑵数列｛ a n ｝满足a 1 > cp , a n +1 =pa n + pa n —p，证明: a n > a n +1 > c p. ⑵方法一：先a n >C_. p1①当n =1时，由题设知a1>c 1成立.②假设n = k(k > 1, k € N *)时，不等式 a k > c p 成立. 由 a n + 1 =P — 1丄 c 1a n + a n p p 易知 a >0,当n = k + 1时,a k +1p — 1 , c = +_a kpa k p当 p = k + 1 时，(1 + x)p>1，不等式(1+ x)P >1 + px 均成立.由 a k >cr>0 得一 1< 一 <一-p a p -1<0.由(1)中的结论得 a k +1a k 1+pOr 1>1 + p •—ap.因此a p + 1>c,即a k +1>c —,所以当n = k + 1时，不等式1 an >cp 也成立.综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n >c1均成立.再由a n +1a na p可得a n + 1a n<1,即a n+ 1<a n.因而，当1 1 1 x莓时，蚀>%)=c p.综上所述, a n> a n+1 >Cp ,n€ N*方法二：设f(x)=x+px11x> c1，贝y x p> c,p所以f'x)=p—1 c+p(1 —p)xp—J _c1 —x p >°.Kru-n-HIP —fe1①当n = 1时，由a 1>c _>0 ,即卩a 1>c 可知 p1故当n = 1时，不等式a n >a n +1>c~成立. P所以当n = k + 1时，原不等式也成立.(1)求数列｛a n ｝的通项公式. 的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n ｝的公差为d , 依题意得，2, 2+ d , 2 + 4d 成等比数列, 故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d 2- 4d = 0,解得d = 0或d = 4.解得n>40或n<— 10(舍去),a 2 =p -1 C 1—p 1 c 彳a1+ p a1 p = a1 1 + paT 11<a 1，并且 a 2= f(a 1)>cp ，从而可得 a 1 >a 2②假设n = k(k > 1,k € N *)时，不等式 1)>f(cp),即有a k + 1>a k +2>「p综合①②可得，对一切正整数n ,不等式 a n >a n + 11 >C-均成立. p18.、、［2014湖北卷］已知等差数列｛a n ｝满足: a 1 = 2，且 a 1, a 2，a 5成等比数列. ⑵记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，是否存在正整数n ,使得S n >60n + 800?若存在，求 当d = 0时, a n = 2;当d = 4时, a n = 2 + (n - 1) 4 = 4n — 2.从而得数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 2 或 a n = 4n — 2. ⑵当 a n = 2 时，S n = 2n ,显然 2n<60n + 800, 此时不存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立. 当 an = 4n — 2 时,n[2 +( 4n — 2)]=2n 2令 2n 2>60n + 800,即 n 2— 30n — 400>0,此时存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立, n 的最小值为41.综上，当a n = 2时，不存在满足题意的正整数 n; 当a n = 4n — 2时，存在满足题意的正整数 其最小值为41. ,则当 n = k + 1 时，f(a k )>f(a k + a k > a k +1>、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列｛a n ｝, ｛b n ｝(b n M 0, n € N *)满足a n b n +1—a n + 1b n + 2b n + 1b n = 0.+ …+ (2n — 1)x 3n —1, 3S n = 1 x 31 + 3x 睜 + …+ (2n — 3)x 3n —1—2S n = 1 + 2X (31+ 32+-+ 3n —1) — (2n — 1) x 3n =— 2 — (2n — 2)x 3n ,所以S n = (n — 1)3n + 1. 17.、(1)令 C n =a nbn'求数列｛c n ｝的通项公式; (2)若 b n = 3n —1 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .17 .解：(1)因为 a n b n + 1 — a n + 1b n + 2b n + 1b n = 0, b n M 0( n € N )，所以a n +1 a nb n + 1b n=2, 即 卩 C n1所以数列｛C n ｝是以 C 1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故C n = 2n — 1.(2)由 b n = 3n —1 ，知 a n = (2n — 1)3n —1，于是数列｛a n ｝的前n 项和S n = 1 x 30 + 3X 31 + 5X 32 + (2n — 1)x 3n ,将两式相减得17.、 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a n +1 = 3a n + 1.1 , 3 t , n2T n = 1+ 2 + 歹+…+盯，因此，2T n — T n = 1 + 1 + 2^+…+ 21—1-加 2 —十—加 2n 219. [2014浙江卷]已知数列｛a n ｝和｛b n ｝满足a£2a 3…a n = ( . 2)b n (n € N *).若｛a n ｝为等比 数列，且 a 1 = 2, b 3= 6 + b 2.sV1 (1) 证明a n + 2是等比数列，并求｛a n ｝的通项公式; 1 1 1 3(2) 证明一 +—+•••+—<；.a 1 a 2 a n 21 1 17.解：(1)由 a n +1= 3a n + 1 得 a n +1 + ㊁=3 a n +2 .1 3 1 3又a 1 + = 2，所以a n +1是首项为3■，公比为3n— 1列｛a n ｝的通项公式为a n =1 3n3的等比数列，所以a n + 2 = 3，因此数 1⑵证明：由⑴知乳=3n —1.因为当 n > 1 时，3n — 1 > 2 x 3n —1,I I 1所以 3n — 1w 2X 3n —1，即 a n = 3n — 1w 3n —1.于是丄+1+…+丄＜ 1+3+…+尙=21— a 1 a 2 a n 3 3 2丄 3耳＜2.所以丄+1 +…+ -＜3. a 1 a 2 a n 219., (n € N *).