运筹学单纯形法的例题
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
单纯形法的矩阵计算例题
1、在使用单纯形法求解线性规划问题时，初始基本可行解通常通过以下哪种方法获得？A. 两阶段法B. 高斯消元法C. 矩阵求逆D. 逐次逼近法（答案）A2、在单纯形表的迭代过程中，当所有检验数均非负时，说明当前解是？A. 无界解B. 无解C. 最优解D. 可行解但非最优（答案）C3、单纯形法中，选择进入基的变量时，通常选择检验数最小的变量，这是？A. 错误的做法B. 正确的做法，但仅当目标函数求最大值时C. 正确的做法，但仅当目标函数求最小值时D. 无论目标函数求最大还是最小，都是正确的做法（答案）B（假设题目中指的是选择绝对值最大的负检验数对应的变量进入基，若求最小值则选择正检验数）4、在单纯形迭代过程中，若出现某个基变量的值为零，而该变量在目标函数中的系数（即检验数）为正，则？A. 该问题无界B. 应立即停止迭代，因为当前解不可行C. 应将该变量从基中换出D. 这种情况不可能发生（答案）C5、单纯形法中，退出基的变量选择通常基于？A. 检验数的大小B. 基变量在约束条件中的系数比值（即比值检验）C. 目标函数中的系数D. 变量的下界或上界（答案）B6、在单纯形迭代过程中，若所有基变量的检验数均为零，则？A. 达到了最优解，且可能存在多个最优解B. 达到了最优解，且唯一C. 问题无解D. 需要进行人工变量调整（答案）A7、单纯形法中，若某个迭代步骤中发现无法找到符合条件的进入基变量（即所有检验数均非负），则？A. 当前解即为最优解B. 问题无解C. 需要引入人工变量继续迭代D. 应检查初始基本可行解的正确性（答案）A8、在构建初始单纯形表时，若目标函数为求最小化，则检验数应如何计算？A. 检验数= 目标函数系数- 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和B. 检验数= 目标函数系数+ 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和的相反数C. 检验数= 目标函数系数直接作为检验数D. 检验数= 约束条件左侧系数与目标函数系数的比值（答案）B（简化描述，实际计算中需考虑基变量的当前值和目标函数系数）9、单纯形法中，当某个基变量的值为负时，说明？A. 当前解不可行B. 当前解可能是最优解，但需进一步验证C. 应立即将该变量从基中换出D. 这种情况在正确执行单纯形法时不可能发生（答案）D（在正确执行时，基变量应始终非负）10、在单纯形迭代过程中，若发现某个非基变量的检验数为正，且该变量对应的约束条件为“≤”类型，则？A. 该变量应被选为进入基的变量B. 该变量不能进入基，因为其检验数为正C. 需要检查该变量的上界是否满足约束D. 该问题可能无解（答案）A（在求最大化问题时，正检验数对应的非基变量是潜在的进入基候选）。
运筹学单纯形法的例题
可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之下__
3
.
05.07.2020
练习㈠用图解法
5
4 4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0)
0
1
2
3
4
5
6
7
4
.
05.07.2020
练习㈠. 单纯形表
1 31 0 7 4 20 1 9
填入第一个约束的数据.
填入第二个约束的数据.
5
.
05.07.2020
❖至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解；
❖所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有2正4 的，则可能有. 无穷多个最优0解5.07.。2020
基变量列中_x_5_换为_x_1_,
改CB列,_-_M__换为_4__.
Excel
17
.
05.07.2020
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解：
Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7
s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0
可行域在直线 x1+3x2=7之上__
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9
基引是进谁两?个这 理x“1里?,x人“2 ,工x-”3 如变,x4何量,x5处”,x6≥0
x5 ,x620
.
