高二数学演绎推理综合测试题
高中数学 专题2.1.2 演绎推理测试题(含解析)新人教A版选修1-2(2021年整理)
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演绎推理班级：姓名：_____________1．下列表述正确的是（)①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案D2．下列说法不正确的是( )A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠答案D3．正弦函数是奇函数，f（x)＝sin(x2＋1）是正弦函数,因此f(x)＝sin(x2＋1）是奇函数．以上推理（)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案C解析由于函数f（x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线;(大前提)已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α；（小前提)则直线b∥直线a.(结论）那么这个推理是（)A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案A6．下列几种推理过程是演绎推理的是( ）A．5和2错误!可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图答案A7．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β,有下列命题:①若m∥n，n⊂α，则m∥α;②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β,n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m,n⊂β，n⊥m，则n⊥α。
人教版高中数学选修2-2学业测评：2.1.2演绎推理
学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．给出下边一段演绎推理：有理数是真分数，大前提整数是有理数，小前提整数是真分数．结论结论明显是错误的，是由于()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【分析】举反例，如 2 是有理数，但不是真分数，故大前提错误．【答案】A2．已知在△ ABC 中，∠ A＝30°，∠ B＝ 60°，求证： BC<AC.由于∠ A＝30°，∠ B＝60°，因此∠ A<∠B.方框部分的证明是演绎推理的()A．大前提C．结论B．小前提D．三段论【分析】由于此题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC<AC”．故选 B.【答案】B3．在证明 f(x)＝2x＋ 1 为增函数的过程中，有以下四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1 知足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1 知足增函数的定义是小前提．此中正确的命题是()A．①④B．②④C．①③D．②③【分析】依据三段论特色，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1 知足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋ 1 为增函数，故①④正确．【答案】A4．(2016 ·郑州高二检测 )在R上定义运算 ?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x＋ a)<1 对随意实数 x 都建立，则 () 【导学号： 60030053】A．－ 1<a<1B．0<a<2(x－a)?13 C．－ 2<a<231 D．－ 2<a<2【分析】∵x?y＝x(1－y)，∴(x－ a)?(x＋ a)＝ (x－ a)(1－ x－ a) ＝－ x2＋x＋ a2－ a<1.∴ x2－ x－ a2＋ a＋1>0，∵不等式 (x－ a)?(x＋a)<1 对随意实数 x 都建立，2∴Δ＝1－4×(－a ＋ a＋ 1)<0，1 3解得－2<a<2.应选 C.【答案】C5．“四边形 ABCD 是矩形，因此四边形ABCD 的对角线相等”，增补该推理的大前提是 ()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等【分析】得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．【答案】B二、填空题6．在三段论“由于a＝(1,0)，b＝(0，－1)，因此a·b＝(1,0) (0·，－1)＝1×0＋0×(－1)＝ 0，因此a⊥ b”中，大前提：，小前提：，结论：___________________________________________________________.【分析】此题省略了大前提，即“a，b 均为非零向量，若 a·b＝0，则a⊥ b”．【答案】若 a，b 均为非零向量，a·b＝0，则a⊥ba＝(1,0)， b＝(0，－1)，且 a·b＝(1,0) (0·，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0a⊥b7．(2016 · 州高二 )全部奇数都不可以被 2 整除，2100＋1 是奇数，因此 2100＋1 不可以被 2 整除．其演推理的“三段”的形式 ________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________.【答案】全部奇数都不可以被 2 整除，大前提2100＋1 是奇数，小前提因此 2100＋1 不可以被 2 整除．*f f8．若f(a＋b)＝ f(a)f(b)(a， b∈N ) ，且 f(1)＝ 2，f＋f＋⋯ ＋f f＝________.f＋f【分析】利用三段．∵ f(a＋b)＝ f(a)f(b)(a，b∈N* )(大前提 )．令 b＝ 1，f a＋＝ f(1)＝2(小前提 )．f af f f f＝2()，∴f＝f＝⋯＝f＝f∴原式＝＝2 018.【答案】 2 018三、解答9．用三段的形式写出以下演推理．(1)自然数是整数，因此 6 是整数；(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数．【解】(1)自然数是整数， (大前提 )6 是自然数， (小前提 )因此 6是整数．()(2)三角函数是周期函数，(大前提 )y＝ cos x(x∈R)是三角函数， (小前提 )因此 y＝ cos x(x∈R)是周期函数． ()10．已知 y＝f(x)在 (0，＋∞)上增且足f(2)＝ 1， f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)求证： f(x2)＝2f(x)；(2)求 f(1)的值；(3)若 f(x)＋f(x＋3) ≤2，求 x 的取值范围．【解】(1)∵f(xy)＝ f(x)＋ f(y)，(大前提 )∴f(x2)＝ f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(结论 )(2)∵ f(1)＝f(12)＝ 2f(1)，(小前提 )∴f(1)＝0.(结论 )(3)∵ f(x)＋f(x＋ 3)＝f(x(x＋ 3))≤2＝2f(2)＝f(4)，(小前提 )且函数 f(x)在(0，＋∞)上单一递加， (大前提 )x>0，∴x＋3>0，解得0<x≤1.(结论)x x＋≤4，[ 能力提高 ]1．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内全部直线；已知直线 b?平面α，直线 a? 平面α，直线 b∥平面α，则直线 b∥直线 a.结论明显是错误的，这是由于()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【分析】大前提是错误的，直线平行于平面，但不必定平行于平面内全部直线，还有异面直线的状况．【答案】A2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时抵达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③【分析】大前提为①，小前提为③，结论为②.【答案】D3．已知 f(1,1)＝1，f(m，n)∈N* (m，n∈N* )，且对随意 m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝ f(m， n) ＋2，②f(m＋1,1)＝ 2f(m,1)．出以下三个：(1)f(1,5)＝ 9， (2)f(5,1)＝ 16，(3)f(5,6)＝ 26.此中正确 __________．【分析】由条件可知：(1)f(1,5)＝ f(1,4)＋ 2＝ f(1,3)＋4＝f(1,2)＋ 6＝f(1,1)＋8＝1＋8＝9.(2)f(5,1)＝ 2f(4,1)＝4f(3,1)＝8f(2,1)＝16f(1,1)＝ 16.(3)f(5,6)＝ f(5,5) ＋ 2＝ f(5,4)＋ 4＝⋯＝ f(5,1)＋ 10＝ 2f(4,1)＋ 10＝ 4f(3,1)＋ 10＝⋯＝16f(1,1)＋ 10＝16＋10＝ 26.【答案】(1)(2)(3)4．在数列 {a n} 中， a1＝2，a n＋1＝ 4a n－ 3n＋1，n∈N* .(1)明：数列 { a n－n} 是等比数列；(2)求数列 { a n} 的前 n 和 S n；(3)明：不等式S n＋1≤4S n，随意 n∈N*皆建立．【解】(1)因 a n＋1＝4a n－3n＋ 1，因此 a n＋1－(n＋ 1)＝4(a n－ n)，n∈N* .又 a1－1＝1，因此数列 { a n－n} 是首 1，且公比 4 的等比数列．(2)由 (1)可知 a n－ n＝ 4n－1，于是数列 { a n} 的通公式 a n＝4n－1＋ n.因此数列 { a n的前和n－1＋n＝4＋n n.}S32(3)随意的 n∈N*，n＋1－1n ＋＋－S n＋1－4S n＝43＋2n4n－ 1n＋13 ＋42＝－2(3n2＋ n－ 4)≤0.因此不等式 S n＋1≤4S n，随意 n∈N*皆建立 .。
高中数学《2.2.1 演绎推理》评估训练 新人教A版选修1-2
2．演绎推理错误!1．下面几种推理过程是演绎推理的是．A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝错误!错误!n≥2，由此归纳出{a n}的通项公式解析C是类比推理，B与D均为归纳推理．答案 A2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是．A．① B．② C．①② D．③解析大前提为①，小前提为③，结论为②答案 D3．“因对数函数＝og a是增函数大前提，而＝og错误!是对数函数小前提，所以＝og错误!是增函数结论．”上面推理错误的是．A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错解析＝og a，当a>1时，函数是增函数；当0”“b2＋c2答案>5．在推理“因为＝in 是错误!上的增函数，所以in错误!π>in错误!”中，大前提为_____________________________________________________；小前提为_________________________________________________；结论为________________________________________________________．答案＝in 是错误!上的增函数错误!π、错误!∈错误!且错误!>错误!in错误!>in错误!6．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°证明因为任意三角形内角之和为180°大前提，而直角三角形是三角形小前提，所以直角三角形内角之和为180°结论．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等大前提，∠A＋∠B＋90°－90°＝180°－90°小前提，所以∠A＋∠B＝90°结论．错误!7．“所有9的倍数M都是3的倍数、n、，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若⊥α，m⊥β且∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α其中正确的命题个数是．A．1 B．2 C．3 D．4解析①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B答案 B9．函数＝2＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提__________________________________________________；小前提_______________________________________________________；结论_______________________________________________________答案一次函数的图象是一条直线函数＝2＋5是一次函数函数＝2＋5的图象是一条直线10．