纯滞后控制技术

长期以来，人们对纯滞后对象的控制作了大量的研究。 但在工程实践上有效的方法还是不多。比较有代表性的方法
有大林算法和史密斯预估算法。
史密斯预估控制原理
r(t) +
e(t)
-
u(t)
y(t)
D(s)
Gp (s)e s
图5.3.1 带纯滞后环节的控制系统
D(s) 表示调节器(控制器)的传递函数； Gp(s) e-τs 表示被控对象的传递函数； Gp(s) 为被控对象中不包含纯滞后部分的传递函数； e -τs 为被控对象纯滞后部分的传递函数。
(s) 1 es T s 1
Ф(s)闭环系统离散化为：
(z)
G(z) Y(z)
E(z)
U(z)
r(t)
T
D(z) T
H0(s)
Gp(s)
y(t)
(z)
G(z) Y(z)
E(z)
U(z)
r(t)
T
D(z) T
H0(s)
Gp(s)
y(t)
整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象Gp(s)的纯滞后时间τ相 同。一般选定采样周期T和纯滞后时间τ之间有整数倍关系，既 τ=NT。 Ф(s)对应的闭环脉冲传递函数Ф(z)
①带纯滞后的一阶惯性环节 被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节时
u (z)
(z) G(z)
(1 e T T )(1 e T T1 z 1 ) K (1 e T T1 )(1 e T T z 1 )
求得极点 z e T T
显然是大于零的。故在带纯滞后的一阶惯性环节组成的系统 中，数字控制器输出对输入的脉冲传递函数不存在负实轴上
在控制系统设计中，对这类纯滞后对象的控制，快速性是次 要的，主要要求系统没有超调或很少的超调。
达林（Dahlin）算法是专门针对工业生产过程中含有纯滞后 控制对象的控制算法。
达林算法的设计目标是：设计控制器使系统期望的闭环传递 函数等价于纯滞后环节和一阶惯性环节的串联。
1、数字控制器D(z)的形式 系统期望的闭环传递函数Ф(s)为：
T Tf
b
K
f
[1
e
T Tf
]
(3)计算偏差 e2(k) e2 (k) e1(k) y (k)
(4)计算控制器的输出 u(k) 当控制器采用 PID 控制算法时，则
其中
u(k) u(k 1) u(k)
u(k) KP[e2 (k) e2 (k 1)] KIe2(k) KD[e2 (k) 2e2 (k 1) e2(k 2)]
2、振铃现象及其消除 所谓振铃（Ringing）现象，是指数字控制器的输出u(k) 以1/2采样频率（2T采样周期） 大幅度上下摆动。振铃 现象对系统的输出几乎无影响，但会增加执行机构的磨 损，并影响多参数系统的稳定性。
例：被控对象传递函数为：
Gp (s)
e 2 s s(1 s)
采样周期T为1s，则广义对象的脉冲传递函数为
φu(z)极点距离 z = -1越近，振铃现象越严重。假设φu(z)含有 1/(z-a)因子（a<0），即φu(z)有z=a极点。则输出序列u(k)必 有分量：
u(k)
Z
1
z
1
a
Z
1
z
1
z
z
a
a k 1
因为a<0，当k-1为奇数时，u(k)为负，使控制作用减弱；当 k-1为偶数时，u(k)为正，使控制作用加强。这就是输出的 控制量两倍采样周期振荡的原因。也说明振零现象产生的原 因是φu(z)有负实轴上接近z =-1的极点。
G(z)
1 eTs
Z
s
Kes 1 T1s
K
z
N
1
1
1 e
eT /
T / T1
T1
z
1
(z)
z N 1
1 eT /T 1 eT /T z 1
可以得到达林算法的数字控制器为：
(z)
(1 eT /T )(1 eT /T1 z 1 )
D( z) G( z)(1 ( z)) K (1 eT /T1 )[1 eT /T z 1 (1 eT /T ) z N 1]
1 eTs S
y(t)
Gp (s)e s
1 eTs
Y (z) U (z)G (z) U (z) Z G (z)
s
U
(z)
K
f
(1 eT Tf )(z1 1 eT Tf z1
z 1N
)
相应的差分方程为:
y (k) ay (k 1) b[u(k 1) u(k N 1)]
其中:
a
e