(1)若 [2014四川卷]设等差数列｛a n ｝的公差为d ，点(a n , b n )在函数f(x) = 2x 的图像上a i =— 2,点(a 8, 4b 7)在函数f(x)的图像上，求数列｛a n ｝的前n 项和S n ； ⑵若1 a na 1= 1，函数f(x)的图像在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2 —花，求数列 厶的前n 项和T n .19.解：(1)由已知得，b 7= 2a 7, b 8= 2a 8= 4b 7，所以 2a 8= 4 x 2a 7 = 2a 7+ 2，解得 d = a 8— a 7= 2,n (n — 1)所以 S n = na 1 + d = — 2n +n(n — 1) = n 2— 3n.⑵函数f(x)= 2x 在点(a 2, b 2)处的切线方程为 y — 2a 2= (2a 2ln 2)(x — a 2), 其在X 轴上的截距为a 2—爲.1 1由题意有a 2— = 2 — ，解得a 2= 2.所以 d = a 2 — a 1= 1. 从而 a n = n , b n = 2n ,a n n_ 所以数列｛和的通项公式为b n = 2n , 所以Tn =1+釘討…+F?+2n ,2nn + 1 所以，T n =2— n — 22n(1)求 a n 与 b n .1 1 *⑵设C n = — — b (n € N ).记数列｛C n ｝的前n 项和为S n . (i) 求 S n ；(ii) 求正整数k ,使得对任意n €均有S k > S n . 19. 解：(1)由题意 a£2a 3 …a n = (,2)b n , b 3 — b 2= 6, 知 a 3= Cj 2)b 3 — b 2= 8.又由a 1 = 2，得公比q = 2(q =— 2舍去)，所以数列｛a n ｝的通项为 所以，a 1a 2a 3…a n = 2“(叮 ° = ( . 2)n(n+"_ *€ N ).2门 、 2：所以，当n > 5时，C n <0. 综上，若对任意 n € N *恒有S k >S n ,则k = 4.4. [2014 •州调研]已知数列｛a n ｝满足a 1 = 5，a n +1 =乙^打，n € N *.a n = 2n (n €2 故数列｛b n ｝的通项为b n = n(n + 1)(n € N *).11111(2)(i)由(1)知 c n = a ；— b ；=列n n + 1(n € N *).(ii)因为 C 1= 0, C 2>0, C 3>0, 1当n > 5时，C n而n （n +1）2nn (n + 1)(n + 1)( n + 2) C 4>0 ,n (n + 1)—1 ,2n(n + 1)( n — 2)得 n ( n + 1)三 5X( 5 + 1)3. [2014闽南四校期末]若数列｛a n ｝的前n 项和为2 1S n = ?a n + "3,则数列｛a ｝为( A .B .C )a n =— 2n 1 a n = (— 2)n —1 a n = (— 2)n a n =— 2n2B ［解析］由 a n = S n — &i -1(n > 2),得 a n = _a n — ^a nT ..，. a n ==(—2)n —1(n >2).又 a 1 = (— 2)1—1 = 1，二 a n = (— 2)n —1.3. —2a n -1.又 a i = 1 ,「• a n a n *6. ［2014南昌联考］已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 =匚卫(n € N ).若 b n + 1 = (n —1 ,Z 0_ +1 , a n . b 1=— Z,且数列｛b n ｝是递增数列，则实数 入的取值范围为（ C . 6. v 2 B .入〉3 > 2 D .入v 31 2 1 1［解析］易知—=2 + 1，•— + 1 = 2- + 1."1 J a a a a n + 1 1 1 —又 a 1= 1 ,•••：+ 1 =7+ 12n 1= 2n ,. b n +1 = (n —入)2,' a n a 1 ' '• b n +1 — b n = (n —入)2~ (n — 1 —入)2 1 = (n —入 + 1)2n 1 >0, n —入 + 1 > 0.又 n € N ，二 Z 2.1（1）求证：数列一1为等比数列.a n⑵是否存在互不相等的正整数m, s, t，使m, s, t成等差数列，且a m—1, a s—1, a t —1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m, s, t;如果不存在，请说明理由.m+1+ 2 X 3m + 2 X 3t = 32s + 4 X 3s因为 m + t = 2s ,所以 3m + 3t = 2X 3s . 这与m , s , t 互不相等矛盾,(1)求a 1及数列｛a n ｝的通项公式; 即(a n — 1)2— a 2—1 = 0,所以数列｛a n ｝是首项为1,公差为1的等差数列,4.解：⑴证3a n 2a n + 1 ，所以a n + 1 3a n所以a n +13a n1.3因为a1 = 5,所以 a 1所以数列 a n2 11是首项为3，公比为£的等比数列.3 3 1 (2)由(1)知，a ；—1= 2X ]n -1 2 3 3 3n ，所以a n = 3n3n + 2假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件,则有m +1 = 2s ,(a s — 1) 2=( a m — 1) (at — 1).由a n = 3n3“+ 2 与(as — 1)2 =(a m — 1)(a t — 1), 3s 2_3m3t3s + 23m + 23t + 2 —1, 又 3m + 3t > 23m+1= 2 X 3s ,当且仅当m = t 时，等号成立,所以不存在互不相等的正整数m , s ,t 满足条件. 2. [2014景德镇质检]已知递增数列、卄1 2{a n }满足 a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n = 2(a n + n).⑵设c n = a n + , n 为奇数,a n —1 • 2 a n — 1 + 1, n 为偶数, 求数列｛ C n ｝的前2n 项和T 2n . 2.解：(1)当 n = 1 时，a 1=*(a 2+ 1)，解得a 1 = 1. a1 + a 2+ a 3+…+ a n — 1=*(a 2—1 +—1),a 1 + a 2 + a 3+…+ a n = 1 22(a n + n),所以a n =詁2—a n - 1+ 1),所以 a n — a n —1 =1 或 a n + a n —1 = 1(n 》2).又因为数列｛a n ｝为递增数列，所以 a n —a n —1 = 1,则 T 2n = (2 + 4 + …+ 2n)+ [1 x 21 + 3X 23+…+ (2n — 1)x 22n —1] + n = n(n + 1) + [1 x 21 +3X 23+…+ (2n — 1) X 22n —1记 S n = 1 x 21 + 3X 23+…+ (2n — 1) X 22n —1,① 则 4S n = 1X 23+ 3X 25+…+ (2n — 1) X 22n +1 由①一②，得—3S n = 2 + 24+ 26+…+ 22n — (2n — 1)22n +1,所以a n = n.