“如图，在△ABC中，AC >BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>BCD”．证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD③则在上面证明的过程中错误的是________．只填序号解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．答案③11．已知函数f，对任意，∈R都有f＋＝f＋f，且>0时，f2f0时，f<0，∴f2－1<0，即f2－f1<0，∴f为减函数．∴f在[－3,3]上的最大值为f－3，最小值为f3．∵f3＝f2＋f1＝3f1＝－6，f－3＝－f3＝6，∴函数f在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－612．创新拓展设F1、F2分别为椭圆C：错误!＋错误!＝1a＞b＞0的左、右两个焦点，已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点，n，则点N的坐标为－m，－n，有错误!－错误!＝1又设点，，得·错误!＝错误!把2＝错误!－b2，n2＝错误!－b2代入上式，得PM·PN＝错误!。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理【答案】A【解析】解：因为“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于演绎推理，从一般到特殊点思想，选A2.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出 .【答案】【解析】因为,所以. 3.在平面几何中,有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有.”【答案】【解析】根据类比的规则，三角形类比三棱锥，边类比成面.所以.4.把正整数1,2,3,4,5,6,……按某种规律填入下表，261014按照这种规律继续填写，2011出现在第______行第______列.【答案】【解析】观察规律：（1，2，3，4），（5，6，7，8）…每4个为一周期，2012是第502组最后一个，处于中间一行，故2011在前一列最后一行，即第3行；而（1，2，3，4），（5，6，7，8）…从列数来看，为每3列为一周期，4为第一列，2012位于3+5023=1509列，故2011在第1508列。
5.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【答案】A【解析】直线平行于平面,则平行于平面内所有直线显然错误.因为直线与平面内的直线可能平行也可能异面.6.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数（）A．6种B．12种C．18种D．24种【答案】A【解析】由题意可知1，2，9的位置是确定的.其它位置有6种方法.7.在等差数列中，有，类比上述性质，在等比数列中，有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为在等差数列中，有，类比上述性质，和对应积，因此在等比数列中，8.无限循环小数为有理数，如：，… 观察＝，＝，＝，…，则可归纳出＝_____ ___.【答案】【解析】解：无限循环小数为有理数，如：，…观察＝，＝，＝，…，则可归纳出＝9.观察下列式子：，，，… ，根据以上式子可以猜想：.【答案】【解析】解：因为根据已知关系式，可知，分母为项数，分子为项数的2倍减1，则那么猜想10.下列正确的是（▲）A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是由特殊到一般的推理C．归纳推理是由个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤【答案】C【解析】此题考查几种推理的概念；类比推理是有共同属性的两种事物之间的推理，归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理与归纳推理都是合情推理，但结论不一定正确，演绎推理是从一般到特殊的推理，所以C正确。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k-2的末两位数字是49，74k-1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、…），∵2011=503×4-1，∴72011的末两位数字为43【考点】本题考查了推理的运用点评：本题以求7n（n≥2）的末两位数字的规律为载体，考查了数列的通项和归纳推理的一般方法的知识，属于基础题．2.从中得出的一般性结论是_______________.【答案】（注意左边共有项【解析】解：因为从中得出的一般性结论是3.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出 .【答案】【解析】因为,所以. 4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由图形可知：第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6=8；第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6=14；第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6=20；…；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6=2+6n．故答案为2+6n．5.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。
A．①③B．②③C．①②D．①②③【答案】D【解析】解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的故答案为：①②③6.下面几种推理是演绎推理的是（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，新药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.C．由三角形的三条中线交于一点，联想到四面体四条中线（四面体每个顶点与对面重心的连线）交于一点D．一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除.【答案】D【解析】根据演绎推理中的三段论推理，大前提---小前提----结论，D符合。
人教新课标版数学高二-选修2-2训练 2.1.2演绎推理
数学·选修2－2(人教A 版)2.1 合情推理与演绎推理2．1.2 演绎推理一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2－1)是正弦函数，所以f (x )＝sin(x 2－1)是奇函数，以上推理过程中( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：大前提正确，小前提错误，因为f (x )＝sin(x 2－1)不是正弦函数，所以结论也是错误的．故选C.答案：C2．因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．这个推理过程中( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案：A3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析：由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(－x)＝－g(x)，故选D.答案：D4．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某学校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式答案：A5. 如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的()A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α，β所成的角相等解析：只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.答案：D二、填空题6．由“ (a2＋1)x＞3，得x＞3a2＋1”的推理过程中，其大前提是________．解析：因为a 2＋1≥1＞0，所以由 (a 2＋1)x ＞3，得x ＞3a 2＋1.其前提依据为不等式的乘法法则：a ＞0，b ＞c ⇒ab ＞ac .答案： a ＞0，b ＞c ⇒ab ＞ac7．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.解析：因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义则f (0)＝0，而奇函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R ，所以f (0)＝a －120＋1＝0.解得a ＝12. 答案：128．(2013·西城高二检测)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 014)f (2 013)＝________.解析：利用三段论．因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)．令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2(小前提)．所以f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2 014)f(2 013)＝2 (结论)，所以原式＝1 007×2＝2 014.答案：2 014三、解答题9．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1，32－22＝2×2＋1，42－32＝2×3＋1，…(n＋1)2－n2＝2×n＋1.将以上各式分别相加，得：(n＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.类比上述求法：请你用(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1求出12＋22＋32＋…＋n2的值．解析：23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1，…(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各式分别相加得：(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋32＋…＋n2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n)＋n.所以12＋22＋32＋…＋n2＝13(n＋1)3－1－n－3n(n＋1)2＝16n(n＋1)(2n＋1)．10．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)<0.求证：(1)f(x)为奇函数；证明：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.再令y＝－x，f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)f(x)为R上的增函数．证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x1－x2<0，由已知得f(x1－x2)<0.∴f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在R上是增函数．。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）是他们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.（Ⅰ）求出的值；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；（Ⅲ）求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）因为由上式规律，所以得出因为（Ⅲ）当时，,则【考点】本题主要考查归纳推理，“裂项相消法”。
点评：中档题，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。
归纳推理问题，往往与数列知识相结合，需要综合应用数列的通项公式、求和公式等求解。
