第一章晶体结构和倒格子
倒格子空间
K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3
a
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一 个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格 子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 正格子基矢：a1、a2、a3； 倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位 为米-1，表示状态空间。
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
§1.5 倒易点阵
′ ′ ′ ′ ′ ′ = 2 π( l1h1 + l 2 h2 + l 3 h3 )
= 2 πµ
3.
(2π)3 Ω* =
Ω* = b 1 ⋅ b 2 × b 3
3
(
Ω
分别为正、倒格原胞体积) (其中Ω和Ω*分别为正、倒格原胞体积 其中
)
) [( ) ( )]
2π = a2 × a3 ⋅ a3 × a1 × a1 × a2 Ω
′ ′ ′ Rl′ = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3
′ ′ ′ K h′ = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
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第一章 晶体结构
′ ′ ′ ′ ′ ′ Rl′ ⋅ K h′ = (l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) ⋅(h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 )
2π a
2π a
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第一章 晶体结构 例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 证明体心立方的倒格是面心立方。 体心立方的原胞基矢： 解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a a
2
3
a = − i + j + k 2 a i − j + k = 2 a i + j − k = 2
( ( (
a a 2 +k 2 a a 2 2
−
a 2 a 2
a2 a2 j+ k = 2 2
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第一章 晶体结构
a2 a2 a2 × a3 = j + k 2 2
2π b1 = a2 × a3 = Ω
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考01第一章 晶体的结构
(h
2 1
2 + k + l12 ) i( h22 + k22 + l2 ) 2 1 12
h1h2 + k1k2 + l1l2
12
பைடு நூலகம்
解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数 a，则晶胞基矢为
a1 = ai, a2 = a j, a3 = ak ,
其倒格子基矢为
b1 =
2π 2π 2π i, b2 = i, b3 = i a a a 2π ( hi + k j + lk ) a
a 2 +j a 0 − 2
a 2
a 2 +k a 0 2
0 a 2
=−
b 1=
a2 a2 a2 i+ j+ k 4 4 4
2π 2π a 2 ⎛ a 2 a2 a2 a 2 × a3 = 3 − i + j + ⎜ a Ω 2 ⎝ 4 4 4 4 2π 2π b 2= i − j + k ,b 3= i+ j−k a a
i = −( h + k )
得证 （2）由上可知，h，k，i 不是独立的， ( 001) , 133 , 110 , 323 , (100 ) , ( 010 ) , 213 . 中各 i 等于
( )( )( )
( )
i1 = −(h1 + k1 ) = −(0 + 0) = 0, i2 = 2 ， i3 = 0 ， i4 = 1 ， i5 = 1 i6 = 1 ， i7 = 3 即得
a1 ⋅ n = h1d , a2 ⋅ nh2 d , a3 ⋅ n = h3d ,
假定 h1 , h2 , h3 不是互质的数，则有公约数 p，且 p>1；设 k1 , k2 , k3 为互质的三个数，满足
固体物理第一章(2)
例2解答：
c
b
0a （101）
c
b
0a （1-22）
c
b
0a （021）
c
b
a （2-10）
例3、在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示， 它们代表一个晶面的基矢的截距分别为a1/h，a2/k， a3/m，在c轴上的截距为c/l。
证明（1）h+k=-m；
（2）求出O’A1A3、A1A3B3B1、A2B2B5A5和 A1A3A5四个面的面指数。
例1解答：
晶面族（123）截a1、a2和a3分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近 的晶面，OA长度等于a1的长度，OB长度等于a2长度的1/2，OC长度等于a3 长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则 A、B和C都不是格点。
例2、在简立方晶胞中，画出（101）、（021）、（1-22）和（2-10）晶面。
ra1 n ra1 cos a1, n d
sa2 n sa2 cos a2 , n d
ta3 n tas cos a3 , n d
由此得： c o sa 1 ,n:c o sa 2 ,n:c o sa 3 ,n1:1:1
r a 1 s a 2 ta 3
与上式相比较，有
cos
h1h2k1k2l1l2
h12k12l12 h22k22l22
指数简单的面是最重要的晶面，如（100）、（110）、（111）之类。 这些面指数低的晶面系，其面间距d 较大，原子层之间的结合力弱，晶 体往往在这些面劈裂，成为解理面，一般容易显露。如Ge、Si、金刚石 的解理面是（111）面，而III-V族化合物半导体的解离面是（110）面。
立方晶格的等效晶面
固体物理课后习题答案
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章 晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .
固体物理第一章总结
第一章晶体结构1.晶格实例面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3??氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞 维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n] 晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅= 简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k⎧=⎪=⎨⎪=⎩体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。
1-2倒格子空间
4.正格子和倒格子互为正倒格子
证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 4 (i j k ) (i j k ) 2 (i j ) c* V a a3 2
a
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。
晶体结构和倒格子
第一章 晶体结构和倒格子1. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅（6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22 求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl ）垂直。
4. 若轴矢→→→c b a 、、构成简单正交系，证明。
晶面族（h 、k 、l ）的面间距为2222)()()(1c l b k a h hkl d ++= 5．用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54Å反射角为θ=19.20 求面间距d 111。
6．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的；2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程；7．在图1－49（b ）中，写出反射球面P 、Q 两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。
8．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。
9．说明几何结构因子S h 和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。
10. 能量为150eV 的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最小的布拉格衍射角。
附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J ·s, c=2.9979×108m/s第二章 晶体结合1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成nm r b r a r U +-=)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的二原子间的互作用能；(3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值；（4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式exp(-r/p),并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。
固体物理-第一章
•
ai
aj
ak
•
•
•
•
顶角8个格点→8×1/8=1个原 子；→平均包含1个原子
原胞的体积 V a1 (a2 a3 ) a3
➢晶体的周期性
面心立方晶胞
晶
胞
的
ABC ABC 排列（立方密堆）
选
取
a1
a 2
jk
顶角8个格点→8×1/8=1个原子；面心6个原 子→6×½=3个原子；→平均包含4个原子
1.1 晶体的周期性
1.1.1 常见的晶体
沸石晶体
方沸石
化学式：RR[Alx+2ySin-(x+2y)O2n]·mH2O含水架状结 构铝硅酸盐矿物，单斜和正交（斜方）晶系为主。 式中R代表碱金属离子，基本上为K+或Na+。
菱沸石
纯净的各种沸石均为无色或白色，但可因混入杂质而呈各种浅色。玻璃光泽。解 理随晶体结构而异。沸石的晶体结构是由硅（铝）氧四面体连成三维的格架，格架中 有各种大小不同的空穴和通道，具有很大的开放性。碱或碱土金属子和水分子均分布 在空穴和通道中，与格架的联系较弱。不同的离子交换对沸石结构影响很小，但使沸 石的性质发生变化。晶格中存在的大小不同空腔，可以吸取或过滤大小不同的其他物 质的分子。工业上常将其作为分子筛，以净化或分离混合成分的物质 ，如气体分离、 石油净化、处理工业污染等。此外沸石还具有独特的吸附性、催化性、离子交换性， 离子的选择性、耐酸性、热稳定性、多成份性、及很高的生物活性和抗毒性等。
