比例边界等几何方法在断裂力学中的应用
边界元法在断裂力学中综述
边界元法在断裂力学中的研究综述摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。
本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。
关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法引言在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。
另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。
这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。
本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。
1．边界元法在断裂力学中研究现状断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（sif）。
应力强度因子(sif)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。
用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。
要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。
断裂力学理论及应用研究
断裂力学理论及应用研究断裂是指材料在外部加载下受到破坏产生裂纹或破片分离的物理过程，是所有材料科学中重要的研究领域之一。
断裂力学理论涉及力学、物理、化学等学科，是从宏观探讨结构构件断裂行为规律的一门学科。
本文主要从断裂力学理论的基本概念、发展历程、应用研究等方面进行探讨。
一、断裂力学理论的基本概念断裂力学理论的基本概念包括断裂韧性、应力场、应变场等。
1. 断裂韧性断裂韧性是材料断裂过程中抵抗裂纹扩展的能力。
对于材料强度越高的材料，其断裂韧性一般也越高。
一个材料的断裂韧性大小可以通过测量其断裂过程中断裂面上的裂纹扩展能量来确定。
当裂纹扩展时，其边缘会释放出能量，断裂韧性就是指在裂纹在材料中传播的过程中能够消耗这些能量的材料性质。
2. 应力场在载荷下，一个构件内的所有部分都会承受不同的应力。
应力场指的是构件内各点的应力分布状态。
应力场是描述材料内部应力状态的最基本模型。
例如，当一个材料受到拉压载荷时，其内部就会产生相应的拉伸和压缩应力。
3. 应变场应变是指材料受到外力后的形变程度，是衡量材料变形能力的重要指标。
与应力场类似，应变场指的是材料内部各点的应变状态。
例如，在机械制造过程中，材料会受到剪切应力，这会导致材料存在剪切应变。
二、断裂力学理论的发展历程断裂力学理论的发展历程可以简单划分为以下阶段：经验试验阶段、线弹性断裂力学阶段、实验与理论相结合阶段、转捩点理论阶段以及非线性断裂力学阶段。
1. 经验试验阶段经验试验阶段是断裂力学理论的雏形阶段。
在这个阶段，人们通过实验来探究材料的断裂行为，并总结出了一些经验规律。
例如，在实验中，人们发现时强度与应力之间成正比关系，这就为后来的弹性断裂力学理论的发展提供了依据。
2. 线弹性断裂力学阶段线弹性断裂力学阶段是断裂力学理论的基础阶段。
这个阶段出现了很多具有代表性的理论，例如弹性理论、能量释放率理论以及裂纹扩展跟踪技术等。
在这个阶段中，人们主要依靠线弹性理论来探究材料断裂规律。
应用断裂力学
应用断裂力学一、断裂力学的形成断裂力学是固体力学的一个新分支，它研究物体裂纹扩展的条件和规律，预测物体裂纹扩展的寿命。
断裂力学起源于对航空航天、能源、化工、机械和材料科学等领域中出现的脆性材料或构件的断裂问题进行研究而发展起来的。
断裂力学与材料力学、塑性力学、弹性力学等基本理论相互渗透，已逐渐形成了自己的体系。
二、断裂力学的基本内容断裂力学的基本内容包括裂纹的分类、裂纹的萌生和扩展机理、裂纹的宏观扩展阻力、材料抵抗裂纹扩展的能力等。
其中，对裂纹尖端的应力场和位移场的研究是研究断裂力学的重要手段。
1. 裂纹的分类根据裂纹的形状和扩展方向，可以将裂纹分为三种类型：张开型（Ⅰ型）、滑开型（Ⅱ型）和撕开型（Ⅲ型）。
这三种类型的裂纹在受力时，裂纹尖端附近的应力场和位移场有明显的不同。
2. 裂纹的萌生和扩展机理在材料或构件受力时，裂纹会在材料的缺陷或应力集中处萌生。
当受力超过某一临界值时，裂纹将迅速扩展，直至构件断裂。
为了预测材料的断裂寿命，需要研究裂纹的萌生和扩展机理。
3. 裂纹的宏观扩展阻力当裂纹扩展时，会受到材料内部和外部阻力（如其他材料的摩擦力、外部施加的载荷等）的作用。
这些阻力将阻止裂纹的扩展，使裂纹扩展的速度逐渐减缓。
研究这些阻力对预测材料的断裂寿命具有重要意义。
4. 材料抵抗裂纹扩展的能力材料抵抗裂纹扩展的能力是其抵抗外力作用的固有属性，主要取决于材料的成分、显微组织、热处理状态和工作环境等。
这种能力可以通过实验进行测定，如通过测定材料的韧性、强度等指标来评估其抵抗裂纹扩展的能力。
三、断裂力学的应用断裂力学在许多领域中得到了广泛的应用，包括航空航天、能源、化工、机械和材料科学等。
以下是一些具体的实例：1. 航空航天领域：飞机和航天器的结构和零部件在制造和使用过程中可能会产生裂纹，这些裂纹可能会导致灾难性的后果。
应用断裂力学可以预测和防止这些裂纹的产生和发展，提高航空航天器的安全性和可靠性。
2. 能源领域：在石油和天然气开采中，管道和储罐可能会因为受到内部压力和其他因素的影响而发生破裂。
断裂力学及其工程应用
断裂力学及其工程应用概述断裂力学是研究材料在外界加载下发生断裂的力学学科，它研究材料的断裂机理、断裂过程以及预测和评估断裂行为。
在工程应用方面，断裂力学为我们提供了对结构材料的强度和可靠性进行评估的依据。
断裂理论基础断裂分类1.脆性断裂：材料在加载情况下突然断裂，没有明显的塑性变形。
2.韧性断裂：材料在加载情况下发生明显的塑性变形后才发生断裂。
断裂模式1.剪切断裂：沿一个平面发生剪切破坏。
2.弯曲断裂：材料在受到弯曲力作用下发生断裂。
3.拉伸断裂：材料在受到拉力作用下发生断裂。
断裂力学的应用断裂评估断裂力学可以用于评估材料的强度和可靠性，为工程结构的设计提供依据。
通过对材料的本构关系、断裂韧度等参数的计算和预测，可以预防工程结构的断裂失效。
断裂预测断裂力学可以通过对材料的试验研究和模型建立，预测材料在不同加载情况下的断裂性能。
这对于材料选择、设计优化以及工程结构的安全性评估非常重要。
断裂控制利用断裂力学的理论和方法，可以通过控制和改善材料的断裂性能，提高工程结构的抗断裂能力。
例如，在航空航天工程中，采用了各种断裂控制技术来提升飞机的安全性能。
断裂分析通过断裂力学的分析方法，可以对已发生断裂的材料进行破坏模式分析和失效原因分析。
这有助于我们总结经验教训，改进设计和制造工艺，减少事故的发生。
断裂力学研究的挑战断裂力学的研究面临着许多挑战，其中主要包括以下几个方面： 1. 多尺度效应：材料的断裂行为在不同尺度下表现出不同的特性，从宏观到微观的转换是一个难点。
2. 多物理场耦合：许多工程应用中，断裂问题往往与温度、湿度、电磁场等物理场耦合，这给研究带来了复杂性。
3. 断裂预测精度：目前断裂力学的预测精度仍有待提高，特别是在复杂载荷和多尺度情况下。
结语断裂力学是一个综合性学科，它对材料的强度和可靠性评估以及工程结构的设计和安全性评估起着重要作用。
尽管面临许多挑战，但随着科学技术的不断进步，断裂力学将在未来发挥更重要的作用，并为工程领域的发展做出更大贡献。
理论与应用断裂力学
理论与应用断裂力学断裂力学是材料力学中的一个重要分支，研究的是材料在受到外力作用下发生断裂的机理、规律和行为。
它在工程设计和实际应用中具有广泛的应用价值。
本文将介绍断裂力学的基本理论和应用。
断裂力学的基本理论主要包括线弹性断裂力学和非线性断裂力学两个方面。
线弹性断裂力学主要研究在小应变范围内材料的断裂行为，采用线弹性模型描述材料的应力-应变关系，并以弹性应变能作为断裂的判据。
非线性断裂力学主要研究在大应变范围内材料的断裂行为，考虑到材料的非线性本质，采用塑性断裂模型描述材料的应力-应变关系，并以应变能释放率或塑性延伸度作为断裂的判据。
断裂力学的理论基础主要有劲度法、能量法和应力场理论。
断裂力学的应用范围非常广泛。
在工程设计中，断裂力学可以帮助工程师预测和避免材料的断裂失效，提高工程结构的安全性和可靠性。
在航空航天领域，工程师可以利用断裂力学的知识来设计飞机机身和发动机零件的结构，以确保它们在极端工作条件下不会发生断裂失效。
在建筑领域，断裂力学可以帮助工程师设计和评估混凝土、钢结构等材料的断裂行为，确保建筑物的安全性和稳定性。
在材料科学和材料研究领域，断裂力学可以帮助科学家研究和了解材料的断裂机理和性能。