05.07.2020
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6
单纯形法的计算题
单纯形法的计算题
单纯形法是一种求解线性规划问题的数学方法。
下面是一道使用单纯形法求解的线性规划问题的例子：
求最大化目标函数z = -2x1 + 3x2，
约束条件：
1. x1 + x2 <= 4
2. 3x1 + 4x2 <= 12
3. x1, x2 >= 0
用单纯形法求解此问题，需要进行以下步骤：
1. 建立初始单纯形表格：根据约束条件，我们可以确定初始单纯形表格的基变量和非基变量。
2. 计算目标函数的系数和：根据目标函数的系数，我们可以计算出目标函数的系数和。
3. 检查退出条件：如果目标函数的系数和大于零，则无法找到可行解；如果目标函数的系数和小于等于零，则已经找到最优解。
4. 迭代计算：如果未达到最优解，需要继续迭代计算，更新单纯形表格，直到找到最优解为止。
5. 输出结果：最终的单纯形表格中，最优解对应的基变量和非基变量的值即为所求的最优解。
具体到这个例子中，可以使用线性规划软件包或编程语言实现单纯形法来求解。
通过输入约束条件和目标函数，可以得到最优解。
运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)
第一章 线性规划及单纯形法一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情况。
1、P55,1.3(a)21510m ax x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.t .s 212121 解：将模型化为标准型21510x x Z Max +=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,,825943..4321421321x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
2、 P55,1.3(b)21x x 2Z m ax +=s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x解：将模型化为标准型21x x 2Z Max +=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+0x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142132 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2,2,2(X *=，最有目标值为217。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
3、3212x x x Z Min -+=，t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-≤-+0,,,5,822,422321321321321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：3212x x x Z Min -+=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++-=+-+0,,,5,822,422321632153214321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代最优解为（0，0，4），最优值为-4。
4、43213x x x x Z Min +++=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++-0,,,,,63,4224321421321x x x x x x x x x x 解：因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。
运筹学 线性规划问题的单纯形法
线性规划的单纯形法
由上表可知：
S=100*X1+80*X2
约束条件：
2*X1+4*X2<=80
3*X1+1*X2<=60
X1,X2>=0
由此可以引入松弛变量：
2*X1+4*X2+k1<=80
3*X1+1*X2+k2<=60
S=100*X1+80*X2+(0)*k1+(0)*k2〃k1和k2为闲置时间不产生利润
可建表
注：Zj为Cj列的每行数分别与XI，X2，k1，k2列相乘然后加的结果（例如：0=0*2+0*3）由表可知X1所在列为最有列，所以K2退出基变组（列表下，红字部分表示交换格）
而由表可知要消去图中绿字所在行必须是图中绿字所在行-2*红字所在行。
消去后的表的情
注：此时由上表可知X2所在列是最有解，切Cj-Zj依旧为正。
所以，此时K1出基（将k1行中各数据*3/10）得到如下表：
注：由表可知此时Cj-Zj为零，如果接续下去此值将会为负所以此时由最大利润为2560即：当摩托车生产16辆，自行车生产12辆是有最大利润。
本题只是为了让和我有一样迷惑的人有一个解题案例，如若真正搞懂线性规划问题的单纯形法还得去以参考书为准。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
运筹学原理单纯形法练习题
四、把下列线性规划问题化成标准形式：2、minZ=2x1-x2+2x3五、按各题要求。
建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
月销售分别为250，280和120件。
问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—24 8 10 7 12 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。
