线性系统的经典辨识方法

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系统辨识方法

系统辨识方学习总结一．系统辨识的定义关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。

L.Ljung也给“辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。

出了一个定义：二．系统描述的数学模型按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。

经典控制理论中微分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程和离散状态空间方程也如此。

一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控制论中则采用时域状态空间方程建模。

三．系统辨识的步骤与内容(1)先验知识与明确辨识目的这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。

首先从各个方面尽量的了解待辨识的系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。

对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。

(2)试验设计试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。

主要涉及以下两个问题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔(3)模型结构的确定模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的，对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。

为了讨论模型和类型和结构的选择，引入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。

所谓模型结构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。

在单输入单输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。

当具有一定阶次的模型的所有参数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。

(4)模型参数的估计参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶段就称为模型参数估计。

(5)模型的验证一个系统的模型被识别出来以后，是否可以接受和利用，它在多大程度上反映出被识别系统的特性，这是必须经过验证的。

系统辨识经典辨识方法

经典辨识方法报告1. 面积法辨识原理分子多项式为1的系统 11)(111++++=--s a sa s a s G n n nn Λ……………………………………………（）由于系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取微分方程的系数来辨识系统的传递函数。

在求得系统的放大倍数K 后，要先得到无因次阶跃响应y(t)（设τ=0）。

大多数自衡的工业过程对象的y(t)可以用下式描述来近似1)()()()(a 111=++++--t y dtt dy a dt t y d a dt t y d n n n nK ……………………………（）面积法原则上可以求出n 为任意阶的各系数。

以n=3为例，注意到1|)(,0|)(d |)(d |)(d 23====∞→∞→∞→∞→t t t t t y dtt y dt t y dt t y …………………………（）将式（）的y(t)项移至右边，在[0，t]上积分，得⎰-=++t dt t y t y a dtt dy a dt t y d a 01223)](1[)()()(…………………………………（）定义⎰-=tdt t y t F 01)](1[)(……………………………………………………………（）则由式（）给出的条件可知，在t →∞⎰∞-=01)](1[a dt t y ……………………………………………………………（）将式a 1y(t)移到等式右边，定义 )()]()([)()(a 201123t F dt t y a t F t y a dtt dy t =-=+⎰…………………………………（）利用初始条件（）当t →∞时)(a 22∞=F …………………………………………………………………… （）同理有a 3=F 3(∞)以此类推，若n ≥2，有a n =F n (∞)分子、分母分别为m 阶和n 阶多项式的系统当传递函数的形式如下所示时111111)()(11)(u h K m n s a s a s a s b s b s b K s G n n n n m m m m ∞=≥++++++++=----ΛΛ…………………………………定义∑∞=----+=++++++++==1111111111)()(1)(i ii m m m m n n nn s c s b s b s b s a s a s a s P s P Ks G ΛΛ………………………………由于⎰∞--=-0**)](1[)](1[dte t h t h L st …………………………………………则)](1[*t h -的Laplace 变换为： ∑∑∞=∞=-+=-=-111*1)(11)](1[i iii i i s C sC s sP s t h L ……………………………………定义一阶面积1A 为：11110011lim )](*1[lim )](*1[c sC sC t h L dt t h A i ii i i i s s =+=-=-=∑∑⎰∞=∞=-→∞→………令 )1(1)]([1*1s c s t h L +=……………………………………………………………定义二阶面积为：2122**0012)1)(1()]()([limc s c s c sc dtd h h A i i i i i i is t=++=-=∑∑⎰⎰∞=∞=-→∞τττ…同理，令 )...1(1)]([11221*1---++++=i i i s c s c s c s t h L ……………………………………定义i 阶面积为i i c A =。