通过对材料的断裂行为进行实验和数值模拟，科学家可以得到材料的断裂韧性、断裂强度等参数，从而为新材料的设计和应用提供理论依据。
断裂力学还可以应用于材料的断裂评价和标准制定，为不同材料的选择和使用提供科学参考。
除了在工程设计和材料科学中的应用，断裂力学在地质学、地震学等领域也具有重要的应用价值。
地震断裂力学研究地壳中断裂带的形成和演化，可以为地震活动的预测和防灾减灾提供理论支持。
断裂力学还可以应用于地下水资源开发和油气勘探等领域，研究地下水和油气管道在断裂带中的运动和扩散规律，为资源开发和环境保护提供科学依据。
断裂力学是材料力学中一个重要的研究领域，它的理论基础和应用价值都非常广泛。
通过研究断裂力学，可以提高工程结构的安全性和可靠性，实现材料的高性能和可持续发展。
断裂力学及其工程应用
断裂力学是研究材料在受到外界作用下发生断裂的力学行为的学科，它主要关注材料在断裂过程中的应力和应变分布，以及断裂前后的变形和破坏机制。
断裂力学在工程领域有着广泛的应用，涉及到材料选择、结构设计、事故分析等方面。
一、应用背景 1. 材料选择：在工程设计中，需要根据不同工况下材料的抗拉强度、韧性等断裂性能指标来选择合适的材料。
断裂力学提供了一种评估材料断裂性能的方法，可以帮助工程师选择最合适的材料。
2.结构设计：在结构设计中，需要考虑结构的稳定性和安全性。
断裂力学可以通过分析结构中可能出现的缺陷、接缝等问题，预测结构在受到外界作用时是否会发生断裂，并提供相应的改进措施。
3.事故分析：当工程事故发生时，需要对事故原因进行分析和评估。
断裂力学可以通过对事故现场进行调查和实验研究，分析事故发生的断裂机制，为事故原因的查找提供科学依据。
二、应用过程 1. 断裂试验：断裂试验是断裂力学研究的基础，通过对材料进行拉伸、剪切等试验，获得材料在不同应力条件下的断裂性能参数。
试验结果可以用来验证理论模型和计算方法的准确性。
2.数值模拟：断裂力学可以通过建立数值模型，利用有限元分析等方法对结构在受力过程中的应力和应变进行计算。
通过数值模拟可以预测结构在不同工况下的破坏形态和破坏位置，为结构设计提供指导。
3.疲劳分析：疲劳是一种常见的结构失效形式，它与材料的断裂性能密切相关。
断裂力学可以通过分析材料在循环加载下的断裂行为，预测结构在长期使用过程中可能出现的疲劳破坏问题，并提出相应的改进措施。
三、应用效果 1. 提高结构安全性：通过断裂力学分析，可以预测结构在受到外界作用时是否会发生断裂，并提供相应的改进措施。
这样可以避免结构在使用过程中发生意外事故，提高结构的安全性。
2.优化材料选择：断裂力学可以评估材料的断裂性能，帮助工程师选择最合适的材料。
选用具有良好断裂性能的材料可以延长结构的使用寿命，减少维修和更换成本。
3.加速设计过程：通过数值模拟和试验验证，断裂力学可以快速评估不同结构方案的可行性，加速设计过程。
应用断裂力学理论分析金属切削过程中的刀具断裂问题
应用断裂力学理论分析金属切削过程中的刀具断裂问题在金属切削过程中，刀具的断裂问题是制约切削效率和加工质量的重要因素之一。
应用断裂力学理论对刀具断裂问题进行分析，可以帮助我们更好地理解切削过程中刀具断裂的原因和机理，从而采取相应的措施来解决这一问题。
首先，刀具断裂的原因可以归结为外力作用和材料内部缺陷两个方面。
外力作用包括切削压力、切削热等，这些外力作用会导致刀具产生应力集中，从而导致刀具的断裂。
材料内部缺陷包括晶体结构、气孔、夹杂物等，这些缺陷会降低刀具的强度和韧性，增加其断裂风险。
其次，断裂力学理论可以为我们提供刀具断裂的分析方法。
断裂力学理论主要包括线性弹性断裂力学、线性弹塑性断裂力学和非线性断裂力学等。
其中，线性弹性断裂力学适用于判断刀具的静态断裂问题，而线性弹塑性断裂力学和非线性断裂力学适用于分析刀具的动态断裂问题。
对于静态断裂问题，可以利用线性弹性断裂力学理论来分析刀具的破坏韧性。
破坏韧性是刀具材料抵抗断裂的能力，通常用断裂韧性指标来表示，如KIC值和GIc值。
这些指标可以通过断裂试验来测定，然后与切削过程中的应力集中区域进行对比，从而预测刀具是否会发生静态断裂。
而对于动态断裂问题，需要考虑切削过程中的载荷速率和温度变化等因素。
可以利用线性弹塑性断裂力学理论和非线性断裂力学理论来分析刀具在动态载荷下的破坏行为。
具体分析过程可以采用有限元模拟方法，通过建立准确的刀具模型和加载条件，预测刀具的动态断裂风险。
除了分析刀具断裂的原因和机理，断裂力学理论还可以指导我们采取相应的措施来解决刀具断裂问题。
例如，在刀具设计过程中，可以选择具有较高强度和韧性的材料，以提高刀具的抗断裂能力。
此外，合理的刀具几何形状和刀具刃磨工艺也可以减少切削过程中的应力集中和刀具磨损，从而延长刀具的使用寿命。
总之，应用断裂力学理论分析金属切削过程中的刀具断裂问题，可以帮助我们更好地理解刀具断裂的原因和机理，并采取相应的措施来解决这一问题。
理论与应用断裂力学
理论与应用断裂力学断裂力学是材料力学的一个重要分支，研究材料在受力作用下发生破裂或断裂的行为。
断裂力学的理论和应用对于工程材料的设计、加工和使用具有重要意义，能够帮助工程师和科学家更好地理解材料的破裂行为，并提出相应的改进方案。
本文将从理论和应用两个方面探讨断裂力学的重要性和影响。
一、理论断裂力学理论断裂力学是对材料在受力条件下破裂行为进行理论分析和建模的学科。
在断裂力学领域，最著名的理论之一就是弹性断裂力学，它是材料断裂力学研究的基础和核心。
1. 弹性断裂力学的基本理论在弹性断裂力学理论中，研究了材料在受外力作用下的应力和应变分布规律，以及断裂的准则和模型。
应力集中的分析是弹性断裂力学的重要内容之一。
当材料受到外力作用时，往往会在应力集中处产生裂纹或者断裂，因此需要对应力集中进行深入的研究和分析。
断裂形式也是弹性断裂力学关注的重点之一。
材料的断裂形式多种多样，常见的有拉伸断裂、剪切断裂、冲击断裂等。
对不同断裂形式的分析有助于了解材料在不同受力条件下的断裂行为。
2. 断裂准则和模型在弹性断裂力学理论中，还提出了一些断裂准则和模型，用于预测材料的破裂行为。
常见的断裂准则有最大应力准则、最大应变能准则等，它们能够帮助工程师在设计材料结构时预测和避免破裂的发生。
断裂力学还衍生出了一些断裂模型，如线弹性断裂力学模型、非线弹性断裂力学模型等，这些模型可以更加准确地描述材料在受力下的断裂行为，为工程实践提供了重要的参考。
应用断裂力学是将断裂力学的理论知识应用于工程实践中，通过分析和改进材料结构来提高材料的抗断裂能力，进而提高工程结构的安全性和可靠性。
1. 材料的选择和设计在工程设计中，经常需要根据实际的工作条件和要求选择合适的材料。
断裂力学的知识可以帮助工程师理解材料的断裂行为和特性，从而选择合适的材料来确保工程结构的安全性。
应用断裂力学的知识还可以指导工程师设计和改进材料结构，提高材料的抗断裂能力。
在设计复合材料结构时，需要考虑不同层间材料的粘合性和断裂行为，这就需要应用断裂力学的知识来指导材料结构的设计和改进。
断裂力学的发展及应用
断裂力学的发展及应用断裂力学是研究材料或结构在受到外力作用下发生断裂的科学学科。
它在材料科学、工程力学、机械工程、航空航天工程等领域得到了广泛应用。
本文将从断裂力学的发展历程、理论基础和应用领域等方面进行阐述。
断裂力学的发展可以追溯到19世纪60年代的英国。
当时，材料的断裂行为被认为是不可控的，因此无法进行可靠的工程设计和分析。
然而，随着强度学说的发展和研究方法技术的进步，人们开始关注材料的断裂现象，并逐渐形成了断裂力学的理论框架。
断裂力学的理论基础主要有线弹性断裂力学和粘弹性断裂力学两个方面。
线弹性断裂力学主要研究刚性材料的断裂行为，在应力达到材料的破坏强度时，材料会发生断裂现象。
粘弹性断裂力学则是研究粘弹性材料在外力作用下的破坏行为，强调材料的时间依赖性。
断裂力学的应用十分广泛。
首先，在材料科学领域，断裂力学的研究可以帮助科学家、工程师更好地理解材料的断裂机制、破坏过程和破坏特征，为新材料的开发和设计提供理论指导。
例如，在航空航天工程中，断裂力学可以用于研究飞机结构的疲劳寿命和断裂危险性，以确保飞机的安全飞行。
其次，断裂力学对工程力学领域也有着重要的意义。
通过引入断裂力学，可以对工程结构和构件的破坏行为进行预测和分析，从而提高结构的安全性和可靠性。
例如，在建筑工程中，通过断裂力学可以研究混凝土、钢筋等材料的断裂行为，为建筑物的设计和施工提供技术支持。
此外，断裂力学还被广泛应用于汽车工程、机械工程、电子工程等领域。
在汽车工程中，断裂力学可以用于研究汽车材料的断裂特性和疲劳寿命，为汽车的制造和安全性评估提供依据。
在机械工程中，断裂力学可以用于分析和优化机械零件的设计，提高机械设备的使用寿命和可靠性。
在电子工程中，断裂力学可以研究材料的可靠性和耐久性，提高电子设备的性能和稳定性。
总之，断裂力学的发展及应用不仅推动了材料科学、工程力学等学科的进步，也在各个领域为科学研究和工程设计提供了理论基础和实际指导。
边界元法在断裂力学数值计算中的应用研究