1.1.3 基本概念
晶体的特点：晶体具有规则 的几何外形，固定的熔 点，某些晶体具有一定 的解理性。
周期性：晶体中 微粒的排列按照 一定的方式不断 的做周期性重复 的性质，称为晶 体结构的周期性。
1.10-倒格空间
4
倒格子和倒易空间
5
6
7
8
9
倒格子与正格子 布喇菲格子) 与正格子(布喇菲格子 ● 倒格子与正格子 布喇菲格子 有什么关系？ 有什么关系？
10பைடு நூலகம்
一、正格子与倒格子互为对方的倒格子
证明？ 证明？
11
二、正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于
12
三、倒格矢 (h1h2h3)正交 正交
与正格子晶面族
13
四、倒格矢
的模与晶面族(h 的模与晶面族 1h2h3)的面间距成反比 的面间距成反比
14
五、常见布喇菲格子的倒格子
证 明？
15
正格子与倒格子关系示意图
16
2
第一章 倒格子 倒格子与X-ray衍射 衍射联系一起 衍射 第三章 倒格子与晶体格波、声子联系一起 格波、声子 倒格子 格波 第五章 倒格子 德布罗意波(电子 倒格子与德布罗意波 电子 德布罗意波 电子)联系一起
3
倒格子和倒易空间如何定义? ● 倒格子和倒易空间如何定义 与正格子(布喇菲格子 有什么关系？ 布喇菲格子)有什么关系 ● 与正格子 布喇菲格子 有什么关系？
第一章 晶体的结构
1.10 倒格空间
徐智谋
华中科技大学光电子科学与工程学院
1
倒格子和倒易空间，最初是由Ewald 倒格子和倒易空间，最初是由Ewald 引入用来描 述和解释晶体中x射线衍射现象的一种方法。 述和解释晶体中x射线衍射现象的一种方法。 然而，固体物理学的进一步发展表明， 然而，固体物理学的进一步发展表明，其意义远 非仅此。由于晶体微观结构的平移对称性(即周期性) 非仅此。由于晶体微观结构的平移对称性(即周期性)， 平移对称性 使得晶体内原子、电子等微观粒子运动的量子态 量子态可用 使得晶体内原子、电子等微观粒子运动的量子态可用 一个几何点来标记 倒易空间中的一个几何点来标记， 倒易空间中的一个几何点来标记，这大大简化了对晶 体内原子、电子等微观粒子运动的研究。因此， 体内原子、电子等微观粒子运动的研究。因此，倒格 子和倒易空间这一概念在固体物理学中是非常重要的， 子和倒易空间这一概念在固体物理学中是非常重要的， 它几乎贯穿于整个固体物理学领域。 它几乎贯穿于整个固体物理学领域。
倒格子——精选推荐
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
1-2倒格子空间
Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 = = a1 Kh = ⋅ h Kh 1 h Kh 1 2π Kh
O
a1 ⋅ h b1 + h2 b2 + h2 b3 1
第一章晶体结构
倒格子空间
• • • •
引入倒格子的目的 引入倒格子的方法 倒格子的性质 倒格子与正格子之间的关系
§1.5 倒格子 一、倒格子和晶格之间的关系
1.倒格子 倒格子
晶面族： ABC；面间距： ; d 晶面族： ；面间距：
P
C
N
B
ABC法向 ON;O 法向： 晶面族 法向： OP = ρ，使得 ⋅ d＝π ρ 2 A 对于每一族晶面，都有一点P， 对于每一族晶面，都有一点 ，以OP=ρ为周 为周
eiKh⋅Rl = 1 ⇒ Kh ⋅ Rl = 2πµ
Rl = l1a1 + l2a2 + l3a3 → 正格矢 格矢量 ( ) 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 Kh = h b1 + h2b2 + h3b3 → 倒格矢 1 倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。 倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。
3.n度旋转对称轴 度旋转对称轴(rotation about an axis) 度旋转对称轴 (1)定义 定义——晶体绕某一固定轴 旋转角度 晶体绕某一固定轴u旋转角度 定义 晶体绕某一固定轴 旋转角度2π/n以 以 后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。 能自身重合，则称 为 度 或 次 旋转对称轴。 旋转对称轴 n只能取 ，2，3，4，6。 只能取1， ， ， ， 。 只能取 晶体不能有5度或 度以上的转轴 晶体不能有 度或6度以上的转轴。 度或 度以上的转轴。 (2)对称轴表示方式 对称轴表示方式 ①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 熊夫利 符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 国际符号 表示 1、 2、 3、 4、 6。 、 、 、 、 。