线性系统的随机参数辨识和收敛性分析

线性系统的随机参数辨识和收敛性分析第15卷第3期1992年9月武汉钢铁学院JournalofWuhanIronandSteelUniversityV01.15.NO.3Septl992线性系统的随机参数辨识和收敛性分析(控制理论研室)摘要本文讨论誊数估计和输出误差的收敛性,并给出了系统特续激励的一个充分条件.在此条件下,证明j誊敷估计和它与时变誊数间的估计误差的均方值收敛于随机誊敷的期望值和均方差～,关键词:系统辨识l线性系统0引言值.}收敛性分析l随机系统}时变系统近三十年来,参数辨识理论和技术得到迅速发展并成为控制理论中最活跃的分支之一口.针对各种系统,线性或非线性,时不变或时变,开环或闭环系统等,提出了许多算法,并进行了理论分析和应用研究.在目前的辨识算法和收敛性分析中,总是假定待辨调的参数是确定性参致.即无论参数是时不变或时变的,都可根据已知模型而精确算出在实际系统中,存在着随机性变化的系缝参数,换句话说,这类参数并不能提前精确预知.这类参数的存在,给系统建模和控制带来了新的挑战.Chert和Caines[3]研究了具有有界随机参数的线性系统的自适应控制IGuO和Meyn[研究了具有Matkov链随机参数的一阶线性系统的自适应控制.文献[3]和[6]给出了自适应控制的输出误差,但并未深入讨论随机参数估计的收敛性问题.Zhao和Lu嘲研究了具有白噪声特性的随机参数的估计收敛与一致收敛问题,并给出了一致收敛的一个充分条件本文在文献[8]的基础上进一步讨论随机参数的估计收敛与一致收敛问题,证明比文献[8]中的一致收敛充分条件更弱的一个条件.1系统描述和收倍日期:1991—08—26式中:和.为常参数阵～IA.f)和△B.”)为噪声阵由f1)式,则自叫归表述为:(f):O(t)(f一1)+(Z)(1)式中:()一[一-(),….一Ap(t);Bn(1).…,()]:口+();(1—1)”一1)‟.….(t--)‟;(一)‟.….”“一一口)];=[一t….一A,;B¨.….B‟;(￡)一[一JA}().….一J,(z);j魄(),…,△(z)].最小二乘辨识方法是一种相当有效和普遍的辨识方法.由基本最小二乘法.则MIMO系统递推最小二乘估计算法为:0(f)=O(—I)+普t--P2f)+(1)(《一)(—1)…(—I)口(卜一I)]c卜一t一cc—z,一;与竺iP(一I)一>O由式(5)和(6).递推估计值(￡)和P(t--I)可依次计算而得.2收敛性分析在收敛性分析中,假定系统和噪声满足下列条件:(1)噪声序列()}满足:{Ct)lP川一0a.s{“,”)”.(z)I一-}≤a.sl…liras†)‟-a一()一traceEP(r-).]式中:凡[P()]和k.(f)j分剐为”)的最大和最小特征值.下面给出并证明参数估计和输出误差的收敛性定理定理1在上进假设条件之下.若将算法式(5)和(6)应用于系统式(I),则有(5)(6)r7)(8)(9)(10)r11)fI2)(13)(14)(151(16)(17)295lif】1∑B(f】?b()/A一0_J..￡l limC)(t)=oa.s.【Im†∑::《)一(j:[『)一性闯,l卜.}≤(- 在该定理证明之前.先陈述如下引理. 引理I在定理I条件之下.有“)一f)/:I4-O(t--I)‟P(t一2)”～f)]{6()‟[“…(￡)+(￡)‟(t--1)]ll≥一竺!二I:!二!二!!+一【+(卜一I)‟P《f一2)(一Ij”…+”一I)‟(一I):a.s.∑)l1<T(卜一I)…”一一25ff—I)‟P(t--I)”一I】(1一I】<.. 式中:P()=()一(一1)(一I)“)一()--o(t)‟(一1)6{￡)=一O(t)tff—l】矾￡)=O(t)一01理I的证明见附录定理I的证明:首先证明式¨8)由式(5)和f25).则有: ()=(f—I)+又由(21)式.有:!!『二!+”一【)‟Pff一2)(一1)()(IH)(I9)20)(2I)(22)(23)f21)(25)(26)(27)(28)(29)O(t)=0(卜一I)+P(一2)(卜一I)(￡)(30)将{30)式阿端减去0+整理后有:(t--I)=()一P”一!)rf一】)(￡)‟f3J)因此.有:《卜一I)(t--!)～D(t—I)()tP(t--2)～.(￡)一()r(卜一1)《￡)‟一“)ft--f)(f,+”～I】‟P(f一2,(—f)o(t)()一(f)‟卜一2)()+b(t)f1)‟+目(f)6()+(f—I)(卜一2)(卜一j)目ff)(￡)(32)定义李亚普诺夫函数I()为:jf)=trE0(t)P(t一】)(2)]r33)由式(6),f32)和(33).则:I”)一tr[h(t)P(t一2j.()+b(t)‟(f—j)(一I)t”)]一tr~0H--I)P(t--2)([-一f)一b(t)f)一(f)6(f)一fl～I)P”一2)(f—I)q~t)目()‟+b()b(t)]一¨卜一1)一26《￡)”)一(一1)‟P(￡一2)(卜一I)(￡)‟(t)+b(t).bf￡) ≤I(f～1)一2b(￡)‟(￡)+6()‟6(￡)298=I(f—I)一2b(f1‟rcf)+()+(,)(卜一I)+b(t)‟(¨=l(t--1)一(f1‟b(f)一2b():ff)+()(f一1)](3”因此,由引理I的C22)式?圳:,I()F一}≤I”一1)一{(¨(f1I-}.!(f—I)cf一!){卜一I).I上(卜一I)户(卜一!)(f—I).‟=I¨一I)一:(￡).6()l,-;+?吖一I)…t‟一十”一1)(￡一I)(,将(35)式两边嗣陈r(￡一I).可得:r.+(f—I)(f—I)ff一_]P(一1)(￡I≤一+兰二善_一(『二1r—r.(f—I)qJ(t一1)!‟,(￡一1)一≤--I(t一+型1f:+‟T”一【](:j5)r(￡一1)1”一1)(](36)因此.由式(23)一(1)和鞅收敛定理(见文献5]的附录)?0¨】下式成立I(t)/r(t—I)一前限随机变量”一s.一i==<__一-\,-{(f)b(￡)lF<.即等<一,由Kr.neh引理‟和式fl10)?则:…㈩=o冉由式(I5).可知式(I8)成立.其次证明式(I9).假定:∑{)一,(卜一1)]/r(1<由Kronecker引理.刚有:或,IiIn2_d,-(37)(381a.s.(39)a.s.(I1)(11j,(01一/()=0(13)『…f¨为非递减序列并逐渐趋于.显然与式f13)矛盾.故暇设式(12)不成立?即∑(￡)(卜I由式(38)可{:}:……:一__]11):97=(t--2:川_『)一()l_<一.一r)……r(一『)…因此,由式fd1)和(45),则有:l(t一1)/(t--2)一0a.s.即≤一1()/7(卜一1]一0a.s.故由式(I6)和(17).则有:(1)l『一0a.s.即()一0a_s_最后证明式(20).由式(28).则有:[0()一()]()--o(t)]T—()()一R(t)O(t)--0(t)()+()()‟由式(】‟)和(19),则有:ljm∑[0())+(.)()t]≤a_s_由式(I5),则有:llP()ll一.f￡)s≥】式中:.()意味着与有相同收敛速度.对式f5O)右边第二项,由式(5)和(28),有:1Ig{()()l卜一1lllI{()P”一1]户(一2)_.0(一I) +f一1](卜一I)()+(卜一I)(1)]l一一}ljtrLP(卜一『)曲f一】)(1一1)l—()利用式(I6)a.s.式中:一s+一【/2>I/2.因此,由式(53),则有:f()O(t)l一I}一0(1)a.s.式中:矩阵O(t)意味着每一元素为.().由级数收敛性贡.则有:∑.(1一))<再根据Kronecker引理,有:Iim∑0(t_r)一0一～t—I因此,由式(54),则有:士|l∑《()0()tIF}ii～lI-●FI一I∑{0(￡)(1)IF...}II=0a.s.im-‟lI…j故由式(j0),(5】)和(57).可知式(20)成立证毕.298(151(46)fd7)(48)(49)(50)(5I)(52)(53)(54)(55)(56)r57)3结论在文献E83中,证得随机参数递推最小二乘估计强收敛的一个充分条件(强激励条件),该条件可表示为:对任意时间￡,存在一有限正整数L,使得下式成立: 1I≤†厶中()中()≤昂2(58)式中:和B:为正定矩阵.本文得到的激励条件式(1d)一(16)比式(58)弱.文中还建立了参数递推估计与原值的统计均方上界估计式(2.).预期更广泛的随机参数模型的辨识同题仍是系统辨识理论工作者目前所关注的热点,该类辨识同题向自适应控制领域里延伸亦是今后研究的趋向.附录引理l的证明:由式(25)和(26),则有:,Kt)--e(t)=E~(t-1)一(￡)]‟(t—1)一lll_】)+(t一)‟P(￡一2)(￡一)一因此,有(￡)一e(t)IO+中0一1)P(￡一2)中(￡一1)]由式(27),则有:{(t)[罅(￡)+(t)”一1)]I一}={一中(c一1)(t)[罅(t)+(t)(￡一1)]1一一}由式(28),(5),(7)和(1.),则(1)式等于: —千~~(t(--卜1一)‟P)(t(--…一2)o)(t--￡一1)El1P21{(t)一罅”)十(卜一)(…一)(￡一……～一(t)(￡一1)]f[埘(c)+”)‟(一1)]+Fw(t)+”)(￡一1)]Ew(t)+(c)~(t--1)]I一}叉由式(8),(11)和(13),则式(A2)大于或等于P(f—I)”一I)trP(一I)≤oo 利用trP(oo)≥0致谢本课题是在浙江大学工业控制研究所所长,国际自动控制台会(IFAC)副主度吕勇哉教授指导下完成的,在此谨对吕勇哉教授悉心指导致以衷心谢意.128参考文献AgtromKJandEykhoffP.Sy~~mIdentificationaSurvey.Amomatica,197I,7 :J23—162Cain~PE.StochasticAdaptiv~Control:RandomlyV aryingParametersand ContinuallyDis-turbedControls.Proc.of8thTriennialWorldCongressOfiFAC.Kyoto,Japan ,198】ChenHFandCainesPE.OntheAdaptiveControIofStochasticSystemsWith RaladomPasame—tcrs.Proc.ofThe23一rdIEEEConf.onDecisionandControI.J984.33—38 ChungKL.ACourseinProbabilityTheory.HarcourtBraceandWorld.NewY ork.I978GoodwinGC.RamadgePJandCainesPE.DiscreteTimeStochasticAdaptivc Comro1.SMandOpti,I98l,19(6):829—853GuoLandMeynSP.AdaptiveComtrolforTime—varyingSystems:aCombi nationofMastinsaleandMarkovChainTechniques.Int.J.AdaptiveContr.andSignalProce~ng,I9 89,3(I):J—J4L扣ngLandSoclerstromT.TheoryandPra~iceofRecurstveIdentification.11MlT Press,USA.I983Ming—wangZhaoandY ong—zaiLu.ParameterldentificationandConverg enceAnaiys~foraClassofNonlinearSystemswithtirn~一varyingRandomParamete~.ht.J.SystemsSoi.I991,22(8):¨67—176300pARAMETERIDENTIFICA T10NANDCONVERGENCEANAL YSISBASEDONLEASTSQ}UARESMETHODFOR LINEARSYSTEMSWITHRAND0MPARAMETERSZlmonⅥ”9Abstrael:Thispaperpresentsnewdevelopment0fparameteridentificationfo rMIMOdiseretestochas【【clinearsystemswithrandomparametersbasedontheleastsquaresmethod. ConvergenceofbothⅨl rameterestimatesandoutputerrorarestudiedandpreliminarypersistentexcit ingconditionsaregiven.Undersomeconditions,Itisprovedthatparameterestimatesand1wfeansquar evalueofdifferencebe—tweenparameterestimatesandtheserandomparametersareensuredconvergi ngtoexpectationsandthe meansquarederivationvalueofrandomparameters,resectively. Keywors:systemidentification;linearsystems;convergenceanalysis;stoch as,ticSystems;time—varyingsystems本文编辑:柳燕桥30。