边界元法在断裂力学数值计算中的应用研究边界元法是一种适用于边界条件已知的问题求解的数值计算方法。
它将问题的解表示为边界上的函数，并通过边界积分方程求解问题。
在断裂力学数值计算中，边界元法被广泛应用于求解裂纹问题、断层力学问题、地质应力场和地质物理场问题等。
边界元法在裂纹问题中的应用主要包括：求解裂纹大小、裂纹扩展路径和应力强度因子等。
对于单裂纹问题，采用边界元法可以得到较精确的解析解，同时也可以对多裂纹问题进行数值求解。
在应力场中，边界元法可用于计算裂纹尖端处的应力强度因子，用于分析裂纹扩展的趋势和影响因素。
在断层力学问题中，边界元法可用于分析断层面应力场分布、应力强度因子以及滑动分布等。
这些信息有助于了解可能发生的地震活动，对地震危险度评估和预测具有重要意义。
在地质应力场和地质物理场问题中，边界元法的应用主要涉及到地质体（如岩体）内部的应力场分布和变化、岩石的压缩性质以及油气藏中的流体分布等。
这些问题都是地质学和工程力学领域的重要问题，在研究中得到了广泛的应用。
总之，边界元法在断裂力学数值计算中的应用非常广泛，具有较高的准确性和精度。
随着计算机技术的不断发展和完善，边界元法在该领域的应用将会变得更加普遍和重要。
材料力学中的断裂韧性研究
材料力学中的断裂韧性研究材料力学是研究物质的性质和力学行为的学科，而断裂韧性则是材料在断裂过程中所能吸收的能量的度量。
在材料科学和工程中，断裂韧性是一个关键的性能指标，它对于材料的使用和应用具有重要的意义。
本文将探讨材料力学中的断裂韧性研究，并介绍一些相关的实验方法和应用。
断裂是材料在受力作用下发生破坏的过程。
在工程领域中，材料的断裂可能引发严重的事故和损失。
因此，研究材料的断裂行为以及评估其断裂韧性具有重要的工程背景和应用价值。
断裂韧性常常通过断裂韧度（fracture toughness）来度量。
断裂韧度可以由KIC、GIC等参数来表示。
KIC是指应力强度因子，即在压裂或屈服前，材料的最大应力因子。
而GIC是指断裂能量耗散率，即材料在单位面积上承受的能量消耗。
在断裂韧性研究中，有很多实验方法可以用来评估材料的断裂性能。
其中最常见的是张开模型实验（Opening Mode Experiment）。
这种实验方法通过施加张开力来产生断裂，在此过程中测量断裂前后的延伸长度，并计算断裂韧度。
另外，还有剪切模型实验（Shear Mode Experiment）、剥离模型实验（Peel Mode Experiment）等多种实验方法可用于研究材料的断裂性能。
这些不同的实验方法可以使研究者更全面地了解材料在不同载荷情况下的断裂行为和韧性。
断裂韧性的研究不仅适用于金属材料，也适用于陶瓷、复合材料等其他类型的材料。
例如，陶瓷材料在高温高应力下容易发生断裂。
因此，研究陶瓷材料的断裂行为和韧性对于提高其使用性能和安全性至关重要。
除了实验方法外，数值模拟方法也被广泛应用于断裂韧性研究。
通过建立合适的断裂力学模型和材料参数，可以在计算机上模拟材料断裂过程，并计算其断裂韧度。
这种数值模拟方法具有成本低、效率高和可重复性好等优点，为断裂韧性的研究提供了一种有效的手段。
断裂韧性的研究对于材料工程和结构设计具有重要的指导意义。
断裂力学基础理论与应用
断裂力学基础理论与应用断裂力学是力学中的一个重要分支，涉及到材料断裂的原因、机制以及如何预测和控制断裂行为。
本文将介绍断裂力学的基础理论和其在工程实践中的应用。
一、断裂力学的基础理论1. 断裂力学的研究对象断裂力学主要研究材料在外部加载下的断裂行为。
材料的断裂可以是由于外力作用下的应力超过了其所能承受的极限而导致的材料失效，也可以是由于材料内部存在的缺陷而导致的断裂。
2. 断裂力学的基本概念在断裂力学中，有几个基本概念需要了解。
首先是应力强度因子（stress intensity factor），它描述了在断裂前端的应力场。
其次是断裂韧性（fracture toughness），用于评估材料的抗断裂性能。
最后是断裂韧性的测量方法，如致裂韧性法（the J-integral method）和能量法（the energy method）等。
3. 断裂力学的理论模型为了描述材料的断裂行为，断裂力学采用了几种力学模型。
弹性断裂力学模型适用于弹性材料的断裂分析，而弹塑性断裂力学模型适用于弹塑性材料的断裂分析。
此外，还有一些其他的断裂模型，如脆性断裂模型、粘弹性断裂模型等。
二、断裂力学的应用1. 结构设计中的断裂力学断裂力学在结构设计中具有广泛的应用。
通过运用断裂力学的理论和方法，可以预测和评估结构在承受外部荷载时的断裂行为，为结构设计提供科学依据。
例如，在飞机、桥梁和船舶等的设计中，需要考虑材料的断裂性能，以确保结构的安全可靠性。
2. 材料评估与选用中的断裂力学在材料评估与选用中，断裂力学也发挥着重要的作用。
通过测定材料的断裂韧性指标，可以评估材料的抗断裂性能，为工程项目的材料选用提供参考。
例如，在核电站和航天器材料的选用过程中，需要考虑材料的断裂特性，以满足严格的安全性要求。
3. 断裂失效分析与预测断裂失效分析与预测是断裂力学的一项重要应用。
通过结合材料的断裂力学特性和结构的外部荷载，可以预测材料和结构在使用过程中可能出现的断裂失效。
工程力学中如何进行断裂力学分析？
工程力学中如何进行断裂力学分析？在工程力学的广袤领域中，断裂力学作为一个关键的分支，对于保障工程结构的安全性和可靠性具有举足轻重的作用。
那么，究竟如何在工程力学中进行有效的断裂力学分析呢？首先，我们需要明白断裂力学的基本概念。
断裂力学主要研究的是含裂纹或者缺陷的物体在各种载荷作用下的裂纹扩展规律以及裂纹扩展到什么程度会导致物体的断裂失效。
简单来说，就是要搞清楚裂纹是怎么“生长”的，以及什么时候会造成大问题。
在进行断裂力学分析之前，第一步是要对所研究的结构进行详细的了解。
这包括材料的性质，比如强度、韧性、硬度等；结构的几何形状，比如尺寸、形状、厚度等；还有所承受的载荷类型和大小，是拉伸、压缩、弯曲，还是多种载荷的组合。
接下来，就是选择合适的断裂力学理论和方法。
常见的断裂力学理论有线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学和脆性断裂力学等。
线弹性断裂力学适用于材料在裂纹尖端附近处于小范围屈服的情况，通过应力强度因子来判断裂纹是否扩展。
而弹塑性断裂力学则用于处理裂纹尖端出现较大范围塑性变形的情况，常用的参数有 J 积分和裂纹尖端张开位移（CTOD）。
脆性断裂力学则主要针对那些在低应力下就容易发生脆性断裂的材料和结构。
在实际分析中，还需要确定裂纹的类型和位置。
裂纹可以分为表面裂纹、内部裂纹、贯穿裂纹等。
不同类型的裂纹其扩展规律和对结构的影响也有所不同。
确定裂纹位置则需要借助各种无损检测技术，如超声检测、磁粉检测、射线检测等，以准确获取裂纹的信息。
有了前面的基础，就可以进行具体的力学计算了。
以线弹性断裂力学为例，计算应力强度因子是关键。
这可以通过解析方法、数值方法或者实验方法来得到。
解析方法通常适用于简单几何形状和载荷条件的结构；数值方法，如有限元法，则能够处理复杂的结构和载荷情况；实验方法则可以直接测量得到应力强度因子，但往往成本较高且操作复杂。
除了计算，实验研究在断裂力学分析中也不可或缺。
通过实验，可以获得材料的断裂韧性等关键参数，验证理论分析的结果，还能观察裂纹的扩展过程和断裂模式。
断裂力学概述及其应用
断裂力学概述及应用定义：断裂力学(fracture mechanics) 是为解决机械结构断裂问题而发展起来的力学分支，它将力学、物理学、材料学以及数学、工程科学紧密结合，是一门涉及多学科专业的力学专业课程。
起源：1957年，美国科学家G.R.Irwin提出应力强度因子的概念, 线弹性断裂理论的重大突破，应力强度因子理论作为断裂力学的最初分支——线弹性断裂力学建立起来。
发展：现代断裂理论大约是在1948—1957年间形成，它是在当时生产实践问题的强烈推动下，在经典Griffith理论的基础上发展起来的，上世纪60年代是其大发展时期。
我国断裂力学工作起步至少比国外晚了20年，直到上世纪70年代，断裂力学才广泛引入我国，一些单位和科技工作者逐步开展了断裂力学的研究和应用工作。
从上世纪五十年代中期以来，断裂力学发展很快，目前线性理论部分已比较成熟，在工程方面，已广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机械、化工和地质等许多领域。
分类：断裂力学的类型分为：线性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学。
研究的内容包括了：裂纹的起裂条件、裂纹在外部载荷和（或）其他因素作用下的扩展过程、裂纹扩展到什么程度物体会发生断裂。
1.线性断裂力学:应用线弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断裂准则。