系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U(z)间有下列关系： Y(z)=U(z)G(z)
系统的输出Y(z)和输入函数的R(z) Y(z)=Ф(z)R(z)
则数字控制器的输出U(z)与输入函数的R(z)之间的关系：
U (z)
(z) G(z)
R(z)
u (z)R(z)
其中，u (z)
(z) G(z)
表达了数字控制器的输出与输入函数在
环节，用来补偿被控对象中的纯滞后部分。这个补 偿环节称为预估器，其传递函数为 Gp (s)(1 es ) 如下图所示
பைடு நூலகம்
r(t) + e(t) +
-
y (t)
u(t)
y(t)
D(s)
Gp (s)e s
Gp (s)(1 e s )
新的控制器闭环传递函数为:
D
'(
s
)
1
D(
D(s) s)Gp (s)(1
e
r(t) + -
e1(t) S
e1(k) + -
y (k)
e2(k)
u(k) S
PID
1 e s s
Gp (s)(1 e s )
1 eTs S
y(t)
Gp (s)e s
5.3.2 达林算法
在工业过程(如热工、化工)控制中，由于物料或能量的传输 延迟，许多被控制对象具有纯滞后性质。对象的这种纯滞后 性质常引起系统产生超调或者振荡。
则其闭环传递函数为:
(s)
1
D(s)Gp (s)es D(s)Gp (s)e
s
在闭环传递函数的分母中包含有纯滞后环节，使得系
统的闭环极点很难分析得到，而且容易造成超调和振荡。 如果τ足够大的话，系统将是不稳定的，这就是大纯滞后过 程难以控制的本质。
如何消除分母上的纯滞后环节？
史密斯预估控制原理是：与 D(s) 并接一补偿
(1) 计算反馈回路的偏差 e1(k)
e1(k) r(k) y(k)
(2) 计算纯滞后补偿器的输出 y (k)
Y U
(s) (s)
Gp
(s)(1
e s
)
Kf 1 Tf
s
(1
e s
)
r(t) + -
e1(t) S
e1(k) + -
y (k)
e2(k)
u(k) S
PID
1 e s s
Gp (s)(1 e s )
s
)
则其总的闭环传递函数为:
'(s)
1
D '(s)Gp (s)es D '(s)Gp (s)e
s
D(s)Gp (s) es 1 D(s)Gp (s)
经补偿后，消除了纯滞后部分对控制系统的影响，因为 式中的e –τs 在闭环控制回路之外，不影响系统的稳定性。 拉氏变换的位移定理说明, e –τs 仅将控制作用在时间坐标上 推移了一个时间τ ，控制系统的过渡过程及其他性能指标都 与对象特性为Gp(s) 时完全相同。
由上图可见，纯滞后补偿的数字控制器由两部分组成：
一部分是数字 PID 控制器 (由D(s) 离散化得到)；一部分是史 密斯预估器。
1. 史密斯预估器
u(k)
m(k)
Gp (s)
+ y (k)
e s
史密斯预估器方框图
史密斯预估器的输出可按上图的顺序计算。图中，u(k) 是 PID 控制器的输出；yτ(k) 是史密斯预估器的输出。
0.393 z 3 1 0.607 z 1
误差(黑)与控制(蓝)输出
给定(蓝)与系统响应(黑)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
（1）振铃现象的分析
(z) Z[1 eTs es ] s T s 1
(1
z
1
)
z
N
Z
1
s
1 s 1
(1
z
1
)
z
N
( 1
1 z
1
1
e
1
T /
T
z 1 )
T
z N 1(1 eT /T 1 eT /T z 1
)
（1）、一阶惯性环节的达林算法 当被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节时
Gp
(s)
1
K T1s
e s
z C2 C1
lim
T 0
C2 C1
1
说明会出现左半平面与z=-1相近的极点，这一极点将引起 振铃现象。
(2)振铃幅度RA 振铃幅度RA用来衡量振铃强烈的程度。常用单位阶跃作用 下数字控制器第0次输出量与第一次输出量的差值来衡量 振铃现象强烈的程度。 数字控制器D(z)可以写成：
许多工业对象可近似用一阶惯性环节和纯滞后环节的串 联来表示
Gc (s)
Gp (s)e s
Kf 1 Tf
s
e s
式中，Kf —— 被控对象的放大系数； Tf —— 被控对象的时间常数； τ —— 纯滞后时间。