《系统辨识》新方法

《系统辨识》新方法在现代生产和控制系统中，系统辨识是一项至关重要的技术，可以用于确定系统的动态和静态特性。

传统的系统辨识方法主要是基于数学建模和数据分析，但由于系统的复杂性和不确定性，这些方法往往无法精确地描述系统的行为。

最近，一些新方法被提出来来处理这些限制。

这些方法包括基于深度学习的数据驱动方法和基于强化学习的模型自适应方法，它们非常适用于处理高维、非线性和时变系统。

数据驱动方法数据驱动方法是一种基于统计学和机器学习的方法，该方法可以从系统的输入输出数据中直接推断系统的动态和静态特性。

数据驱动方法对模型预测误差大的系统非常有效。

数据驱动方法的核心思想是使用神经网络等子模型来拟合输入输出数据。

其中，一些流行的数据驱动方法包括循环神经网络 (RNN)、长短期记忆网络 (LSTM)、卷积神经网络(CNN) 和自编码器 (AE)。

模型自适应方法模型自适应方法是一种基于控制理论和强化学习的方法，该方法可以通过“试错”过程来更新系统模型，并在这一过程中改善控制性能。

模型自适应方法与传统的控制器不同，可以通过优化系统模型来提高控制性能。

此外，模型自适应方法还能够应对系统非线性和不确定性，可以对高灵敏度系统进行控制。

模型自适应方法的核心思想是建立模型预测控制器 (MPC)，该控制器使用增量式状态估计器来更新系统模型，并根据模型预测控制策略来改善控制性能。

其中，一些流行的模型自适应方法包括无模仿神经网络自适应控制器 (NFNNAC) 和最优自适应滑模控制器(OOASMC)。

结论总之，数据驱动方法和模型自适应方法是现代系统辨识中的新方法。

这些方法已经被证明可以有效处理复杂、高维、非线性和时变系统，并且可以优化控制性能。

未来，这些方法将会在许多领域得到广泛应用，例如智能制造、机器学习和大数据分析。

有限维线性系统参数辨识问题

线性最小二乘问题。通过阶跃响应及脉冲响应数据对系统的传递函数进行辨识也是很经常的做法，这种做法归结成获得相应的频率响应数据，因此最终归结成一个线性最小二乘问题。该方法相对简单，但有时候只能测得系统采样时刻的输入输出值，很难测得频率响应数据，这时候要对系统进行辨识，也归结成一个最小二乘问题。离散时问系统归结成一个线性最小二
乘问题，相对比较简单。但是连续时间系统则归结成一个非线性最小二乘问题，求解比较复
杂［４。２］，
本文考虑线性时问系统的辨识问题。我们采用通常的最小二乘辨识方法。首先考虑简单参数形式的线性时不变时间系统的辨识问题，即要辨识的参数不是任何参数的函数。对于维输一
等价的确定性问题，并给出了几个算例。计算结果表明，本文给出的参数辨识方法是有效的。关键词：连续线性系统；参数辨识；最小二乘问题；确定性分类号：ＡＭＳ２０１９Ｂ３（００３０中图分类号：Ｐ２１６Ｔ７．１文献标识码：Ａ
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工
程
数
学
学
报
第２卷３
的算法，并估计了离散对辨识结果带来的影响。算例表明，对于一维输入输出的线性时不变时间系统，这个算法对系统的辨识结果很好。其次我们考虑了一维输入输出的带时变参数的线性
时间系统的辨识问题。对这样的问题，我们导出了一个非线性最小二乘问题，同时我们估计了
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第３第期２卷６

系统辨识的经典方法

⎧T
⎨⎩τ
= 2(t2 − t1) = 2t1 − t2
对于以上结果，也可在
⎧⎪⎨tt34
≤τ,
= 0.8T
+τ
,
⎪⎩t5 = 2T +τ ,
y(t3 ) = 0 y(t4 ) = 0.55 y(t5 ) = 0.87
这几点上对实际曲线的拟合精度进行检验。
系统辨识的经典方法
频率响应法
频率响应法－1
; 阶跃响应法辨识原理
¾ 在系统上施加一个阶跃扰动信号，并测定出对象的响应随时间而变化的曲线，然后根据该响应曲线，通过图解法而不是通过寻求其解析公式的方法来求出系统的传递函数，这就是阶跃响应法系统辨识。
¾ 如果系统不含积分环节，则在阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的稳定状态，称系统具有自平衡特性，或自衡对象。
+ b1s + a1s
+ +
b0 a0
,
n>m
¾ 对应的频率特性可写成：
G(
jω)
=
bm ( an (
jω)m +" + b2 ( jω)2 + b1( jω)n +" + a2 ( jω)2 + a1(
jω) + b0 jω) + a0
=
(b0 − b2ω 2 (a0 − a2ω 2
+ b4ω 4 + a4ω 4
系统辨识的经典方法
肖志云
内蒙古工业大学信息工程学院自动化系
系统辨识的经典方法
1
引言
2
阶跃响应法
3
频率响应法
4
相关分析法

系统辨识理论及应用

系统辨识理论及应用本文旨在介绍系统辨识理论及其在实际应用中的重要性和背景。

系统辨识是一种重要的工具和技术，用于分析和推测系统的特性和行为。

通过系统辨识，我们能够对系统进行建模、预测和控制。

系统辨识理论的起源可以追溯到控制工程学科，并逐渐扩展到其他领域，如信号处理、人工智能和统计学等。

它在工程、科学和经济等领域都有广泛的应用。

系统辨识的目标是通过观察系统的输入和输出数据，从中提取出系统的特征和动态模型。

系统辨识理论和应用的重要性在于它能帮助我们理解和掌握复杂系统的行为，并能够对系统进行建模和预测。

通过系统辨识，我们可以获取关键的系统参数和结构信息，从而为系统设计和控制提供指导和支持。

本文将介绍系统辨识理论的基本原理和方法，包括信号采集和预处理、模型结构的选择和参数估计等。

我们还将探讨系统辨识在不同领域的应用案例，如机械系统、电力系统和金融市场等。

希望本文能够为读者提供关于系统辨识理论及应用的基本概念和方法，并激发对系统辨识领域的进一步研究兴趣。

本文将概述系统辨识理论的基本原理和方法，并介绍其在不同领域的应用。

系统辨识是一种通过分析数据和模型之间关系来推断系统特性和行为的方法。

它基于数学和统计学的原理，将现实世界中的系统建模为数学模型，并利用实验或观测数据来验证和修正这些模型。

系统辨识的基本原理是通过获取系统的输入和输出数据，并根据数据推断系统的结构、参数和动态特性。

通过此过程，系统辨识能帮助我们了解系统的内部机制和行为。

常用的系统辨识方法包括参数辨识、结构辨识和状态辨识。

参数辨识主要关注模型中的参数值，通过数据分析和优化算法来确定最佳参数估计值。

结构辨识则关注模型的拓扑结构，即确定模型的数学表达形式和连接关系。

状态辨识是根据系统的输入和输出数据，推断系统的状态变量值和状态转移方程。

系统辨识在各个领域有着广泛的应用。

在控制工程领域，系统辨识可以帮助设计控制器和优化控制策略。

在信号处理领域，系统辨识可以用于信号分析和滤波。

系统辨识综述

系统辨识课程综述作者姓名：王瑶专业名称：控制工程班级：研硕15-8班系统辨识课程综述摘要系统辨识是研究建立系统数学模型的理论与方法。

虽然数学建模有很长的研究历史，但是形成系统辨识学科的历史才几十年在这短斩的几十年里，系统辨识得到了充足的发展，一些新的辨识方法相继问世，其理论与应用成果覆盖了自然科学和社会科学的各个领域。

而人工神经网络的系统辨识方法的应用也越来越多，遍及各个领域。

本文简单介绍了系统辨识的基本原理，系统辨识的一些经典方法以及现代的系统辨识方法，其中着重介绍了基于神经网络的系统辨识方法：首先对神经网络系统便是方法与经典辨识法进行对比，显示出其优越性，然后再通过对改进后的算法具体加以说明，最后展望了神经网络系统辨识法的发展方向。

关键字：系统辨识；神经网络；辨识方法0引言辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的领域。

辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。

随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。

然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。

所以说系统辨识是自动化控制的一门基础学科。

图1.1 系统辨识、控制理论与状态估计三者之间的关系随着社会的进步 ,越来越多的实际系统变成了具有不确定性的复杂系统 ,经典的系统辨识方法在这些系统中应用 ,体现出以下的不足 :(1) 在某些动态系统中 ,系统的输入常常无法保证 ,但是最小二乘法的系统辨识法一般要求输入信号已知，且变化较丰富。

