裂项相消法求和附答案

裂项相消法

利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。

（1）若是{a n }等差数列，则)11.(111

1++-=n n n n a a d a a ,)11.(21122n ++-=n n n a a d a a （2）11

111+-=+n n n n ）（

（3）)1

1

(1

)(1k n n k k n n +-=+

（4）)121

121

(21

12)121

+--=+-n n n n ）（（

（5）]

)2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

（6）n n n n -+=++111

（7）)(1

1n k n k k n n -+=++

1.已知数列的前n 项和为， ．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n 项和为．

[解析] (1) ……………①

时, ……………②

①②得:

即……………………………………3分

在①中令, 有, 即，……………………………………5分

故对

2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．

（Ⅰ）求公差d的值；

（Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；

[解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，

∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，

解得d=2．……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分

∴ =．…………………………………………6分

∴ T n=

=

=≥，…………………………………………8分

又∵ 不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立，

∴ ≥，…………………………………………10分

化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．

∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分

3.)已知各项均不相同的等差数列{a n}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.

(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;

(Ⅱ)设T n为数列的前n项和,求T2 012的值.

[答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)

解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2. (5分)

故a n=n+1. (6分)

(Ⅱ)==-,(8分)

∴T n=-+-+…+-=-=. (10分)

∴T2 012=. (12分)

4.)已知数列{a n}是等差数列,-=8n+4,设数列{|a n|}的前n项和为S n,数列的前n项和为T n.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)求证:≤T n<1.

[答案] (1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d. (2分)

∵-=8n+4,

∴(a n+1+a n)(a n+1-a n)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.

当n=1时,d(2a1+d)=12;

当n=2时,d(2a1+3d)=20.

解方程组得或(4分)

经检验知,a n=2n或a n=-2n都满足要求.

∴a n=2n或a n=-2n. (6分)

(2)证明:由(1)知:a n=2n或a n=-2n.

∴|a n|=2n.

∴S n=n(n+1). (8分)

∴==-.

∴T n=1-+-+…+-=1-. (10分)

∴≤T n<1. (12分)

5.已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;

(Ⅱ)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.

[答案] 查看解析

[解析] (Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,

S4=4a1+×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),

解得a1=1,

所以a n=2n-1.

(Ⅱ)b n=(-1)n-1=(-1)n-1

=(-1)n-1.

当n为偶数时,

T n=-+…+-

=1-

=.

当n为奇数时,

T n=-+…-+++=1+=.

所以T n=

6. 已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和

(Ⅰ) 求数列和的通项公式；

(Ⅱ) 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少

[解析]解：(Ⅰ) 因为，所以，

所以，，

，

又数列是等比数列，所以，所以，

又公比，所以，

因为，

又，所以，所以，

所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，

所以，当时，，

所以. （6分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得

，（10分）

由得，满足的最小正整数为72. （12分）

7. 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.

（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.

[解析] （Ⅰ）由条件得，

由此可得.

猜测. （4分）