(2)由 C n a n + , n 为奇数, a n —1 • 2a n — 1 + 1, n 为偶数, 得C n =n + 1,n 为奇数, (n — 1) 2n —1+ 1, n 为偶数,]+ n. •②=22 + 24 + 26+…+ 22n — (2n — 1)22n +1 — 2, 4(1 — 4n ) 所以一3S n = 4(: 41 — 4 4 (1 — 4n )卜 —(2n — 1)2 2n +1— 2,所以S n = (2n — 1) 22n +1 9即 S n =( 6n - 5)22n +1 2卜2, 9 罟故 T 2n = g 5)22n +17. 比数列, 2 c 109 " + 2n +［2014福建闽南四校期末］已知数列｛ a n ｝是公差为2的等差数列，且a 1, a 2, a 5成等 则a 2的值为( 3A ［解析］T a 1, A . 7. 二 a 2= (a 2— 2)(a 2 + 6)，解得 a 2= 3.)2 D . — 2 a 2, a 5成等比数列，a 2= a 1 - a 5, 10. ［2014郑州质检］已知各项不为0的等差数列｛a n ｝满足a 4— 2a 7 + 3a 8= 0,数列｛b n ｝ 疋等比数列， A . C . 10. 且 b 7= a 7,贝U b 2b 8bn 等于(B . D . ［解析］由已知，得 2a 2= a 4 + 3a 8= a 1+ 3d + 3a 1+ 21d = 4a 1 + 24d = 4(a 1 + 6d)= 4a 7, 2n , D ••• a 7= 2 或 a 7 = 0(舍去), 二 b 7= 2,「. b 2b 8bn = b 1q - b 1q 7 • b 1q 10= b 3q 18 = (b 1q 6)3= b 3= 8. 17. ［2014温州十校联考］1 n € N *，数列｛a n ｝满足 a n + 1 (1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵记b n = , a n a n +1,求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 已知二次函数f(x)= ax 2+ bx 的图像过点(一4n , 0)，且f ' (0= =f '丄，且 a 1= 4. a n 17.解： 由题意知 f ' (0) b = 2n , 16n 2a — 4nb = 0, 1• • a = _, 2，1又数列｛a n ｝满足 1 *b = 2n ,「. f(x) = 2X 2+ 2nx , n € N *. 1 f '—, f'x) = x + 2n ,a n +1 a n11 门=一+ 2n , a n +1 a n1 1 c =2n. a na n + 1 1 1由叠加法可得 a n -4= 2+ 4 + 6i ・+ 2(n - 1) = n2- n ，化简可得 a n =(2n — 1)2(n >2). 当 n = 1时，a1= 4 也符合上式，•• a n = ~2(n € N ).=2-1(2n — 1)( 2n + 1) 2n — 1 2n + 1 b n =. a 1a 2+ Ja 2a 3+・・・+ ‘叮 a n a n +1 =1 1 1 4n (2) ■/ b n = . a n a n +1 = --T n = b 1 + b 2+…+11 1 ,,21—：+7—2+…+3 3 5=21 — 2n — 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1'1 3 1 3所以|a2n+ 1—a2n|<|a2n —a2n —11.②2n。
2014高考数学(理科)小题限时训练42
2014高考数学（理科）小题限时训练4215小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1．在复平面内，复数2334ii-+-所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合1{|24},{|0},2x M x N x x k M N =≤≤=->=∅ 若，则k 的取值范围是A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(,1]-∞-3．设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题，其中正确命题是 A ．若//,//,//a b a b αα则 B ．若//,//,//,a b a b αβαβ则//C ．若,,,/a b a b αβαβ⊥⊥⊥则 D ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a b ⊥4．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率是2，则213b a +的最小值为A B C ．2 D ．15．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数()d f l =的图象大致是6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，则△ABM 与△ABC 的面积比为A ．15B ．25C ．35D ．457．设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '>，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()(0)af a e f < B ．()(0)af a e f >C ．(0)()a f f a e <D ．(0)()a f f a e>8．若*2sinsinsin (),777n n S n N πππ=+++∈ 则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是 A ．16 B ．72 C ．86 D ．100二、填空题：本大题共8个小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分。
广东2014年张静中学高考数学小题训练及答案三
广东2014年张静中学高考数学小题训练及答案三班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x <0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠φ，则m ＝ ( )A ．1B ．2C ．1或52D ．1或22．椭圆x 225＋y 29＝1的焦距为 ( )A ．4B ．6C ．8D ．103．已知复数21,,iai a R i i+=-∈其中是虚数单位，则a ＝ ( ) A ．－2 B ．－i C ．1 D ．24．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′ (x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′ (x )的图象可能是()5．已知平面向量(1,2),(2,),a b k a b ==- 若与共线，则|3|a b +＝A ． 5B ．2 5C ．5 2D ．56．