2.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③【答案】C【解析】平面中的边类比到立体中的边或面，平面中的两线夹角类比到立体中的棱的夹角或两面的夹角【考点】归纳类比点评：归纳类比题目要根据被类比的事物的特征找到他们相似相通的地方加以迁移变换3.“因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A．矩形都是对角线相等的四边形B．正方形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形【答案】A【解析】解：因为“因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，那么前提必须是矩形具有该性质，所以以上推理的大前提矩形都是对角线相等的四边形，选A4.在中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，类比此性质，如图，在四面体P—ABC 中，若PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为，设棱锥底面上的高为，则得到的正确结论为 .【答案】【解析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维到三维由题目中Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则中的结论是二维的边与边的关系，类比后的结论应该为三维的边与边的关系，故可猜想：，故答案为：．5.对于……大前提……小前提所以……结论以上推理过程中的错误为（）A．大前提B．小前提C．结论D．无错误【答案】B【解析】小前提错误，因为没说明x>0.6.下面使用类比推理正确的是（）.A．“若,则”类推出“若,则”B．“若”类推出“”C．“若”类推出“（c≠0）”D．“” 类推出“”【答案】C【解析】解：A.“若,则”类推出“若,则”，结论错误。
【高二】高二数学归纳推理综合测试题(含答案)
【高二】高二数学归纳推理综合测试题(含答案)选修2-22.1.1第1课时归纳推理一、1．关于归纳推理，以下观点恰当的就是( )a．归纳推理是一般到一般的推理b．归纳推理就是通常至个别的推理小说c．归纳推理的结论一定是正确的d．归纳推理的结论就是或然性的[答案] d[解析] 归纳推理就是由特定至通常的推理小说，其结论的正确性不一定．故高文瑞d.2．下列推理是归纳推理的是( )a．a，b为定点，动点p满足用户pa＋pb＝2a>ab，得p的轨迹为椭圆b．由a1＝1，an＝3n－1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式c．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜到椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积s＝πabd．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇[答案] b[解析] 由归纳推理的定义知b是归纳推理，故应选b.3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等同于( )a．28b．32c．33d．27[答案] b[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推断出x＝32.故高文瑞b.4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是( )a．2n－2－12b．2n－2c．2n－1＋1d．2n＋1－4[答案] b[解析] ∵a1＝0＝21－2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……悖论an＝2n－2.故应选b.5．某人为了观赏2021年奥运会，从2021年起至，每年5月10日至银行取走a元定期储蓄，若年利率为p且维持维持不变，并签订合同每年到期存款均自动变为代莱一年定期，至2021年将所有的存款及利息全部领回，则可以领回的钱的总数(元)为( )a．a(1＋p)7b．a(1＋p)8c.ap[(1＋p)7－(1＋p)]d.ap[(1＋p)8－(1＋p)][答案] d[解析] 至2021年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2021年5月10日存款及利息为a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2021年5月10日存款及利息为a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]……所以到2021年5月10日存款及利息为a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．故应选d.6．未知数列{an}的前n项和sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过排序a2，a3，a4，悖论an等同于( )a.2(n＋1)2b.2n(n＋1)c.22n－1d.22n－1[答案] b[解析] 因为sn＝n2an，a1＝1，所以s2＝4a2＝a1＋a2?a2＝13＝23×2，s3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝a1＋a28＝16＝24×3，s4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4a4＝a1＋a2＋a315＝110＝25×4.所以猜想an＝2n(n＋1)，故应选b.7．n个已连续自然数按规律排序下表中：根据规律，从2021到2021箭头的方向依次为( )a．↓→b．→↑c．↑→d．→↓[答案] c[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2021到2021为↑→，故应选c.8．(2021?山东文，10)观测(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可以得：若定义在r上的函数f(x)满足用户f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )a．f(x)b．－f(x)c．g(x)d．－g(x)[答案] d[解析] 本题考查了推理小说证明及函数的奇偶性内容，由例子可以窥见偶函数微分后都变为了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选d，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．9．根据得出的数塔猜测123456×9＋7等同于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…a．1111110b．1111111c．1111112d．1111113[答案] b[解析] 根据规律应属7个1，故高文瑞b.10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数就是( )a．27b．28c．29d．30[答案] b[解析] 观测概括所述第n个三角形数共计点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.二、题11．观测以下由火柴杆拆成的一列图形中，第n个图形由n个正方形共同组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．[答案] 13,3n＋1[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n＋1根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可以得通常规律就是__________________．[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析] 第1式存有1个数，第2式存有3个数相乘，第3式存有5个数相乘，故悖论第n个式子存有2n－1个数相乘，且第n个式子的第一个加数为n，每数减少1，共计2n－1个数相乘，故第n个式子为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.13．观测右图中各正方形图案，每条边上存有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数就是s，按此规律面世s与n的关系式为________．[答案] s＝4(n－1)(n≥2)[解析] 每条边上存有2个圆圈时共计s＝4个；每条边上存有3个圆圈时，共计s＝8个；每条边上存有4个圆圈时，共计s＝12个．可知每条边上减少一个点，则s减少4，∴s与n的关系为s＝4(n－1)(n≥2)．14．(2021?浙江理，15)观察下列等式：c15＋c55＝23－2，c19＋c59＋c99＝27＋23，c113＋c513＋c913＋c1313＝211－25，c117＋c517＋c917＋c1317＋c1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈n*，c14n＋1＋c54n＋1＋c94n＋1＋…＋c4n＋14n＋1＝__________________.[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.三、答疑题15．在△abc中，不等式1a＋1b＋1c≥9π成立，在四边形abcd中，不等式1a＋1b＋1c＋1d≥162π设立，在五边形abcde中，不等式1a＋1b＋1c＋1d＋1e≥253π成立，猜想在n边形a1a2…an中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据未知特定的数值：9π、162π、253π，…，总结概括出来一般性的规律：n2(n－2)π(n≥3)．∴在n边形a1a2…an中：1a1＋1a2＋…＋1an≥n2(n－2)π(n≥3)．16．右图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各存有多少个顶点？多少条边？它们围起了多少个区域？并将结果插入下表中．平面区域顶点数边数区域数(1)(2)(3)(4)(1)观测上奏，推测一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间存有什么关系？(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表中：平面区域顶点数边数区域数关系(1)3323＋2－3＝2(2)81268＋6－12＝2(3)6956＋5－9＝2(4)1015710＋7－15＝2结论vefv＋f－e＝2推广999e999e＝999＋999－2＝1996其顶点数v，边数e，平面区域数f满足关系式v＋f－e＝2.故可以悖论此平面图可能将存有1996条边．17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式．[解析] b1＝a?r100＋a4?p100a＋a4＝110045r＋15p，b2＝ab1＋a4?p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.b3＝a?b2＋a4?p100a＋a4＝1100453r＋15p＋452p＋4253p，∴概括得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15np.18．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈n＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．即为：当n挑任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值质数．但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．所以，上面由归纳推理获得的悖论不恰当．。
2019-2020学年高二数学选修2-2《2.1合情推理与演绎推理》测试卷及答案解析