1921年格里菲斯通过分析材料的低应力脆断，提出裂纹失稳扩展准则格里菲斯准则。
1957年G.R.欧文通过分析裂纹尖端附近的应力场，提出应力强度因子的概念，建立了以应力强度因子为参量的裂纹扩展准则。
线弹性断裂力学可用来解决脆性材料的平面应变断裂问题，适用于大型构件（如发电机转子、较大的接头、车轴等）和脆性材料的断裂分析。
实际上，裂纹尖端附近总是存在塑性区，若塑性区很小（如远小于裂纹长度），则可采用线弹性断裂力学方法进行分析。
2.弹塑性断裂力学：应用弹性力学、塑性力学研究物体裂纹扩展规律和断裂准则，适用于裂纹体内裂纹尖端附近有较大范围塑性区的情况。
用边界轮廓法求解断裂力学L积分
收稿日期:1998-01-21第一作者 男 1966年10月生 硕士学位 讲师用边界轮廓法求解断裂力学L 积分陈颂英 唐委校 冷 霞 郑 雯(山东工业大学化工系,济南,250061)摘 要 证明断裂力学L 积分方程的被积函数的散度等于零,将面积分转化为线积分,使求解问题的维数降低两维。
利用边界轮廓法的结果,使平面断裂问题L 积分的求解转化为边界点的位移和面力线性迭加,避免了求解数值积分。
关键词 断裂力学;边界元法;L 积分中图分类号 T V 313L 积分作为断裂力学的不变积分之一,体现了断裂力学的能量守恒定律,描述了裂纹尖端应力奇异性的不变特性,积分回路中只要包含裂纹尖端的应力奇异性,其值均与路径无关。
Rice [1]将其解释为绕坐标轴转动时的能量释放率,H emnann [2]给出了在特定条件下,L 积分与J 2积分的关系式,Sun Shux un [3]推导了L 积分的守恒性。
目前,关于L 积分研究的文献报导还较少,尚未涉及其计算问题。
本文推证L 积分方程的被积函数的散度等于零,将被积函数表达为某一矢量场的旋度,再代入积分方程中,应用Stokes 公式,将平面断裂问题的L 积分转化为边界点积分势函数的点值计算,从而使求解问题的维数降低两维。
利用陈颂英[4]所建立的边界轮廓法的结果,将L 积分的计算转化为已求得的边界点的位移和面力的代数和,避免了求解奇异积分。
文中给出平面问题的算例。
1 边界轮廓法传统的无体力边界积分方程[5]为:C ik (P )u i (P)=Q 5B U i k (P ,Q )R ij (Q)-E ijk (P ,Q )u i (Q ac)e j #dS (1) 式中C ik 为角张量,P 为源点,Q 为场点,u i 和R ij 分别为位移和应力分量,e j 为Cartesian 单位矢量,5B 为弹性体边界,dS 为边界变元矢量,U ik 和E ij k 为Kelvin 核函数。
如何在工程力学中进行断裂力学模拟？
如何在工程力学中进行断裂力学模拟？在工程力学领域，断裂力学模拟是一项至关重要的技术，它帮助工程师和研究人员更好地理解和预测材料及结构在受力情况下的断裂行为。
这对于确保工程结构的安全性、可靠性以及优化设计具有不可估量的价值。
首先，我们需要明确断裂力学的基本概念。
断裂力学主要研究含有裂纹或缺陷的材料和结构的强度与寿命。
裂纹的存在会显著影响材料的力学性能，而断裂力学就是要揭示这种影响的规律。
在进行断裂力学模拟之前，第一步是要对所研究的对象进行详细的几何建模。
这意味着要准确地描绘出结构的形状、尺寸以及裂纹的位置、形状和大小。
对于简单的几何形状，可以使用常见的 CAD 软件来创建模型。
但对于复杂的结构，可能需要借助更专业的建模工具或采用数值建模方法。
模型建立好后，接下来需要选择合适的材料本构关系。
这就好比为材料赋予“性格”，描述它在不同应力状态下的响应。
常见的材料本构模型包括线弹性、弹塑性、粘弹性等。
选择哪种模型取决于材料的性质和实际的受力情况。
确定了材料模型，就该选择合适的断裂准则了。
断裂准则用于判断裂纹是否会扩展以及何时扩展。
常见的断裂准则有应力强度因子准则、能量释放率准则等。
不同的准则适用于不同的情况，需要根据具体问题进行选择。
有了前面的准备工作，就可以选择适当的数值方法来进行模拟计算。
有限元法是目前在断裂力学模拟中应用最为广泛的一种方法。
它将连续的物体离散化为有限个单元，通过求解每个单元的力学平衡方程，得到整个结构的力学响应。
在有限元模拟中，网格的划分至关重要。
对于包含裂纹的区域，通常需要加密网格以提高计算精度。
同时，要注意网格的质量，避免出现畸形单元，以免影响计算结果的准确性。
加载条件的设定也是模拟中的关键环节。
要根据实际情况合理地施加力、位移或其他载荷。
加载的方式和大小直接影响到结构的应力分布和裂纹的扩展行为。
模拟计算完成后，对结果的分析和解读同样重要。
我们需要关注应力分布、应变分布、裂纹扩展路径等关键信息。
材料断裂力学的新发现与应用
材料断裂力学的新发现与应用材料断裂力学是研究材料在外部加载下发生断裂的学科，对于工程设计、材料开发和结构维护具有重要意义。
近年来，随着科学技术的不断发展，材料断裂力学领域也取得了一些新的发现和有益的应用。
本文将介绍其中的一些新发现并探讨其在工程领域的应用。
一、新发现：多尺度模拟方法材料的断裂行为受到多个尺度因素的影响，传统的连续介质力学模型无法完全描述材料的断裂行为。
近年来，研究人员开发了一种多尺度模拟方法，能够将微观尺度的材料结构信息与宏观断裂行为联系起来。
该方法通过耦合原子层、晶体层和组织层的模拟，能够更准确地预测材料的断裂机制和强度。
二、新发现：先进材料的断裂行为先进材料，如复合材料和纳米材料，具有特殊的微观结构和力学性能，在断裂行为方面呈现出与传统材料不同的特点。
研究人员发现，复合材料的断裂往往表现为界面断裂和纤维断裂的协同作用，而纳米材料的断裂行为则受到晶界和缺陷的影响。
这些新的发现为开发新型材料和提高材料的断裂韧性提供了指导。
三、新应用：高性能结构材料的设计与制备材料断裂力学的新发现为高性能结构材料的设计和制备提供了参考。
通过对材料的断裂机制和行为进行深入研究，可以实现对材料性能的精确控制和优化。
例如，在航空航天领域，研究人员利用多尺度模拟方法研究了复合材料的断裂行为，并设计出了具有较高强度和韧性的复合材料结构。
这些结构材料在提高飞机的安全性和减轻重量方面具有重要的应用价值。
四、新应用：结构健康监测与维护材料断裂力学的新发现也为结构健康监测和维护提供了有效的方法。
通过对结构的断裂行为进行分析和预测，可以提前发现结构的潜在断裂问题，并采取相应的维护措施。
例如，在桥梁结构的监测中，研究人员通过多尺度模拟方法预测了桥梁材料的断裂寿命，并设计了有效的维护策略，延长了桥梁的使用寿命，提高了结构的安全性。
综上所述，材料断裂力学的新发现为工程设计和材料开发提供了重要的依据和指导。
多尺度模拟方法的应用以及对先进材料的深入研究，将推动新材料的开发和结构性能的改善。
断裂力学的发展与及应用
断裂力学的发展与及应用机械四班第一小组指导老师：胡xx摘要断裂力学这一固体力学的新分支就是二十世纪六十年代发展起来的一门边缘学科。
它不仅是材料力学的发展与充实,而且它还涉及金属物理学、冶金学、材料科学、计算数学等等学科内容。
断裂力学的创立对航天航空、军工等现代科学技术部门都产生了重大影响。
随着科学技术的发展,断裂力学这门新的学科在生产实践中得到越来越广泛的应用。
以此同时,断裂力学也得到不断地发展和充实。
关键词发展史现状应用1.发展简史近几十年来,世界各国生产实践表明,按传统的强度理论设计的构件,虽然材料强度满足了许用应力,有时也会意外地发生低应力断裂破坏事故,无情的事实尖锐地揭示了人们长久以来使用的传统强度理论的局限性。
人们通过对断裂事故的分析和大量的实验研究,说明低应力脆性断裂总是由裂纹扩展所导致的。
这就催生了断裂力学的产生。
经典断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支．从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件(荷载、温度、介质腐蚀、中子辐射等)作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。
2.发展现状2.1现存矛盾由于是一门新学科，断裂力学现在还存在的一些问题。
经典断裂力学源于Griffith的断裂理论，是建立在奇异性基础上的，即均基于裂纹顶端应力与应变为无限大的模式展开的．弹性力学求出的应力分量，在裂纹顶端处为无限大，即所谓的奇异性。
奇异性断裂力学在物理上存在本质的缺陷，其一，在实际中发现的裂纹，其上、下表面间距，以及裂纹顶端曲率半径，都是有限值，不等于零；其二，实际裂纹，即使在裂纹顶端，应力与应变均为有限值，不存在所谓应力与应变的奇异性．这样，基于数学尖裂纹和应力奇异性的物理量缺乏坚实的物理基础．为了完善理论，可采用比较符合真实情形的半圆形顶端的钝裂纹(或切VI)模型，但钝裂纹的曲率半径的测量需要用金相的方法来测出，这又促使了金相断裂力学的发展。
比例边界有限元法求解裂纹面接触问题