已知条件p ：“函数)1(log )(-=x x g m 为减函数”；条件q ：“关于x 的二次方程220x x m -+=有解”，则p 是q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设等比数列{a n }的前n 项和为n S ，若63S S ＝3 ，则69S S ＝A ．2B ．73C ．83D ．38．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ． l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面C ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 9．点P （x,y ）在函数||y x =的图像上，且x 、y 满足220x y -+≥， 则点P 到坐标原点距离的取值范围是A．[0,3B．[3C．[33D．[0, 10．如果执行右面的程序框图，则输出的结果是A ．－5B ．－4C ．－1D ．4 11．函数3()cos[]sin 24f x x x π=-+的值域是 A ．[－2，0] B ．[－2，98]C ．[－1，1]D．[-12．已知函数xe xf =)(，则当21x x <时，下列结论正确的是A ．2121)()(1x x x f x f ex -->B ．2121)()(1x x x f x f e x++<C ．2121)()(2x x x f x f e x -->D ．2121)()(2x x x f x f e x++<二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014一模小题高考数学选择题
东城区:（1）已知集合{|(1)(2)0},R A x x x C A =+-≥则=（A ）（xlx<-1，或x>2} （B ）{xlx ≤-1，或x ≥2） （C ）{x|-l<x<2} （D ）{x|-l<x<2} （2）复数1ii -=（A ）1122i +（B ）1122i - （C ）—1122i + （D ）一1122i - （3）为了得到函数y=sin （2x-3π）的图象，只需把函数y= sin2x 的图象 （A ）向左平移3π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向右平移6π个单位长度（4）若双曲线等2214x y m -=的离心率为72，则m=（A ）5（B ）3（C ）6（D ）26（5）设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a 2+a 3=11，则S 6一S 3=（A ）27（B ）39 （C ）45 （D ）63（6）已知a 132.1，b=log 42，c=log 31．6，则 （A ）a>b>c（B ）a>c>b （C ）b>a>c （D ）c>a>b（7）若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 （8）已知a ，b 是正数，且满足2<a+2b<4，那么11b a ++的取值范围是第二部分（非选择题 共1 10分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）cos 5()4π-= . （10）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程为 .（11）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 .（12）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，|AF|=14|AB|。
若(,),AD AF AE R λμλμλμ=+∈+=则 .（13）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数．当x<0时，2()40,()f x x x f x =->则时的解析式为 ；不等式f （x ）<0的解集为 . （14）已知符号函数房山区:（1）已知集合{|(2)0}A x x x =-≤，{2,1,0,1,2}B =--，则AB =（A ）{2,1}-- （B ）{1,2} （C ）{1,0,1,2}- （D ）{0,1,2}（2）在复平面内，复数2ii-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知抛物线方程为24y x =-，则它的焦点坐标为（A ）(1,0)- （B ）(1,0) （C ）(2,0)-（D ）(2,0)（4）执行如图所示的程序框图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为（A ）16 （B ）12 （C ）8（D ）7（5）函数122()log f x x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1 （C ）2（D ）3（6）已知数列{}n a ，则“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，学优网欲加工成一个面积不小于800cm 2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x （单位：cm ）的范围是60cm60cmx（A ）[10,30]（B ）[25,32] （C ）[20,35]（D ）[20,40]（8）已知直线l ：2y x b =+与函数1y x=的图象交于A ，B 两点，记△OAB 的面积为S （O 为坐标原点），则函数()=S f b 是（A ）奇函数且在(0,)+∞上单调递增 （B ）偶函数且在(0,)+∞上单调递增 （C ）奇函数且在(0,)+∞上单调递减（D ）偶函数且在(0,)+∞上单调递减第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014高考数学(理科)小题限时训练34
2014高考数学（理科）小题限时训3415小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题（8小题，每小题5分共40分）1． 已知向量a =(1，3)，b =(-2，m )，若a 与b a 2+垂直，则m 的值为（ ）2． A. －1 B. 0 C. 2i D. -23．二进制数111.11转换成十进制数是（ ）A. 7.3B. 7.5C. 7.75D. 7.1254．已知0>a ，函数()c bx ax x f ++=2，若0x 满足关于x 的方程02=+b ax ，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）A. ∃x ∈R ，f （x ）≤f （0x ）B. ∀x ∈R ，f （x ）≤f （0x ）C. ∃x ∈R ，f （x ）≥f （0x ）D.∀x ∈R ，f （x ）≥f （0x ）5．图1是某县参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）A.7<iB. 8<iC. 9<iD. 10<i 6．给出以下命题： （1）若，则f （x ）＞0； （2）；（3）f （x ）的原函数为F （x ），且F （x ）是以T 为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（ ）A. 0B.1C. 2D. 37．