2019-2020学年高二数学选修2-2《2.1合情推理与演绎推理》测试卷一．选择题（共11小题）1．根据给出的数塔猜测123456×9+7＝（）1×9+2＝1112×9+3＝111123×9+4＝11111234×9+5＝1111112345×9+6＝111111…A．1111110B．1111111C．1111112D．11111132．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（）A．类比推理B．三段论推理C．归纳推理D．传递性推理3．下面几种是合情推理的是（）①已知两条直线平行同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③数列{a n}中，a n＝2n﹣1推出a10＝19④数列1，0，1，0，…推测出每项公式a n＝+（﹣1）n+1．A．①②B．②④C．②③D．③④4．为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了6．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的7．“三段论”是演绎推理的一般形式．现给出一段推理：①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形．那么，这段推理中的小前提是（）A．①B．②C．③D．无法确定8．用三段论进行如下推理：“对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）是增函数，因为y＝x 是对数函数，所以y＝x是增函数．”你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的9．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的10．下面有段演绎推理：“直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，则该推理中（）。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．2.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．3.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数，第个三角形数为.记第个边形数为（），以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数可以推测的表达式，由此计算 .【答案】【解析】事实上我们可以换种方式来表达这些多边形数，如：，，，，从中不难发现其中的规律：就是表示以为首相，为公差的等差数列前项的和，即有，所以.【考点】推理知识和等差数列知识的综合.4.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.5.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第4个图案中有白色地面砖________________块．【答案】18【解析】由图形间的关系可以看出，第1个图案中有白色地面砖6块，第4个图案中有白色地面砖6+4块，第4个图案中有白色地面砖6+24块，第4个图案中有白色地面砖6+34块，故答案为18块.【考点】归纳推理.6.观察下列各式：，，，，，，则（）A．28B．C．D．【答案】B【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．7.若函数，则对于，【答案】【解析】当时，，则当时，故【考点】归纳推理8.当成等差数列时，有当成等差数列时，有当成等差数列时，有由此归纳，当成等差数列时，有．如果成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为______________．【答案】【解析】根据等差数列与等比数列类比是升级运算，因此在等差数列种有，如果成等比数列，则．【考点】本题考查类比推理、等差和等比数列的类比．9.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．【答案】1＋＋＋…＋>【解析】3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>10.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．【答案】猜想成立【解析】在△DEF中(如图)，由正弦定理得. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想成立．11.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：，，，；，，；，；按此规律，的分解式中的第三个数为 ____ ．【答案】【解析】解：根据题意：所以＝故答案应填：【考点】合情推理.12.下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面；所以直线直线，在这个推理中（）A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误【答案】D【解析】如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线平面，直线平面时，直线与直线可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.【考点】演绎推理.13.观察按下列顺序排列的等式：，……，猜想第（）个等式应为_ _.【答案】【解析】这是一个归纳推理的问题，要想从一部分个体具有的性质来猜想一般情形具有的性质，需要对给出的等式进行认真观察，发现其中变化的规律，从而作出正确的猜想，等式左边第一部分与9相乘的数从0开始逐渐增加1，等式左边的第二部分从1开始逐渐增加1，等式右边从1开始，逐渐增加10，所以可猜想第个等式为.【考点】归纳推理.14.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是()A．21B．28C．32D．36【答案】B【解析】原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和． l是第一个三角形数， 3是第二个三角形数， 6是第三个三角形数， 10是第四个三角形数， 15是第五个三角形数，…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．故选B．【考点】合情推理点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，注意总结规律15.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点. 以上推理中A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】根据极值点的概念可知：若，则不一定是函数的极值点，∴本题的推理中大前提错误，故选A【考点】本题考查了演绎推理的概念点评：演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中。
高中数学 212演绎推理测试 新人教B版选修2-2
演绎推理一、选择题1．对归纳推理的表述不正确的一项为哪一项〔〕Ａ．归纳推理是由局部到整体的推理Ｂ．归纳推理是由个别到一般的推理Ｃ．归纳推理是从争辩对象的全体中抽取局部进展观看试验，以取得信息，从而对整体作出推断的一种推理Ｄ．归纳推理是由一般到特殊的推理答案：Ｄ2．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是〔〕Ａ．归纳推理Ｂ．演绎推理Ｃ．类比推理Ｄ．特殊推理答案：Ｃ3．用演绎法证明函数是增函数时的大前提是〔〕Ａ．增函数的定义Ｂ．函数满足增函数的定义Ｃ．假设，那么Ｄ．假设，那么答案：Ａ4．数列，那么数列的第项是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ5．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是〔〕Ａ．连续两项的和相等的数列叫等和数列Ｂ．从其次项起，以后第一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列Ｃ．从其次项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列Ｄ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等数数列答案：Ｃ6．观看数列，那么数将毁灭在此数列的第〔〕Ａ．21项Ｂ．22项Ｃ．23项Ｄ．24项答案：Ｃ二、填空题7．将函数为增函数的推断写成三段论的形式为．答案：〔大前提〕指数函数是增函数；〔小前提〕是底数大于1的指数函数；〔结论〕为增函数．8．在平面，到一条直线的距离等于定长〔为正数〕的点的集合，是与该直线平行的两条直线．这一结论推广到空间那么为：在空间，到一个平面的距离等于定长的点的集合，是．答案：与该平面平行的两个平面9．从入手，你推想与的大小关系是．答案：时，；时，10．假设数列满足，且，那么此数列的通项公式为 ．答案：11．由图〔1〕有面积关系：，那么由图〔2〕有体积关系 ．答案：12．把这些数叫做三角形数，这是由于这些数目的点子可以排成一个正三角形〔如下面〕，那么第七个三角形数是 ．答案：28三、解答题13．用三段论证明：通项为〔为常数〕的数列是等差数列．证明：由于数列是等差数列，那么，其中为常数，由，得为常数，所以，以〔为常数〕的数列是等差数列．14．设有数列〔1〕问10是该数列的第几项到第几项？〔2〕求第100项；〔3〕求前100项的和．解：将数列分组，第一组一个“1”；其次组两个“2”，第三组三个“3”；第四组四个“4”，如此下去；〔1〕易知“10”皆毁灭在第十组，由于前九组中共有：项，因此10在该数列中从第46项到第55项；〔2〕由，即成立的最大自然数为13，又，因此第100项为14；〔3〕由〔2〕知前100项的和为：．15．设是集合中全部的数从小到大排列成的数列，即，将数列各项依据上小下大，左小右大的原那么写成如右的三角形数表：〔1〕写出这个三角形数表的第四行、第五行；〔2〕求．解：用记号表示的取值，那么数列中的项对应的也构成一个三角表：第一行右边的数是“1”；其次行右边的数是“2”；第三行右边的数是“3”；于是第四行右边的数便是“4”，第五行右行的数自然就是“5”了．而左边的那个数总是从“0”开头逐个递增．因此〔1〕第四行的数是：；；；；第五行的数是：；；；；．〔2〕由，知在第十四行中的第9个数，于是．演绎推理一、选择题1．以下说法正确的选项是〔 〕Ａ．由归纳推理得到的结论确定正确Ｂ．由类比推理得到的结论确定正确3 5 6 9 10 12Ｃ．由合情推理得到的结论确定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论确定正确答案：Ｄ2．写出数列的一个通项公式是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ3．关于平面对量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得以下结论：①；②；③；④；⑤由，可得．以上通过类比得到的结论正确的有〔〕Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个答案：Ａ4．假设平面上个圆最多把平面分成个区域，那么个圆最多把平面分成区域的个数为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ5．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的选项是〔〕Ａ．大前提Ｂ．小前提Ｃ．推理形式Ｄ．大小前提及推理形式答案：Ｃ6．三条直线三个平面．下面四个命题中正确的选项是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ二、填空题7．观看，，请写出一个与以上两式规律违反的一个等式：．答案：8．数列中，，试推想出数列的通项公式为．答案：9．，观看以下几式：，，类比有，那么．答案：10．假设，，，，那么的大小关系为．答案：11．通过圆与球的类比，由“半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为．”猜想关于球的相应命题为．答案：关径为的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为12．类比平面上的命题〔m〕，给出在空间中的类似命题〔n〕的猜想．〔m〕假设的三条边上的高分别为和，内任意一点到三条边的距离分别为，那么．〔n〕．答案：从四周体的四个顶点分别向所对的面作垂线，垂线长分别为和．为四周体内任意一点，从点向四个顶点所对的面作垂线，垂线长分别为和，那么类比所得的关系式是．三、解答题13．设对有意义，，且成立的充要条件是．〔1〕求与的值；〔2〕当时，求的取值范围．解：〔1〕因，且对于，有，令，得；令，得．〔2〕由条件，得，又，由，得．由成立的充要条件是，所以有14．设是上的偶函数，求的值．解：是上的偶函数，，对于一切成立，由此得，即．又，．15．如下图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．〔1〕求证：；〔2〕在任意中有余弦定理．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．〔1〕证明：，，平面．〔2〕解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角．平面．上述的二面角为．在中，，由于，，，有。
(完整版)高二数学演绎推理综合测试题
