直接积分法(课堂PPT)
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3
常用的隐式积分法
• 隐式积分归结为求解非线性方程组。但是 从计算效率考虑，在结构动力响应分析中 一般对它的计算过程加以修正提高计算收 敛性和效率，各种改进算法中Newmark β 法和Wilson θ法是结构振动响应分析中最常 用的两种方法。
4
5.2 Newmark β法
• Newmark β法是一种加速度法，它是根据 时间增量内假定的加速度变化规律计算结 构动力响应的方法。由于时间增量内加速 度变化规律的假定形式是任意的，因此 Newmark β法有多种形式的计算公式。为 了方便理解起见，以下通过几种特殊情况 的加速度算法来介绍Newmark β法。
Байду номын сангаас• 用显式积分法计算结构响应时，为了提高计算精 度，时间间隔Δt必须十分小，否则，随着计算步 数的增加，误差不断积累、出现发散的现象。
• 隐这种式算积法分由是于满函足数ti+fΔ包t时含刻未运知动的方结程构式响的应计，算因方此法，。 需它要是通一过 个反 非复 线迭 性代计的算方的法过计程算。ti+Δt时刻的响应，
第5章 直接积分法 最重要的分析方法（时程分析）
浙江大学 谢旭
1
5.1 概述
• 数值积分法是根据已知的位移、速度、加速度和荷 载条件，计算下一时刻振动响应的方法。
u
u i ui+1
O
ti ti1 t
2
显式积分、隐式积分
• 显计式算积方分 法是。在第i步计算中状态ti满足运动方程式的
ui1 ui Δ t f ti ,ui
28
τ θΔt
18
• 代入结构运力方程式 得到计算 tτ 时刻位移的方程组
19
• 得到位移后进一步得到t+τ加速度，然后内插 得到t+Δt加速度，进一步计算位移和速度。
当θ≧1.37时Wilsonθ法为无条件稳定的计算方法 20
wilsonθ法的计算过程
1. 计算常数
a0
6 τ2
a1
3 τ
a2 2a1
5
1. 线性加速度法 假定时刻ti到ti+1 (=ti+Δt)之间加速度 线性变化 对上式积分得到速度和位移响应：
6
• 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程： • 代入方程，得到ti+1时刻的加速度： • 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。
7
• Newmark β法有很多的表示形式，也可以 表示成直接计算位移的形式。与直接计算 加速度响应的计算方法相比，直接计算位 移响应的计算方法更加常用。关于直接计 算位移的方法后面再介绍。
15
Newmark β法计算过程
16
5.3 wilsonθ法
• 同Newmark β法一样，wilsonθ法也是结构振 动分析的常用计算方法之一。
• wilsonθ法的基本假定是在时间间隔θ Δt （θ≧1.0）内加速度响应线形变化 。
17
• 因此，在间隔内任意时刻τ的加速度根据线性内插 可以表示为： 对上式积分，得到速度和位移的计算式
8
2. 平均加速度法 假定加速度在ti- ti+1区间内为 平均值： 速度、位移为：
9
• 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程： • 得到ti+1时刻的加速度为： • 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。
10
3. Newmark β法统一的表达式
线性加速度结果
Δ t ti1 ti
11
平均加速度结果
a3
τ 2
a4
a0 θ
a5
a2 θ
a6
1
3 θ
a7
Δt 2
Δt2 a8 6
21
2. 等效刚度计算 K K a1C a0M
K K 3C 6 M τ τ2
22
3. 对每一时间步计算等效荷载增量
4. 解方程计算位移
utτ
K
F -1 tτ
23
5.计算时刻t+Δt的响应
24
用增量形式表示的Wilsonθ法
（推导省略）
增量方程
• 计算公式
K Δ utτ Δ Ft τ
25
• 得到 tτ 时刻的响应，
• 再转变成t+Δt的响应：
26
Wilsonθ法计算框图
• 与Newmark β法相似，不再重复。
27
直接积分法的补充说明
• 一种算法很难同时兼顾稳定性和精度，稳定与精度往往具 有相反的倾向，稳定性好的计算方法精度相对比较差一些。 一般而言，显式积分的稳定性差一些，而且时间间隔的取 值对计算稳定性的影响很大。
• 稳定性好的计算方法并不意味可以用任意大的时间步长 进行积分计算，无条件稳定的计算方法（比如Wilsonθ法） 虽然不会发生数学上的发散现象，但是容易出现早期结果 偏大、后期出现异常振动的计算结果，而且也有可能导致 高频振动的计算结果失真的现象，因此，这种算法一般不 太合适于带有冲击响应的结构计算。对于高次振动成分比 较重要的计算，用非常小的时间步长按显式积分较多。
统一表达式
β=1/6 为线性加速度 β=1/4 为平均加速度
12
用增量形式表示
振动方程 位移、速度和加速度增量
这里
13
• 根据上式，得到速度和加速度的增量 • 代入运动方程
14
Newmark β法的收敛性
• 可以证明， Newmark β法当β≥1/4时，
计算是无条件收敛的。
• Newmark β法是工程计算中最常用的方法，
常用的隐式积分法
• 隐式积分归结为求解非线性方程组。但是 从计算效率考虑，在结构动力响应分析中 一般对它的计算过程加以修正提高计算收 敛性和效率，各种改进算法中Newmark β 法和Wilson θ法是结构振动响应分析中最常 用的两种方法。
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5.2 Newmark β法
• Newmark β法是一种加速度法，它是根据 时间增量内假定的加速度变化规律计算结 构动力响应的方法。由于时间增量内加速 度变化规律的假定形式是任意的，因此 Newmark β法有多种形式的计算公式。为 了方便理解起见，以下通过几种特殊情况 的加速度算法来介绍Newmark β法。
Байду номын сангаас• 用显式积分法计算结构响应时，为了提高计算精 度，时间间隔Δt必须十分小，否则，随着计算步 数的增加，误差不断积累、出现发散的现象。