(2) 在线性系统中，传统的系统辨识方法比在非线性系统辨识效果要好。

(3) 不能同时确定系统的结构与参数和往往得不到全局最优解，是传统辨识方法普遍存在的两个缺点。

1系统辨识理论综述1.1系统辨识的基本原理根据L.A.Zadel的系统辨识的定义:系统辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。

传递函数辨识(2):脉冲响应两点法和三点法

传递函数辨识(2)：脉冲响应两点法和三点法丁锋;徐玲;刘喜梅【摘要】本工作利用系统的脉冲响应观测数据,提出了辨识一阶系统、二阶系统传递函数参数的两点法、三点法等,以及确定传递函数参数的差分方程法和面积法.所提出的方法能够避免直接求解超越方程,且原理简单,实现方便.%By means of the system impulse response data,this paper presents two-point methods and three-point methods for identifying the parameters of first-order systems and second-order systems,which are described by transfer functions,and presents the difference equation method and the area method for identifying transfer functions.The proposed algebraic methods of determining the parameters of the transfer functions have simple mechanism and ease to understand,and avoid solving some transcendental equations.【期刊名称】《青岛科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)002【总页数】15页(P1-15)【关键词】传递函数;参数估计;系统辨识;阶跃响应;脉冲响应【作者】丁锋;徐玲;刘喜梅【作者单位】青岛科技大学自动化与电子工程学院,山东青岛266042;江南大学物联网工程学院,江苏无锡214122;江南大学物联网工程学院,江苏无锡214122;青岛科技大学自动化与电子工程学院,山东青岛266042【正文语种】中文【中图分类】TP273传递函数是一种参数模型。

系统辨识法

在许多问题研究与工程应用领域，首先需在模型上进行反复方案设计与研讨，而不是直接在实际物理系统进行实验. 之所以如此，原因为：
1.1 系统与模型(6/9)
控制领域的数学模型从系统机理、建模目的和数学工具的不同可分为参数模型静态(代数)模型或动态(微分/差分)模型连续模型或离散模型集中参数模型或分布参数模型线性模型或非线性模型 ( 所谓线性 , 即满足齐次性和叠加性)等等. 非参数模型 Step response model（阶跃响应模型） Frequency functions (Bode 图, Nyquist 图) Impulse response （脉冲响应模型）
2 系统辨识的定义(5/5)
因此，我们只要在精度许可的范围内，找一个与实际系统近似等价的模型,能满足工程实际应用的模型即可。下面再详细讨论系统辨识的三要素输入输出数据模型类等价准则
2 系统辨识的定义--输入输出数据(1/2)
一、输入输出数据系统的输入输出数据是由对系统的观测而得，这些变化着的输入输出数据“必然”表现出系统的动态和静态特性和行为。这是能利用测量数据进行辨识建模的着眼点，是辨识的基础。一般在辨识中假定系统的输入输出数据是可直接测量的，但扰动/噪声是不可测量的。
尽可能地掌握系统的先验知识，即尽可能地使系统“白化”,
对依然“黑”的部分，即用机理建模方法不能确定的部分和参数，再采用系统辨识这一实验建模方法。
有效的辨识方法应是“灰箱”方法。
1.2 数学模型和建模--系统辨识建模(5/5)
系统辨识的框图如下图所示。
过程噪声输入u(k) 测量噪声测量输入测量值对象输出y(k) 测量输出测量值测量噪声

第四讲线性系统辨识方法-文档资料

• 随着数据的增长，最小二乘法出现所谓的 “数据饱和”现象解决办法：遗忘因子法限定记忆法
6. 增广最小二乘法(RELS)
1 1 1 A ( z ) y ( k ) B ( z ) u ( k ) D ( z ) ( k )
SISO 过程， ( k ) 为白噪声
注：该方法将噪声模型的辨识考虑进出，扩充了参数向量和数据向量。
B ( z ) b z b z b z
1
1 2 1 2
n b n b
y ( k ) h( k ) n ( k )
T
T h ( k ) [ y ( k 1 ), , y ( k n ), u ( k 1 ), , u ( k n ) a b
ˆ为则称的一致估计
对任意 0 ，若 lim p (| | ) 0 m
m
ˆ就是的一致性估计
4. 递推最小二乘(RLS)
ˆ ˆ k 1 ( k 1 ) ， k ( k )
T 1T ˆ ( k 1 ) ( H H ) y k 1 k 1H k 1 k 1
y ( L ) [ y ( L 1 ) y ( L n ) u ( L 1 ) u ( L n ) ] n ( L ) a b
T y ( k ) h ( k ) n ( k )
可写成矩阵向量形式
y H n L L L
T
y [ y ( 1 ) y ( 2 ) y ( L )] L
1、时不变SISO系统与最小二乘问题
n (k ) u (k )
SISO系统
y(k )

系统辨识分类

系系统统辨辨识识的的具具体体方方法法
一4.1经经典典的的辨辨识识方方法法
1.经典的辨识方法：
思路：首先获得系统的非参数模型（频率响应，阶跃响应，脉冲响应)，然后通过特定的方法将非参数模型转化成参数模型(如传递函数)。包括下述几类方法：
① 阶跃响应辨识方法 ② 脉冲响应辨识方法 ③ 频率响应辨识方法 ④ 相关分析辨识方法 ⑤ 谱分析辨识方法 ⑥ 最小二乘法 ⑦ 极大似然法
① 集员系统辨识法
② 多层递阶系统辨识法
③ 神经网络系统辨识法
④ 遗传算法系统辨识法
⑤ 模糊逻辑系统辨识法
⑥ 小波网络系统辨识法
42.2.1.1集集员员系系统统辨辨识识
1.简介
在1979年集员辨识首先出现于Fogel撰写的文中,1982 年Fogel和Huang又对其做了进一步的改进。集员辨识是假设在噪声或噪声功率未知但有UBB(Unknown But Bounded) 的情况下,利用数据提供的信息给参数或传递函数确定一个总是包含真参数或传递函数的成员集(例如椭球体、多面体、平行六边体等)。不同的实际应用对象,集员成员集的定义也不同。集员辨识理论已广泛应用到多传感器信息融合处理、软测量技术、通讯、信号处理、鲁棒控制及故障检测等方面。
42.2.1.1集集员员系系统统辨辨识识
3.特点
对于实际复杂系统,由于所建数学模型的未建模动态和统计特性未知噪声的存在,常用的参数辨识方法而不能达到故障检测与隔离的效果,采用集员辨识法则能够达到较好的效果。所给检测方法可快速且有效地检测出传感器故障、参数跳变故障和参数缓变故障等。
42.2.1.1集集员员系系统统辨辨识识
2.应用
在实际应用中,飞行器系统是一个较复杂的非线性系统,噪声统计分布特性难以确定,要较好地描述未知参数的可行解, 用统计类的辨识方法辨识飞行器动参数很难达到理想效果。采用集员辨识可解决这种问题。首先用迭代法给出参数的中心估计,然后对参数进行集员估计(即区间估计)。这种方法能处理一般非线性系统参数的集员辨识,已经成功地应用于飞行器动参数的辨识。

