直接积分法(课堂PPT)
不定积分的基本公式和直接积分法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
(6) csc2 xdx cot x C ((cot x) csc2 x)
5 反三角函数
(1)
dx arcsin x C arccos x C 1 x2
(arcsin x) 1 ,(arccos x) 1
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
(2) 2x (e x 1)dx 解： 2x (e x 1)dx (2e)x dx 2x dx
(2e)x 2x C (2e)x 2x C
ln(2e) ln 2
1 ln 2 ln 2
(3) x3 x 1dx x2 1
解：
x3 x2
x
1 x2
1 x2
dx
(2) 1 x2 arctan x C arc cot x C
(arctan
x)
1 1 x2
, (arc
cot
x)
1
1 x
2
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
阐明： x 0,
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 x
arctan
x
C.
例2 求下列不定积分
(1) sin2
xdx 2
(2)
cos 2x cos x sin
x
dx
解
(1)原式
1
cos 2
x
dx
1 2
(1 cos
3积分学-注册给排水考试公共基础课件
则
b
a
f
(
x
)dx
b
a g( x)dx
(a b)
（2）
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx
(a b)
性质6 设M 及m 分别是函数 f ( x)在区间[a, b]
上的最大值及最小值，
则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a).
性质7 (定积分中值定理)
解 xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x) f ( x)dx,
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
例7 计算 1 (x 4 x2 )2 dx 1 解：1 (x 4 x2 )2 dx 1
1 [x2 2x 4 x2 (4 x2 )]dx 1 1
4 dx 8 1
三、广义积分
(1)无穷限的广义积分
f ( x)dx
lim
a
0 a
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim c f ( x)dx lim b f ( x)dx
0 a
0 c
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
四、重积分（化为累次积分） 1.二重积分的性质
D f (x, y) d D (x, y) d
直接积分法PPT课件
第14页/共28页
Newmark β法计算过
程
第15页/共28页
5.3 wilsonθ法
• 同Newmark β法一样，wilsonθ法也是结构振动分析的常用计算方法之一。 • wilsonθ法的基本假定是在时间间隔θ Δt（θ≧1.0）内加速度响应线形变化 。
5.1 概述
• 数值积分法是根据已知的位移、速度、加速度和
荷载条件，计算下一时刻振动响应的方法。
u
u i ui+1
O
ti ti1 t
第1页/共28页
显式积分、隐式积分
•
显 式
式 的
积分是在第i步
计算方法。
计
算
中
状态ti
满足运动
方
程
ui1 ui Δ t f ti ,ui
• 用显式积分法计算结构响应时，为了提高计算
感谢您的观看！
第28页/共28页
第7页/共28页
2. 平均加速度法
假定加速度在ti- ti+1区间内
为平均值：
速度、位移为：
第8页/共28页
• 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程： • 得到ti+1时刻的加速度为： • 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。
第9页/共28页
3. Newmark β法统一的表达式
线性加速度结果
当θ≧1.37时Wilsonθ法为无条件稳定的计算方法
第19页/共28页
wilsonθ法的计算过程
1. 计算常数
a0
6 τ2
定积分的直接积分法
2
x
|dx
解
3 |
1
2
x
|dx
2 (2
1
x)dx
3
2
(
x
2)dx
(2x
x2 2
)
|2
1
x2 (
2
2x) |32
2 5 ( 3) 2 5 22
同学练习2
1．
已知
f
(x)
2x , 3x2
1,
x0
，
x0
2
求 f (x)dx ． 1
例8(*)
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
同学练习2
1.
lim
x
0
1
1 t
t
dt
x
x
2.
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
定积分的直接积分法
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
知识回顾 Knowledge Review
y
p( x)
oa x
bx
定理6.1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数
px
x
a
f
t dt
在 a, b 可导，
且 p'x f x a x b
基本积分公式(PPT课件)
Dr.Feng
一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
基本积分公式
1.1、积分法
x1 x xdx x1 C . ( 1)
1
1
启示: 能否根据求导公式得出积分公式？
结论: 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
此课件下载后可自行编辑修改 关注我 每天分享干货
基本积分公式
C
51
x 5
2
1
2
C
2 7
7
x2
C.