固体物理基础第1章-晶体结构
ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个 共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体？ 研究固体的思路？复杂到简单
为什么从研究晶体开始？ 原胞的选取唯一吗？
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化 学性质完全等价 • 复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相 同的，就是他们的结构完全相同！
数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分
的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体：实际晶体的数学抽象 以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完 全相同的方式无限地排列而成 • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 • 晶格（点阵）：格点（结点）的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有？个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞
《固体物理学》第一二章参考答案
第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
第一章-晶体结构-《固体物理学》黄昆-韩汝琦
6. 几种化合物晶体的晶格 1) NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
16 /16
第一章 晶体结构
晶体：在微米量级的范围是有序排列的 —— 长程有序
—— 在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体时对应一定 的熔点
晶体的规则外形
—— 最显著的特点是晶面有规则、对称地配置 —— 一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
01/ 28
不同生长条件下NaCl晶体的外形___b, c, d
—— 20世纪三十年代，建立了固体能带论和晶格动力学
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
10 /16
—— 固体能带论说明了导体与绝缘体的区别，并断定有 一类固体，其导电性质介于两者之间______半导体
—— 20世纪四十年代末，以诸、硅为代表的半导体单晶的 出现并制成了晶体三极管______ 产生了半导体物理
体心立方晶格中，A层中原Байду номын сангаас球的距离等于A－A层之间的距
离，A层原子球的间隙 —— 0.31r0
r0 —— 原子球的半径
—— 体心立方晶格 结构的金属
Li、Na、K、Rb、 Cs、Fe 等
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
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体心立方晶格结构金属 —— Iron
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
钙钛矿结构 —— 钛酸钙（CaTiO3）结构 —— 重要介电晶体 钛酸钡（BaTiO3） 锆酸铅（PbZrO3） 铌酸锂（LiNbO3） 钽酸锂（LiTaO3）等
晶体结构与倒格子基础知识
基本概念：假定晶格平移矢量a1 、 a2 、 a3定义一
个空间点阵，我们称之为正晶格或正格子。若定义另 一组矢量b1、 b2 、 b3，使 b1=2π （a2×a3）/V b2=2π （a3×a1）/V b3=2π （a1×a2）/V 则由b1、 b2 、 b3所确定的新的点阵即为倒晶格，亦 即倒格子。矢量 b1、 b2 、 b3为倒格子晶轴矢量。 特别地，若a1 、 a2 、 a3为正格子基矢，则b1、 b2 、 b3为倒格子基矢。
类似地，对于体心立方晶格的倒格子（面心立方晶格）
有十二个最短的G矢量（倒格矢）
倒格子基础知识
第一布里渊区
倒格子的中央晶胞（维格纳-赛茨原胞）称为第一布里
渊区。
几种常见的晶体
惰性气体晶体(He、Ne 、 Ar 、 Kr 、 Xe)
这些晶体是透明的绝缘体，其结合弱、熔点低。惰性
气体原子具有很高的电离能（气态原子失去一个电子 所需要的最小能量称为元素的第一电离能）。其最外 电子壳层被完全填满。在自由原子中电子电荷的分布 是球对称的。