时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法

时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法刘鑫1, 2摘要在大多数系统辨识方法中, 通常假设时变时滞在其可能的取值范围内服从均匀分布. 但是这种假设是非常受限的且在实际过程中常常无法得到满足. 因此在时滞取值概率条件未知的情况下, 针对一类线性时变时滞系统提出有效的辨识方法. 利用期望最大化(Expectation maximization, EM)算法将拟研究的辨识问题公式化, 期望最大化算法通过不断地迭代执行期望步骤和最大化步骤得到优化的参数估计. 在期望步骤中, 将未知的时变时滞当作隐含变量来处理并且假设可能的取值范围已知. 在每一个采样时刻, 时滞的变换由一个概率向量控制, 并且该向量中的每一个元素是未知的, 将其当作待估计的未知参数处理. 在算法的每次迭代过程中, 计算时滞的后验概率密度函数(Probability density function, PDF), 并在此基础上构造代价函数(Q-函数). 在最大化步骤中, 通过不断优化(Q-函数)来估计想要的参数, 包括模型参数、噪声参数、控制概率向量中的每一个元素和未知的时滞. 最后通过一个数值例子验证提出算法的有效性.关键词系统辨识, 参数估计, 时变时滞, 时滞取值概率未知引用格式刘鑫. 时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法. 自动化学报, 2023, 49(10): 2136−2144DOI 10.16383/j.aas.c201016Identification of Linear Time-delay Systems With UnknownDelay Distributions in Its Value RangeLIU Xin 1, 2Abstract In majority system identification methods, the varying system delay is generally assumed to be uni-formly distributed in its possible value range. However this assumption is very limited and it is often not satisfied in practical settings. Hence this paper addresses the identification of linear time-delay systems with unknown delay distributions in its value range. The formulation of the above identification problem is realized by using the expect-ation maximization (EM) algorithm which iteratively performs the expectation step (E-step) and the maximization step (M-step) until the desired optimal parameters obtained. In the E-step, the unknown varying time-delay is pro-cessed as the latent variable and its possible value range is assumed to be known as a priori. At each sampling in-stant, the variant of the time-delay is governed by a probability vector which is processed as the unknown paramet-er. In each iteration, the posterior probability density function (PDF) of the unknown delay is calculated which fa-cilitates the construction of the cost function (Q-function). In the M-step, the calculated Q-function is optimized in order to estimate the unknown parameters including the model parameters, the noise parameter, each element in the governmental probability vector and the unknown delay. Finally, the verification tests performed on a numeric-al example are provided to illustrate the effectiveness of the proposed algorithm.Key words System identification, parameter estimation, time-varying delay, unknown delay distributionsCitation Liu Xin. Identification of linear time-delay systems with unknown delay distributions in its value range.Acta Automatica Sinica , 2023, 49(10): 2136−2144系统辨识作为一种有效的系统建模手段, 在过去的一段时间里受到国内外学者的广泛关注[1−5]. 与传统的第一原理建模方法相比, 系统辨识方法直接通过可测的系统数据提炼出与实际系统等价的数学模型, 无需深入窥探系统的内部复杂机理, 因而使得建模过程变得简单、高效[6−11]. 在系统辨识领域,由于长时间的数据传输、数据获取方式的不同等因素, 常常导致不同的过程变量之间存在未知的时间延迟(时滞). 时滞作为一个常见的现实问题, 很容易降低辨识数据的数据质量并且对辨识算法的设计提出更高的要求[11−13]. 在辨识算法设计的过程中, 忽略时滞因素的影响会导致有偏的参数估计, 甚至错收稿日期 2020-12-08 录用日期 2021-03-02Manuscript received December 8, 2020; accepted March 2, 2021国家自然科学基金 (62103134), 江苏省自然科学基金(BK20200183)资助Supported by National Natural Science Foundation of China (62103134) and Natural Science Foundation of Jiangsu Province (BK20200183)本文责任编委孙健Recommended by Associate Editor SUN Jian1. 河海大学物联网工程学院常州 2130222. 中国矿业大学人工智能研究院徐州 2211161. College of IoT Engineering, Hohai University, Changzhou 2130222. Artificial Intelligence Research Institute, China Uni-versity of Mining and Technology, Xuzhou 221116第 49 卷第 10 期自动化学报Vol. 49, No. 102023 年 10 月ACTA AUTOMATICA SINICAOctober, 2023误的辨识结果[14−16].在实际的工业过程中, 过程变量之间的时滞大体上可以分为两类: 固定时滞和时变时滞[13−18]. 对于包含固定时滞的系统辨识问题, 传统的方法一般是分为两个步骤进行: 1) 对输入−输出数据利用相关分析法, 先求解未知的时滞参数; 2) 基于时滞参数求解未知的模型参数[17−21]. 但是这样的解决方案实质上是将时滞估计和参数估计独立分开执行, 很容易造成误差累计, 进而影响辨识结果的精度[17]. 为了解决误差累计的问题, 文献[22]在统计学的框架下并基于极大似然判据提出了一类有效的迭代辨识算法. 利用期望最大化(Expectation maximization, EM)算法首先将辨识问题公式化, 将未知的时滞变量当作隐含变量来处理. 在辨识过程中, 不断计算时滞的后验概率密度函数(Probability density function, PDF), 通过比较后验概率密度函数的值来判断未知时滞的取值. 该方法的主要优点包括: 1) 给出了显性的时滞估计公式; 2) 能够同时给出时滞参数和模型参数的极大似然估计, 避免了误差累计降低辨识结果的精度. 随后该辨识思想被重新利用在线性变参数时滞系统过程中, 文献[23]采用多模型方法对线性变参数时滞系统设计有效的局部辨识算法. 首先在每一个工作点处, 选取线性自回归时滞模型为局部模型, 每一个局部模型的时滞参数各不相同; 然后利用期望最大化算法同时估计各子模型的时滞参数、模型参数以及有效宽度参数;最后利用输出插值策略估计系统的全局输出. 在每一个采样时刻, 将系统全局输出写成每个子模型输出数据的加权组合的形式. 此外, 文献[24]结合了冗余法则以及递归最小二乘算法针对一类线性时滞系统进行了辨识研究. 核心思想是扩展原系统的维数, 然后再辨识扩展系统的模型参数. 如果某项系数趋近于零, 则认为该项在原系统中不存在, 并依据于此来判断时滞参数. 这种辨识思路无形中增加了算法的复杂度.针对时变时滞系统辨识而言, 首先要确定未知时滞的变化机制. 在现有的文献中, 最常用的变化机制是首先假定时滞可能的取值范围, 然后假定时滞在取值范围内服从均匀分布, 即在每个采样时刻,时滞取每个值的概率相同[3, 14, 16, 18−19]. 文献[25]针对多率采样时滞系统提出了一类有效的辨识方法. 输入、输出变量分别采用快率、慢率采样, 且输入和输出变量之间存在服从均匀分布的时变时滞. 利用期望最大化算法实现上述系统辨识问题, 将未知的时滞变量当作隐含变量来处理, 上述辨识问题可归纳为: 在慢率输出基础上同时估计时滞参数和模型参数. 另外, 基于辨识得到的有限脉冲响应模型还可以进一步促进输出丢失情况下的输出误差模型和传递函数模型的辨识问题. 文献[14]采用多模型局部辨识的思想针对线性变参数输出误差模型辨识进行深入研究. 能够同时给出各子模型的时滞参数和模型参数的估计公式, 由于目标代价函数与模型参数呈非线性关系, 采用阻尼牛顿法来迭代搜索模型参数的最优解. 此外, 文献[18]在输入输出数据双率采样的条件下考虑了线性状态空间时滞模型的辨识问题. 首先利用离散化技术得到待辨识系统的慢率采样模型; 利用数学工具将慢率采样模型转化成能观标准型; 利用卡尔曼滤波算法估计未知的状态变量; 最后利用随机梯度算法和递归最小二乘算法辨识模型参数. 在辨识过程中考虑了状态变量与输出变量之间存在未知的时变时滞, 且假定时滞在可能的取值范围内服从均匀分布.然而, 对于时变时滞系统而言, 认为时滞在可能的取值范围内服从均匀分布这个假设通常过于严格, 在很多情况下很难得到满足. 为了解决这个问题, 本文在时滞取值概率未知的条件下研究线性时滞系统辨识问题. 仍旧假定时滞可能的取值范围先验已知, 但是时滞取每个值的概率各不相同, 即在时滞的取值范围内, 时滞取每一个值的比重各不相同. 不难看出, 时滞服从均匀分布可以看作本文研究内容的一个特例, 因此本文的研究更加贴近实际应用. 采用极大似然算法搭建辨识框架, 将时滞当作隐含变量来处理. 在每个采样时刻不断计算时滞的后验概率密度函数, 且该函数作为权重自适应地分配给每一个数据点, 因此提高时滞的估计精度也能促进模型参数估计精度的提升. 同时给出模型参数、噪声参数、控制概率向量中的每一个元素和未知的时滞的估计公式, 最后利用一个数值例子验证算法的有效性.1 辨识问题阐述考虑以下线性双率采样时滞系统u1:N={u k}k=1,···,N∆t x ky T1:T M={y Ti}i=1,···,Mf∆t fτ1:M={τi}i=1,···,M e T ie Ti∼N(e Ti|0,r)G(z−1)其中, 表示快速率采样的输入数据且假设采样周期为; 表示理想的无噪声快率采样输出; 表示慢速率采样的真实输出数据, 它的采样周期假设为快率采样的整数倍, 即, 其中表示一个任意的正整数;表示未知的时变时滞; 表示输出测量噪声且服从零均值的高斯分布, 即. 