并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10XlX2 X3 X4 —10 b-1 f g X3 2 C O 1 1／5 Xlade1(1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解?（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解 第四章 线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3六、已知线性规划问题应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25七、已知线性规划问题maxZ=2x1+x2+5x3+6x4其对偶问题的最优解为Yl﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
单纯形法的计算步骤例题
单纯形法的计算步骤例题
单纯形法是一种用于线性规划问题的求解方法，它通过不断地移动解空间中的顶点，逐步逼近最优解。
下面我将通过一个简单的例题来说明单纯形法的计算步骤。
考虑以下线性规划问题：
最大化目标函数Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
2x1 + x2 <= 10
x1 + 2x2 <= 8
x1, x2 >= 0
首先，我们将这个线性规划问题转化为标准型，引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束。
得到如下形式：
最大化目标函数Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
2x1 + x2 + x3 = 10
x1 + 2x2 + x4 = 8
x1, x2, x3, x4 >= 0
然后，我们构建初始的单纯形表格，包括目标函数系数矩阵、系数矩阵、单位矩阵和右端常数向量。
初始单纯形表格如下：
基变量x1 x2 x3 x4 常数
x3 2 1 1 0 10
x4 1 2 0 1 8
Z -3 -4 0 0 0
接下来，我们通过单纯形法进行迭代计算，每次迭代都要找到一个入基变量和一个出基变量，然后更新单纯形表格，直到满足最优解的条件。
在这个例子中，我们不再继续举例，因为单纯形法的计算步骤较为复杂，需要逐步进行迭代计算。
希望这个简单的介绍对你有所帮助。
单纯形法求解线性规划问题例题
单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。
在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。
单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。
下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。
单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。
我们将建立单纯形表，以便求出最优解。
首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。
11LP问题的单纯形法大M法,无解
练习㈠. 单纯形表
4 10 0 x3 0 1 3 1 0 7 7 x4 0 4 2 0 1 9 9/4
0 00 0 0
4 10 0
基变量列中_x_4_换为_x_1_,
0 4 改C 列,___换为___. B 2020/11/10
Excel
练习㈠用单纯形法
迭代
基
CB
次数 变量
x1
4
x2
1
x3
0
x4
0
bi
比
x3 0 1 3 1 0 7 7
0
x4 0 4 2
zj
00
0 1 9 9/4 000
σj=Cj- zj 4 1 0 0
迭代 次数
基 变量
CB
x1
x2
x3
x4
bi
Max z =4 x1+x2+0x3+0x4-Mx5
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5=9
基再是引谁进?一这 理x个1个?, “x“2 人,-”x工3如,变x何4, 处x5≥ 0
量”x5 2020/11/10
练习㈡.用单纯形法
Max z =4x1+x2+0x3+0x4-Mx5
4 10 0 x3 0 1 3 1 0 7 x4 0 4 2 0 1 9
0 00 0 0
4 1 0 0 基?
填目标函数系数,填基变量列, 填20C20/11/1B0 列,计算Zj,计算检验数σj,
单纯形法例题
单纯形法例题1、 例1、目标函数 max z=2x 1+3x 2约束条件：{ x 1+2x 2≤84x 1≤164x 2≤12x 1，x 1≥0}解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量，x 3，x 4，x 5，并且它们都大于等于0.得到的标准形式为：max z=2x 1+3x 2+ 0x 3+0x 4+0x 5 {x 1+2x 2+x 3＝84x 1+x 4=164x 2+x 5＝12x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}25a ij ={a ij −alj alk ∗a ik (i ≠l )a lj alk(i =l ) }b i ={b i −aik a lk∗b l (i ≠l )b l alk(i =l ) }(也就是如果与主元素同行，那么用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值，否那么，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后的值。
例如：上面的第一行所对应的b 值为8-(12*2)/4=2,故填入值应该为2。
而θi 那么是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然后用b 的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到θi 列的值。