选修2-2 2.1.2 演绎推理一、选择题1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析]由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是()A．大前提错B．小前提错C．结论错D．正确的[答案] D[解析]前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论[答案] C[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．4．“因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 13x是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错[答案] A[解析] 对数函数y ＝log a x 不是增函数，只有当a >1时，才是增函数，所以大前提是错误的．5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①②[答案] B[解析]由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是()A．①B．②C．①②D．③[答案] B[解析]易知应为②.故应选B.7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理()A．大前提错B．小前提错C．推论过程错D．正确[答案] C[解析]大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()A．正确B．推理形式正确C．两个自然数概念不一致D．两个整数概念不一致[答案] A[解析]三段论的推理是正确的．故应选A.9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为()[答案] A[解析]如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是() A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．二、填空题11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0[解析] 由三段论方法知应为log 2x －2≥0.12．以下推理过程省略的大前提为：________.∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .[答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .13．(2010·重庆理，15)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.[答案] 12[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2)∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)∴f (x )＝f (x ＋6)即f (x )周期为6，∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝2f (1)，∴f (0)＝12即f (2010)＝12. 14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等[解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝13S △AOB ·h ，又S △AOB ＝12|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．三、解答题15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.[证明]如下图延长AB，DC交于点M.①平行线分线段成比例大前提②△AMD中AD∥BC小前提③MBBA＝MCCD结论①等量代换大前提②AB＝CD小前提③MB＝MC结论在三角形中等边对等角大前提MB＝MC小前提∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论等量代换大前提∠B＝π－∠1∠C＝π－∠2小前提∠B＝∠C结论16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．[证明]若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．[解析]推理的第一个关键环节：大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．推理的第二个关键环节：大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.以下可得出结论a＝－4.18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．[解析] (1)F ∈l ⇔|F A |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意，y 1，y 2不同时为0.∴上述条件等价于y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于x 1＋x 2＝0，即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ；过点A 、B 的直线方程为y ＝－12x ＋m ，所以x 1，x 2满足方程2x 2＋12x －m ＝0，得x 1＋x 2＝－14.A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932.即得l 在y 轴上截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.。
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题(有答案)
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题（有答案）第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。
一、(本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等同于底乘坐低的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等同于底乘坐低的一半．以上推理运用的推理规则是( )a．三段论推理小说b．假言推理c．关系推理小说d．完全归纳推理[答案] d[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的关系式公式可能将就是( )a.a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈n*)b.a1＝1，an＝an－1＋n(n∈n*，n≥2)c.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈n*)d.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈n*，n≥2)[答案] b[解析] 记数列入{an}，由未知观测规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，所述当n≥2时，an比an－1多n，可以得关系式关系a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈n*)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )a．大前提错误b．小前提错误c．推理小说形式错误d．不是以上错误[答案] c[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选c.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈n*)时，检验n ＝1，左边马热里角的项是( )a．1b．1＋2c．1＋2＋3d．1＋2＋3＋4[答案] d[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故高文瑞d.5．在r上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )a．－1＜a＜1b．0＜a＜2c．－12＜a＜32d．－32＜a＜12[答案] c[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)?(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．(x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1即x2－x－a2＋a＋1>0不等式恒设立的充要条件就是δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0即4a2－4a－3<0解得－126．未知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )a．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13b．f(n)中共存有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14c．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13d．f(n)中共存有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[答案] d[解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故高文瑞d.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )a．大于0b．小于0c．不大于0d．不大于0[答案] d[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.数学分析2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac ＝ab＜0，确定a、b、c，挑选d.8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( )a．a＞bb．a＜bc．a＝bd．a、b大小不定[答案] b[解析] a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋1>c>0，c>c－1>0，所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈n*)等于( )a．f(k)＋π2b．f(k)＋πc．f(k)＋32πd．f(k)＋2π[答案] b[解析] 由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.10．若sinaa＝cosbb＝coscc，则△abc就是( )a．等边三角形b．存有一个内角就是30°的直角三角形c．等腰直角三角形d．存有一个内角就是30°的等腰三角形[答案] c[解析] ∵sinaa＝cosbb＝coscc，由正弦定理得，sinaa＝sinbb＝sincc，∴sinbb＝cosbb＝coscc＝sincc，∴sinb＝cosb，sinc＝cosc，∴∠b＝∠c＝45°，∴△abc是等腰直角三角形．11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝ab?ba的大小关系就是( )a．p≥qb．p≤qc．p＞qd．p＜q[答案] a若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1；若a＝b，则pq＝1，∴p≥q.12．设立函数f(x)定义如下表中，数列{xn}满足用户x0＝5，且对任一的自然数均存有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝( )x12345f(x)41352a.1b．2c．4d．5[答案] c[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2021＝x3＝4，故应选c.二、题(本大题共4个小题，每小题4分后，共16分后．将恰当答案填上在题中横线上)13．半径为r的圆的面积s(r)＝πr2，周长c(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式需用语言描述为：圆的面积函数的导数等同于圆的周长函数．对于半径为r的球，若将r看做(0，＋∞)上的变量，恳请你写下类似①式的式子：______________________________，你写给的式子需用语言描述为__________________________．[答案] 43πr3′＝4πr2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．未知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈n*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.[答案] 12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1[解析] f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1f(2k)＝1＋12＋13＋ (12)f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可以明确提出一个悖论的等式为________________．[答案] si n2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34[解析] 观测40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα?cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.16．