氦是最不活泼的元素；是唯一不能在标准大气压下固
化的物质。25个大气压下的熔点是-272.2°C（绝对零度 是-273.15°C ）。
几种常见的晶体
范德瓦耳斯相互作用：
假定有两个全同的惰性气体原子，如果认为它们的电
荷分布是“刚性”的，则原子之间的相互作用将是零， 因为球对称分布的电子电荷的静电势与原子核电荷的 静电势相互抵消。这时原子间不存在库仑力，因而不 能聚集在一起。实际上，原子中电子的电荷分布并不 是理想的球对称的，两个原子靠近相互感生偶极矩， 这种感生矩使得原子之间相互吸引，这种作用即为范 德瓦耳斯相互作用。
第1章 晶体学基础-2-倒格子
13
晶面间距的计算
晶面间距(面网间距)指 两个相邻晶面间的垂直距离。 对晶面(hkl), 一般用dhkl来 表示其晶面间距。一般的规 律是，在空间点阵中，晶面 的晶面指数越小，其晶面间 距越大，晶面的结点密度越 大，它的X射线衍射强度越 大，它的重要性越大。晶面 间距在X射线分析中是十分 重要的。
d2 HKL
a2 sin 2
b2
c2 sin 2
ac sin 2
14
晶面间距的计算
1 d HKL
RH* KL
1 d2
HKL
R* HKL
2
R* HKL
R* HKL
H a* Kb* Lc* H a* Kb* Lc*
2
2
2
H 2 a* K 2b* L2 c* 2HK a* b* 2HLa* c* 2KLb* c*
将 a*、b*、c* 的定义式代入上式，经适当运算后，即可得各
之平行六面体）体积，按矢量混 合积几何意义，V=a1(a2×a3)。
c* c b b*
a* a
3
倒易点阵参数及*（a*2与a*3夹角）、*（a*3与 a*1夹角）和*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为
a*1=(a2a3sin)/V a*2=(a3a1sin)/V a*3=(a1a2sin)/V cos*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(coscos-cos)/sinsin
用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射 花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。
固体物理
i [ t naq ]
2 q h Na
波矢的取值范围：
所以：
h只能取N个整数值，波矢q也只能取N个不同的分立值。所 以在第一布里渊区包含N个状态。
第一布里渊区状态数为 N
色散关系：
频率是波数的偶函数，
色散关系曲线是周期性的，关于O-ω轴对称的。
在q空间的周期为： 频率的极小值： 当 只有频率在 ，频率的极大值：
光学波:
1/ 2 (m M ) 4mM 2 2 sin aq 1 1 2 mM (m M )
在长波极限下： q 0
2 2 mM mM
在长波极限下，光学波的振幅关系：
2 m 2 B 2 cos aq A
x2 n1 Be
i t na b q
d 2 x2 n 1 m 2 x 2 n 1 x2 n 1 x2 n 2 x2 n 1 2 dt
m 2 Bei (t naq bq ) 2 [ Bei (t naq bq ) Aei (t naq ) ] 1[ Aei (t naq aq ) Bei (t naq bq ) ]
x2 n1 Ae
i t na b q
x2n Ae
i t naq
d 2 x2 n M 2 1 x 2 n x2 n1 2 x2 n1 x2 n dt
M 2 Aei (t naq ) 1[ Aei (t naq ) Bei (t naq aq bq ) ] 2 [ Bei (t naq bq ) Aei (t naq ) ]
(2 m 2 ) A (2 cos aq) B 0 2 (2 cos aq ) A (2 M )B 0
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第一章 晶体结构和倒格子1. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅（6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22 求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl ）垂直。
4. 若轴矢→→→c b a 、、构成简单正交系，证明。
晶面族（h 、k 、l ）的面间距为2222)()()(1c l b k a h hkl d ++= 5．用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54Å反射角为θ=19.20 求面间距d 111。