比例边界有限元法求解裂纹面接触问题章鹏;杜成斌;江守燕【摘要】比例边界有限元侧面上有任意荷载时,将侧面载荷分解成关于径向方向局部坐标的多项式函数的和,推导给出了考虑侧面载荷存在的新型形函数,并基于该形函数推导了刚度矩阵和等效节点载荷列阵.首次对比例边界有限元法求解裂纹面接触问题进行了研究,运用Lagrange乘子引入接触界面约束条件,推导给出了比例边界有限元求解裂纹面接触问题的控制方程.将裂纹面单元分为非裂尖单元和含有侧面的裂尖单元.在非裂尖单元中的裂纹面,裂纹面作为多边形单元的边界,边界上的接触力可等效到节点上,通过在节点上构造Lagrange乘子,采用点对点接触约束进行处理.对于含有侧面的裂尖单元,在整个侧面上构造Lagrange乘子的插值场,采用边对边接触约束进行处理.对三个不同的接触约束状态下的算例进行了数值计算,通过与解析解及有限元软件ABAQUS计算结果的对比,验证了本文提出的比例边界有限元点对点和边对边接触求解裂纹面接触问题的精确性与有效性.%In the case of arbitrary tractions on the side faces of the crack, a polynomial function of the radial coordinate can be employed to describe the side face loads in the scaled boundary finite element method (SBFEM). The SBFEM new shape function considering the side face loads is presented. The corresponding stiffness matrix and equivalent node load is derived together based on the SBFEM new shape function. The model of crack face contact using the SBFEM is proposed in this paper for the first time. Lagrange's multiplier method is used to establish the contact constraints of contact model between crack faces. The governing equations for the nonlinear surface contact problems in SBFEM is derived, includingadhesion contact problems and sliding friction problems. The elements where the crack faces lie are divided into non crack tip elements and the crack tip element. For the former, the crack faces act as the boundary of the SBFEM element, the contact tractions on the boundary can be assigned to the nodes equivalently and the Lagrange's multiplier is applied for the point constraints. For the latter, the interpolation field of Lagrange's multiplier is constructed on the whole side faces. The Lagrange's multiplier is assumed to be linear along the side faces,the segment constraint approach is proposed to optimize the fulfilment of the contact constraints along the crack faces .By comparing the results of the calculation of analytical solution and software ABAQUS on three different numerical contact problems of crack faces, the accuracy and effectiveness of the proposed point-to-point and segment-to-segment contact model for fracture surfaces contact problems is verified in this paper.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2017(049)006【总页数】13页(P1335-1347)【关键词】比例边界有限元;形函数;裂纹;点对点接触;边对边接触【作者】章鹏;杜成斌;江守燕【作者单位】河海大学工程力学系,南京 211100;河海大学工程力学系,南京211100;河海大学工程力学系,南京 211100【正文语种】中文【中图分类】O346.1在工程实际中，由于各种原因，工程结构或多或少都存在着裂缝(纹)[1].在外力作用下，既存在受拉状态的张开型裂纹，也有压剪状态的闭合型裂纹.用数值方法分析闭合型裂纹时，需要在裂纹面上施加合适的接触条件，以反映裂纹面间的接触状态，否则裂纹面会发生与实际不符的相互嵌入现象[2-3].目前施加接触条件的方法主要有Lagrange乘子法[4-5]，增广的Lagrange乘子法[6]，罚函数法[7-8]，线性互补法[9]等.比例边界有限元法(scaled boundary fi nite element method，SBFEM)是由Wolf和Song在20世纪90年代末率先提出和发展起来的一种半解析的数值计算方法[10-11].该方法在计算过程中仅需离散结构的边界，降低了数值模拟维度，而且可以半解析地表征裂纹尖端的奇异性[12-14].基于上述优点，SBFEM在工程问题方面的应用正逐渐成为学术研究的前沿和热点[15-18].比例边界有限单元可以为含有任意边数的多边形，该特点也使在求解裂纹扩展时重划分网格具有简单性和高效性.Ooi等[19]推导给出了不考虑侧面载荷存在的多边形SBFEM位移形函数，并利用该形函数，推导了采用SBFEM求解弹塑性问题的有关公式，拓宽了SBFEM的应用范围，使得SBFEM可以求解一些非线性问题.接触问题属于典型的非线性问题，在有限元法[20-21]、扩展有限元法[22-23]、边界元法[24]中已经得到了较长时间的发展.但是在各种方法中或多或少存在一些问题，有限元求解裂纹问题时，因为裂纹的不连续性，需要将裂纹定义在单元边界上，且在裂尖区域需要划分非常细的网格来反映应力奇异性，这将很大程度上降低求解裂纹接触问题的效率.扩展有限元中裂纹位于单元内部，采用点对点接触方案不能正确的表示裂纹面接触，只能采用砂浆法(mortar method)或边对边(segment-to-segment)接触方法来求解裂纹面接触应力，对每一个裂纹面单元都需数值积分求解，且对于裂尖单元的接触应力只可假设为恒定值[22]，这将很大程度上降低接触应力的求解精度.边界元法求解接触较有优势，但是其本身方法需要求得严格满足控制方程的基本解，不适于对非均质、非各向同性介质的求解，还需进一步发展研究.比例边界有限元作为一种新型的高精度的数值方法，尚未发现有文献采用该方法求解裂纹面接触问题.采用SBFEM求解裂纹面接触问题时会遇到缝面存在载荷的情况，如缝面接触应力等.所以首先必须给出侧面存在载荷的比例边界有限元的有关列式.本文将任意侧边载荷表示为关于径向坐标ξ的多项式函数[25-26]，推导了含有侧面载荷影响的SBFEM的形函数，并给出了相应的刚度矩阵以及等效载荷列式.将裂纹面单元分为非裂尖单元和含有侧面的裂尖单元.对于不含有裂尖的单元，裂纹面位于单元边界上，在节点上构造Lagrange乘子，采用点对点约束模拟裂纹面的接触.对于含有裂尖的单元，其裂纹面位于裂尖单元的侧面(side faces)上，由于侧面为非边界面，按常规思路施加点对约束不能正确的表示裂纹面接触，因此本文提出了在裂尖单元的裂纹面上采用边对边约束方法处理接触问题，即在整个侧面上构造Lagrange乘子的插值场，Lagrange乘子呈线性变化，通过Lagrange乘子推导出了SBFEM接触控制方程.通过若干不同的算例，验证了采用多边形SBFEM点对点--边对边接触可精确的模拟含有裂尖单元的接触问题.图1为一个含有裂纹的任意多边形，采用4个任意多边形SBFEM单元[27]进行离散，其中子域1包含裂纹信息(裂纹单元).根据比例边界有限元的单元形态要求，在每一个单元子域内，均需要选取一个比例中心，通过此中心该子域的全部边界都可见[28].