表示系统的多项式传递函数并且有10 期刘鑫: 时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法2137m 其中, 表示系统的阶次. 结合式(1)和式(2), 系统的模型可改写为其中θ并且待辨识的模型参数定义为此外, 系统输出量测过程则可改写为y T i 由式(6)不难看出服从以下高斯分布τi [1,J ][1,J ]在本文中, 将未知的时变时滞当作隐含变量来处理. 首先假设时滞的取值范围已知, 即 . 在每个采样时刻, 假设时滞的取值为中的任意一个整数, 但取值概率不同且未知, 用数学语言描述如下:并且不难看出, 服从均匀分布的时变时滞系统可看作是本文的一个特例, 即C obs ={y T 1:T M ,u 1:N }C mis ={τ1:M }Θ={θ,β1:J ,r }C obs Θτ1:M 在本文中, 慢率采样的输出数据和快率采样的输入数据构成了可用辨识数据集 ; 利用未知的时变时滞构造隐含数据集 ; 待辨识的参数集构造为 .因此本文的主要任务可以进一步总结为: 基于可用数据集设计有效的辨识算法, 同时估计参数集和未知的时变时滞 .2 基于期望最大化(EM)算法的辨识算法推导2.1 EM 算法简介在系统辨识领域, EM 算法对于解决数据丢失问题或者隐含变量问题非常有效. EM算法是一个迭代优化算法, 通过不断重复执行期望步骤(E-step)和最大化步骤(M-step)以实现待辨识参数的估计.在E-step 中首先构造系统对数似然函数为由于隐含数据集不可用, 使得计算上述似然函数变得尤为困难. 这里通过计算其相对于隐含变量的期望来构造代价函数如下:Θs s 其中, 表示在第次迭代中得到的参数估计值.在M-step 中, 通过优化目标代价函数以得到新的模型参数估计值L 1L 1重复执行E-step 和M-step, 直至参数收敛[26].期望最大化算法实质上是通过不断迭代优化的条件期望函数来代替直接优化函数, 最终得到所需的模型参数估计值. 算法1总结了EM 算法的具体实施步骤.算法 1. EM 算法Θs =Θ0s =0 1) 将待辨识的参数初始化且设置 ;Q (Θ|Θs ) 2) E-step: 根据式 (12) 计算目标代价函数 ;3) M-step: 根据式 (13) 优化代价函数并得到新的参数估计值;s =s +1 4) , 转回到步骤 2), 直至参数收敛[26].2.2 基于EM 算法的辨识过程推导step1) E- 首先构造系统的对数似然函数如下:C 1=log p (u 1:N |Θ)y T i u 1:T i −1τi Θlog p (y T 1:T M |τ1:M ,u 1:N ,Θ)其中, 表示一个与参数无关的常数项. 基于式 (4)和式(6) 不难看出, 在每个采样时刻, 慢采样输出与之前一段时间的输入变量、未知时滞以及模型参数有关, 因此等式右边的概率密度函数可进一步化简为再结合式 (7), 可以进一步化简为2138自动化学报49 卷τi log p (τ1:M |u 1:N ,Θ)此外, 由于时滞与模型参数以及输入变量无关, 因此可以进一步化简为结合式 (16)和式(17), 系统的对数似然函数最C 2=C 1−(M /2)log 2π其中, 是参数无关项. 此时再基于式 (12), 可求得τi 由于时滞变量属于离散变量, 因此Q (Θ|Θ)p (τi =j |C obs ,Θs )观察式 (20) 可得, 想要优化代价函数 ,首先需要计算时滞取值的后验概率密度函数 . 根据文献[17]中给出的计算公式可得Q (Θ|Θs )为了方便优化, 可将代价函数拆分成以下形式其中,2) M-stepQ 1(θ,r )θr θr =r s r θ=θs Q 1(θ,r )r 在此步骤中通过优化上述代价函数来得到参数估计. 首先属于一个复合函数, 它同时是模型参数以及噪声参数的函数, 只能采取循环优化的方式得到优化的参数估计. 当优化时, 令为定值; 反之, 当优化时, 令为定值.将函数对求偏导并令导数等于零, 得θQ 1(θ,r )θQ 1(θ,r )由于模型参数与代价函数并非呈线性关系, 因此无法直接利用导数的方式求得的估计公式. 结合式 (3)、(4)和(23), 可将代价函数改写为ϕT i −j 其中, 向量定义为Q 1(θ,r )θQ 1(θ,r )此时, 函数与模型参数呈线性关系.再进一步对求偏导可得Q 2(βj )βj 此外, 根据函数求解的迭代估计公式,10 期刘鑫: 时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法2139L β需要构造拉格朗日函数. 首先假设为拉格朗日因子, 结合式 (9) 可构造所需的拉格朗日函数如下:通过求解上述拉格朗日函数可得并且在每个采样时刻, 未知时变时滞的迭代估计公式如下:θs r s θr 至此, 基于期望最大化算法的未知参数和未知时变时滞估计公式全部推导完成. 值得注意的是,在参数循环迭代的过程中, 只用到了前一次的模型参数和噪声参数 . 因此在执行算法初始化时,只需设置和的初值. 本文提出的辨识算法可总结如算法2所示.算法 2. 时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识算法Θ0={θ0,r 0}s =0 1) 模型参数初始化 , 并且设定 ; 2) 根据式 (21) 计算每个采样时刻时滞可能取值的后验概率密度函数;3) 根据式 (22) ~ (24) 构造目标代价函数; 4) 根据式 (25) 计算噪声方差的迭代估计值; 5) 根据式 (28) 计算模型参数的估计值;6) 基于拉格朗日方程并且根据式 (30) 计算时滞取值概率的值;7) 根据式 (31) 不断估计未知的时变时滞;||Θs +1−ΘsΘs||2≤10−3s =s +1Θ∗={θ∗,β∗1:J ,r ∗} 8) 如果 , 结束此次循环, 否则并且回到步骤 2), 最终得到的模型参数估计表示为 .3 辨识算法验证3.1 算法性能验证考虑以下双率采样的线性时滞系统u k =−1+2×N (0,1)f =5其中, 输入信号选取为幅值在 [−1, 1]之间的高斯白噪声, 即 . 输出数据采用慢率采样且采样周期是输入的5倍, 即 . 在每个慢率采样时刻, 时滞取值范围分布在[1, 4]中, 并且按照概率[0.35, 0.2, 0.25, 0.2]取值, 即r =0.01N =2000输出测量噪声选取为方差的高斯噪声,且输出噪声与输入信号相互独立. 对于输入数据生成个数据点, 则收集到的辨识数据如图1所示.−−采样时刻u−y图 1 输入输出辨识数据Fig. 1 The input-output identification dataθ在执行辨识算法之前, 首先需要将待辨识的参数初始化. 模型参数的初始值选取为r 噪声方差的初始值选取为然后执行算法2, 经过50次迭代之后, 得到的时滞分布向量估计值如下:同时, 得到模型参数的收敛曲线如图2所示.通过图2可以看出, 本文提出的辨识算法具有非常良好的收敛性, 经过少量的迭代之后, 每个模型参数都能精确地收敛到真实值附近. 此时, 未知的噪声参数迭代曲线如图3所示.此外, 结合式 (31), 得到未知时滞的估计结果如图4所示.2140自动化学报49 卷在图4中, 蓝色的实线表示真实的时滞; 红色的虚线表示估计的时滞. 经过统计, 时滞估计的正确率在91% 以上. 由此可见, 本文提出的辨识算法能够同时估计模型参数以及未知的时变时滞.θ0为了更加系统地验证本算法的有效性, 本文还设计了蒙特卡洛模拟仿真实验对算法进行更加系统的测试. 在接下来的测试中, 运行100次独立的蒙特卡洛仿真, 迭代次数设置为50次. 与文献[1]中类似, 每次独立的蒙特卡洛仿真的初始值都从以真实参数为中心的对称区间中选取未知的初值 . 得到的蒙特卡洛辨识结果如图 5 ~ 7所示.此外, 本文还在不同的噪声条件下测试了算法的性能. 首先定义信噪比 (Signal-to-noise rate, SNR)的计算式为−0.7−0.6−0.5−0.4−0.3−0.2迭代次数估计值 g 210203040500.50.60.70.80.91.0迭代次数估计值 g 310203040500.10.20.30.40.5迭代次数估计值 g 4(b)(c)(d)图 2 经过50次迭代得到的模型参数估计值Fig. 2 The estimated model parametersafter 50 iterations图 3 噪声方差的收敛曲线Fig. 3 The convergence curve of the identified noise variance时滞时滞采样时刻图 4 时滞的估计值与真实值对比Fig. 4 The comparison between the estimated and true delays10 期刘鑫: 时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法2141var (·)10dB 15dB 20dB 25dB 30dB 其中, 表示方差操作符. 分别在信噪比等于, , , , 时执行算法2,并且得到辨识结果, 如图8、图9和表1所示.从上述辨识结果可以得出以下结论:1) 从图2 ~ 4可以看出, 本文提出的辨识算法能够同时给出模型参数、噪声方差和时变时滞的估计值. 经过少数迭代之后, 模型参数和噪声参数可以精确地收敛到真实值; 同时时滞的估计值和真实值之间的匹配精度达到91%以上, 证明了所提算法的有效性.2) 从图5 ~ 7可以看出, 在蒙特卡洛仿真中,本文提出的辨识算法依然稳定, 在不同的初始值条件下得到的模型参数估计以及时滞参数估计都能精确地收敛到真实值, 这进一步证明了所提算法的稳定性. 对于迭代过程中出现的数值差异, 是由于参数初始值不同而造成的.3) 从图8、图9和表1可以看出, 当信噪比不断增大时, 意味着噪声不断减少且数据质量不断变好, 模型参数和时滞参数的估计精度不断提高, 并且随着数据质量不断提升, 模型参数收敛到真实值的速度也不断加快. 上述辨识结果也再次验证了所提算法的有效性.3.2 对比实验验证为了进一步验证算法2的有效性, 本文还设计了比较实验. 将算法2分别与两个基于递推最小二乘 (Recursive least squares, RLS) 辨识方法进行g 1g 2图 5 参数和的蒙特卡洛辨识结果g 1g 2Fig. 5 The identified and inMonte Carlo simulationsg 3g 4图 6 参数和的蒙特卡洛辨识结果g 3g 4Fig. 6 The identified and inMonte Carlo simulations图 7 噪声参数的蒙特卡洛辨识结果Fig. 7 The identified noise variance inMonte Carlo simulationsg 1g 2图 8 不同噪声下的和估计结果g 1g 2Fig. 8 The identified and underdifferent noise levels2142自动化学报49 卷20dB 比较. 在第1种方法中, 假设时滞参数精确已知, 将这种算法命名为 RLS-accurate; 在第2种方法中,忽略未知的时滞, 将这种算法命名为 RLS-ignore.输出量测噪声采用信噪比为的高斯白噪声,通过执行上述三种辨识算法得到的结果如表2所示.表 2 对比实验结果Table 2 The identification results ofthe comparison tests参数真实值RLS-accurate算法2RLS-ignore g 1 1.5 1.4982 1.4861 1.1553g 2 −0.7−0.7025−0.6969−0.4136g 3 1.0 1.0092 1.01460.8348g 40.50.50520.49410.5256由上述辨识结果可以看出:1) 本文提出的辨识算法在参数估计精度上与RLS-accurate 方法相当. 再结合表1的辨识结果可以进一步看出, 本文提出的辨识算法在估计时滞参数的同时, 也能够精确地给出模型参数的估计结果.2) 由RLS-ignore 方法的辨识结果可以看出,如果忽略时滞因素的影响会造成有偏的参数估计,这从侧面证明了本文提出的算法2的有效性.4 结束语针对时滞取值概率未知的情况, 本文基于期望最大化算法提出了一类有效的线性时滞系统辨识算法. 将时滞的取值概率当成未知的参数来处理, 在辨识过程中所提出的算法能够有效地同时估计模型参数、噪声参数和时滞参数. 仿真结果表明, 本文提出的辨识算法具有快速的收敛速度以及较强的稳定性. 基于本文的研究内容, 未来的研究工作可注重以下两方面:1) 跳过高斯假设, 在更加复杂的数据条件下,例如在非高斯噪声、自相关噪声以及量化的输出条件下研究时滞系统辨识方法;2) 进一步考虑相邻时刻时滞间的相关性, 对于包含相关时滞 (例如: 马尔科夫时滞) 的系统辨识问题进行深入研究. 