若{n a }是公差为1的等差数列，则{n n a a 2122+-}是（ ）A ．公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列C. 公差为5的等差数列D. 公差为6的等差数列8．设不等式组123350x a y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，表示的平面区域是W ，若W 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有91个，则实数a 的取值范围是（ ）A.(21]--，B.[10)-，C. (01]，D. [12)， 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）（一）选做题（请在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．用分数法对[]105,0进行优选法实验，按5一等分，共分为21等分，最多只需做_____次实验就能找到其中的最佳点. 10.在极坐标系中，点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1πP 到曲线2234cos :=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρl 上的点的 最短距离是_____11. .如图，半径为2的⊙O 中，90AOB ∠=︒，D 为OB 的中点， AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为 （二）必做题（ 12-16题）12．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为 （不考虑接触点） 13. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 ． 14. 已知点A （-2，0），B （2，0），动点P 满足∠APB=2θ，且2sin2=∙∙θPB PA ．则动点P 的轨迹方程为 ． 15. 若()201220122210201242x a x a x a a x ++++=+ ，则2012420a a a a +++被3除的16．已知二次函数()x f 满足()01=-f ，且()1482+≤≤x x f x 对于R x ∈恒成立．则()x f ＝ ；设()()x f x x g 12-=，定义域为D ，现给出一个数学运算程序：()()()123121-→→→→=→n n x g x x g x x g x x 若D x n ∈，则运算继续下去；若D x n ∉，则运算停止．给出371=x ，请你写出满足上述条件的集合{}n x x x ,,21＝ ．9． 10． 11． 12 13. 14 15 16ADCB BC D C 9． 6 10. 22 12． π++3218 13. 16 14. 222x y -= 15. 2 16．()212+x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,31,51,37。
2014高考数学(理科)小题限时训练36
2014高考数学（理科）小题限时训练3615小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题（8小题，每小题5分共40分）1.若复数a －i2＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则a 的值为A.－2B.12C.－12D.22.“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车.据《法制晚报》报道，2013年1月10日至1月20日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为A.2160B.2880C.4320D.86404.若下列程序框图中输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于A.720B.360C.240D.1205.已知{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝1，则a 6－a 5的值为A.0B.18C.96D.6006.设双曲线M ：x 2a2－y 2＝1，点C (0,1)，若直线12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)交双曲线的两渐近线于点A 、B ，且BC ＝2AC ，则双曲线的离心率为A.52 B.103C. 5D.10 7.已知a ＝∫π0(sin t －cos t )d t ，则(x －1ax)6的展开式中的常数项为 A.20 B.－20 C.52 D.－528.设点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ＝m AB ＋n AC (m ，n ∈R )，则(m ＋1)2＋(n －1)2的取值范围是A.(0,2)B.(0,5)C.(1,2)D.(1,5)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分 ，共35分，9.在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数.为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是 .10.长沙市为“3013年春节高速公路免费通行活动”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号，若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是.11.如下图，AC 是⊙O 的直径，B 是圆上一点，∠ABC 的平分线与⊙O 相交于D ，已知BC ＝1，AB ＝3，则AD ＝ .12.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.则用 个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.13.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x 表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 .14.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＋f (x )＝0，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1，则f (log 18125)＝ .15.已知函数f (x )＝(x 2－x －1a)e ax (a ≠0).(1)曲线y ＝f (x )在点A (0，f (0))处的切线方程为 ；(2)当a >0时，若不等式f (x )＋3a ≥0对x ∈[－3a，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案9． 10． 11．1213. 14 15数学参考答案9.7 10.21 11.2 12.3 13.1π 14.1415.(1)2x ＋y ＋1a ＝0 (2)(0，ln 3]。