由于在检验数中仍然存在大于等于0的数，而且P1，P5的坐标中有正分量存在，所以需要继续进行迭代运算。
通过观察可以看出主元素为1，换入变量为x 1，换出〔4,2,0,0,4〕，故目标函数值z=2*4+2*3=142、 合理利用线材问题，现在要做100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m ，和1.5m 的钢各一根，原料长7.4m ，问应如何下料，使用的原材料最省；解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。
我们分析一下问题，做100套钢架，需要2.9m 长的钢100根，2.1m 的钢100根，1.5m 的钢100根。
而方案，使得剩余的总长度最少。
由此，我们可以将目标函数和约束条件表述出来：目标函数：min z=0.3x 2+0.1x 3+0.8x 4+0.2x 5约束条件{ x 1+x 2+2x 3=1002x 2+x 4+2x 5=1003x 1+x 3+3x 4+2x 5=100x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}首先可以写出线性方程组的矩阵形式：[11200020*******]发现不存在单位矩阵，所以要采用人造基的方式，也就是要添加人工变量：x 6，x 7，x 8，那么线性方程组可以表示为：{ x 1+x 2+2x 3+x 6=1002x 2+x 4+2x 5+x 7=1003x 1+x 3+3x 4+2x 5+x 8=100x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8≥0} ，目标函数可以表示为：min z=0x 1+0.3x 2+0.1x 3+0.8x 4+0.2x 5+M x 6+Mx 7+Mx 8转换为求目标最大化max Z=−0x 1−0.3x 2−0.1x 3−0.8x 4−0.2x 5−M x 6−Mx 7−Mx 8然后列出初始单纯形表：(注意，参加人工变量之后，它所对应的系数为-M ，而非换入变量为x，换出变量为x，得到的单纯形表为：方案下料30根，第二种方案下料50根，按照第三种方案下料10根。
运筹学习题2-单纯形法
量，将使目标函数值得到最快的增长。
答：
二、 单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量，在紧接着的
下一次迭代中，会不会再进入基变量中？为什么？
答：
三、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格，已知该线性规划问题中
目标函数为，约束条件均用“≤”关系连接，, 为松弛变量，该表中解代入
目标函数可得z =10。求a---g的值；问此表所给的解是否为最优解。
−S 0 1
1 X1 4 1 0 X4 12 0 0 X5 1 0
−S −4 0
1 X1 3 1 0 X4 4 0 1 X2 2 0
−S −5 0
1
0
0
X2
X3
X4
1
1
0
5
0
1
1
0
0
1
0
0
1/2 1/2 0 4 −1 1 1/2* −1/2 0
1/2 −1/2 0
0
1
0
0
3
1
1 −1 0
0
0
0
0 θi X5
《运筹学》习题（二）
班级
姓名
1、 判断题
1、 无约束的变量xj，通常令，其中，在用单纯形法求得的最优解中有
可能同时出现。
2、用单纯形法求解标准形的线性规划问题时，与对应的变量都可
以被选作换入变量。
3、单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下 一个解中至少有一个基变量的值为负。
4、单纯形法计算中，选取最大正检验数对应的变量xk作为换入变
5
0
1
0
0 X5 5 1
1
0
0
1
−S 0 1
(参考资料)运筹学单纯形法例题
1
1
= 40
0
1
0
x4
30
1
[3]
0
σ
(1) j
=cj
− CB
⋅ Pj
3
4
0
30
1
= 10
3
0
0
x3
30
5 3
0
1
1
−
3
4
x2
10
1 3
1
0
1 3
σ
(2) j
=cj
− CB
⋅ Pj
5
4
0
0
−
3
3
这时，非基变量的检验数 σ1
=
5 3
,σ 4
=
−
4 3
，其中 σ 1
>
0
，所以该基可行解不是最优解。
（7）接下来，我们的任务就是找另一个基可行解。即转回到步骤（5）。
然不想干，怎么办呢？为了计算简便，我们期待 B2 = [P3 ,P 2 ] = I ，目前我们只是期待而已。
3
4
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
bi aik
40
0
x3
40
2
1
1
= 40
0
1
0
x4
30
1
[3]
0
σ
(1) j
=cj
− CB
⋅ Pj
3
4
0
0
x3
0
1
4
x2
1
0
1
30 = 10
3
0
第3页共9页
单纯形法例题
单纯形法例题
单纯形法是一种用于解决什么类型问题的算法？
A. 线性规划
B. 非线性规划
C. 整数规划
D. 动态规划
在单纯形法中，基可行解对应的基变量应满足什么条件？
A. 全部为非零
B. 全部为零
C. 部分为零，部分为非零
D. 无特定要求
单纯形表中的一个关键元素是检验数，它用于判断：
A. 当前解是否最优
B. 当前解是否可行
C. 是否需要继续迭代
D. 问题的约束条件是否满足
在单纯形法的迭代过程中，若所有检验数都小于或等于零，则：
A. 当前解为最优解
B. 当前解不是最优解，需要继续迭代
C. 问题无解
D. 问题有无穷多解
单纯形法中选择换入变量的规则是：
A. 选择检验数最大的非基变量
B. 选择检验数最小的非基变量
C. 选择检验数绝对值最大的非基变量
D. 选择任意非基变量
在单纯形法中，若某个基变量的值变为零，则意味着：
A. 该变量退出了基变量集
B. 该变量仍然是基变量