此方向的研究甚至可以扩展到马尔科夫切换系统辨识方法的研究.ReferencesHuang Yu-Long, Zhang Yong-Gang, Li Ning, Zhao Lin. An identification method for nonlinear systems with colored meas-urement noise. Acta Automatica Sinica , 2015, 41(11): 1877−1892(黄玉龙, 张勇刚, 李宁, 赵琳. 一种带有色量测噪声的非线性系统辨识方法. 自动化学报, 2015, 41(11): 1877−1892)1Duan Guang-Quan, Sun Shu-Li. Self-tuning distributed fusion estimation for systems with unknown model parameters and fad-ing measurement rates. Acta Automatica Sinica , 2021, 47(2):423−431(段广全, 孙书利. 带未知模型参数和衰减观测率系统自校正分布式融合估计. 自动化学报, 2021, 47(2): 423−431)2Chen J, Huang B, Ding F, Gu Y. Variational Bayesian ap-proach for ARX systems with missing observations and varying time-delays. Automatica , 2018, 94: 194−2043Ding F, Liu X M, Hayat T. Hierarchical least squares identifica-tion for feedback nonlinear equation-error systems. Journal of the Franklin Institute , 2020, 357: 2958−29774Li Pei, Yang Chun-Hua, He Jian-Jun, Gui Wei-Hua. Smelting condition identification and prediction for submerged arc fur-nace based on shadow trend comparison. Acta Automatica Sin-ica , 2021, 47(6): 1343−1354(李沛, 阳春华, 贺建军, 桂卫华. 基于影子趋势对比的矿热炉炉况在线辨识及趋势预测. 自动化学报, 2021, 47(6): 1343−1354)5Lindfors M, Chen T S. Regularized LTI system identification in the presence of outliers: A variational EM approach. Automat-ica , 2021, 121: 1−136Liu X, Liu X F. An improved identification method for a class of time-delay systems. Signal Processing , 2020, 167: 1−97Battilotti S, d ＇Angelo M. Stochastic output delay identification of discrete-time Gaussian systems. Automatica , 2019, 109: 1−68Sammaknejad N, Zhao Y J, Huang B. A review of the Expecta-tion Maximization algorithm in data-driven process identifica-tion. Journal of Process Control , 2019, 73: 123−1369Zhao W X, Yin G, Bai E W. Sparse system identification for10表 1 不同信噪比下的未知时滞估计精度Table 1 The estimation accuracy of the unknowndelays under different SNRs信噪比 (dB)时滞匹配精度 (%)1073.001581.252088.752593.253097.50g 3g 4图 9 不同噪声下的和估计结果g 3g 4Fig. 9 The identified and underdifferent noise levels10 期刘鑫: 时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法2143stochastic systems with general observation sequences. Automat-ica , 2020, 121: 1−13Chen J, Shen Q Y, Liu Y J, Wan L J. Expectation maximiza-tion identification algorithm for time-delay two-dimensional sys-tems. Journal of the Franklin Institute , 2020, 37: 9992−1000911Xia W F, Zheng W X, Xu S Y. Extended dissipativity analysis of digital filters with time delay and Markovian jumping para-meters. Signal Processing , 2018, 152: 247−25412Liu Qing-Song. Nested-pseudo predictor feedback based input delay compensation for time-delay control systems. Acta Auto-matica Sinica , 2021, 47(10): 2464−2471(刘青松. 基于嵌套−伪预估器反馈的时滞控制系统输入时滞补偿.自动化学报, 2021, 47(10): 2464−2471)13Yang X Q, Yang X B. Local identification of LPV dual-rate sys-tem with random measurements delays. IEEE Transactions on Industrial Electronics , 2017, 62(2): 1499−150714Li X D, Yang X Y, Song S J. Lyapunov conditions for finite-time stability of time-varying time-delay systems. Automatica ,2019, 103: 135−14015Ding F, Wang X H, Mao L, Xu L. Joint state and multi-innova-tion parameter estimation for time-delay linear systems and its convergence based on the Kalman filtering. Digital Signal Pro-cessing , 2017, 62: 211−22316Yang X Q, Yin S. Robust global identification and output es-timation for LPV dual-rate systems subjected to random output time-delays. IEEE Transactions on Industrial Informatics , 2017,13(6): 2876−288517Chen L, Han L L, Huang B, Liu F. Parameter estimation for a dual-rate system with time delay. ISA Transactions , 2014, 53(5):1368−137618Ma J X, Chen J, Xiong W L, Ding F. Expectation maximiza-tion estimation algorithm for Hammerstein models with non-Gaussian noise and random time delay from dual-rate sampled-data. Digital Signal Processing , 2018, 73: 135−14419Xu L, Ding F, Gu Y, Alsaedi A, Hayat T. A multi-innovation state and parameter estimation algorithm for a state space sys-tem with d-step state-delay. Signal Processing , 2017, 140:2097−103Kodamana H, Huang B, Ranjan R, Zhao Y J, Tan R M, Sam-maknejad N. Approaches to robust process identification: A re-view and tutorial of probabilistic methods. Journal of Process Control , 2018, 66: 68−8321Yang X Q, Karimi H R. Identification of LTI time-delay sys-tems with missing output data using GEM algorithm. Mathem-atical Problems in Engineering, 2014, 15: 1−822Yang X Q, Gao H J. Multiple model approach to linear para-meter varying time-delay system identification with EM al-gorithm. Journal of the Franklin Institute , 2014, 351(12):5565−558123Chen J, Ma J X, Liu Y J, Ding F. Identification methods for time-delay systems based on the redundant rules. Signal Pro-cessing , 2017, 137: 192−19824Xie L, Yang H Z, Huang B. FIR model identification of multir-ate processes with random delays using EM algorithm. AIChE Journal , 2013, 59(11): 4124−413225Wu C. On the convergence properties of the EM algorithm. The Annals of Statistics , 1983, 11(1): 95−10326刘　鑫　中国矿业大学人工智能研究院副教授. 2019年获哈尔滨工业大学控制科学与工程专业博士学位. 主要研究方向为系统辨识, 数据驱动的工程建模, 软测量方法.E-mail: *****************.cn(LIU Xin Associate professor atthe Artificial Intelligence Research Institute, China University of Mining and Technology. He received his Ph.D. degree in control science and engineering from Harbin Institute of Technology in 2019. His research interest covers system identification, data-driven pro-cess modeling, and soft sensor development .)2144自动化学报49 卷。

