(完整版)高考导数专题复习
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练习：已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
解：函数 的定义域为 ．
．
令 ，得 ，记 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 单调减区间为 ； …………5分
（ⅱ）当 时，由 得 ，
①若 ，则 ，
由 ，得 ， ；由 ，得 ．
所以， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为 ； …………………………………………………………7分
②若 ，由（1）知 单调增区间为 ，单调减区间为 ；
③若 ，则 ，
由 ，得 ；由 ，得 ．
的单调减区间为 ，单调增区间为 ． ……9分
综上所述：当 时， 的单调减区间为 ；
当 时， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为 ；
当 时， 单调减区间为 ，单调增区间为 ． ………………………………………………………10分
（Ⅰ）求 、 的值；
解：（Ⅰ）
由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即
解得 ， 。
2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
例题：【2015高考四川，理21】已知函数 ，其中 .
（1）设 是 的导函数，评论 的单调性；
【答案】（1）当 时， 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上单调递增.
【解析】（1）由已知，函数 的定义域为 ，
，
所以 .
当 时， 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递增.
①当 ，即 时， ．
∴当 时，函数 的单调减区间为 ， ．………………11分
②当 时，解 得 ．
∵ ，
∴令 ，得 ， ， ；
令 ，得 ． ……………………………13分
∴当 时，函数 的单调减区间为 ， ， ；函数 单调增区间为 ． …………15分
③当 ，即 时，由（2）知，函数 的单调减区间为 及
2、根据判别式进行讨论
练习：1、已知函数 .
⑴当 时，讨论 的单调性；
答案：⑴ ，
令
①当 时， ，当 ,函数 单调递减；当 ，函数 单调递增.
②当 时，由 ，即 ，解得 .
当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 单调递减；
当 时， , 时 ，函数 单调递减；
时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减.
当 时 ，当 ,函数 单调递减；
(13)证题中常用的不等式:
① ② ≤
③ ④
⑤ ⑥
⑦ sinx<x (0<x<π) ⑧lnx<x< (x>0)
1、有关切线的相wk.baidu.com问题
例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）= .
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
【答案】（Ⅰ）
跟踪练习：
1、【2011高考新课标1，理21】已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 。
高考数学专题复习——导数
一、有关切线的相关问题
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
三、交点与根的分布
1、判断零点个数
2、已知零点个数求解参数范围
四、不等式证明
1、作差证明不等式
2、变形构造函数证明不等式
3、替换构造不等式证明不等式
五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用
2、恒成立之分离常数
单调递减区间为 ． ……………………………………7分
（ⅱ）若 ， 在 上恒成立，则 在 上恒成立，此时 在 上单调递增． ……………………………………………………………
3、含绝对值的函数单调性讨论
当 ，函数 单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 单调递减， 单调递增；
当 时 , 恒成立,此时 ，函数 在 单调递减；
当 时,函数 在 递减, 递增, 递减.
2、已知 为实数，函数 ，函数 ，令函数 ．
当 时，求函数 的单调区间．
解：函数 ，定义域为 ．
当 时， ．
令 ，得 ． ……………………………………9分
2. 已知函数 ．
求函数 的单调区间；
解：函数的定义域为 ， ． ……………1分
（1）当 时， 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，此时 在 上单调递减． ……………4分
（2）当 时， ，
（ⅰ）若 ，
由 ，即 ，得 或 ； ………………5分
由 ，即 ，得 ．………………………6分
所以函数 的单调递增区间为 和 ，
（一）单调性
1、根据导数极值点的相对大小进行讨论
例题：【2015高考江苏，19】
已知函数 .
（1）试讨论 的单调性；
【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， 时， ， 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
3、恒成立之讨论参数范围
六、函数与导数性质的综合运用
导数运用中常见结论
(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ，且切线方程为
。
(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。
(3)对于可导函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（减）区间。
(4)函数 在区间I上递增（减）的充要条件是： 恒成立（ 不恒为0）.
(9)设 与 的定义域的交集为D，若 D 恒成立，则有
.
(10)若对 、 ， 恒成立，则 .
若对 ， ，使得 ,则 .
若对 ， ，使得 ，则 .
（11）已知 在区间 上的值域为A,， 在区间 上值域为B，
若对 , ，使得 = 成立，则 。
(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大值大于0，极小值小于0.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
3、(2014课标全国Ⅰ，理21)设函数 ，曲线 在点（1， 处的切线为 . (Ⅰ)求 ；
【解析】：(Ⅰ) 函数 的定义域为 ，
由题意可得 ，故 ……………6分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
(5)函数 （非常量函数）在区间I上不单调等价于 在区间I上有极值，则可等价转化为方程 在区间I上有实根且为非二重根。（若 为二次函数且I=R，则有 ）。
(6) 在区间I上无极值等价于 在区间在上是单调函数，进而得到 或 在I上恒成立
(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则
(8)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，则 .