C. 问题出现了无解的情况
D. 需要重新构造初始基可行解
单纯形法迭代过程中，换出变量的选择依据是：
A. 比值规则
B. 最小元素规则
C. 最大元素规则
D. 任意选择规则
当单纯形法中出现两个或更多检验数同时达到最大值时，这意味着：
A. 问题有多个最优解
B. 问题有无穷多最优解
C. 需要进一步分析以确定最优解的情况
D. 问题无解。
运筹学第4章 单纯形法的对偶问题
管理运筹学
3
§1 线性规划的对偶问题
如果我们把求目标函数最大值的线性规划问题看成原问题，则把求目标函数最小值的线 性规划问题看成对偶问题。下面来研究这两个问题在数学模型上的关系。
1 求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于 等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件， 其约束条件都为大于等于不等式。
5x1 3x2 x3 200
管理运筹学
10
§1 线性规划的对偶问题
通过上面的一些变换，我们得到了一个和原线性规划等价的线性规划 问题：
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440,
6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
进一步，我们可以令y3
y
' 3
y
'' 3
，这时当
y
' 3
y
'' 3
时，y
0，当
y
' 3
y
'' 3
时， y3 0 。这也就是说，尽管
y
' 3
,
y
'' 3
0,
但 y3 的取值可以为正，可以为0，
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
这样第二个约束条件也就符合要求。对于第三个约束条件，我们可以 用小于等于和大于等于两个约束条件来替代它。即有
单纯形法例题
Content
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x j 0 j 1,2
求其基本可行解和最大目的值
化为原则型：
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
S.T
4x1
x4 16
4x2
(6) 表1-6最终一行旳全部检验数都已为负或零。这表达目旳函数 值已不可能再增大，于是得到最优解
cj
23 0
00
θ
CB
XB
B﹣1b x1 x2
x3
X4
x5
2
x1
4
1 0 1 1/4 0
0
x5
4
0 0 -2 1/2 1
3
x2
2
0 1 1/2 -/2 -1/8 0
X*=X=(4,2,0,0,4)T 目旳函数旳最大值 z*=14
[4]称为主元素。
(4) 以[4]为主元素进行迭代运算，即初等行变换，使P2变换为(0,0,1)T,在XB 列中将x2 替代x5 ,于是得到新表
cj
2 30 0 0
CB
XB B﹣1b x1 x2 x3 x4 x5 θ
0
x3
2 [1] 0 1 0 -1/2 2
0
x4
16
4 00 1 04
3
x2
3
检验数
x5 12
x j 0 j 1,2,,5
➢ 根据原则型将有关数字填入表中，得到初始单纯形表
cj
CB
XB
0
x3
0
x4
0
x5
检验数
23000
运筹学_单纯形法_应用举例
《运筹学》
4
用xj表示第j个计划阶段新购的工具数； yj表示第j阶段末送去慢修的工具数； zj表示第j阶段末送去快修的工具数； sj表示j阶段木工具的存储数。 则每个阶段需用的工具数rj有以下关系式 rj= yj+ zj + sj + sj-1 (j=1,…,n) rj= xj (j=1,…,q+1) rj= xj+ zj-q-1 (j=q+2,…,p+1) rj= xj+ zj-q-1 +yj-p-1 (j=p+2,…,n) 且yn-p= yn-p+1=…= yn=0 zn-q= zn-q+1=…= zn=0
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》
18
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始 休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +
x7
约束条件：s.t.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
+ + + + + + +
x11+ x12+ x13+
x21 + x22 + x23 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100 x33 ≤ 60
(供应量限制） (供应量限制） (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》
12
例.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定 量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、 3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合， 可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于 表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油 的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？
运筹学单纯形法的例题
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5 =9
x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
基是谁? x3,x5 x5的检验数为0
请它出基,逼它取值为0.