预估器的传递函数
G
(s)
Gp
(s)(1
e
s
)
1
Kf Tf
s
(1
e
s
)
2. 纯滞后补偿控制算法步骤
G(z)
1 es Z
s
e2s
s(s 1)
z 3
0.368 (1 0.718 z 1) (1 z 1)(1 0.368 z 1)
按达林算法选取Φ(z)，纯滞后时间为2s，时间常数选为 2s。则：
(z)
z
N
1
1
1
e
e T /
T / T
T
z
1
z
3
1
1
e 0.5 e 0.5 z 1
（2）二阶惯性环节的达林算法 当被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节时
Gp
(s)
(1
K e s T1s)(1
T2 s )
G(z)
Z
1 eTs
s
Kes
(1
T1s
)(1
T2
s
)
Kz N 1(C1 C2 z 1) (1 eT /T1 z 1 )(1 eT /T2 z 1 )
其中：C1
1
T2
②带纯滞后的二阶惯性环节 被控制对象为带纯滞后的二阶惯性环节时，
u (z)
(z) G(z)
(1
eT T )(1 eT T1 z 1 )(1 eT T2 z 1 )
KC1(1
eT
T
z 1 )(1
C2 C1
z 1 )
有两个极点，第一个极点在 z e T T 不会引起振铃现象。
第二个极点在
在T→0时，有
1 T1
(T1e T /T1
T2e T
/ T2
)
C2
e T (1/ T1 1/ T2 )
T2
1 T1
(T1e T /T2
T2e 1/T1 )
(z)
z
N
1
1
1 e
e T / T z T / T
1
可以得到达林算法的数字控制器为：
D(z)
(z) G(z)(1 (z))
(1 eT /T )(1 eT /T1 z 1 )(1 eT /T2 z 1 ) K (C1 C2 z 1 )[1 eT /T z 1 (1 eT /T ) z N 1 ]
闭环时的关系，是分析振铃现象的基础。
对于单位阶跃输入信号
R(z)
1
1 z
1
含有极点z=1。
如果φu(z)的极点在负实轴上，且与z = -1接近，则数字控制 器的输出序列u(k)中将含有这两个极点造成的瞬态项，且瞬 态项的符号在不同时刻不相同，可能叠加也可能抵消（当两 瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强；符号 相反时，控制作用减弱），从而造成数字控制器的输出序列 大幅度波动。
从形式上可把纯滞后补偿视为具有超前控制作用，而
实质上是对被控参数的预估。因此称史密斯补偿器为史密 斯预估器。
具有纯滞后补偿的数字控制器
r(t) + -
e(t) e1(k) +
S
-
y (k)
e2(k)
u(k) S
PID
数字史密斯 预估器
1 e s s
y(t)
Wp (s)e s
图4.24 具有纯滞后补偿的控制系统
系统中滞后环节使信号延迟，在内存中专门设定 N 个单元 存放信号 m(k) 的历史数据。存储单元的个数N由下式决定。
N＝τ／T (τ-纯滞后时间，T -采样周期)
每采样一次，把 m(k) 记入 0 单元，同时把 0 单元原来存放 数据移到 1 单元，1 单元原来存放数据移到2单元……以此类 推。从 N 单元输出的信号，就是滞后N 个采样周期的 m(k－ N) 信号。
r(t) + e(t) -
u(t)
D(s)
Gp (s)
y(t)
e s
r(t) + e(t)
u(t)
D(s)
Gp (s)(1 es )
y(t)
-
e s
史密斯预估控制系统等效框图
带纯滞后补偿的控制系统就相当于:
控制器为D(s) , 被控对象为Gp(s)(1 - e–τs ), 反馈回路串 上一个 e τs 的反馈控制系统，即检测信号通过超前环节e τs 后进入控制器。
常规及复杂控制技术(三)
纯滞后控制技术
主要内容
1、施密斯（Smith）预估控制 2、达林（Dahin）算法
5.3.1 史密斯(Smith)预估控制
在实际生产过程中，大多数工业对象具有较大的纯滞后 时间。对象的纯滞后时间τ对控制系统的控制性能极为不利。
当对象的纯滞后时间τ与对象的时间常数Tc之比， 即τ／ Tc≥0.5时，采用常规的PID控制来克服大纯滞后是很难适应的， 而且还会使控制过程严重超调，稳定性变差。