判断积分结果是否正确,只要对结果求导,看导数是否 等于被积函数,相等时,结果是正确的,否则是错误的。
验证：（2
7
x2
C）
5
x2
x2
x
7
说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系
基本积分公式
xdx
dx x
3x3dx d( )
dx
x2
du u
dx 2 x2
(4) a xdx a x / ln a C
2x dx x2dx e2xdx
基本积分公式
2.2、具体分项法 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分. ⑴ 利用乘除法分项
例1. 求 (2 x ) xdx 解：原积分= (2x x3 / 2 )dx
2xdx x3/ 2dx
基本积分公式
1
x
4
x
2
dx
x4 1
1 x2
1dx
(
x
2
1)dx
1
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
•复习1原函数的定艾。
2不定枳分的定艾。
3不定枳分的性质。
4不定枳分的几何意义。
•引入在不定枳分的定义、It质以及基本处直的基础上，我们进一步来讨论不定枳分的计偉冋趣，不定枳分的it算方法主耍有三种：有接枳分法、换元枳分法和分部枳分法。
・ »g»a第二节不定枳分的基本公式和运算頁接枳分法-基本枳分公式由干求不定枳分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式《］应地可以得到枳分的基2(secx/= secxtanx d(secx) = secAtairxz/v J sec x tan xdx = secx + C3(-csc.r^cscACOtx d(-cscx)=cscxcotxrfr ^cscxcotxdx = -cscx + C4 (arctan x)r = —1 + .Ld(arctan x) = —1 + x?Zv [ —dx = arc tan.v + C5 (arcsin xY =,丨= d( arcsin A*)=―.=■2 x/l+ .V2l.\ f 严1 .. dx = arcs in x +CJ vr+x2以上十五个公述是求不定枳分的U t t,恋须熟记，不仅要记右端的结果，连要熟悉左端被枳函数的的形式。
求因数的不定枳分的方法叫枳分法。
(2 ) j xjxdx此例表明，对某些分式或根式函数求不定枳分时，可先把它们化力x"的形氏，然后应用显函数的枳分公式求枳分。
二不定枳分的基本运算法则a«i两个因数代数和的枳分，等干各因数枳分的代数和，即J [/W 土g(x)肚=J/(A>/A± j g(x\LxSi 1对于有限多个函数的和也成立的.违则2被枳因数中不为零的常数因子可提到枳分号外，即J kf(x\l.x = kj* f(x\lx( " 0 )M 2 求J (2x' 4-1-e x }dx解J(2x3+\—e x)dx =21x3dx + jdx-j e x dx二—X” + x — 0' + C o例1 •求下列不定枳分.(1)ii貝中毎一項的不定枳分虽然都应当有一个枳分常数，但是逹里并不需要在毎一頂后面则上一个枳分常数，因为代意常釵之利if是任意常数，所以迪里只把它的和C写在末尾，以后仿此。
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of UndefinedIntegral and Direct Integral）课题：1.不定积分的基本公式2.不定积分的直接积分法课堂类型：讲授教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。
教学重点：不定积分的基本公式教学难点: 直接积分法教具：多媒体课件教学方法：教学内容：一、不定积分的基本公式由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。
二、不定积分的直接积分法利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。
例１ 求32x dx ⎰导数的基本公式 ()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x xxe e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分的基本公式 ()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x xxdx Cdx x Cx x dx C a e dx e C a a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例２求(23cos x x dx -+⎰ 解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例３ 求dx x x ⎰-23)1( 解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例５ 求2x x e dx ⎰解 ()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例６ 求2sin 2xdx ⎰ 解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例７ 求()221dxx x +⎰ 解()222211111x x x x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例８ 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时，物体经过的路程为3m ，求物体的运动方程。
基本积分公式和直接积分法
2
dx
x arctan x C
例3 计算 tan2 xdx 解 tan2 xdx (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx
tan x x C
例4
计算
cos2
x dx 2
解
cos2
x 2
dx
1
cos 2
x
dx
1 2
dx cosdx
1 ( x sin x) C
7
作业: 习题4.2
8
2
6
三、小结
1、基本积分公式 由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分
公式是与基本微分公式对应的积分公式。 在基本微分公式较熟 悉的前提下，基本积分公式是不难记住的。
2、直接积分法 用直接积分法求不定积分时，需先对被积函数作代数恒 等变形（如例1，例2等）或三角恒等变形（如例3，例4等）， 然后再利用不定积分的基本运算法则，化为能直接用基本积分 公式求不定积分的形式，而后求出积分。这里灵活地对被积函 数进行恒等变形是很重要的。
定理1 两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分 的代数和，即
[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
证 因为
f ( x)dx
g( x)dx
Байду номын сангаас
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x)
故由不定积分的定义即知定理1成立。类似地，可以证明
定理2 非零常数因子可以提到积分号前面，即
4.2 基本积分公式和直接积分法
主要内容: 1.基本积分公式 2.直接积分法
1
一、基本积分公式
1) 0dx C
3)
不定积分ppt课件
阅读页去广告
VIP有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。
多端互通
抽奖特权 福利特权
其他特 VIP专享精彩活动
权
VIP专属身份标识
VIP有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。 开通VIP后可以在VIP福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！ 开通VIP后可在VIP福利专区定期领取多种福利礼券。 开通VIP后可以享受不定期的VIP优惠活动，活动多多，优惠多多。
包权
人书友圈7.三端同步
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
直接积分法
直接积分法
直接积分法（Direct Integration）是一种使用无穷多项式（Infinite Series）作为求取积分的数学方法。
它在解决复杂积分方程时有着不可替代的优势。
这种方法的基础是多项式（Polynomial）展开定理，说明函数可以利用无穷多个项表达，而不需要考虑数学上的复杂推导。
例如，使用函数y=x^2的积分的话，将其平方展开后，得到的多项式结果形式为：y=1/3*x^3 + C。
这里的对应项就是一次多项式，求取某个范围内的积分只要求出两个多项式项之间的差值即可。
而采用直接积分方法求取积分时，首先需要将函数分解为无限多项式，即将函数平方展开，得到一系列项和系数，再把这些项应用到函数中进行积分，比如将求得函数积分后的项代入运算结果中。
该方法虽然能够有效求解复杂的积分方程，但也存在一些问题和局限性，比如一般情况下难以计算求取到的值的准确性，而且用时较长，因此并不能满足一些复杂的积分任务的要求。
因此，直接积分法虽然有其特殊优势，但也同样有一定的局限性，因此如何有效求解复杂的积分问题，仍有待进一步探索。
基本积分公式直接积分法29页PPT
基本积分公式直接积分法
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
Thank you
基本积分公式直接积分法
1 arctan x C x
“拆项” （2）（把分母分解因式后）按分母的因式拆项
课堂练习
习题3.2 1， 2（1）（3）（5）（7）（9）（11） 1．选择题： 3，4 （1）下列式子正确的是（ D ） ． P123
x x A． 2 dx 2 C
x x x x B． 2 e dx ( 2 dx )( e dx )
1
C
( 1)
( x) 1
( x )
1
1 x
x
2 x 1 2 x
x
1 d x 2 x C x
(a ) a ln a
特别地：
1 1 x2 d x x C 1 x x a d x a C ln a
(e ) e
1 x x 2 2 e C e C e
e 1 x dx 2 dx 2 e dx e e
x
x x 11 dx (11) 2 dx 2 x 1 x 1 1 dx 2 dx x arctan x C x 1
2 2
dy x 2 ，且 y x2 5 ，求函数 y ． 3．已知 dx
1 (ln x 1) x x
(ln x 1) 1 ln x
所以 x(ln x 1) 是 ln x 的一个原函数．
3.2.1
基本求导公式
基本积分公式
基本积分公式
C 0
( x ) x
特别地：
1
0d x C 1 x d x 1 x d x xC
（1）化 x 型
（4）三角恒等变形 （5）拆项：①假分式=整式+真分式 ②按分母的因式拆项
直接积分法
g
R
3 e ,g
′ ′ 式中： x ， y ， z 是场点的坐标； x′ e, g ， ye , g ， ze , g 为线积分时高斯点的坐标；
下标 e 是单元顺序号，下标 g 表示高斯点的顺序号； ne 是单元总数， n g 是一个标 准线单元上高斯点总数。 由函数插值公式得
τ e, g = ∑ N i ( ξg )τ m e ,i
ne
ng
( y − y′ ) e,g
g
R2 e , g ( z − ze′, g ) R 2 e, g
σe , g D e, g ]
1 4πε0
∑[∑ H g
σe, g De, g ]
′ x′ e , g = ∑ N i ( ξ g , ηg , ςg ) xn e, j
j =1
′ y′ e , g = ∑ N j (ξ g ,η g , ς g ) y ne , j
dx dξ dy dN1 dξ = dξ ξ g dz dξ