6．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的；2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程；7．在图1－49（b ）中，写出反射球面P 、Q 两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。
8．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。
9．说明几何结构因子S h 和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。
10. 能量为150eV 的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最小的布拉格衍射角。
附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J ·s, c=2.9979×108m/s第二章 晶体结合1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成nm r b r a r U +-=)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的二原子间的互作用能；(3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值；（4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。
2. N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=R e RB N R U n 024)(πεα(1) 证明平衡原子间距为 n e B R n 20104απε=- (2) 证明平衡时的互作用势能为 )11(4)(0020nR Ne R U --=πεα (3) 若试验试验测得Nacl 晶体的结合能为765kj/mol,晶格常数为5.63⨯10-10m ，计算Nacl 晶体的排斥能的幂指数n ，已知Nacl 晶体的马德隆常数是α＝1.753．如果把晶体的体积写成 V ＝N βR 3式中N 是晶体中的粒子数；R 是最近邻粒子间距；β是结构因子，试求下列结构的β值(1) fcc (2) bcc (3) Nacl (4) 金刚石4．证明：由两种离子组成的，间矩为R 0的一维晶格的马德隆常数α＝ ln 2 .第三章 晶格振动1. 设有一双子链最近邻原子间的力常数为β和10β，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=aπ处的ω(q).并定性画出色散曲线。
m β m 10β m β m2. 设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)=ω0－Aq 2（A >0），求证光学波频率分布函数(格波密度函数)为：g(ω)=∑-=)1(31s i 24πV 2321)(0A i ωω- i ω≤ω0 g(ω)=0 i ω>ω03．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。
4． 试用平均声子数n ＝（1)1--KT e ω 证明：对单式格子，波长足够长的格波平均能量为KT ；当T <<Q D 时，大约有多少模式被激发？并证明此时晶体比热正比于(3)DQ T 。
5．对于金刚石、Zns 、单晶硅、金属Cu 、一维三原子晶格，分别写出(1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数(3).格波支数; (4). 声学波支数(5).光学波支数6．证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T .7．NaCl 和KCl 具有相同的晶体结构。
其德拜温度分别为320K 和230K 。
KCl 在5K 时的定容热容量为3.8×10-2J.mol-1.K-1，试计算NaCl在5K和KCl在2K时的定容热容量。
8. 在一维无限长的简单晶格中，设原子的质量均为M，若在简谐近似下考虑原子间的长程作用力，第n个原子与第n+m和第n－m个原子间的恢复力系数为βm, 试求格波的色散关系。
9.求半无限单原子链晶格振动的色散曲线。
提示：仍作近邻近似和简谐近似。
设原子编号为：0，1，2，3，4,······(表面原子为n=0)第四章晶体缺陷1.设U f为费仑克尔缺陷形成能证明在温度T时，达到热平衡的晶体中费仑克尔缺陷的数目为：-2式中N和N‘分别为晶体的原子格点总数和间隙位置数。
n f＝NN1e u f k b t2.已知某晶体肖特基缺陷的形成能是1ev，问温度从T＝290K到T＝1000K时，肖特基缺陷增大多少倍？3.已知铜金属的密度为8.93g/cm3，原子量为63.54，它在1000K及700K时自扩散系数分别为1.65×10-11及3.43×10－15 cm2/s，又知空位邻近的原子跳入空位必须克服的势垒高度为0.8ev。