• 隐这种式算积法分由是于满函足数ti+fΔ包t时含刻未运知动的方结程构式响的应计，算因方此法，。 需它要是通一过 个反 非复 线迭 性代计的算方的法过计程算。ti+Δt时刻的响应，
第5章 直接积分法 最重要的分析方法（时程分析）
浙江大学 谢旭
1
5.1 概述
• 数值积分法是根据已知的位移、速度、加速度和荷 载条件，计算下一时刻振动响应的方法。
u
u i ui+1
O
ti ti1 t
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显式积分、隐式积分
• 显计式算积方分 法是。在第i步计算中状态ti满足运动方程式的
ui1 ui Δ t f ti ,ui
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τ θΔt
18
• 代入结构运力方程式 得到计算 tτ 时刻位移的方程组
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• 得到位移后进一步得到t+τ加速度，然后内插 得到t+Δt加速度，进一步计算位移和速度。
当θ≧1.37时Wilsonθ法为无条件稳定的计算方法 20
wilsonθ法的计算过程
1. 计算常数
a0
6 τ2
a1
3 τ
a2 2a1
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1. 线性加速度法 假定时刻ti到ti+1 (=ti+Δt)之间加速度 线性变化 对上式积分得到速度和位移响应：
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• 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程： • 代入方程，得到ti+1时刻的加速度： • 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。
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• Newmark β法有很多的表示形式，也可以 表示成直接计算位移的形式。与直接计算 加速度响应的计算方法相比，直接计算位 移响应的计算方法更加常用。关于直接计 算位移的方法后面再介绍。
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Newmark β法计算过程
16
5.3 wilsonθ法
• 同Newmark β法一样，wilsonθ法也是结构振 动分析的常用计算方法之一。
• wilsonθ法的基本假定是在时间间隔θ Δt （θ≧1.0）内加速度响应线形变化 。
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• 因此，在间隔内任意时刻τ的加速度根据线性内插 可以表示为： 对上式积分，得到速度和位移的计算式
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2. 平均加速度法 假定加速度在ti- ti+1区间内为 平均值： 速度、位移为：
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• 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程： • 得到ti+1时刻的加速度为： • 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。
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3. Newmark β法统一的表达式
线性加速度结果
Δ t ti1 ti
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平均加速度结果
a3
τ 2
a4
a0 θ
a5
a2 θ
a6
1
3 θ
a7
Δt 2
Δt2 a8 6
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2. 等效刚度计算 K K a1C a0M
K K 3C 6 M τ τ2
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3. 对每一时间步计算等效荷载增量
4. 解方程计算位移
utτ
K
F -1 tτ
23
5.计算时刻t+Δt的响应
24
用增量形式表示的Wilsonθ法
（推导省略）
增量方程
• 计算公式
K Δ utτ Δ Ft τ
25
• 得到 tτ 时刻的响应，
• 再转变成t+Δt的响应：
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Wilsonθ法计算框图
• 与Newmark β法相似，不再重复。
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直接积分法的补充说明
• 一种算法很难同时兼顾稳定性和精度，稳定与精度往往具 有相反的倾向，稳定性好的计算方法精度相对比较差一些。 一般而言，显式积分的稳定性差一些，而且时间间隔的取 值对计算稳定性的影响很大。
• 稳定性好的计算方法并不意味可以用任意大的时间步长 进行积分计算，无条件稳定的计算方法（比如Wilsonθ法） 虽然不会发生数学上的发散现象，但是容易出现早期结果 偏大、后期出现异常振动的计算结果，而且也有可能导致 高频振动的计算结果失真的现象，因此，这种算法一般不 太合适于带有冲击响应的结构计算。对于高次振动成分比 较重要的计算，用非常小的时间步长按显式积分较多。
统一表达式
β=1/6 为线性加速度 β=1/4 为平均加速度
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用增量形式表示
振动方程 位移、速度和加速度增量
这里
13
• 根据上式，得到速度和加速度的增量 • 代入运动方程
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Newmark β法的收敛性
• 可以证明， Newmark β法当β≥1/4时，
计算是无条件收敛的。
• Newmark β法是工程计算中最常用的方法，