13
---精品---
17.10.2020
练习㈡. 单纯形表
两行，几列? 少一列?
填入第一个约束的数据.
14
---精品---
x3
x4
bi
比
00
1 0 77 0 1 9 9/4
000
00
x3
x4
bi
比
00
1 -0.25 4.75
0 0.25 2.25
019
0 -1 17.10.2020
练习㈡用图解法和单纯形法求
如下线性规划问题的最优解：
Max s.t.
4zxxx1=11+4+, x321xxx2+22≤≥≥x2790
可行域在直线 x1+3x2=7之下__
Max z =4 x1+x2+0x3+0x4-Mx5
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5=9
基再是引谁进?一这 理x个1个?, “x“2 人,-”x如工3 ,何变x4处, x5≥ 0
量”1x2 5
---精品---
17.10.2020
练习㈡.用单纯形法
Max z =4x1+x2+0x3+0x4-Mx5
改CB列,__0_换为_4__.
8
---精品---
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2
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
练习㈠用图解法和单纯形法求如 下线性规划问题的最优解： Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≤ 7 s.t. 4x1 + 2x2 ≤ 9 x1 , x2 ≥ 0 7 2 x1+3x2=7经过点(__,0)与(1,__) 0.5 4x1+2x2=9经过点(2,___)与(0,___) 4.5
标准化为: M是一个大的正数 Max z =4 x1+x2+0x3+0x4-Mx5 x1 + 3x2 + x3 =7 s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5=9 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥ 0 这个“-”如何处 基是谁? 理? 再引进一个“人工变 量”x5
12 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表
两行，几列? 少一列? 填入第一个约束的数据.
14 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表
填入第二个约束的数据.基? 填目标函数系数,填基变量列, 填CB列,计算Zj,计算检验数σj,
15 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表
7 9/4
查什么？ 不是！ 谁进基? 最优吗？ 检验数最大的x1进基, 谁出基? x1的系数有正的吗? 求比值?
第五章(P.99-100)： 预习第六章§2
线性规划的对偶问题
25 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
作业
7a,b,c,d
练
0 6 0 0
习
0 0
6u 0 3 0 0 150
1
0 6 6
0 5-6u 0 -3 0 一个LP问题的单纯形表如上： 必须为____
1、试补齐中间的空格； ∴u=5/6 2、u取什么值时此问题有无穷多最优解？ 26 2013-7-27
4 1 0 0 x3 0 1 3 1 0 7 7 x4 0 4 2 0 1 9 9/4 0 0 0 0 0 4 1 0 0 最优吗？查什么？ 不是！ 谁进基？ 检验数最大的x1进基, 谁出基？ 求比值？ x1的系数有正的吗？
7 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠. 单纯形表
4 x3 0 1 x4 0 4 0 4 1 3 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
21 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
解LP问题单纯形法
LP问题解的几种可能：
唯一解 有解 无穷多解
无有限最优解 无解
22
无可行解
《运筹学》单纯形法 2013-7-27
LP问题解的几种可能： Ax≤b s.t. x≥0
无需引入人工变量.一定有可 行解,从而一定有基可行解,但 还有可能有无穷最优解或无有 限最优解.