处理复杂结构问题时，可通过合理布置比例中心位置将模型离散成多个多边形子域来满足这一基本要求.图2为具有裂纹面任意载荷的比例边界有限元单元模型，O(裂尖)为比例中心，断裂问题比例中心通常选在裂尖处，定义ξ(0 6 ξ 6 1)为径向坐标，s(0 6 s 6 1)为环向坐标，模型边界(ξ=1)离散成一维线单元，而裂纹侧面(side faces)不需要离散.ξ−s形成比例边界有限元局部坐标系.其中环向坐标s正向沿着单元边界逆时针变化[11]，径向坐标ξ正向沿着比例中心向外变化，其中ξ=0代表比例中心O，ξ=1代表边界上的点.对于裂纹单元内任意一点，相对于比例中心的局部坐标(x,y)T可用ξ和s表示为其中，(x0y0)为边界上的节点坐标.N(s)表示为沿s方向的形函数其中n为边界节点个数.考虑侧面载荷的比例边界有限元的控制方程可通过加权平均法[7]或者虚功原理[8]得到该方程为径向上的平衡方程.其中E0,E1,E2为单元的系数矩阵，Ft(ξ)为侧面载荷，u(ξ)为节点位移函数.式(3)为含有2n个未知数u(ξ)的二阶微分方程，可化为一阶微分方程其中q(ξ)为内部节点力，Z为2n×2n阶Hamiltonian矩阵，满足采用Schur分解[29]得到单元的模态位移ψd，模态载荷ψq及对应的特征值矩阵Λλ.裂纹侧面上的任意载荷可以分解为关于ξ的M阶多项式函数[25]式中Wi为单元侧边力分布矩阵，ai为第i阶多项式系数.侧面载荷的第i阶位移模态[11]为则径向位移解为式(10)中第1项为式(3)的齐次通解.式(10)的矩阵形式为其中Λλ为特征值矩阵，Λt=dig(1,2,3···,M),a为ai组成的系数向量，c为积分常数，由边界条件确定.边界上的节点位移为其中积分常数c用边界位移表达为将式(13)代入式(11)可得式(14)的矩阵形式可写为将式(15b)和式(15c)代入式(15a)可得比例边界有限元在环向s上采用与有限单元法中形函数类似方法，通过N(s)进行插值，即将式(16)代入式(17)可得令可得由式(20)可知，Nt(ξ,s)为采用比例边界有限元法考虑侧面任意载荷时的形函数.将式(19)各变量代入式(15b)和式(15c)得到对于不考虑侧面载荷的比例边界元形函数为[16]由式 (21)和式 (22)对比可看出Nt(ξ,s)左半部分N(s)ψdξ−Λλψ−1d 为不考虑侧面载荷的形函数，右半部分为多项式函数该多项式函数可看作是由侧面载荷对位移模式的影响，式(16)u0中的a作为特解位移的值，可看作为额外自由度.式(22)和式(23)两部分组成了考虑侧边力任意载荷时的形函数.从中可看出，无侧面载荷的形函数为考虑侧面载荷的形函数的一个特例，即a=0.SBFEM的应变矩阵[11]为其中B1(s)和B2(s)是应变位移矩阵.将式(16)代入式(24)得引入应变位移矩阵应变矩阵可写为应力矩阵为其中D是材料的弹性矩阵.考虑面载荷和侧边载荷时，采用虚功原理的表达式为式中t(s)为边界上的面力[11]，其他符号同前.将式(20)、式(28)、式(29)代入式(30)得式(31)等价为式(31)中左边括号部分可视为刚度矩阵，即将式(27)代入式(33)可得将dV进行积分得到定义矩阵Y式(36)可以采用高斯积分或者Guass-Lobatto-Legendre积分[30]方法进行积分求解.考虑式(36)，式(35)可改写为定义矩阵X采用分部积分，式(38)可化简为Lyapunov方程[31]式(39)可通过Matlab自带函数求解Lyapunov方程，得出矩阵X.将式(38)代入式(37)得出刚度矩阵K式(32)中等式右侧为等效节点载荷Fp将式(33)、式(41)代入式(31)中可得到考虑侧面载荷的比例边界有限元支配方程两物体接触受压时，在物体表面需引入物体表面的接触条件，以避免物体发生相互侵入[32].如图3所示，考虑二维问题，可能发生接触的两个表面记为SA和SB，为了系统地分析两物体表面的接触条件的施加方法，建立局部坐标系，设xA为SA上任一指定点P的坐标，则该点至SB面上最接近点Q的法向相对距离gN为式中，是指Q点的法线正方向.同理定义切向相对距离gT式中，是指Q点的切线正方向.对于弹性接触问题，满足Coulomb定律的接触力和物体相对距离的关系可用下列等式和不等式[33]表示接触问题可描述为求区域内位移场，使得系统的势能达到最小.Lagrange乘子法[4]是求解接触约束最小化问题的常用方法之一，通过引入Lagrange乘子将接触问题转化为无约束问题求解.接触状态有3种：张开、粘结、滑移.法向Lagrange乘子场λN表示当接触发生时迫使gN等于0(裂纹面接触但无嵌入)的压力.在裂纹面为粘结接触时，切向Lagrange乘子场λT表示在粘结区迫使满足粘结条件的切向力，在裂纹面发生滑移接触时，切向Lagrange乘子场λT表示为滑移的摩擦力.应用Lagrange乘子法在物体表面考虑摩擦接触条件时可导出3个方程：(1)接触不嵌入条件(2)在切向满足粘结条件时，即在切向满足有摩擦的滑动接触状态时：切向运动不再受约束，但是切向力满足(3)虚功原理(外力虚功包括接触应力)，即如图4所示为比例边界有限元网格，假设满足粘结接触，则法向在粘结约束条件下，裂纹面上的P点和Q点法向接触间距为0.根据式(48)可得其中外法向向量nQ={−sinα cosα}T.切向方向上，在粘结接触条件下，根据式(49)可得正切向向量sQ={cosα sinα}T.在不含裂尖的裂纹面单元中，如图4的第1,2个单元，裂纹面接触分别在两个单元的边界上(ξ=1)，在该边界上其形函数N(s,ξ=1)=N(s)只是关于s的函数，可以采用虚功原理将边界上的接触应力等效到该裂纹面边界节点上，边界节点上的接触载荷为等效节点载荷.所以只需点约束即可精确模拟接触，在节点上构造Lagrange乘子(λN,λT)，则在第k个点对P点和Q点间，式(52)可写为其中，CNk为矩阵CN第k行，Cindex为点对P和Q两节点在整体节点中的坐标变换.由式(54)可得裂纹面点对点接触法向方向约束方程同样在切向方向，令可得裂纹面点对接触切向方向约束方程将含有裂尖单元的比例中心放在裂尖处，如图4的单元3所示.在该单元的裂纹面侧面(side faces)上，ξ从0变化到1，该单元所受的裂纹面接触应力为侧面应力.该侧面的形函数Nt(ξ,s)为关于(ξ,s)的函数，因为此时裂纹面为非边界面(ξ(0 6 ξ 6 1))，按常规思路施加点对约束不能正确地表示裂纹面接触.为此本文提出了在裂尖单元中采用边对边接触方法，即在整个侧面上构造Lagrange乘子的插值场，Lagrange乘子呈线性变化，其插值可表示为其中,λj1为侧边中心(裂尖中心)的接触应力，λj2为侧边端点的接触应力.Mi为Lagrange乘子插值函数则式(52)可写为由式(19)形函数可知同理可求出uPy，uQx，uQy代入式(61)并进行运算积分可得其中CNc为考虑式(61)和式(62)运算积分所得.最终得到裂尖单元边对边接触法向约束方程同理可得到裂纹侧面边对边接触切向方向约束方程考虑插值得到的Lagrange乘子，式(51)的虚功方程用矩阵形式可表示为其中，K和F为SBFEM的刚度矩阵和载荷列阵，u0为SBFEM位移列阵；λN和λT为法向和切向Lagrange乘子.根据虚功方程(66)和前文所得的约束方程，假设裂纹面满足粘结接触条件，则系统的控制方程为式(67)第1行为虚功方程推导出的平衡方程，第2行为法向接触条件，第3行为切向粘结接触条件.在满足有摩擦的滑移条件的状态下，其切向运动不受约束，即式(67)第3行将不再成立.而切向摩擦力满足式(50).故满足滑动接触状态的控制方程为图5为含贯穿裂纹的矩形板，板左端固定，右端受到q=100Pa的均匀压应力.板长3m，宽为2m，裂纹面与 x轴夹角α=50◦，裂纹与上边界的交点坐标为(1.9m,2m).杨氏模量E=76kPa，泊松比ν=0.3，采用平面应变假设.假设斜裂纹摩擦系数 f足够大，裂纹面处于完全粘结接触状态.采用多边形单元[34-35]进行离散.由于结构比较简单，因此将模型划分成2个子域，并采用2节点单元离散子域的边界(节点用•表示)，如图6所示.由于是完全贯穿的裂纹，只需在裂纹面上采用点对点约束即可模拟接触问题.图7为板受压变形后的位移云图.由于裂纹面接触条件的施加，从位移云图中可看出，位移具有连续性，在受压裂纹面上没有发生相互嵌入，从而表明接触条件施加是正确的.为了验证该方法精确性与收敛性，采用结构应变能相对误差作为指标.应变能误差的表达式[36]可以写为应变能的相对误差为其中，σh是本文方法求得的应力，σexact为应力值解析解，Uexact为应变能解析解.为了比较SBFEM求解裂纹面接触问题的精度和效率，采用目前应用较为广泛的商业有限元软件ABAQUS进行模拟对比.ABAQUS在接触程序处理中，采用Lagrange乘子接触[37].图8分别给出了两种方法计算得到的应变能相对误差随不同网格(粗网格、中等网格和细网格)的自由度变化，从图中可看出，SBFEM方法求解裂纹面接触问题收敛极快，仅需16个自由度就无限趋近于解析解(应变能相对误差为(3×10−20)%)，随着网格的变化，求解精度基本不变.