试求(1) 1000K及700K的铜金属中的空位浓度，(设自扩散完全由空位机制所引起)。
(2)已知形成一个填隙原子所需要的能量约为4ev，结算接近熔点1300K时填隙原子的浓度及空位的浓度。
4.求体心立方、面心立方六角密集三种晶体的伯格斯矢量的浓度和方向。
5.已知余误差函数erf(Z)在Z很小时，（Z<0.5）可以近似地写为erf(Z),现将一硅片置于1300 ℃的铝蒸汽中，使铝扩散进入硅片。
如果要求硅片距表面的0.01cm深处的浓度是表面浓度的35%,问扩散需多长的时间？铝在硅中的扩散系数由题图4－1给出。
第五章金属自由电子论1．电子在每边长为L的方盒子中运动，试用索末菲量子自由电子模型和周期性边界条件求出它的最低的四个能级的所有波函数，绘出这四个能级的能量和简并度<每个能级所具有的电子态总数称为这个能级的简并度。
2．限制在边长为二维正方行势阱中的N个自由电子，电子能量为（与第六章16题相同）试求：（1）能量从E＋dE之间的状态数;（2）T＝0时费米能量的表示式.3.试证元胞是正方形的二维晶格第一布里渊区顶角上的自由电子动能比区边中点处大一倍，对于简立方晶体，相应的倍数是多少？4.试估算在温度T时，金属中被热激发到达高能态的电子数目所占全部电子数的比例，5．证明费米能级E f处的电子态密度可以写为D（E）＝3N0/2E f,其中N0为价电子数。
6．已知银是单价金属，费米面近似为球形，银的密度ρm＝10.5×103kg .m-3原子量A＝107.87,电阻率在295K 时为1.61×10-8Ω·m ，在20K 时为0.0038×10-8Ω·m.,试计算（1）费米能，费米温度和费米速度；（2）费米球的半径和费米球的最大截面积；（3）室温下和绝对零度附近电子平均自由时间和平均自由程.7.已知锂的密度为0.534×103kg ·m -3,德拜温度为344k ，试求（1）室温下电子比热（2）在什么温度下电子比热和晶格比热有相同值？8.在低温下金属钾的摩尔比热的实验结果可写为C v ＝2.08T ＋2.57T 3 mJ/mol ·K若有一个摩尔钾有N v ＝6×1023个电子，试求钾的费米温度和德拜温度θD9．试用里查逊公式证明：两种金属的接触电势差V 1-V 2＝1/e （ΦⅠ－ΦⅡ）其中ΦⅠ、ΦⅡ分别为两种金属的功函数。
第六章 固体能带论1． 在最近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体S 能带（1） . 计算E s ～k →关系；（2） . 求能带宽度；（3） . 讨论在第一B ·Z 中心附近等能面的形状。
注：CosX=1－X 2/(2！) + X 4/(4！) －……2． 在最近邻近似下，用紧束缚近似导出面心立方晶体S 能带的E s (k →)，并计算能带宽度。
3．利用一维Bloch 电子模型证明：在布里渊区边界上，电子的能量取极值。
4．利用布洛赫定理，ψK (x+n α)=ψK (x)e ikna 的形式，针对一维周期势场中的电子波函数。
(1) ψK (x)=sinπax (2) ψK (x)＝icos 8a πx (3) ψK (x)=l =-∞∞∑f(x-la) (f 为某一确定函数)求电子在这些状态的波矢k(a 为晶格常数)5．已知一维晶体的电子能带可写成 E(k)=22ma(78－coska+18cos2ka) 其中a 为晶格常数，求（1）能带宽度；（2）电子在波矢k 状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。
6. 证明面心立方晶体S 电子能带E （k ）函数沿着布里渊区几个主要对称方向上可化为：(1) 沿ΓX （k y =k z =0, k x =2πδ／a ，０≤δ≤1）E=E s a －A －4B （1＋2cos δπ）(2) 沿ΓL （k x =k y =k z = 2πδ／a ，０≤δ≤1/2）E=E s a －A －12Bcos 2δπ(2) 沿ΓK （k z =0, k x = k y =2πδ／a ，０≤δ≤3/4）E=E s a －A －4B （cos 2δπ＋2cos δπ）(4) 沿ΓW （k z =0, k x =2πδ／a ，k y =πδ／a ，０≤δ≤1）E=E s a －A －4B （cos δπ× cos δπ/2－cos δπ－cos δπ/2）7． 一维晶格中波矢取值为n ·2 π/L ，证明单位长度的晶体中电子态密度为D(E)=2π dk dE8． 由索未菲自由电子模型，证明在k →空间费米球半径为：k f =(3π2n)1/3，其中n 为电子浓度。
9． 据上题，当电子浓度n 增大时，费米球膨胀。
证明当电子浓度n 与原子浓度n a 之比n n a=1.36时，费米球与fcc 第一布里渊区的边界接触。
10． 绝对温度T ≠0时，求含N 个电子的自由电子费米气系统的动能。
11．一个晶格常数为a 的二维正方晶格，求：（1）用紧束缚近似求S 能带表示式，能带顶及能带底的位置及能带宽度；（2）带底电子和带顶空穴的有效质量；（3）S 带电子的速度表示式。