设p就是一个数集，且至少所含两个数，若对任一a、b∈p，都存有a＋b、a－b、ab、ab∈p(除数b≠0)，则表示p就是一个数域．比如有理数集q就是数域；数集f＝{a＋b2a，b∈q}也就是数域．存有以下命题：①整数集是数域；②若有理数集q?m，则数集m必为数域；③数域必为无限集；④存有无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查理解、分析等学习能力．①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；②如将有理数集q，添上元素2，得到数集m，则取a＝3，b＝2，a＋b?m；③由数域p的定义言，若a∈p，b∈p(p中至少所含两个元素)，则存有a＋b∈p，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈p，∴p中必所含无穷多个元素，∴③对．④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈q，则由数域定义知，f＝{a＋bxa、b∈q}必是数域，这样的数域f有无穷多个．三、答疑题(本大题共6个小题，共74分后．求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈r，且a＋b＋c＝1.澄清：a2＋b2＋c2≥13.[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相乘得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥13.18．(本题满分12分后)证明以下等式，并从中概括出来一个一般性的结论．2cosπ4＝2，2cosπ8＝2＋2，2cosπ16＝2＋2＋2，……[证明] 2cosπ4＝2?22＝22cosπ8＝21＋cosπ42＝2?1＋222＝2＋22cosπ16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an?an－1＝2?an－1－1.(1)谋a2、a3、a4；(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式． [解析] (1)由an?an－1＝2?an－1－1得an＝2－1an－1，代入a1＝3，n依次值域2,3,4，得a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97.(2)证明：由an?an－1＝2?an－1－1变形，得(an－1)?(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，即1an－1－1an－1－1＝1，所以{1an－1}是等差数列．由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1，变形得an－1＝22n－1，所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上以增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．[解析] (1)证法1：余因子x1，x2∈(－1，＋∞)，何不设x10，且ax1>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋3(x＋1)2>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒设立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)数学分析1：设立存有x0<0(x0≠－1)满足用户f(x0)＝0则ax0＝－x0－2x0＋1，且0∴0故方程f(x)＝0没负数根．解法2：设x0<0(x0≠－1)①若－1②若x00，ax0>0，∴f(x0)>0.综上，x<0(x≠－1)时，f(x)0，即方程f(x)＝0无负根．21．(本题满分12分后)我们晓得，在△abc中，若c2＝a2＋b2，则△abc就是直角三角形．现在恳请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△abc为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a,c＞b，由c就是△abc的最小边，所以必须证△abc就是锐角三角形，只需证角c为锐角，即为证cosc＞0.∵cosc＝a2＋b2－c22ab，∴必须证cosc＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：an＋bn＝cn，于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cosc＞0，c就是锐角，△abc为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2021?安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充份必要条件就是：对任何n∈n＋，都存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路就是利用裂项议和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设立数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式似乎设立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设立所述的等式对一切n∈n＋都设立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观测如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②将①代入②，得k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈n，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．证法2：(轻易证法)依题意存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.②②－①得1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③同理只须a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)即an＋2－an＋1＝an＋1－an，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈n*均成立．所以{an}是等差数列．。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）. A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【答案】B.【解析】该三段论的推理形式、小前提是正确的，但大前提“任何实数的平方大于0”是错误的，应是“任何实数的平方大于或等于0”.【考点】演绎推理.2.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于A．B．C．D．【答案】C【解析】四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此，解得.【考点】类比推理的应用.3.在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为＝________．【答案】.【解析】在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：.【考点】类比推理.4.依此类推，第个等式为.【答案】【解析】；；，由此推理得：.【考点】归纳推理.5.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．6.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（Ⅰ）求出；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（Ⅲ）根据你得到的关系式求的表达式.【答案】（Ⅰ）41（Ⅱ）f(n+1)-f(n)=4n（Ⅲ）f(n)=2n2-2n+1【解析】（Ⅰ）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，从而得出f（5）；（Ⅱ）将（Ⅰ）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，（Ⅲ）再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得．试题解析：（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, 2分f(5)=25+4×4=41. 4分（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 6分由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n. 8分（Ⅲ）f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) 10分f(n)-f(1)="4[1+2+" +（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,f(n)=2n2-2n+1 12分【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．7.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.【答案】A【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.【考点】推理证明8.已知根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】【解析】由以上等式，可猜想出的一般结论是.【考点】归纳推理9.椭圆的标准方程为（），圆的标准方程，即，类比圆的面积推理得椭圆的面积。
人教版数学高二人教 《合情推理与演绎证明》 精品测试
数学：2.1《合情推理与演绎证明》测试2（新人教A版选修2-2）一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是（）Ａ．“若22m n=··，则m n=”类比得出“若00m n=··，则m n=”Ｂ．“()a b c ac bc+=+”类比得出“()a b c ac bc=··”Ｃ．“()a b c ac bc+=+”类比得出“(0)a b a bcc c c+=+≠”Ｄ．“()n n npq p q=·”类比得出“()n n np q p q+=+”答案：Ｃ2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（）Ａ．①Ｂ．②Ｃ．③Ｄ．①和②答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n nn n*+++++++=∈N时，第一步验证1n=时，左边应取的项是（）Ａ．1 Ｂ．12+Ｃ．123++Ｄ．1234+++答案：Ｄ5．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin(cos sin)(cos sin)cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（）Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法和综合法综合使用Ｄ．间接证法答案：Ｂ+-(3n+，则2n．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：{}a是等差数列，则n也是等差数列．nn72+>15+，，21n +-1=时，1>21k +-1111212212122212122k k k k k k k k k ++++++++>++++>+=-+-+-．是否存在常数，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++1)(k k +-(1)4k =+）知，等式结一切正整数n 都成立．。
高中数学 21合情推理与演绎推理测试 A选修2—2 试题