（1）求函数 的单调区间；
解：函数 的定义域为 ．
．
令 ，得 ，记 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 单调减区间为 ； …………5分
（ⅱ）当 时，由 得 ，
①若 ，则 ，
由 ，得 ， ；由 ，得 ．
所以， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为 ； …………………………………………………………7分
②若 ，由（1）知 单调增区间为 ，单调减区间为 ；
③若 ，则 ，
由 ，得 ；由 ，得 ．
的单调减区间为 ，单调增区间为 ． ……9分
综上所述：当 时， 的单调减区间为 ；
当 时， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为 ；
当 时， 单调减区间为 ，单调增区间为 ． ………………………………………………………10分
（Ⅰ）求 、 的值；
解：（Ⅰ）
由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即
解得 ， 。
2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
例题：【2015高考四川，理21】已知函数 ，其中 .
（1）设 是 的导函数，评论 的单调性；
【答案】（1）当 时， 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上单调递增.
【解析】（1）由已知，函数 的定义域为 ，
，
所以 .
当 时， 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递增.
①当 ，即 时， ．
∴当 时，函数 的单调减区间为 ， ．………………11分
②当 时，解 得 ．
∵ ，
∴令 ，得 ， ， ；
令 ，得 ． ……………………………13分
∴当 时，函数 的单调减区间为 ， ， ；函数 单调增区间为 ． …………15分
③当 ，即 时，由（2）知，函数 的单调减区间为 及
2、根据判别式进行讨论
练习：1、已知函数 .
⑴当 时，讨论 的单调性；
答案：⑴ ，
令
①当 时， ，当 ,函数 单调递减；当 ，函数 单调递增.
②当 时，由 ，即 ，解得 .
当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 单调递减；
当 时， , 时 ，函数 单调递减；
时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减.
当 时 ，当 ,函数 单调递减；
(13)证题中常用的不等式:
① ② ≤
③ ④
⑤ ⑥
⑦ sinx<x (0<x<π) ⑧lnx<x< (x>0)
1、有关切线的相wk.baidu.com问题
例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）= .
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
【答案】（Ⅰ）
跟踪练习：
1、【2011高考新课标1，理21】已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 。
高考数学专题复习——导数
一、有关切线的相关问题
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
三、交点与根的分布
1、判断零点个数
2、已知零点个数求解参数范围
四、不等式证明
1、作差证明不等式
2、变形构造函数证明不等式
3、替换构造不等式证明不等式
五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用
2、恒成立之分离常数
单调递减区间为 ． ……………………………………7分
（ⅱ）若 ， 在 上恒成立，则 在 上恒成立，此时 在 上单调递增． ……………………………………………………………
3、含绝对值的函数单调性讨论
当 ，函数 单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 单调递减， 单调递增；
当 时 , 恒成立,此时 ，函数 在 单调递减；
当 时,函数 在 递减, 递增, 递减.
2、已知 为实数，函数 ，函数 ，令函数 ．
当 时，求函数 的单调区间．
解：函数 ，定义域为 ．
当 时， ．
令 ，得 ． ……………………………………9分
2. 已知函数 ．
求函数 的单调区间；
解：函数的定义域为 ， ． ……………1分
（1）当 时， 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，此时 在 上单调递减． ……………4分
（2）当 时， ，
（ⅰ）若 ，
由 ，即 ，得 或 ； ………………5分
由 ，即 ，得 ．………………………6分
所以函数 的单调递增区间为 和 ，
（一）单调性
1、根据导数极值点的相对大小进行讨论
例题：【2015高考江苏，19】
已知函数 .
（1）试讨论 的单调性；
【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， 时， ， 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
3、恒成立之讨论参数范围
六、函数与导数性质的综合运用
导数运用中常见结论
(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ，且切线方程为
。
(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。
(3)对于可导函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（减）区间。
(4)函数 在区间I上递增（减）的充要条件是： 恒成立（ 不恒为0）.
(9)设 与 的定义域的交集为D，若 D 恒成立，则有
.
(10)若对 、 ， 恒成立，则 .
若对 ， ，使得 ,则 .
若对 ， ，使得 ，则 .
（11）已知 在区间 上的值域为A,， 在区间 上值域为B，
若对 , ，使得 = 成立，则 。
(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大值大于0，极小值小于0.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
3、(2014课标全国Ⅰ，理21)设函数 ，曲线 在点（1， 处的切线为 . (Ⅰ)求 ；
【解析】：(Ⅰ) 函数 的定义域为 ，
由题意可得 ，故 ……………6分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
(5)函数 （非常量函数）在区间I上不单调等价于 在区间I上有极值，则可等价转化为方程 在区间I上有实根且为非二重根。（若 为二次函数且I=R，则有 ）。
(6) 在区间I上无极值等价于 在区间在上是单调函数，进而得到 或 在I上恒成立
(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则
(8)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，则 .