2014高考数学(理科)小题限时训练31
2014高考数学（理科）小题限时训练3115小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，1.设i 是虚数单位，则复数i1i-+的虚部是（ ） A.2i B. 2i - C. 21 D. 21- 2. 若a ∈R ，则2a =是()()120a a --=的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件3．设两个正态分布)0)(,(1211>σσμN 和)0)(,(2222>σσμN 曲线如图所示。
则有（ ） A ．2121,σσμμ>< B. 2121,σσμμ<< C. 2121,σσμμ>> D. 2121,σσμμ<> 4.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A.2B.3C.15D.不存在 5.设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，下面四个命题中真命题是（ ） A ．若b a ,与α所成的角相等，则a ∥b B.若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若βα⊂⊂b a ,，a ∥b则α∥β D.若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥6.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为1)．则z OM OA =⋅的最大值为（ ）A.7.某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B C D E F G H I ，，，，，，，之间拟建立信息联网工程．实际测算的费用如图2所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线，就使得信息中心与各部门、各院系连通（直接或中转），则最少的建网费用是（ ） Ａ．12万元 Ｂ．13万元 Ｃ．14万元 Ｄ．16万元8. 已知函数()e xf x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ΔABC 一定是钝角三角形 ②ΔABC 可能是直角三角形 ③ΔABC 可能是等腰三角形 ④ΔABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ）．A ．①,③B ．①,④C ．②,③D ．②,④ 二、填空题（9-11中任选两题， 12-16为必做题） 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆心到直线l 的距离为 ．10．如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆O 交于点D E ，，线段AE 的长为 ．11.设c b a ,,均为正数，且9=++c b a ，则cb a 3694++的最小值为12．下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是13.某校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则n 等于 .14. 若32nx ⎛+ ⎝的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．15. 若)(x f 在R 上可导，3)2(2)('2+⋅+=x f x x f ，则3()d x f x =⎰.16. 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数），又称为莱布尼兹三角形： 根据前5行的规律，写出第6行的数依次是 ． 9． 10． 11． 12 13. 14 15 16图5答案：DAAA DCBB7.按A H G F A E D C B A I 11112 23 2 ，，连接。
2014高考数学(理科)小题限时训练20
2014高考数学（理科）小题限时训练2015小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在） 1．函数y =的定义域是 （ ）A ．[0),+∞B ．[1),+∞C ．(0),+∞D ．(1),+∞2．有下列四个命题，其中真命题是 （ ） A ．2,n n n ∀∈≥RB ．,,n m m n m ∃∈∀∈= R RC ．2,,n m m n ∃∈∃∈<R RD ．2,n n n ∀∈<R3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为 （ ）A．B．C ．D ．64．函数f （x ）=ln ||(0)1(0)x x x x<⎧⎪⎨>⎪⎩的图象大致是 （ ）5．已知ΔABP 的顶点A 、B 分别为双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin sin |sin A B P-的值等于A ．B ．C ．45D ．546．我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x (单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟及90分钟以上，有1 000名小学生参加了此项调查，下图是此次调查的流程图，已知输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是 ()A ．0.20B ．0.40C ．0.60D ．0.807．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，则函数2()log 2log 8a b f x x b x a =++的图象恒在x 轴上方的概率为（ ）A ．14B ．34C ．13D ．238．已知f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )= 1222xx -，又a 是函数g (x ) =2ln(1)x x+-的正零点，则f （–2），f （a ），f （1.5）的大上关系是 （ ） A ．(1.5)()(2)f f a f <<- B ．(2)(1.5)()f f f a -<< C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9．用0.618法确定的试点，则经过 次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍． 10．在等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=80，则7812a a -的值为 ．11．已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若(,)OC λOA μOB λμ=+∈R ，则λμ+的值是 ．