高中新课标选修〔2-2〕推理与证明综合测试题一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的〔 〕 Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为〔 〕 Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥Ｃ．n 为正奇数Ｄ．n 为正偶数答案：Ｃ3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，那么ABC △一定是〔 〕 Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，假设0n a >，公差0d >，那么有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，假设01n b q >>，，那么4578b b b b ，，，的一个不等关系是〔 〕 Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ｂ5．〔1〕332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，〔2〕a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或者等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的选项是〔 〕Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，那么可归纳出式子为〔 〕 Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 答案：Ｃ7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．假设EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的间隔 之比为:m n ，那么可推算出：ma mbEF m m +=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的间隔 之比为:m n ，那么OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是〔 〕Ａ．120mS nS S m n+=+Ｂ．120nS mS S m n+=+==答案：Ｃ8．a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，那么〔 〕 Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：假设整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，以下假设中正确的选项是〔 〕Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数 Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 答案：Ｂ10．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为〔 〕 Ａ．21k +Ｂ．2(21)k +Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式〞的形式，对于给定的两个函数，()2x xa a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是〔 〕 ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+； Ａ．①③Ｂ．②④Ｃ．①④Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列那么上起第2021行，左起第2021列的数应为〔 〕 Ａ．22005Ｂ．22006Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯答案：Ｄ1251017436111898712191615141320二、填空题13．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提 333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论14．111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ． 答案：111121222k kk ++++++15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型〞图：设第n 个图有n a 个树枝，那么1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ．答案：122n n a a +=+三、解答题17．如图〔1〕，在三角形ABC 中，AB AC ⊥，假设AD BC ⊥，那么2AB BD BC =·；假设类比该命题，如图〔2〕，三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，假设A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，那么有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，假设A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，那么有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题． 证明如下：在图〔2〕中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，那么有DE BC ⊥． 因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥． 又AM DE ⊥，所以2AE EM ED =·．于是22111222ABCBCM BCD S BC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····．18．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点． 求证：〔1〕MN ∥平面PAD ；〔2〕MN CD ⊥．证明：〔1〕取PD 的中点E ，连结AE NE ，． N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD ∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =． EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ， MN ∴∥平面PAD ．〔2〕PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线， CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ， AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：〔分析法〕设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫⎪⎝⎭·， 正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此此题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l ，得11π4>． 因此，只需证明4π>．∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了假如一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=，所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a c ac +，2b cbd +， 所以122a cb dac bd ++++=≤， 这与1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数．21．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=〔其中0a >，且1a ≠〕．〔1〕523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示； 〔2〕假如〔1〕中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：〔1〕由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··， 又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．〔2〕由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+， 于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+．证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=〔大前提〕．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=，〔小前提及结论〕所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22．假设不等式111123124an n n +++>+++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>， 所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++． 〔1〕当1n =时，已证；〔2〕假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++． 那么当1n k =+时， 有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++ 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以112032343(1)k k k +->+++． 所以当1n k =+时不等式也成立． 由〔1〕〔2〕知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++， 所以a 的最大值等于25．高中新课标选修〔2-2〕推理与证明综合测试题一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是〔 〕Ａ．“假设22mn =··，那么m n =〞类比得出“假设00m n =··，那么m n =〞Ｂ．“()a b c ac bc +=+〞类比得出“()a b c ac bc =··〞 Ｃ．“()a b c ac bc +=+〞类比得出“(0)a b a bc c c c+=+≠〞 Ｄ．“()n n n pq p q =·〞类比得出“()n n n p q p q +=+〞 答案：Ｃ2．图1是一个程度摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是〔 〕Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形〞中的小前提是〔 〕 Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是〔 〕 Ａ．1Ｂ．12+Ｃ．123++Ｄ．1234+++答案：Ｄ5．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=〞的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2θθθθθθθθθ-=+-=-=〞中应用了〔 〕 Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法答案：Ｂ6-<成立，那么a b ，应满足的条件是〔 〕 Ａ．0ab <且a b > Ｂ．0ab >且a b >Ｃ．0ab <且a b <Ｄ．0ab >且a b >或者0ab <且a b <答案：Ｄ7．以下给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为适宜的是〔 〕 Ａ．三角形 Ｂ．梯形Ｃ．平行四边形Ｄ．矩形答案：Ｃ8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角〞的结论的否认是〔 〕 Ａ．有两个内角是钝角Ｂ．有三个内角是钝角 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角答案：Ｃ9．用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为〔 〕Ａ．41412156325(35)k k k +++++· Ｂ．441223355k k ++·· Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++答案：Ａ10．扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为〔 〕 Ａ．212rＢ．212lＣ．12rlＤ．不可类比答案：Ｃ11．1m >，a =-b =-，那么以下结论正确的选项是〔 〕 Ａ．a b > Ｂ．a b < Ｃ．a b = Ｄ．a ，b 大小不定答案：Ｂ12．