16 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表：迭代
x1 x5 基变量列中___换为___, -M 4 改CB列,____换为___.
17 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
Excel
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解： Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7 s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x 2 ≥ 0
x2
0 1 0 0 0
x3
0 0 1 0 0
x4
7 7 9 9/4 0
bi
比
CB
1
x3 0 x1 4 zj σj=Cj- zj
9
4 0 1 4 0
1 2.5 0.5 2 -1
《运筹学》单纯形法
0 0 1 -0.25 4.75 0 0.25 2.25 0 1 9 0 -1
2013-7-27
练习㈡用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解： Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≤ 7 s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x 2 ≥ 0
《运筹学》单纯形法
下 可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之__
3 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠用图解法
5
4
4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0) 0 1
4
2
3
4
5
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
6
7
练ห้องสมุดไป่ตู้㈠. 单纯形表
1 4 3 1 2 0 0 1 7 9
填入第一个约束的数据. 填入第二个约束的数据.
20 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6 x1+3x2-x3 +x5 =7 s.t. 4x1+2x2 -x4 +x6=9 x1,x2,x3,x4 ,x5,x6 ≥0 基是谁? x5,x6 它们的检验数为0 请它们出基,逼它们取值为0. 不能全出基,就无可行解. Excel
5 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠. 单纯形表
4 x3 0 1 x4 0 4 0 4 1 3 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
7 9
基?
0
填目标函数系数,填基变量列, 填CB列,计算Zj,计算检验数σj,
6 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠. 单纯形表
下 可行域在直线 x1+3x2=7之__
上 可行域在直线4x1+2x2=9之__
10 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡用图解法
5 最优解是x1=7,x2=0,此时Max z=28
4
4x1+x2=28 3
2 (7,0) 1
0
11
1
2
3
4
5
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
6
7
练习㈡.用单纯形法 (大M法)
23 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
解LP问题单纯形法
一般要引入人工变量. 人工变量不能全出基则无可行解,更 无最优解. 不需人工变量或人工变量可以全部出 基则必有可行解.分:
LP问题解的几种可能：
解LP问题单纯形法
至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解； 所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有正的，则可能有无穷多个最优解。 24 2013-7-27 《运筹学》单纯形法
上 可行域在直线 x1+3x2=7之__
上 可行域在直线4x1+2x2=9之__
18 《运筹学》单纯形法
2013-7-27
5
练习㈢用图解法
有可行解,但无有限的最优解,z→+∞.
4
3
2
1
0
19
1
2
3
4
5
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
6
7
练习㈢.用单纯形法(大M法)
标准化为: M是一个大的正数 Max z=4x1+x2+0x3+0x-Mx5 -Mx6 4 x1 + 3x2 - x3 +x5 =7 s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9 x1 ,x2 ,x3 ,x4,x5 ,x6≥0 这里“-”如何处 基是谁? 理? 引进两个“人工变量” x5 ,x6
7 9
7 9/4
0
x1 x4 基变量列中___换为___, 改CB列,___换为___. 0 4
8 《运筹学》单纯形法
Excel
2013-7-27
练习㈠用单纯形法
迭代 次数 基 变量
CB
x1
x2
x3
x4
bi
比
0
迭代 次数
zj σj=Cj- zj
基 变量
x3 x4
0 0
4 1 4 0 4
x1
1 3 2 0 1
练习㈡.用单纯形法
Max z =4x1+x2+0x3+0x4-Mx5 x1 + 3x2 + x3 =7 s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5 =9 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥0 基是谁? x3,x5 x5的检验数为0
请它出基,逼它取值为0.
13 《运筹学》单纯形法 2013-7-27