12．在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l 与圆4ρ=相交于A 、B 两点，若|AB |=4，则直线l 的极坐标方程为 ．13．在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算．如：十进制数8转换成二进制是1000，记作8（10）=1000（2）；二进制数111转换成十进制数是7，记作111（2）=7（10）．二进制的四则运算，如：11（2）+101（2）=1000（2），请计算：11（2）×111（2）+1111（2）= （2）． 14．,x x ∀∈≠且0R ．不等式1|||5|1x a x+>-+恒成立，则实数a 的取值范围是 ．15．设集合M ={1，2，3，4，5，6}，对于a i ，b i ∈M ，记ii ia eb =且i i a b <，由所有i e 组成的集合设为：A ={e 1，e 2，…，e k }，则k 的值为 ；设集合B =1{A}i i i ie |e ,e e ''=∈，对任意e i ∈A ，j e '∈B ，则Μi j e e '+∈的概率为9. 10. 11. ；12.13. 14. 15.理科数学参考答案1． 【解析】A 由2x –1≥0，求得x ≥0 2．【解析】B 对于选项A ，令12n =即可验证不正确；对于选项C 、选项D ，可令n = –1加以验证其不正确，故选B ．3．【解析】C 如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a 6a ==．故体积264V ⨯=． 4．【解析】B 函数y =ln|x |（x ＜0）的图象与函数y =ln x 的图象关于y 轴对称，函数1(0)y x x =>的图象是反比例函数 1y x=的图象在每一象限的部分5．【解析】C 由题意得：|PB –P A |=8，|AB |=210=，从而由正弦定理，得|sin sin |||4sin 5A B PB PA P AB --==．6．【解析】B 由流程图可见，当作业时间X 大于60时，S 将会增加1，由此可知S 统计的是作业时间为60分钟以上的学生数量，因此由输出结果为600知有600名学生的作业时间超过60分钟，因此作业时间在0~60分钟内的学生总数有1000–600=400名，所以所求频率为400/1000=0.4. ．7．【解析】D 因为函数图象恒在x 轴上方，则42log 32log 0b a a b -<，01,01,log 0,b a b a <<<<∴> log 0,a b >所以311log ,log 82a ab b >∴>，即12b a <．则建立关于a ，b 的直角坐标系，画出关于a 和b 的平面区域，如图．此时，可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量(Ω)1S =，满足图象在x 轴上方的事件A 所对应的几何度量1122()3S A a da ==⎰．所以()2()(Ω)3S A P A S ==． 8．【解析】A 当a ＞0时，易知g （x ）为增函数，而且g （2）=ln3 – 1＞0，g （1.5）=ln2.5–43＜lne –1=0，于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g （x ）存在零点，再由单调性结合题意可知a 就为这个零点，因此有1.5＜a ＜2．又当x ≥0时，直接求导即得()2ln 2x f x'=x ＞1时，我们有2()2l n 21l n 21l n 10f x e '>-=->-=，由此可见f （x ）在(1,)+∞上单调增，可见必有(1.5)()(2)f f a f <<，而又由于f （x ）为偶函数，所以(1.5)()(2)f f a f <<-，故选A ．9．【解析】5次10．【解析】8 由已知得：21048666()()58016a a a a a a a ++++==⇒=，又分别设等差数列首项为a 1，公差为d ，则78111611116(7)(5)82222a a a d a d a d a -=+-+=+==．11．【解析】因为点A (–1，2 )，B (1，–1 )，C (3，–4 )． 所以OC λOA μOB =+(3,4)(1,2)λ⇒-=-+(1,1)μ-，因此324λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即12λμ=-⎧⎨=⎩，所以1λμ+=．12．【解析】cos ρθ= 由该圆的极坐标方程为4ρ=知该圆的半径为4，又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，设该圆圆心为O ，则∠AOB =60°，极点到直线l的距离为4cos30d =︒=，所以直线的极坐标方程为cos ρθ=13．【解析】100100 由题可知，在二进制数中的运算规律是“逢二进一”，所以 11（2）×111（2=10101（2），10101（2）+1111（2）=100100（2）．14．【解析】4＜a ＜6 不等式1|||5|1x a x +>-+对于一切非零实数x 均成立，可以先求出1||x x+的最小值，然后利用|5|1a -+小于这个最小值即可求解a 的取值范围．当x ＞0时，12x x +≥=；当x ＜0时，1[()()]2x x --+-≤--．从而1||2x x +≥恒成立，所以不等式1|||5|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，可转化主|5|12a -+<，即|5|115146a a a -<⇒-<-<⇒<<． 15．【解析】11；6121由题意知，a i ，b i ∈M ，a i ＜b i ，首先考虑M 中的二元子集有{1，2}，{1，3}，…，{5，6}，共15个，即为26C =15个．又a i ＜b i ，满足ji i ja ab b =的二元子集有： {1，2}，{2，4}，{3，6}，这时12i i a b =，{1，3}，{2，6}，这时13i i a b =，{2，3}，{4，6}，这时23i i a b =，共7个二元子集．故集全A 中的元素个数为k =15 – 7 +3=11．列举A ={1111122334523456354556,,,,,,,,,,}，B ={2，3，4，5，6，354556223345,,,,,}131515243546232222222233334455,,,,,+=+=+=+=+=+=共6对．所求概率为：6121p =．。
2014高考数学(理科)小题限时训练41