而ABAQUS收敛性较慢(粗网格下应变能相对误差(3.6×10−3)%)，而且在网格较细，自由度较高的情况下，其计算精度仍远低于SBFEM较低的自由度计算精度，这说明了SBFEM 求解裂纹面接触问题的高精度与高效性.为了进一步验证该方法在一般情况下的求解能力，本文对含有孔洞及裂纹的无限大板在压力状态下进行了数值模拟.式(71)∼式(73)给出了含有半圆孔的半无限大板承受压力载荷时的解析解[38].该板在极坐标下的解为当板的尺寸长度L与圆孔半径R的比例足够大时，可以近似用来模拟含有半孔洞的无限大板.图9为该模型的几何尺寸.坐标系原点设在圆孔的圆心处，板的长度为30m，板的高度为15m，圆孔的半径R为1m，在圆孔的正下方有一条长度为a=1.68m的裂纹，板的两端受到σ∞=100Pa的均匀压力，板的上端数值方向位移为0.假设摩擦因子f足够大，裂纹处于完全粘结接触状态.板在孔洞周围存在应力集中现象，因此该模型采用较密的多边形网格进行离散，如图10所示(图中*为裂纹尖端).采用点对点与边对边接触方法求解该裂纹接触问题. 图11和图 12给出了结构的变形图和位移云图，由于原结构变形极小，图11对原结构变形进行了一定比例的放大(放大了70倍).从结构的变形图和位移云图可看出，采用该方法考虑接触时，变形与没有裂纹情况几乎一样，受压裂纹面上位移具有连续性，没有发生相互嵌入.从而表明接触算法是正确的.图13为采用SBFEM和ABAQUS两种方法计算的应变能相对误差随不同网格自由度的变化.由图中可看出，基于SBFEM求解的结果在自由度数较小情况下，误差较小(相对误差为0.0032%)，而基于ABAQUS的求解误差在自由度数较小情况下所得误差较大(相对误差为1.7%)，随着网格的加密，自由度数的增大，误差逐渐减小，但ABAQUS求解精度远小于SBFEM求解精度.这说明SBFEM点对点和边对边约束方法在非均布应力下的裂纹接触仍具有较高的精度和效率.在满足粘结接触下，裂纹接触面在法向和切向方向都无相对位移.在有摩擦的滑移接触下，接触在法向方向仍然满足不嵌入条件，在切向方向，发生相互移动，系统方程满足式(68).为了验证SBFEM滑移接触的有效性，本文对一个含有裂纹尖端的矩形板进行了模拟，图14为该矩形板的多边形网格，其中裂尖坐标为(0.809m,0.7m)，摩擦系数 f=0.2，裂纹在切向上发生了滑移.其他力学参数与算例4.1中参数相同.在裂纹接触面上产生滑移，两个接触面产生不连续位移，故图14采用了相对较多的多边形SBFEM网格对矩形板进行离散.图15和图16分别为矩形板变形图和位移云图，由图15中可看到，切向上产生了滑移，在法向上裂纹面间没有相互侵入.从而表明该滑移接触算法是正确的.本算例没有解析解，仍采用商业有限元软件ABAQUS模拟结果来对比本文提出的SBFEM求解裂纹面接触方法的精度和效率.在使用ABAQUS模拟过程中，分别采用粗网格、中等网格和细网格求解该滑移接触问题，图17分别给出了ABAQUS 不同网格的模型.图18为采用不同模型模拟得到的裂纹面下表面σxx分布，可看出在ABAQUS粗网格下，其应力分布与细网格相差较大,特别是靠近裂纹接触的两端，其应力误差较为明显，同时可看出SBFEM模拟结果与细网格的模拟结果较为一致.从网格对比来看，采用SBFEM求解的网格自由度数(数量为1560)远小于ABAQUS细网格的自由度数(数量为16325)，SBFEM仅需较低的自由度即可达到较高精度的解.说明了本文SBFEM模型计算考虑摩擦的滑移接触的精确性与高效性.本文基于比例边界有限元法，推导给出了侧面在任意载荷下的比例边界有限元的新型形函数，以及相应的SBFEM有关公式.运用Lagrange乘子法，推导给出了点对点与边对边接触的SBFEM求解裂纹面接触问题的支配方程，较为精确地模拟了裂纹面的接触，解决了裂纹面在受压时的粘接接触和滑移接触问题.通过3个算例的数值分析，验证了本文方法的精确性与高效性.算例表明，本文推导的考虑侧边载荷存在的SBFEM形函数是合适的；在不含有裂尖单元的裂纹面接触时，采用点对点接触模型即可精确地模拟裂纹面的接触条件；在含有裂尖单元的裂纹面接触时，需要对裂尖单元的侧面采用边对边约束接触模型.【相关文献】1 嵇醒.断裂力学判据的评述.力学学报,2016,48(4):741-753(Ji Xing.A critical review on criteria of fracture mechanics.Chinese Journal of Theoretical and AppliedMechanics,2016,48(4):741-753(in Chinese))2 李卧东,陈胜宏.接触摩擦问题的数值模拟.岩土力学,2003,24(3):385-388(Li Wodong，Chen Shenghong.Numerical model-ing for frictional contact problems.Rock and Soil Mechanics,2003,24(3):385-388(in Chinese))3 高志强,傅卫平,王雯等.弹塑性微凸体侧向接触相互作用能耗.力学学报,2017,49(4):858-869(Gao Zhiqiang,Fu Weiping,Wang Wen,et al.Study on the contact energy 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比例边界有限元优缺点及其应用
x = x0 + ξ x (η )
y = y0 + ξ y (η )
（4-a） （4-b）
这里，x( 和 y( 是定义在 x 和 y 方向边界变量的函数。 x 和 y 是以 为变量的函数。
ξ −轴
ξ =1
ξ −轴
比例边界 有限单元
ξ =1
η −轴
0< ξ < 1
0< ξ < 1
比例中心
ξ=0
比例中心
这里[L]是线性微分算子。 应力{ x,y }}=[ x, y, xy]T 表达如下：
（1）
{σ ( x, y)} = [ D]{ε ( x, y)} = [ D][L]{u( x, y)}
这里[D]是弹性矩阵。 在没有体积力的情况下，静弹性力学的微分方程如下：
（2）
[ L]T {σ ( x, y )} = 0
Computational Method BEM FEM SBFEM
图1 SBFEM与FEM和BEM的关系示意图
2．比例边界有限元方法(SBFEM)
比例边界有限元法是一种基于有限元法的新的无基础解的半解析边界元素方法[1]。 这种 半解析方法能够把线性问题的变量偏微分方程转换成常微分方程。 常微分方程能够沿着径向 进行求解，方程中的系数可以通过圆周上的近似有限单元来确定。由于篇幅，本文只进行平 面静力学方面比例边界有限元公式的推导，具体简述如下：
2.4 比例边界有限元方程
利用虚功原理来推导平衡方程， 当整个域从属于一系列边界张量{t}时,虚功原理描述如 下：
V T T ∫ {δε } {σ }dV = ∫ {δu} {t}ds S
(9)
在整个域上进行积分及一系列的数学运算，虚功原理在下列方程成立的情况下满足 所有的虚位移：
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再将其有理化就得到了 CAD 系统重要的造型 工具—非均匀有理 B 样条。 ( ) wi N i, p Ri , p ( ) n ( ) wi N i, p
i 0
(2)
S ( ) Ri , p ( ) Pi
i 0
n
(3)
。
其中： Ri , p ( ) 为阶数为 p 的第 i 个 NURBS 基函数；