观察以下各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，，可以得出的一般结论是〔 〕 Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-答案：Ｂ二、填空题 13．21111()12f n n n n n =++++++，那么()f n 中一共有项．答案：21n n -+14<<+<，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n，成立的条件不等式．答案：当20m n +=15．在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ．答案：265n a n =-16．假设三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，那么三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，假设一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，那么四面体的体积V = ．答案：12341()3R S S S S +++三、解答题17．a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．证明：〔反证法〕假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设21()a n n =+∈Z ，那么22441a n n =++．24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与2a 是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a 一定是偶数．18．命题：“假设数列{}n a 是等比数列，且0n a >，那么数列2()n n b a n *=∈N 也是等比数列〞．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：假设数列{}n a 是等差数列，那么数列12nn a a a b n+++=也是等差数列．证明如下：设等差数列{}n a 的公差为d ，那么12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列． 19．a b c >>，且0ab c ++=<．证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a>，0c <<r ， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0ac a c -+>成立，故原不等式成立．20)a b c ++．证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥〔此处略了大前提〕，)b a b +≥〔两次略了大前提，小前提〕，)b c +)c a >+，)a b c +++． 〔略了大前提，小前提〕21．由以下不等式：112>，111123++>，111312372++++>，111122315++++>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜测第n 个不等式，即一般不等式为： 1111()23212nnn *++++>∈-N ． 用数学归纳法证明如下： 〔1〕当1n =时，112>，猜测成立； 〔2〕假设当n k =时，猜测成立，即111123212k k++++>-， 那么当1n k =+时， 111111111111211232122121222121222k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+-，即当1n k =+时，猜测也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立．22．是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？假设存在，求出a b c ，，的值；假设不存在，说明理由．解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立．令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n 都成立．〔1〕当1n =时，由以上可知等式成立；〔2〕假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-， 那么当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·． 由〔1〕〔2〕知，等式结一切正整数n 都成立．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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选修2-2 2.1.2 演绎推理
一、选择题
1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )
A．大前提错
B．小前提错
C．结论错
D．正确的
[答案] D
[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.
3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是
( )
A．类比推理
B．归纳推理
C．演绎推理
D．一次三段论
[答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
4．“因对数函数y＝log a x(x>0)是增函数(大前提)，而y＝log 1
3 x
是对数函数(小前提)，所以y＝log 1
3
x是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
[答案] A
[解析] 对数函数y＝log a x不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．③
D．①②
[答案] B
[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．①②
D．③
[答案] B
[解析] 易知应为②.故应选B.
7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )
A．大前提错
B．小前提错
C．推论过程错
D．正确
[答案] C
[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )
A．正确
B．推理形式正确
C．两个自然数概念不一致
D．两个整数概念不一致
[答案] A
[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A.
9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )
[答案] A
[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一
概念S，这时三者的包含可表示为；
如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时
三者的关系应为．故应选A.
10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整
数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
二、填空题
11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．[答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.
12．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
13．(2010·理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝1
4
，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________.
[答案] 1
2
[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①
令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ② 由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (x ＋2)
∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6) ∴f (x )＝f (x ＋6) 即f (x )周期为6，
∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)
对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12即f (2010)＝1
2
.
14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等 [解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝1
3
S △AOB ·h ，
又S △AOB ＝1
2
|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．
因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．
三、解答题
15．用三段论形式证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，则∠B ＝∠C .
[证明] 如下图延长AB ，DC 交于点M .
①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD 中AD ∥BC 小前提
③MB BA ＝MC
CD
结论 ①等量代换大前提 ②AB ＝CD 小前提
③MB＝MC结论
在三角形中等边对等角大前提
MB＝MC小前提
∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论
等量代换大前提
∠B＝π－∠1 ∠C＝π－∠2小前提
∠B＝∠C结论
16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．
[证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提
∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论
17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．
若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，数a的值．
[解析] 推理的第一个关键环节：
大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，
小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．
∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．
推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，
结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
以下可得出结论a＝－4.
18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值围．
[解析] (1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.
∴上述条件等价于
y1＝y2⇔x21＝x22⇔(x1＋x2)(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过
点A、B的直线方程为y＝－1
2x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋
1
2
x
－m＝0，得x1＋x2＝－1
4 .
A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝1
4＋
8m>0，即m>－1
32
.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则
x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，
y 0＝－12x 0＋m ＝1
16
＋m .
由N ∈l ，得116＋m ＝－1
4＋b ，于是
b ＝516＋m >516－132＝9
32
.
即得l 在y 轴上截距的取值围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫932，＋∞.。