系统辨识经典辨识方法

经典辨识方法报告1. 面积法辨识原理分子多项式为1的系统 11)(111++++=--s a s a s a s G n n n n ……………………………………………（）由于系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取微分方程的系数来辨识系统的传递函数。

在求得系统的放大倍数K 后，要先得到无因次阶跃响应y(t)（设τ=0）。

大多数自衡的工业过程对象的y(t)可以用下式描述来近似1)()()()(a 111=++++--t y dtt dy a dt t y d a dt t y d n n n n……………………………（）面积法原则上可以求出n 为任意阶的各系数。

以n=3为例，注意到1|)(,0|)(d |)(d |)(d 23====∞→∞→∞→∞→t t t t t y dtt y dt t y dt t y …………………………（）将式（）的y(t)项移至右边，在[0，t]上积分，得⎰-=++t dt t y t y a dtt dy a dt t y d a 01223)](1[)()()(…………………………………（）定义⎰-=tdt t y t F 01)](1[)(……………………………………………………………（）则由式（）给出的条件可知，在t →∞⎰∞-=01)](1[a dt t y ……………………………………………………………（）将式a 1y(t)移到等式右边，定义)()]()([)()(a 201123t F dt t y a t F t y a dtt dy t =-=+⎰…………………………………（）利用初始条件（）当t →∞时)(a 22∞=F …………………………………………………………………… （）同理有a 3=F 3(∞)以此类推，若n ≥2，有a n =F n (∞) 分子、分母分别为m 阶和n 阶多项式的系统当传递函数的形式如下所示时111111)()(11)(u h K m n s a s a s a s b s b s b K s G n n n n m m m m ∞=≥++++++++=---- …………………………………定义∑∞=----+=++++++++==1111111111)()(1)(i iim m m m n n nn s c s b s b s b s a s a s a s P s P Ks G ………………………………由于⎰∞--=-0**)](1[)](1[dte t h t h L st …………………………………………则)](1[*t h -的Laplace 变换为： ∑∑∞=∞=-+=-=-111*1)(11)](1[i iii i i s C sC s sP s t h L ……………………………………定义一阶面积1A 为：11110011lim )](*1[lim )](*1[c s C sC t h L dt t h A i ii i i i s s =+=-=-=∑∑⎰∞=∞=-→∞→………令)1(1)]([1*1s c s t h L +=……………………………………………………………定义二阶面积为：2122**0012)1)(1()]()([limc s c s c sc dtd h h A i ii i i i is t=++=-=∑∑⎰⎰∞=∞=-→∞τττ…同理，令 )...1(1)]([11221*1---++++=i i i s c s c s c s t h L ……………………………………定义i 阶面积为i i c A =。

系统辨识第5章线性动态模型参数辨识最小二乘法

度函数
，则称uS(uk()为) “持续激励”信号。
● 定义4 一个具有谱密度 Fn (为z 1的) 平f1z稳1 信f2号z 2u(k)称fn为z nn 阶
“持续激励”Fn信(e号j )，2 S若u (对) 一0 切形如 Fn (e j ) 0
的滤波器，关系式
，意味着
。
● 定理2 设输入信号u(kR)u是(0)平稳R随u (1机) 信号，Ru (如n 果1)相关函数矩阵

式中
zL H L nL
nzHLLL[[zn(h(hh11TT)T),((,(zL12n())()22)),,,,znz(((LzLzL)(()]10]))1)
z(1 na ) z(2 na )
z(L na )
u(0) u(1)
u(L 1)
u(1 nb )
u(2
nb
)
u(L nb )
5.2 最小二乘法的基本概念
● 两种算法形式
① 批处理算法：利用一批观测数据，一次计算或经反复迭代，
以获得模型参数的估计值。
②
递推算法：在上次模型参数估计值
ˆ
(k
1)的基础上，根据当
前获得的数据提出修正，进而获得本次模型参数估计值ˆ (k )，
广泛采用的递推算法形式为
(k ) (k 1) K (k )h(k d )~z (k )
z(k ) h (k ) n(k )
式中z(k)为模型输出变量，h(k)为输入数据向量，为模型参
数向量，n(k)为零均值随机噪声。为了求此模型的参数估计值，可以利用上述最小二乘原理。根据观测到的已知数据序列
和{z(k)} ，{h极(k小)} 化下列准则函数
L
J ( ) [z(k ) h (k ) ]2

基于梯度方法的线性多延时系统参数辩识

−1
.
(7)
根据定理3.1可知，优化问题(2)可以转化为
min τ
J= * (τ )
min X − Θˆ (τ ) Φ (τ ) 2 .
τ
F
(8)
∂ 接下来分三个定理求
∂τ
J* (τ
)。
定理3.2 设 φ (τ , l ) ∈ (N +1)(n+ p) ，则
DOI: 10.12677/pm.2021.114071
∫ tl 0
xT
(t
−τ N
) dt
∫ tl 0
u
T
(
t
)
dt
∫ tl 0
u
T
(
t
−
τ
N
)
dt
T
.
(3)
3. 算法的推导
固定延时量τ ，式(2)中 Θ 有唯一最小二乘解。从而对优化问题(2)的求解可转化为只与τ 有关的优化问题。接下来，利用新目标函数关于τ 的梯度采用动量梯度法估计延时量。最后，求系数矩阵关于式(2) 的最小二乘解。
徐文瀚
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3.1. 梯度的计算
定理3.1 对于式(2)所述的优化问题，当τ 固定时有唯一最小二乘解
Θˆ (τ ) =X ΦT (τ )(Φ (τ ) ΦT (τ )) −1 .

线性系统的经典辨识方法

系统辨识方法

系统辨识经典辨识方法

线性系统的随机参数辨识和收敛性分析

《系统辨识》新方法

有限维线性系统参数辨识问题

系统辨识的经典方法

系统辨识理论及应用

系统辨识综述

传递函数辨识(2):脉冲响应两点法和三点法

系统辨识法

第四讲线性系统辨识方法-文档资料

系统辨识 分类

时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法

系统辨识经典辨识方法

系统辨识第5章 线性动态模型参数辨识 最小二乘法

基于梯度方法的线性多延时系统参数辩识

系统辨识分类

系统辨识第5章线性动态模型参数辨识最小二乘法