Abstract: A novel numerical boundary method, scaled boundary isogeomtric analys (SBIGA), is applied to fracture mechanics problem. Comparisons on accuracy and convergence rate in calculating stress intensity factor (SIFs) have been carried out for SBIGA and the scaled boundary finite element method (SBFEM). In contrast to SBFEM, NURBS is used to geometric modeling and boundary discretization in SBIGA. It is characterized by the following two aspects. Firstly, the model of boundary isogeometric representation can be imported from CAD directly. Thus, the time costs of mesh generation are saved and it avoids geometric approximation. On the other hand, it can be automatically refined without further communication with the CAD system and keeps geometry invariability. Adaptive analysis strategy can be employed conveniently for 2D problems. The numerical results show that, in comparison with SBFEM, more accurate result and higher convergence rate could be achieved through SBIGA. This is due to geometric accurate description, as well as higher order continuity of NURBS. Key words: SBFEM; NURBS; stress intensity factor; fracture mechanics; adaptive analysis 断裂特性分析在结构安全性能评定中具有重 要意义。其中的一个重要内容是计算应力强度因 子。计算机飞速发展使包括有限元 、边界元 、 扩展有限元 等各种数值手段准确模拟复杂工程结 构的断裂行为成为可能。然而这些数值方法还存在 着不同程度的局限性，如在分析裂纹尖端奇异应力 时需要引入特殊的函数、特殊的单元或密集的网格。
要：该文将比例边界等几何方法(SBIGA)应用在断裂力学中，并就应力强度因子(SIFs)计算精度和收敛速度与
传统比例边界有限元(SBFEM)进行了比较。与 SBFEM 不同，SBIGA 采用非均匀有理 B 样条(NURBS)作为造型和 离散的工具。主要包括了以下两个特点：一方面，有限元模型可直接继承于 CAD 系统，即节约划分网格的时间 也避免了几何近似。另一方面，因为不需要进一步与 CAD 系统数据交换就可以保型细分，二维问题中自适应分 析策略的实施十分方便。算例表明，SBIGA 方法可以给出较 SBFEM 更为精确的结果和更快的收敛速度。其原因 不仅得益于对曲边几何形状的精确描述，还来源于 NURBS 高阶的连续性。 关键词：比例边界有限元；非均匀有理 B 样条；应力强度因子；断裂力学；自适应分析 中图分类号：O346.1 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2014.12.1085
[3] [1] [2]
这使得分析变得不方便或带来较大的计算工作量。 比例边界有限元是最早于 20 世纪 90 年代末由 Song 和 Wolf[4
―5]
提出的一种全新的半解析方法。 由
于引入比例坐标系统，该方法如同边界元一样仅需 要离散计算域的边界，但不需要基本解。不但避免 了奇异积分的复杂计算，还使其可以方便地分析各 向异性材料。在裂纹尖端，物理场沿环向的变化平
使用加权余量法对弹性力学微分方程环向弱 化，可以得到控制方程(二阶常微分方程组)和边界 条件如下：
函数相关。
E 0 2 u( ), ( E 0 + E 1T E 1 ) u( ), E 2 u( ) 2 Fb ( ) Ft ( ) 0 E u, E u P
第 33 卷第 7 期 2016 年 7 月
Vol.33 No.7 July 2016
工
程
力
学 7
ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2016)07-0007-08
比例边界等几何方法在断裂力学中的应用
庞
摘
林，林 皋，钟 红
(大连理工大学建设工程学部水利工程学院，大连 116024)
———————————————
收稿日期：2014-12-29；修改日期：2015-03-30 基金项目：国家自然科学基金项目(51579033)；国家自然科学青年基金项目(51109134)；中国博士后基金特别项目(2013T60283)；国家自然科学 基金委创新研究群体项目(51421064) 通讯作者：庞林(1989―)，男，河北人，博士生，主要从事水工结构抗震研究(E-mail: panglin1989@). 作者简介：林皋(1929―)，男，江西人，教授，博导，中国科学院院士，主要从事水利工程及地震工程研究(E-mail: gaolin@)； 钟红(1981―)，女，湖南人，副教授，博士，主要从事混凝土结构静动力分析研究(E-mail: hzhong@).
0 1T
(6) (7)
图 2 坐标系变换及 NURBS 离散模型 Fig.2 Coordinates system transformation and NURBS discrete model
其中：E0、E1 和 E2 为与几何相关的常系数矩阵；P 为=1 的外边界力。当体积力 Fb ( ) 或通过相似中 心 O 的非离散的侧边界(图 2 中 OA、OB)上的作用 力 Ft ( ) 均为零时，满足控制方程的通解可以表示 成位移模态求和的形式，其中积分常数 ci 可由边界 条件确定。
3 自适应分析策略
图 3 给出了 h 细分(结点插入)和 p 细分(连续性 升阶)两种细分方式， 从图中可以看出非均匀有理 B 样条具有灵活的保型细分特性，计算模型始终与从 CAD 导入的设计模型一致。 计算中， 可以根据求解 的收敛情况细分模型，达到自适应分析的目的。预 先给定允许位移容差 u 和判据：
( ) 对应的权系数。非均 wi 为与 B 样条基函数 N i, p
匀有理 B 样条 S ( ) 由式(3)给出，式中 Pi 为控制点 向量。
(a) 基函数
(b) 非均匀有理 B 样条曲线 图 1 非均匀有理 B 样条曲线的构造 Fig.1 Construction of NURBS curve
图 1 中样条曲线的节点矢量为 ={0,0,0,0.5, 0.5,1,1,1}，基函数的阶数 p=2，控制点构成的控制 网如上图中虚线所示。 非均匀有理 B 样条作为基函 数具有以下特点[13]： 非负性、 单位分解性、 凸包性、 紧支性、灵活的连续性、保型的 p 细分(升阶)或 h 细分(插入节点)策略；显式的导数表达式。
SCALED BOUNDARY ISOGEOMTRIC ANALYS APPLIED TO FRACTURE MECHANICS PROBLEM
PANG Lin , LIN Gao , ZHONG Hong
(School of Hydraulic Engineering, Faculty of infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)
2 比例边界等几何分析方法
如图 2 所示，外边界采用 NURBS 基函数离散 表示，可写成式(5)所示形式。进而通过比例变换的 思想，域内任一点坐标可表示为：
工
程
力
学
9
ˆ ( , ) ( R( ) xcps x0 ) x0 x (4) ˆ( y , ) ( R( ) ycps y0 ) y0 物理域的位移场可以近似地按等参的形式 构造： u ( , ) R( )u( )cps (5)
传统的比例边界有限元方法，边界采用拉格朗 日基函数离散。使用该基函数进行插值，对于不连 续数据，震荡现象会随基函数阶数的增加而加剧。 而计算机辅助设计(CAD)系统中常用的基函数非均 匀有理 B 样条(NURBS)则可以保持插值曲线的平滑 性[13]。用 NURBS 插值沿环向平滑变化的应力场应 更加合适。此外，NURBS 具有优秀的造型能力， 是沟通 CAD 几何模型设计和有限元分析的重要手 段[14]。使有限元分析的模型与设计的模型一致，无 需剖分网格。这不但确保了几何外形的精确性还节 省了划分网格的耗时。由于其具有保型细分的能 力，二维问题中自适应分析策略的实施也十分方 便。因而使用 NURBS 作为外边界造型和离散的基 函数可以在一定程度上提高了比例边界有限元分 析问题的能力，并使其有望实现 CAD 与 CAE 的无 缝对接。在文献[15]中，本文作者之一将这种方法 称 作 比 例 边 界 等 几 何 分 析 方 法 (Scaled Boundary Isogeomtric Analys-SBIGA)，并已被应用于求解静 力和动力问题[16]。本文将该方法进一步扩展到断裂 力学问题的分析中。基于简单的自适应策略，比较 了该方法与传统比例边界有限元的收敛行为。并定 性讨论其能够提高分析精度的原因。值得注意的 是，几乎同时 Natarajan[17]也做了相关的研究。与之 不同，本文更侧重于通过自适应策略对 SBIGA 收 敛行为和精度来源的讨论。