2014高考数学（理科）小题限时训练4115小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 1．复数1ii +的共轭复数是 （ ） A ．1i -+ B ．1i --C ．1i +D ．1i -2．某市甲、乙、丙3个区共有高中学生20000人，且甲、乙、丙3个区的高中学生人数之比为2：3：5，现要用分层抽样方法从该市甲、乙、丙3个区所有高中学生中抽取一个样本，已知从甲区中抽取了80人，则应从乙、丙2个区中共抽取 （ ） A ．120人 B ．200人 C ．320人 D ．400人 3．设集合{|2},{|9},{4,7}A x x a B x b x A B =<<=<<⊆⋂集合若，则a b -的值可以是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44．在空间中，下列命题为真命题的是（ ） A ．对于直线,a b 和平面α，若a a b α⊥且与无公共点，则b α⊥ B ．对任意直线a ，在平面α中必存在一条直线b 与之垂直 C ．若直线,a b 与平面α所成的角相等，则//a bD ．若直线,a b 与平面α所成的角互余，则a b ⊥5．设双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的一条渐近线与抛物线2y x =的一个交点的横坐标为001,2x x >若，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞ 6．设:;:()sin ()cos()6p q f x x g x x πϕϕ===+函数的图象与的图象关于直线6x π=对称，则p q 是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在上是增函数，在[3,)+∞上是减函数，若函数()()g x f ax =在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．(0,2]C ．1[,)2+∞ D ．[2,)+∞8．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且BD=3DC ，P 是线段AD 上的一个动点，若AD=2，则(3)PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．0B ．-2C ．-4D ．-8二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分， 9．设11,(21)4,aa x dx a >+=⎰若则的值为 。
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2014高考数学（理科）小题限时训练19
15小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分 1
．若()f x =
，则()f x 的定义域是（ ）
A ．(,]1
-
02
B ．(,)1-+∞2
C ．(,)0+∞
D ．(,)1-
02
2．计算121
(lg lg 25)100=4
--÷（ ）
A ．－10
B ．10
C ．20-
D ．20
3．设函数⎩⎨⎧>-≤=-,
1,log 1,
1,2)(21x x x x f x 则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）
A ．1[-，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞）
D ．[0，+∞）
4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1<0，则下列结
论正确的是（ ）
A ．f (1)<f (－2)<f (3)
B ．f (3)<f (－2)<f (1)
C ．f (－2)<f (1)<f (3)
D ．f (3)<f (1)<f (－2) 5．已知()x f 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12
x
f x =+，则()x f 的反函数的图像
大致是（ ）
6．若函数2
(2)()m x f x x m
-=+的图象如上右图所示，则m 的范围为 A ．（－∞，－1） B ．（1，2） C ．（－1，2） D ． （0，2） 7．设函数()()21
x
f x x x =
∈+R ，区间[](),M a b a b =<其中，集合(){},N y y f x x M ==∈,则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．函数,,y kx b k b =+其中（0k ≠）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数．对于非线性可导．．．．．函数()x f ，在点0x 附近一点x 的函数值()x f ，可以用如下方法求其近似代替值：
()()()()000'≈+-f x f x f x x x ．利用这一方法，9983.m =的近似代替值（ ）
A ．大于m
B ．小于m
C ．等于m
D ．与m 的大小关系无法确定 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.） 9．设集合A ＝{
}2
,12,4a
a -- ，B ＝{}a a --1,5,9，且A B ＝{}9，则实数a ＝______．
10．已知命题2
sin ,:π
=
∈∃x R x p 使得；命题023:2
<+-x x q 的解集是()2,1，给出下
列四个结论：①“q p ∧”是真命题；②“q p ⌝∧”是假命题；③“q p ∧⌝”是真命
题；④“q p ⌝∨⌝”是假命题.其中正确结论的序号是________．
11．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，如果
1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则 _____0．（在题中空白位置填上
“>”，“<”，“＝”，“≥”或“≤”）
12．已知函数)(x f y =的定义域为R ，它的反函数为)(1
x f
y -=，如果)(1
a x f
y +=-与
)(a x f y +=互为反函数且a a f =)(（a 为非零常数）
，则)2(a f ＝ ． 13．函数()x f 的定义域为D ，若对于任意D x x ∈21,，当21x x <时，都有()()21x f x f ≤，
则称函数()x f 在D 上为非减函数．设函数()x f 在[]1,0上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00=f ；②()x f x f 2
1
3=
⎪⎭
⎫
⎝⎛；③()()x f x f -=-11．则 =⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛8131f f _______． 14．设1>a ，函数x y a log =的定义域为[]()n m n m <,，值域为[]1,0，定义“区间[]n m ,
的长度等于m n -”，若区间[]n m ,长度的最小值为
6
5
，则实数a 的值为________． 15．若集合A ＝{}654321,,,,,a a a a a a ，B ＝{
}2
6
2
52
42
32
22
1,,,,,a a a a a a 其中
()*∈≤≤N i a i 61，且654321a a a a a a <<<<<．如果{}43,a a B A = ，
1343=+a a ，且B A 中的所有元素之和为403，则=43a a ___，集合A ＝_____．
9. 10. 11. ；12.
13. 14. 15.
答案
1-8． DCDB ABCA 9． －3 10． ②③ 11． <
12． 0 13．
4
3 14． 6
15． 36 {}12,11,9,4,3,2。