T
xe1 xe2 dN np . dN2 ... dξ ξ g dξ ξ g . . xen p
ye1 ye2 . . . y enp
1 Ey = 4πε0 Ez = 1 4πε0
∑ [∑ ∑ H
e=1 g 1 = 1 g2 =1 ne ng ng
ne
ng
ng
g1
Hg2
( y − ye′, g1, g2 ) R2 e, g1, g 2 (z − z′ e, g 1, g 2 ) R 2e , g1, g2
σe , g1, g 2De , g1, g2 ]
i =1
基本积分公式直接积分法共32页PPT
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•Hale Waihona Puke 10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
增量方程
• 计算公式
K Δ utτ Δ Ft τ
25
• 得到 tτ 时刻的响应，
• 再转变成t+Δt的响应：
26
Wilsonθ法计算框图
• 与Newmark β法相似，不再重复。
27
直接积分法的补充说明
• 一种算法很难同时兼顾稳定性和精度，稳定与精度往往具 有相反的倾向，稳定性好的计算方法精度相对比较差一些。 一般而言，显式积分的稳定性差一些，而且时间间隔的取 值对计算稳定性的影响很大。
a3
τ 2
a4
a0 θ
a5
a2 θ
a6
1
3 θ
a7
Δt 2
Δt2 a8 6
21
2. 等效刚度计算 K K a1C a0M
K K 3C 6 M τ τ2
22
3. 对每一时间步计算等效荷载增量
4. 解方程计算位移
utτ
K
F -1 tτ
23
5.计算时刻t+Δt的响应
24
用增量形式表示的Wilsonθ法
28
15
Newmark β法计算过程
16
5.3 wilsonθ法
• 同Newmark β法一样，wilsonθ法也是结构振 动分析的常用计算方法之一。
• wilsonθ法的基本假定是在时间间隔θ Δt （θ≧1.0）内加速度响应线形变化 。
17
• 因此，在间隔内任意时刻τ的加速度根据线性内插 可以表示为： 对上式积分，得到速度和位移的计算式
• 稳定性好的计算方法并不意味可以用任意大的时间步长 进行积分计算，无条件稳定的计算方法（比如Wilsonθ法） 虽然不会发生数学上的发散现象，但是容易出现早期结果 偏大、后期出现异常振动的计算结果，而且也有可能导致 高频振动的计算结果失真的现象，因此，这种算法一般不 太合适于带有冲击响应的结构计算。对于高次振动成分比 较重要的计算，用非常小的时间步长按显式积分较多。
8
2. 平均加速度法 假定加速度在ti- ti+1区间内为 平均值： 速度、位移为：
9
• 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程： • 得到ti+1时刻的加速度为： • 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。
10
3. Newmark β法统一的表达式
线性加速度结果
Δ t ti1 ti
11
平均加速度结果
5
1. 线性加速度法 假定时刻ti到ti+1 (=ti+Δt)之间加速度 线性变化 对上式积分得到速度和位移响应：
6
• 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程： • 代入方程，得到ti+1时刻的加速度： • 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。
7
• Newmark β法有很多的表示形式，也可以 表示成直接计算位移的形式。与直接计算 加速度响应的计算方法相比，直接计算位 移响应的计算方法更加常用。关于直接计 算位移的方法后面再介绍。
第5章 直接积分法 最重要的分析方法（时程分析）
浙江大学 谢旭
1
5.1 概述
• 数值积分法是根据已知的位移、速度、加速度和荷 载条件，计算下一时刻振动响应的方法。
u
u i ui+1
O
ti ti1 t
2
显式积分、隐式积分
• 显计式算积方分 法是。在第i步计算中状态ti满足运动方程式的
ui1 ui Δ t f ti ,ui
• 用显式积分法计算结构响应时，为了提高计算精 度，时间间隔Δt必须十分小，否则，随着计算步 数的增加，误差不断积累、出现发散的现象。
• 隐这种式算积法分由是于满函足数ti+fΔ包t时含刻未运知动的方结程构式响的应计，算因方此法，。 需它要是通一过 个反 非复 线迭 性代计的算方的法过计程算。ti+Δt时刻的响应，
3
常用的隐式积分法
• 隐式积分归结为求解非线性方程组。但是 从计算效率考虑，在结构动力响应分析中 一般对它的计算过程加以修正提高计算收 敛性和效率，各种改进算法中Newmark β 法和Wilson θ法是结构振动响应分析中最常 用的两种方法。
4
5.2 Newmark β法
• Newmark β法是一种加速度法，它是根据 时间增量内假定的加速度变化规律计算结 构动力响应的方法。由于时间增量内加速 度变化规律的假定形式是任意的，因此 Newmark β法有多种形式的计算公式。为 了方便理解起见，以下通过几种特殊情况 的加速度算法来介绍Newmark β法。
统一表达式
β=1/6 为线性加速度 β=1/4 为平均加速度
12
用增量形式表示
振动方程 位移、速度和加速度增量
这里
13
• 根据上式，得到速度和加速度的增量 • 代入运动方程
14
Newmark β法的收敛性
• 可以证明， Newmark β法当β≥1/4时，
计算是无条件收敛的。
• Newmark β法是工程计算中最常用的方法，
τ θΔt
18
• 代入结构运力方程式 得到计算 tτ 时刻位移的方程组
19
• 得到位移后进一步得到t+τ加速度，然后内插 得到t+Δt加速度，进一步计算位移和速度。
当θ≧1.37时Wilsonθ法为无条件稳定的计算方法 20
wilsonθ法的计算过程
1. 计算常数
a0
6 τ2
a1
3 τ
a2 2a1